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Das Konzept der n-ten Wurzel einer reellen Zahl. Konsolidierung des untersuchten Materials. Praktisch wichtige Ergebnisse

Lektion und Präsentation zum Thema: „Die n-te Wurzel einer reellen Zahl“

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Wurzel n-ten Grades. Wiederholung des Besprochenen.

Leute, das Thema der heutigen Lektion heißt „N-te Wurzel einer reellen Zahl“.
In der 8. Klasse haben wir die Quadratwurzel einer reellen Zahl studiert. Die Quadratwurzel bezieht sich auf eine Funktion der Form $y=x^2$. Leute, erinnert ihr euch, wie wir Quadratwurzeln berechnet haben und welche Eigenschaften sie hatten? Wiederholen Sie dieses Thema selbst.
Schauen wir uns eine Funktion der Form $y=x^4$ an und zeichnen sie auf.

Jetzt lösen wir die Gleichung grafisch: $x^4=16$.
Zeichnen wir in unserem Funktionsgraphen eine gerade Linie $y=16$ und sehen wir, an welchen Punkten sich unsere beiden Graphen schneiden.
Der Graph der Funktion zeigt deutlich, dass wir zwei Lösungen haben. Die Funktionen schneiden sich in zwei Punkten mit den Koordinaten (-2;16) und (2;16). Die Abszissen unserer Punkte sind die Lösungen unserer Gleichung: $x_1=-2$ und $x_2=2$. Es ist auch einfach, die Wurzeln der Gleichung $x^4=1$ zu finden; offensichtlich sind $x_1=-1$ und $x_2=1$.
Was tun, wenn es eine Gleichung $x^4=7$ gibt?
Lassen Sie uns unsere Funktionen grafisch darstellen:
Unsere Grafik zeigt deutlich, dass die Gleichung auch zwei Wurzeln hat. Sie sind symmetrisch zur Ordinatenachse, also entgegengesetzt. Es ist nicht möglich, aus dem Funktionsgraphen eine exakte Lösung zu finden. Wir können nur sagen, dass unsere Lösungen modulo kleiner als 2, aber größer als 1 sind. Wir können auch sagen, dass unsere Wurzeln irrationale Zahlen sind.
Angesichts eines solchen Problems mussten Mathematiker es beschreiben. Sie führten eine neue Notation ein: $\sqrt()$, die sie vierte Wurzel nannten. Dann werden die Wurzeln unserer Gleichung $x^4=7$ in dieser Form geschrieben: $x_1=-\sqrt(7)$ und $x_2=\sqrt(7)$. Als vierte Wurzel von sieben lesen.
Wir haben über eine Gleichung der Form $x^4=a$ gesprochen, wobei $a>0$ $(a=1,7,16)$. Wir können Gleichungen der Form betrachten: $x^n=a$, wobei $a>0$ und n eine beliebige natürliche Zahl ist.
Wir sollten auf den Grad bei x achten, egal ob der Grad gerade oder ungerade ist – die Anzahl der Lösungen ändert sich. Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Lösen wir die Gleichung $x^5=8$. Zeichnen wir die Funktion:
Der Funktionsgraph zeigt deutlich, dass wir in unserem Fall nur eine Lösung haben. Die Lösung wird normalerweise als $\sqrt(8)$ bezeichnet. Wenn man eine Gleichung der Form $x^5=a$ löst und entlang der gesamten Ordinatenachse läuft, ist es leicht zu verstehen, dass diese Gleichung immer eine Lösung haben wird. In diesem Fall kann der Wert von a kleiner als Null sein.

Wurzel n-ten Grades. Definition

Definition. Die n-te Wurzel ($n=2,3,4...$) einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, so dass man bei Potenzierung mit n die Zahl a erhält.

Diese Zahl wird als $\sqrt[n](a)$ bezeichnet. Die Zahl a heißt Wurzelzahl, n ist der Wurzelexponent.

Wurzeln zweiten und dritten Grades werden üblicherweise als Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel bezeichnet. Wir haben sie in der achten und neunten Klasse studiert.
Wenn $à≥0$, $n=2,3,4,5…$, dann:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Die Operation, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird aufgerufen „Wurzelextraktion“.
Potenzierung und Wurzelextraktion sind dieselbe Abhängigkeit:

Leute, bitte beachtet, dass die Tabelle nur positive Zahlen enthält. In der Definition haben wir festgelegt, dass die Wurzel nur aus einer nicht negativen Zahl a gezogen wird. Als nächstes klären wir, wann es möglich ist, die Wurzel einer negativen Zahl a zu ziehen.

Wurzel n-ten Grades. Beispiele für Lösungen

Berechnung:
a) $\sqrt(64)$.
Lösung: $\sqrt(64)=8$, da $8>0$ und $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Lösung: $\sqrt(0,064)=0,4$, da $0,4>0$ und $0,4^3=0,064$.

B) $\sqrt(0)$.
Lösung: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Lösung: In diesem Beispiel können wir den genauen Wert nicht herausfinden, unsere Zahl ist irrational. Aber wir können sagen, dass es größer als 2 und kleiner als 3 ist, da 2 hoch 5 gleich 32 und 3 hoch 5 gleich 243 ist. 34 liegt zwischen diesen Zahlen. Einen Näherungswert können wir mithilfe eines Taschenrechners ermitteln, der die Wurzeln von $\sqrt(34)≈2,02$ mit einer Genauigkeit von Tausendstel berechnen kann.
In unserer Definition haben wir vereinbart, n-te Wurzeln nur aus positiven Zahlen zu berechnen. Zu Beginn der Lektion haben wir ein Beispiel gesehen, dass es möglich ist, n-te Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen. Wir haben uns den ungeraden Exponenten der Funktion angesehen und wollen nun einige Klarstellungen vornehmen.

Definition. Eine Wurzel einer ungeraden Potenz n (n=3,5,7,9...) einer negativen Zahl a ist eine negative Zahl, sodass bei Potenzierung mit n das Ergebnis a ist.

Es ist üblich, die gleichen Bezeichnungen zu verwenden.
Wenn $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Eine gerade Wurzel ist nur für eine positive Wurzelzahl sinnvoll; eine ungerade Wurzel ist für jede Wurzelzahl sinnvoll.

Beispiele.
a) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Lösung: Wenn $\sqrt(y)=-3$, dann $y=-27$. Das heißt, beide Seiten unserer Gleichung müssen gewürfelt werden.
$3х+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(2x-1)=1$.
Erheben wir beide Seiten zur vierten Potenz:
$2x-1=1$.
$2х=2$.
$x=1$.

C) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Lösung: Nach unserer Definition kann eine Wurzel geraden Grades nur aus einer positiven Zahl gezogen werden, wird uns aber eine negative Zahl gegeben, dann gibt es keine Wurzeln.

D) Lösen Sie die Gleichungen: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Lösung: Erhöhen Sie beide Seiten der Gleichung in die fünfte Potenz:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ und $x_2=3$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Berechnen Sie:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Lösen Sie die Gleichungen:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

X 4 =1 und löse es grafisch. Dazu erstellen wir in einem Koordinatensystem einen Graphen der Funktion y = x n Gerade y = 1 (Abb. 164 a). Sie schneiden sich an zwei Punkten:

Sie sind die Wurzeln der Gleichung x 4 = 1.
Mit genau der gleichen Argumentation finden wir die Wurzeln der Gleichung x 4 = 16:

Versuchen wir nun, die Gleichung x 4 =5; Eine geometrische Darstellung ist in Abb. dargestellt. 164 v. Es ist klar, dass die Gleichung zwei Wurzeln x 1 und x 2 hat und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, einander entgegengesetzt sind. Aber für die ersten beiden Gleichungen Wurzeln wurden problemlos gefunden (sie konnten ohne Verwendung von Diagrammen gefunden werden), aber es gibt Probleme mit der Gleichung x 4 = 5: Laut Zeichnung können wir die Werte der Wurzeln nicht angeben, sondern nur feststellen, dass es eine Wurzel gibt befindet sich links vom Punkt -1 und der zweite - rechts vom Punkt 1.
Es kann bewiesen werden (ähnlich wie in unserem Lehrbuch „Algebra-8“ für die Zahl l/b), dass x 1 und x 2 irrationale Zahlen (d. h. unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche) sind.

Nachdem Mathematiker zum ersten Mal mit einer solchen Situation konfrontiert waren, wurde ihnen klar, dass sie einen Weg finden mussten, sie in mathematischer Sprache zu beschreiben. Sie führten ein neues Symbol ein, das sie die vierte Wurzel nannten, und mit diesem Symbol wurden die Wurzeln der Gleichung x 4 = 5 wie folgt geschrieben: (sprich: „vierte Wurzel von fünf“).

Anmerkung 1. Vergleichen Sie diese Argumente mit ähnlichen Argumenten in § 17, 32 und 38. Neue Begriffe und neue Notationen in der Mathematik tauchen auf, wenn sie zur Beschreibung einer neuen Mathematik benötigt werden Modelle. Dies spiegelt die Besonderheit der mathematischen Sprache wider: Ihre Hauptfunktion ist nicht kommunikativ – zur Kommunikation, sondern organisierend – zur Organisation erfolgreicher Arbeit mit mathematischen Modellen in verschiedenen Wissensgebieten.

Wir haben über die Gleichung x 4 = a gesprochen, wobei a > 0. Mit gleichem Erfolg könnten wir über die Gleichung x 4 = a sprechen, wobei a > 0 und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x 5 = 1 grafisch lösen, finden wir x = 1 (Abb. 165); Lösen der Gleichung x 5 " = 7 stellen wir fest, dass die Gleichung eine Wurzel xr hat, die auf der x-Achse etwas rechts von Punkt 1 liegt (siehe Abb. 165). Für die Zahl xx führen wir die Notation Hh ein .

Im Allgemeinen erhalten wir beim Lösen der Gleichung x n = a, wobei a > 0, n e N, n > 1, im Fall von geradem n zwei Wurzeln: (Abb. 164, c); im Fall von ungeradem n - eine Wurzel (sprich: „n-te Wurzel der Zahl a“). Wenn wir die Gleichung x n =0 lösen, erhalten wir die einzige Wurzel x = 0.

Anmerkung 2. In der mathematischen Sprache kommt es wie in der gewöhnlichen Sprache vor, dass derselbe Begriff auf verschiedene Konzepte angewendet wird; So wird im vorherigen Satz das Wort „Wurzel“ in zwei Bedeutungen verwendet: als Wurzel einer Gleichung (an diese Interpretation sind Sie schon lange gewöhnt) und als l-te Wurzel einer Zahl (neue Interpretation). Aus dem Kontext geht in der Regel klar hervor, welche Interpretation des Begriffs beabsichtigt ist.

Jetzt sind wir bereit, eine genaue Definition zu geben.

Definition 1. Die l-te Wurzel einer nicht-negativen Zahl a (n = 2, 3,4, 5,...) ist eine nicht-negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird bezeichnet, die Zahl a heißt Wurzelzahl und die Zahl n ist der Exponent der Wurzel.
Wenn n=2, dann sagen sie normalerweise nicht „zweite Wurzel“, sondern „Quadratwurzel“. Dies ist der Sonderfall, den Sie speziell in Ihrem Algebrakurs der 8. Klasse studiert haben.

Wenn n = 3, dann sagt man statt „Wurzel dritten Grades“ oft „Kubikwurzel“. Ihre erste Bekanntschaft mit der Kubikwurzel fand auch im Algebrakurs der 8. Klasse statt. Wir haben die Kubikwurzel in §36 verwendet, um Beispiel 6 zu lösen.

Im Allgemeinen handelt es sich um dasselbe mathematische Modell (dieselbe Beziehung zwischen den nichtnegativen Zahlen a und b), aber nur das zweite wird in einer einfacheren Sprache beschrieben (verwendet einfachere Symbole) als das erste.

Der Vorgang, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird üblicherweise als Wurzelziehen bezeichnet. Dieser Vorgang ist die Umkehrung des Erhöhens auf die entsprechende Leistung. Vergleichen:

Bitte beachten Sie noch einmal: In der Tabelle erscheinen nur positive Zahlen, da dies in Definition 1 festgelegt ist. Und obwohl beispielsweise (-6) 6 = 36 eine korrekte Gleichung ist, gehen Sie davon zur Notation mit der Quadratwurzel über, d. h. schreibe, dass es unmöglich ist. A-Priorat

Manchmal wird der Ausdruck als Radikal bezeichnet (vom lateinischen Wort gadix – „Wurzel“). Im Russischen wird der Begriff radikal oft verwendet, zum Beispiel „radikale Veränderungen“ – das bedeutet „radikale Veränderungen“. Übrigens erinnert schon die Bezeichnung der Wurzel an das Wort gadix: Das Symbol ist ein stilisierter Buchstabe r.

Beispiel 1. Berechnung:

d) Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen können wir den genauen Wert der Zahl nicht angeben. Es ist nur klar, dass sie größer als 2, aber kleiner als 3 ist, da 2 4 = 16 (das ist kleiner als 17) und 3 4 = 81 (das sind mehr als 17). Wir stellen fest, dass 24 viel näher an 17 liegt als an 34, daher gibt es einen Grund, das ungefähre Gleichheitszeichen zu verwenden:

Ein genauerer Näherungswert einer Zahl kann jedoch mithilfe eines Taschenrechners ermittelt werden, der die Operation zum Ziehen der Wurzel enthält, der sie ungefähr entspricht
Die Operation des Wurzelziehens wird auch für eine negative Wurzelzahl bestimmt, jedoch nur im Fall eines ungeraden Wurzelexponenten. Mit anderen Worten, die Gleichheit (-2)5 = -32 kann in äquivalenter Form umgeschrieben werden als . Es wird die folgende Definition verwendet.

Definition 2. Eine ungerade Wurzel n einer negativen Zahl a (n = 3,5,...) ist eine negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird wie in Definition 1 mit bezeichnet, die Zahl a ist die Wurzelzahl und die Zahl n ist der Exponent der Wurzel.
Also,

Somit hat eine gerade Wurzel nur für einen nichtnegativen radikalen Ausdruck eine Bedeutung (d. h. sie ist definiert); Eine ungerade Wurzel macht für jeden radikalen Ausdruck Sinn.
Beispiel 2. Gleichungen lösen:

Lösung: und wenn Tatsächlich müssen wir beide Seiten der gegebenen Gleichung würfeln. Wir bekommen:

b) Argumentation wie in Beispiel a), wir erhöhen beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz. Wir bekommen:

c) Es besteht keine Notwendigkeit, sie in die vierte Potenz zu erhöhen; diese Gleichung hat keine Lösungen. Warum? Denn gemäß Definition 1 ist eine gerade Wurzel eine nicht negative Zahl.
d) Erhöhen wir beide Seiten der Gleichung auf die sechste Potenz, erhalten wir:

A.G. Mordkovich Algebra 10. Klasse

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Folie 1

Städtische Bildungseinrichtung Lyzeum Nr. 10 der Stadt Sovetsk, Gebiet Kaliningrad, Mathematiklehrerin Tatyana Nikolaevna Razygraeva Das Konzept der n-ten Wurzel einer reellen Zahl.

Folie 2

Welche Kurve ist der Graph der Funktion y = x²? Welche Kurve ist der Graph der Funktion y = x⁴? Betrachten Sie die Gleichung x⁴ = 1. Lassen Sie uns die Funktionen y = x⁴ und y = 1 grafisch darstellen. Antwort: x = 1, x = -1. Ähnlich: x⁴ = 16. Antwort: x = 2, x = -2. Ähnlich: x⁴ = 5. y = 5 Antwort:

Folie 3

Betrachten Sie die Gleichung x⁵ = 1. Lassen Sie uns die Funktionen y = x⁵ und y = 1 grafisch darstellen. Ähnlich: x⁵ = 7. Antwort: x = 1. Antwort: Betrachten Sie die Gleichung: wobei a > 0, n N, n > 1. Wenn n gerade ist, hat die Gleichung zwei Wurzeln: Wenn n ungerade ist, dann eine Wurzel:

Folie 4

Definition 1: Die n-te Wurzel einer nicht negativen Zahl a (n = 2,3,4,5,...) ist eine nicht negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt. Diese Zahl wird wie folgt bezeichnet: a n – Radikalausdruck – Wurzelexponent Der Vorgang, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird Wurzelextraktion genannt. Wenn a 0, n = 2,3,4,5,…, dann

Folie 5

Das Ziehen einer Wurzel ist die Umkehrung des Erhöhens auf die entsprechende Potenz. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Manchmal wird der Ausdruck a als Radikal vom lateinischen Wort radix – „Wurzel“ bezeichnet. n Das Symbol ist ein stilisierter Buchstabe r. Potenzierung Die Wurzel ziehen

Folie 6

Beispiel 1: Berechnen Sie: a) 49; b) 0,125; c) 0 ; d) 17 3 7 4 Lösung: a) 49 = 7, da 7 > 0 und 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, da 0,5 > 0 und 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 Definition 2: Die ungerade Wurzel n einer negativen Zahl a (n = 3,5,...) ist eine negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Folie 7

Fazit also: Die Wurzel eines geraden Grades ist nur für einen nichtnegativen radikalen Ausdruck sinnvoll (d. h. definiert); Eine ungerade Wurzel macht für jeden radikalen Ausdruck Sinn. Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichungen: Wenn a< 0, n = 3,5,7,…, то

Thema:„Wurzeln und Grade. Das Konzept der n-ten Wurzel einer reellen Zahl.“

Lernziele:

pädagogisch: Studieren Sie das Konzept einer arithmetischen Wurzel eines natürlichen Grades, einschließlich eines ungeraden Grades; Beherrschen Sie die Berechnung arithmetischer Wurzeln.

pädagogisch: die Arbeit der Schüler im Unterricht zu intensivieren, das Interesse am Thema zu wecken;

Entwicklung: Entwicklung intellektueller Fähigkeiten, die Fähigkeit, Wissen auf neue Situationen zu übertragen.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Methode: erklärend und anschaulich.

Ausrüstung: Computer, interaktives Whiteboard, Präsentation.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Teil

Grüße. Bereitschaft der Klasse für den Unterricht. Hausaufgaben überprüfen.

2. Motivierende Lernaktivitäten, Vermittlung des Themas und Festlegung des Unterrichtsziels.

Heute beschäftigen wir uns mit dem Thema „Wurzeln und Kräfte. Das Konzept der n-ten Wurzel einer reellen Zahl.“ Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf die Worte lenken Anatole France (1844-1924) , das das Epigraph unserer Lektion sein wird. Wir werden mit Ausdrücken arbeiten, die Wurzeln enthalten. Sie erweitern Ihr Wissen über Wurzeln. Am Ende der Lektion werden wir eine kleine eigenständige Arbeit durchführen, um zu prüfen, wie Sie das Wissen zu diesem Thema selbstständig anwenden können.

„Der einzige Weg zu lernen ist, Spaß zu haben...“

Um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“

Erläuterung des neuen Materials.

Definition 1.WurzelNPotenz einer nichtnegativen Zahl a(n=2,3,4,5...) ist eine nichtnegative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Bezeichnung: – Wurzel n-ten Grades.

Die Zahl n heißt Potenz der arithmetischen Wurzel.

Wenn n=2, wird der Grad der Wurzel nicht angegeben und geschrieben

Die Wurzel zweiten Grades wird üblicherweise Quadratwurzel und die Wurzel dritten Grades Kubikwurzel genannt.

Potenzierung und Wurzelextraktion sind dieselbe Abhängigkeit:

Grundlegende Eigenschaften von Wurzeln

Konsolidierung des untersuchten Materials:

Nr. 1063 mündlich,

№ 1067 – 1069,

Nr. 1070 - 1071 (a, b)

Nr. 1072 -1073 (a, b)

Nr. 1076 (a, c)

Nr. 1078 (a, b)

Nr. 1079 (a, c)

Selbstständige Arbeit:

Variante 1

Nr. 1070 -1071 (c)

Nr. 1072 -1073 (g)

Option 2

Nr. 1070 -1071 (g)

Nr. 1072 -1073 (c)

Hausaufgaben: Nr. 1076 (d), Nr. 1078 (c), Nr. 1079 (b)

Zusammenfassung der Lektion:

Heute haben wir im Unterricht das Konzept einer arithmetischen Wurzel n-ten Grades studiert und es durch das Lösen von Beispielen vertieft.

Benotung für die Lektion.

Literatur

1.A.G. Mordkowitsch. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. 10-11 Klassen. Um 14 Uhr. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grundstufe).

2. Alexandrova L.A. Algebra und die Anfänge der Analysis. 11. Klasse Selbstständiges Arbeiten: ein Handbuch für Bildungseinrichtungen / unter. Hrsg. Mordkovich A.G.–M.: Mnemosyne, 2014.

3. T.I. Kuporova. Algebra und die Anfänge der Analysis. 11. Klasse: Unterrichtspläne nach dem Lehrbuch von Mordkovich A.G. - Wolgograd: Lehrer, 2008.

4. Rurukin A. N. Unterrichtsentwicklungen in Algebra und die Anfänge der Analysis: 11. Klasse. – M.: VAKO, 2014.

5. Netschajew M.P. Lektionen zum Kurs "Algebra - 11". – M.: 5 für Wissen, 2007

In diesem Artikel stellen wir vor Konzept einer Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, gehen von dort aus zur Beschreibung der Kubikwurzel über und verallgemeinern anschließend das Konzept einer Wurzel, indem wir die n-te Wurzel definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erläuterungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, benötigen Sie . An dieser Stelle stoßen wir oft auf die zweite Potenz einer Zahl – das Quadrat einer Zahl.

Lass uns beginnen mit Quadratwurzeldefinitionen.

Definition

Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Um zu bringen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen wir mehrere Zahlen, zum Beispiel 5, −0,3, 0,3, 0, und quadrieren sie, wir erhalten die Zahlen 25, 0,09, 0,09 bzw. 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 und 0 2 =0·0=0 ). Dann ist nach der oben gegebenen Definition die Zahl 5 die Quadratwurzel der Zahl 25, die Zahlen −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es ist zu beachten, dass es für keine Zahl a ein a gibt, dessen Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht negative Zahl ist. Auf diese Weise, Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.

Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nichtnegative a“? Die Antwort ist ja. Diese Tatsache kann durch die konstruktive Methode zur Ermittlung des Wertes der Quadratwurzel gerechtfertigt werden.

Dann stellt sich die nächste logische Frage: „Wie groß ist die Anzahl aller Quadratwurzeln einer gegebenen nicht negativen Zahl a – eins, zwei, drei oder sogar mehr“? Hier ist die Antwort: Wenn a Null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus Null Null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann beträgt die Anzahl der Quadratwurzeln der Zahl a zwei und die Wurzeln sind . Begründen wir das.

Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Zeigen wir zunächst, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.

Beweisen wir nun, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Lassen Sie uns die umgekehrte Methode verwenden. Angenommen, es gibt eine Zahl b ungleich Null, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 =0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes b ungleich Null der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind zu einem Widerspruch gelangt. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.

Kommen wir zu den Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Wir haben oben gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt. Die Quadratwurzel von a sei die Zahl b. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c, die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann sind nach der Definition einer Quadratwurzel die Gleichungen b 2 =a und c 2 =a wahr, woraus folgt, dass b 2 −c 2 =a−a=0, aber da b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , dann ist (b−c)·(b+c)=0 . Die resultierende Gleichheit ist gültig Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen nur möglich, wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel der Zahl a ist, dann wird durch ähnliche Überlegungen wie die bereits gegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl beträgt also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.

Um die Arbeit mit Quadratwurzeln zu erleichtern, wird die negative Wurzel von der positiven „getrennt“. Zu diesem Zweck wird es eingeführt Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Die Notation für die arithmetische Quadratwurzel von a ist . Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Radikalzeichen genannt. Daher kann man manchmal sowohl „Wurzel“ als auch „Radikal“ hören, was dasselbe Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen heißt Wurzelzahl, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck, während der Begriff „Radikalzahl“ oft durch „Radikalausdruck“ ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl und in der Notation der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.

Beim Lesen wird das Wort „Arithmetik“ oft weggelassen, beispielsweise wird der Eintrag als „Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig“ gelesen. Das Wort „Arithmetik“ wird nur verwendet, wenn betont werden soll, dass es sich konkret um die positive Quadratwurzel einer Zahl handelt.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition einer arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nichtnegative Zahl a .

Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Die Quadratwurzeln von 13 lauten beispielsweise und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir der Notation erst beim Studium eine Bedeutung beimessen komplexe Zahlen. Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Basierend auf der Definition der Quadratwurzel werden die Eigenschaften von Quadratwurzeln nachgewiesen, die in der Praxis häufig verwendet werden.

Abschließend stellen wir fest, dass die Quadratwurzeln der Zahl a Lösungen der Form x 2 =a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubikwurzel einer Zahl

Definition der Kubikwurzel der Zahl a erfolgt ähnlich wie die Definition der Quadratwurzel. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Kubikwurzel von a ist eine Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Geben wir Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7, 0, −2/3, und würfeln Sie sie: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Basierend auf der Definition einer Kubikwurzel können wir dann sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343, 0 die Kubikwurzel von Null und −2/3 die Kubikwurzel von −8/27 ist.

Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel einer Zahl im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, nicht nur für nichtnegative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu können Sie dieselbe Methode verwenden, die wir bei der Untersuchung von Quadratwurzeln erwähnt haben.

Darüber hinaus gibt es nur eine einzige Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Aussage. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Kubikwurzel von a weder eine negative Zahl noch Null sein kann, wenn a positiv ist. Sei b tatsächlich die Kubikwurzel von a, dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit für negatives b und für b=0 nicht gelten kann, da in diesen Fällen b 3 =b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es zusätzlich zur Zahl b eine weitere Kubikwurzel der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 =a. Daher ist b 3 −c 3 =a−a=0, aber b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Differenz der Würfel), woraus (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b−c=0 oder b 2 +b·c+c 2 =0. Aus der ersten Gleichung gilt b=c, und die zweite Gleichung hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe der drei positiven Terme b 2, b·c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Wenn a=0, ist die Kubikwurzel der Zahl a nur die Zahl Null. Wenn wir tatsächlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0.

Für negatives a können ähnliche Argumente wie für positives a angegeben werden. Zunächst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl weder einer positiven Zahl noch Null gleich sein kann. Zweitens gehen wir davon aus, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese notwendigerweise mit der ersten zusammenfällt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a und zwar eine eindeutige.

Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet, das Vorzeichen heißt das Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Notation heißt Stammindex. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelzahl, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.

Obwohl die arithmetische Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Notationen zu verwenden, in denen negative Zahlen unter dem Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Über die Eigenschaften von Kubikwurzeln sprechen wir im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln.

Das Berechnen des Wertes einer Kubikwurzel wird als Extrahieren einer Kubikwurzel bezeichnet; diese Aktion wird im Artikel Extrahieren von Wurzeln: Methoden, Beispiele, Lösungen besprochen.

Um diesen Punkt abzuschließen, nehmen wir an, dass die Kubikwurzel der Zahl a eine Lösung der Form x 3 =a ist.

n-te Wurzel, arithmetische Wurzel vom Grad n

Lassen Sie uns das Konzept einer Wurzel einer Zahl verallgemeinern – wir führen es ein Definition der n-ten Wurzel für n.

Definition

n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus dieser Definition geht klar hervor, dass die Wurzel ersten Grades der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir bei der Untersuchung des Grades mit einem natürlichen Exponenten a 1 =a angenommen haben.

Oben haben wir uns Sonderfälle der n-ten Wurzel für n=2 und n=3 angesehen – Quadratwurzel und Kubikwurzel. Das heißt, eine Quadratwurzel ist eine Wurzel zweiten Grades und eine Kubikwurzel ist eine Wurzel dritten Grades. Um Wurzeln n-ten Grades für n=4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: Die erste Gruppe sind Wurzeln geraden Grades (d. h. für n = 4, 6, 8). , ...), die zweite Gruppe - Wurzeln ungeraden Grades (d. h. mit n=5, 7, 9, ...). Dies liegt daran, dass Wurzeln gerader Potenzen Quadratwurzeln ähneln und Wurzeln ungerader Potenzen kubischen Wurzeln ähneln. Lassen Sie uns sie einzeln behandeln.

Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8, ... sind. Wie wir bereits sagten, ähneln sie der Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel jedes geraden Grades der Zahl a existiert nur für nicht negatives a. Wenn außerdem a=0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a>0, dann gibt es zwei Wurzeln geraden Grades der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Untermauern wir die letzte Aussage. Sei b eine gerade Wurzel (wir bezeichnen sie als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist) der Zahl a. Angenommen, es gibt eine Zahl c – eine weitere Wurzel vom Grad 2·m aus der Zahl a. Dann ist b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt, dass b−c=0, oder b+c=0, oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0, da auf ihrer linken Seite ein Ausdruck steht, der für jedes b und c als Summe nichtnegativer Zahlen nicht negativ ist.

Die Wurzeln n-ten Grades für ungerades n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a und ist für eine gegebene Zahl a eindeutig.

Die Eindeutigkeit einer Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 der Zahl a wird analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel von a bewiesen. Nur hier statt Gleichheit a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) Es wird eine Gleichheit der Form b 2 m+1 −c 2 m+1 = verwendet (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel gilt mit m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind und ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 +c 2 +b·c in der höchsten geschachtelten Klammer positiv als Summe der positiven Zahlen. Wenn wir nun der Reihe nach zu den Ausdrücken in Klammern der vorherigen Verschachtelungsgrade übergehen, sind wir überzeugt, dass sie auch als Summe positiver Zahlen positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 nur möglich, wenn b−c=0, also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist Zeit, die Notation der n-ten Wurzeln zu verstehen. Zu diesem Zweck ist es gegeben Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.

Definition

Arithmetische Wurzel n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Die arithmetische Wurzel n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet. Die Zahl a heißt Wurzelzahl und die Zahl n ist der Wurzelexponent. Betrachten Sie zum Beispiel den Eintrag: Hier ist die Wurzelzahl 125,36 und der Wurzelexponent ist 5.

Beachten Sie, dass es sich bei n=2 um die Quadratwurzel einer Zahl handelt. In diesem Fall ist es üblich, den Wurzelexponenten nicht anzugeben, d. h. die Einträge bedeuten dieselbe Zahl.

Obwohl die Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades sowie ihre Bezeichnung für nichtnegative Wurzelzahlen eingeführt wurden, werden wir der Einfachheit halber für ungerade Exponenten der Wurzel und negative Wurzelzahlen Notationen verwenden der Form, die wir als verstehen werden. Zum Beispiel, Und .

Wir werden den Wurzeln geraden Grades mit negativen Wurzelzahlen keine Bedeutung beimessen (bevor wir beginnen, komplexe Zahlen zu studieren). Ausdrücke ergeben beispielsweise keinen Sinn.

Basierend auf der oben gegebenen Definition werden die Eigenschaften von n-ten Wurzeln begründet, die breite praktische Anwendungen haben.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Wurzeln n-ten Grades die Wurzeln von Gleichungen der Form x n =a sind.

Praktisch wichtige Ergebnisse

Das erste praktisch wichtige Ergebnis: .

Dieses Ergebnis spiegelt im Wesentlichen die Definition einer geraden Wurzel wider. Das ⇔-Zeichen bedeutet Äquivalenz. Das heißt, der obige Eintrag sollte wie folgt verstanden werden: if , then , und if , then . Und nun das Gleiche, aber in Worten: Wenn b eine Wurzel geraden Grades 2·k aus der Zahl a ist, dann ist b eine nichtnegative Zahl, die die Gleichheit b 2·k =a erfüllt, und umgekehrt, wenn b eine nichtnegative Zahl ist, die die Gleichung b 2·k =a erfüllt, dann ist b eine gerade Wurzel von 2·k aus der Zahl a.

Aus der ersten Gleichheit des Systems geht hervor, dass die Zahl a nicht negativ ist, da sie gleich der nicht negativen Zahl b ist, die gerade mit 2·k potenziert wird.

Daher betrachten sie in der Schule Wurzeln gerader Potenzen nur aus nichtnegativen Zahlen und verstehen sie als , und Wurzeln gerader Potenzen negativer Zahlen erhalten keine Bedeutung.

Zweites praktisch wichtiges Ergebnis: .

Es kombiniert im Wesentlichen die Definition einer arithmetischen Wurzel einer ungeraden Potenz und die Definition einer ungeraden Wurzel einer negativen Zahl. Lassen Sie uns das erklären.

Aus den in den vorherigen Absätzen gegebenen Definitionen geht klar hervor, dass sie den Wurzeln ungerader Potenzen aller reellen Zahlen, nicht nur nicht negativer, sondern auch negativer Zahlen, eine Bedeutung geben. Für nichtnegative Zahlen b gilt Folgendes: . Das letzte System impliziert die Bedingung a≥0. Für negative Zahlen −a (wobei a eine positive Zahl ist) nehmen Sie . Es ist klar, dass es sich bei dieser Definition um eine negative Zahl handelt, da sie gleich ist und eine positive Zahl ist. Es ist auch klar, dass die Potenzierung der Wurzel auf die Potenz 2 k+1 den Radikanden –a ergibt. Unter Berücksichtigung dieser Definition und Eigenschaften von Befugnissen haben wir tatsächlich

Daraus schließen wir, dass die Wurzel eines ungeraden Grades 2 k+1 einer negativen Zahl −a eine negative Zahl b ist, deren Grad 2 k+1 in der wörtlichen Form gleich −a ist . Ergebnisse kombinieren für a≥0 und Für ein<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .