Ableitung einer komplexen Formelfunktion. Regeln zur Berechnung von Derivaten

Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint, seien Sie also gewarnt: Es gibt oft Fallstricke in den Beispielen, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Derivaten.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Komplexe Funktionen passen nicht immer zur Definition einer komplexen Funktion. Wenn es eine Funktion der Form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 gibt, kann sie im Gegensatz zu y \u003d sin 2 x nicht als komplex betrachtet werden.

Dieser Artikel zeigt das Konzept einer komplexen Funktion und ihre Identifizierung. Lassen Sie uns mit Formeln arbeiten, um die Ableitung mit Lösungsbeispielen im Schluss zu finden. Die Verwendung der Ableitungstabelle und der Ableitungsregeln verkürzen die Zeit zum Auffinden der Ableitung erheblich.

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Grundlegende Definitionen

Bestimmung 1

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument ebenfalls eine Funktion ist.

Es wird so bezeichnet: f (g (x)) . Wir haben, dass die Funktion g (x) als Argument f (g (x)) betrachtet wird.

Bestimmung 2

Wenn es eine Funktion f gibt und eine Kotangensfunktion ist, dann ist g(x) = ln x die natürliche Logarithmusfunktion. Wir erhalten, dass die komplexe Funktion f (g (x)) als arctg (lnx) geschrieben wird. Oder eine Funktion f, bei der es sich um eine zur 4. Potenz erhobene Funktion handelt, bei der g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 als vollständige rationale Funktion betrachtet wird, erhalten wir, dass f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Offensichtlich kann g(x) schwierig sein. Aus dem Beispiel y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 ist ersichtlich, dass der Wert von g eine Kubikwurzel mit einem Bruch hat. Dieser Ausdruck kann als y = f (f 1 (f 2 (x))) bezeichnet werden. Daraus ergibt sich, dass f eine Sinusfunktion ist und f 1 eine Funktion unter der Quadratwurzel ist, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ist eine gebrochene rationale Funktion.

Bestimmung 3

Der Verschachtelungsgrad ist durch eine beliebige natürliche Zahl definiert und wird geschrieben als y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Bestimmung 4

Das Konzept der Funktionskomposition bezieht sich auf die Anzahl der verschachtelten Funktionen gemäß der Problemstellung. Für die Lösung die Formel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion der Form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Beispiele

Beispiel 1

Finde die Ableitung einer komplexen Funktion der Form y = (2 x + 1) 2 .

Lösung

Konventionsgemäß ist f eine quadrierende Funktion und g(x) = 2 x + 1 wird als lineare Funktion betrachtet.

Wir wenden die Ableitungsformel auf eine komplexe Funktion an und schreiben:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Es ist notwendig, eine Ableitung mit einer vereinfachten Anfangsform der Funktion zu finden. Wir bekommen:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Daher haben wir das

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Die Ergebnisse stimmten überein.

Beim Lösen von Problemen dieser Art ist es wichtig zu verstehen, wo sich die Funktion der Form f und g (x) befinden wird.

Beispiel 2

Sie sollten die Ableitungen komplexer Funktionen der Form y \u003d sin 2 x und y \u003d sin x 2 finden.

Lösung

Der erste Eintrag der Funktion besagt, dass f die Quadrierfunktion und g(x) die Sinusfunktion ist. Dann bekommen wir das

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Der zweite Eintrag zeigt, dass f eine Sinusfunktion ist und g (x) = x 2 die Potenzfunktion bezeichnet. Daraus folgt, dass das Produkt einer komplexen Funktion geschrieben werden kann als

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Die Formel für die Ableitung y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) wird geschrieben als y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )) . . . f n "(x)

Beispiel 3

Finde die Ableitung der Funktion y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Lösung

Dieses Beispiel zeigt die Komplexität des Schreibens und Bestimmens der Position von Funktionen. Dann y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bezeichnen, wobei f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) die Sinusfunktion ist, die Funktion der Erhöhung auf 3 Grad, eine Funktion mit Logarithmus und Basis e, eine Funktion des Arkustangens und eine lineare.

Aus der Formel zur Definition einer komplexen Funktion haben wir das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Erhalten, was zu finden ist

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) als Ableitung des Sinus in der Ableitungstabelle, dann f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)). ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) als Ableitung einer Potenzfunktion, dann f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 Bogen t g (2 x) = 3 ln 2 Bogen t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) als logarithmische Ableitung, dann f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) als Ableitung des Arkustangens, dann f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Wenn Sie die Ableitung f 4 (x) \u003d 2 x finden, nehmen Sie 2 aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus, indem Sie die Formel für die Ableitung der Potenzfunktion mit einem Exponenten gleich 1 verwenden, dann f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Wir kombinieren die Zwischenergebnisse und erhalten das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Die Analyse solcher Funktionen ähnelt Verschachtelungspuppen. Ableitungsregeln können nicht immer explizit über eine Ableitungstabelle angewendet werden. Oft müssen Sie die Formel anwenden, um Ableitungen komplexer Funktionen zu finden.

Es gibt einige Unterschiede zwischen einer komplexen Ansicht und einer komplexen Funktion. Mit einer klaren Fähigkeit, dies zu unterscheiden, wird das Auffinden von Derivaten besonders einfach.

Beispiel 4

Es ist notwendig, darüber nachzudenken, ein solches Beispiel zu bringen. Wenn es eine Funktion der Form y = t g 2 x + 3 t g x + 1 gibt, dann kann sie als komplexe Funktion der Form g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 betrachtet werden . Offensichtlich ist es notwendig, die Formel für die komplexe Ableitung anzuwenden:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Eine Funktion der Form y = t g x 2 + 3 t g x + 1 wird nicht als komplex angesehen, da sie die Summe t g x 2 , 3 t g x und 1 hat. t g x 2 wird jedoch als komplexe Funktion betrachtet, dann erhalten wir eine Potenzfunktion der Form g (x) \u003d x 2 und f, die eine Funktion der Tangente ist. Dazu müssen Sie nach der Menge differenzieren. Das verstehen wir

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 wegen 2 x

Gehen wir weiter zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Wir erhalten, dass y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexe Funktionen können in komplexe Funktionen eingeschlossen werden, und die komplexen Funktionen selbst können zusammengesetzte Funktionen der komplexen Form sein.

Beispiel 5

Betrachten Sie zum Beispiel eine komplexe Funktion der Form y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Diese Funktion kann als y = f (g (x)) dargestellt werden, wobei der Wert von f eine Funktion des Logarithmus zur Basis 3 ist und g (x) als Summe zweier Funktionen der Form h (x) = angesehen wird x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 und k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Offensichtlich ist y = f (h (x) + k (x)) .

Betrachten Sie die Funktion h(x) . Dies ist das Verhältnis von l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 zu m (x) = e x 2 + 3 3

Wir haben, dass l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) die Summe zweier Funktionen n (x) = x 2 + 7 und p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , wobei p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) eine komplexe Funktion mit einem numerischen Koeffizienten von 3 und p 1 ist eine Würfelfunktion, p 2 Kosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineare Funktion.

Wir haben festgestellt, dass m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) die Summe der beiden Funktionen q (x) = e x 2 und r (x) = 3 3 ist, wobei q (x) = q 1 (q 2 (x)) ist eine komplexe Funktion, q 1 ist eine Funktion mit einem Exponenten, q 2 (x) = x 2 ist eine Potenzfunktion.

Dies zeigt, dass h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Beim Übergang zu einem Ausdruck der Form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ist klar, dass die Funktion als Komplex s (x) \ dargestellt wird u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) mit ganzzahligem rationalem t (x) = x 2 + 1, wobei s 1 die Quadrierfunktion ist und s 2 (x) = ln x mit der Basis e logarithmisch ist .

Daraus folgt, dass der Ausdruck die Form k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) annehmen wird.

Dann bekommen wir das

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Anhand der Strukturen der Funktion wurde deutlich, wie und welche Formeln angewendet werden müssen, um den Ausdruck beim Differenzieren zu vereinfachen. Um sich mit solchen Problemen vertraut zu machen und ihre Lösung zu verstehen, ist es notwendig, sich auf den Punkt der Ableitung einer Funktion zu beziehen, dh ihre Ableitung zu finden.

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Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so heißt der angegebene Grenzwert Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise ist für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) wahr. Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, d.h. die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

So, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Funktionsgraphen zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Ableitung einer komplexen Funktion. Lösungsbeispiele

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie finde ich die Ableitung?, an dem wir die einfachsten Ableitungen analysiert haben, und uns auch mit den Ableitungsregeln und einigen technischen Methoden zum Auffinden von Ableitungen vertraut gemacht haben. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte dieses Artikels nicht ganz klar sind, dann lesen Sie zuerst die obige Lektion. Bitte stellen Sie sich auf eine ernste Stimmung ein - der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis hat man sehr oft, ich würde sagen fast immer, mit der Ableitung einer komplexen Funktion zu tun, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir betrachten in der Tabelle die Regel (Nr. 5) zum Ableiten einer komplexen Funktion:

Wir verstehen. Werfen wir zunächst einen Blick auf die Notation. Hier haben wir zwei Funktionen - und , und die Funktion ist bildlich gesprochen in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieser Art (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – innere (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben erscheinen. Ich verwende die umgangssprachlichen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis der Materie zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „x“, sondern den ganzen Ausdruck, also wird es nicht funktionieren, die Ableitung sofort aus der Tabelle zu finden. Wir bemerken auch, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass es unmöglich ist, den Sinus „auszureißen“:

In diesem Beispiel ist bereits aus meinen Erläuterungen intuitiv klar, dass die Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt, die durchgeführt werden muss, wenn die Ableitung einer komplexen Funktion gefunden werden soll verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint klar, dass ein Polynom unter den Sinus geschachtelt ist. Aber was ist, wenn es nicht offensichtlich ist? Wie kann man genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Dazu schlage ich vor, die folgende Technik zu verwenden, die im Kopf oder an einem Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, dass wir den Wert des Ausdrucks mit einem Taschenrechner berechnen müssen (statt einer kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Zuerst Sie müssen die folgende Aktion ausführen: , sodass das Polynom eine interne Funktion ist:

Zweitens Sie müssen finden, also wird der Sinus - eine externe Funktion sein:

Nachdem wir VERSTEHE Bei inneren und äußeren Funktionen ist es an der Zeit, die Ableitungsregel für zusammengesetzte Funktionen anzuwenden.

Wir beginnen zu entscheiden. Aus dem Unterricht Wie finde ich die Ableitung? Wir erinnern uns, dass das Design der Lösung einer Ableitung immer so beginnt - wir schließen den Ausdruck in Klammern ein und setzen oben rechts einen Strich:

Zuerst Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), sehen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln gelten auch dann, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Beachten Sie, dass die innere Funktion hat sich nicht geändert, wir berühren es nicht.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht folgendermaßen aus:

Der konstante Faktor steht normalerweise am Anfang des Ausdrucks:

Halten Sie bei Missverständnissen die Entscheidung auf Papier fest und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir schreiben wie immer:

Wir finden heraus, wo wir eine externe Funktion haben und wo eine interne. Dazu versuchen wir (im Kopf oder auf einem Entwurf), den Wert des Ausdrucks für zu berechnen. Was muss zuerst getan werden? Zuerst müssen Sie berechnen, was die Basis gleich ist:, was bedeutet, dass das Polynom die interne Funktion ist:

Und nur dann wird potenziert, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zuerst die Ableitung der externen Funktion finden, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die gewünschte Formel in der Tabelle:. Wir wiederholen noch einmal: jede Tabellenformel gilt nicht nur für "x", sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion das folgende:

Ich betone noch einmal, dass sich die innere Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der äußeren Funktion bilden:

Nun bleibt noch, eine ganz einfache Ableitung der inneren Funktion zu finden und das Ergebnis ein wenig zu „kämmen“:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Um das Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, werde ich ein kommentarloses Beispiel geben, versuchen Sie es selbst herauszufinden, überlegen Sie, wo ist die externe und wo die interne Funktion, warum werden die Aufgaben so gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung einer Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu unterscheiden, muss sie als Grad dargestellt werden. Wir bringen also zunächst die Funktion in die richtige Form zum Differenzieren:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe dreier Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an:

Der Grad wird wieder als Wurzel (Wurzel) dargestellt, und für die Ableitung der inneren Funktion wenden wir eine einfache Regel zum Differenzieren der Summe an:

Bereit. Du kannst den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch schreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn umständliche lange Ableitungen erhalten werden, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht verwirrt, macht einen unnötigen Fehler und es ist für den Lehrer unpraktisch, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Ableiten einer komplexen Funktion die Regel zum Ableiten eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung würde wie eine Perversion lustig aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Ableitungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differenzierung vor - wir entfernen das Minuszeichen der Ableitung und erhöhen den Kosinus auf den Zähler:

Cosinus ist eine interne Funktion, Exponentiation ist eine externe Funktion.
Wenden wir unsere Regel an:

Wir finden die Ableitung der inneren Funktion, setzen den Kosinus wieder zurück:

Bereit. Bei dem betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich bei den Zeichen nicht zu verwirren. Versuchen Sie übrigens, es mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir Fälle betrachtet, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Ableitungen, bei denen, wie Puppen ineinander verschachtelt, 3 oder sogar 4-5 Funktionen auf einmal verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verstehen die Anhänge dieser Funktion. Wir versuchen, den Ausdruck mit dem experimentellen Wert auszuwerten. Wie würden wir auf einen Taschenrechner zählen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Verschachtelung ist:

Dieser Arkussinus der Einheit sollte dann quadriert werden:

Und schließlich erheben wir die Sieben zur Potenz:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Verschachtelungen, während die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Wir beginnen zu entscheiden

Gemäß der Regel müssen Sie zuerst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir sehen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von "x" einen komplexen Ausdruck haben, der die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion ist also das folgende:

Unter dem Bindestrich haben wir wieder eine knifflige Funktion! Aber es geht schon einfacher. Es ist leicht zu erkennen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion müssen Sie zuerst die Ableitung des Grades bilden.

Der Beweis der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion ist gegeben. Fälle, in denen eine komplexe Funktion von einer oder zwei Variablen abhängt, werden ausführlich betrachtet. Es wird eine Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Anzahl von Variablen vorgenommen.

Hier präsentieren wir die Ableitung der folgenden Formeln für die Ableitung einer komplexen Funktion.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.
Wenn, dann
.

Ableitung einer komplexen Funktion einer Variablen

Eine Funktion einer Variablen x sei als komplexe Funktion in folgender Form dargestellt:
,
wo und es gibt einige Funktionen. Die Funktion ist für einen Wert der Variablen x differenzierbar. Die Funktion ist für den Wert der Variablen differenzierbar.
Dann ist die komplexe (zusammengesetzte) Funktion im Punkt x differenzierbar und ihre Ableitung wird durch die Formel bestimmt:
(1) .

Formel (1) kann auch wie folgt geschrieben werden:
;
.

Nachweisen

Führen wir die folgende Notation ein.
;
.
Hier gibt es eine Funktion der Variablen und , es gibt eine Funktion der Variablen und . Aber wir werden die Argumente dieser Funktionen weglassen, um die Berechnungen nicht zu überladen.

Da die Funktionen und an den Punkten x bzw. differenzierbar sind, gibt es an diesen Punkten Ableitungen dieser Funktionen, die folgende Grenzwerte sind:
;
.

Betrachten Sie die folgende Funktion:
.
Für einen festen Wert der Variablen u ist eine Funktion von . Es ist klar, dass
.
Dann
.

Da die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, ist sie an dieser Stelle stetig. Deshalb
.
Dann
.

Jetzt finden wir die Ableitung.

.

Die Formel hat sich bewährt.

Folge

Wenn eine Funktion der Variablen x als komplexe Funktion einer komplexen Funktion dargestellt werden kann
,
dann wird seine Ableitung durch die Formel bestimmt
.
Hier und dort gibt es einige differenzierbare Funktionen.

Um diese Formel zu beweisen, berechnen wir sequentiell die Ableitung nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion.
Betrachten Sie eine komplexe Funktion
.
Sein Derivat
.
Betrachten Sie die ursprüngliche Funktion
.
Sein Derivat
.

Ableitung einer komplexen Funktion in zwei Variablen

Lassen Sie nun eine komplexe Funktion von mehreren Variablen abhängen. Erst überlegen Fall einer komplexen Funktion zweier Variablen.

Die von der Variablen x abhängige Funktion sei als komplexe Funktion zweier Variablen in folgender Form dargestellt:
,
wo
und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
ist eine Funktion zweier Variablen, differenzierbar an der Stelle , . Dann ist die komplexe Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes definiert und hat eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
(2) .

Nachweisen

Da die Funktionen und am Punkt differenzierbar sind, sind sie in irgendeiner Umgebung dieses Punktes definiert, sind am Punkt stetig und ihre Ableitungen am Punkt existieren, die die folgenden Grenzen sind:
;
.
Hier
;
.
Aufgrund der Kontinuität dieser Funktionen an einem Punkt haben wir:
;
.

Da die Funktion am Punkt differenzierbar ist, ist sie in irgendeiner Umgebung dieses Punktes definiert, an diesem Punkt stetig, und ihr Inkrement kann in der folgenden Form geschrieben werden:
(3) .
Hier

- Funktionsinkrement, wenn seine Argumente um die Werte und erhöht werden;
;

- partielle Ableitungen der Funktion nach den Variablen und .
Für feste Werte von und , und gibt es Funktionen der Variablen und . Sie tendieren zu Null als und :
;
.
Seit und dann
;
.

Funktionsinkrement :

. :
.
Ersatz (3):



.

Die Formel hat sich bewährt.

Ableitung einer komplexen Funktion mehrerer Variablen

Die obige Ableitung lässt sich leicht auf den Fall verallgemeinern, wenn die Anzahl der Variablen einer komplexen Funktion mehr als zwei beträgt.

Wenn zum Beispiel f ist Funktion von drei Variablen, dann
,
wo
, und es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
ist eine differenzierbare Funktion in drei Variablen am Punkt , , .
Dann haben wir aus der Definition der Differenzierbarkeit der Funktion:
(4)
.
Da aus Kontinuitätsgründen
; ; ,
dann
;
;
.

Dividiert man (4) durch und geht man zum Grenzwert über, erhält man:
.

Und schließlich überlegen der allgemeinste Fall.
Eine Funktion einer Variablen x sei als komplexe Funktion von n Variablen in folgender Form dargestellt:
,
wo
es gibt differenzierbare Funktionen für einen Wert der Variablen x ;
- differenzierbare Funktion von n Variablen an einem Punkt
, , ... , .
Dann
.