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Multiplikation identischer Wurzeln. Wurzeln multiplizieren: Methoden und Anwendungen. Abschluss mit natürlichem Indikator

1. Die Wurzel eines Grades aus einem Produkt nichtnegativer Zahlen ist gleich dem Produkt von Wurzeln gleichen Grades aus Faktoren: wo (die Regel zum Ziehen einer Wurzel aus einem Produkt).

2. Wenn , dann y (die Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs).

3. Wenn dann (die Regel zum Extrahieren einer Wurzel aus einer Wurzel).

4. Wenn dann die Regel für die Potenzierung der Wurzel).

5. Wenn dann wo, d. h. der Exponent der Wurzel und der Exponent des Wurzelausdrucks können mit derselben Zahl multipliziert werden.

6. Wenn dann 0, d. h. ein größerer positiver Wurzelausdruck entspricht einem größeren Wert der Wurzel.

7. Alle oben genannten Formeln werden häufig in umgekehrter Reihenfolge (d. h. von rechts nach links) angewendet. Zum Beispiel,

(Regel der Wurzelmultiplikation);

(Regel der Wurzelteilung);

8. Die Regel zum Entfernen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen. Bei

9. Das umgekehrte Problem besteht darin, einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel einzuführen. Zum Beispiel,

10. Beseitigung der Irrationalität im Nenner eines Bruchs.

Schauen wir uns einige typische Fälle an.

Zum Beispiel,

11. Anwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten auf Operationen mit arithmetischen Wurzeln:

12. Der Faktor vor der Wurzel wird Koeffizient genannt. Hier ist beispielsweise 3 der Koeffizient.

13. Wurzeln (Radikale) heißen ähnlich, wenn sie die gleichen Wurzelindizes und die gleichen Radikalausdrücke haben und sich nur im Koeffizienten unterscheiden. Um zu beurteilen, ob diese Wurzeln (Radikale) ähnlich sind oder nicht, müssen Sie sie auf ihre einfachste Form reduzieren.

Zum Beispiel und sind seitdem ähnlich

ÜBUNGEN MIT LÖSUNGEN

1. Ausdrücke vereinfachen:

Lösung. 1) Es macht keinen Sinn, den Wurzelausdruck zu multiplizieren, da jeder der Faktoren das Quadrat einer ganzen Zahl darstellt. Verwenden wir die Regel zum Extrahieren der Wurzel eines Produkts:

Zukünftig werden wir solche Handlungen mündlich durchführen.

2) Versuchen wir, wenn möglich, den Wurzelausdruck als Produkt von Faktoren darzustellen, von denen jeder die dritte Potenz einer ganzen Zahl ist, und wenden wir die Regel über die Wurzel des Produkts an:

2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Lösung. 1) Gemäß der Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs gilt:

3) Transformieren Sie die Wurzelausdrücke und extrahieren Sie die Wurzel:

3. Vereinfachen Sie wann

Lösung. Beim Extrahieren einer Wurzel aus einer Wurzel werden die Indikatoren der Wurzeln multipliziert, der Wurzelausdruck bleibt jedoch unverändert

Wenn sich vor der Wurzel ein Koeffizient befindet, der sich unter der Wurzel befindet, geben Sie diesen Koeffizienten unter dem Vorzeichen des Radikals ein, vor dem er erscheint, bevor Sie die Operation zum Extrahieren der Wurzel durchführen.

Basierend auf den oben genannten Regeln extrahieren wir die letzten beiden Wurzeln:

4. Zur Potenz erheben:

Lösung. Bei der Potenzierung einer Wurzel bleibt der Exponent der Wurzel unverändert und die Exponenten des Wurzelausdrucks werden mit dem Exponenten multipliziert.

(da es definiert ist, dann );

Wenn eine gegebene Wurzel einen Koeffizienten hat, wird dieser Koeffizient separat potenziert und das Ergebnis als Koeffizient der Wurzel geschrieben.

Hier haben wir die Regel verwendet, dass der Indikator der Wurzel und der Indikator des Wurzelausdrucks mit derselben Zahl multipliziert werden können (wir haben mit multipliziert, d. h. durch 2 geteilt).

Zum Beispiel, oder

4) Der Ausdruck in Klammern, der die Summe zweier verschiedener Radikale darstellt, wird quadriert und vereinfacht:

Seit wir ... Haben:

5. Eliminieren Sie die Irrationalität im Nenner:

Lösung. Um die Irrationalität im Nenner eines Bruchs zu beseitigen (zu zerstören), müssen Sie den einfachsten Ausdruck finden, der in einem Produkt mit einem Nenner einen rationalen Ausdruck ergibt, und Zähler und Nenner dieses Bruchs mit dem gefundenen Faktor multiplizieren.

Wenn beispielsweise der Nenner eines Bruchs ein Binomial enthält, müssen Zähler und Nenner des Bruchs mit dem zum Nenner konjugierten Ausdruck multipliziert werden, d. h. die Summe muss mit der entsprechenden Differenz multipliziert werden und umgekehrt.

In komplexeren Fällen wird die Irrationalität nicht sofort, sondern in mehreren Schritten zerstört.

1) Der Ausdruck muss enthalten

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit multiplizieren, erhalten wir:

2) Multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Teilquadrat der Summe, erhalten wir:

3) Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Bei der Lösung dieses Beispiels müssen wir bedenken, dass jeder Bruch eine Bedeutung hat, das heißt, der Nenner jedes Bruchs ist ungleich Null. Außerdem,

Bei der Konvertierung von Ausdrücken, die Radikale enthalten, passieren oft Fehler. Sie werden durch die Unfähigkeit verursacht, das Konzept (Definition) einer arithmetischen Wurzel und eines Absolutwerts richtig anzuwenden.

Regeln zur Wurzelmultiplikation

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr“ sind. »
Und für diejenigen, die „sehr sehr.“ ")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche es gibt Formeln für Wurzeln was sind Eigenschaften von Wurzeln, und was man mit all dem machen kann.

Wurzelformeln, Eigenschaften von Wurzeln und Regeln für die Arbeit mit Wurzeln- Das ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was mich auf jeden Fall glücklich macht! Oder besser gesagt, man kann viele verschiedene Formeln schreiben, aber für die praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele Menschen bei den drei Grundformeln verwirrt sind, ja.

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Ich möchte Sie daran erinnern (aus der vorherigen Lektion): a und b sind nicht negative Zahlen! Ansonsten macht die Formel keinen Sinn.

Dies ist eine Eigenschaft von Wurzeln, wie Sie sehen, ist einfach, kurz und harmlos. Aber es gibt so viele tolle Dinge, die man mit dieser Wurzelformel machen kann! Schauen wir uns an Beispiele all diese nützlichen Dinge.

Die erste nützliche Sache. Diese Formel ermöglicht es uns Wurzeln vermehren.

Wie vermehre ich Wurzeln?

Ja, ganz einfach. Direkt zur Formel. Zum Beispiel:

Es scheint, dass sie es vervielfacht haben, na und? Gibt es viel Freude?! Ich stimme ein wenig zu. Wie findest Du das Beispiel?

Die Wurzeln werden nicht genau aus den Faktoren gezogen. Und das Ergebnis ist hervorragend! Das ist besser, oder? Für alle Fälle möchte ich Ihnen sagen, dass es so viele Multiplikatoren geben kann, wie Sie möchten. Die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln funktioniert immer noch. Zum Beispiel:

Mit der Multiplikation ist also alles klar, warum ist das notwendig? Eigenschaft der Wurzeln- auch verständlich.

Das Zweite ist nützlich. Eingabe einer Zahl unter dem Wurzelzeichen.

Wie gebe ich eine Zahl unter der Wurzel ein?

Nehmen wir an, wir haben diesen Ausdruck:

Ist es möglich, die Zwei in der Wurzel zu verstecken? Leicht! Wenn Sie aus zwei eine Wurzel bilden, funktioniert die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln. Wie kann man aus zwei eine Wurzel machen? Ja, auch keine Frage! Zwei ist Quadratwurzel aus vier!

Übrigens kann aus jeder nicht negativen Zahl eine Wurzel gebildet werden! Dies ist die Quadratwurzel des Quadrats dieser Zahl. 3 ist die Wurzel von 9. 8 ist die Wurzel von 64. 11 ist die Wurzel von 121. Nun, und so weiter.

Natürlich ist es nicht nötig, dies so detailliert zu beschreiben. Nun, für den Anfang. Es genügt zu erkennen, dass jede nicht negative Zahl, multipliziert mit der Wurzel, unter der Wurzel addiert werden kann. Aber vergessen Sie nicht! - Unter der Wurzel wird diese Nummer Quadrat selbst. Diese Aktion – das Eingeben einer Zahl unter der Wurzel – kann auch als Multiplikation der Zahl mit der Wurzel bezeichnet werden. Im Allgemeinen können wir schreiben:

Das Verfahren ist einfach, wie Sie sehen. Warum wird es benötigt?

Wie jede Transformation erweitert auch dieses Verfahren unsere Möglichkeiten. Möglichkeiten, einen grausamen und unangenehmen Ausdruck in einen weichen und flauschigen Ausdruck zu verwandeln. Hier ist eine einfache Lösung für Sie Beispiel:

Wie du sehen kannst, Eigenschaft der Wurzeln, Zur Vereinfachung eignet sich durchaus die Eingabe eines Multiplikators unter dem Vorzeichen der Wurzel.

Darüber hinaus erleichtert das Hinzufügen eines Faktors zur Wurzel den Vergleich der Werte verschiedener Wurzeln. Ganz ohne Berechnungen oder Taschenrechner! Die dritte nützliche Sache.

Wie vergleiche ich Wurzeln?

Diese Fähigkeit ist bei ernsthaften Aufgaben, beim Aufdecken von Modulen und anderen coolen Dingen sehr wichtig.

Vergleichen Sie diese Ausdrücke. Welches ist größer? Ohne Taschenrechner! Jeweils mit Taschenrechner. Äh-äh. Kurz gesagt, jeder kann es schaffen!)

Das kann man nicht sofort sagen. Was passiert, wenn Sie Zahlen unter dem Wurzelzeichen eingeben?

Denken wir daran (was wäre, wenn Sie es nicht wüssten?): Wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen größer ist, dann ist die Wurzel selbst größer! Daher die sofort richtige Antwort, ohne aufwändige Berechnungen und Berechnungen:

Großartig, oder? Aber das ist nicht alles! Denken Sie daran, dass alle Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Bisher haben wir die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln von links nach rechts verwendet. Lassen Sie uns diese Wurzeleigenschaft in umgekehrter Reihenfolge von rechts nach links ausführen. So:

Und was ist der Unterschied? Bringt das etwas? Sicherlich! Jetzt werden Sie es selbst sehen.

Angenommen, wir müssen (ohne Taschenrechner!) die Quadratwurzel der Zahl 6561 ziehen. Einige Menschen geraten in diesem Stadium in ein ungleiches Problem mit der Aufgabe. Aber wir sind hartnäckig, wir geben nicht auf! Die vierte nützliche Sache.

Wie zieht man Wurzeln aus großen Zahlen?

Erinnern wir uns an die Formel zum Extrahieren von Wurzeln aus einem Produkt. Das, was ich oben geschrieben habe. Aber wo ist unsere Arbeit!? Wir haben eine riesige Nummer 6561 und das war’s. Ja, die Arbeit ist nicht hier. Aber wenn wir es brauchen, werden wir es tun lass es uns tun! Faktorisieren wir diese Zahl. Wir haben das Recht.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, durch was genau diese Zahl teilbar ist. Was, du weißt es nicht!? Haben Sie die Zeichen der Teilbarkeit vergessen!? Vergeblich. Gehen Sie zum Sonderteil 555, Thema „Brüche“, sie sind dort. Diese Zahl ist durch 3 und 9 teilbar. Denn die Summe der Zahlen (6+5+6+1=18) wird durch diese Zahlen geteilt. Dies ist eines der Zeichen der Teilbarkeit. Wir müssen nicht durch drei dividieren (jetzt werden Sie verstehen, warum), aber wir dividieren durch 9. Zumindest in einer Ecke. Wir erhalten 729. Wir haben also zwei Faktoren gefunden! Die erste ist neun (wir haben sie selbst ausgewählt) und die zweite ist 729 (so hat es sich herausgestellt). Sie können bereits schreiben:

Verstehst du die Idee? Das Gleiche machen wir mit der Nummer 729. Sie ist auch durch 3 und 9 teilbar. Wir teilen nicht noch einmal durch 3, sondern durch 9. Wir erhalten 81. Und wir kennen diese Zahl! Wir schreiben auf:

Alles ist einfach und elegant geworden! Die Wurzel musste Stück für Stück herausgezogen werden, aber na ja. Dies ist mit beliebig großen Zahlen möglich. Multiplizieren Sie sie und machen Sie weiter!

Übrigens, warum musstest du nicht durch 3 teilen? Hast du es erraten? Ja, denn die Wurzel aus drei lässt sich nicht exakt ziehen! Es ist sinnvoll, es in solche Faktoren einzubeziehen, dass die Wurzel aus mindestens einem gut gezogen werden kann. Dies sind 4, 9, 16 Wells und so weiter. Teilen Sie Ihre große Zahl nacheinander durch diese Zahlen und Sie werden Glück haben!

Aber nicht unbedingt. Möglicherweise haben Sie kein Glück. Nehmen wir an, dass die Zahl 432, wenn man sie faktorisiert und die Wurzelformel für das Produkt verwendet, das folgende Ergebnis liefert:

Na ja, okay. Wie auch immer, wir haben den Ausdruck vereinfacht. In der Mathematik ist es üblich, die kleinstmögliche Zahl unter der Wurzel zu belassen. Im Lösungsprozess hängt alles vom Beispiel ab (vielleicht kann alles ohne Vereinfachung gekürzt werden), aber in der Antwort müssen Sie ein Ergebnis angeben, das nicht weiter vereinfacht werden kann.

Wissen Sie übrigens, was wir mit der Wurzel von 432 gemacht haben?

Wir nahm die Faktoren unter dem Wurzelzeichen heraus ! So wird dieser Vorgang genannt. Andernfalls erhalten Sie eine Aufgabe – „ Entfernen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen„Aber Männer wissen es nicht einmal.) Hier ist eine weitere Anwendung für Sie Eigenschaften von Wurzeln. Nützliche Sache Fünfter.

Wie entferne ich den Multiplikator unter der Wurzel?

Leicht. Faktorisieren Sie den radikalen Ausdruck und extrahieren Sie die Wurzeln, die extrahiert werden. Lass uns nachsehen:

Nichts Übernatürliches. Es ist wichtig, die richtigen Multiplikatoren zu wählen. Hier haben wir 72 zu 36·2 erweitert. Und es hat alles gut geklappt. Oder sie hätten es anders erweitern können: 72 = 6·12. Na und!? Die Wurzel kann weder aus 6 noch aus 12 gezogen werden. Was zu tun ist?!

Macht nichts. Suchen Sie entweder nach anderen Zerlegungsmöglichkeiten oder zerlegen Sie alles weiter, bis es aufhört! So:

Wie Sie sehen, hat alles geklappt. Dies ist übrigens nicht der schnellste, aber der zuverlässigste Weg. Teilen Sie die Zahl in die kleinsten Faktoren auf und sammeln Sie dann dieselben in Stapeln. Auch bei der Multiplikation unbequemer Wurzeln wird die Methode erfolgreich eingesetzt. Sie müssen beispielsweise Folgendes berechnen:

Multiplizieren Sie alles – Sie erhalten eine verrückte Zahl! Und wie kann man dann die Wurzel daraus ziehen?! Noch einmal faktorisieren? Nein, wir brauchen keine zusätzliche Arbeit. Wir zerlegen es sofort in Faktoren und sammeln dieselben in Gruppen:

Das ist alles. Natürlich ist es nicht notwendig, es vollständig zu erweitern. Alles wird von Ihren persönlichen Fähigkeiten bestimmt. Wir haben das Beispiel auf den Punkt gebracht, an dem Dir ist alles klar Das heißt, wir können schon zählen. Die Hauptsache ist, keine Fehler zu machen. Nicht der Mensch für die Mathematik, sondern die Mathematik für den Menschen!)

Lassen Sie uns das Wissen in die Praxis umsetzen? Beginnen wir mit etwas Einfachem:

ABSCHLUSS MIT RATIONALEM INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 82. Multiplikation und Division von Wurzeln

1. Wurzeln multiplizieren. In § 79 ist die Regel zum Multiplizieren von Wurzeln mit identisch Indikatoren:

Um Wurzeln mit unterschiedlichen Indikatoren zu multiplizieren, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Indikator gebracht und dann als Wurzeln mit denselben Indikatoren multipliziert werden.

Angenommen, Sie müssen multiplizieren N √ A An M √ B . Mit Satz 3 von §80 können wir schreiben:

Zum Beispiel: √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Als allgemeiner Indikator für Wurzeln N √ A An M √ B Am bequemsten ist es, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu wählen N Und M . Wenn Sie beispielsweise 4 √ 2 mit 6 √ 32 multiplizieren müssen, ist es praktisch, die Zahl 12, das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6, als gemeinsamen Indikator für diese Wurzeln zu wählen.

Satz 3 § 80 ergibt: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Wurzelteilung. In § 79 wurde eine Regel zur Division von Wurzeln mit gleichen Exponenten erhalten:

Um Wurzeln mit unterschiedlichen Indikatoren zu trennen, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Indikator gebracht und dann als Wurzeln mit denselben Indikatoren geteilt werden.

oldskola1.narod.ru

Wurzeln multiplizieren: Grundregeln

Grüße, Katzen! Letztes Mal haben wir ausführlich besprochen, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich Ihnen, es zu lesen). Die wichtigste Erkenntnis aus dieser Lektion: Es gibt nur eine universelle Definition von Wurzeln, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Unsinn und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, wir werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Multiplikation untersuchen (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich sein) und wir werden richtig üben. Also Popcorn eindecken, es sich gemütlich machen – und los geht’s :)

Du hast es auch noch nicht geraucht, oder?

Die Lektion erwies sich als ziemlich lang, deshalb habe ich sie in zwei Teile unterteilt:

Zuerst schauen wir uns die Regeln der Multiplikation an. Cap scheint anzudeuten: Dann gibt es zwei Wurzeln, dazwischen steht ein „Multiplikations“-Zeichen – und wir wollen etwas damit machen.

Schauen wir uns dann die umgekehrte Situation an: Es gibt eine große Wurzel, aber wir wollten sie unbedingt als Produkt zweier einfacherer Wurzeln darstellen. Warum das notwendig ist, ist eine andere Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Wer es kaum erwarten kann, direkt zum zweiten Teil zu springen, ist herzlich willkommen. Beginnen wir mit dem Rest der Reihe nach.

Grundregel der Multiplikation

Beginnen wir mit dem Einfachsten – den klassischen Quadratwurzeln. Dieselben, die als $\sqrt$ und $\sqrt bezeichnet werden $. Für sie ist alles klar:

Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie einfach ihre Wurzelausdrücke und schreiben das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel:

Für die Zahlen rechts und links gibt es keine weiteren Einschränkungen: Wenn die Wurzelfaktoren existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Schauen wir uns gleich vier Beispiele mit Zahlen an:

Wie Sie sehen, besteht die Hauptbedeutung dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel selbst ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann wird es schwierig: $\sqrt $ und $\sqrt $ werden nicht für sich betrachtet, sondern Ihr Produkt stellt sich als perfektes Quadrat heraus, daher ist seine Wurzel gleich einer rationalen Zahl.

Besonders hervorheben möchte ich die letzte Zeile. Dort sind beide Wurzelausdrücke Brüche. Dank des Produkts werden viele Faktoren aufgehoben und der gesamte Ausdruck wird zu einer angemessenen Zahl.

Natürlich wird es nicht immer so schön sein. Manchmal liegt unter den Wurzeln völliger Mist – es ist nicht klar, was man damit machen soll und wie man ihn nach der Multiplikation umwandelt. Etwas später, wenn Sie mit dem Studium irrationaler Gleichungen und Ungleichungen beginnen, wird es alle möglichen Variablen und Funktionen geben. Und sehr oft rechnen Problemschreiber damit, dass Sie einige aufhebende Begriffe oder Faktoren entdecken, nach denen das Problem um ein Vielfaches vereinfacht wird.

Außerdem ist es überhaupt nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Sie können drei, vier oder sogar zehn auf einmal multiplizieren! An der Regel ändert sich dadurch nichts. Schau mal:

Und noch einmal eine kleine Anmerkung zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen, befindet sich im dritten Faktor unter der Wurzel ein Dezimalbruch – im Berechnungsprozess ersetzen wir ihn durch einen regulären Bruch, woraufhin alles leicht reduziert wird. Deshalb empfehle ich dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (d. h. solchen, die mindestens ein Wurzelzeichen enthalten) zu entfernen. Das erspart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber das war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall – wenn der Wurzelexponent eine beliebige Zahl $n$ enthält und nicht nur die „klassischen“ zwei.

Der Fall eines willkürlichen Indikators

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Was tun mit kubischen? Oder sogar mit Wurzeln beliebigen Grades $n$? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt dieselbe:

Um zwei Wurzeln vom Grad $n$ zu multiplizieren, reicht es aus, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren und das Ergebnis dann unter eine Wurzel zu schreiben.

Im Allgemeinen nichts Kompliziertes. Allerdings kann der Rechenaufwand größer sein. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Produkte berechnen:

Und noch einmal Aufmerksamkeit auf den zweiten Ausdruck. Wir multiplizieren die Kubikwurzeln, entfernen den Dezimalbruch und erhalten am Ende den Nenner, der das Produkt der Zahlen 625 und 25 ist. Das ist eine ziemlich große Zahl – ich persönlich kann nicht auf Anhieb herausfinden, was sie ergibt meines Kopfes.

Also haben wir einfach den exakten Würfel im Zähler und Nenner isoliert und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie es vorziehen, die Definition) der $n$-ten Wurzel verwendet:

Solche „Machenschaften“ können Ihnen bei einer Prüfung oder einem Test viel Zeit sparen. Denken Sie also daran:

Beeilen Sie sich nicht, Zahlen mit radikalen Ausdrücken zu multiplizieren. Überprüfen Sie zunächst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort „verschlüsselt“ ist?

Trotz der Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten unvorbereiteten Studenten die genauen Abschlüsse nicht aus nächster Nähe erkennen. Stattdessen multiplizieren sie einfach alles und fragen sich dann: Warum sind sie auf so brutale Zahlen gekommen? :)

Im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden, ist dies jedoch alles nur Babysprache.

Wurzeln mit verschiedenen Exponenten multiplizieren

Okay, jetzt können wir Wurzeln mit denselben Indikatoren multiplizieren. Was ist, wenn die Indikatoren unterschiedlich sind? Sagen wir mal, wie multipliziert man ein gewöhnliches $\sqrt $ mit so einem Mist wie $\sqrt $? Ist das überhaupt möglich?

Natürlich kannst du. Alles läuft nach dieser Formel ab:

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn Radikale Ausdrücke sind nicht negativ. Dies ist ein sehr wichtiger Hinweis, auf den wir etwas später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an:

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nicht-Negativitätsanforderung kommt und was passiert, wenn wir dagegen verstoßen :).

Wurzeln zu vermehren ist einfach

Warum dürfen radikale Ausdrücke nicht negativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer das Lehrbuch mit einem klugen Blick zitieren:

Das Erfordernis der Nichtnegativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln geraden und ungeraden Grades verbunden (entsprechend sind auch ihre Definitionsbereiche unterschiedlich).

Nun, ist es klarer geworden? Persönlich habe ich, als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse las, ungefähr Folgendes verstanden: „Die Anforderung der Nicht-Negativität ist verbunden mit *#&^@(*#@^#)“

%" - kurz gesagt, ich habe dieses Mal überhaupt nichts verstanden. :)

Jetzt erkläre ich alles ganz normal.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die obige Multiplikationsformel kommt. Dazu möchte ich Sie an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

Mit anderen Worten, wir können den Wurzelausdruck leicht auf jede natürliche Potenz $k$ erhöhen – in diesem Fall muss der Exponent der Wurzel mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Exponenten reduzieren und sie dann multiplizieren. Daher stammt die Multiplikationsformel:

Es gibt jedoch ein Problem, das die Verwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Zahl:

Nach der eben gegebenen Formel können wir jeden Grad addieren. Versuchen wir, $k=2$ hinzuzufügen:

Wir haben das Minus genau deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jeder andere gerade Grad auch). Führen wir nun die umgekehrte Transformation durch: „Reduzieren“ Sie die beiden im Exponenten und in der Potenz. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

Aber dann stellt sich heraus, dass es eine Art Mist ist:

Dies kann nicht passieren, da $\sqrt \lt 0$ und $\sqrt \gt 0$. Das bedeutet, dass unsere Formel für gerade Potenzen und negative Zahlen nicht mehr funktioniert. Danach haben wir zwei Möglichkeiten:

An die Wand stoßen und sagen, dass Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, in der es „einige Regeln gibt, aber diese sind ungenau“;
Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig „nicht funktionierende“ Fälle aufspüren – das ist schwierig, zeitaufwändig und im Allgemeinen pfui. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option :).

Aber keine Sorge! In der Praxis hat diese Einschränkung keinerlei Auswirkungen auf die Berechnungen, da alle beschriebenen Probleme nur Wurzeln ungeraden Grades betreffen und daraus Minuspunkte gezogen werden können.

Formulieren wir daher noch eine Regel, die grundsätzlich für alle Handlungen mit Wurzeln gilt:

Stellen Sie vor der Wurzelmultiplikation sicher, dass die Wurzelausdrücke nicht negativ sind.

Beispiel. In der Zahl $\sqrt$ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen entfernen – dann ist alles normal:

Spüren Sie den Unterschied? Wenn Sie ein Minus unter der Wurzel belassen, verschwindet es beim Quadrieren des Wurzelausdrucks und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst das Minus herausnehmen, können Sie das Quadrat quadrieren/entfernen, bis Sie blau im Gesicht sind – die Zahl bleibt negativ :).

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Methode zur Wurzelmultiplikation wie folgt:

Entfernen Sie alle Negative von den Radikalen. Minuspunkte gibt es nur in Wurzeln ungerader Multiplizität – sie können vor die Wurzel gestellt und bei Bedarf gekürzt werden (z. B. wenn es zwei dieser Minuspunkte gibt).
Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indikatoren der Wurzeln gleich sind, multiplizieren wir einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
3.Genieße das Ergebnis und gute Noten.:)

Und was? Sollen wir üben?

Beispiel 1: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

Dies ist die einfachste Option: Die Wurzeln sind gleich und ungerade, das einzige Problem besteht darin, dass der zweite Faktor negativ ist. Wir nehmen dieses Minus aus dem Bild, danach lässt sich alles leicht berechnen.

Beispiel 2: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

Hier würden viele durch die Tatsache verwirrt sein, dass sich herausstellte, dass die Ausgabe eine irrationale Zahl war. Ja, es kommt vor: Wir konnten den Stamm nicht ganz loswerden, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

Auf diese Aufgabe möchte ich Sie aufmerksam machen. Hier gibt es zwei Punkte:

Die Wurzel ist keine bestimmte Zahl oder Potenz, sondern die Variable $a$. Auf den ersten Blick ist das etwas ungewöhnlich, aber in Wirklichkeit hat man es bei der Lösung mathematischer Probleme am häufigsten mit Variablen zu tun.
Am Ende ist es uns gelungen, den Radikalindikator und den Grad des radikalen Ausdrucks zu „reduzieren“. Das passiert ziemlich oft. Und das bedeutet, dass die Berechnungen deutlich vereinfacht werden konnten, wenn man nicht die Grundformel verwendet hat.

Sie könnten beispielsweise Folgendes tun:

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn man nicht alle Zwischenschritte detailliert beschreibt, reduziert sich am Ende der Rechenaufwand deutlich.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das Beispiel $\sqrt \cdot \sqrt $ gelöst haben. Nun lässt es sich viel einfacher schreiben:

Entzug des Führerscheins wegen Trunkenheit im Jahr 2018 Das Fahren unter Alkoholeinfluss ist einer der schwerwiegendsten Verstöße gegen die Verkehrsregeln. Gesetz vom 23. Juli 2013 Nr. 196-FZ […]

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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

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Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, als m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

Es ist bekannt, dass das Vorzeichen der Wurzel die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ist. Das Wurzelzeichen bedeutet jedoch nicht nur eine algebraische Aktion, sondern wird auch in der holzverarbeitenden Industrie verwendet – bei der Berechnung relativer Größen.

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Wenn Sie lernen möchten, wie man Wurzeln mit oder ohne Faktoren multipliziert, dann ist dieser Artikel genau das Richtige für Sie. Darin werden wir uns Methoden zur Wurzelmultiplikation ansehen:

keine Multiplikatoren;
mit Multiplikatoren;
mit unterschiedlichen Indikatoren.

Methode zur Wurzelmultiplikation ohne Faktoren

Aktionsalgorithmus:

Stellen Sie sicher, dass die Wurzel die gleichen Indikatoren (Grade) hat. Denken Sie daran, dass der Grad links über dem Wurzelzeichen steht. Wenn keine Gradangabe vorhanden ist, bedeutet dies, dass die Wurzel quadratisch ist, d. h. mit einer Potenz von 2 und kann mit anderen Wurzeln mit einer Potenz von 2 multipliziert werden.

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = ?

Beispiel 2: 10 × 5 = ?

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = 36

Beispiel 2: 10 × 5 = 50

Beispiel 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Vereinfachen Sie radikale Ausdrücke. Wenn wir Wurzeln miteinander multiplizieren, können wir den resultierenden Wurzelausdruck auf das Produkt der Zahl (oder des Ausdrucks) mit einem vollständigen Quadrat oder einer dritten Potenz vereinfachen:

Beispiel

Beispiel 1: 36 = 6. 36 ist die Quadratwurzel aus sechs (6 × 6 = 36).

Beispiel 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Wir zerlegen die Zahl 50 in das Produkt aus 25 und 2. Die Wurzel von 25 ist 5, also entfernen wir 5 unter dem Wurzelzeichen und vereinfachen den Ausdruck.

Beispiel 3: 27 3 = 3. Die Kubikwurzel von 27 ist 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Methode zur Multiplikation von Indikatoren mit Faktoren

Aktionsalgorithmus:

Faktoren multiplizieren. Der Multiplikator ist die Zahl, die vor dem Wurzelzeichen steht. Wenn kein Multiplikator vorhanden ist, wird er standardmäßig als eins betrachtet. Als nächstes müssen Sie die Faktoren multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12

Multiplizieren Sie Zahlen unter dem Wurzelzeichen. Nachdem Sie die Faktoren multipliziert haben, können Sie auch die Zahlen unter dem Wurzelzeichen multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Vereinfachen Sie den radikalen Ausdruck. Als nächstes sollten Sie die Werte, die unter dem Wurzelzeichen stehen, vereinfachen – Sie müssen die entsprechenden Zahlen über das Wurzelzeichen hinaus verschieben. Danach müssen Sie die Zahlen und Faktoren multiplizieren, die vor dem Wurzelzeichen stehen:

Beispiel

Beispiel 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Beispiel 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Methode zur Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Exponenten

Aktionsalgorithmus:

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Indikatoren. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch beide Exponenten teilbar ist.

Beispiel

Es ist notwendig, die LCM von Indikatoren für den folgenden Ausdruck zu finden:

Die Indikatoren sind 3 und 2. Für diese beiden Zahlen ist das kleinste gemeinsame Vielfache die Zahl 6 (sie ist ohne Rest durch 3 und 2 teilbar). Um Wurzeln zu multiplizieren, ist ein Exponent von 6 erforderlich.

Schreiben Sie jeden Ausdruck mit einem neuen Exponenten:

Finden Sie die Zahlen, mit denen Sie die Indikatoren multiplizieren müssen, um den LOC zu erhalten.

Im Ausdruck 5 3 müssen Sie 3 mit 2 multiplizieren, um 6 zu erhalten. Und im Ausdruck 2 2 - im Gegenteil, man muss mit 3 multiplizieren, um 6 zu erhalten.

Erhöhen Sie die Zahl unter dem Wurzelzeichen auf eine Potenz gleich der Zahl, die Sie im vorherigen Schritt gefunden haben. Für den ersten Ausdruck muss 5 mit 2 potenziert werden, und für den zweiten muss 2 mit 3 potenziert werden:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Potenzieren Sie den Ausdruck und schreiben Sie das Ergebnis unter das Wurzelzeichen:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Zahlen unter der Wurzel multiplizieren:

(8 × 25) 6

Notieren Sie das Ergebnis:

(8 × 25) 6 = 200 6

Wenn möglich, ist es notwendig, den Ausdruck zu vereinfachen, aber in in diesem Fall es ist nicht vereinfacht.

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