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So identifizieren Sie Zeichen auf einer Zahlengeraden. Warum sind diese Methoden wirkungslos? Worauf basiert die Methode?

Erste Ebene

Intervallmethode. Der ultimative Leitfaden (2019)

Sie müssen diese Methode nur verstehen und wie Ihre Westentasche kennen! Schon allein deshalb, weil es zur Lösung rationaler Ungleichungen verwendet wird und weil die Lösung dieser Ungleichungen überraschend einfach ist, wenn man diese Methode richtig kennt. Etwas später verrate ich Ihnen ein paar Geheimnisse, wie Sie bei der Lösung dieser Ungleichungen Zeit sparen können. Na, sind Sie neugierig? Dann lass uns gehen!

Der Kern der Methode besteht darin, die Ungleichheit in Faktoren zu zerlegen (das Thema wiederholen) und die ODZ und das Vorzeichen der Faktoren zu bestimmen; jetzt erkläre ich alles. Nehmen wir das einfachste Beispiel: .

Der Bereich akzeptabler Werte () muss hier nicht angegeben werden, da keine Division durch die Variable erfolgt und hier keine Radikale (Wurzeln) beobachtet werden. Hier ist für uns alles bereits faktorisiert. Aber entspannen Sie sich nicht, das alles dient dazu, Sie an die Grundlagen zu erinnern und das Wesentliche zu verstehen!

Nehmen wir an, Sie kennen die Intervallmethode nicht. Wie würden Sie diese Ungleichung lösen? Gehen Sie logisch vor und bauen Sie auf dem auf, was Sie bereits wissen. Erstens ist die linke Seite größer als Null, wenn beide Ausdrücke in Klammern entweder größer als Null oder kleiner als Null sind, weil „plus“ für „plus“ ergibt „plus“ und „minus“ für „minus“ ergibt „plus“, oder? Und wenn die Vorzeichen der Klammerausdrücke unterschiedlich sind, dann ist die linke Seite am Ende kleiner als Null. Was brauchen wir, um die Werte herauszufinden, bei denen die Ausdrücke in Klammern negativ oder positiv sind?

Wir müssen eine Gleichung lösen, sie ist genau das Gleiche wie eine Ungleichung, nur dass es anstelle eines Vorzeichens ein Vorzeichen gibt. Die Wurzeln dieser Gleichung ermöglichen es uns, die Grenzwerte zu bestimmen, bei deren Abweichung die Faktoren größer werden oder kleiner als Null.

Und nun die Intervalle selbst. Was ist ein Intervall? Dies ist ein bestimmtes Intervall der Zahlengeraden, also alle möglichen Zahlen, die zwischen zwei Zahlen enthalten sind – die Enden des Intervalls. Es ist nicht so einfach, sich diese Intervalle im Kopf vorzustellen, daher ist es üblich, Intervalle zu zeichnen, das werde ich Ihnen jetzt beibringen.

Wir zeichnen eine Achse, auf der sich die gesamte Zahlenreihe von und bis befindet. Auf der Achse sind Punkte aufgetragen, die sogenannten Nullstellen der Funktion, die Werte, bei denen der Ausdruck gleich Null ist. Diese Punkte sind „festgesteckt“, was bedeutet, dass sie nicht zu den Werten gehören, bei denen die Ungleichung wahr ist. In diesem Fall werden sie punktiert, weil Vorzeichen in der Ungleichung und nicht, das heißt streng genommen größer als und nicht größer oder gleich.

Ich möchte sagen, dass es nicht notwendig ist, Null zu markieren, es ist hier ohne Kreise, sondern nur zum Verständnis und zur Orientierung entlang der Achse. Okay, wir haben die Achse gezeichnet, die Punkte (genauer gesagt Kreise) gesetzt, was kommt als Nächstes, wie wird mir das bei der Lösung helfen? - du fragst. Nehmen Sie nun einfach den Wert für x aus den Intervallen der Reihe nach, setzen Sie sie in Ihre Ungleichung ein und sehen Sie, welches Vorzeichen die Multiplikation ergibt.

Kurz gesagt, wir nehmen es einfach als Beispiel, ersetzen es hier, es wird funktionieren, was bedeutet, dass die Ungleichung über das gesamte Intervall (über das gesamte Intervall) von bis gültig sein wird, aus dem wir sie übernommen haben. Mit anderen Worten: Wenn x von bis ist, dann ist die Ungleichung wahr.

Dasselbe machen wir mit dem Intervall von bis, nehmen oder beispielsweise ersetzen in, bestimmen das Vorzeichen, das Vorzeichen wird „Minus“ sein. Und das Gleiche machen wir mit dem letzten, dritten Intervall von bis, wo sich das Vorzeichen als „Plus“ herausstellt. Es gibt so viel Text, aber nicht genug Klarheit, oder?

Schauen Sie sich die Ungleichheit noch einmal an.

Nun tragen wir auch die Vorzeichen, die sich dadurch ergeben, auf der gleichen Achse auf. In meinem Beispiel bezeichnet eine gestrichelte Linie den positiven und negativen Abschnitt der Achse.

Schauen Sie sich die Ungleichung an – auf die Zeichnung, noch einmal auf die Ungleichung – und noch einmal auf die Zeichnung, ist etwas klar? Versuchen Sie nun zu sagen, in welchen Intervallen X die Ungleichung wahr sein wird. Richtig, von bis gilt auch die Ungleichung von bis, aber im Intervall von bis ist die Ungleichung Null und dieses Intervall interessiert uns wenig, weil wir ein Vorzeichen in der Ungleichung haben.

Nun, da Sie es herausgefunden haben, müssen Sie nur noch die Antwort aufschreiben! Als Antwort schreiben wir die Intervalle, deren linke Seite größer als Null ist, was lautet, dass X zum Intervall von minus Unendlich bis minus Eins und von Zwei bis Plus Unendlich gehört. Es sollte klargestellt werden, dass die Klammern bedeuten, dass die Werte, durch die das Intervall begrenzt wird, keine Lösungen für die Ungleichung sind, das heißt, sie werden nicht in die Antwort einbezogen, sondern geben nur an, dass bis zum Beispiel kein a ist Lösung.

Nun ein Beispiel, in dem Sie nicht nur das Intervall einzeichnen müssen:

Was muss Ihrer Meinung nach getan werden, bevor Punkte auf die Achse gesetzt werden? Ja, zerlege es in Faktoren:

Wir zeichnen Intervalle und platzieren Zeichen. Beachten Sie, dass wir Punktpunkte haben, weil das Vorzeichen streng kleiner als Null ist:

Es ist an der Zeit, Ihnen ein Geheimnis zu verraten, das ich zu Beginn dieses Themas versprochen habe! Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass Sie nicht die Werte aus jedem Intervall ersetzen müssen, um das Vorzeichen zu bestimmen, sondern Sie können das Vorzeichen in einem der Intervalle bestimmen und die Vorzeichen im Rest einfach abwechseln!

So haben wir beim Anbringen der Schilder ein wenig Zeit gespart – ich denke, dieser Zeitgewinn beim Einheitlichen Staatsexamen wird nicht schaden!

Wir schreiben die Antwort:

Betrachten Sie nun ein Beispiel einer fraktional-rationalen Ungleichung – einer Ungleichung, deren beide Teile rationale Ausdrücke sind (siehe).

Was können Sie zu dieser Ungleichheit sagen? Und Sie betrachten es als eine gebrochen-rationale Gleichung. Was machen wir zuerst? Wir sehen sofort, dass es keine Wurzeln gibt, was bedeutet, dass es definitiv rational ist, aber dann ist es ein Bruch und sogar mit einer Unbekannten im Nenner!

Genau, wir brauchen ODZ!

Gehen wir also weiter: Hier haben alle Faktoren außer einem eine Variable ersten Grades, aber es gibt einen Faktor, bei dem x einen zweiten Grad hat. Normalerweise änderte sich unser Vorzeichen, nachdem wir einen der Punkte passiert hatten, an denen die linke Seite der Ungleichung den Wert Null annahm, für den wir bestimmt hatten, was x in jedem Faktor sein sollte. Aber hier ist es immer positiv, denn jede Zahl zum Quadrat > Null und ein positiver Term.

Glauben Sie, dass dies Auswirkungen auf die Bedeutung von Ungleichheit haben wird? Das ist richtig – es wird keine Auswirkungen haben! Wir können die Ungleichung sicher in beide Teile aufteilen und dadurch diesen Faktor entfernen, sodass er nicht störend wirkt.

Es ist an der Zeit, die Intervalle zu zeichnen; dazu müssen Sie diejenigen Grenzwerte bestimmen, ab denen die Multiplikatoren größer und kleiner als Null sein werden. Aber achten Sie darauf, dass es hier ein Vorzeichen gibt, das bedeutet, dass wir den Punkt, an dem die linke Seite der Ungleichung den Wert Null annimmt, nicht auswählen werden, er ist in der Anzahl der Lösungen enthalten, wir haben nur einen solchen Punkt, Dies ist der Punkt, an dem x gleich eins ist. Sollen wir den Punkt einfärben, an dem der Nenner negativ ist? - Natürlich nicht!

Der Nenner darf nicht Null sein, daher sieht das Intervall wie folgt aus:

Anhand dieses Diagramms können Sie die Antwort ganz einfach schreiben. Ich möchte nur sagen, dass Ihnen jetzt eine neue Art von Halterung zur Verfügung steht – quadratisch! Hier ist eine Klammer [ besagt, dass der Wert im Lösungsintervall enthalten ist, d.h. ist Teil der Antwort, diese Klammer entspricht einem ausgefüllten (nicht fixierten) Punkt auf der Achse.

Haben Sie die gleiche Antwort erhalten?

Wir zerlegen es in Faktoren und schieben alles zur Seite; schließlich müssen wir zum Vergleich nur rechts die Null stehen lassen:

Ich mache Sie darauf aufmerksam, dass ich bei der letzten Transformation, um sowohl im Zähler als auch im Nenner zu erhalten, beide Seiten der Ungleichung mit multipliziere. Denken Sie daran, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändert, wenn beide Seiten einer Ungleichung multipliziert werden!!!

Wir schreiben ODZ:

Andernfalls geht der Nenner auf Null und Sie können, wie Sie sich erinnern, nicht durch Null dividieren!

Stimmen Sie zu, die resultierende Ungleichung ist verlockend, Zähler und Nenner zu reduzieren! Dies ist nicht möglich; Sie könnten einige der Entscheidungen oder ODZ verlieren!

Versuchen Sie nun, die Punkte selbst auf die Achse zu legen. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass Sie beim Zeichnen von Punkten darauf achten müssen, dass ein Punkt mit einem Wert, der aufgrund des Vorzeichens auf der Achse schattiert dargestellt zu sein scheint, nicht schattiert wird, sondern schattiert wird ausgehöhlt! Warum fragst du? Und erinnern Sie sich an die ODZ, Sie werden nicht so durch Null dividieren?

Denken Sie daran: ODZ steht an erster Stelle! Wenn alle Ungleichungen und Gleichheitszeichen das eine sagen und die ODZ etwas anderes sagt, vertrauen Sie der ODZ, großartig und mächtig! Nun, Sie haben die Intervalle erstellt. Ich bin sicher, Sie haben meinen Hinweis zum Wechsel verstanden und es so hinbekommen (siehe Bild unten). Jetzt streichen Sie es durch und machen Sie diesen Fehler nicht noch einmal! Welcher Fehler? - du fragst.

Tatsache ist, dass in dieser Ungleichung der Faktor zweimal wiederholt wurde (erinnern Sie sich, wie Sie versucht haben, ihn zu reduzieren?). Wenn sich also ein Faktor in der Ungleichung gerade oft wiederholt, ändert sich das Vorzeichen beim Durchgang durch einen Punkt auf der Achse, der diesen Faktor auf Null setzt (in diesem Fall ein Punkt), nicht; wenn es ungerade ist , dann ändert sich das Vorzeichen!

Die folgende Achse mit Intervallen und Vorzeichen ist korrekt:

Und bitte beachten Sie, dass das Zeichen, an dem wir interessiert sind, nicht dasjenige ist, das am Anfang war (als wir die Ungleichung zum ersten Mal sahen, war das Zeichen da). Nach den Transformationen änderte sich das Vorzeichen in, was bedeutet, dass wir an Intervallen interessiert sind mit einem Schild.

Antwort:

Ich möchte auch sagen, dass es Situationen gibt, in denen es Wurzeln der Ungleichheit gibt, die in keinem Intervall enthalten sind. Als Antwort darauf werden sie in geschweiften Klammern geschrieben, zum Beispiel so: . Mehr zu solchen Situationen können Sie im Artikel Durchschnittsniveau lesen.

Fassen wir zusammen, wie man Ungleichungen mit der Intervallmethode löst:

Wir verschieben alles auf die linke Seite und lassen auf der rechten Seite nur Null übrig;
Wir finden ODZ;
Wir tragen alle Wurzeln der Ungleichung auf der Achse ein;
Wir nehmen ein beliebiges aus einem der Intervalle und bestimmen das Vorzeichen im Intervall, zu dem die Wurzel gehört, wechseln die Vorzeichen ab und achten dabei auf die Wurzeln, die sich in der Ungleichung mehrmals wiederholen; ob sich das Vorzeichen beim Durchlaufen ändert, hängt davon ab von der Gleichmäßigkeit oder Ungeradheit der Häufigkeit, mit der sie wiederholt werden oder nicht;
Als Antwort schreiben wir Intervalle, beobachten die punktierten und nicht punktierten Punkte (siehe ODZ) und platzieren die erforderlichen Klammertypen dazwischen.

Und schließlich unser Lieblingsabschnitt: „Do it yourself“!

Beispiele:

Antworten:

INTERVALLMETHODE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Lineare Funktion

Eine Funktion der Form heißt linear. Nehmen wir als Beispiel eine Funktion. Es ist positiv und negativ. Der Punkt ist der Nullpunkt der Funktion (). Lassen Sie uns die Vorzeichen dieser Funktion auf der Zahlenachse zeigen:

Wir sagen: „Die Funktion ändert das Vorzeichen, wenn sie durch den Punkt geht.“

Es ist ersichtlich, dass die Vorzeichen der Funktion der Position des Funktionsgraphen entsprechen: Liegt der Graph über der Achse, ist das Vorzeichen „ “, liegt er darunter, ist „ “.

Wenn wir die resultierende Regel auf eine beliebige lineare Funktion verallgemeinern, erhalten wir den folgenden Algorithmus:

Den Nullpunkt der Funktion finden;
Wir markieren es auf der Zahlenachse;
Wir bestimmen das Vorzeichen der Funktion auf gegenüberliegenden Seiten von Null.

Quadratische Funktion

Ich hoffe, Sie erinnern sich, wie man quadratische Ungleichungen löst? Wenn nicht, lesen Sie das Thema. Ich möchte Sie an die allgemeine Form einer quadratischen Funktion erinnern: .

Erinnern wir uns nun daran, welche Vorzeichen die quadratische Funktion hat. Sein Graph ist eine Parabel, und die Funktion nimmt das Vorzeichen „ “ für diejenigen an, bei denen die Parabel über der Achse liegt, und „ “ – wenn die Parabel unter der Achse liegt:

Wenn eine Funktion Nullstellen hat (Werte, bei denen), schneidet die Parabel die Achse in zwei Punkten – den Wurzeln der entsprechenden quadratischen Gleichung. Somit ist die Achse in drei Intervalle unterteilt und die Vorzeichen der Funktion ändern sich beim Durchgang durch jede Wurzel abwechselnd.

Ist es möglich, die Vorzeichen irgendwie zu bestimmen, ohne jedes Mal eine Parabel zu zeichnen?

Denken Sie daran, dass ein quadratisches Trinom faktorisiert werden kann:

Zum Beispiel: .

Markieren wir die Wurzeln auf der Achse:

Wir erinnern uns, dass sich das Vorzeichen einer Funktion nur beim Durchgang durch die Wurzel ändern kann. Machen wir uns diese Tatsache zunutze: Für jedes der drei Intervalle, in die die Achse durch Wurzeln unterteilt ist, reicht es aus, das Vorzeichen der Funktion nur an einem willkürlich gewählten Punkt zu bestimmen: An den übrigen Punkten des Intervalls ist das Vorzeichen gleich .

In unserem Beispiel: at sind beide Ausdrücke in Klammern positiv (Ersatz, zum Beispiel:). Wir setzen ein „ “-Zeichen auf die Achse:

Nun, wenn (z. B. Ersatz) beide Klammern negativ sind, was bedeutet, dass das Produkt positiv ist:

Das ist es Intervallmethode: Wenn wir die Vorzeichen der Faktoren in jedem Intervall kennen, bestimmen wir das Vorzeichen des gesamten Produkts.

Betrachten wir auch Fälle, in denen die Funktion keine oder nur eine Nullstelle hat.

Wenn sie nicht da sind, gibt es keine Wurzeln. Dies bedeutet, dass es keinen „Durchgang durch die Wurzel“ geben wird. Das bedeutet, dass die Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl nur ein Vorzeichen benötigt. Sie lässt sich leicht ermitteln, indem man sie in eine Funktion einsetzt.

Wenn es nur eine Wurzel gibt, berührt die Parabel die Achse, sodass sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchgang durch die Wurzel nicht ändert. Welche Regel können wir für solche Situationen aufstellen?

Wenn man eine solche Funktion faktorisiert, erhält man zwei identische Faktoren:

Und jeder quadratische Ausdruck ist nicht negativ! Daher ändert sich das Vorzeichen der Funktion nicht. In solchen Fällen markieren wir die Wurzel, durch die sich das Vorzeichen nicht ändert, indem wir sie mit einem Quadrat umkreisen:

Wir nennen eine solche Wurzel ein Vielfaches.

Intervallmethode in Ungleichungen

Jetzt kann jede quadratische Ungleichung gelöst werden, ohne eine Parabel zu zeichnen. Es reicht aus, nur die Vorzeichen der quadratischen Funktion auf der Achse zu platzieren und Intervalle abhängig vom Vorzeichen der Ungleichung auszuwählen. Zum Beispiel:

Lassen Sie uns die Wurzeln auf der Achse messen und die Zeichen platzieren:

Wir benötigen den Teil der Achse mit dem „ “-Zeichen; Da die Ungleichung nicht streng ist, werden auch die Wurzeln selbst in die Lösung einbezogen:

Betrachten Sie nun eine rationale Ungleichung – eine Ungleichung, deren beide Seiten rationale Ausdrücke sind (siehe).

Beispiel:

Alle Faktoren bis auf einen sind hier „linear“, das heißt, sie enthalten eine Variable nur in der ersten Potenz. Wir benötigen solche linearen Faktoren, um die Intervallmethode anzuwenden – das Vorzeichen ändert sich beim Durchgang durch ihre Wurzeln. Aber der Multiplikator hat überhaupt keine Wurzeln. Dies bedeutet, dass es immer positiv ist (überprüfen Sie es selbst) und daher das Vorzeichen der gesamten Ungleichung nicht beeinflusst. Das bedeutet, dass wir die linke und rechte Seite der Ungleichung dadurch dividieren und sie so loswerden können:

Jetzt ist alles wie bei quadratischen Ungleichungen: Wir bestimmen, an welchen Punkten jeder der Faktoren Null wird, markieren diese Punkte auf der Achse und ordnen die Vorzeichen an. Ich möchte Sie auf eine sehr wichtige Tatsache aufmerksam machen:

Antwort: . Beispiel: .

Um die Intervallmethode anzuwenden, muss einer der Teile der Ungleichung haben. Verschieben wir daher die rechte Seite nach links:

Zähler und Nenner haben den gleichen Faktor, aber reduzieren Sie ihn nicht überstürzt! Denn dann könnten wir vergessen, diesen Punkt hervorzuheben. Es ist besser, diese Wurzel als Vielfaches zu markieren, d. h. beim Durchlaufen ändert sich das Vorzeichen nicht:

Antwort: .

Und noch ein sehr anschauliches Beispiel:

Auch hier heben wir nicht die gleichen Faktoren von Zähler und Nenner auf, denn wenn wir das tun, müssen wir besonders daran denken, den Punkt zu punktieren.

: wiederholt;
: Zeiten;
: Zeiten (im Zähler und eins im Nenner).

Bei einer geraden Zahl machen wir dasselbe wie zuvor: Wir umkreisen den Punkt mit einem Quadrat und ändern beim Durchgang durch die Wurzel das Vorzeichen nicht. Bei einer ungeraden Zahl gilt diese Regel jedoch nicht: Das Vorzeichen ändert sich beim Durchgang durch die Wurzel trotzdem. Deshalb machen wir mit einer solchen Wurzel nichts weiter, als wäre sie kein Vielfaches. Die oben genannten Regeln gelten für alle geraden und ungeraden Potenzen.

Was sollen wir in die Antwort schreiben?

Wenn der Zeichenwechsel verletzt wird, müssen Sie sehr vorsichtig sein, denn wenn die Ungleichung nicht streng ist, sollte die Antwort enthalten alle schattierten Punkte. Einige von ihnen stehen jedoch häufig abseits, sind also nicht im schattierten Bereich enthalten. In diesem Fall fügen wir sie als isolierte Punkte (in geschweiften Klammern) zur Antwort hinzu:

Beispiele (entscheide selbst):

Antworten:

Wenn es unter den Faktoren einfach ist, ist es eine Wurzel, weil es dargestellt werden kann als.
.

INTERVALLMETHODE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Intervallmethode wird zur Lösung rationaler Ungleichungen verwendet. Es besteht darin, das Vorzeichen des Produkts aus den Vorzeichen der Faktoren in verschiedenen Intervallen zu bestimmen.

Algorithmus zur Lösung rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode.

Wir verschieben alles auf die linke Seite und lassen auf der rechten Seite nur Null übrig;
Wir finden ODZ;
Wir tragen alle Wurzeln der Ungleichung auf der Achse ein;
Wir nehmen ein beliebiges aus einem der Intervalle und bestimmen das Vorzeichen im Intervall, zu dem die Wurzel gehört, wechseln die Vorzeichen ab und achten dabei auf die Wurzeln, die sich in der Ungleichung mehrmals wiederholen; ob sich das Vorzeichen beim Durchlaufen ändert, hängt davon ab von der Gleichmäßigkeit oder Ungeradheit der Häufigkeit, mit der sie wiederholt werden oder nicht;
Als Antwort schreiben wir Intervalle, beobachten die punktierten und nicht punktierten Punkte (siehe ODZ) und platzieren die erforderlichen Klammertypen dazwischen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

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Zunächst ein kleiner Text, um ein Gefühl für das Problem zu bekommen, das die Intervallmethode löst. Nehmen wir an, wir müssen die folgende Ungleichung lösen:

(x − 5)(x + 3) > 0

Was sind die Möglichkeiten? Das erste, was den meisten Schülern in den Sinn kommt, sind die Regeln „Plus auf Plus ergibt Plus“ und „Minus auf Minus ergibt Plus“. Daher genügt es, den Fall zu betrachten, dass beide Klammern positiv sind: x − 5 > 0 und x + 3 > 0. Dann betrachten wir auch den Fall, dass beide Klammern negativ sind: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Fortgeschrittenere Schüler werden sich (vielleicht) daran erinnern, dass links eine quadratische Funktion steht, deren Graph eine Parabel ist. Darüber hinaus schneidet diese Parabel die OX-Achse in den Punkten x = 5 und x = −3. Für weitere Arbeiten müssen Sie die Klammern öffnen. Wir haben:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nun ist klar, dass die Äste der Parabel nach oben gerichtet sind, denn Koeffizient a = 1 > 0. Versuchen wir, ein Diagramm dieser Parabel zu zeichnen:

Die Funktion ist dort größer als Null, wo sie über der OX-Achse verläuft. In unserem Fall sind das die Intervalle (−∞ −3) und (5; +∞) – das ist die Antwort.

Bitte beachten Sie: Das Bild zeigt genau Funktionsdiagramm, nicht ihr Zeitplan. Denn für ein echtes Diagramm müssen Sie Koordinaten zählen, Verschiebungen berechnen und anderen Mist, den wir im Moment überhaupt nicht brauchen.

Warum sind diese Methoden wirkungslos?

Wir haben also zwei Lösungen für dieselbe Ungleichung betrachtet. Beides erwies sich als recht umständlich. Die erste Entscheidung fällt – denken Sie einfach darüber nach! — eine Reihe von Ungleichheitssystemen. Auch die zweite Lösung ist nicht besonders einfach: Sie müssen sich den Graphen der Parabel und eine Reihe anderer kleiner Fakten merken.

Es war eine ganz einfache Ungleichheit. Es gibt nur 2 Multiplikatoren. Stellen Sie sich nun vor, dass es nicht 2, sondern mindestens 4 Multiplikatoren geben wird. Zum Beispiel:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Wie kann eine solche Ungleichheit gelöst werden? Alle möglichen Kombinationen von Vor- und Nachteilen durchgehen? Ja, wir werden schneller einschlafen, als wir eine Lösung finden. Auch das Zeichnen eines Graphen ist keine Option, da nicht klar ist, wie sich eine solche Funktion auf der Koordinatenebene verhält.

Für solche Ungleichungen ist ein spezieller Lösungsalgorithmus erforderlich, den wir heute betrachten werden.

Was ist die Intervallmethode?

Die Intervallmethode ist ein spezieller Algorithmus zur Lösung komplexer Ungleichungen der Form f (x) > 0 und f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Lösen Sie die Gleichung f (x) = 0. Somit erhalten wir anstelle einer Ungleichung eine Gleichung, die viel einfacher zu lösen ist;
Markieren Sie alle erhaltenen Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Somit wird die Gerade in mehrere Intervalle unterteilt;
Finden Sie das Vorzeichen (Plus oder Minus) der Funktion f (x) im Intervall ganz rechts heraus. Dazu reicht es aus, in f (x) eine beliebige Zahl einzusetzen, die rechts von allen markierten Wurzeln liegt;
Markieren Sie die Schilder in den verbleibenden Abständen. Denken Sie dazu daran, dass sich beim Durchlaufen jeder Wurzel das Vorzeichen ändert.

Das ist alles! Danach müssen wir nur noch die Intervalle aufschreiben, die uns interessieren. Sie sind mit einem „+“-Zeichen gekennzeichnet, wenn die Ungleichung die Form f (x) > 0 hatte, oder mit einem „−“-Zeichen, wenn die Ungleichung die Form f (x) hatte.< 0.

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass die Intervallmethode eine Art Blechsache ist. Aber in der Praxis wird alles sehr einfach sein. Üben Sie einfach ein wenig und alles wird klar. Schauen Sie sich die Beispiele an und überzeugen Sie sich selbst:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

(x − 2)(x + 7)< 0

Wir arbeiten mit der Intervallmethode. Schritt 1: Ersetzen Sie die Ungleichung durch eine Gleichung und lösen Sie sie:

(x − 2)(x + 7) = 0

Das Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Wir haben zwei Wurzeln. Fahren wir mit Schritt 2 fort: Markieren Sie diese Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Wir haben:

Jetzt Schritt 3: Finden Sie das Vorzeichen der Funktion im Intervall ganz rechts (rechts vom markierten Punkt x = 2). Dazu müssen Sie eine beliebige Zahl nehmen, die größer als die Zahl x = 2 ist. Nehmen wir zum Beispiel x = 3 (aber niemand verbietet die Annahme von x = 4, x = 10 und sogar x = 10.000). Wir bekommen:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Wir stellen fest, dass f (3) = 10 > 0 ist, also setzen wir ein Pluszeichen in das ganz rechte Intervall.

Kommen wir zum letzten Punkt – wir müssen die Zeichen in den verbleibenden Intervallen beachten. Wir erinnern uns, dass sich beim Durchgang durch jede Wurzel das Vorzeichen ändern muss. Zum Beispiel steht rechts von der Wurzel x = 2 ein Plus (das haben wir im vorherigen Schritt sichergestellt), also muss links ein Minus stehen.

Dieses Minus erstreckt sich über das gesamte Intervall (−7; 2), sodass sich rechts von der Wurzel x = −7 ein Minus befindet. Daher gibt es links von der Wurzel x = −7 ein Plus. Es bleibt, diese Zeichen auf der Koordinatenachse zu markieren. Wir haben:

Kehren wir zur ursprünglichen Ungleichung zurück, die die Form hatte:

(x − 2)(x + 7)< 0

Die Funktion muss also kleiner als Null sein. Das bedeutet, dass wir uns für das Minuszeichen interessieren, das nur in einem Intervall vorkommt: (−7; 2). Das wird die Antwort sein.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Schritt 1: Linke Seite auf Null setzen:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Denken Sie daran: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Deshalb haben wir das Recht, jede einzelne Klammer mit Null gleichzusetzen.

Schritt 2: Markieren Sie alle Wurzeln auf der Koordinatenlinie:

Schritt 3: Ermitteln Sie das Vorzeichen der Lücke ganz rechts. Wir nehmen jede Zahl an, die größer als x = 1 ist. Beispielsweise können wir x = 10 annehmen. Wir haben:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Schritt 4: Anbringen der restlichen Schilder. Wir erinnern uns, dass sich beim Durchgang durch jede Wurzel das Vorzeichen ändert. Als Ergebnis wird unser Bild so aussehen:

Das ist alles. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich die ursprüngliche Ungleichung noch einmal an:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Dies ist eine Ungleichung der Form f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Das ist die Antwort.

Ein Hinweis zu Funktionszeichen

Die Praxis zeigt, dass die größten Schwierigkeiten bei der Intervallmethode in den letzten beiden Schritten auftreten, also beim Platzieren von Schildern. Viele Schüler beginnen verwirrt zu sein: Welche Zahlen sollen sie nehmen und wo sie die Zeichen anbringen sollen.

Um die Intervallmethode endgültig zu verstehen, betrachten Sie zwei Beobachtungen, auf denen sie basiert:

Eine stetige Funktion ändert nur an diesen Punkten das Vorzeichen wo es gleich Null ist. Solche Punkte teilen die Koordinatenachse in Teile auf, innerhalb derer sich das Vorzeichen der Funktion nie ändert. Deshalb lösen wir die Gleichung f(x) = 0 und markieren die gefundenen Nullstellen auf der Geraden. Die gefundenen Zahlen sind „Grenzwerte“, die die Vor- und Nachteile trennen.
Um das Vorzeichen einer Funktion in einem beliebigen Intervall herauszufinden, reicht es aus, eine beliebige Zahl aus diesem Intervall in die Funktion einzusetzen. Zum Beispiel haben wir für das Intervall (−5; 6) das Recht, x = −4, x = 0, x = 4 und sogar x = 1,29374 anzunehmen, wenn wir wollen. Warum ist es wichtig? Ja, denn bei vielen Studierenden beginnen Zweifel zu nagen. Was wäre beispielsweise, wenn wir für x = −4 ein Plus und für x = 0 ein Minus erhalten würden? Aber so etwas wird nie passieren. Alle Punkte im gleichen Intervall geben das gleiche Vorzeichen. Merk dir das.

Das ist alles, was Sie über die Intervallmethode wissen müssen. Natürlich haben wir es in seiner einfachsten Form analysiert. Es gibt komplexere Ungleichungen – nicht strenge, gebrochene und mit wiederholten Wurzeln. Sie können für sie auch die Intervallmethode verwenden, dies ist jedoch ein Thema für eine separate große Lektion.

Jetzt möchte ich mir eine fortgeschrittene Technik ansehen, die die Intervallmethode erheblich vereinfacht. Genauer gesagt betrifft die Vereinfachung nur den dritten Schritt – die Berechnung des Vorzeichens am äußersten rechten Teil der Linie. Aus irgendeinem Grund wird diese Technik nicht in Schulen gelehrt (zumindest hat mir das niemand erklärt). Aber vergebens – denn tatsächlich ist dieser Algorithmus sehr einfach.

Das Vorzeichen der Funktion befindet sich also auf dem rechten Teil der Zahlengeraden. Dieses Stück hat die Form (a ; +∞), wobei a die größte Wurzel der Gleichung f (x) = 0 ist. Um Sie nicht umzuhauen, betrachten wir ein konkretes Beispiel:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Wir haben 3 Wurzeln. Listen wir sie in aufsteigender Reihenfolge auf: x = −2, x = 1 und x = 7. Offensichtlich ist die größte Wurzel x = 7.

Für diejenigen, denen es einfacher ist, grafisch zu argumentieren, werde ich diese Wurzeln auf der Koordinatenlinie markieren. Mal sehen was passiert:

Es ist erforderlich, das Vorzeichen der Funktion f (x) im Intervall ganz rechts zu finden, d.h. zu (7; +∞). Aber wie wir bereits bemerkt haben, können Sie zur Bestimmung des Vorzeichens eine beliebige Zahl aus diesem Intervall nehmen. Sie können beispielsweise x = 8, x = 150 usw. annehmen. Und jetzt – die gleiche Technik, die in Schulen nicht gelehrt wird: Nehmen wir die Unendlichkeit als Zahl. Etwas präziser, plus unendlich, d.h. +∞.

"Bist du bekifft? Wie kann man die Unendlichkeit in eine Funktion einsetzen?“ - könnten Sie fragen. Aber denken Sie darüber nach: Wir brauchen nicht den Wert der Funktion selbst, sondern nur das Vorzeichen. Daher bedeuten beispielsweise die Werte f (x) = −1 und f (x) = −938 740 576 215 dasselbe: Die Funktion auf diesem Intervall ist negativ. Daher müssen Sie lediglich das Zeichen finden, das im Unendlichen erscheint, und nicht den Wert der Funktion.

Tatsächlich ist das Ersetzen der Unendlichkeit sehr einfach. Kehren wir zu unserer Funktion zurück:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Stellen Sie sich vor, dass x eine sehr große Zahl ist. Milliarden oder sogar Billionen. Sehen wir uns nun an, was in jeder Klammer passiert.

Erste Klammer: (x − 1). Was passiert, wenn man von einer Milliarde eins abzieht? Das Ergebnis wird eine Zahl sein, die sich nicht wesentlich von einer Milliarde unterscheidet, und diese Zahl wird positiv sein. Ebenso mit der zweiten Klammer: (2 + x). Wenn Sie eine Milliarde zu zwei addieren, erhalten Sie eine Milliarde und Kopeken – das ist eine positive Zahl. Zum Schluss noch die dritte Klammer: (7 − x). Hier wird es eine Minusmilliarde geben, von der ein erbärmliches Stück in Form einer Sieben „abgenagt“ wurde. Diese. Die resultierende Zahl wird sich nicht wesentlich von minus einer Milliarde unterscheiden – sie wird negativ sein.

Es bleibt nur noch, das Zeichen des gesamten Werkes zu finden. Da wir in der ersten Klammer ein Plus und in der letzten ein Minus hatten, erhalten wir die folgende Konstruktion:

(+) · (+) · (−) = (−)

Das letzte Zeichen ist Minus! Dabei spielt es keine Rolle, welchen Wert die Funktion selbst hat. Hauptsache, dieser Wert ist negativ, d.h. Das Intervall ganz rechts hat ein Minuszeichen. Jetzt bleibt nur noch der vierte Schritt der Intervallmethode: Ordnen Sie alle Zeichen an. Wir haben:

Die ursprüngliche Ungleichung war:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Daher interessieren uns die mit einem Minuszeichen gekennzeichneten Intervalle. Wir schreiben die Antwort auf:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Das ist der ganze Trick, den ich dir sagen wollte. Abschließend ist hier eine weitere Ungleichung, die mit der Intervallmethode unter Verwendung der Unendlichkeit gelöst werden kann. Um die Lösung optisch abzukürzen, werde ich auf Schrittnummern und ausführliche Kommentare verzichten. Ich werde nur das schreiben, was Sie wirklich schreiben müssen, wenn Sie echte Probleme lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Wir ersetzen die Ungleichung durch eine Gleichung und lösen sie:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Wir markieren alle drei Wurzeln auf der Koordinatenlinie (mit Vorzeichen gleichzeitig):

Auf der rechten Seite der Koordinatenachse befindet sich ein Plus, weil die Funktion sieht so aus:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Und wenn wir Unendlich ersetzen (zum Beispiel eine Milliarde), erhalten wir drei positive Klammern. Da der ursprüngliche Ausdruck größer als Null sein muss, interessieren uns nur die positiven Ergebnisse. Jetzt bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Intervallmethode(oder wie es manchmal als Intervallmethode bezeichnet wird) ist eine universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen. Es eignet sich zum Lösen einer Vielzahl von Ungleichungen, ist jedoch am bequemsten zu lösen rationale Ungleichheiten mit einer Variablen. Daher ist die Intervallmethode im Schulalgebrakurs eng mit rationalen Ungleichungen verknüpft und der Lösung anderer Ungleichungen mit ihrer Hilfe wird praktisch keine Aufmerksamkeit geschenkt.

In diesem Artikel analysieren wir die Intervallmethode im Detail und gehen auf alle Feinheiten der Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen ein. Beginnen wir mit der Vorstellung eines Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mithilfe der Intervallmethode. Als nächstes erklären wir, auf welchen theoretischen Aspekten er basiert, und analysieren die Schritte des Algorithmus, insbesondere gehen wir ausführlich auf die Bestimmung von Vorzeichen auf Intervallen ein. Danach werden wir mit der Übung fortfahren und Lösungen für einige typische Beispiele zeigen. Und abschließend betrachten wir die Intervallmethode in allgemeiner Form (also ohne Bezug auf rationale Ungleichungen), also die verallgemeinerte Intervallmethode.

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Algorithmus

Die Bekanntschaft mit der Intervallmethode in der Schule beginnt mit der Lösung von Ungleichungen der Form f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >oder ≥), wobei f(x) entweder als Produkt dargestellt wird lineare Binome mit 1 für Variable x und/oder quadratische Trinome mit einem führenden Koeffizienten von 1 und mit einer negativen Diskriminante und ihren Graden bzw. dem Verhältnis solcher Polynome. Zur Verdeutlichung geben wir Beispiele für solche Ungleichungen: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Um das weitere Gespräch inhaltlich zu gestalten, schreiben wir sofort einen Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen des oben genannten Typs mithilfe der Intervallmethode auf und finden dann heraus, was, wie und warum. Also mit der Intervallmethode:

Zunächst werden die Nullstellen des Zählers und die Nullstellen des Nenners ermittelt. Dazu sind Zähler und Nenner des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung gleich Null und die resultierenden Gleichungen werden gelöst.
Danach werden die Punkte, die den gefundenen Nullstellen entsprechen, mit Strichen markiert. Es genügt eine schematische Zeichnung, bei der nicht auf den Maßstab geachtet werden muss, Hauptsache man muss sich an die Lage der Punkte zueinander halten: Der Punkt mit der kleineren Koordinate liegt links vom Punkt mit größere Koordinate. Danach wird klar, wie sie dargestellt werden sollen: regelmäßig oder punktiert (mit leerem Zentrum). Beim Lösen einer strengen Ungleichung (mit Vorzeichen< или >) Alle Punkte werden als punktiert dargestellt. Beim Lösen einer nicht strikten Ungleichung (mit einem Vorzeichen ≤ oder ≥) werden die den Nullstellen des Nenners entsprechenden Punkte punktiert und die verbleibenden mit Bindestrichen markierten Punkte sind gewöhnlich. Diese Punkte unterteilen die Koordinatenlinie in mehrere numerische Intervalle.
Als nächstes werden die Vorzeichen des Ausdrucks f(x) auf der linken Seite der Ungleichung bestimmt, die in jedem Intervall gelöst wird (wir werden in einem der folgenden Absätze detailliert beschreiben, wie dies geschieht), und + oder − werden darüber platziert sie gemäß den darauf definierten Zeichen.
Schließlich bei der Lösung der vorzeichenbehafteten Ungleichung< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >oder ≥ - über Leerzeichen, die mit einem +-Zeichen gekennzeichnet sind. Das Ergebnis ist die gewünschte Lösung der Ungleichung.

Beachten Sie, dass der obige Algorithmus mit der Beschreibung der Intervallmethode in Schulbüchern übereinstimmt.

Worauf basiert die Methode?

Der der Intervallmethode zugrunde liegende Ansatz erfolgt aufgrund der folgenden Eigenschaft einer stetigen Funktion: Wenn die Funktion f auf dem Intervall (a, b) stetig ist und nicht verschwindet, dann behält sie auf diesem Intervall ein konstantes Vorzeichen (wir würden Fügen Sie hinzu, dass eine ähnliche Eigenschaft auch für die Zahlenstrahlen (−∞, a) und (a, +∞) gilt. Und diese Eigenschaft wiederum ergibt sich aus dem Bolzano-Cauchy-Theorem (seine Betrachtung geht über den Rahmen des Schullehrplans hinaus), dessen Formulierung und ggf. Beweis beispielsweise im Buch zu finden ist.

Für Ausdrücke f(x) mit der im vorherigen Absatz angegebenen Form kann die Konstanz des Vorzeichens in Intervallen auf andere Weise begründet werden, ausgehend von den Eigenschaften numerischer Ungleichungen und unter Berücksichtigung der Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit denselben Zeichen und verschiedene Zeichen.

Betrachten Sie als Beispiel die Ungleichung. Die Nullstellen seines Zählers und Nenners teilen den Zahlenstrahl in drei Intervalle (−∞, −1), (−1, 5) und (5, +∞). Zeigen wir, dass im Intervall (−∞, −1) der Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung ein konstantes Vorzeichen hat (wir können ein anderes Intervall nehmen, die Argumentation wird ähnlich sein). Nehmen wir eine beliebige Zahl t aus diesem Intervall. Es wird offensichtlich die Ungleichung t erfüllen<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Wir sind also problemlos an die Frage herangegangen, Vorzeichen in Intervallen zu bestimmen, werden aber den ersten Schritt der Intervallmethode, bei dem es darum geht, die Nullstellen von Zähler und Nenner zu finden, nicht überspringen.

Wie finde ich die Nullstellen von Zähler und Nenner?

Das Finden der Nullstellen von Zähler und Nenner eines Bruchs der im ersten Absatz angegebenen Art bereitet normalerweise keine Probleme. Dazu werden die Ausdrücke aus Zähler und Nenner gleich Null gesetzt und die resultierenden Gleichungen gelöst. Das Prinzip der Lösung derartiger Gleichungen wird im Artikel ausführlich beschrieben Lösen von Gleichungen durch Faktorisierungsmethode. Wir beschränken uns hier lediglich auf ein Beispiel.

Betrachten Sie den Bruch und finden Sie die Nullstellen seines Zählers und Nenners. Beginnen wir mit den Nullstellen des Zählers. Setzen wir den Zähler mit Null gleich, erhalten wir die Gleichung x·(x−0,6)=0, von der aus wir zur Menge der beiden Gleichungen x=0 und x−0,6=0 übergehen, aus der wir zwei Wurzeln 0 und 0,6 finden . Dies sind die gewünschten Nullstellen des Zählers. Jetzt finden wir die Nullstellen des Nenners. Machen wir eine Gleichung x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, es entspricht einem Satz von drei Gleichungen x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 und dann x=0, x 2 +2 x+7 =0 , x+5=0 . Die Wurzel der ersten dieser Gleichungen ist offensichtlich, sie ist 0, die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da ihre Diskriminante negativ ist, und die Wurzel der dritten Gleichung ist −5. Also haben wir die Nullstellen des Nenners gefunden, es gab zwei davon: 0 und −5. Beachten Sie, dass sich herausstellte, dass 0 sowohl eine Null im Zähler als auch eine Null im Nenner war.

Um die Nullstellen von Zähler und Nenner im allgemeinen Fall zu finden, wenn die linke Seite der Ungleichung ein Bruch, aber nicht unbedingt rational ist, werden Zähler und Nenner ebenfalls mit Null gleichgesetzt und die entsprechenden Gleichungen gelöst.

Wie erkennt man Zeichen in Abständen?

Der zuverlässigste Weg, das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung in jedem Intervall zu bestimmen, besteht darin, den Wert dieses Ausdrucks an einem beliebigen Punkt in jedem Intervall zu berechnen. In diesem Fall stimmt das gewünschte Vorzeichen des Intervalls mit dem Vorzeichen des Werts des Ausdrucks an jedem Punkt dieses Intervalls überein. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels erklären.

Nehmen wir die Ungleichheit . Der Ausdruck auf der linken Seite hat keine Nullen im Zähler und die Null im Nenner ist die Zahl −3. Es unterteilt den Zahlenstrahl in zwei Intervalle (−∞, −3) und (−3, +∞). Lassen Sie uns die Zeichen darauf bestimmen. Nehmen Sie dazu einen Punkt aus diesen Intervallen und berechnen Sie die Werte des Ausdrucks darin. Wir stellen sofort fest, dass es ratsam ist, solche Punkte zu berücksichtigen, damit Berechnungen einfach durchgeführt werden können. Zum Beispiel können wir aus dem ersten Intervall (−∞, −3) −4 nehmen. Für x=−4 gilt , hat einen Wert mit einem Minuszeichen (negativ) erhalten, daher wird in diesem Intervall ein Minuszeichen angezeigt. Wir fahren mit der Bestimmung des Vorzeichens für das zweite Intervall (−3, +∞) fort. Es ist praktisch, daraus 0 zu nehmen (wenn 0 im Intervall enthalten ist, dann ist es ratsam, es immer zu nehmen, da bei x=0 die Berechnungen am einfachsten sind). Bei x=0 gilt . Dieser Wert hat ein Pluszeichen (positiv), daher gibt es in diesem Intervall ein Pluszeichen.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Vorzeichenbestimmung, der darin besteht, das Vorzeichen in einem der Intervalle zu finden und es beizubehalten oder zu ändern, wenn man zum benachbarten Intervall durch Null geht. Sie müssen die folgende Regel einhalten. Beim Durchgang durch die Nullstelle des Zählers, aber nicht durch den Nenner, oder durch die Nullstelle des Nenners, aber nicht durch den Zähler, ändert sich das Vorzeichen, wenn der Grad des Ausdrucks, der diese Null angibt, ungerade ist, und ändert sich nicht, wenn er gerade ist . Und wenn man durch einen Punkt geht, der sowohl die Nullstelle des Zählers als auch die Nullstelle des Nenners ist, ändert sich das Vorzeichen, wenn die Summe der Potenzen der Ausdrücke, die diese Null ergeben, ungerade ist, und ändert sich nicht, wenn sie gerade ist.

Wenn der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung übrigens die am Anfang des ersten Absatzes dieses Artikels angegebene Form hat, befindet sich in der Lücke ganz rechts ein Pluszeichen.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an.

Möge die Ungleichheit vor uns liegen , und wir lösen es mit der Intervallmethode. Dazu suchen wir die Nullstellen des Zählers 2, 3, 4 und die Nullstellen des Nenners 1, 3, 4 und markieren sie zunächst mit Strichen auf der Koordinatenlinie

Dann ersetzen wir die Nullen des Nenners durch Bilder von punktierten Punkten

und da wir eine nicht strikte Ungleichung lösen, ersetzen wir die verbleibenden Striche durch gewöhnliche Punkte

Und dann kommt der Moment, in dem man in regelmäßigen Abständen Zeichen identifiziert. Wie wir vor diesem Beispiel bemerkt haben, befindet sich im ganz rechten Intervall (4, +∞) ein +-Zeichen:

Bestimmen wir die restlichen Vorzeichen, indem wir uns von Lücke zu Lücke von rechts nach links bewegen. Im nächsten Intervall (3, 4) passieren wir den Punkt mit der Koordinate 4. Dies ist die Nullstelle sowohl des Zählers als auch des Nenners. Diese Nullstellen ergeben die Ausdrücke (x−4) 2 und x−4, die Summe ihrer Potenzen ist 2+1=3, und dies ist eine ungerade Zahl, was Folgendes bedeutet Wenn Sie diesen Punkt passieren, müssen Sie das Vorzeichen ändern. Daher gibt es im Intervall (3, 4) ein Minuszeichen:

Wir gehen weiter zum Intervall (2, 3), während wir durch den Punkt mit der Koordinate 3 gehen. Dies ist auch die Nullstelle sowohl des Zählers als auch des Nenners, sie wird durch die Ausdrücke (x−3) 3 und (x−3) 5 gegeben, die Summe ihrer Potenzen ist 3+5=8, und dies ist eine gerade Zahl Zahl, daher bleibt das Vorzeichen unverändert:

Wir gehen weiter zum Intervall (1, 2). Der Weg dorthin ist durch einen Punkt mit der Koordinate 2 versperrt. Dies ist der Nullpunkt des Zählers, er wird durch den Ausdruck x−2 gegeben, sein Grad ist 1, das heißt, er ist ungerade, daher ändert sich beim Durchgang durch diesen Punkt das Vorzeichen:

Abschließend muss noch das Vorzeichen des letzten Intervalls (−∞, 1) bestimmt werden. Um dorthin zu gelangen, müssen wir den Punkt mit Koordinate 1 überwinden. Dies ist die Nullstelle des Nenners, sie wird durch den Ausdruck (x−1) 4 gegeben, ihr Grad ist 4, das heißt, sie ist gerade, daher ändert sich das Vorzeichen beim Durchgang durch diesen Punkt nicht. Wir haben also alle Zeichen identifiziert und die Zeichnung hat folgende Form:

Es ist klar, dass der Einsatz der betrachteten Methode insbesondere dann gerechtfertigt ist, wenn die Berechnung des Wertes eines Ausdrucks mit großem Aufwand verbunden ist. Berechnen Sie beispielsweise den Wert des Ausdrucks zu jedem Zeitpunkt im Intervall .

Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode

Jetzt können Sie alle präsentierten Informationen zusammentragen, die zur Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode ausreichen, und die Lösungen mehrerer Beispiele analysieren.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung .

Lösung.

Lösen wir diese Ungleichung mit der Intervallmethode. Offensichtlich sind die Nullstellen des Zählers 1 und −5 und die Nullstellen des Nenners sind 1. Wir markieren sie auf dem Zahlenstrahl, wobei die Punkte mit den Koordinaten und 1 als Nullstellen des Nenners unterbrochen werden und die verbleibende Nullstelle des Zählers −5 als gewöhnlicher Punkt dargestellt wird, da wir eine nicht strikte Ungleichung lösen:

Jetzt versehen wir die Intervalle mit Vorzeichen und halten uns dabei an die Regel, das Vorzeichen beim Durchlaufen von Nullen beizubehalten oder zu ändern. Über der Lücke ganz rechts befindet sich ein +-Zeichen (dies kann überprüft werden, indem der Wert des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung an einem Punkt in dieser Lücke berechnet wird, beispielsweise bei x=3). Beim Durchlauf ändern wir das Vorzeichen, beim Durchlauf durch 1 lassen wir es gleich und beim Durchlauf durch −5 lassen wir das Vorzeichen wieder unverändert:

Da wir die Ungleichung mit dem ≤-Zeichen lösen, müssen wir noch eine Schattierung über die mit dem Zeichen − gekennzeichneten Intervalle zeichnen und die Antwort aus dem resultierenden Bild aufschreiben.

Die Lösung, nach der wir suchen, ist also: .

Antwort:

Der Fairness halber sei darauf hingewiesen, dass bei der Lösung rationaler Ungleichungen in den allermeisten Fällen diese zunächst in die erforderliche Form überführt werden müssen, um eine Lösung mit der Intervallmethode zu ermöglichen. Wir werden im Artikel ausführlich besprechen, wie man solche Transformationen durchführt. Lösung rationaler Ungleichheiten, und nun geben wir ein Beispiel, das einen wichtigen Punkt in Bezug auf quadratische Trinome bei der Aufzeichnung von Ungleichungen verdeutlicht.

Beispiel.

Finden Sie die Lösung der Ungleichung .

Lösung.

Auf den ersten Blick scheint diese Ungleichung in ihrer Form für die Anwendung der Intervallmethode geeignet zu sein. Aber es schadet nicht zu prüfen, ob die Diskriminanten der quadratischen Trinome in seiner Notation wirklich negativ sind. Lassen Sie uns sie herausfinden, um unser Gewissen zu beruhigen. Für das Trinom x 2 +3 x+3 gilt D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Das bedeutet, dass Transformationen erforderlich sind, um dieser Ungleichung die gewünschte Form zu geben. In diesem Fall reicht es aus, das Trinom x 2 +2 x−8 als (x+4) (x−2) darzustellen und dann die Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen .

Antwort:

Verallgemeinerte Intervallmethode

Mit der verallgemeinerten Intervallmethode können Sie Ungleichungen der Form f(x) lösen.<0 (≤, >, ≥), wobei f(x) beliebig mit einer Variablen x ist. Schreiben wir es auf Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mithilfe der verallgemeinerten Intervallmethode:

Zuerst benötigen Sie f und die Nullstellen dieser Funktion.
Auf dem Zahlenstrahl werden die Randpunkte, auch Einzelpunkte, des Definitionsbereiches markiert. Zum Beispiel, wenn der Definitionsbereich einer Funktion die Menge ist
(−5, 1]∪(3)∪ (Wir definieren das Vorzeichen auf dem Intervall (−6, 4) nicht, da es nicht Teil des Definitionsbereichs der Funktion ist.) Nehmen Sie dazu einen Punkt aus jedem Intervall, zum Beispiel 16 , 8 , 6 und −8, und berechnen Sie den Wert der Funktion f in ihnen:

Wenn Sie Fragen dazu haben, wie herausgefunden wurde, welche berechneten Werte der Funktion positiv oder negativ sind, lesen Sie das Material im Artikel Vergleich von Zahlen.

Wir platzieren die neu definierten Zeichen und schattieren die Leerzeichen mit einem Minuszeichen:

In der Antwort schreiben wir die Vereinigung zweier Intervalle mit dem Vorzeichen −, wir haben (−∞, −6]∪(7, 12). Beachten Sie, dass −6 in der Antwort enthalten ist (der entsprechende Punkt ist fest, nicht punktiert) Tatsache ist, dass dies nicht der Nullpunkt der Funktion ist (den wir bei der Lösung einer strengen Ungleichung nicht in die Antwort einbeziehen würden), sondern der Randpunkt des Definitionsbereichs (er ist farbig, nicht schwarz) und enthalten im Definitionsbereich. Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist negativ (wie durch das Minuszeichen über dem entsprechenden Intervall angezeigt), d. h. sie erfüllt die Ungleichung. Aber 4 muss nicht in die Antwort einbezogen werden (wie sowie das gesamte Intervall ∪(7, 12) .

Referenzliste.
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2. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Education, 2004. – 384 Seiten: Abb. – ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L. D. Kurs der mathematischen Analyse (in zwei Bänden): Lehrbuch für Universitäts- und College-Studenten. – M.: Höher. Schule, 1981, Bd. 1. – 687 S., Abb.
Intervallmethode ist ein spezieller Algorithmus zur Lösung komplexer Ungleichungen der Form f(x) > 0. Der Algorithmus besteht aus 5 Schritten:
1. Lösen Sie die Gleichung f(x) = 0. Somit erhalten wir anstelle einer Ungleichung eine Gleichung, die viel einfacher zu lösen ist;
2. Markieren Sie alle erhaltenen Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Somit wird die Gerade in mehrere Intervalle unterteilt;
3. Finden Sie die Vielfalt der Wurzeln. Wenn die Wurzeln von gerader Multiplizität sind, zeichnen Sie eine Schleife über der Wurzel. (Eine Wurzel gilt als Vielfaches, wenn es eine gerade Anzahl identischer Lösungen gibt)
4. Ermitteln Sie das Vorzeichen (Plus oder Minus) der Funktion f(x) im Intervall ganz rechts. Dazu reicht es aus, in f(x) eine beliebige Zahl einzusetzen, die rechts von allen markierten Wurzeln liegt;
5. Markieren Sie die Zeichen abwechselnd in den verbleibenden Abständen.
Danach müssen wir nur noch die Intervalle aufschreiben, die uns interessieren. Sie sind mit einem „+“-Zeichen gekennzeichnet, wenn die Ungleichung die Form f(x) > 0 hatte, oder mit einem „−“-Zeichen, wenn die Ungleichung die Form f(x) hatte.< 0.

Bei nichtstrikten Ungleichungen (≤ , ≥) ist es notwendig, in die Intervalle Punkte einzubeziehen, die eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 sind;

Beispiel 1:

Ungleichung lösen:

(x - 2)(x + 7)< 0

Wir arbeiten mit der Intervallmethode.

Schritt 1: Ersetze die Ungleichung durch eine Gleichung und löse sie:

(x - 2)(x + 7) = 0

Das Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Wir haben zwei Wurzeln.

Schritt 2: Wir markieren diese Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Wir haben:

Schritt 3: Wir finden das Vorzeichen der Funktion im Intervall ganz rechts (rechts vom markierten Punkt x = 2). Dazu müssen Sie eine beliebige Zahl nehmen, die größer als die Zahl x = 2 ist. Nehmen wir zum Beispiel x = 3 (aber niemand verbietet die Annahme von x = 4, x = 10 und sogar x = 10.000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Wir erhalten f(3) = 10 > 0 (10 ist eine positive Zahl), also setzen wir ein Pluszeichen in das Intervall ganz rechts.

Schritt 4: Sie müssen die Schilder auf den verbleibenden Intervallen beachten. Wir erinnern uns, dass sich beim Durchgang durch jede Wurzel das Vorzeichen ändern muss. Zum Beispiel steht rechts von der Wurzel x = 2 ein Plus (das haben wir im vorherigen Schritt sichergestellt), also muss links ein Minus stehen. Dieses Minus erstreckt sich über das gesamte Intervall (−7; 2), sodass sich rechts von der Wurzel x = −7 ein Minus befindet. Daher gibt es links von der Wurzel x = −7 ein Plus. Es bleibt, diese Zeichen auf der Koordinatenachse zu markieren.

Kehren wir zur ursprünglichen Ungleichung zurück, die die Form hatte:

(x - 2)(x + 7)< 0

Die Funktion muss also kleiner als Null sein. Das bedeutet, dass wir uns für das Minuszeichen interessieren, das nur in einem Intervall vorkommt: (−7; 2). Das wird die Antwort sein.

Beispiel 2:

Ungleichung lösen:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Lösung:

Zuerst müssen Sie die Wurzeln der Gleichung finden

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Lassen Sie uns die erste Klammer reduzieren und erhalten:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir:

Zeichnen wir die Punkte auf der Zahlengeraden ein:

Weil x 2 und x 3 mehrere Wurzeln sind, dann gibt es einen Punkt auf der Geraden und darüber „ eine Schleife”.

Nehmen wir eine beliebige Zahl, die kleiner als der Punkt ganz links ist, und setzen wir sie in die ursprüngliche Ungleichung ein. Nehmen wir die Zahl -1.

Vergessen Sie nicht, die Lösung der Gleichung (gefundenes X) anzugeben, denn Unsere Ungleichheit ist nicht streng.

Antwort: ()U)

Typ