So markieren Sie Punkte auf dem Einheitskreis. Trigonometrischer Kreis. Der ultimative Leitfaden (2019)
Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“
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Was wir studieren werden:
1. Definition.
2. Wichtige Koordinaten des Zahlenkreises.
3. Wie finde ich die Koordinate des Zahlenkreises?
4. Tabelle der Hauptkoordinaten des Zahlenkreises.
5. Beispiele zur Problemlösung.
Definition des Zahlenkreises auf der Koordinatenebene
Platzieren wir den Zahlenkreis so in der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, und nehmen wir seinen Radius als Einheitssegment. Der Startpunkt des Zahlenkreises A wird mit dem Punkt (1;0) kombiniert.Jeder Punkt auf dem Zahlenkreis hat seine eigenen x- und y-Koordinaten in der Koordinatenebene und:
1) für $x > 0$, $y > 0$ – im ersten Quartal;
2) für $x 0$ - im zweiten Quartal;
3) für $x 4) für $x > 0$, $y
Für jeden Punkt $M(x; y)$ auf dem Zahlenkreis sind die folgenden Ungleichungen erfüllt: $-1
Erinnern Sie sich an die Gleichung des Zahlenkreises: $x^2 + y^2 = 1$.
Für uns ist es wichtig zu lernen, wie man die Koordinaten der Punkte auf dem in der Abbildung dargestellten Zahlenkreis findet. 
Finden wir die Koordinate des Punktes $\frac(π)(4)$
Der Punkt $M(\frac(π)(4))$ ist die Mitte des ersten Viertels. Lassen Sie uns die Senkrechte MR vom Punkt M zur Geraden OA fallen lassen und betrachten Sie das Dreieck OMP. Da der Bogen AM die Hälfte des Bogens AB ist, gilt $∠MOP=45°$. Das bedeutet, dass das Dreieck OMP ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist und $OP=MP$, d.h. am Punkt M sind Abszisse und Ordinate gleich: $x = y$.
Da die Koordinaten des Punktes $M(x;y)$ die Gleichung des Zahlenkreises erfüllen, müssen Sie, um sie zu finden, das Gleichungssystem lösen:
$\begin (Fälle) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (Fälle)$
Nachdem wir dieses System gelöst haben, erhalten wir: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes M, der der Zahl $\frac(π)(4)$ entspricht, $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Die Koordinaten der in der vorherigen Abbildung dargestellten Punkte werden auf ähnliche Weise berechnet.
Koordinaten von Punkten auf dem Zahlenkreis
Schauen wir uns Beispiele an
Beispiel 1.Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(45\frac(π)(4))$.
Lösung:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Das bedeutet, dass die Zahl $45\frac(π)(4)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $\frac(5π)(4)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(4)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Beispiel 2.
Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(37π)(3))$.
Lösung:
Weil die Zahlen $t$ und $t+2π*k$, wobei k eine ganze Zahl ist, entsprechen dann demselben Punkt auf dem Zahlenkreis:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Das bedeutet, dass die Zahl $-\frac(37π)(3)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $–\frac(π)(3)$ und die Zahl –$\frac(π) (3)$ entspricht dem gleichen Punkt wie $\frac(5π)(3)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(3)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Beispiel 3.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y =\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen?
Lösung: 
Die Gerade $y =\frac(1)(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Punkt M entspricht der Zahl $\frac(π)(6)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $\frac(5π)(6)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Wir haben, wie in solchen Fällen oft gesagt wird, zwei Wertereihen erhalten:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ und $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Antwort: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ und $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Beispiel 4.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
Lösung:
Die Gerade $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Die Ungleichung $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ entspricht zu den Punkten des Bogens PM. Punkt M entspricht der Zahl $3\frac(π)(4)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $-\frac(3π)(4)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Dann erhalten wir $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Antwort: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
1) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(\frac(61π)(6))$.2) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y = -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
4) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y ≥ -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
5) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
Beim Studium der Trigonometrie in der Schule wird jeder Schüler mit dem sehr interessanten Konzept des „Zahlenkreises“ konfrontiert. Wie gut der Schüler später Trigonometrie lernen wird, hängt von der Fähigkeit des Schullehrers ab, zu erklären, was es ist und warum es benötigt wird. Leider kann nicht jeder Lehrer diesen Stoff klar erklären. Das hat zur Folge, dass viele Schüler nicht einmal wissen, wie sie ihre Noten benoten sollen Punkte auf dem Zahlenkreis. Wenn Sie diesen Artikel bis zum Ende lesen, erfahren Sie, wie das problemlos gelingt.
Also lasst uns anfangen. Zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius 1. Bezeichnen wir den Punkt „ganz rechts“ dieses Kreises mit dem Buchstaben Ö:
Herzlichen Glückwunsch, Sie haben gerade einen Einheitskreis gezeichnet. Da der Radius dieses Kreises 1 beträgt, beträgt seine Länge.
Jeder reellen Zahl kann die Länge der Flugbahn entlang des Zahlenkreises vom Punkt zugeordnet werden Ö. Als positive Richtung wird die Bewegungsrichtung gegen den Uhrzeigersinn angenommen. Für negativ – im Uhrzeigersinn:
Lage der Punkte auf dem Zahlenkreis
Wie wir bereits festgestellt haben, ist die Länge des Zahlenkreises (Einheitskreises) gleich. Wo wird sich dann die Zahl auf diesem Kreis befinden? Offensichtlich vom Punkt her Ö Gegen den Uhrzeigersinn müssen wir die halbe Länge des Kreises zurücklegen, und wir befinden uns am gewünschten Punkt. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben B:
Beachten Sie, dass derselbe Punkt auch durch einen Halbkreis in negativer Richtung erreicht werden könnte. Dann würden wir die Zahl auf dem Einheitskreis eintragen. Das heißt, die Zahlen entsprechen demselben Punkt.
Darüber hinaus entspricht derselbe Punkt auch den Zahlen , , , und im Allgemeinen einer unendlichen Menge von Zahlen, die in der Form geschrieben werden können, wobei , also zur Menge der ganzen Zahlen gehört. All dies, weil vom Punkt B Sie können eine „Weltumrundung“ in jede Richtung unternehmen (den Umfang addieren oder subtrahieren) und zum selben Punkt gelangen. Wir kommen zu einer wichtigen Schlussfolgerung, die verstanden und im Gedächtnis behalten werden muss.
Jede Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Zahlenkreis. Aber jeder Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht einer unendlichen Anzahl von Zahlen.
Teilen wir nun den oberen Halbkreis des Zahlenkreises durch einen Punkt in gleich lange Bögen C. Es ist leicht zu erkennen, dass die Bogenlänge O.C. gleich . Lassen Sie uns nun von diesem Punkt absehen C ein Bogen gleicher Länge gegen den Uhrzeigersinn. Als Ergebnis kommen wir zur Sache B. Das Ergebnis ist durchaus zu erwarten, da . Lassen Sie uns diesen Bogen noch einmal in die gleiche Richtung legen, aber jetzt vom Punkt aus B. Als Ergebnis kommen wir zur Sache D, was bereits der Nummer entsprechen wird:
Beachten Sie noch einmal, dass dieser Punkt nicht nur der Zahl entspricht, sondern beispielsweise auch der Zahl, da dieser Punkt erreicht werden kann, indem man sich vom Punkt entfernt Ö Viertelkreis im Uhrzeigersinn (negative Richtung).
Und im Allgemeinen stellen wir noch einmal fest, dass dieser Punkt unendlich vielen Zahlen entspricht, die in der Form geschrieben werden können 
. Sie können aber auch in der Form geschrieben werden. Oder, wenn Sie möchten, in Form von . Alle diese Datensätze sind absolut gleichwertig und können voneinander bezogen werden.
Teilen wir nun den Bogen in O.C. halber Punkt M. Finden Sie nun heraus, wie lang der Bogen ist OM? Genau, der halbe Bogen O.C.. Also . Welchen Zahlen entspricht der Punkt? M auf dem Zahlenkreis? Ich bin sicher, dass Sie jetzt erkennen werden, dass diese Zahlen als geschrieben werden können.
Aber es geht auch anders. Lass uns nehmen . Dann verstehen wir das 
. Das heißt, diese Zahlen können in der Form geschrieben werden 
. Das gleiche Ergebnis könnte mit dem Zahlenkreis erzielt werden. Wie ich bereits sagte, sind beide Datensätze gleichwertig und können voneinander bezogen werden.
Jetzt können Sie ganz einfach ein Beispiel für die Zahlen nennen, denen die Punkte entsprechen N, P Und K auf dem Zahlenkreis. Zum Beispiel die Zahlen , und :
Oft sind es die minimalen positiven Zahlen, mit denen die entsprechenden Punkte auf dem Zahlenkreis bezeichnet werden. Obwohl dies überhaupt nicht notwendig ist, Punkt N, wie Sie bereits wissen, entspricht einer unendlichen Anzahl anderer Zahlen. Darunter zum Beispiel die Nummer.
Wenn Sie den Lichtbogen unterbrechen O.C. in drei gleiche Bögen mit Punkten S Und L, das ist also der Punkt S wird zwischen den Punkten liegen Ö Und L, dann die Bogenlänge Betriebssystem wird gleich sein, und die Bogenlänge OL wird gleich sein. Mit dem Wissen, das Sie im vorherigen Teil der Lektion erworben haben, können Sie ganz einfach herausfinden, wie sich die restlichen Punkte auf dem Zahlenkreis entwickelt haben:
Zahlen, die keine Vielfachen von π auf dem Zahlenkreis sind
Stellen wir uns nun die Frage: Wo auf der Zahlengeraden sollen wir den Punkt markieren, der der Zahl 1 entspricht? Dazu müssen Sie am „rechtesten“ Punkt des Einheitskreises beginnen Ö Zeichnen Sie einen Bogen, dessen Länge gleich 1 wäre. Wir können die Position des gewünschten Punktes nur ungefähr angeben. Gehen wir wie folgt vor.
(10. Klasse)
Ziel. Zeigen Sie den Schülern, wie sie „tabelläre“ und verwandte Winkel ohne Winkelmesser konstruieren. Lernen Sie, die Werte der Winkel aufzuschreiben, die den angegebenen Punkten des Einheitskreises entsprechen.
Ausrüstung.
- Einheitskreismodell (Poster).
- Poster zum Einheitskreis, das Techniken zum Konstruieren von „tafelförmigen“ Winkeln zeigt.
- Selbstarbeitskarten.
- Hausaufgabenkarten.
- Karten sind „Zählkarten“.
- Geometrische Werkzeuge.
- Marker, farbige Kreide.
- Overheadprojektor.
I. Organisatorischer Moment.
Zielsetzung, Lernmotivation.
Um die Lage von Punkten auf dem Einheitskreis besser zu verstehen und uns daran zu erinnern, werden wir uns mit Techniken zum Konstruieren von „tabellären“ (30°, 45°, 60°) und zugehörigen Winkeln ohne Winkelmesser vertraut machen. Dies wird es in Zukunft ermöglichen, nicht nur das Bogenmaß eines Winkels leichter zu beherrschen, sondern auch die Werte trigonometrischer Funktionen schnell zu finden und die einfachsten trigonometrischen Gleichungen, Ungleichungen und Systeme gut zu lösen.
II. Neues Material.
(Vorderform der Bildungsarbeit)
1.1. Zeichnen Sie auf bestimmten Blättern Papier und auf der Tafel eine Koordinatenebene und einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Koordinatenursprung und einem Radius von 1.
1.2. Definition des Einheitskreises (Studenten)
1.3. Das Konzept der Knotenpunkte (der Schnittpunkt des Einheitskreises und der Koordinatenachsen)
2.1. Markieren Sie die Eckpunkte auf dem Einheitskreis und notieren Sie die entsprechenden Winkel (0°, 90°, 180°, 360°).
(Die Schüler arbeiten an der Tafel und an ihren Modellen des Einheitskreises).
Positive Winkel gegen den Uhrzeigersinn (eine Farbe).
Negative Winkel – im Uhrzeigersinn (in einer anderen Farbe).
Wir schreiben alle Winkel innerhalb des Kreises.
3.1. Wie konstruiere ich Punkte, die den Winkeln 45°, 135°, 225°, 315° entsprechen?
(Teilung der Koordinatenwinkel in zwei Hälften).
3.2. Studierende bieten ihre Möglichkeiten an. Anschließend erklären sie auf einem separat angefertigten Poster die Technik der Konstruktion von Punkten, die den Winkeln 45°, 135°, 225°, 315° entsprechen.
3.3. Diese Technik wird auf den Einheitskreis auf der Tafel und auf Ihre Modelle angewendet. Markieren Sie die Punkte, die den Winkeln 45°, 135°, 225°, 315° entsprechen.
4.1. Wie konstruiere ich Punkte, die den Winkeln 30°, 150°, 210°, 330° entsprechen?
(Teilung der vertikalen Radien in zwei Hälften).
4.2. Studierende bieten ihre Möglichkeiten an. Anschließend wird die Konstruktion dieser Winkel anhand des fertigen Posters erklärt.
4.3. Markieren Sie auf dem Demonstrationsmodell und Ihren eigenen Modellen von Einheitskreisen die Punkte, die den Winkeln 30°, 150°, 210°, 330° entsprechen.
5.1. Wie konstruiere ich Punkte, die den Winkeln 60°, 120°, 240°, 300° entsprechen?
(Horizontale Radien in zwei Hälften teilen).
5.2. Studierende bieten ihre Möglichkeiten an. Anschließend erklären sie anhand des fertigen Posters, wie diese Winkel konstruiert werden
5.3. Die Schüler markieren diese Winkel am Demonstrationsmodell und an ihren eigenen Modellen mithilfe der vorgeschlagenen Technik.
6.1. Lassen Sie uns die Winkel im Bogenmaß ausdrücken
6.2. In der Nähe jedes der markierten Punkte des Einheitskreises notieren wir die entsprechenden Winkel im Bogenmaß. (Berechnungen an der Tafel. Beispiel.)
(Wir schreiben nichtnegative Zahlen in einer Farbe und negative Zahlen in einer anderen).
7.1. Der „Reader“ hilft Ihnen, sich diese Aspekte zu merken.
(Karten mit „Zähltabellen“ werden vor Unterrichtsbeginn auf den Schülertischen ausgelegt).
a) „Ra pi für zwei“ (/2)
„Zwei Pi mal zwei“ ()
„Drei Pi mal zwei“ (3/2)
b) „Zeit pi mal vier“ (/4)
„Zwei Pi mal vier“ (2/4)
„Drei Pi mal vier“ (3/4)
8. Schreibwinkel, die einem Punkt des Einheitskreises entsprechen
Auf dem Kreis sei ein Punkt P gegeben, den man durch Wiederholung des Punktes P 0 in einem Winkel erhält.
Wenn wir den Kreis eine ganze Zahl von Umdrehungen umrunden, gelangen wir zum Startpunkt P. Das bedeutet, dass Punkt P zusammen mit einer Zahl einer beliebigen Zahl der Form +2 entspricht P, PЄZ.
Punkte, die den Winkeln entsprechen, werden auf dem Einheitskreis markiert. Notieren Sie alle Winkel in Grad und Bogenmaß.
0 =45 0, jeder andere Winkel weicht vom Winkel 0 um 360 0 ab P, PЄZ.
Schreiben wir: =45 0 +360 0 p, pЄ Z; 
III. Überprüfung der Aufnahme des Gelernten.
(selbstständige Arbeit)
Für alle Studierenden Karten mit selbstständigen Arbeitsaufgaben (wir notieren nur die Antworten).
Selbstständige Arbeit.
1. Auf dem Einheitskreis werden die Punkte markiert, die den Winkeln entsprechen und im Intervall von 0 0 bis 360 0 liegen. Geben Sie Winkel in Grad an.
2. Auf dem Einheitskreis werden Punkte markiert, die den Winkeln entsprechen und im Bereich von 0 bis 2 Bogenmaß liegen. Drücken Sie Winkel und im Bogenmaß aus
3. Auf dem Einheitskreis werden Punkte markiert, die den Winkeln entsprechen und im Bereich von 0 bis 2 Bogenmaß liegen. Drücken Sie es im Bogenmaß aus.
4. Punkte, die den Winkeln entsprechen und auf dem Einheitskreis markiert sind. Notieren Sie alle Winkel und Gradangaben.
Zahlenkreis ist ein Einheitskreis, dessen Punkte bestimmten reellen Zahlen entsprechen.
Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1.
Gesamtansicht des Zahlenkreises.
1) Sein Radius wird als Maßeinheit verwendet.
2) Der horizontale und vertikale Durchmesser teilen den Zahlenkreis in vier Viertel. Sie werden jeweils als erstes, zweites, drittes und viertes Viertel bezeichnet.
3) Der horizontale Durchmesser wird mit AC bezeichnet, wobei A das Extrem ist Rechts Punkt.
Der vertikale Durchmesser wird mit BD bezeichnet, wobei B der höchste Punkt ist.
Jeweils:
Das erste Viertel ist der Bogen AB
zweites Viertel - Bogen BC
drittes Viertel - Bogen-CD
viertes Viertel - Bogen DA
4) Der Ausgangspunkt des Zahlenkreises ist Punkt A.
Das Zählen entlang des Zahlenkreises kann sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn erfolgen.
Zählen ab Punkt A gegen im Uhrzeigersinn heißt positive Richtung.
Zählen ab Punkt A Von im Uhrzeigersinn genannt negative Richtung.
Zahlenkreis auf der Koordinatenebene.
Der Mittelpunkt des Radius des Zahlenkreises entspricht dem Ursprung (Zahl 0).
Der horizontale Durchmesser entspricht der Achse X, vertikale Achse j.
Ausgangspunkt Ein ZahlenkreisDas T-Stück liegt auf der AchseXund hat die Koordinaten (1; 0).
Namen und Orte der Hauptpunkte auf dem Zahlenkreis:
So merken Sie sich Nummernkreisnamen.
Es gibt mehrere einfache Muster, die Ihnen helfen, sich die Grundnamen des Zahlenkreises leicht zu merken.
Bevor wir beginnen, möchten wir Sie daran erinnern: Die Zählung erfolgt in positiver Richtung, also ab Punkt A (2π) gegen den Uhrzeigersinn.
1) Beginnen wir mit den Extrempunkten auf den Koordinatenachsen.
Der Startpunkt ist 2π (der Punkt ganz rechts auf der Achse). X, gleich 1).
Wie Sie wissen, ist 2π der Umfang eines Kreises. Das bedeutet, dass ein Halbkreis 1π oder π ist. Achse X teilt den Kreis genau in zwei Hälften. Dementsprechend der Punkt ganz links auf der Achse X gleich -1 heißt π.
Der höchste Punkt auf der Achse bei, gleich 1, teilt den oberen Halbkreis in zwei Hälften. Das heißt, wenn ein Halbkreis π ist, dann ist ein halber Halbkreis π/2.
Gleichzeitig ist π/2 auch ein Viertelkreis. Zählen wir drei solcher Viertel vom ersten bis zum dritten – und wir kommen zum tiefsten Punkt der Achse bei, gleich -1. Wenn es jedoch drei Viertel umfasst, lautet sein Name 3π/2.
2) Kommen wir nun zu den restlichen Punkten. Bitte beachten Sie: Alle gegenüberliegenden Punkte haben den gleichen Nenner – und das sind entgegengesetzte Punkte relativ zur Achse bei, sowohl relativ zur Mitte der Achsen als auch relativ zur Achse X. Dies wird uns helfen, ihre Punktwerte zu kennen, ohne sie zu pauken.
Sie müssen sich nur die Bedeutung der Punkte des ersten Viertels merken: π/6, π/4 und π/3. Und dann werden wir einige Muster „sehen“:
- Relativ zur Achse bei
An den Punkten des zweiten Viertels sind im Gegensatz zu den Punkten des ersten Viertels die Zahlen in den Zählern um 1 kleiner als die Größe der Nenner. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt π/6. Der gegenüberliegende Punkt relativ zur Achse bei hat auch 6 im Nenner und 5 im Zähler (1 weniger). Das heißt, der Name dieses Punktes lautet: 5π/6. Der Punkt gegenüber π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und 3 im Zähler (1 kleiner als 4) – das heißt, es ist ein Punkt 3π/4.
Der Punkt gegenüber π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und 1 weniger im Zähler: 2π/3.
- Bezogen auf die Mitte der Koordinatenachsen Alles ist umgekehrt: Die Zahlen in den Zählern entgegengesetzter Punkte (im dritten Viertel) sind um 1 größer als der Wert der Nenner. Nehmen wir noch einmal den Punkt π/6. Der ihm relativ zum Mittelpunkt gegenüberliegende Punkt hat ebenfalls 6 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr – also 7π/6.
Der Punkt gegenüber dem Punkt π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 5π/4.
Der Punkt gegenüber dem Punkt π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 4π/3.
- Relativ zur Achse X(viertes Viertel) die Sache ist komplizierter. Hier müssen Sie zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl addieren – diese Summe entspricht dem numerischen Teil des Zählers des gegenüberliegenden Punktes. Beginnen wir noch einmal mit π/6. Addieren wir zum Nennerwert gleich 6 eine Zahl, die 1 kleiner als diese Zahl ist – also 5. Wir erhalten: 6 + 5 = 11. Das bedeutet, dass sie entgegengesetzt zur Achse ist X Der Punkt hat 6 im Nenner und 11 im Zähler – also 11π/6.
Punkt π/4. Wir addieren zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl: 4 + 3 = 7. Dies bedeutet, dass er der Achse entgegengesetzt ist X Der Punkt hat 4 im Nenner und 7 im Zähler – also 7π/4.
Punkt π/3. Der Nenner ist 3. Wir addieren zu 3 eine um eins kleinere Zahl – also 2. Wir erhalten 5. Das bedeutet, dass der gegenüberliegende Punkt 5 im Zähler hat – und das ist der Punkt 5π/3.
3) Ein weiteres Muster für die Punkte der Viertelmittelpunkte. Es ist klar, dass ihr Nenner 4 ist. Achten wir auf die Zähler. Der Zähler der Mitte des ersten Viertels ist 1π (aber es ist nicht üblich, 1 zu schreiben). Der Zähler der Mitte des zweiten Viertels ist 3π. Der Zähler der Mitte des dritten Viertels ist 5π. Der Zähler des mittleren vierten Viertels ist 7π. Es stellt sich heraus, dass die Zähler der mittleren Viertel die ersten vier ungeraden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge enthalten:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Auch das ist ganz einfach. Da die Mittelpunkte aller Viertel eine 4 im Nenner haben, kennen wir bereits ihre vollständigen Namen: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Merkmale des Zahlenkreises. Vergleich mit dem Zahlenstrahl.
Wie Sie wissen, entspricht auf der Zahlengeraden jeder Punkt einer einzelnen Zahl. Wenn beispielsweise Punkt A auf einer Geraden gleich 3 ist, kann er keiner anderen Zahl mehr entsprechen.
Beim Zahlenkreis ist das anders, weil es ein Kreis ist. Um beispielsweise von Punkt A eines Kreises zu Punkt M zu gelangen, können Sie dies wie auf einer geraden Linie tun (nur durch einen Bogen) oder Sie können einen ganzen Kreis umrunden und dann zu Punkt M gelangen. Abschluss:
Der Punkt M sei gleich einer Zahl t. Wie wir wissen, beträgt der Umfang eines Kreises 2π. Das bedeutet, dass wir einen Punkt auf einem Kreis t auf zwei Arten schreiben können: t oder t + 2π. Es handelt sich um äquivalente Werte.
Das heißt, t = t + 2π. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie im ersten Fall sofort zum Punkt M gekommen sind, ohne einen Kreis zu machen, und im zweiten Fall haben Sie einen Kreis gemacht, sind aber am selben Punkt M gelandet. Sie können zwei, drei oder zweihundert solcher machen Kreise. Wenn wir die Anzahl der Kreise mit dem Buchstaben bezeichnen N, dann erhalten wir einen neuen Ausdruck:
t = t + 2π N.
Daher die Formel:
Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... an der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.
Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.
Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“
Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.
Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.
Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.
Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Mit der großen Zahl 12345 möchte ich mir nichts vormachen, betrachten wir die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.
Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten der gleichen Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: Minuszeichen, Zahl vier, Bezeichnung der Grade). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
