Finden Sie die Fläche einer Figur mithilfe eines Online-Integrals. So berechnen Sie die Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines Doppelintegrals

Aufgabe Nr. 3. Erstellen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch die Linien begrenzte Fläche der Figur

Anwendung des Integrals zur Lösung angewandter Probleme

Flächenberechnung

Das bestimmte Integral einer stetigen nichtnegativen Funktion f(x) ist numerisch gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch die Kurve y = f(x), die O x-Achse und die Geraden x = a und x begrenzt wird = b. Dementsprechend lautet die Flächenformel wie folgt:

Schauen wir uns einige Beispiele für die Berechnung der Flächen ebener Figuren an.

Aufgabe Nr. 1. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Linien y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 begrenzt wird.

Lösung. Konstruieren wir eine Figur, deren Fläche wir berechnen müssen.

y = x 2 + 1 ist eine Parabel, deren Zweige nach oben gerichtet sind, und die Parabel ist relativ zur O y-Achse um eine Einheit nach oben verschoben (Abbildung 1).

Abbildung 1. Diagramm der Funktion y = x 2 + 1

Aufgabe Nr. 2. Berechnen Sie die durch die Linien y = x 2 – 1, y = 0 begrenzte Fläche im Bereich von 0 bis 1.

Lösung. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel aus nach oben gerichteten Zweigen, und die Parabel ist relativ zur O y-Achse um eine Einheit nach unten verschoben (Abbildung 2).

Abbildung 2. Diagramm der Funktion y = x 2 – 1

Aufgabe Nr. 3. Erstellen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch die Linien begrenzte Fläche der Figur

y = 8 + 2x – x 2 und y = 2x – 4.

Lösung. Die erste dieser beiden Geraden ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind, da der Koeffizient von x 2 negativ ist, und die zweite Gerade ist eine Gerade, die beide Koordinatenachsen schneidet.

Um eine Parabel zu konstruieren, ermitteln wir die Koordinaten ihres Scheitelpunkts: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – Abszisse des Scheitelpunkts; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ist seine Ordinate, N(1;9) ist der Scheitelpunkt.

Nun wollen wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden ermitteln, indem wir das Gleichungssystem lösen:

Gleichsetzen der rechten Seiten einer Gleichung, deren linke Seiten gleich sind.

Wir erhalten 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 oder x 2 – 12 = 0, woher .

Die Punkte sind also die Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden (Abbildung 1).

Abbildung 3 Diagramme der Funktionen y = 8 + 2x – x 2 und y = 2x – 4

Konstruieren wir eine Gerade y = 2x – 4. Sie geht durch die Punkte (0;-4), (2;0) auf den Koordinatenachsen.

Um eine Parabel zu konstruieren, können Sie auch deren Schnittpunkte mit der 0x-Achse verwenden, also die Wurzeln der Gleichung 8 + 2x – x 2 = 0 oder x 2 – 2x – 8 = 0. Mit dem Satz von Vieta ist das einfach um seine Wurzeln zu finden: x 1 = 2, x 2 = 4.

Abbildung 3 zeigt eine Figur (parabolisches Segment M 1 N M 2), die durch diese Linien begrenzt wird.

Der zweite Teil des Problems besteht darin, die Fläche dieser Figur zu ermitteln. Seine Fläche kann mithilfe eines bestimmten Integrals gemäß der Formel ermittelt werden .

Bezogen auf diese Bedingung erhalten wir das Integral:

2 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung der Kurve y = f(x) um die O x -Achse ergibt, wird nach der Formel berechnet:

Bei einer Drehung um die O-y-Achse sieht die Formel wie folgt aus:

Aufgabe Nr. 4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines gekrümmten Trapezes ergibt, das durch die Geraden x = 0 x = 3 und die Kurve y = um die Achse O x begrenzt wird.

Lösung. Lassen Sie uns ein Bild zeichnen (Abbildung 4).

Abbildung 4. Diagramm der Funktion y =

Das erforderliche Volumen beträgt

Aufgabe Nr. 5. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines gekrümmten Trapezes ergibt, das durch die Kurve y = x 2 und die Geraden y = 0 und y = 4 um die Oy-Achse begrenzt wird.

Lösung. Wir haben:

Rezensionsfragen

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie mithilfe von Integralrechnungen die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur ermitteln. Zum ersten Mal begegnen wir der Formulierung eines solchen Problems im Gymnasium, wenn wir gerade das Studium bestimmter Integrale abgeschlossen haben und es an der Zeit ist, mit der geometrischen Interpretation des erworbenen Wissens in der Praxis zu beginnen.

Was ist also erforderlich, um das Problem der Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen erfolgreich zu lösen:

• Fähigkeit, kompetente Zeichnungen anzufertigen;
• Fähigkeit, ein bestimmtes Integral mit der bekannten Newton-Leibniz-Formel zu lösen;
• Die Fähigkeit, eine profitablere Lösungsoption zu „sehen“ – d. h. Verstehen Sie, wie es in dem einen oder anderen Fall bequemer sein wird, die Integration durchzuführen? Entlang der x-Achse (OX) oder der y-Achse (OY)?
• Nun, was wären wir ohne korrekte Berechnungen? Dazu gehört auch das Verständnis, wie man diese andere Art von Integralen löst und numerische Berechnungen korrekt durchführt.

Algorithmus zur Lösung des Problems der Berechnung der Fläche einer durch Linien begrenzten Figur:

1. Wir erstellen eine Zeichnung. Es empfiehlt sich, dies großflächig auf einem karierten Blatt Papier zu tun. Wir unterschreiben den Namen dieser Funktion mit einem Bleistift über jedem Diagramm. Das Signieren der Diagramme erfolgt ausschließlich zur Vereinfachung weiterer Berechnungen. Nachdem man ein Diagramm der gewünschten Zahl erhalten hat, ist in den meisten Fällen sofort klar, welche Integrationsgrenzen verwendet werden. Somit lösen wir das Problem grafisch. Es kommt jedoch vor, dass die Werte der Grenzwerte gebrochen oder irrational sind. Daher können Sie zusätzliche Berechnungen durchführen. Fahren Sie mit Schritt zwei fort.

2. Wenn die Integrationsgrenzen nicht explizit angegeben sind, finden wir die Schnittpunkte der Graphen untereinander und prüfen, ob unsere grafische Lösung mit der analytischen übereinstimmt.

3. Als nächstes müssen Sie die Zeichnung analysieren. Je nachdem, wie die Funktionsgraphen angeordnet sind, gibt es unterschiedliche Ansätze, die Fläche einer Figur zu ermitteln. Schauen wir uns verschiedene Beispiele für die Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen an.

3.1. Die klassischste und einfachste Version des Problems besteht darin, die Fläche eines gebogenen Trapezes zu ermitteln. Was ist ein gebogenes Trapez? Dies ist eine flache Figur, die durch die x-Achse (y = 0), Geraden x = a, x = b und jede im Intervall von a bis b kontinuierliche Kurve begrenzt wird. Darüber hinaus ist diese Zahl nicht negativ und liegt nicht unterhalb der x-Achse. In diesem Fall ist die Fläche des krummlinigen Trapezes numerisch gleich einem bestimmten Integral, berechnet nach der Newton-Leibniz-Formel:

Beispiel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Durch welche Linien wird die Figur begrenzt? Wir haben eine Parabel y = x2 - 3x + 3, die über der OX-Achse liegt, sie ist nicht negativ, weil Alle Punkte dieser Parabel haben positive Werte. Als nächstes werden die Geraden x = 1 und x = 3 angegeben, die parallel zur Achse des Operationsverstärkers verlaufen und die Begrenzungslinien der Abbildung links und rechts darstellen. Nun, y = 0, was auch die x-Achse ist, die die Figur von unten begrenzt. Die resultierende Figur ist schattiert, wie aus der Abbildung links ersichtlich ist. IN in diesem Fall, können Sie sofort mit der Lösung des Problems beginnen. Vor uns liegt ein einfaches Beispiel eines gekrümmten Trapezes, das wir dann mit der Newton-Leibniz-Formel lösen.

3.2. Im vorherigen Abschnitt 3.1 haben wir den Fall untersucht, dass sich ein gebogenes Trapez über der x-Achse befindet. Betrachten Sie nun den Fall, dass die Bedingungen des Problems dieselben sind, außer dass die Funktion unter der x-Achse liegt. Der Standard-Newton-Leibniz-Formel wird ein Minus hinzugefügt. Im Folgenden werden wir uns mit der Lösung eines solchen Problems befassen.

Beispiel 2. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 begrenzt wird.

In diesem Beispiel haben wir eine Parabel y = x2 + 6x + 2, die unter der OX-Achse entsteht, Geraden x = -4, x = -1, y = 0. Hier begrenzt y = 0 die gewünschte Zahl von oben. Die Geraden x = -4 und x = -1 sind die Grenzen, innerhalb derer das bestimmte Integral berechnet wird. Das Prinzip zur Lösung des Problems, die Fläche einer Figur zu finden, stimmt fast vollständig mit Beispiel Nummer 1 überein. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die gegebene Funktion nicht positiv ist, sondern auch im Intervall [-4; -1] . Was meinst du mit nicht positiv? Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, hat die Figur, die innerhalb der gegebenen x liegt, ausschließlich „negative“ Koordinaten, was wir bei der Lösung des Problems sehen und im Gedächtnis behalten müssen. Wir suchen die Fläche der Figur nach der Newton-Leibniz-Formel, nur mit einem Minuszeichen am Anfang.

Der Artikel ist nicht abgeschlossen.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht habe ich gesagt, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzuführen. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral AREA.

Das heißt, ein bestimmtes Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer bestimmten Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral. Der Integrand definiert eine bestimmte Kurve in der Ebene (sie kann bei Bedarf immer gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Zuweisungsanweisung. Der erste und wichtigste Punkt bei der Entscheidung ist die Zeichnung. Darüber hinaus muss die Zeichnung RICHTIG erstellt werden.

Beim Erstellen einer Zeichnung empfehle ich die folgende Reihenfolge: Zuerst ist es besser, alle geraden Linien (falls vorhanden) zu erstellen und erst dann – Parabeln, Hyperbeln und Diagramme anderer Funktionen. Es ist rentabler, Funktionsgraphen punktweise zu konstruieren; die Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial.

Dort finden Sie auch sehr nützliches Material für unsere Lektion – wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Lassen Sie uns die Zeichnung zeichnen (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein gebogenes Trapez schraffieren, es ist hier klar, was für eine Fläche es ist wir reden über. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Funktionsgraph über der Achse, daher:

Antwort:

Wer hat Schwierigkeiten mit der Berechnung des bestimmten Integrals und der Anwendung der Newton-Leibniz-Formel? , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen.

Nach Abschluss der Aufgabe ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir die Anzahl der Zellen in der Zeichnung „nach Augenmaß“ – nun, es werden ungefähr 9 sein, das scheint wahr zu sein. Es ist absolut klar: Wenn wir beispielsweise die Antwort bekommen: 20 Quadrateinheiten, dann ist es offensichtlich, dass irgendwo ein Fehler gemacht wurde – 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Ist die Antwort negativ, wurde die Aufgabe ebenfalls falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche einer Figur, die durch die Linien , und die Achse begrenzt wird

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich unter der Achse ein gebogenes Trapez befindet?

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzt wird.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Liegt ein gekrümmtes Trapez vollständig unter der Achse, so lässt sich seine Fläche mit der Formel ermitteln:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie aufgefordert werden, einfach ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung zu lösen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Aus diesem Grund erscheint in der gerade besprochenen Formel das Minus.

In der Praxis befindet sich die Figur meist sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulaufgaben zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer ebenen Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Im Allgemeinen interessieren uns beim Erstellen einer Zeichnung bei Flächenproblemen vor allem die Schnittpunkte der Linien. Finden wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Die erste Methode ist analytisch. Wir lösen die Gleichung:

Dies bedeutet, dass die untere Integrationsgrenze , die obere Integrationsgrenze ist .
Es ist besser, wenn möglich, diese Methode nicht zu verwenden.

Es ist viel profitabler und schneller, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, und die Grenzen der Integration werden „von selbst“ deutlich. Die Technik der punktweisen Konstruktion verschiedener Graphen wird ausführlich in der Referenz Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen besprochen. Dennoch muss manchmal noch auf die analytische Methode zur Bestimmung von Grenzen zurückgegriffen werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die detaillierte Konstruktion die Grenzen der Integration nicht erkennen lässt (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Machen wir die Zeichnung:

Ich wiederhole, dass beim punktweisen Konstruieren die Grenzen der Integration meistens „automatisch“ ermittelt werden.

Und nun die Arbeitsformel: Wenn auf einem Segment eine stetige Funktion größer oder gleich einer stetigen Funktion ist, dann kann die Fläche der entsprechenden Figur mit der Formel ermittelt werden:

Hier müssen Sie nicht mehr darüber nachdenken, wo sich die Figur befindet – über der Achse oder unter der Achse, und grob gesagt ist es wichtig, welcher Graph HÖHER (im Verhältnis zu einem anderen Graphen) und welcher UNTEN liegt.

Im betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der Geraden befindet und daher von ihr subtrahiert werden muss

Die fertige Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird oben durch eine Parabel und unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment gemäß der entsprechenden Formel:

Antwort:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung angegeben wird und der Graph der Funktion unterhalb der Achse liegt, dann

Und nun ein paar Beispiele für Ihre eigene Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.

Beim Lösen von Problemen, bei denen es um die Flächenberechnung mithilfe eines bestimmten Integrals geht, kommt es manchmal zu einem lustigen Vorfall. Die Zeichnung war korrekt, die Berechnungen waren korrekt, aber aus Unachtsamkeit... wurde der Bereich der falschen Figur gefunden, genau so hat Ihr bescheidener Diener mehrmals einen Fehler gemacht. Hier ist ein Fall aus dem wirklichen Leben:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Machen wir zunächst eine Zeichnung:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert (schauen Sie sich den Zustand genau an – wie begrenzt die Figur ist!). Doch in der Praxis kommt es oft aus Unaufmerksamkeit dazu, dass man den Bereich einer Figur finden muss, der grün schattiert ist!

Dieses Beispiel ist auch deshalb nützlich, weil es die Fläche einer Figur anhand zweier bestimmter Integrale berechnet. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Diagramm einer geraden Linie;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Diagramm einer Hyperbel.

Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antwort:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur.
Lassen Sie uns die Gleichungen in „schulischer“ Form darstellen und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung erstellen:

Aus der Zeichnung geht hervor, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die Untergrenze?! Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was ist das? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie dafür, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit erstellt wurde? Es kann durchaus sein, dass ... Oder die Wurzel. Was wäre, wenn wir das Diagramm falsch erstellt hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Grenzen der Integration analytisch klären.

Finden wir die Schnittpunkte einer Geraden und einer Parabel.
Dazu lösen wir die Gleichung:

Somit, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache, man darf sich nicht in Ersetzungen und Zeichen verwirren, die Berechnungen sind hier nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Schauen wir uns zum Abschluss der Lektion zwei weitere schwierige Aufgaben an.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird

Lösung: Lassen Sie uns diese Figur in der Zeichnung darstellen.

Um eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung zu erstellen, müssen Sie das Aussehen einer Sinuskurve kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich, die Graphen aller Elementarfunktionen zu kennen) sowie einige Werte des Sinus, die sie haben können gefunden in der trigonometrischen Tabelle. In manchen Fällen (wie in diesem Fall) ist es möglich, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der die Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden sollten.

Mit den Integrationsgrenzen gibt es hier keine Probleme, sie ergeben sich direkt aus der Bedingung: „x“ ändert sich von Null auf „pi“. Treffen wir eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Funktionsgraph über der Achse, daher:

(1) Wie Sinus und Cosinus in ungeraden Potenzen integriert werden, können Sie in der Lektion Integrale aus trigonometrischen Funktionen sehen. Dies ist eine typische Technik, bei der wir eine Nebenhöhle abklemmen.

(2) Wir verwenden die trigonometrische Hauptidentität in der Form

(3) Ändern wir die Variable, dann:

Neue Integrationsbereiche:

Wenn Sie wirklich schlecht mit Substitutionen umgehen können, nehmen Sie bitte an der Lektion „Substitutionsmethode in einem unbestimmten Integral“ teil. Für diejenigen, die sich über den Substitutionsalgorithmus im bestimmten Integral nicht ganz im Klaren sind, besuchen Sie die Seite „Bestimmte Integrale“. Beispiele für Lösungen.

Kommen wir nun zu den Anwendungen der Integralrechnung. In dieser Lektion betrachten wir das typische und häufigste Problem der Berechnung der Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals. Lassen Sie schließlich alle, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen, ihn finden. Man weiß nie. Im wirklichen Leben müssen Sie ein Datscha-Grundstück mit Elementarfunktionen approximieren und seine Fläche mithilfe eines bestimmten Integrals ermitteln.

Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:

1) Verstehen Sie das unbestimmte Integral zumindest auf einem mittleren Niveau. Daher sollten sich Dummies zunächst mit der Lektion von He vertraut machen.

2) Sie können die Newton-Leibniz-Formel anwenden und das bestimmte Integral berechnen. Auf der Seite „Bestimmte Integrale“ können Sie herzliche, freundschaftliche Beziehungen zu bestimmten Integralen aufbauen. Beispiele für Lösungen. Bei der Aufgabe „Fläche anhand eines bestimmten Integrals berechnen“ geht es immer um die Anfertigung einer Zeichnung, daher kommt es auch auf Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten an. Sie müssen mindestens in der Lage sein, eine Gerade, eine Parabel und eine Hyperbel zu konstruieren.

Beginnen wir mit einem gebogenen Trapez. Ein gekrümmtes Trapez ist eine flache Figur, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird j = F(X), Achse OCHSE und Linien X = A; X = B.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. In der Lektion Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen Wir sagten, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzuführen. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral AREA. Das heißt, ein bestimmtes Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer bestimmten Figur. Betrachten Sie das bestimmte Integral

Integrand

definiert eine Kurve auf der Ebene (sie kann bei Bedarf gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

, , , .

Dies ist eine typische Zuweisungsanweisung. Der wichtigste Punkt bei der Entscheidung ist die Konstruktion der Zeichnung. Darüber hinaus muss die Zeichnung RICHTIG erstellt werden.

Beim Erstellen einer Zeichnung empfehle ich die folgende Reihenfolge: Zuerst ist es besser, alle geraden Linien (falls vorhanden) zu erstellen und erst dann – Parabeln, Hyperbeln und Diagramme anderer Funktionen. Die Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dort finden Sie auch sehr nützliches Material für unsere Lektion – wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.

Machen wir die Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung j= 0 gibt die Achse an OCHSE):

Wir werden das gebogene Trapez nicht schattieren; hier ist klar, um welchen Bereich es sich handelt. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment [-2; 1] Funktionsgraph j = X 2 + 2 oberhalb der Achse angeordnet OCHSE, Deshalb:

Antwort: .

Wer hat Schwierigkeiten mit der Berechnung des bestimmten Integrals und der Anwendung der Newton-Leibniz-Formel?

,

Siehe die Vorlesung Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen. Nach Abschluss der Aufgabe ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir die Anzahl der Zellen in der Zeichnung „nach Augenmaß“ – nun, es werden ungefähr 9 sein, das scheint wahr zu sein. Es ist absolut klar: Wenn wir beispielsweise die Antwort bekommen: 20 Quadrateinheiten, dann ist es offensichtlich, dass irgendwo ein Fehler gemacht wurde – 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Ist die Antwort negativ, wurde die Aufgabe ebenfalls falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur xy = 4, X = 2, X= 4 und Achse OCHSE.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich unter der Achse ein gebogenes Trapez befindet? OCHSE?

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur j = ex, X= 1 und Koordinatenachsen.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn ein gebogenes Trapez vollständig unter der Achse liegt OCHSE, dann kann seine Fläche mit der Formel ermittelt werden:

In diesem Fall:

.

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie aufgefordert werden, einfach ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung zu lösen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Aus diesem Grund erscheint in der gerade besprochenen Formel das Minus.

In der Praxis befindet sich die Figur meist sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulaufgaben zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur j = 2X – X 2 , j = -X.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Beim Erstellen einer Zeichnung bei Flächenproblemen interessieren uns vor allem die Schnittpunkte der Linien. Finden wir die Schnittpunkte der Parabel j = 2X – X 2 und gerade j = -X. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Die erste Methode ist analytisch. Wir lösen die Gleichung:

Dies bedeutet, dass die untere Grenze der Integration liegt A= 0, obere Integrationsgrenze B= 3. Es ist oft gewinnbringender und schneller, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, und die Grenzen der Integration werden „von selbst“ deutlich. Dennoch muss manchmal noch auf die analytische Methode zur Bestimmung von Grenzen zurückgegriffen werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die detaillierte Konstruktion die Grenzen der Integration nicht erkennen lässt (sie können gebrochen oder irrational sein). Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Machen wir die Zeichnung:

Wiederholen wir, dass beim punktweisen Konstruieren die Integrationsgrenzen meist „automatisch“ bestimmt werden.

Und nun die Arbeitsformel:

Wenn auf dem Segment [ A; B] eine stetige Funktion F(X) ist größer oder gleich einer stetigen Funktion G(X), dann kann die Fläche der entsprechenden Figur mit der Formel ermittelt werden:

Hier müssen Sie nicht mehr darüber nachdenken, wo sich die Figur befindet – über der Achse oder unter der Achse, sondern wichtig ist, welcher Graph HÖHER (im Verhältnis zu einem anderen Graphen) und welcher UNTER liegt.

Im betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der Geraden befindet, also ab 2 X – X 2 muss subtrahiert werden – X.

Die fertige Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird durch eine Parabel begrenzt j = 2X – X 2 oben und gerade j = -X unten.

Auf Segment 2 X – X 2 ≥ -X. Nach der entsprechenden Formel:

Antwort: .

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel

.

Weil die Achse OCHSE gegeben durch die Gleichung j= 0 und der Graph der Funktion G(X) befindet sich unterhalb der Achse OCHSE, Das

.

Und nun ein paar Beispiele für Ihre eigene Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Beim Lösen von Problemen, bei denen es um die Flächenberechnung mithilfe eines bestimmten Integrals geht, kommt es manchmal zu einem lustigen Vorfall. Die Zeichnung wurde korrekt ausgefüllt, die Berechnungen waren korrekt, aber aus Unachtsamkeit... wurde der Bereich der falschen Figur gefunden.

Beispiel 7

Machen wir zunächst eine Zeichnung:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert (schauen Sie sich den Zustand genau an – wie begrenzt die Figur ist!). Aber in der Praxis entscheiden Menschen aufgrund von Unaufmerksamkeit oft, dass sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch deshalb nützlich, weil es die Fläche einer Figur anhand zweier bestimmter Integrale berechnet. Wirklich:

1) Auf dem Segment [-1; 1] über der Achse OCHSE der Graph liegt gerade j = X+1;

2) Auf einem Segment über der Achse OCHSE der Graph einer Hyperbel liegt j = (2/X).

Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antwort:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Lassen Sie uns die Gleichungen in „schulischer“ Form präsentieren

und mache eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung:

Aus der Zeichnung geht hervor, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: B = 1.

Aber was ist die Untergrenze?! Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was ist das?

Kann sein, A=(-1/3)? Aber wo ist die Garantie dafür, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit erstellt wurde? Es kann durchaus sein, dass dies der Fall ist A=(-1/4). Was wäre, wenn wir das Diagramm falsch erstellt hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Grenzen der Integration analytisch klären.

Suchen wir die Schnittpunkte der Diagramme

Dazu lösen wir die Gleichung:

.

Somit, A=(-1/3).

Die weitere Lösung ist trivial. Die Hauptsache ist, sich nicht in Ersetzungen und Zeichen zu verwirren. Die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten. Auf dem Segment

, ,

nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Schauen wir uns zum Abschluss der Lektion zwei weitere schwierige Aufgaben an.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Lösung: Lassen Sie uns diese Figur in der Zeichnung darstellen.

Um eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung zu erstellen, müssen Sie das Aussehen einer Sinuskurve kennen. Im Allgemeinen ist es nützlich, die Graphen aller Elementarfunktionen sowie einige Sinuswerte zu kennen. Sie sind in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen zu finden. In einigen Fällen (z. B. in diesem Fall) ist es möglich, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der die Diagramme und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden sollten.

Mit den Integrationsgrenzen gibt es hier keine Probleme, sie ergeben sich direkt aus der Bedingung:

– „x“ ändert sich von Null zu „pi“. Treffen wir eine weitere Entscheidung:

Auf einem Segment der Graph einer Funktion j= Sünde 3 X oberhalb der Achse gelegen OCHSE, Deshalb:

(1) Wie Sinus und Cosinus in ungeraden Potenzen integriert werden, können Sie in der Lektion Integrale trigonometrischer Funktionen sehen. Wir kneifen eine Nebenhöhle ab.

(2) Wir verwenden die trigonometrische Hauptidentität in der Form

(3) Lassen Sie uns die Variable ändern T=cos X, dann: liegt über der Achse, also:

.

.

Hinweis: Beachten Sie, wie das Integral des kubischen Tangens gebildet wird; hier wird eine Folgerung der grundlegenden trigonometrischen Identität verwendet

.

Wie füge ich mathematische Formeln auf einer Website ein?

Wenn Sie jemals eine oder zwei mathematische Formeln zu einer Webseite hinzufügen müssen, können Sie dies am einfachsten wie im Artikel beschrieben tun: Mathematische Formeln können ganz einfach in Form von Bildern in die Website eingefügt werden, die von Wolfram Alpha automatisch generiert werden . Diese universelle Methode ist nicht nur einfach, sondern trägt auch dazu bei, die Sichtbarkeit der Website in Suchmaschinen zu verbessern. Es funktioniert schon seit langer Zeit (und wird meiner Meinung nach auch für immer funktionieren), ist aber moralisch bereits überholt.

Wenn Sie auf Ihrer Website regelmäßig mathematische Formeln verwenden, empfehle ich Ihnen die Verwendung von MathJax – einer speziellen JavaScript-Bibliothek, die mathematische Notation in Webbrowsern mithilfe von MathML-, LaTeX- oder ASCIIMathML-Markup anzeigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, MathJax zu verwenden: (1) Mit einem einfachen Code können Sie schnell ein MathJax-Skript mit Ihrer Website verbinden, das zum richtigen Zeitpunkt automatisch von einem Remote-Server geladen wird (Liste der Server); (2) Laden Sie das MathJax-Skript von einem Remote-Server auf Ihren Server herunter und verbinden Sie es mit allen Seiten Ihrer Site. Die zweite Methode – komplexer und zeitaufwändiger – beschleunigt das Laden der Seiten Ihrer Site, und wenn der übergeordnete MathJax-Server aus irgendeinem Grund vorübergehend nicht verfügbar ist, hat dies keinerlei Auswirkungen auf Ihre eigene Site. Trotz dieser Vorteile habe ich mich für die erste Methode entschieden, da sie einfacher und schneller ist und keine technischen Kenntnisse erfordert. Folgen Sie meinem Beispiel und in nur 5 Minuten können Sie alle Funktionen von MathJax auf Ihrer Website nutzen.

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server aus verbinden, indem Sie zwei Codeoptionen verwenden, die von der Haupt-MathJax-Website oder auf der Dokumentationsseite stammen:

Eine dieser Codeoptionen muss kopiert und in den Code Ihrer Webseite eingefügt werden, vorzugsweise zwischen Tags und oder unmittelbar nach dem Tag. Gemäß der ersten Option lädt MathJax schneller und verlangsamt die Seite weniger. Aber die zweite Option überwacht und lädt automatisch die neuesten Versionen von MathJax. Wenn Sie den ersten Code eingeben, muss dieser regelmäßig aktualisiert werden. Wenn Sie den zweiten Code einfügen, werden die Seiten langsamer geladen, aber Sie müssen die MathJax-Updates nicht ständig überwachen.

Der einfachste Weg, MathJax zu verbinden, ist in Blogger oder WordPress: Fügen Sie im Site-Kontrollfeld ein Widget zum Einfügen von JavaScript-Code von Drittanbietern hinzu, kopieren Sie die erste oder zweite Version des oben dargestellten Download-Codes hinein und platzieren Sie das Widget näher an den Anfang der Vorlage (übrigens ist dies überhaupt nicht notwendig, da das MathJax-Skript asynchron geladen wird). Das ist alles. Lernen Sie nun die Markup-Syntax von MathML, LaTeX und ASCIIMathML und Sie sind bereit, mathematische Formeln in die Webseiten Ihrer Website einzufügen.

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel konstruiert, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jeder dieser Zeitpunkte wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit der Seite 1 wird durch zu seinen Flächen parallele Ebenen in 27 gleiche Würfel unterteilt. Ein zentraler Würfel und 6 entlang der Flächen daneben liegende Würfel werden daraus entfernt. Das Ergebnis ist ein Set bestehend aus den restlichen 20 kleineren Würfeln. Wenn wir mit jedem dieser Würfel dasselbe machen, erhalten wir ein Set bestehend aus 400 kleineren Würfeln. Wenn wir diesen Prozess endlos fortsetzen, erhalten wir einen Menger-Schwamm.