Beispiele für Figuren mit einem Symmetriezentrum. Spiegelsymmetrie kommt in der Architektur am häufigsten vor. Die Gebäude des alten Ägypten und die Tempel des antiken Griechenlands, Amphitheater, Bäder, Basiliken und Triumphbögen der Römer, Paläste und Kirchen der Renaissance sowie

„Symmetriepunkt“ – Eine solche Figur hat zentrale Symmetrie. Rotationssymmetrie. Alle Feststoffe bestehen aus Kristallen. Punkt O wird Symmetriezentrum genannt. Symmetrie in der Natur. Beispiele für die Symmetrie ebener Figuren. Ein Parallelogramm hat nur zentrale Symmetrie. Ein gerades Prisma ist spiegelsymmetrisch. Beispiele für die oben genannten Symmetrietypen.

„Zentrale Symmetrie in der Geometrie“ – Welcher Punkt sich bei zentraler Symmetrie in sich selbst verwandelt. Zeichnen Sie ein Dreieck symmetrisch zum Dreieck OAB. Hat ein Parallelogramm ein Symmetriezentrum? Eigenschaften. Welche Punkte werden in Bezug auf einen Punkt als symmetrisch bezeichnet? Zeichnen Sie das Dreieck A'B'C', symmetrisch zum Dreieck ABC. Gerade Linien mit zentraler Symmetrie verwandeln sich in sich selbst.

„Zentrale Symmetrie“ – Eigenschaften der zentralen Symmetrie. Symmetrie in der Kunst. Beispiele für Symmetrie in der Architektur. Zentrale Symmetrie ist Bewegung (Isometrie). IM DREIDIMENSIONALEN RAUM Die Zentralsymmetrie im dreidimensionalen Raum wird auch sphärische Symmetrie genannt. Arten der Symmetrie von Blumen und Pflanzen.

„Symmetrie um einen Punkt und eine Linie“ – Denken Sie nach! Die Symmetrie einer Figur um einen Punkt. Aufgaben. Aufgabe Konstruieren Sie einen Punkt C1 symmetrisch zum Punkt C relativ zur Geraden a. AO = OA1. 4. Sprechen Sie über Symmetrie in der Natur. Axiale und zentrale Symmetrie. Symmetrie auf der Koordinatenebene. Welcher dieser Buchstaben hat ein Symmetriezentrum? Welche dieser Figuren haben eine Symmetrieachse?

„Axiale und zentrale Symmetrie“ – Haben sie ein Symmetriezentrum: AO = VO, AB a Punkt C ist symmetrisch zu sich selbst relativ zur Geraden a. Die Punkte A und M heißen symmetrisch relativ zum Punkt O, wenn Punkt O die Mitte des Segments AM ist. Zentrale Symmetrie. Axiale Symmetrie. Die Gerade a wird als Symmetrieachse der Figur bezeichnet. Ein Segment, ein Strahl, ein Paar sich schneidender Linien, ein Quadrat?

„Achsen- und Zentralsymmetrien“ – 1) Wie viele Symmetrieachsen hat die Figur? 7) Finden Sie ein Objekt mit axialer und zentraler Symmetrie. Symmetrie der Pflanzen. Geometrische Ornamente. Symmetrie in der Tierwelt. 4) Finden Sie Figuren, die ein Symmetriezentrum und eine Achsensymmetrie haben. Symmetrie in der Architektur. 2) Finden Sie eine Figur, die keine zentrale Symmetrie aufweist.

Insgesamt gibt es 11 Vorträge

Mathematiklehrerin Kochkina L.K.

Thema AXIAL- UND ZENTRALSYMMETRIE

Ziel der Lektion:

Den Schülern wird beigebracht, symmetrische Punkte zu konstruieren und Figuren mit Achsen- und Zentralsymmetrie zu erkennen sowie räumliche Darstellungen zu bilden. Entwicklung der Beobachtungs- und Argumentationsfähigkeit; Entwicklung des Interesses am Thema durch den Einsatz von Informationstechnologie. Entwicklung der mathematischen Kompetenz der Studierenden. Einen Menschen erziehen, der Schönheit zu schätzen weiß.

Erwartetes Ergebnis Die Schüler sind in der Lage, symmetrische Figuren relativ zum Mittelpunkt und zur Linie zu konstruieren

Unterrichtsausrüstung:

Einsatz von Informationstechnologie (Präsentation).

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

Informieren Sie über das Thema der Lektion und formulieren Sie die Ziele der Lektion.

II. Präsentationsscreening: „Symmetrical World“(für Studierende)

III. Arbeit am Unterrichtsthema(in Gruppen arbeiten)

Die Studierenden bearbeiten Aufgaben selbstständig. Nach Abschluss werden Informationen ausgetauscht.

1 Option

Absatz 47

axiale Symmetrie

Option 2

Absatz 47

zentrale Symmetrie

Ja Nein

Ja Nein

Betrachten wir die Regeln für die Konstruktion symmetrischer Figuren.

1 .Zentrale Symmetrie ist Symmetrie um einen Punkt.

Die Punkte A und B sind symmetrisch in Bezug auf einen Punkt O, wenn Punkt O der Mittelpunkt des Segments AB ist.

Algorithmus zur Konstruktion einer zentralsymmetrischen Figur

Konstruieren wir ein Dreieck A 1 B 1 C 1, symmetrisch zum Dreieck ABC, relativ zum Mittelpunkt (Punkt) O.

Dafür:

Verbinden wir die Punkte A, B, C mit dem Mittelpunkt O und setzen wir diese Segmente fort;

2. Messen Sie die Segmente AO, VO, CO und legen Sie auf der anderen Seite des Punktes O entsprechende Segmente ab (AO=A 1 O 1, BO=B 1 O 1, CO=C 1 O 1);

3. Verbinden Sie die resultierenden Punkte mit den Segmenten A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1.

4. Erhalten ∆A 1 IN 1 MIT 1 symmetrisches ∆ABC.

Punkt O wird als Symmetriezentrum der Figur bezeichnet, und die Figur wird als zentralsymmetrisch bezeichnet.

Aufgabe Nr. 1 Die Abbildung zeigt einen Teil einer Figur, deren Symmetriezentrum der Punkt M ist. Erklären Sie deren Konstruktion

Aufgabe Nr. 2Überprüfen Sie mit Ihrem Tischnachbarn die Richtigkeit des Aufbaus der Figur aus Nr. 1. Konstruieren Sie in seinem Notizbuch ein Viereck und markieren Sie den Punkt O, der nicht zu diesem Viereck gehört. Nehmen Sie Ihr Notizbuch zurück und konstruieren Sie ein Viereck, das bezüglich des Punktes O symmetrisch zum gegebenen ist.

Überprüfen Sie, ob die Aufgabe korrekt abgeschlossen wurde.

2. Axiale Symmetrie – Dies ist die Symmetrie um die gezeichnete Achse (gerade Linie).

Die Punkte A und B sind symmetrisch zu einer Geraden a, wenn diese Punkte auf einer Geraden senkrecht zu dieser Linie liegen und den gleichen Abstand haben.

Die Symmetrieachse ist die gerade Kurve, entlang der die „Hälften“ zusammenfallen, und die Figur wird als symmetrisch um eine bestimmte Achse bezeichnet.

Algorithmus zum Konstruieren einer Figur, die bezüglich einer geraden Linie symmetrisch ist

Konstruieren wir ein Dreieck A 1 B 1 C 1, symmetrisch zum Dreieck ABC in Bezug auf die Gerade a.

Dafür:

1. Zeichnen wir gerade Linien von den Eckpunkten des Dreiecks ABC senkrecht zur Geraden a und setzen sie weiter fort.

2. Messen Sie die Abstände von den Eckpunkten des Dreiecks zu den resultierenden Punkten auf der Geraden und zeichnen Sie die gleichen Abstände auf der anderen Seite der Geraden ein.

3. Verbinden Sie die resultierenden Punkte mit den Segmenten A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1.

4. Erhalten ∆ A 1 IN 1 MIT 1 symmetrisches ∆ABC.

Aufgaben aus Lehrbuch Nr. 248-252, Nr. 261

Konstruieren Sie eine Figur, die bezüglich der Geraden a symmetrisch ist (an der Tafel und in Notizbüchern).

VI. Zusammenfassung der Lektion.

Reflexion Welche Arten von Symmetrie haben Sie in der Lektion kennengelernt?

Hausaufgaben:

Wiederholen Sie die Definitionen. Kreative Arbeit: Nachdem Sie das russische Alphabet (für Option 1) und das lateinische Alphabet (für Option 2) untersucht haben, wählen Sie die Buchstaben aus, die Symmetrie aufweisen. Präsentieren Sie die Forschungsergebnisse im A4-Format. Wer sich für dieses Thema interessiert, kann am Kreativprojekt „Symmetrie in meiner Lieblingsschule“ teilnehmen.

Aufgabe Nr. 4 Füllen Sie die Tabelle aus:

Liniensegment

Gerade

Strahl

Quadrat

Ein Symmetriezentrum

Unendlich viele Symmetriezentren

Eine Symmetrieachse

Zwei Symmetrieachsen

Vier Symmetrieachsen

Unendlich viele Symmetrieachsen

1 Option

Absatz 47

axiale Symmetrie

Option 2

Absatz 47

zentrale Symmetrie

Achsensymmetrie ist Symmetrie relativ zu ____________

Zentrale Symmetrie ist Symmetrie um ________________

Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch bezüglich der Geraden a, wenn ____________

Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch zum Punkt O, wenn_____________

Zeile a heißt _______________

Punkt O heißt_________________

Eine Figur heißt symmetrisch zur Geraden a, wenn für jeden Punkt der Figur ein zu ihr symmetrischer Punkt zu_________ gehört.

Eine Figur heißt symmetrisch zum Punkt O, wenn zu jedem Punkt der Figur ein dazu symmetrischer Punkt gehört zu________

Sind symmetrische Figuren im Vergleich zu geraden Figuren gleich?

Ja Nein

Sind um einen Punkt symmetrische Figuren gleich?

KAPITEL DREI

POLYeder

V. DAS KONZEPT DER SYMMETRIE RÄUMLICHER FIGUREN

99. Zentrale Symmetrie. Zwei Figuren gelten als symmetrisch in Bezug auf einen Punkt O im Raum, wenn jeder Punkt A einer Figur in der anderen Figur dem Punkt A entspricht, der auf der Geraden OA auf der anderen Seite des Punktes O liegt und einen Abstand gleich dem hat Abstand des Punktes A vom Punkt O (Abb. 114). Punkt O heißt Zentrum der Symmetrie Figuren.

Wir haben bereits ein Beispiel für solche symmetrischen Figuren im Raum gesehen (§ 53), als wir durch Fortsetzung der Kanten und Flächen eines Polyederwinkels über den Scheitelpunkt hinaus einen Polyederwinkel erhielten, der symmetrisch zu dem gegebenen ist. Die entsprechenden Segmente und Winkel, aus denen zwei symmetrische Figuren bestehen, sind einander gleich. Dennoch können die Figuren als Ganzes nicht als gleich bezeichnet werden: Sie können nicht miteinander kombiniert werden, da die Reihenfolge der Teile in einer Figur anders ist als in der anderen, wie wir am Beispiel der symmetrischen Polyederwinkel gesehen haben.

In einigen Fällen können symmetrische Figuren kombiniert werden, ihre nicht übereinstimmenden Teile fallen jedoch zusammen. Nehmen wir zum Beispiel einen rechten Dreieckswinkel (Abb. 115) mit einem Scheitelpunkt im Punkt O und den Kanten OX, OY, OZ.

Konstruieren wir einen symmetrischen Winkel OX"Y"Z". Der Winkel OXYZ kann mit OX"Y"Z" kombiniert werden, sodass die Kante OX mit OY zusammenfällt und die Kante OY mit OX" zusammenfällt. Wenn wir die entsprechenden Kanten OX mit OX" und OY mit OY" kombinieren, dann sind die Kanten OZ und OZ" in entgegengesetzte Richtungen gerichtet.

Bilden symmetrische Figuren zusammen einen geometrischen Körper, so spricht man von einem Symmetriezentrum dieses geometrischen Körpers. Wenn also ein gegebener Körper ein Symmetriezentrum hat, dann entspricht jeder zu diesem Körper gehörende Punkt einem symmetrischen Punkt, der ebenfalls zu diesem Körper gehört. Von den von uns betrachteten geometrischen Körpern hat das Symmetriezentrum zum Beispiel: 1) ein Parallelepiped, 2) ein Prisma, das an seiner Basis ein regelmäßiges Vieleck mit einer geraden Seitenzahl hat.

Ein regelmäßiger Tetraeder hat kein Symmetriezentrum.

100. Symmetrie relativ zur Ebene. Zwei räumliche Figuren heißen symmetrisch zur Ebene P, wenn jeder Punkt A in einer Figur einem Punkt A in der anderen entspricht und die Strecke AA" senkrecht zur Ebene P steht und am Schnittpunkt mit in zwei Hälften geteilt wird dieses Flugzeug.

Satz. Zwei entsprechende Segmente in zwei symmetrischen Figuren sind einander gleich.

Gegeben seien zwei Figuren, symmetrisch zur Ebene P. Wählen wir zwei Punkte A und B der ersten Figur aus, seien A" und B" die entsprechenden Punkte der zweiten Figur (Zeichnung 116, die Figuren sind es nicht). in der Zeichnung dargestellt).

Weiterhin sei C der Schnittpunkt des Segments AA" mit der Ebene P, D der Schnittpunkt des Segments BB" mit derselben Ebene. Indem wir die Punkte C und D mit einer Geraden verbinden, erhalten wir zwei Vierecke ABDC und A"B"DC. Da AC = A"C, BD = B"D und
/ ACD = / A.C.D. / BDC = / In "DC, als rechte Winkel, dann sind diese Vierecke gleich (was durch Überlagerung leicht überprüft werden kann). Folglich ist AB = A"B". Aus diesem Satz folgt sofort, dass die entsprechenden Ebenen- und Diederwinkel zweier Figuren symmetrisch sind mit In Bezug auf die Ebene sind sie gleich. Es ist jedoch unmöglich, diese beiden Figuren so miteinander zu kombinieren, dass ihre entsprechenden Teile kombiniert werden, da die Reihenfolge der Anordnung der Teile in einer Figur umgekehrt zu der ist, die in der anderen erfolgt (Dies wird weiter unten in § 102 bewiesen.) Das einfachste Beispiel für zwei Figuren, die relativ zur Ebene symmetrisch sind, sind: ein beliebiges Objekt und seine Reflexion in einem ebenen Spiegel; jede Figur, die mit ihrer Spiegelreflexion relativ zur Ebene des Objekts symmetrisch ist Spiegel.

Wenn ein beliebiger geometrischer Körper in zwei Teile geteilt werden kann, die bezüglich einer bestimmten Ebene symmetrisch sind, dann wird diese Ebene als Symmetrieebene dieses Körpers bezeichnet.

Geometrische Körper mit einer Symmetrieebene kommen in der Natur und im Alltag äußerst häufig vor. Der Körper von Mensch und Tier hat eine Symmetrieebene, die ihn in einen rechten und einen linken Teil unterteilt.

An diesem Beispiel wird besonders deutlich, dass symmetrische Figuren nicht kombiniert werden können. Somit sind die Hände der rechten und linken Hand symmetrisch, können aber nicht kombiniert werden, was sich zumindest daran erkennen lässt, dass der gleiche Handschuh nicht sowohl für die rechte als auch für die linke Hand passen kann. Viele Haushaltsgegenstände haben eine Symmetrieebene: ein Stuhl, ein Esstisch, ein Bücherregal, ein Sofa usw. Einige, wie zum Beispiel ein Esstisch, haben sogar nicht eine, sondern zwei Symmetrieebenen (Abb. 117). .

Wenn wir ein Objekt betrachten, das eine Symmetrieebene hat, streben wir normalerweise danach, eine solche Position im Verhältnis zu ihm einzunehmen, dass die Symmetrieebene unseres Körpers oder zumindest unseres Kopfes mit der Symmetrieebene des Objekts selbst zusammenfällt. In diesem Fall. Besonders auffällig ist die symmetrische Form des Objekts.

101. Symmetrie um die Achse. Symmetrieachse zweiter Ordnung. Zwei Figuren heißen symmetrisch bezüglich der l-Achse (die Achse ist eine Gerade), wenn jeder Punkt A der ersten Figur dem Punkt A" der zweiten Figur entspricht, so dass die Strecke AA" senkrecht zur l-Achse steht, schneidet es und wird am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt. Die l-Achse selbst wird als Symmetrieachse zweiter Ordnung bezeichnet.

Aus dieser Definition folgt sofort, dass, wenn zwei geometrische Körper, die um eine beliebige Achse symmetrisch sind, von einer Ebene senkrecht zu dieser Achse geschnitten werden, wir im Schnitt zwei flache Figuren erhalten, die um den Schnittpunkt der Ebene mit der Achse symmetrisch sind Symmetrie der Körper.

Daraus lässt sich weiter leicht ableiten, dass zwei um eine Achse symmetrische Körper miteinander kombiniert werden können, indem einer von ihnen um 180° um die Symmetrieachse gedreht wird. Stellen wir uns tatsächlich alle möglichen Ebenen senkrecht zur Symmetrieachse vor.

Jede solche Ebene, die beide Körper schneidet, enthält Figuren, die in Bezug auf den Punkt symmetrisch sind, an dem die Ebene die Symmetrieachse der Körper trifft. Zwingt man die Schnittebene dazu, sich selbständig zu verschieben, indem man sie um 180° um die Symmetrieachse des Körpers dreht, dann stimmt die erste Figur mit der zweiten überein.

Dies gilt für jede Schnittebene. Eine Drehung aller Körperteile um 180° entspricht einer Drehung des gesamten Körpers um 180° um die Symmetrieachse. Daraus ergibt sich die Gültigkeit unserer Aussage.

Wenn eine Raumfigur nach der Drehung um eine bestimmte Gerade um 180° mit sich selbst zusammenfällt, dann hat die Figur diese Gerade als Symmetrieachse zweiter Ordnung.

Der Name „Symmetrieachse zweiter Ordnung“ erklärt sich aus der Tatsache, dass der Körper während einer vollständigen Umdrehung um diese Achse im Rotationsprozess zweimal eine Position einnimmt, die mit der ursprünglichen (einschließlich der ursprünglichen) übereinstimmt. Beispiele für geometrische Körper, die eine Symmetrieachse zweiter Ordnung haben, sind:
1) eine regelmäßige Pyramide mit einer geraden Anzahl von Seitenflächen; seine Symmetrieachse ist seine Höhe;
2) rechteckiges Parallelepiped; es hat drei Symmetrieachsen: gerade Linien, die die Mittelpunkte seiner gegenüberliegenden Flächen verbinden;
3) regelmäßiges Prisma mit einer geraden Anzahl von Seitenflächen. Die Achse seiner Symmetrie ist jede gerade Linie, die die Mittelpunkte jedes Paars seiner gegenüberliegenden Flächen (die Seitenflächen und die beiden Basen des Prismas) verbindet. Wenn die Anzahl der Seitenflächen des Prismas 2 beträgt k, dann wird die Anzahl solcher Symmetrieachsen sein k+ 1. Darüber hinaus ist die Symmetrieachse für ein solches Prisma jede gerade Linie, die die Mittelpunkte seiner gegenüberliegenden Seitenkanten verbindet. Das Prisma hat solche Symmetrieachsen A.

Der richtige Wert ist also 2 k-facettiertes Prisma hat 2 k+1 Achsen, Symmetrie.

102. Abhängigkeit zwischen verschiedenen Arten von Symmetrie im Raum. Es gibt eine Beziehung zwischen verschiedenen Arten von Symmetrie im Raum – axial, planar und zentral – die durch den folgenden Satz ausgedrückt wird.

Satz. Wenn die Figur F symmetrisch zur Figur F" relativ zur Ebene P und gleichzeitig symmetrisch zur Figur F" relativ zum in der Ebene P liegenden Punkt O ist, dann sind die Figuren F" und F" symmetrisch relativ zu die Achse, die durch den Punkt O geht und senkrecht zur Ebene R steht.

Nehmen wir einen Punkt A von Abbildung F (Abb. 118). Es entspricht Punkt A" der Abbildung F" und Punkt A" der Abbildung F" (die Abbildungen F, F" und F" selbst sind in der Zeichnung nicht dargestellt).

Sei B der Schnittpunkt der Strecke AA" mit der Ebene P. Zeichnen wir die Ebene durch die Punkte A, A" und O. Diese Ebene steht senkrecht zur Ebene P, da sie durch die Gerade AA" geht. , senkrecht zu dieser Ebene. In der Ebene AA"O zeichnen wir eine Gerade OH senkrecht zu OB. Diese Gerade OH steht ebenfalls senkrecht auf der Ebene P. Als nächstes sei C der Schnittpunkt der Geraden AA und OH.

Im Dreieck AA"A"" verbindet das Segment BO die Mittelpunkte der Seiten AA" und AA", daher BO || AA"A", aber BO_|_OH, was AA"_|_OH bedeutet. Weiter, da O ist die Mittelpunktseiten AA", und CO || AA", dann A"C = A"C. Daraus schließen wir, dass die Punkte A" und A" symmetrisch in Bezug auf die OH-Achse sind. Dasselbe gilt für alle anderen Punkte der Figur. Das bedeutet, dass unser Satz lautet bewiesen. Aus diesem Satz folgt unmittelbar, dass zwei Figuren, die relativ zu einer Ebene symmetrisch sind, nicht so kombiniert werden können, dass ihre entsprechenden Teile kombiniert werden. Tatsächlich wird die Figur F" mit F" durch Rotation um das OH kombiniert Achse um 180°. Die Figuren F" und F können jedoch nicht symmetrisch zum Punkt kombiniert werden, daher können auch die Figuren F und F" nicht kombiniert werden.

103. Symmetrieachsen höherer Ordnungen. Eine Figur mit einer Symmetrieachse richtet sich nach einer Drehung um die Symmetrieachse um einen Winkel von 180° mit sich selbst aus. Es sind jedoch Fälle möglich, in denen die Figur nach einer Drehung um eine bestimmte Achse um einen Winkel von weniger als 180° wieder in ihre ursprüngliche Position zurückkehrt. Wenn also ein Körper eine vollständige Drehung um diese Achse ausführt, richtet er sich während des Rotationsvorgangs mehrmals auf seine ursprüngliche Position aus. Eine solche Rotationsachse wird als Symmetrieachse höherer Ordnung bezeichnet, und die Anzahl der Positionen des Körpers, die mit der ursprünglichen Position übereinstimmen, wird als Ordnung der Symmetrieachse bezeichnet. Diese Achse darf nicht mit der Symmetrieachse zweiter Ordnung übereinstimmen. Somit hat eine regelmäßige dreieckige Pyramide keine Symmetrieachse zweiter Ordnung, sondern ihre Höhe dient ihr als Symmetrieachse dritter Ordnung. Tatsächlich richtet sich diese Pyramide nach einer Drehung um die Höhe in einem Winkel von 120° auf sich selbst aus (Abb. 119).

Wenn sich die Pyramide um eine Höhe dreht, kann sie drei Positionen einnehmen, die mit der ursprünglichen Position übereinstimmen, einschließlich der ursprünglichen. Es ist leicht zu erkennen, dass jede Symmetrieachse gerader Ordnung gleichzeitig eine Symmetrieachse zweiter Ordnung ist.

Beispiele für Symmetrieachsen höherer Ordnung:

1) Richtig N-Eine Kohlenstoffpyramide hat eine Symmetrieachse N-te Ordnung. Diese Achse ist die Höhe der Pyramide.

2) Richtig N- Ein Kohlenstoffprisma hat eine Symmetrieachse N-te Ordnung. Diese Achse ist eine gerade Linie, die die Mittelpunkte der Prismenbasen verbindet.

104. Symmetrie des Würfels. Wie bei jedem Parallelepiped ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Würfels das Zentrum seiner Symmetrie.

Der Würfel hat neun Symmetrieebenen: sechs Diagonalebenen und drei Ebenen, die durch die Mittelpunkte aller vier seiner parallelen Kanten verlaufen.

Der Würfel hat neun Symmetrieachsen zweiter Ordnung: sechs Geraden, die die Mittelpunkte seiner gegenüberliegenden Kanten verbinden, und drei Geraden, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verbinden (Abb. 120).

Diese letzten Geraden sind Symmetrieachsen vierter Ordnung. Darüber hinaus hat der Würfel vier Symmetrieachsen dritter Ordnung, die seine Diagonalen sind. Tatsächlich ist die Diagonale des Würfels AG (Abb. 120) offensichtlich gleich stark zu den Kanten AB, AD und AE geneigt, und diese Kanten sind auch zueinander gleich geneigt. Wenn wir die Punkte B, D und E verbinden, erhalten wir eine regelmäßige dreieckige Pyramide ADBE, für die die Diagonale des Würfels AG als Höhe dient. Wenn sich diese Pyramide beim Drehen um die Höhe mit sich selbst ausrichtet, richtet sich der gesamte Würfel an seiner ursprünglichen Position aus. Wie man leicht erkennt, hat der Würfel keine weiteren Symmetrieachsen. Mal sehen, auf wie viele verschiedene Arten ein Würfel mit sich selbst kombiniert werden kann. Die Drehung um die gewöhnliche Symmetrieachse ergibt eine von der ursprünglichen Position abweichende Position des Würfels, in der der Würfel als Ganzes mit sich selbst ausgerichtet ist.

Eine Drehung um eine Achse dritter Ordnung erzeugt zwei solcher Positionen, und eine Drehung um eine Achse vierter Ordnung erzeugt drei solcher Positionen. Da der Würfel sechs Achsen zweiter Ordnung (das sind gewöhnliche Symmetrieachsen), vier Achsen dritter Ordnung und drei Achsen vierter Ordnung hat, gibt es 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 Positionen des Würfels, anders als das Original, bei dem es mit sich selbst kombiniert wird.

Es lässt sich leicht direkt überprüfen, dass sich alle diese Positionen voneinander und auch von der Ausgangsposition des Würfels unterscheiden. Zusammen mit der Ausgangsposition ergeben sie 24 Möglichkeiten, den Würfel mit sich selbst zu verbinden.

Was die Geometrie betrifft: Es gibt drei Haupttypen von Symmetrie.

Erstens, zentrale Symmetrie (oder Symmetrie um einen Punkt) - Dies ist eine Transformation der Ebene (oder des Raums), bei der ein einzelner Punkt (Punkt O - das Symmetriezentrum) an Ort und Stelle bleibt, während die übrigen Punkte ihre Position ändern: Anstelle von Punkt A erhalten wir Punkt A1, so dass Punkt O ist die Mitte des Segments AA1. Um eine Figur Ф1 zu konstruieren, die symmetrisch zur Figur Ф relativ zum Punkt O ist, müssen Sie durch jeden Punkt der Figur Ф einen Strahl zeichnen, der durch den Punkt O (Symmetriezentrum) verläuft, und auf diesem Strahl einen symmetrischen Punkt legen zu dem gewählten relativ zum Punkt O. Die auf diese Weise konstruierte Punktmenge ergibt die Figur F1.

Von großem Interesse sind Figuren, die ein Symmetriezentrum haben: Bei einer Symmetrie um den Punkt O verwandelt sich jeder Punkt der Figur Φ wieder in einen bestimmten Punkt der Figur Φ. Solche Figuren gibt es in der Geometrie viele. Zum Beispiel: ein Segment (die Mitte des Segments ist der Mittelpunkt der Symmetrie), eine gerade Linie (jeder Punkt davon ist der Mittelpunkt seiner Symmetrie), ein Kreis (der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt der Symmetrie), a Rechteck (der Schnittpunkt seiner Diagonalen ist das Symmetriezentrum). In der belebten und unbelebten Natur gibt es viele zentralsymmetrische Objekte (Studentenbotschaft). Oft erschaffen Menschen selbst Objekte, die eine Mittelpunktssymmetrie habenBeispiele (Beispiele aus dem Handwerk, Beispiele aus dem Maschinenbau, Beispiele aus der Architektur und viele weitere Beispiele).

Zweitens, Achsensymmetrie (oder Symmetrie um eine gerade Linie) - Dies ist eine Transformation einer Ebene (oder eines Raums), bei der nur die Punkte der Geraden p an Ort und Stelle bleiben (diese Gerade ist die Symmetrieachse), während die restlichen Punkte ihre Position ändern: statt Punkt B wir Ermitteln Sie einen Punkt B1, sodass die Gerade p die Mittelsenkrechte zum Segment BB1 ist. Um eine Figur Ф1 zu konstruieren, die symmetrisch zur Figur Ф relativ zur Geraden ð ist, muss für jeden Punkt der Figur Ф ein Punkt symmetrisch dazu relativ zur Geraden ð konstruiert werden. Die Menge aller dieser konstruierten Punkte ergibt die gewünschte Zahl F1. Es gibt viele geometrische Figuren, die eine Symmetrieachse haben.

Ein Rechteck hat zwei, ein Quadrat hat vier, ein Kreis hat eine beliebige gerade Linie, die durch seinen Mittelpunkt verläuft. Wenn Sie sich die Buchstaben des Alphabets genau ansehen, können Sie unter ihnen solche finden, die horizontale oder vertikale und manchmal auch beide Symmetrieachsen haben. Objekte mit Symmetrieachsen kommen in der belebten und unbelebten Natur recht häufig vor (Studierende berichten). In seiner Tätigkeit schafft ein Mensch viele Objekte (zum Beispiel Ornamente), die mehrere Symmetrieachsen haben.

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Drittens, Ebenen-(Spiegel-)Symmetrie (oder Symmetrie um eine Ebene) - Hierbei handelt es sich um eine Raumtransformation, bei der nur Punkte einer Ebene ihre Lage behalten (α-Symmetrieebene), die übrigen Raumpunkte ihre Lage ändern: Anstelle von Punkt C entsteht ein Punkt C1, durch den die Ebene α verläuft die Mitte des Segments CC1, senkrecht dazu.

Um eine Figur Ф1 zu konstruieren, die symmetrisch zur Figur Ф relativ zur Ebene α ist, ist es für jeden Punkt der Figur Ф notwendig, Punkte zu konstruieren, die relativ zu α symmetrisch sind; sie bilden in ihrer Menge die Figur Ф1.

Am häufigsten begegnen wir in der Welt der Dinge und Objekte um uns herum dreidimensionale Körper. Und einige dieser Körper haben Symmetrieebenen, manchmal sogar mehrere. Und der Mensch selbst erschafft in seinen Tätigkeiten (Bauen, Basteln, Modellieren, ...) Objekte mit Symmetrieebenen.

Es ist erwähnenswert, dass es neben den drei aufgeführten Symmetriearten (in der Architektur)tragbar und drehbar, die in der Geometrie Kompositionen aus mehreren Bewegungen sind.

Das Leben der Menschen ist voller Symmetrie. Es ist praktisch, schön und es besteht keine Notwendigkeit, neue Standards zu erfinden. Aber was ist es wirklich und ist es in der Natur so schön, wie allgemein angenommen wird?

Symmetrie

Seit jeher versuchen die Menschen, die Welt um sich herum zu organisieren. Daher gelten manche Dinge als schön, andere weniger. Aus ästhetischer Sicht gelten die goldenen und silbernen Schnitte als attraktiv, ebenso wie natürlich die Symmetrie. Dieser Begriff ist griechischen Ursprungs und bedeutet wörtlich „Verhältnismäßigkeit“. Natürlich sprechen wir nicht nur auf dieser Grundlage von Zufällen, sondern auch auf einigen anderen. Im Allgemeinen ist Symmetrie eine Eigenschaft eines Objekts, wenn aufgrund bestimmter Formationen das Ergebnis den Originaldaten entspricht. Es kommt sowohl in der belebten und unbelebten Natur als auch in von Menschen hergestellten Gegenständen vor.

Der Begriff „Symmetrie“ wird zunächst in der Geometrie verwendet, findet aber in vielen wissenschaftlichen Bereichen Anwendung und seine Bedeutung bleibt im Allgemeinen unverändert. Dieses Phänomen kommt recht häufig vor und wird als interessant angesehen, da sich einige seiner Typen sowie Elemente unterscheiden. Interessant ist auch die Verwendung von Symmetrie, da sie nicht nur in der Natur, sondern auch in Mustern auf Stoffen, Gebäuderändern und vielen anderen von Menschenhand geschaffenen Objekten zu finden ist. Es lohnt sich, dieses Phänomen genauer zu betrachten, denn es ist äußerst faszinierend.

Verwendung des Begriffs in anderen wissenschaftlichen Bereichen

Im Folgenden wird Symmetrie aus geometrischer Sicht betrachtet, es ist jedoch erwähnenswert, dass dieses Wort nicht nur hier verwendet wird. Biologie, Virologie, Chemie, Physik, Kristallographie – all dies ist eine unvollständige Liste von Bereichen, in denen dieses Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln und unter verschiedenen Bedingungen untersucht wird. Die Klassifizierung hängt beispielsweise davon ab, auf welche Wissenschaft sich dieser Begriff bezieht. Daher ist die Einteilung in Typen sehr unterschiedlich, obwohl einige grundlegende Typen möglicherweise durchgehend unverändert bleiben.

Einstufung

Es gibt mehrere Haupttypen der Symmetrie, von denen drei am häufigsten vorkommen:

Darüber hinaus werden auch in der Geometrie folgende Typen unterschieden; sie sind deutlich seltener, aber nicht weniger interessant:

• gleitend;
• rotierend;
• Punkt;
• progressiv;
• schrauben;
• Fraktal;
• usw.

In der Biologie werden alle Arten leicht unterschiedlich bezeichnet, obwohl sie im Wesentlichen gleich sein können. Die Einteilung in bestimmte Gruppen erfolgt auf der Grundlage des Vorhandenseins oder Fehlens sowie der Menge bestimmter Elemente wie Zentren, Ebenen und Symmetrieachsen. Sie sollten gesondert und detaillierter betrachtet werden.

Grundelemente

Das Phänomen weist bestimmte Merkmale auf, von denen eines zwangsläufig vorhanden ist. Zu den sogenannten Grundelementen zählen Ebenen, Mittelpunkte und Symmetrieachsen. Anhand ihres Vorhandenseins, Fehlens und ihrer Menge wird der Typ bestimmt.

Das Symmetriezentrum ist der Punkt innerhalb einer Figur oder eines Kristalls, an dem die Linien, die alle parallel zueinander verlaufenden Seiten paarweise verbinden, zusammenlaufen. Natürlich existiert es nicht immer. Wenn es Seiten gibt, zu denen es kein Parallelpaar gibt, kann ein solcher Punkt nicht gefunden werden, da er nicht existiert. Nach der Definition ist es offensichtlich, dass das Symmetriezentrum dasjenige ist, durch das eine Figur auf sich selbst gespiegelt werden kann. Ein Beispiel wäre zum Beispiel ein Kreis und ein Punkt in seiner Mitte. Dieses Element wird üblicherweise als C bezeichnet.

Die Symmetrieebene ist natürlich imaginär, aber genau sie teilt die Figur in zwei einander gleiche Teile. Es kann eine oder mehrere Seiten durchqueren, parallel dazu verlaufen oder diese teilen. Für dieselbe Figur können mehrere Ebenen gleichzeitig existieren. Diese Elemente werden üblicherweise mit P bezeichnet.

Aber vielleicht am gebräuchlichsten ist die sogenannte „Symmetrieachse“. Dies ist ein häufiges Phänomen, das sowohl in der Geometrie als auch in der Natur beobachtet werden kann. Und es verdient eine gesonderte Betrachtung.

Achsen

Oft ist das Element, in Bezug auf das eine Figur als symmetrisch bezeichnet werden kann

Es erscheint eine gerade Linie oder ein Segment. Es handelt sich jedenfalls nicht um einen Punkt oder eine Ebene. Dann werden die Zahlen betrachtet. Es kann viele davon geben, und sie können auf beliebige Weise angeordnet sein: die Seiten teilen oder parallel zu ihnen sein, aber auch Ecken schneiden oder nicht. Symmetrieachsen werden üblicherweise mit L bezeichnet.

Beispiele hierfür sind gleichschenklige und Im ersten Fall gibt es eine vertikale Symmetrieachse, auf deren beiden Seiten sich gleiche Flächen befinden, und im zweiten Fall schneiden die Linien jeden Winkel und fallen mit allen Winkelhalbierenden, Medianen und Höhen zusammen. Gewöhnliche Dreiecke haben dies nicht.

Die Gesamtheit aller oben genannten Elemente wird in der Kristallographie und Stereometrie übrigens als Symmetriegrad bezeichnet. Dieser Indikator hängt von der Anzahl der Achsen, Ebenen und Zentren ab.

Beispiele in der Geometrie

Herkömmlicherweise können wir die gesamte Menge der von Mathematikern untersuchten Objekte in Figuren mit und ohne Symmetrieachse unterteilen. Alle Kreise, Ovale sowie einige Sonderfälle fallen automatisch in die erste Kategorie, während der Rest in die zweite Gruppe fällt.

Wie im Fall, als wir über die Symmetrieachse eines Dreiecks sprachen, existiert dieses Element nicht immer für ein Viereck. Bei einem Quadrat, einem Rechteck, einer Raute oder einem Parallelogramm ist dies der Fall, bei einer unregelmäßigen Figur jedoch nicht. Bei einem Kreis ist die Symmetrieachse die Menge der Geraden, die durch seinen Mittelpunkt verlaufen.

Darüber hinaus ist es interessant, dreidimensionale Figuren unter diesem Gesichtspunkt zu betrachten. Zusätzlich zu allen regelmäßigen Vielecken und der Kugel haben einige Kegel sowie Pyramiden, Parallelogramme und einige andere mindestens eine Symmetrieachse. Jeder Fall muss gesondert betrachtet werden.

Beispiele in der Natur

Im Leben nennt man es bilateral, es kommt am häufigsten vor
oft. Jeder Mensch und viele Tiere sind ein Beispiel dafür. Der axiale wird als radial bezeichnet und kommt in der Pflanzenwelt in der Regel viel seltener vor. Und doch existieren sie. Es lohnt sich beispielsweise darüber nachzudenken, wie viele Symmetrieachsen ein Stern hat, und hat er überhaupt welche? Natürlich sprechen wir über Meereslebewesen und nicht über das Forschungsthema der Astronomen. Und die richtige Antwort wäre: Es kommt auf die Anzahl der Strahlen des Sterns an, zum Beispiel fünf, wenn er fünfzackig ist.

Darüber hinaus wird bei vielen Blumen eine Radialsymmetrie beobachtet: Gänseblümchen, Kornblumen, Sonnenblumen usw. Es gibt viele Beispiele, sie sind buchstäblich überall.

Arrhythmie

Dieser Begriff erinnert zunächst einmal an Medizin und Kardiologie, hat aber zunächst eine etwas andere Bedeutung. In diesem Fall ist das Synonym „Asymmetrie“, also das Fehlen oder die Verletzung der Regelmäßigkeit in der einen oder anderen Form. Es kann als Zufall vorkommen, und manchmal kann es zu einer wunderbaren Technik werden, zum Beispiel in Kleidung oder Architektur. Schließlich gibt es viele symmetrische Gebäude, aber das berühmte ist leicht geneigt, und obwohl es nicht das einzige, aber das berühmteste Beispiel ist. Es ist bekannt, dass dies zufällig geschah, aber das hat seinen eigenen Reiz.

Darüber hinaus ist offensichtlich, dass auch die Gesichter und Körper von Menschen und Tieren nicht vollständig symmetrisch sind. Es gibt sogar Studien, die zeigen, dass „richtige“ Gesichter als leblos oder einfach unattraktiv beurteilt werden. Dennoch sind die Wahrnehmung von Symmetrie und dieses Phänomen an sich erstaunlich und noch nicht vollständig erforscht und daher äußerst interessant.