Methode der Koordinaten im Raum: Formeln und Kommentare des Tutors. Wie findet man die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen an einem gegebenen Punkt? Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden - Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors einer Geraden mit bekannten Gleichungen

Was ist normal? Vereinfacht gesagt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf der gegebenen Geraden. Es ist offensichtlich, dass jede gerade Linie unendlich viele davon hat (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (kodirektional oder nicht - es spielt keine Rolle).

Der Umgang mit ihnen wird noch einfacher als mit Richtungsvektoren:

Wenn eine Linie durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Linie.

Wenn die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden müssen, werden die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“.

Der Normalenvektor steht immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Stellen wir sicher, dass diese Vektoren orthogonal sind, indem wir das Skalarprodukt verwenden:

Ich werde Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor geben:

Ist es möglich, eine Geradengleichung zu schreiben, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Ist der Normalenvektor bekannt, so ist auch die Richtung der geradesten Linie eindeutig bestimmt – das ist ein „starres Gebilde“ mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?

Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Linie bekannt sind, wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.

Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Die allgemeine Gleichung der geraden Linie wird erhalten, prüfen wir:

1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: - Ja, tatsächlich, der ursprüngliche Vektor wird aus der Bedingung erhalten (oder der Vektor sollte kollinear zum ursprünglichen Vektor sein).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichberechtigung.

Nachdem wir uns von der Richtigkeit der Gleichung überzeugt haben, erledigen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe. Wir ziehen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antworten:

In der Zeichnung ist die Situation wie folgt:

Zu Trainingszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einem gegebenen Punkt und einem Normalenvektor. Finde den Richtungsvektor der Geraden.

Der letzte Abschnitt der Lektion widmet sich weniger verbreiteten, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form , wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, z. B. direkte Proportionalität (da der freie Term Null ist und es keine Möglichkeit gibt, einen auf die rechte Seite zu bringen).

Dies ist, bildlich gesprochen, eine "technische" Art von Gleichung. Die übliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung als Streckengleichung darzustellen. Warum ist es bequem? Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten ermöglicht es Ihnen, schnell die Schnittpunkte einer geraden Linie mit Koordinatenachsen zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das „y“ zurück und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch erreicht: .

Dasselbe mit der Achse ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet.

Die Handlungen, die ich gerade ausführlich erklärt habe, werden verbal ausgeführt.

Gegeben eine gerade Linie. Stellen Sie die Geradengleichung in Segmenten auf und bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.

Lösung: Bringen wir die Gleichung auf die Form . Zuerst verschieben wir den freien Begriff auf die rechte Seite:

Um eine Einheit auf der rechten Seite zu erhalten, teilen wir jeden Term der Gleichung durch -11:

Wir machen Brüche dreistöckig:

Die Schnittpunkte der Geraden mit den aufgetauchten Koordinatenachsen:

Antworten:

Es bleibt, ein Lineal anzubringen und eine gerade Linie zu zeichnen.

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Gerade durch die roten und grünen Segmente eindeutig bestimmt ist, daher der Name - „Gleichung einer geraden Linie in Segmenten“.

Natürlich sind die Punkte aus der Gleichung nicht so schwer zu finden, aber das Problem ist trotzdem nützlich. Der betrachtete Algorithmus wird benötigt, um die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen zu finden, um die Liniengleichung zweiter Ordnung in die kanonische Form zu bringen, und bei einigen anderen Problemen. Daher ein paar Geraden für eine unabhängige Lösung:

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten auf und bestimmen Sie die Punkte ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Lösungen und Antworten am Ende. Vergessen Sie nicht, dass Sie alles zeichnen können, wenn Sie möchten.

Wie schreibe ich parametrische Gleichungen für eine gerade Linie?

Die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie sind relevanter für gerade Linien im Raum, aber ohne sie wird unsere Zusammenfassung verwaist sein.

Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Richtungsvektor dieser Linie bekannt sind, dann sind die parametrischen Gleichungen dieser Linie durch das System gegeben:

Stellen Sie parametrische Gleichungen einer Geraden durch einen Punkt und einen Richtungsvektor auf

Die Lösung endete, bevor sie beginnen konnte:

Der Parameter „te“ kann jeden Wert von „minus unendlich“ bis „plus unendlich“ annehmen, und jeder Parameterwert entspricht einem bestimmten Punkt der Ebene. Wenn zum Beispiel , dann bekommen wir einen Punkt .

Inverses Problem: Wie überprüft man, ob ein Bedingungspunkt zu einer bestimmten Linie gehört?

Lassen Sie uns die Koordinaten des Punktes in die erhaltenen parametrischen Gleichungen einsetzen:

Aus beiden Gleichungen folgt, dass das System konsistent ist und eine eindeutige Lösung hat.

Betrachten wir sinnvollere Aufgaben:

Stellen Sie parametrische Gleichungen einer Geraden auf

Lösung: Durch Bedingung ist die Gerade in allgemeiner Form gegeben. Um die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie aufzustellen, müssen Sie ihren Richtungsvektor und einen Punkt kennen, der zu dieser geraden Linie gehört.

Finden wir den Richtungsvektor:

Jetzt müssen Sie einen Punkt finden, der zu der Linie gehört (jeder wird es tun), zu diesem Zweck ist es bequem, die allgemeine Gleichung in Form einer Gleichung mit einer Steigung umzuschreiben:

Es bittet natürlich um den Punkt

Wir bilden die Parametergleichungen der Geraden:

Und zum Schluss noch eine kleine kreative Aufgabe für eine eigenständige Lösung.

Stellen Sie parametrische Gleichungen einer Geraden auf, wenn der zugehörige Punkt und der Normalenvektor bekannt sind

Die Aufgabe kann auf mehr als eine Weise erledigt werden. Eine der Versionen der Lösung und die Antwort am Ende.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Finden Sie die Steigung:

Wir setzen die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung zusammen:

Antworten:

Beispiel 4: Lösung: Wir stellen die Geradengleichung nach der Formel auf:

Antworten:

Beispiel 6: Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Antworten: (y-Achse)

Beispiel 8: Lösung: Stellen wir die Gleichung einer Geraden an zwei Punkten auf:

Multiplizieren Sie beide Seiten mit -4:

Und durch 5 teilen:

Antworten:

Beispiel 10: Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Wir reduzieren um -2:

Richtungsvektor direkt:
Antworten:

Beispiel 12:
a) Lösung: Transformieren wir die Gleichung:

Auf diese Weise:

Antworten:

b) Lösung: Transformieren wir die Gleichung:

Auf diese Weise:

Antworten:

Beispiel 15: Lösung: Zuerst schreiben wir die allgemeine Gleichung einer Geraden, wenn ein Punkt gegeben ist und der Normalenvektor :

Mit 12 multiplizieren:

Wir multiplizieren mit 2 mehr, um nach dem Öffnen der zweiten Klammer den Bruch loszuwerden:

Richtungsvektor direkt:
Wir stellen die parametrischen Gleichungen der Geraden durch den Punkt zusammen und Richtungsvektor :
Antworten:

Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene.
Gegenseitige Anordnung von Leitungen. Winkel zwischen Linien

Wir betrachten weiterhin diese unendlich-unendlichen Linien.

Wie finde ich den Abstand von einem Punkt zu einer Linie?
Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?
Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden?

Gegenseitige Anordnung zweier Geraden

Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind:

Der Fall, wenn der Saal im Chor mitsingt. Zwei Zeilen können:

1) Übereinstimmung;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Bitte denken Sie an das Vorzeichen des Schnittpunkts , es wird sehr oft vorkommen. Der Eintrag bedeutet, dass sich die Linie mit der Linie am Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine solche Anzahl von "Lambda", dass die Gleichheiten gelten

Betrachten wir gerade Linien und stellen aus den entsprechenden Koeffizienten drei Gleichungen auf: . Aus jeder Gleichung folgt also, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit -1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduzieren, erhalten Sie die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Linien parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten bei den Variablen proportional sind: , aber .

Betrachten Sie als Beispiel zwei gerade Linien. Wir überprüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch klar, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten bei den Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt NICHT einen solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien werden wir also ein System zusammenstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass , und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet, dass das System inkonsistent ist (es gibt keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten an den Variablen nicht proportional.

Fazit: Geraden schneiden sich

Bei praktischen Problemen kann das eben betrachtete Lösungsschema verwendet werden. Er ist übrigens dem Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität sehr ähnlich. Aber es gibt ein zivilisierteres Paket:

Finden Sie die relative Position der Linien heraus:

Die Lösung basiert auf der Untersuchung von Richtungsvektoren von Geraden:

a) Aus den Gleichungen finden wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, also sind die Vektoren nicht kollinear und die Linien schneiden sich.

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben denselben Richtungsvektor, was bedeutet, dass sie entweder parallel oder gleich sind. Hier ist die Determinante nicht notwendig.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind, während .

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Lassen Sie uns die Determinante berechnen, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt:
, daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich direkt aus dem Verhältnis kollinearer Richtungsvektoren ermitteln. Es ist aber auch durch die Koeffizienten der Gleichungen selbst möglich: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (jede Zahl erfüllt sie im Allgemeinen).

Somit fallen die Linien zusammen.

Wie zeichnet man eine Linie parallel zu einer gegebenen?

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Linie, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichne die unbekannte Gerade mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand dazu? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Linien parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Linie "ce" auch geeignet ist, die Linie "te" zu konstruieren.

Wir entnehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus:

Die analytische Verifizierung besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien denselben Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, dann sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Die analytische Überprüfung ist in den meisten Fällen einfach mündlich durchzuführen. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an und viele von Ihnen werden schnell herausfinden, wie die Linien ohne Zeichnung parallel sind.

Beispiele für Selbstlösungen werden heute kreativ sein.

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden if verläuft

Der kürzeste Weg ist am Ende.

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade im Punkt schneiden, dann sind ihre Koordinaten die Lösung des linearen Gleichungssystems

Wie finde ich den Schnittpunkt von Geraden? Löse das System.

So viel zur geometrischen Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten - das sind zwei sich schneidende (meistens) gerade Linien in einer Ebene.

Finden Sie den Schnittpunkt von Linien

Lösung: Es gibt zwei Möglichkeiten zur Lösung - grafisch und analytisch.

Der grafische Weg besteht darin, einfach die angegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung zu ermitteln:

Hier ist unser Punkt: . Zur Überprüfung sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung einer geraden Linie einsetzen, sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten, die Koordinaten eines Punktes sind die Lösung des Systems . Tatsächlich haben wir eine grafische Methode zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten betrachtet.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, der Punkt ist nicht, dass Siebtklässler so entscheiden, der Punkt ist, dass es Zeit braucht, um eine korrekte und EXAKTE Zeichnung zu erstellen. Außerdem sind einige Linien nicht so einfach zu konstruieren, und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es zweckmäßiger, den Schnittpunkt durch das analytische Verfahren zu suchen. Lösen wir das System:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der termweisen Addition von Gleichungen verwendet.

Die Überprüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es ist zweckmäßig, das Problem in mehrere Phasen zu unterteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass es notwendig ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
2) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
3) Finden Sie die relative Position der Linien heraus.
4) Wenn sich die Linien schneiden, dann finde den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende:

Senkrechte Linien. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Linien

Wie zeichnet man eine Linie senkrecht zu einer gegebenen?

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine senkrechte Linie, die durch einen Punkt geht.

Lösung: Es ist durch Annahme bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Geraden zu finden. Da die Linien senkrecht sind, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Wir setzen die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antworten:

Lassen Sie uns die geometrische Skizze entfalten:

Analytischer Nachweis der Lösung:

1) Extrahieren Sie die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und unter Verwendung des Skalarprodukts von Vektoren schließen wir, dass die Linien tatsächlich senkrecht sind: .

Übrigens, Sie können normale Vektoren verwenden, es ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Die Überprüfung ist wiederum leicht mündlich durchzuführen.

Finden Sie den Schnittpunkt von senkrechten Linien, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es gibt mehrere Aktionen in der Aufgabe, daher ist es bequem, die Lösung Punkt für Punkt anzuordnen.

Abstand von Punkt zu Linie

Der Abstand in der Geometrie wird traditionell mit dem griechischen Buchstaben "p" bezeichnet, zum Beispiel: - der Abstand vom Punkt "m" zur geraden Linie "d".

Abstand von Punkt zu Linie wird durch die Formel ausgedrückt

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Alles, was Sie tun müssen, ist, die Zahlen sorgfältig in die Formel einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen:

Antworten:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie ist genau die Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit anfertigen. \u003d 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten Sie eine andere Aufgabe nach derselben Zeichnung:

Wie konstruiert man einen Punkt, der symmetrisch zu einer Geraden ist?

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu finden, der bezüglich der Geraden symmetrisch zum Punkt liegt . Ich schlage vor, die Aktionen selbst durchzuführen, werde jedoch den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zu einer Linie ist.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Linien: .

In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als KLEINERER Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar oder die entgegengesetzt orientierte „Himbeer“-Ecke wird als solcher betrachtet.

Wenn die Linien senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung des "Scrollens" der Ecke grundlegend wichtig. Zweitens wird ein negativ orientierter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, z. B. wenn .

Warum habe ich das gesagt? Es scheint, dass Sie mit dem üblichen Konzept eines Winkels auskommen können. Tatsache ist, dass in den Formeln, mit denen wir die Winkel finden, leicht ein negatives Ergebnis erhalten werden kann, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. In der Zeichnung für einen negativen Winkel muss die Ausrichtung (im Uhrzeigersinn) unbedingt mit einem Pfeil angegeben werden.

Basierend auf dem Vorhergehenden wird die Lösung praktischerweise in zwei Schritten formalisiert:

1) Berechnen Sie das Skalarprodukt von Richtungsvektoren von Geraden:
Die Linien sind also nicht senkrecht.

2) Wir finden den Winkel zwischen den Linien durch die Formel:

Mit der Umkehrfunktion ist es einfach, den Winkel selbst zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arcustangens:

Antworten:

In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.

Nun, Minus, also Minus, es ist okay. Hier ist eine geometrische Darstellung:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da die erste Zahl im Zustand des Problems eine gerade Linie ist und die „Verdrehung“ des Winkels genau von ihr aus begann.

Es gibt auch eine dritte Lösung. Die Idee ist, den Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Linien zu berechnen:

Hier sprechen wir nicht von einem orientierten Winkel, sondern „nur von einem Winkel“, das heißt, das Ergebnis wird sicherlich positiv sein. Der Haken ist, dass Sie einen stumpfen Winkel bekommen können (nicht den, den Sie brauchen). In diesem Fall müssen Sie reservieren, dass der Winkel zwischen den Linien kleiner ist, und den resultierenden Arkuskosinus von „Pi“ im Bogenmaß (180 Grad) subtrahieren.

Finden Sie den Winkel zwischen den Linien.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Versuchen Sie es auf zwei Arten zu lösen.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3: Lösung: Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden:

Wir werden die Gleichung der gewünschten Geraden aus dem Punkt und dem Richtungsvektor zusammenstellen

Hinweis: hier wird die erste Gleichung des Systems mit 5 multipliziert, dann wird die 2. Term für Term von der 1. Gleichung subtrahiert.
Antworten:

Der Normalenvektor zur Oberfläche an einem Punkt fällt mit der Normalen zur Tangentialebene an diesem Punkt zusammen.

Normaler Vektor zur Oberfläche an einem gegebenen Punkt ist der Einheitsvektor, der auf den gegebenen Punkt und parallel zur Richtung der Normalen angewendet wird. Für jeden Punkt auf einer glatten Oberfläche können Sie zwei Normalenvektoren angeben, die sich in der Richtung unterscheiden. Wenn auf einer Fläche ein kontinuierliches Feld von Normalenvektoren definiert werden kann, dann wird dieses Feld als definierend bezeichnet Orientierung Oberfläche (dh wählt eine der Seiten aus). Wenn dies nicht möglich ist, wird die Oberfläche aufgerufen nicht orientierbar.

Ähnlich definiert normaler Vektor auf die Kurve an einem bestimmten Punkt. Offensichtlich können an einem bestimmten Punkt unendlich viele nicht parallele Normalenvektoren an eine Kurve angehängt werden (ähnlich wie an eine Fläche unendlich viele nicht parallele Tangentenvektoren angehängt werden können). Unter ihnen werden zwei ausgewählt, die orthogonal zueinander sind: der Hauptnormalenvektor und der Binormalenvektor.

siehe auch

Literatur

• Pogorelov A. I. Differentialgeometrie (6. Auflage). Moskau: Nauka, 1974 (djvu)

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Synonyme:

• Schlacht von Trebbia (1799)
• Grammonit

Sehen Sie, was "Normal" in anderen Wörterbüchern ist:

NORMAL- (Fr.). Senkrecht zur Tangente, die an dem gegebenen Punkt an die Kurve gezogen wird, deren Normale gesucht wird. Wörterbuch der in der russischen Sprache enthaltenen Fremdwörter. Chudinov A.N., 1910. NORMALE senkrechte Linie zur Tangente, die an ... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

normal- und ... nun ja. normal f. lat. normalisiert. 1. Matte. Senkrecht zu einer Tangentenlinie oder -ebene, die durch den Tangentenpunkt verläuft. BASS 1. Normale Linie oder normal. In der analytischen Geometrie ist dies der Name einer geraden Linie senkrecht zu ... ... Historisches Wörterbuch der Gallizismen der russischen Sprache

normal- aufrecht. Ameise. paralleles Wörterbuch der russischen Synonyme. normales Substantiv, Anzahl Synonyme: 3 binormal (1) … Synonymwörterbuch

NORMAL- (von lat. normalis Gerade) zu einer gekrümmten Linie (Fläche) an ihrem gegebenen Punkt, eine Gerade, die durch diesen Punkt verläuft und senkrecht zur Tangente (Tangentenebene) an diesem Punkt ...

NORMAL- veralteter Name des Standards ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

NORMAL- NORMAL, normal, weiblich. 1. Senkrecht zu einer Tangente oder Ebene, die durch den Kontaktpunkt verläuft (mat.). 2. Detail eines werkseitig verbauten Musters (techn.). Erklärendes Wörterbuch von Ushakov. DN Uschakow. 1935 1940 ... Erklärendes Wörterbuch von Ushakov

normal- normaler vertikaler Standard real - [L.G.Sumenko. Englisch-Russisches Wörterbuch der Informationstechnologien. M.: GP TsNIIS, 2003.] Themen Informationstechnik allgemein Synonyme normal vertikal Standard real EN normal ... Handbuch für technische Übersetzer

normal- und; und. [von lat. normalis geradlinig] 1. Mat. Senkrecht zu einer Tangentenlinie oder -ebene, die durch den Tangentenpunkt verläuft. 2. Tech. Detail der etablierten Probe. * * * Normale I (von lat. normalis gerade) zu einer gekrümmten Linie (Fläche) in ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

NORMAL- (frz. normal normal, norm, von lat. normalis gerade) 1) N. im Standard und für und und veralteter Name. Standard. 2) N. in der Mathematik N. zu einer Kurve (Fläche) an einem bestimmten Punkt heißt. eine gerade Linie, die durch diesen Punkt verläuft und senkrecht zur Tangente ist. ... ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

normal- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normaler Wok. Normale, f rus. Normal, Franken. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Bücher

• Geometry of Algebraic Equations Solvable in Radicals: With Applications in Numerical Methods and Computational Geometry, Kutishchev G.P. Diese…

Um die Gleichungen einer geraden Linie zu studieren, ist es notwendig, ein gutes Verständnis der Algebra von Vektoren zu haben. Es ist wichtig, den Richtungsvektor und den Normalenvektor der Linie zu finden. In diesem Artikel wird der Normalenvektor einer Geraden anhand von Beispielen und Zeichnungen betrachtet und seine Koordinaten ermittelt, wenn die Gleichungen der Geraden bekannt sind. Eine Detaillösung wird geprüft.

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Um das Material leichter verdaulich zu machen, müssen Sie die Konzepte von Linien, Ebenen und Definitionen verstehen, die mit Vektoren verbunden sind. Machen wir uns zunächst mit dem Konzept eines geraden Linienvektors vertraut.

Bestimmung 1

Normaler Linienvektor jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie senkrecht zu der gegebenen liegt, wird aufgerufen.

Es ist klar, dass es eine unendliche Menge von Normalenvektoren gibt, die auf einer gegebenen Linie liegen. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Wir erhalten, dass die Linie senkrecht zu einer der beiden gegebenen parallelen Linien steht, dann erstreckt sich ihre Rechtwinkligkeit auf die zweite parallele Linie. Daher erhalten wir, dass die Sätze von Normalenvektoren dieser parallelen Linien zusammenfallen. Wenn die Linien a und a 1 parallel sind und n → als Normalenvektor der Linie a angesehen wird, wird es auch als Normalenvektor für die Linie a 1 betrachtet. Wenn die Gerade a einen direkten Vektor hat, dann ist der Vektor t · n → für jeden Wert des Parameters t ungleich Null und auch für die Gerade a normal.

Aus der Definition von Normalen- und Richtungsvektoren kann man schließen, dass der Normalenvektor senkrecht zur Richtung steht. Betrachten Sie ein Beispiel.

Wenn die Ebene O x y gegeben ist, dann ist die Menge der Vektoren für O x der Koordinatenvektor j → . Sie wird als nicht null betrachtet und gehört zur Koordinatenachse O y senkrecht zu O x . Der gesamte Satz von Normalenvektoren bezüglich O x kann geschrieben werden als t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Das Rechtecksystem O x y z hat einen Normalenvektor i → bezogen auf die Gerade O z . Der Vektor j → wird auch als normal betrachtet. Dies zeigt, dass jeder Nicht-Null-Vektor, der sich in irgendeiner Ebene und senkrecht zu O z befindet, als normal für O z betrachtet wird.

Koordinaten des Normalenvektors der Linie - Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors der Linie aus den bekannten Gleichungen der Linie

Betrachtet man ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y, so stellt man fest, dass ihm die Gleichung einer Geraden in einer Ebene entspricht und die Definition von Normalenvektoren durch Koordinaten erfolgt. Wenn die Gleichung der geraden Linie bekannt ist, aber die Koordinaten des Normalenvektors gefunden werden müssen, müssen die Koeffizienten aus der Gleichung A x + B y + C = 0 identifiziert werden, die den Koordinaten von entsprechen der Normalenvektor der gegebenen Geraden.

Beispiel 1

Eine gerade Linie der Form 2 x + 7 y - 4 = 0 _ ist gegeben, finde die Koordinaten des Normalenvektors.

Lösung

Als Bedingung haben wir, dass die Gerade durch die allgemeine Gleichung gegeben ist, was bedeutet, dass es notwendig ist, die Koeffizienten auszuschreiben, die die Koordinaten des Normalenvektors sind. Die Koordinaten des Vektors haben also die Werte 2,7.

Antworten: 2 , 7 .

Es gibt Zeiten, in denen A oder B aus einer Gleichung Null ist. Betrachten wir die Lösung einer solchen Aufgabe anhand eines Beispiels.

Beispiel 2

Geben Sie den Normalenvektor für die gegebene Linie y - 3 = 0 an.

Lösung

Als Bedingung erhalten wir die allgemeine Geradengleichung, das heißt wir schreiben sie so 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Jetzt können wir deutlich die Koeffizienten sehen, die die Koordinaten des Normalenvektors sind. Wir erhalten also, dass die Koordinaten des Normalenvektors 0 , 1 sind.

Antwort: 0 , 1 .

Wenn eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b \u003d 1 oder eine Gleichung mit einer Steigung y \u003d k x + b angegeben ist, muss sie auf eine allgemeine Gleichung einer geraden Linie reduziert werden, in der Sie die Koordinaten finden können des Normalenvektors dieser Geraden.

Beispiel 3

Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors, wenn die Geradengleichung x 1 3 - y = 1 gegeben ist.

Lösung

Zuerst müssen Sie von der Gleichung in den Intervallen x 1 3 - y = 1 zu einer allgemeinen Gleichung übergehen. Dann erhalten wir x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Dies zeigt, dass die Koordinaten des Normalenvektors den Wert 3, -1 haben.

Antworten: 3 , - 1 .

Wenn die Linie durch die kanonische Gleichung der Linie in der Ebene definiert ist x - x 1 a x = y - y 1 a y oder durch die Parametrik x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , dann erhält man die Koordinaten wird komplizierter. Gemäß diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass die Koordinaten des Richtungsvektors a → = (a x , a y) sein werden. Die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors n → zu finden, ist aufgrund der Bedingung möglich, dass die Vektoren n → und a → senkrecht stehen.

Es ist möglich, die Koordinaten eines Normalenvektors zu erhalten, indem man die kanonischen oder parametrischen Gleichungen einer geraden Linie auf eine allgemeine reduziert. Dann bekommen wir:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Für die Lösung können Sie jede geeignete Methode wählen.

Beispiel 4

Finden Sie den Normalenvektor der gegebenen Linie x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Lösung

Aus der Geraden x - 2 7 = y + 3 - 2 ist klar, dass der Richtungsvektor die Koordinaten a → = (7 , - 2) haben wird. Der Normalenvektor n → = (n x , n y) der gegebenen Geraden steht senkrecht auf a → = (7 , - 2) .

Lassen Sie uns herausfinden, was das Skalarprodukt gleich ist. Um das Skalarprodukt der Vektoren a → = (7 , - 2) und n → = (n x , n y) zu finden, schreiben wir a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Der Wert von n x ist beliebig, Sie sollten n y finden. Wenn n x = 1, dann erhalten wir 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Daher hat der Normalenvektor die Koordinaten 1 , 7 2 .

Der zweite Lösungsweg beruht auf der Tatsache, dass es notwendig ist, von der kanonischen zur allgemeinen Form der Gleichung zu gelangen. Dazu transformieren wir

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Das Ergebnis der Normalenvektorkoordinaten ist 2 , 7 .

Antwort: 2, 7 oder 1 , 7 2 .

Beispiel 5

Geben Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden x = 1 y = 2 - 3 · λ an.

Lösung

Zuerst müssen Sie eine Transformation durchführen, um zur allgemeinen Form einer geraden Linie zu gelangen. Lass es uns tun:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Dies zeigt, dass die Koordinaten des Normalenvektors -3, 0 sind.

Antworten: - 3 , 0 .

Überlegen Sie, wie Sie die Koordinaten eines Normalenvektors in der Gleichung einer geraden Linie im Raum finden können, die durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z gegeben ist.

Wenn eine Linie durch die Gleichungen der sich schneidenden Ebenen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 gegeben ist, dann ist der Normalenvektor von die Ebene bezieht sich auf A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, dann erhalten wir die Vektoren in der Form n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) und n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Wenn die Linie unter Verwendung der kanonischen Raumgleichung mit der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z oder parametrisch mit der Form x = x 1 + a x λ y = y 1 + definiert wird a y λ z = z 1 + a z · λ , also werden a x , a y und a z als die Koordinaten des Richtungsvektors der gegebenen Geraden betrachtet. Jeder Nicht-Null-Vektor kann für eine gegebene Linie normal und senkrecht zum Vektor a → = (a x , a y , a z) sein. Daraus folgt, dass die Koordinaten der Normalen mit parametrischen und kanonischen Gleichungen unter Verwendung der Koordinaten des Vektors gefunden werden, der senkrecht auf dem gegebenen Vektor a → = (a x, a y, a z) steht.

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Sie kann auf verschiedene Arten angegeben werden (ein Punkt und ein Vektor, zwei Punkte und ein Vektor, drei Punkte usw.). Vor diesem Hintergrund kann die Gleichung der Ebene verschiedene Formen annehmen. Unter bestimmten Bedingungen können die Ebenen auch parallel, senkrecht, sich schneidend usw. sein. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen. Wir werden lernen, wie man die allgemeine Gleichung der Ebene schreibt und nicht nur.

Normalform der Gleichung

Angenommen, es gibt einen Raum R 3 mit einem rechteckigen Koordinatensystem XYZ. Stellen wir den Vektor α ein, der vom Anfangspunkt O losgelassen wird. Durch das Ende des Vektors α zeichnen wir die Ebene P, die senkrecht dazu steht.

Bezeichne mit P einen beliebigen Punkt Q=(x, y, z). Wir werden den Radiusvektor des Punktes Q mit dem Buchstaben p signieren. Die Länge des Vektors α ist p=IαI und Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dies ist ein Einheitsvektor, der wie der Vektor α zur Seite zeigt. α, β und γ sind die Winkel, die sich zwischen dem Vektor Ʋ und den positiven Richtungen der Raumachsen x, y bzw. z bilden. Die Projektion eines Punktes QϵП auf den Vektor Ʋ ist ein konstanter Wert gleich р: (ð,Ʋ) = ð(ð≥0).

Diese Gleichung ist sinnvoll, wenn p = 0 ist. Die einzige Sache ist, dass die Ebene P in diesem Fall den Punkt O (α = 0) schneidet, der der Ursprung ist, und der Einheitsvektor Ʋ, der vom Punkt O losgelassen wird, senkrecht zu P steht, unabhängig von seiner Richtung, was bedeutet dass der Vektor Ʋ vorzeichengenau bestimmt wird. Die vorherige Gleichung ist die Gleichung unserer P-Ebene, ausgedrückt in Vektorform. Aber in Koordinaten sieht es so aus:

P ist hier größer oder gleich 0. Wir haben die Gleichung einer Ebene im Raum in Normalform gefunden.

Allgemeine Gleichung

Wenn wir die Gleichung in Koordinaten mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht, die dieselbe Ebene bestimmt. Es wird so aussehen:

Hier sind A, B, C Zahlen, die gleichzeitig von Null verschieden sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Ebenengleichung bezeichnet.

Ebene Gleichungen. Spezialfälle

Die Gleichung in allgemeiner Form kann bei Vorliegen zusätzlicher Bedingungen modifiziert werden. Betrachten wir einige von ihnen.

Angenommen, der Koeffizient A sei 0. Das bedeutet, dass die gegebene Ebene parallel zur gegebenen Achse Ox ist. In diesem Fall ändert sich die Form der Gleichung: Ву+Cz+D=0.

In ähnlicher Weise ändert sich die Form der Gleichung unter den folgenden Bedingungen:

• Erstens, wenn B = 0, ändert sich die Gleichung zu Ax + Cz + D = 0, was Parallelität zur Oy-Achse anzeigt.
• Zweitens, wenn С=0, dann wird die Gleichung in Ах+Ву+D=0 umgewandelt, was die Parallelität zur gegebenen Achse Oz anzeigt.
• Drittens, wenn D=0, sieht die Gleichung wie folgt aus: Ax+By+Cz=0, was bedeutet, dass die Ebene O (den Ursprung) schneidet.
• Viertens, wenn A=B=0, dann ändert sich die Gleichung zu Cz+D=0, was sich als parallel zu Oxy erweisen wird.
• Fünftens, wenn B=C=0, dann wird die Gleichung zu Ax+D=0, was bedeutet, dass die Ebene zu Oyz parallel ist.
• Sechstens, wenn A=C=0, dann nimmt die Gleichung die Form Ву+D=0 an, das heißt, sie meldet Parallelität an Oxz.

Art der Gleichung in Segmenten

Falls die Zahlen A, B, C, D nicht Null sind, kann die Form der Gleichung (0) wie folgt sein:

x/a + y/b + z/c = 1,

wobei a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Wir erhalten als Ergebnis Es ist erwähnenswert, dass diese Ebene die Ox-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (a,0,0), Oy - (0,b,0) und Oz - (0,0,c) schneidet. .

Unter Berücksichtigung der Gleichung x/a + y/b + z/c = 1 ist es einfach, die Platzierung der Ebene relativ zu einem gegebenen Koordinatensystem visuell darzustellen.

Normale Vektorkoordinaten

Der Normalenvektor n zur Ebene P hat Koordinaten, die die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der gegebenen Ebene sind, dh n (A, B, C).

Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, genügt es, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene zu kennen.

Bei Verwendung der Segmentgleichung, die die Form x/a + y/b + z/c = 1 hat, sowie bei Verwendung der allgemeinen Gleichung, kann man die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors einer gegebenen Ebene schreiben: (1 /a + 1/b + 1/ Mit).

Es ist erwähnenswert, dass der normale Vektor hilft, verschiedene Probleme zu lösen. Am häufigsten sind Aufgaben, die darin bestehen, die Rechtwinkligkeit oder Parallelität von Ebenen zu beweisen, Probleme beim Finden von Winkeln zwischen Ebenen oder Winkeln zwischen Ebenen und Linien.

Ansicht der Ebenengleichung gemäß den Koordinaten des Punktes und des Normalenvektors

Ein Vektor n ungleich Null, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht, heißt normal (normal) für eine gegebene Ebene.

Angenommen, im Koordinatenraum (rechtwinkliges Koordinatensystem) seien Oxyz gegeben:

• Punkt Mₒ mit Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ);
• Nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene aufzustellen, die durch den Punkt Mₒ senkrecht zur Normalen n verläuft.

Im Raum wählen wir einen beliebigen Punkt und bezeichnen ihn mit M (x y, z). Der Radiusvektor jedes Punktes M (x, y, z) sei r=x*i+y*j+z*k, und der Radiusvektor des Punktes Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) – rₒ=xₒ* i+yₒ*j+zₒ*k. Der Punkt M gehört zu der gegebenen Ebene, wenn der Vektor MₒM senkrecht zum Vektor n ist. Wir schreiben die Orthogonalitätsbedingung mit dem Skalarprodukt:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM \u003d r-rₒ sieht die Vektorgleichung der Ebene so aus:

Diese Gleichung kann eine andere Form annehmen. Dazu werden die Eigenschaften des Skalarprodukts genutzt und die linke Seite der Gleichung transformiert. = - . Wenn als c bezeichnet, wird die folgende Gleichung erhalten: - c \u003d 0 oder \u003d c, die die Konstanz der Projektionen auf den Normalenvektor der Radiusvektoren der gegebenen Punkte ausdrückt, die zur Ebene gehören.

Jetzt können Sie die Koordinatenform des Schreibens der Vektorgleichung unserer Ebene = 0 erhalten. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k und n = A*i+B*j+C*k, wir haben:

Es stellt sich heraus, dass wir eine Gleichung für eine Ebene haben, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zur Normalen n steht:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Ansicht der Ebenengleichung gemäß den Koordinaten zweier Punkte und eines zur Ebene kollinearen Vektors

Wir definieren zwei beliebige Punkte M′ (x′,y′,z′) und M″ (x″,y″,z″), sowie den Vektor a (a′,a″,a‴).

Jetzt können wir eine Gleichung für eine gegebene Ebene aufstellen, die durch die verfügbaren Punkte M′ und M″ sowie jeden beliebigen Punkt M mit Koordinaten (x, y, z) parallel zum gegebenen Vektor a verläuft.

In diesem Fall müssen die Vektoren M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) und M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) koplanar mit dem Vektor sein a=(a′,a″,a‴), was bedeutet, dass (M′M, M″M, a)=0.

Unsere Gleichung einer Ebene im Raum sieht also so aus:

Typ der Gleichung einer Ebene, die drei Punkte schneidet

Angenommen, wir haben drei Punkte: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), die nicht zu derselben Geraden gehören. Es ist notwendig, die Gleichung der Ebene zu schreiben, die durch die gegebenen drei Punkte geht. Die Theorie der Geometrie behauptet, dass diese Art von Ebene wirklich existiert, nur ist sie die einzige und unnachahmlich. Da diese Ebene den Punkt (x′, y′, z′) schneidet, lautet die Form ihrer Gleichung wie folgt:

Hier sind A, B, C gleichzeitig von Null verschieden. Außerdem schneidet die gegebene Ebene zwei weitere Punkte: (x″,y″,z″) und (x‴,y‴,z‴). Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Nun können wir ein homogenes System mit Unbekannten u, v, w zusammensetzen:

In unserem Fall ist x, y oder z ein beliebiger Punkt, der Gleichung (1) erfüllt. Unter Berücksichtigung der Gleichung (1) und des Gleichungssystems (2) und (3) erfüllt das in der obigen Abbildung angegebene Gleichungssystem den Vektor N (A, B, C), was nicht trivial ist. Deshalb ist die Determinante dieses Systems gleich Null.

Gleichung (1), die wir erhalten haben, ist die Gleichung der Ebene. Es geht genau durch 3 Punkte, und das ist leicht zu überprüfen. Dazu müssen wir unsere Determinante über die Elemente in der ersten Zeile erweitern. Aus den vorhandenen Eigenschaften der Determinante folgt, dass unsere Ebene gleichzeitig drei anfangs gegebene Punkte (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) schneidet . Das heißt, wir haben die vor uns gestellte Aufgabe gelöst.

Diederwinkel zwischen Ebenen

Ein V-Winkel ist eine räumliche geometrische Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die von einer Geraden ausgehen. Mit anderen Worten, dies ist der Teil des Raums, der durch diese Halbebenen begrenzt ist.

Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

Wir wissen, dass die Vektoren N=(A,B,C) und N¹=(A¹,B¹,C¹) senkrecht zu den gegebenen Ebenen stehen. Dabei ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleich dem Winkel (Dieder), der zwischen diesen Ebenen liegt. Das Skalarprodukt hat die Form:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

gerade weil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Es genügt zu berücksichtigen, dass 0≤φ≤π gilt.

Tatsächlich bilden zwei Ebenen, die sich schneiden, zwei (Dieder-)Winkel: φ 1 und φ 2 . Ihre Summe ist gleich π (φ 1 + φ 2 = π). Was ihre Kosinusse betrifft, so sind ihre Absolutwerte gleich, aber sie unterscheiden sich in den Vorzeichen, dh cos φ 1 = -cos φ 2. Wenn wir in Gleichung (0) A, B und C durch die Zahlen -A, -B bzw. -C ersetzen, dann bestimmt die Gleichung, die wir erhalten, dieselbe Ebene, den einzigen Winkel φ in der Gleichung cos φ= NN 1 /|N||N 1 | wird durch π-φ ersetzt.

Gleichung der senkrechten Ebene

Ebenen heißen senkrecht, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt. Mit dem oben skizzierten Material können wir die Gleichung einer Ebene finden, die senkrecht zu einer anderen steht. Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen: Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Wir können sagen, dass sie senkrecht stehen, wenn cosφ=0 ist. Das bedeutet, dass NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallelebenengleichung

Parallel sind zwei Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte enthalten.

Die Bedingung (ihre Gleichungen sind die gleichen wie im vorigen Absatz) ist, dass die Vektoren N und N¹, die senkrecht zu ihnen stehen, kollinear sind. Damit sind folgende Verhältnismäßigkeitsbedingungen erfüllt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Wenn die Proportionalitätsbedingungen erweitert werden - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dies zeigt an, dass diese Ebenen zusammenfallen. Das bedeutet, dass die Gleichungen Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 eine Ebene beschreiben.

Abstand zur Ebene vom Punkt

Nehmen wir an, wir haben eine Ebene P, die durch Gleichung (0) gegeben ist. Es ist notwendig, die Entfernung vom Punkt mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ zu finden. Dazu müssen Sie die Gleichung der Ebene P in Normalform bringen:

(ρ,v)=p (p≥0).

In diesem Fall ist ρ(x,y,z) der Radiusvektor unseres Punktes Q, der auf P liegt, p ist die Länge der Senkrechten P, die vom Nullpunkt gelöst wurde, v ist der Einheitsvektor, das heißt in a-Richtung gelegen.

Die Differenz ρ-ρº des Radiusvektors eines Punktes Q \u003d (x, y, z), der zu P gehört, sowie des Radiusvektors eines bestimmten Punktes Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ist so a Vektor, dessen absoluter Wert der Projektion auf v gleich dem Abstand d ist, der von Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) zu P gefunden werden muss:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, aber

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Es stellt sich also heraus

d = |(ρ 0 , v) – p|.

So finden wir den absoluten Wert des resultierenden Ausdrucks, dh das gewünschte d.

Unter Verwendung der Sprache der Parameter erhalten wir das Offensichtliche:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Wenn der gegebene Punkt Q 0 auf der anderen Seite der Ebene P liegt, sowie der Ursprung, dann ist zwischen dem Vektor ρ-ρ 0 und v daher:

d = (ρ – ρ 0 , v) = (ρ 0 , v) – p > 0.

Wenn sich der Punkt Q 0 zusammen mit dem Ursprung auf derselben Seite von P befindet, ist der erzeugte Winkel spitz, das heißt:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass im ersten Fall (ρ 0 ,v)> р, im zweiten (ρ 0 ,v)<р.

Tangentialebene und ihre Gleichung

Die Tangentialebene an die Fläche am Tangentenpunkt Mº ist die Ebene, die alle möglichen Tangenten an die durch diesen Punkt auf der Fläche gezogenen Kurven enthält.

Mit dieser Form der Oberflächengleichung F (x, y, z) \u003d 0 sieht die Gleichung der Tangentialebene am Tangentialpunkt Mº (xº, yº, zº) folgendermaßen aus:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Wenn Sie die Fläche in expliziter Form z=f (x, y) angeben, dann wird die Tangentialebene durch die Gleichung beschrieben:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Schnittpunkt zweier Ebenen

Im Koordinatensystem (rechteckig) befindet sich Oxyz, zwei Ebenen П′ und П″ sind gegeben, die sich schneiden und nicht zusammenfallen. Da jede Ebene, die sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem befindet, durch die allgemeine Gleichung bestimmt ist, nehmen wir an, dass P' und P'' durch die Gleichungen A'x+B'y+C'z+D'=0 und A''x gegeben sind +B″y+ С″z+D″=0. In diesem Fall haben wir die Normale n′ (A′, B′, C′) der P′-Ebene und die Normale n″ (A″, B″, C″) der P″-Ebene. Da unsere Ebenen nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, sind diese Vektoren nicht kollinear. In der Sprache der Mathematik können wir diese Bedingung wie folgt schreiben: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Die Linie, die am Schnittpunkt von P′ und P″ liegt, sei mit a bezeichnet, in diesem Fall a = P′ ∩ P″.

a ist eine Gerade, die aus der Menge aller Punkte der (gemeinsamen) Ebenen П′ und П″ besteht. Das bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Linie a gleichzeitig die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x+B″y+C″z+D″= erfüllen müssen 0. Das bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes eine spezielle Lösung des folgenden Gleichungssystems sind:

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die (allgemeine) Lösung dieses Gleichungssystems die Koordinaten jedes der Punkte der Geraden bestimmt, die als Schnittpunkt von П′ und П″ dienen, und die Gerade bestimmt Linie a im Koordinatensystem Oxyz (rechteckig) im Raum.

Die Normale der Ebene n (der Vektor der Normalen zur Ebene) ist eine beliebige senkrecht darauf gerichtete (ein orthogonaler Vektor). Nachfolgende Berechnungen zur Definition der Normalen hängen von der Methode zur Angabe der Ebene ab.

Anweisung

1. Wenn die allgemeine Gleichung der Ebene gegeben ist - AX + BY + CZ + D \u003d 0 oder ihre Form A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) \u003d 0, dann ist dies der Fall möglich, das Ergebnis sofort aufzuschreiben - n (A , B, C). Tatsache ist, dass diese Gleichung als Problem der Bestimmung der Gleichung einer Ebene entlang einer Normalen und eines Punktes erhalten wurde.

2. Um das Gesamtergebnis zu erhalten, benötigen Sie das Kreuzprodukt von Vektoren, da letzteres immer senkrecht zu den Ausgangsvektoren steht. Es stellt sich heraus, dass das Vektorprodukt von Vektoren ein bestimmter Vektor ist, dessen Modul gleich dem Produkt des Moduls des ersten (a) durch das Modul des zweiten (b) und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Außerdem ist dieser Vektor (mit n bezeichnet) orthogonal zu a und b - dies ist der Hauptvektor. Das Tripel dieser Vektoren ist rechts, das heißt, vom Ende von n aus wird die kürzeste Drehung von a nach b gegen den Uhrzeigersinn gemacht. ist eine der allgemein akzeptierten Notationen für ein Vektorprodukt. Zur Berechnung des Kreuzprodukts in Koordinatenform wird ein Determinantenvektor verwendet (siehe Abb. 1)

3. Um nicht mit dem „-“-Zeichen verwechselt zu werden, schreiben Sie die Summe wie folgt um: n=(nx, ny, nz)=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx) und in Koordinaten: (nx, ny, nz)=((aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)) , ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

4. Kehren Sie zum vorliegenden Problem zurück. Das Flugzeug kann auf verschiedene Arten eingestellt werden. Die Normale zur Ebene sei durch zwei nicht kollineare Vektoren bestimmt, und zwar sofort numerisch. Gegeben seien die Vektoren a(2, 4, 5) und b(3, 2, 6). Die Normale zur Ebene fällt mit ihrem Vektorprodukt zusammen und ist, wie gerade herausgefunden wurde, gleich n(nx, ny, nz),nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. In diesem Fall ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Somit ist nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Normal erkannt – n(14, –3, –4). Darüber hinaus ist es eine Normalität für eine ganze Familie von Flugzeugen.

Unter dem mathematischen Begriff normal verbirgt eine bekanntere Darstellung der Senkrechten. Das heißt, die Aufgabe, die Normale zu finden, besteht darin, die Gleichung einer geraden Linie zu finden, die senkrecht zu einer bestimmten Schräge oder Fläche steht, die durch einen bestimmten Punkt verläuft. Je nachdem, ob in einem Flugzeug oder im Weltall detektiert werden soll normal, wird dieses Problem auf unterschiedliche Weise gelöst. Betrachten wir beide Versionen des Problems.

Du wirst brauchen

• Fähigkeit, Ableitungen von Funktionen zu finden, Wissen, partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen zu finden

Anweisung

1. Die auf der Ebene gegebene Normale zur Schrägen in Form der Gleichung y = f(x) Finden Sie den Wert der Funktion, die die Gleichung dieser Schrägen bestimmt, an der Stelle, wo die Normalengleichung gesucht wird: a = f(x0 ). Wir finden die Ableitung dieser Funktion: f "(x). Wir suchen den Wert der Ableitung an derselben Stelle: B = f" (x0). Berechnen Sie den Wert des weiteren Ausdrucks: C = a – B*x0. Wir erstellen die Gleichung der Normalen, die wie folgt aussehen wird: y \u003d B * x + C.

2. Die Flächennormale oder Schräge, im Raum gegeben in Form der Gleichung f = f (x, y, z) Wir finden partielle Ableitungen der uns gegebenen Funktion: f'x(x, y, z), f'y (x, yz), f'z(x,y,z). Wir suchen den Wert dieser Ableitungen am Punkt M(x0,y0,z0) - dem Punkt, an dem es notwendig ist, die Gleichung der Flächennormalen oder der Raumschräge zu finden: A = f'x(x0 ,y0,z0), B = f'y(x0, y0,z0), C = f'z(x0,y0,z0). Wir erstellen die normale Gleichung, die wie folgt aussehen wird: (x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C

3. Beispiel: Finden wir die Gleichung der Normalen zur Funktion y \u003d x - x ^ 2 am Punkt x \u003d 1. Der Wert der Funktion an diesem Punkt a \u003d 1 - 1 \u003d 0. Die Ableitung der Funktion y ' \u003d 1 - 2x, an dieser Stelle B \u003d y " (1) \u003d -1. Wir berechnen C \u003d 0 - (-1) * 1 \u003d 1. Die gewünschte Normalgleichung hat die Form: y \u003d -x + 1

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Nützlicher Rat
Partielle Ableitungen jeder Funktion sind leicht zu erkennen, indem man sich vorstellt, dass alle Variablen, zusätzlich zu der untersuchten, Konstanten sind.

Aufgabe suchen Vektor Normale eine gerade Linie in einer Ebene und eine Ebene im Raum ist zu primitiv. In Wirklichkeit endet es mit der Aufzeichnung der allgemeinen Gleichungen einer Geraden oder einer Ebene. Da die Kurve in der Ebene jeweils nur ein Sonderfall einer Fläche im Raum ist, werden die Flächennormalen besprochen.

Anweisung

1. 1. Methode Diese Methode ist die primitivste, aber sie erfordert die Fähigkeit, ein Skalarfeld darzustellen, um sie zu verstehen. Aber auch ein in dieser Angelegenheit unerfahrener Leser wird in der Lage sein, die resultierenden Formeln dieser Ausgabe anzuwenden.

2. Es ist bekannt, dass das Skalarfeld f definiert ist als f=f(x, y, z), und jede Oberfläche ist in diesem Fall die Schichtoberfläche f(x, y, z)=C (C=const). Außerdem fällt die Normale der Schichtoberfläche an einem gegebenen Punkt mit dem Gradienten des Skalarfeldes zusammen.

3. Der Gradient eines Skalarfeldes (Funktion von 3 Variablen) ist der Vektor g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Wegen der Länge Normale spielt keine Rolle, es bleibt nur das Ergebnis aufzuzeichnen. Flächennormale f(x, y, z)-C=0 am Punkt M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df /dz).

4. Methode 2 Die Oberfläche sei durch die Gleichung F(x, y, z)=0 gegeben. Um in Zukunft Analogien zur ersten Methode ziehen zu dürfen, sollte beachtet werden, dass die Ableitung der Stetigen gleich Null ist und F gegeben ist als f(x, y, z)-C=0 (C = konstant). Wenn wir einen Schnitt dieser Fläche durch eine beliebige Ebene zeichnen, dann kann die resultierende räumliche Kurve als Hodograph einer Vektorfunktion r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t) betrachtet werden. Dann die Ableitung Vektor r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) ist tangential an einem Punkt M0(x0, y0, z0) der Fläche gerichtet (siehe Abb. 1).

5. Um Verwirrung zu vermeiden, sollten die aktuellen Koordinaten der Tangentenlinie beispielsweise in Kursivschrift (x, y, z) angegeben werden. Die kanonische Gleichung der Tangentenlinie, vorausgesetzt, dass r'(t0) ein Richtungsvektor ist, wird geschrieben als (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0). )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Setzt man die Koordinaten der Vektorfunktion in die Flächengleichung f(x, y, z)-C=0 ein und differenziert nach t erhält man (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df/dz)(dz/dt)=0. Gleichheit ist das Skalarprodukt einiger Vektor n(df/dx, df/dy, df/dz) und r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Da er Null ist, ist n(df/dx, df/dy, df/dz) der gewünschte Vektor Normale. Es scheint, dass die Ergebnisse beider Methoden gleich sind.

7. Beispiel (hat theoretischen Wert). Vektor erkennen Normale zu der Oberfläche, die durch eine typische Gleichung einer Funktion von 2 Variablen z=z(x, y) gegeben ist. Lösung. Schreiben Sie diese Gleichung in der Form z-z(x, y)=F(x, y, z)=0 um. Nach einer der Präpositionalmethoden stellt sich heraus, dass n(-dz/dx, -dz/dy, 1) der gewünschte Vektor ist Normale .