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So vereinfachen Sie einen Ausdruck mit Buchstaben. So vereinfachen Sie einen algebraischen Ausdruck. Was sind Machtausdrücke?

Abschnitt 5 AUSDRÜCKE UND GLEICHUNGEN

In diesem Abschnitt erfahren Sie:

ü o Ausdrücke und ihre Vereinfachungen;

ü Was sind die Eigenschaften von Gleichheiten?

ü wie man Gleichungen basierend auf den Eigenschaften von Gleichheiten löst;

ü welche Arten von Problemen werden mithilfe von Gleichungen gelöst? Was sind senkrechte Linien und wie baut man sie auf?

ü welche Linien werden parallel genannt und wie baut man sie auf?

ü Was ist eine Koordinatenebene?

ü wie man die Koordinaten eines Punktes auf einer Ebene bestimmt;

ü Was ist ein Diagramm der Beziehung zwischen Größen und wie wird es erstellt?

ü wie man das gelernte Material in der Praxis anwendet

§ 30. Ausdrücke und ihre Vereinfachung

Sie wissen bereits, was Buchstabenausdrücke sind und wissen, wie Sie sie mithilfe der Additions- und Multiplikationsgesetze vereinfachen können. Zum Beispiel 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Im resultierenden Ausdruck wird die Zahl -8 als Koeffizient des Ausdrucks bezeichnet.

Tut den Ausdruck CD Koeffizient? Also. Es ist gleich 1, weil cd - 1 ∙ cd .

Denken Sie daran, dass das Konvertieren eines Ausdrucks mit Klammern in einen Ausdruck ohne Klammern als Erweitern der Klammern bezeichnet wird. Zum Beispiel: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Die umgekehrte Aktion in diesem Beispiel besteht darin, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu entfernen.

Begriffe, die die gleichen Buchstabenfaktoren enthalten, werden als ähnliche Begriffe bezeichnet. Durch Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern entstehen ähnliche Begriffe:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Regeln zum Öffnen von Klammern

1. Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der Begriffe in den Klammern erhalten;

2. Steht vor den Klammern ein „-“-Zeichen, dann ändern sich beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der Begriffe in den Klammern ins Gegenteil.

Aufgabe 1. Den Ausdruck vereinfachen:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 Jahre -(-8 + 7 Jahre).

Lösungen. 1. Vor den Klammern steht ein „+“-Zeichen, sodass beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Begriffe erhalten bleiben:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Vor den Klammern steht ein „-“-Zeichen, also beim Öffnen der Klammern: Die Vorzeichen aller Begriffe werden vertauscht:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Um die Klammern zu öffnen, verwenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation: a( b + c ) = ab + ac. Wenn a > 0, dann die Vorzeichen der Terme B und mit nicht ändern. Wenn ein< 0, то знаки слагаемых B und ins Gegenteil wechseln.

Aufgabe 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2(6 Jahre -8) + 7 Jahre;

2)-5(2-5x) + 12.

Lösungen. 1. Der Faktor 2 vor den Klammern ist positiv, daher bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme erhalten: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Der Faktor -5 vor den Klammern ist negativ, daher ändern wir beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme ins Gegenteil:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Finde mehr heraus

1. Das Wort „Summe“ kommt aus dem Lateinischen summa , was „gesamt“, „Gesamtbetrag“ bedeutet.

2. Das Wort „plus“ kommt aus dem Lateinischen Plus was „mehr“ bedeutet und das Wort „minus“ stammt aus dem Lateinischen Minus Was bedeutet „weniger“? Die Zeichen „+“ und „-“ werden verwendet, um die Operationen der Addition und Subtraktion anzuzeigen. Diese Zeichen wurden 1489 vom tschechischen Wissenschaftler J. Widman in dem Buch „Ein schneller und angenehmer Bericht für alle Kaufleute“ eingeführt.(Abb. 138).

Reis. 138

Denken Sie an das Wichtige

1. Welche Begriffe werden als ähnlich bezeichnet? Wie sind solche Begriffe aufgebaut?

2. Wie öffnet man Klammern, denen ein „+“-Zeichen vorangestellt ist?

3. Wie öffnet man Klammern, denen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist?

4. Wie öffnet man Klammern, denen ein positiver Faktor vorangestellt ist?

5. Wie öffnet man Klammern, denen ein negativer Faktor vorangestellt ist?

1374". Nennen Sie den Koeffizienten des Ausdrucks:

1)12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nennen Sie die Begriffe, die sich nur durch den Koeffizienten unterscheiden:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) v. Chr. -4 d - v. Chr. + 4 d; 4)5x + 4y-x + y.

Wie heißen diese Begriffe?

1376". Gibt es ähnliche Begriffe im Ausdruck:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Ist es notwendig, die Vorzeichen der Begriffe in Klammern zu ändern, indem man die Klammern im Ausdruck öffnet:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:

1379°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:

1380°. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:

1) 4a – Po + 6a – 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a – 12 b – 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

1) 6a-12 b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Öffnen Sie die Klammern und kombinieren Sie ähnliche Begriffe;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n – m) – (–2 m – 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Öffnen Sie die Klammern und kombinieren Sie ähnliche Begriffe:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Öffnen Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Öffnen Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Öffnen Sie die Klammer:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Öffnen Sie die Klammer:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1391. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1392. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:

1393. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:

1394. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, durch ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1396. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), wenn a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), wenn = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), wenn x = -0,25;

1398*. Finden Sie den Fehler in der Lösung:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Öffnen Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ordnen Sie die Klammern an, um die richtige Gleichheit zu erhalten:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Beweisen Sie das für beliebige Zahlen a und b, wenn a > b , dann gilt die Gleichheit:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Ist diese Gleichheit korrekt, wenn: a) a< B ; b) a = 6?

1402*. Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl a das arithmetische Mittel der vorherigen und folgenden Zahlen gleich der Zahl a ist.

Setzen Sie es in die Praxis um

1403. Um ein Fruchtdessert für drei Personen zuzubereiten, benötigen Sie: 2 Äpfel, 1 Orange, 2 Bananen und 1 Kiwi. Wie erstelle ich einen Buchstabenausdruck, um die Menge an Obst zu bestimmen, die für die Zubereitung eines Nachtischs für Gäste benötigt wird? Helfen Sie Marin, zu berechnen, wie viele Früchte sie kaufen muss, wenn: 1) 5 Freunde sie besuchen kommen; 2) 8 Freunde.

1404. Erstellen Sie einen Buchstabenausdruck, um die Zeit zu bestimmen, die Sie zum Erledigen Ihrer Mathe-Hausaufgaben benötigen, wenn:

1) eine Minute wurde für die Lösung von Problemen aufgewendet; 2) Die Vereinfachung von Ausdrücken ist doppelt so groß wie bei der Lösung von Problemen. Wie lange brauchte Vasilko für seine Hausaufgaben, wenn er 15 Minuten damit verbrachte, die Aufgaben zu lösen?

1405. Das Mittagessen in der Schulkantine besteht aus Salat, Borschtsch, Kohlrouladen und Kompott. Die Kosten für Salat betragen 20 %, Borschtsch – 30 %, Kohlrouladen – 45 %, Kompott – 5 % der Gesamtkosten des gesamten Mittagessens. Schreiben Sie einen Ausdruck, um die Kosten für das Mittagessen in der Schulkantine zu ermitteln. Wie viel kostet das Mittagessen, wenn der Salatpreis 2 UAH beträgt?

PROBLEME ÜBERPRÜFEN

1406. Lösen Sie die Gleichung:

1407. Tanya verbrachte Eisalles verfügbare Geld und für Süßigkeiten -der Rest. Wie viel Geld hat Tanya noch?

Wenn Süßigkeiten 12 UAH kosten?

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zunächst konzentrieren wir uns auf eine Reihe von Transformationen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzausdrücken, durchgeführt werden können. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, ähnliche Begriffe hinzufügt, mit Basen und Exponenten arbeitet und die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

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Was sind Machtausdrücke?

In Schulkursen verwenden nur wenige Menschen den Ausdruck „kraftvolle Ausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich ständig in Sammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. In den meisten Fällen bezeichnet eine Phrase Ausdrücke, deren Einträge Grade enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Definition 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Lassen Sie uns einige Beispiele für Potenzausdrücke geben, beginnend mit einer Potenz mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einer Potenz mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten betrachtet werden: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Und auch Potenzen mit Nullexponenten: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann die Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder der Logarithmus sein x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Beginnen wir nun mit der Konvertierung.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Wert eines Potenzausdrucks 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall führen wir zunächst die Aktionen in Klammern aus: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zweier Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Wir müssen lediglich den Abschluss ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und berechne das Produkt 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antwort: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Potenzen 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Lösung

Der uns in der Problemstellung gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir angeben können: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Antwort: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie den Ausdruck mit den Potenzen 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir uns die Zahl 9 als eine Kraft vor 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antwort: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse von Identitätstransformationen, die speziell auf Machtausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Und . Die Arbeit mit solchen Aufzeichnungen ist schwierig. Es ist viel einfacher, den Ausdruck in der Basis des Grades oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Grad- und Exponententransformationen werden nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander durchgeführt. Das Wichtigste ist, dass die Transformation zu einem Ausdruck führt, der mit dem Original identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung für das Problem zu erhalten. Im Beispiel oben (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 können Sie beispielsweise die Schritte befolgen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Durch Öffnen der Klammern können wir ähnliche Begriffe zur Basis der Potenz darstellen (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) und erhalten Sie einen Leistungsausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eigenschaften von Potenzen, geschrieben in Form von Gleichheiten, sind eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen. Unter Berücksichtigung dessen stellen wir hier die wichtigsten vor A Und B sind beliebige positive Zahlen, und R Und S- beliebige reelle Zahlen:

Definition 2

a r · a s = a r + s ;
a r: a s = a r − s ;
(a · b) r = a r · b r ;
(a: b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r · s .

In Fällen, in denen es sich um natürliche, ganzzahlige, positive Exponenten handelt, können die Einschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Wenn wir zum Beispiel die Gleichheit betrachten am · a n = am + n, Wo M Und N natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Die Eigenschaften von Potenzen können uneingeschränkt verwendet werden, wenn die Basen der Potenzen positiv sind oder Variablen enthalten, deren zulässiger Wertebereich so groß ist, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Mathematiklehrplan der Schule darin, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und sie richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang können Probleme auftreten, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung des DL und anderen Lösungsschwierigkeiten führt. In diesem Abschnitt werden wir nur zwei solcher Fälle untersuchen. Weitere Informationen zum Thema finden Sie im Thema „Ausdrücke mithilfe von Potenzeigenschaften umwandeln“.

Beispiel 4

Stellen Sie sich den Ausdruck vor a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 in Form einer Macht mit einer Basis A.

Lösung

Zuerst nutzen wir die Eigenschaft der Potenzierung und transformieren damit den zweiten Faktor (a 2) − 3. Dann nutzen wir die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit gleicher Basis:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Antwort: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Die Transformation von Potenzausdrücken entsprechend der Potenzeigenschaft kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenn wir Gleichheit anwenden (a · b) r = a r · b r Von rechts nach links erhalten wir ein Produkt der Form 3 · 7 1 3 · 21 2 3 und dann 21 1 3 · 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Transformation durchzuführen:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antwort: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Gegeben ein Machtausdruck a 1, 5 − a 0, 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0,5.

Lösung

Stellen wir uns den Abschluss vor eine 1, 5 Wie ein 0,5 3. Verwendung der Eigenschaft von Grad zu Grad (a r) s = a r · s von rechts nach links und wir erhalten (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Sie können problemlos eine neue Variable in den resultierenden Ausdruck einfügen t = a 0,5: wir bekommen t 3 − t − 6.

Antwort: t 3 − t − 6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Normalerweise haben wir es mit zwei Versionen von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck stellt einen Bruch mit einer Potenz dar oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie können reduziert, auf einen neuen Nenner gebracht oder getrennt mit Zähler und Nenner bearbeitet werden. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Lösung

Da es sich um einen Bruch handelt, führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setzen Sie ein Minuszeichen vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antwort: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden auf die gleiche Weise wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner reduziert. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte von Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck auf Null geht.

Beispiel 8

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 zum Nenner A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 zum Nenner x + 8 · y 1 2 .

Lösung

a) Wählen wir einen Faktor aus, der es uns ermöglicht, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, Daher werden wir als zusätzlichen Faktor berücksichtigen a 0 , 3. Der Bereich zulässiger Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. Abschluss in diesem Bereich a 0 , 3 geht nicht auf Null.

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines Bruchs mit multiplizieren a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achten wir auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6, erhalten wir die Summe der Würfel x 1 3 und 2 · y 1 6, d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir den zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Zum Bereich zulässiger Werte von Variablen X Und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antwort: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Beispiel 9

Reduziere den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Wir verwenden den größten gemeinsamen Nenner (GCD), mit dem wir Zähler und Nenner reduzieren können. Für die Zahlen 30 und 45 sind es 15. Wir können auch eine Reduzierung vornehmen um x0,5+1 und auf x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um im Zähler und im Nenner die gleichen Faktoren zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antwort: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Zu den Grundoperationen mit Brüchen gehören das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen. Beide Aktionen werden unter Einhaltung einer Reihe von Regeln durchgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden zunächst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und anschließend mit den Zählern Operationen (Addition oder Subtraktion) durchgeführt. Der Nenner bleibt derselbe. Das Ergebnis unserer Handlungen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir mit der Subtraktion der in Klammern stehenden Brüche. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Reduzieren wir um eine Potenz x 1 2 erhalten wir 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Darüber hinaus können Sie den Potenzausdruck im Nenner vereinfachen, indem Sie die Differenzquadratformel verwenden: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Antwort: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfachen Sie den Potenzgesetzausdruck x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Lösung

Wir können den Bruch reduzieren um (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten den Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation der Potenzen von x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Eigenschaft nutzen, Potenzen mit den gleichen Basen zu dividieren: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Wir bewegen uns vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Antwort: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

In den meisten Fällen ist es bequemer, Faktoren mit negativem Exponenten vom Zähler auf den Nenner und zurück zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Mit dieser Aktion können Sie die weitere Entscheidung vereinfachen. Geben wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0, 2 ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Problemen gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Potenzen mit gebrochenem Exponenten, sondern auch Wurzeln enthalten. Es empfiehlt sich, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Es ist vorzuziehen, einen Abschluss zu erwerben, da dieser einfacher zu handhaben ist. Dieser Übergang ist besonders dann zu bevorzugen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modul zugreifen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 · x · x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Bereich zulässiger Variablenwerte X wird durch zwei Ungleichungen definiert x ≥ 0 und x x 3 ≥ 0, die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

Auf diesem Set haben wir das Recht, von Wurzeln zu Potenzen zu wechseln:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Mithilfe der Eigenschaften von Potenzen vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antwort: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen mit Variablen im Exponenten umrechnen

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grades richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können es durch das Produkt von Potenzen ersetzen, deren Exponenten die Summe einer Variablen und einer Zahl sind. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teilen wir nun beide Seiten der Gleichheit durch 7 2 x. Dieser Ausdruck für die Variable x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Reduzieren wir Brüche mit Potenzen, erhalten wir: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x ist - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen umwandeln

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, kommen auch in Aufgaben vor. Ein Beispiel für solche Ausdrücke ist: 1 4 1 - 5 · log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich besprochen haben.

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ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben auch Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, werden algebraische Ausdrücke genannt.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch andere Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit Variable bezeichnet.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, dann wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6.

Lösung.

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5. Statt Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6. Ersetzen Sie die angegebenen Werte. Wir erinnern uns, dass der Modul einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modul einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte des Buchstabens (der Variablen), für die der algebraische Ausdruck einen Sinn ergibt, werden als zulässige Werte des Buchstabens (der Variablen) bezeichnet.

Beispiele. Für welche Werte der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Lösung. Wir wissen, dass man nicht durch Null dividieren kann, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn, wenn man den Wert des Buchstabens (der Variablen) berücksichtigt, der den Nenner des Bruchs auf Null macht!

In Beispiel 1) ist dieser Wert a = 0. Wenn Sie 0 anstelle von a einsetzen, müssen Sie zwar die Zahl 6 durch 0 dividieren, dies ist jedoch nicht möglich. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0.

Im Beispiel 2) ist der Nenner von x 4 = 0 bei x = 4, daher kann dieser Wert x = 4 nicht angenommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn, wenn x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0, wenn x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht keinen Sinn, wenn x = -2.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| = 5, dann können Sie x = 5 und x = -5 nicht nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht bei x = -5 und bei x = 5 keinen Sinn.
IV. Zwei Ausdrücke heißen identisch gleich, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind ebenfalls gleich, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für alle Werte von a und b gilt. Die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind beispielsweise die Eigenschaften der Addition und Multiplikation sowie die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Zahlenoperationen durchgeführt.

Beispiele.

A) Konvertieren Sie den Ausdruck mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Lösung. Erinnern wir uns an die Verteilungseigenschaft (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b)c=ac+bc(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Ergebnisse addieren.)
(a-b) c=a c-b c(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man den Minuenden multiplizieren und separat mit dieser Zahl subtrahieren und die zweite Zahl vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) Transformieren Sie den Ausdruck in identisch gleich, indem Sie die kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition verwenden:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(kommutativ: Durch Umordnen der Terme ändert sich die Summe nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Wandeln Sie den Ausdruck mithilfe der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

a·b=b·a(kommutativ: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht).
(a b) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.)

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Wenn ein algebraischer Ausdruck in Form eines reduzierbaren Bruchs angegeben wird, kann er mit der Regel zum Reduzieren eines Bruchs vereinfacht werden, d. h. Ersetzen Sie ihn durch einen identischen, einfacheren Ausdruck.

Beispiele. Vereinfachen Sie durch Bruchreduktion.

Lösung. Einen Bruch zu reduzieren bedeutet, seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (Ausdruck) zu dividieren, die nicht Null ist. Fraktion 10) wird um reduziert 3b; Fraktion 11) wird um reduziert A und Bruch 12) wird um reduziert 7n. Wir bekommen:

Zur Erstellung von Formeln werden algebraische Ausdrücke verwendet.

Eine Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der als Gleichheit geschrieben wird und die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen ausdrückt. Beispiel: Pfadformel, die Sie kennen s=v t(s – zurückgelegte Strecke, v – Geschwindigkeit, t – Zeit). Denken Sie daran, welche anderen Formeln Sie kennen.

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In jeder Sprache können Sie dieselben Informationen in verschiedenen Wörtern und Ausdrücken ausdrücken. Die mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Derselbe Ausdruck kann jedoch auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. In dieser Lektion werden wir über die Vereinfachung von Ausdrücken sprechen.

Menschen kommunizieren in verschiedenen Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen kommuniziert werden. Darüber hinaus kann es in einer Sprache jedoch auf unterschiedliche Weise ausgesprochen werden.

Zum Beispiel: „Petya ist mit Vasya befreundet“, „Vasya ist mit Petya befreundet“, „Petya und Vasya sind Freunde“. Anders ausgedrückt, aber das Gleiche. Aus jedem dieser Sätze würden wir verstehen, wovon wir sprechen.

Schauen wir uns diesen Satz an: „Der Junge Petja und der Junge Wasja sind Freunde.“ Wir verstehen, wovon wir reden. Allerdings gefällt uns der Klang dieses Satzes nicht. Können wir es nicht vereinfachen, das Gleiche sagen, aber einfacher? „Junge und Junge“ – man kann einmal sagen: „Die Jungs Petya und Vasya sind Freunde.“

„Jungs“... Geht aus ihren Namen nicht klar hervor, dass es sich nicht um Mädchen handelt? Wir entfernen die „Jungs“: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Und das Wort „Freunde“ kann durch „Freunde“ ersetzt werden: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine gleichwertige Aussage ersetzt, die einfacher auszusprechen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher auszudrücken, aber die Bedeutung nicht zu verlieren oder zu verzerren.

In der mathematischen Sprache passiert ungefähr das Gleiche. Man kann das Gleiche sagen, aber anders schreiben. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es zum ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Vielfalt müssen wir unserer Meinung nach die einfachste oder für unsere weiteren Zwecke am besten geeignete auswählen.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer alle Schritte ausführen und den entsprechenden Ausdruck als einzelne Zahl erhalten.

Schauen wir uns ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck an . Natürlich wird es einfacher sein.

Beim Vereinfachen von Literalausdrücken müssen alle möglichen Aktionen ausgeführt werden.

Ist es immer notwendig, einen Ausdruck zu vereinfachen? Nein, manchmal ist es für uns bequemer, einen gleichwertigen, aber längeren Eintrag zu haben.

Beispiel: Sie müssen eine Zahl von einer Zahl subtrahieren.

Es ist möglich, eine Berechnung durchzuführen, aber wenn die erste Zahl durch die entsprechende Schreibweise dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns für weitere Berechnungen nicht immer von Vorteil.

Dennoch stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die einfach nach „Vereinfachung des Ausdrucks“ klingt.

Den Ausdruck vereinfachen: .

Lösung

1) Führen Sie die Aktionen in der ersten und zweiten Klammer aus: .

2) Berechnen wir die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der Anfangsausdruck. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (gleich) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu ermitteln, benötigen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division nutzen, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften der Addition und Subtraktion:

1. Kommutative Eigenschaft der Addition: Eine Neuanordnung der Terme ändert die Summe nicht.

2. Kombinationseigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Kommutative Eigenschaft der Multiplikation: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht.

2. Kombinative Eigenschaft: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zunächst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

3. Distributive Eigenschaft der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term einzeln multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnung:

Lösung

1) Stellen wir uns vor, wie

2) Stellen wir uns den ersten Faktor als Summe von Bittermen vor und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und Multiplikation durchführen:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Verteilungsgesetz kann auch in umgekehrter Richtung angewendet werden: .

Folge diesen Schritten:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Distributivgesetz verwenden, verwenden Sie es jedoch nur in der entgegengesetzten Richtung – entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern

Für Küche und Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - , Flur - . Es gibt drei Arten von Linoleum: für und für Rubel. Wie viel kostet jede der drei Linoleumarten? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration zur Problemstellung

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld Sie für den Kauf von Linoleum für die Küche benötigen, es dann in den Flur legen und die resultierenden Produkte addieren.

Ein Literalausdruck (oder Variablenausdruck) ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Buchstaben und mathematischen Symbolen besteht. Der folgende Ausdruck ist beispielsweise literal:

a+b+4

Mit alphabetischen Ausdrücken können Sie Gesetze, Formeln, Gleichungen und Funktionen schreiben. Die Fähigkeit, Buchstabenausdrücke zu manipulieren, ist der Schlüssel zu guten Kenntnissen in Algebra und höherer Mathematik.

Jedes ernsthafte Problem in der Mathematik besteht darin, Gleichungen zu lösen. Und um Gleichungen lösen zu können, muss man mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten können.

Um mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten zu können, müssen Sie mit den Grundrechenarten vertraut sein: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Grundgesetze der Mathematik, Brüche, Operationen mit Brüchen, Proportionen. Und nicht nur studieren, sondern gründlich verstehen.

Unterrichtsinhalte

Variablen

Buchstaben, die in Literalausdrücken enthalten sind, werden aufgerufen Variablen. Zum Beispiel im Ausdruck a+b+4 Die Variablen sind die Buchstaben A Und B. Wenn wir diese Variablen durch beliebige Zahlen ersetzen, erhalten wir einen Literalausdruck a+b+4 wird in einen numerischen Ausdruck umgewandelt, dessen Wert gefunden werden kann.

Zahlen, die Variablen ersetzen, werden aufgerufen Werte von Variablen. Lassen Sie uns beispielsweise die Werte der Variablen ändern A Und B. Das Gleichheitszeichen wird zum Ändern von Werten verwendet

a = 2, b = 3

Wir haben die Werte der Variablen geändert A Und B. Variable A einen Wert zugewiesen 2 , variabel B einen Wert zugewiesen 3 . Daraus ergibt sich der wörtliche Ausdruck a+b+4 wird zu einem regulären numerischen Ausdruck 2+3+4 dessen Wert zu finden ist:

2 + 3 + 4 = 9

Wenn Variablen multipliziert werden, werden sie zusammengeschrieben. Zum Beispiel aufzeichnen ab bedeutet dasselbe wie der Eintrag a×b. Wenn wir die Variablen ersetzen A Und B Zahlen 2 Und 3 , dann erhalten wir 6

2 × 3 = 6

Sie können die Multiplikation einer Zahl mit einem Ausdruck auch in Klammern zusammenfassen. Zum Beispiel statt a×(b + c) kann aufgeschrieben werden a(b + c). Unter Anwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation erhalten wir a(b + c)=ab+ac.

Chancen

In literalen Ausdrücken findet man häufig eine Schreibweise, bei der beispielsweise eine Zahl und eine Variable zusammen geschrieben werden 3a. Dies ist eigentlich eine Abkürzung für die Multiplikation der Zahl 3 mit einer Variablen. A und dieser Eintrag sieht so aus 3×a .

Mit anderen Worten, der Ausdruck 3a ist das Produkt der Zahl 3 und der Variablen A. Nummer 3 in dieser Arbeit nennen sie Koeffizient. Dieser Koeffizient gibt an, wie oft die Variable erhöht wird A. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ A dreimal“ oder „dreimal A“ oder „den Wert einer Variablen erhöhen“. A dreimal“, wird aber am häufigsten als „drei“ gelesen A«

Wenn beispielsweise die Variable A gleich 5 , dann der Wert des Ausdrucks 3a wird gleich 15 sein.

3 × 5 = 15

Vereinfacht ausgedrückt ist der Koeffizient die Zahl, die vor dem Buchstaben (vor der Variablen) steht.

Es können beispielsweise mehrere Buchstaben sein 5abc. Hier ist der Koeffizient die Zahl 5 . Dieser Koeffizient zeigt das Produkt von Variablen ABC verfünffacht. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ ABC fünfmal“ oder „den Wert des Ausdrucks erhöhen“. ABC fünfmal“ oder „fünf ABC«.

Wenn anstelle von Variablen ABC Ersetzen Sie die Zahlen 2, 3 und 4 und dann den Wert des Ausdrucks 5abc wird gleich sein 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Sie können sich gedanklich vorstellen, wie die Zahlen 2, 3 und 4 zunächst multipliziert wurden und sich der resultierende Wert verfünffachte:

Das Vorzeichen des Koeffizienten bezieht sich nur auf den Koeffizienten und gilt nicht für die Variablen.

Betrachten Sie den Ausdruck −6b. Minus vor dem Koeffizienten 6 , gilt nur für den Koeffizienten 6 und gehört nicht zur Variablen B. Wenn Sie diese Tatsache verstehen, können Sie in Zukunft keine Fehler mehr bei Schildern machen.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln −6b bei b = 3.

−6b −6×b. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck −6b in erweiterter Form und ersetzen Sie den Wert der Variablen B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −6b bei b = −5

Schreiben wir den Ausdruck auf −6b in erweiterter Form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −5a+b bei a = 3 Und b = 2

−5a+b Dies ist eine Kurzform für −5 × a + b, also schreiben wir der Klarheit halber den Ausdruck −5×a+b in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen A Und B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Manchmal werden beispielsweise Buchstaben ohne Koeffizienten geschrieben A oder ab. In diesem Fall ist der Koeffizient eins:

aber traditionell wird die Einheit nicht aufgeschrieben, also wird einfach geschrieben A oder ab

Steht vor dem Buchstaben ein Minus, ist der Koeffizient eine Zahl −1 . Zum Beispiel der Ausdruck −a sieht tatsächlich so aus −1a. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen A. Es stellte sich so heraus:

−1 × a = −1a

Hier gibt es einen kleinen Haken. Im Ausdruck −a Minuszeichen vor der Variablen A bezieht sich tatsächlich eher auf eine „unsichtbare Einheit“ als auf eine Variable A. Daher sollten Sie bei der Lösung von Problemen vorsichtig sein.

Zum Beispiel, wenn der Ausdruck gegeben wird −a und wir werden gebeten, seinen Wert zu ermitteln a = 2, dann haben wir in der Schule eine Zwei anstelle einer Variablen eingesetzt A und erhielt eine Antwort −2 , ohne sich zu sehr darauf zu konzentrieren, wie es ausgegangen ist. Tatsächlich wurde minus eins mit der positiven Zahl 2 multipliziert

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Wenn der Ausdruck gegeben ist −a und Sie müssen seinen Wert finden a = −2, dann ersetzen wir −2 anstelle einer Variablen A

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Um Fehler zu vermeiden, können zunächst unsichtbare Einheiten explizit angegeben werden.

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=2 , b=3 Und c=4

Ausdruck ABC 1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck ABC a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Beispiel 5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=−2 , b=−3 Und c=−4

Schreiben wir den Ausdruck auf ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Beispiel 6. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=3, b=5 und c=7

Ausdruck − ABC Dies ist eine Kurzform für −1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck − ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Beispiel 7. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=−2 , b=−4 und c=−3

Schreiben wir den Ausdruck auf − ABC in erweiterter Form:

−abc = −1 × a × b × c

Ersetzen wir die Werte der Variablen A , B Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

So bestimmen Sie den Koeffizienten

Manchmal müssen Sie ein Problem lösen, bei dem Sie den Koeffizienten eines Ausdrucks bestimmen müssen. Im Prinzip ist diese Aufgabe sehr einfach. Es reicht aus, Zahlen richtig multiplizieren zu können.

Um den Koeffizienten in einem Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie die in diesem Ausdruck enthaltenen Zahlen und die Buchstaben separat multiplizieren. Der resultierende numerische Faktor ist der Koeffizient.

Beispiel 1. 7m×5a×(−3)×n

Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Dies kann man deutlich erkennen, wenn man den Ausdruck in erweiterter Form schreibt. Das heißt, die Werke 7m Und 5a schreibe es in das Formular 7×m Und 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Wenden wir das assoziative Multiplikationsgesetz an, das es Ihnen ermöglicht, Faktoren in beliebiger Reihenfolge zu multiplizieren. Wir werden nämlich die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben (Variablen) separat multiplizieren:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Der Koeffizient ist −105 . Nach Fertigstellung empfiehlt es sich, den Buchstabenteil alphabetisch zu ordnen:

−105 Uhr

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Der Koeffizient beträgt 6.

Beispiel 3. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck:

Lassen Sie uns Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

Der Koeffizient ist −1. Bitte beachten Sie, dass die Einheit nicht angeschrieben wird, da es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht anzugeben.

Diese scheinbar einfachsten Aufgaben können uns einen sehr grausamen Streich spielen. Es stellt sich oft heraus, dass das Vorzeichen des Koeffizienten falsch eingestellt ist: Entweder fehlt das Minus oder es wurde im Gegenteil vergeblich gesetzt. Um diese lästigen Fehler zu vermeiden, muss es auf einem guten Niveau studiert werden.

Addends in Literalausdrücken

Bei der Addition mehrerer Zahlen erhält man die Summe dieser Zahlen. Zahlen, die addieren, werden Addenden genannt. Es kann mehrere Begriffe geben, zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wenn ein Ausdruck aus Termen besteht, ist die Auswertung viel einfacher, da das Addieren einfacher ist als das Subtrahieren. Der Ausdruck kann aber nicht nur Addition, sondern auch Subtraktion enthalten, zum Beispiel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In diesem Ausdruck sind die Zahlen 3 und 5 Subtrahenden, keine Summanden. Aber nichts hindert uns daran, die Subtraktion durch die Addition zu ersetzen. Dann erhalten wir wieder einen Ausdruck bestehend aus Termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Es spielt keine Rolle, dass die Zahlen −3 und −5 jetzt ein Minuszeichen haben. Die Hauptsache ist, dass alle Zahlen in diesem Ausdruck durch ein Additionszeichen verbunden sind, das heißt, der Ausdruck ist eine Summe.

Beide Ausdrücke 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Und 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gleich dem gleichen Wert - minus eins

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Daher wird die Bedeutung des Ausdrucks nicht beeinträchtigt, wenn wir irgendwo die Subtraktion durch die Addition ersetzen.

Sie können in Literalausdrücken auch die Subtraktion durch die Addition ersetzen. Betrachten Sie beispielsweise den folgenden Ausdruck:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Für beliebige Werte von Variablen A B C D Und S Ausdrücke 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Und 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) wird dem gleichen Wert entsprechen.

Sie müssen darauf vorbereitet sein, dass ein Lehrer in einer Schule oder einem Institut möglicherweise gerade Zahlen (oder Variablen) nennt, die keine Summanden sind.

Zum Beispiel, wenn die Differenz an die Tafel geschrieben wird a − b, dann wird der Lehrer das nicht sagen A ist ein Minuend, und B- subtrahierbar. Er wird beide Variablen mit einem gemeinsamen Wort bezeichnen – Bedingungen. Und das alles wegen des Ausdrucks der Form a − b Der Mathematiker sieht, wie die Summe entsteht a + (−b). In diesem Fall wird der Ausdruck zu einer Summe und den Variablen A Und (−b) werden zu Begriffen.

Ausdrücke vereinfachen

"den Ausdruck vereinfachen" und unten ist der Ausdruck, der vereinfacht werden muss. Vereinfachen Sie einen Ausdruck bedeutet, es einfacher und kürzer zu machen.

Tatsächlich haben wir Ausdrücke bereits vereinfacht, als wir Brüche reduziert haben. Nach der Reduktion wurde der Bruch kürzer und leichter verständlich.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.

Diese Aufgabe kann wörtlich wie folgt verstanden werden: „Wenden Sie alle gültigen Aktionen auf diesen Ausdruck an, aber machen Sie es einfacher.“ .

In diesem Fall können Sie den Bruch kürzen, nämlich Zähler und Nenner des Bruchs durch 2 dividieren:

Was kannst du noch tun? Sie können den resultierenden Bruch berechnen. Dann erhalten wir den Dezimalbruch 0,5

Infolgedessen wurde der Bruch auf 0,5 vereinfacht.

Die erste Frage, die Sie sich stellen müssen, wenn Sie solche Probleme lösen, sollte sein „Was kann getan werden?“ . Denn es gibt Aktionen, die Sie ausführen können, und es gibt Aktionen, die Sie nicht ausführen können.

Ein weiterer wichtiger Punkt, den Sie beachten sollten, ist, dass sich die Bedeutung des Ausdrucks nach der Vereinfachung des Ausdrucks nicht ändern sollte. Kehren wir zum Ausdruck zurück. Dieser Ausdruck stellt eine Division dar, die durchgeführt werden kann. Nachdem wir diese Division durchgeführt haben, erhalten wir den Wert dieses Ausdrucks, der 0,5 beträgt

Aber wir haben den Ausdruck vereinfacht und einen neuen vereinfachten Ausdruck erhalten. Der Wert des neuen vereinfachten Ausdrucks beträgt immer noch 0,5

Wir haben aber auch versucht, den Ausdruck zu vereinfachen, indem wir ihn berechnet haben. Als Ergebnis erhielten wir eine endgültige Antwort von 0,5.

Unabhängig davon, wie wir den Ausdruck vereinfachen, ist der Wert der resultierenden Ausdrücke immer noch gleich 0,5. Dies bedeutet, dass die Vereinfachung in jeder Phase korrekt durchgeführt wurde. Genau das sollten wir bei der Vereinfachung von Ausdrücken anstreben – die Bedeutung des Ausdrucks soll durch unser Handeln nicht leiden.

Oft ist es notwendig, wörtliche Ausdrücke zu vereinfachen. Für sie gelten die gleichen Vereinfachungsregeln wie für numerische Ausdrücke. Sie können alle gültigen Aktionen ausführen, solange sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 5,21s × t × 2,5

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben separat multiplizieren. Diese Aufgabe ist derjenigen sehr ähnlich, die wir uns angesehen haben, als wir lernten, den Koeffizienten zu bestimmen:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Also der Ausdruck 5,21s × t × 2,5 vereinfacht zu 13.025st.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2

Zweites Stück (−6,3b) kann in eine für uns verständliche Form übersetzt werden, nämlich geschrieben in der Form ( −6,3)×b , Dann multiplizieren Sie die Zahlen separat und multiplizieren Sie die Buchstaben separat:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Also der Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2 vereinfacht zu 5.04b

Beispiel 3. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um klar zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen einzeln und die Buchstaben einzeln:

Also der Ausdruck vereinfacht zu −abc. Diese Lösung kann kurz geschrieben werden:

Beim Vereinfachen von Ausdrücken können Brüche während des Lösungsprozesses reduziert werden und nicht ganz am Ende, wie wir es bei gewöhnlichen Brüchen getan haben. Wenn wir beispielsweise im Laufe der Lösung auf einen Ausdruck der Form stoßen, ist es überhaupt nicht notwendig, Zähler und Nenner zu berechnen und so etwas zu tun:

Ein Bruch lässt sich reduzieren, indem man sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor auswählt und diese Faktoren um ihren größten gemeinsamen Faktor reduziert. Mit anderen Worten, eine Verwendung, bei der wir nicht im Detail beschreiben, in was Zähler und Nenner unterteilt wurden.

Zum Beispiel ist im Zähler der Faktor 12 und im Nenner kann der Faktor 4 um 4 reduziert werden. Wir behalten die Vier im Kopf, dividieren 12 und 4 durch diese Vier und schreiben die Antworten neben diese Zahlen. nachdem ich sie zuerst durchgestrichen habe

Nun können Sie die resultierenden kleinen Faktoren multiplizieren. In diesem Fall gibt es nur wenige davon und Sie können sie in Ihrem Kopf multiplizieren:

Mit der Zeit stellen Sie möglicherweise fest, dass Ausdrücke beim Lösen eines bestimmten Problems „fetter“ werden. Daher ist es ratsam, sich an schnelle Berechnungen zu gewöhnen. Was im Kopf berechnet werden kann, muss im Kopf berechnet werden. Was schnell reduziert werden kann, muss schnell reduziert werden.

Beispiel 4. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 5. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt multiplizieren:

Also der Ausdruck vereinfacht zu mn.

Beispiel 6. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um klar zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt. Zur Vereinfachung der Berechnung können der Dezimalbruch −6,4 und eine gemischte Zahl in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Die Lösung für dieses Beispiel kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Beispiel 7. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns Zahlen getrennt und Buchstaben getrennt multiplizieren. Zur Vereinfachung der Berechnung können gemischte Zahlen und Dezimalbrüche 0,1 und 0,6 in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu A B C D. Wenn Sie die Details weglassen, kann diese Lösung viel kürzer geschrieben werden:

Beachten Sie, wie der Bruch reduziert wurde. Auch neue Faktoren, die durch Reduzierung früherer Faktoren entstehen, dürfen reduziert werden.

Lassen Sie uns nun darüber sprechen, was Sie nicht tun sollten. Bei der Vereinfachung von Ausdrücken ist es strengstens verboten, Zahlen und Buchstaben zu multiplizieren, wenn der Ausdruck eine Summe und kein Produkt ist.

Zum Beispiel, wenn Sie den Ausdruck vereinfachen möchten 5a+4b, dann kannst du es nicht so schreiben:

Das ist dasselbe, als ob wir aufgefordert würden, zwei Zahlen zu addieren und sie zu multiplizieren, anstatt sie zu addieren.

Beim Ersetzen beliebiger Variablenwerte A Und B Ausdruck 5a +4b verwandelt sich in einen gewöhnlichen numerischen Ausdruck. Nehmen wir an, dass die Variablen A Und B haben folgende Bedeutung:

a = 2, b = 3

Dann ist der Wert des Ausdrucks gleich 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Zuerst wird eine Multiplikation durchgeführt und dann werden die Ergebnisse addiert. Und wenn wir versuchen würden, diesen Ausdruck durch Multiplikation von Zahlen und Buchstaben zu vereinfachen, würden wir Folgendes erhalten:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Es ergibt sich eine völlig andere Bedeutung des Ausdrucks. Im ersten Fall hat es funktioniert 22 , im zweiten Fall 120 . Dies bedeutet, dass der Ausdruck vereinfacht wird 5a+4b wurde falsch durchgeführt.

Nach der Vereinfachung eines Ausdrucks sollte sich sein Wert bei gleichen Werten der Variablen nicht ändern. Wenn beim Einsetzen beliebiger Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein Wert erhalten wird, sollte nach der Vereinfachung des Ausdrucks derselbe Wert wie vor der Vereinfachung erhalten werden.

Mit Ausdruck 5a+4b Es gibt wirklich nichts, was du tun kannst. Es vereinfacht es nicht.

Wenn ein Ausdruck ähnliche Begriffe enthält, können diese hinzugefügt werden, wenn unser Ziel darin besteht, den Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 8. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

oder kürzer: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Also der Ausdruck 0,3a−0,4a+a vereinfacht zu 0,9a

Beispiel 9. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −7,5a − 2,5b + 4a

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

oder kürzer −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Begriff (−2,5b) blieb unverändert, weil es nichts gab, was man dagegen tun könnte.

Beispiel 10. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Der Koeffizient diente der einfacheren Berechnung.

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 11. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

In diesem Beispiel wäre es sinnvoller, zuerst den ersten und den letzten Koeffizienten zu addieren. In diesem Fall hätten wir eine kurze Lösung. Es würde so aussehen:

Beispiel 12. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

Der Begriff blieb unverändert, da ihm nichts hinzuzufügen war.

Diese Lösung kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

In der kurzen Lösung wurden die Schritte des Ersetzens der Subtraktion durch Addition und die Beschreibung, wie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, übersprungen.

Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die Antwort in der Detaillösung so aussieht , und kurz als . Tatsächlich handelt es sich um denselben Ausdruck. Der Unterschied besteht darin, dass im ersten Fall die Subtraktion durch die Addition ersetzt wird, da wir zu Beginn, als wir die Lösung detailliert niederschrieben, die Subtraktion, wo immer möglich, durch die Addition ersetzt haben und dieser Ersatz für die Antwort beibehalten wurde.

Identitäten. Identisch gleiche Ausdrücke

Sobald wir einen Ausdruck vereinfacht haben, wird er einfacher und kürzer. Um zu überprüfen, ob der vereinfachte Ausdruck korrekt ist, reicht es aus, alle Variablenwerte zuerst in den vorherigen Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den neuen, vereinfachten Ausdruck einzusetzen. Wenn der Wert in beiden Ausdrücken gleich ist, ist der vereinfachte Ausdruck wahr.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Lassen Sie es notwendig sein, den Ausdruck zu vereinfachen 2a×7b. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Überprüfen wir, ob wir den Ausdruck richtig vereinfacht haben. Ersetzen wir dazu beliebige Werte der Variablen A Und B Zuerst in den ersten Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den zweiten, der vereinfacht wurde.

Lassen Sie die Werte der Variablen A , B wird wie folgt sein:

a = 4, b = 5

Ersetzen wir sie im ersten Ausdruck 2a×7b

Ersetzen wir nun dieselben Variablenwerte in den Ausdruck, der sich aus der Vereinfachung ergibt 2a×7b, nämlich im Ausdruck 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Wir sehen das, wenn a=4 Und b=5 Wert des ersten Ausdrucks 2a×7b und die Bedeutung des zweiten Ausdrucks 14ab gleich

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Das Gleiche gilt für alle anderen Werte. Lassen Sie zum Beispiel a=1 Und b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Also für beliebige Werte der Ausdrucksvariablen 2a×7b Und 14ab gleich dem gleichen Wert sind. Solche Ausdrücke heißen identisch gleich.

Wir schließen daraus zwischen den Ausdrücken 2a×7b Und 14ab Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben.

2a × 7b = 14ab

Eine Gleichheit ist jeder Ausdruck, der durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden ist.

Und Gleichheit der Form 2a×7b = 14ab angerufen Identität.

Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt.

Weitere Beispiele für Identitäten:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, die Gesetze der Mathematik, die wir untersucht haben, sind Identitäten.

Auch echte numerische Gleichheiten sind Identitäten. Zum Beispiel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Um die Berechnung zu vereinfachen, wird bei der Lösung eines komplexen Problems der komplexe Ausdruck durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt, der identisch mit dem vorherigen ist. Dieser Ersatz wird aufgerufen identische Transformation des Ausdrucks oder einfach den Ausdruck umwandeln.

Wir haben zum Beispiel den Ausdruck vereinfacht 2a×7b, und erhielt einen einfacheren Ausdruck 14ab. Diese Vereinfachung kann als Identitätstransformation bezeichnet werden.

Oft findet man eine Aufgabe, die besagt „Beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist“ und dann ist die zu beweisende Gleichheit gegeben. Normalerweise besteht diese Gleichheit aus zwei Teilen: dem linken und dem rechten Teil der Gleichheit. Unsere Aufgabe besteht darin, Identitätstransformationen mit einem der Teile der Gleichheit durchzuführen und den anderen Teil zu erhalten. Oder führen Sie identische Transformationen auf beiden Seiten der Gleichheit durch und stellen Sie sicher, dass beide Seiten der Gleichheit dieselben Ausdrücke enthalten.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichheit beweisen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Vereinfachen wir die linke Seite dieser Gleichheit. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen und Buchstaben getrennt:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Durch eine kleine Identitätstransformation wurde die linke Seite der Gleichheit gleich der rechten Seite der Gleichheit. Damit haben wir die Gleichheit bewiesen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Durch identische Transformationen haben wir gelernt, Zahlen zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, Brüche zu reduzieren, ähnliche Terme hinzuzufügen und auch einige Ausdrücke zu vereinfachen.

Dies sind jedoch nicht alle identischen Transformationen, die es in der Mathematik gibt. Es gibt noch viele weitere identische Transformationen. Das werden wir in Zukunft noch mehr als einmal sehen.