So subtrahieren Sie die Fläche eines Dreiecks. Die Aufgabe besteht darin, die Seite durch Fläche, Seite und Winkel eines Dreiecks zu finden. Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Ein Dreieck ist eine solche geometrische Figur, die aus drei geraden Linien besteht, die sich an Punkten verbinden, die nicht auf einer geraden Linie liegen. Die Verbindungspunkte der Linien sind die Eckpunkte des Dreiecks, die mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden (z. B. A, B, C). Die Verbindungsgeraden eines Dreiecks nennt man Segmente, die meist auch mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden. Es gibt folgende Arten von Dreiecken:

• Rechteckig.
• stumpf.
• Spitzwinkelig.
• Vielseitig.
• Gleichseitig.
• Gleichschenklig.

Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Dreiecksflächenformel für Länge und Höhe

S=a*h/2,
wobei a die Länge der Seite des Dreiecks ist, dessen Fläche gefunden werden soll, h die Länge der Höhe, die zur Basis gezogen wird.

Heron-Formel

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
wobei √ die Quadratwurzel ist, p der Halbumfang des Dreiecks ist, a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks ist. Der Halbumfang eines Dreiecks kann mit der Formel p=(a+b+c)/2 berechnet werden.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks in Bezug auf den Winkel und die Länge des Segments

S = (a*b*sin(α))/2,
wobei b,c die Länge der Seiten des Dreiecks ist, sin(α) der Sinus des Winkels zwischen den beiden Seiten ist.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks ergibt den Radius des einbeschriebenen Kreises und drei Seiten

S=p*r,
wobei p der Halbumfang des Dreiecks ist, dessen Fläche gefunden werden soll, r der Radius des Kreises ist, der diesem Dreieck einbeschrieben ist.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks mit drei Seiten und dem Radius eines umschriebenen Kreises

S= (a*b*c)/4*R,
wobei a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises um das Dreieck ist.

Die Formel für die Fläche eines Dreiecks in kartesischen Koordinaten von Punkten

Die kartesischen Koordinaten von Punkten sind Koordinaten im xOy-System, wobei x die Abszisse und y die Ordinate ist. Das kartesische Koordinatensystem xOy auf einer Ebene heißt senkrecht zueinander stehende Zahlenachsen Ox und Oy mit einem gemeinsamen Bezugspunkt im Punkt O. Wenn die Koordinaten von Punkten auf dieser Ebene in der Form A (x1, y1), B (x2, y2) und C (x3, y3 ), dann kannst du mit folgender Formel die Fläche eines Dreiecks berechnen, die sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
wo || steht für Modul.

So finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen Winkel von 90 Grad hat. Ein Dreieck kann nur einen solchen Winkel haben.

Die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks auf zwei Beinen

S=a*b/2,
wobei a,b die Länge der Beine ist. Die Beine werden als Seiten neben dem rechten Winkel bezeichnet.

Die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks bei Hypotenuse und spitzem Winkel

S = a*b*sin(α)/ 2,
wobei a, b die Schenkel des Dreiecks sind und sin(α) der Sinus des Winkels ist, in dem sich die Linien a, b schneiden.

Die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks nach Schenkel und gegenüberliegendem Winkel

S = a*b/2*tg(β),
wobei a, b die Schenkel des Dreiecks sind, tg(β) der Tangens des Winkels ist, unter dem die Schenkel a, b verbunden sind.

So berechnet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck ist eines, das zwei gleiche Seiten hat. Diese Seiten werden die Seiten genannt und die andere Seite ist die Basis. Sie können eine der folgenden Formeln verwenden, um die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.

Die Grundformel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

S=h*c/2,
wobei c die Basis des Dreiecks ist, h die Höhe des Dreiecks, das auf die Basis abgesenkt ist.

Formel eines gleichschenkligen Dreiecks auf Seitenfläche und Basis

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
wobei c die Basis des Dreiecks ist, a der Wert einer der Seiten des gleichschenkligen Dreiecks ist.

So finden Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem alle Seiten gleich sind. Um die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:
S = (√3*a*a)/4,
wobei a die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks ist.

Mit den obigen Formeln können Sie die erforderliche Fläche des Dreiecks berechnen. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass man zur Berechnung des Abstands von Dreiecken die Art des Dreiecks und die verfügbaren Daten berücksichtigen muss, die für die Berechnung verwendet werden können.

Anweisung

Parteien und Ecken gelten als Grundelemente a. Ein Dreieck wird vollständig durch eines der folgenden Grundelemente definiert: entweder drei Seiten oder eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und ein Winkel dazwischen. Für die Existenz Dreieck definiert durch drei Seiten a, b, c, ist es notwendig und ausreichend, dass die Ungleichungen, Ungleichungen genannt Dreieck:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Zum Bauen Dreieck Auf drei Seiten a, b, c muss man vom Punkt C der Strecke CB=a aus mit einem Zirkel einen Kreis mit dem Radius b zeichnen. Zeichnen Sie dann auf ähnliche Weise einen Kreis von Punkt B mit einem Radius gleich der Seite c. Ihr Schnittpunkt A ist der dritte Scheitelpunkt des Gewünschten Dreieck ABC, wobei AB=c, CB=a, CA=b - Seiten Dreieck. Das Problem hat , wenn die Seiten a, b, c die Ungleichungen erfüllen Dreieck in Schritt 1 angegeben.

Der so konstruierte Bereich von S Dreieck ABC mit bekannten Seiten a, b, c wird nach der Heron-Formel berechnet:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
wobei a, b, c Seiten sind Dreieck, p ist der Halbumfang.
p = (a+b+c)/2

Wenn das Dreieck gleichseitig ist, das heißt, alle seine Seiten sind gleich (a=b=c). Dreieck berechnet nach der Formel:
S=(a^2v3)/4

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dh einer seiner Winkel 90 ° beträgt und die Seiten, die es bilden, Beine sind, ist die dritte Seite die Hypotenuse. In diesem Fall Quadrat gleich dem Produkt der Beine dividiert durch zwei.
S=ab/2

Finden Quadrat Dreieck, können Sie eine der vielen Formeln verwenden. Wählen Sie die Formel abhängig davon, welche Daten bereits bekannt sind.

Du wirst brauchen

• Kenntnis von Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks

Anweisung

Wenn Sie den Wert einer der Seiten und den Wert der Höhe kennen, die von der gegenüberliegenden Ecke zu dieser Seite abgesenkt wird, können Sie die Fläche wie folgt ermitteln: S = a*h/2, wobei S die Fläche von ist Das Dreieck, a ist eine der Seiten des Dreiecks und h - Höhe, zur Seite a.

Es gibt eine bekannte Methode, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, wenn drei seiner Seiten bekannt sind. Sie ist Heron's Formel. Um die Aufzeichnung zu vereinfachen, wird ein Zwischenwert eingeführt - ein Halbumfang: p \u003d (a + b + c) / 2, wobei a, b, c - . Dann lautet die Formel von Heron wie folgt: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ Potenzierung.

Angenommen, Sie kennen eine der Seiten eines Dreiecks und drei Winkel. Dann ist es einfach, die Fläche des Dreiecks zu finden: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), wobei β der Winkel gegenüber der Seite a ist und α und γ Winkel sind, die an die Seite angrenzen.

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beachten Sie

Die allgemeinste Formel, die für alle Fälle geeignet ist, ist die Heron-Formel.

Quellen:

Tipp 3: So finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit drei Seiten

Das Ermitteln der Fläche eines Dreiecks ist eine der häufigsten Aufgaben in der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines beliebigen Dreiecks zu bestimmen. In Sonderfällen und bei gleichseitigen Dreiecken reicht es aus, die Längen von zwei bzw. einer Seite zu kennen.

Du wirst brauchen

• Seitenlängen von Dreiecken, Heronsche Formel, Kosinussatz

Anweisung

Die Formel von Heron für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Wenn Sie den Halbumfang p malen, erhalten Sie: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Eine Formel für die Fläche eines Dreiecks kannst du auch aus Überlegungen ableiten, indem du zum Beispiel den Kosinussatz anwendest.

Nach dem Kosinusgesetz ist AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Mit der eingeführten Schreibweise können diese auch die Form haben: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Daher cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich auch durch die Formel S = a*c*sin(ABC)/2 durch zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen. Der Sinus des Winkels ABC kann anhand der grundlegenden trigonometrischen Identität ausgedrückt werden: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Wenn Sie den Sinus in die Flächenformel einsetzen und ihn malen, können Sie kommen Sie zur Formel für die Fläche eines Dreiecks ABC.

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Bei Reparaturen kann es erforderlich sein, nachzumessen Quadrat Wände. Es ist einfacher, die erforderliche Menge an Farbe oder Tapete zu berechnen. Für Messungen verwenden Sie am besten ein Maßband oder Zentimeterband. Messungen sollten danach durchgeführt werden Wände ausgerichtet worden sind.

Du wirst brauchen

• -Roulette;
• -Leiter.

Anweisung

Zählen Quadrat Wände, müssen Sie die genaue Höhe der Decken kennen und die Länge entlang des Bodens messen. Dies geschieht wie folgt: Nehmen Sie einen Zentimeter und legen Sie ihn über den Sockel. Normalerweise reicht ein Zentimeter nicht für die gesamte Länge, also befestigen Sie es in der Ecke und wickeln Sie es dann auf die maximale Länge ab. Setzen Sie an dieser Stelle eine Markierung mit einem Bleistift, notieren Sie das Ergebnis und führen Sie die weitere Messung auf die gleiche Weise durch, beginnend mit dem letzten Messpunkt.

Standarddecken sind typisch - 2 Meter 80 Zentimeter, 3 Meter und 3 Meter 20 Zentimeter, je nach Haus. Wenn das Haus vor den 50er Jahren gebaut wurde, ist die tatsächliche Höhe höchstwahrscheinlich etwas niedriger als angegeben. Wenn Sie rechnen Quadrat für Reparaturarbeiten, dann schadet ein kleiner Spielraum nicht - berücksichtigen Sie dies anhand der Norm. Wenn Sie immer noch die tatsächliche Höhe wissen müssen, nehmen Sie Messungen vor. Das Prinzip ist ähnlich wie bei der Längenmessung, allerdings benötigen Sie eine Trittleiter.

Multiplizieren Sie die resultierenden Zahlen - das ist Quadrat dein Wände. Richtig, für Malerarbeiten oder zum Abziehen ist es notwendig Quadrat Tür- und Fensteröffnungen. Legen Sie dazu einen Zentimeter entlang der Öffnung. Wenn es sich um eine Tür handelt, die Sie später ändern werden, dann führen Sie dies mit entferntem Türrahmen durch und denken Sie nur nach Quadrat die Öffnung selbst. Die Fensterfläche wird entlang des Rahmenumfangs berechnet. Nachdem Quadrat Fenster und Türöffnung berechnet, subtrahieren Sie das Ergebnis von der Gesamtfläche des erhaltenen Raums.

Bitte beachten Sie, dass Messungen der Länge und Breite des Raums zusammen durchgeführt werden, es ist einfacher, ein Zentimeter- oder Maßband anzubringen und dementsprechend ein genaueres Ergebnis zu erhalten. Nehmen Sie die gleiche Messung mehrmals vor, um sicherzustellen, dass die Zahlen, die Sie erhalten, korrekt sind.

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Das Volumen eines Dreiecks zu finden ist in der Tat eine nicht triviale Aufgabe. Tatsache ist, dass ein Dreieck eine zweidimensionale Figur ist, d.h. es liegt vollständig in einer Ebene, was bedeutet, dass es einfach kein Volumen hat. Natürlich findet man nichts, was es nicht gibt. Aber geben wir nicht auf! Wir können die folgende Annahme machen - das Volumen einer zweidimensionalen Figur, das ist ihre Fläche. Wir suchen die Fläche des Dreiecks.

Du wirst brauchen

• Blatt Papier, Bleistift, Lineal, Taschenrechner

Anweisung

Zeichne mit Lineal und Bleistift auf ein Blatt Papier. Indem Sie das Dreieck sorgfältig untersuchen, können Sie sicherstellen, dass es wirklich nicht vorhanden ist, da es auf einer Ebene gezeichnet ist. Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks: Eine Seite sei "a", die andere Seite "b" und die dritte Seite "c". Beschriften Sie die Ecken des Dreiecks mit den Buchstaben „A“, „B“ und „C“.

Messen Sie eine beliebige Seite des Dreiecks mit einem Lineal und notieren Sie das Ergebnis. Stellen Sie danach die Senkrechte zur gemessenen Seite vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt wieder her. Eine solche Senkrechte ist die Höhe des Dreiecks. In dem in der Figur gezeigten Fall wird die Senkrechte "h" zur Seite "c" vom Scheitelpunkt "A" wiederhergestellt. Messen Sie die resultierende Höhe mit einem Lineal und notieren Sie das Ergebnis der Messung.

Es kann vorkommen, dass es Ihnen schwer fällt, die exakte Senkrechte wiederherzustellen. In diesem Fall sollten Sie eine andere Formel verwenden. Messen Sie alle Seiten des Dreiecks mit einem Lineal. Berechnen Sie danach den halben Umfang des Dreiecks "p", indem Sie die resultierenden Seitenlängen addieren und ihre Summe halbieren. Wenn Sie den Wert des Halbumfangs zur Verfügung haben, können Sie die Heron-Formel verwenden. Dazu müssen Sie die Quadratwurzel aus dem Folgenden ziehen: p(p-a)(p-b)(p-c).

Sie haben die gewünschte Fläche des Dreiecks erhalten. Das Problem, das Volumen eines Dreiecks zu finden, wurde nicht gelöst, aber wie oben erwähnt, ist das Volumen nicht . In der 3D-Welt finden Sie ein Volumen, das im Wesentlichen ein Dreieck ist. Wenn wir uns vorstellen, dass unser ursprüngliches Dreieck zu einer dreidimensionalen Pyramide geworden ist, dann ist das Volumen einer solchen Pyramide das Produkt aus der Länge ihrer Basis und der Fläche des Dreiecks, das wir erhalten haben.

beachten Sie

Die Berechnungen sind umso genauer, je sorgfältiger Sie die Messungen vornehmen.

Quellen:

• All-to-All-Rechner - Referenzportal
• Dreiecksvolumen im Jahr 2019

Die drei Punkte, die ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definieren, sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position relativ zu jeder der Koordinatenachsen kennen, können Sie alle Parameter dieser flachen Figur berechnen, einschließlich der durch ihren Umfang begrenzten Quadrat. Dies kann auf mehrere Arten erfolgen.

Anweisung

Verwenden Sie die Formel von Heron, um die Fläche zu berechnen Dreieck. Es handelt sich um die Abmessungen der drei Seiten der Figur, also beginnen Sie die Berechnungen mit. Die Länge jeder Seite muss gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Längen ihrer Projektionen auf die Koordinatenachsen sein. Wenn wir die Koordinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) und C(X₃,Y₃,Z₃) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Um die Berechnungen zu vereinfachen, geben Sie eine Hilfsvariable ein - den Halbumfang (P). Daraus ergibt sich die halbe Summe der Längen aller Seiten: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Das Gebietskonzept

Das Konzept der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer solchen Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für eine Einheitsfläche einer beliebigen geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei grundlegende Eigenschaften des Konzepts der Flächen geometrischer Formen.

Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.

Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der ursprünglichen Figur gleich der Summe der Werte der Flächen aller Figuren, aus denen sie besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel 1

Es ist offensichtlich, dass eine der Seiten des Dreiecks die Diagonale des Rechtecks ​​ist, dessen eine Seite die Länge $5$ (da $5$-Zellen) und die andere $6$ (da $6$-Zellen) hat. Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​ist

Dann ist die Fläche des Dreiecks

Antwort: $15$.

Betrachten Sie als Nächstes mehrere Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich unter Verwendung der Höhe und Basis, unter Verwendung der Heron-Formel und der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

So finden Sie die Fläche eines Dreiecks anhand der Höhe und Basis

Satz 1

Die Fläche eines Dreiecks kann als halbes Produkt aus der Länge einer Seite mal der zu dieser Seite gezogenen Höhe ermittelt werden.

Mathematisch sieht es so aus

$S=\frac(1)(2)αh$

wobei $a$ die Länge der Seite ist, $h$ die darauf gezogene Höhe.

Nachweisen.

Betrachten wir das Dreieck $ABC$ mit $AC=α$. Die Höhe $BH$ wird auf diese Seite gezogen und entspricht $h$. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.

Die Fläche des Rechtecks ​​$AXBH$ ist $h\cdot AH$ und die des Rechtecks ​​$HBYC$ ist $h\cdot HC$. Dann

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daher ist die gewünschte Fläche des Dreiecks nach Eigenschaft 2 gleich

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der folgenden Abbildung, wenn die Zelle eine Fläche gleich eins hat

Die Basis dieses Dreiecks ist $9$ (da $9$ $9$ Zellen sind). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwort: 40,5 $.

Heron-Formel

Satz 2

Wenn uns drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ gegeben sind, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier bedeutet $ρ$ den halben Umfang dieses Dreiecks.

Nachweisen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$

Aus dem Dreieck $CBH$ haben wir nach dem Satz des Pythagoras

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann ist $α+β+γ=2ρ$, also

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nach Satz 1 erhalten wir

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Wie Sie sich vielleicht aus dem Schullehrplan für Geometrie erinnern, ist ein Dreieck eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die durch drei Punkte verbunden sind, die nicht auf einer geraden Linie liegen. Das Dreieck bildet drei Winkel, daher der Name der Figur. Die Definition kann unterschiedlich sein. Ein Dreieck kann auch als Polygon mit drei Ecken bezeichnet werden, die Antwort wird genauso wahr sein. Dreiecke werden nach der Anzahl gleicher Seiten und der Größe der Winkel in den Figuren unterteilt. Unterscheiden Sie also solche Dreiecke wie gleichschenklig, gleichseitig und ungleichmäßig sowie rechteckig, spitzwinklig und stumpfwinklig.

Es gibt viele Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Wählen Sie, wie Sie die Fläche eines Dreiecks finden, d.h. welche Formel zu verwenden ist, nur Sie. Es ist jedoch erwähnenswert, dass nur einige der Notationen verwendet werden, die in vielen Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks verwendet werden. Also denk daran:

S ist die Fläche des Dreiecks,

a, b, c sind die Seiten des Dreiecks,

h ist die Höhe des Dreiecks,

R ist der Radius des umschriebenen Kreises,

p ist der Halbumfang.

Hier sind die grundlegenden Notationen, die sich als nützlich erweisen können, wenn Sie den Verlauf der Geometrie vollständig vergessen haben. Die verständlichsten und nicht kompliziertesten Optionen zur Berechnung des unbekannten und mysteriösen Bereichs des Dreiecks werden unten angegeben. Es ist nicht schwierig und wird sich sowohl für Ihre Haushaltsbedürfnisse als auch für die Unterstützung Ihrer Kinder als nützlich erweisen. Erinnern wir uns, wie man die Fläche eines Dreiecks so einfach wie das Schälen von Birnen berechnet:

In unserem Fall ist die Fläche des Dreiecks: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Denken Sie daran, dass die Fläche in Quadratzentimetern (qcm) gemessen wird.

Rechtwinkliges Dreieck und seine Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel gleich 90 Grad (daher rechtwinkliges Dreieck genannt). Ein rechter Winkel wird durch zwei senkrecht zueinander stehende Linien gebildet (bei einem Dreieck zwei senkrecht aufeinander stehende Segmente). In einem rechtwinkligen Dreieck kann es nur einen rechten Winkel geben, weil Die Summe aller Winkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 180 Grad. Es stellt sich heraus, dass 2 andere Winkel die verbleibenden 90 Grad untereinander aufteilen sollten, zum Beispiel 70 und 20, 45 und 45 usw. Sie haben sich also an die Hauptsache erinnert, es bleibt zu lernen, wie man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Stellen Sie sich vor, wir haben ein solches rechtwinkliges Dreieck vor uns, und wir müssen seine Fläche S finden.

1. Der einfachste Weg, die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wird mit der folgenden Formel berechnet:

In unserem Fall beträgt die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

Grundsätzlich ist es nicht mehr notwendig, die Fläche eines Dreiecks auf andere Weise zu verifizieren, da im Alltag wird es sich als nützlich erweisen und nur dieses wird helfen. Es gibt aber auch Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks durch spitze Winkel zu messen.

2. Für andere Berechnungsmethoden benötigen Sie eine Tabelle mit Cosinus, Sinus und Tangens. Urteilen Sie selbst, hier sind einige Möglichkeiten zur Berechnung der Flächen eines rechtwinkligen Dreiecks, die Sie noch verwenden können:

Wir haben uns für die erste Formel und kleine Kleckse entschieden (wir haben in ein Notizbuch gezeichnet und ein altes Lineal und einen Winkelmesser verwendet), aber wir haben die richtige Berechnung erhalten:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Wir haben solche Ergebnisse 3,6 = 3,7 erhalten, aber unter Berücksichtigung der Zellverschiebung können wir diese Nuance verzeihen.

Gleichschenkliges Dreieck und seine Fläche.

Wenn Sie vor der Aufgabe stehen, die Formel eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, verwenden Sie am einfachsten die Hauptformel und die klassische Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Aber zuerst, bevor wir die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks finden, werden wir herausfinden, um welche Art von Figur es sich handelt. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, dessen zwei Seiten gleich lang sind. Diese beiden Seiten werden als Seiten bezeichnet, die dritte Seite wird als Basis bezeichnet. Verwechseln Sie ein gleichschenkliges Dreieck nicht mit einem gleichseitigen, d.h. ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck gibt es keine besonderen Neigungen zu den Winkeln oder vielmehr zu ihrer Größe. Die Winkel an der Basis in einem gleichschenkligen Dreieck sind jedoch gleich, unterscheiden sich jedoch von dem Winkel zwischen gleichen Seiten. Sie kennen also bereits die erste und wichtigste Formel, es bleibt herauszufinden, welche anderen Formeln zur Bestimmung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind:

vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt) und teilen Sie das resultierende Produkt durch zwei. Formlos sieht es so aus:

S = ½ * a * h,

wo:
S ist die Fläche des Dreiecks,
a ist die Länge seiner Seite,
h ist die zu dieser Seite abgesenkte Höhe.

Seitenlänge und Höhe müssen in denselben Einheiten dargestellt werden. In diesem Fall wird die Fläche des Dreiecks in den entsprechenden Einheiten "" angezeigt.

Beispiel.
Auf einer der Seiten eines 20 cm langen ungleichmäßigen Dreiecks wird eine 10 cm lange Senkrechte von der gegenüberliegenden Spitze abgesenkt.
Die Fläche des Dreiecks ist erforderlich.
Lösung.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Wenn Sie die Längen von zwei beliebigen Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks und den Winkel zwischen ihnen kennen, verwenden Sie die Formel:

S = ½ * a * b * sinγ,

wobei: a, b die Längen zweier beliebiger Seiten sind und γ der Winkel zwischen ihnen ist.

In der Praxis, beispielsweise beim Messen von Land, ist die Verwendung der obigen Formeln manchmal schwierig, da zusätzliche Konstruktionen und Winkelmessungen erforderlich sind.

Wenn Sie die Längen aller drei Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks kennen, verwenden Sie die Formel von Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c sind die Seitenlängen des Dreiecks,
р – Halbumfang: p = (a+b+c)/2.

Wenn neben den Längen aller Seiten auch der Radius des dem Dreieck einbeschriebenen Kreises bekannt ist, dann verwende folgende Kompaktformel:

wobei: r der Radius des Inkreises ist (p der Halbumfang).

Verwenden Sie die Formel, um die Fläche eines ungleichmäßigen Dreiecks des umschriebenen Kreises und die Länge seiner Seiten zu berechnen:

wobei: R der Radius des umschriebenen Kreises ist.

Wenn die Länge einer der Seiten des Dreiecks und drei Winkel bekannt sind (im Prinzip reichen zwei aus - der Wert des dritten wird aus der Gleichheit der Summe der drei Winkel des Dreiecks berechnet - 180º), dann verwenden Sie die Formel:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

wobei α der Wert des Winkels gegenüber der Seite a ist;
β, γ sind die Werte der verbleibenden zwei Winkel des Dreiecks.

Die Notwendigkeit, verschiedene Elemente zu finden, einschließlich der Fläche Dreieck, erschien viele Jahrhunderte vor unserer Zeitrechnung unter den gelehrten Astronomen des antiken Griechenlands. Quadrat Dreieck kann mit verschiedenen Formeln auf unterschiedliche Weise berechnet werden. Die Berechnungsmethode hängt davon ab, welche Elemente Dreieck bekannt.

Anweisung

Wenn wir aus der Bedingung die Werte der beiden Seiten b, c und den von ihnen gebildeten Winkel kennen, dann die Fläche Dreieck ABC wird durch die Formel gefunden:
S = (bcsin?)/2.

Wenn wir aus der Bedingung die Werte der beiden Seiten a, b und den nicht von ihnen gebildeten Winkel kennen, dann die Fläche Dreieck ABC findet man wie folgt:
Den Winkel finden?, Sünde? = bsin? / a, weiter auf der Tabelle bestimmen wir den Winkel selbst.
Winkel finden? = 180°-?-?.
Finde den Bereich selbst S = (Absin?)/2.

Wenn wir aus der Bedingung die Werte nur von drei Seiten kennen Dreieck a, b und c, dann die Fläche Dreieck ABC wird durch die Formel gefunden:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , wobei p der Halbumfang p = (a+b+c)/2 ist

Wenn wir aus dem Zustand des Problems die Höhe kennen Dreieck h und die Seite, zu der diese Höhe abgesenkt wird, dann die Fläche Dreieck ABC nach Formel:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Wenn wir die Werte der Seiten kennen Dreieck a, b, c und der Radius des Umschriebenen in der Nähe des Gegebenen Dreieck R, dann der Bereich davon Dreieck ABC wird durch die Formel bestimmt:
S = abc/4R.
Wenn drei Seiten a, b, c und der Radius der Einbeschriftung bekannt sind, dann ist die Fläche Dreieck ABC wird durch die Formel gefunden:
S = pr, wobei p der Halbumfang ist, p = (a+b+c)/2.

Wenn ABC gleichseitig ist, wird die Fläche durch die Formel gefunden:
S = (a^2v3)/4.
Wenn das Dreieck ABC gleichschenklig ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, wobei c ist Dreieck.
Wenn das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = ab/2, wobei a und b Beine sind Dreieck.
Wenn das Dreieck ABC ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck ist, wird die Fläche durch die Formel bestimmt:
S = c^2/4 = a^2/2, wobei c die Hypotenuse ist Dreieck, a=b - Bein.

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Quellen:

• wie man die Fläche eines Dreiecks misst

Tipp 3: So finden Sie die Fläche eines Dreiecks, wenn Sie den Winkel kennen

Es reicht nicht aus, nur einen Parameter (den Wert des Winkels) zu kennen, um die Fläche zu finden tre Quadrat . Wenn es zusätzliche Dimensionen gibt, können Sie zur Bestimmung der Fläche eine der Formeln wählen, in denen der Winkelwert auch als eine der bekannten Variablen verwendet wird. Einige der am häufigsten verwendeten Formeln sind unten aufgeführt.

Anweisung

Wenn zusätzlich der Winkel (γ) von den beiden Seiten gebildet wird tre Quadrat , dann sind auch die Längen dieser Seiten (A und B) bekannt Quadrat(S)-Zahlen können als halbes Produkt der Seitenlängen und des Sinus dieses bekannten Winkels definiert werden: S=½×A×B×sin(γ).