Stellen Sie sicher, dass die Linien zur selben Ebene gehören. Die Bedingung, dass zwei Linien zur selben Ebene gehören. Abstand von Punkt zu Linie

Keilnummerierung. Schon die Chaldäer und Babylonier hatten Schriftzeichen zur Darstellung von Zahlen. Ihre Nummerierung heißt keilförmig und wird auf den Gräbern der alten persischen Könige gefunden.

Hieroglyphische Nummerierung. Die Ägypter schreiben die Erfindung der Arithmetik der mythischen Person Thoth (Phot) zu. Sie hatten Dezimalrechnung sogar unter Fra Sesostris. Die ägyptische Nummerierung wird aufgerufen hieroglyphisch. Die Ägypter bezeichneten die Einheit zehn, hundert und tausend mit besonderen Zeichen, Hieroglyphen. Mehrere Einer, Zehner, Hunderter und Tausender wurden durch den einfachen Aufbau dieser Zeichen dargestellt.

Chinesische Nummerierung. Die Nummerierung sollte auch zu den ältesten gehören Chinesisch. Nach Angaben der Chinesen verwenden sie es seit der Zeit von Fugue, dem chinesischen Kaiser, der 300 Jahre v. Chr. lebte.Bei dieser Nummerierung werden die ersten neun Zahlen durch Sonderzeichen dargestellt. Es gab auch Zeichen für 10, 100, 1000. Große Zahlen wurden in Spalten von oben nach unten geschrieben.

Phönizische Nummerierung. Schließlich muss die Nummerierung auch den ältesten zugeschrieben werden phönizisch. Die Phönizier führten im Vergleich zu den Ägyptern eine Reform der Nummerierung in dem Sinne durch, dass sie die Hieroglyphen durch die Buchstaben ihres Alphabets ersetzten. Auch die Juden verwendeten diese Nummerierung.

Die Phönizier und Juden stellten die ersten neun Zahlen und die ersten neun Zehner mit den 18 Anfangsbuchstaben ihres Alphabets dar und schrieben große Zahlen von rechts nach links.

In Ägypten selbst wurde die hieroglyphische Nummerierung aufgegeben und zuerst hieratische, dann demotische Buchstaben für den allgemeinen Gebrauch eingeführt (600 Jahre vor Christus). BEI hieratisch Bei der Nummerierung ähneln die ersten drei Zahlen reellen Zahlen.

Griechische, römische und kirchenslawische Nummerierung. Die Griechen übernahmen von den Phöniziern das System, Zahlen mit Buchstaben darzustellen. Einige sagen, dass sie Zahlen bis dahin durch die Zeichen repräsentierten, die unter dem Namen bekannt sind römisch Nummerierung, und diese römische Nummerierung ist somit altgriechisch. Kirchenslawisch ist nichts anderes als Griechisch, nur in slawischen Buchstaben ausgedrückt.

Die Römer verwendeten zur Darstellung von Zahlen folgende Zeichen:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Bei der Darstellung der restlichen Zahlen wurden sie von der folgenden Regel geleitet:

Wenn eine kleinere Zahl auf eine größere folgt, erhöht sie die Zahl um ihre Größe; wenn die kleinere Zahl vor der größeren steht, verringert sie die Zahl um ihren eigenen Betrag.

In Übereinstimmung mit dieser Regel stellten sie Zahlen wie folgt dar:

1 - I, 2 - II, 3 - III, 4 - IV, 5 - V, 6 - VI, 7 - VII, 8 - VIII, 9 - IX, 10 - X, 11 - XI, 12 - XII, 13 - XIII, 14 - XIV, 15 - XV, 16 - XVI, 17 - XVII, 18 - XVIII, 19 - XIX, 20 - XX, ... 27 - XXVII, ... 40 - XL, 60 - LX, 90 - XC, 100-C, 110-CX, 150-CL, 400-CD, 600-DC, 900-CM, 1100-MC.

Zahlen, die aus mehreren Tausend bestehen, wurden so geschrieben, wie Zahlen bis Tausend geschrieben werden, mit dem einzigen Unterschied, dass nach der Tausenderzahl unten rechts der Buchstabe m (mille - Tausend) vergeben wurde. Somit ist 505197 = DV m CXCVII.

In slawischen und griechischen Ziffern wurden die ersten neun Zahlen, neun Zehner und neun Hunderter mit Sonderbuchstaben bezeichnet.

In der slawischen Rechnung setzen sie den Buchstaben titlo (¯) auf, um anzuzeigen, dass der Buchstabe eine Zahl darstellt.

Die folgende Tabelle zeigt die parallele griechische und slawische Nummerierung:

Um Tausende zu bezeichnen, wurde in der slawischen Zählweise ein Zeichen vor die Zahl der Tausend gesetzt, und in der griechischen Zählweise wurde der Tausenderzahl ein Bindestrich hinzugefügt.

Auf diese Weise,

Ursprung und Verbreitung der Dezimalzahlen

Obwohl noch kein abschließendes Fazit bezüglich der Darstellung, Einführung und Verbreitung des dezimalen Zahlensystems in Europa gezogen werden kann, gibt es in der Literatur viele sehr wichtige Hinweise zu diesem Thema. Manche nennen dieses System arabisch. Tatsächlich zeigt die Geschichte, dass das Dezimalsystem von den Arabern entlehnt wurde. So ist bekannt, dass der toskanische Kaufmann Leonard zu Beginn des 13. Jahrhunderts nach seinen Reisen in Syrien und Ägypten seine Landsleute in die Techniken des Dezimalsystems einführte. Sarco-Bosco, ein berühmter Mathematiklehrer in Paris (gestorben 1256), und Roger Bacon waren durch ihre Schriften maßgeblich an der Verbreitung dieses Systems in ganz Europa beteiligt. Sie weisen bereits darauf hin, dass die Dezimalzahlen von den Arabern von den Indianern entlehnt wurden. Aus den Denkmälern der arabischen Literatur ist sicher bekannt, dass der aus dem Koraismus stammende Abu-Abdallah-Mohammed-Ibn-Muza im 9. Jahrhundert lange Zeit durch Indien reiste und nach seiner Rückkehr arabische Wissenschaftler in die indische Nummerierung einführte. Auch die arabischen Schriftsteller Avicena Aben-Ragel und Alsefadi schreiben die Erfindung der Nummerierung den Indianern zu.

Schriftliche Aufzeichnungen aus Sanskrit, der Sprache des alten Indien, bestätigen die Angaben arabischer Schriftsteller.

Aus der Arbeit von Baskara, einem indischen Schriftsteller aus dem 12. Jahrhundert, geht hervor, dass die Inder mehrere Jahrhunderte vor Baskara die Darstellung von Zahlen durch zehn Zeichen kannten, denn diese Arbeit skizziert eine kohärente Theorie von vier arithmetischen Operationen und sogar der Extraktion des Quadrats Wurzeln. Sowohl Baskara als auch der ältere Schriftsteller Bramegupta betrachten die Tatsache der Erfindung der Nummerierung als sehr alt. Im Verfasser eines noch älteren Ariabgat finden wir die Lösung vieler bemerkenswerter mathematischer Fragen.

Diese Hinweise scheinen es unwahrscheinlich zu machen, dass der französische Geometer Chall behauptete, das Dezimalsystem sei eine Weiterentwicklung der römischen Art, die Rechentabelle (Abacus) in Berechnungen zu verwenden, und dass eine Einführung der Null ausreiche, um ein echtes Dezimalsystem zu erhalten.

Arithmetik und Logistik bei den Griechen. Die Griechen haben gerufen Arithmetik die Lehre von den allgemeinen Eigenschaften der Zahlen. Die Kunst des Zählens oder eine Reihe praktischer Methoden zum Rechnen nannten die Griechen Logistik.

Wenn die Entwicklung der Arbeitsprozesse und die Entstehung des Eigentums den Menschen zwangen, Zahlen und ihre Namen zu erfinden, so führte ihn das weitere Wachstum der wirtschaftlichen Bedürfnisse der Menschen auf den Weg einer immer größeren Erweiterung und Vertiefung des Zahlenbegriffs. Besonders deutliche Verschiebungen in diesem Sinne traten ein, als Staaten mit einem mehr oder weniger komplexen Staatsapparat entstanden, der eine Vermögensbuchhaltung und die Schaffung eines Steuersystems erforderte, und als der Warenaustausch auf die Stufe der Entwicklung des Handels mit einem Geldsystem überging. Dies führte einerseits zur Entstehung der schriftlichen Nummerierung, andererseits begannen sich Zähloperationen zu entwickeln, d.h. erschien Operationen auf Zahlen.

Auch in diesen fernen Epochen des Lebens der Menschheit wurde eine Art Aufzeichnung von Zahlen durchgeführt: Alle diese Knoten, Kerben, die auf einer Muschelschnur aufgereiht waren, waren nichts anderes als der Embryo einer aufgezeichneten Zahl. Dann begannen sie, die Nummer 1 zu bezeichnen - mit einem Strich, 2 - mit zwei, 3 - mit drei usw.

Die Entwicklung der Numerik ging immer mit einem allgemeinen Anstieg des kulturellen Niveaus der Völker einher und verlief daher am intensivsten in jenen Ländern, die den Weg der Staatlichkeitsentwicklung schnell beschritten.

Unter den Völkern der Welt mit den günstigsten Bedingungen für die Entwicklung ihres wirtschaftlichen und politischen Lebens befanden sich diejenigen, die an der Kreuzung dreier Kontinente lebten: Europa, Afrika und Asien, sowie die Völker, die die Gebiete der Halbinsel Hindustan besetzten und modernen China. Die natürlichen Bedingungen an diesen Orten waren äußerst unterschiedlich. Diese Vielfalt und extreme Differenzierung wurde bei der Entwicklung beobachtet produktive Kräfte und damit auch das gesellschaftliche Leben.

Die in diesen Territorien gelegenen Staaten waren die ersten Staaten in der Geschichte der Menschheit, in denen wir den Keim der modernen Wissenschaften und insbesondere der Mathematik finden.

Nummerierung der Staaten des Alten Orients und Roms.

Der alte babylonische Staat befand sich in jenem Teil Mesopotamiens, wo die Kanäle der Flüsse Tigris und Euphrat am meisten zusammenlaufen. Die Hauptstadt dieses Staates - Babylon - lag am Ufer des Euphrat.

Die Blütezeit des babylonischen Staates geht auf die zweite Hälfte des 18. Jahrhunderts zurück. BC. Landwirtschaftliche Produkte (Getreide, Obst, Vieh) wurden in die Nachbarländer exportiert. Der Handel wurde durch die zentrale Lage Babylons an den Ufern schiffbarer Flüsse begünstigt. Das Aufblühen des Handels führte zur Entwicklung des monetären Maßsystems. In Babylon wurde ein Maßsystem ähnlich unserer Metrik geschaffen, nur basierte es nicht auf der Zahl 10, sondern auf der Zahl 60. Dieses System wurde von den Babyloniern vollständig beibehalten, um Zeit und Winkel zu messen, und wir haben es von ihnen geerbt Unterteilung von einer Stunde und einem Grad in 60 Minuten und Minuten für 60 Sekunden.

Forscher erklären das Auftreten des sexagesimalen Zahlensystems bei den Babyloniern auf unterschiedliche Weise. Höchstwahrscheinlich wurde hier die Basis 60 berücksichtigt, die ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60 ist, was alle möglichen Berechnungen stark vereinfacht.

Numerische Aufzeichnungen unter den Babyloniern entstanden in einer sehr fernen Zeit. Es wird angenommen, dass die Babylonier es von den Völkern entlehnt haben, die bereits vor seiner Gründung auf dem Territorium des babylonischen Staates lebten. Diese Aufzeichnung wurde wie die babylonische Schrift auf Tontafeln durch Auspressen dreieckiger Keile angefertigt, und ein dreiseitiger Balken diente als Instrument für die Aufzeichnung. Diese Art der Keilschrift bestand hauptsächlich aus drei Positionen der Klinge: vertikaler Punkt nach unten, horizontaler Punkt nach links und horizontaler Punkt nach rechts. In diesem Fall bedeutete das Zeichen Ў Einheit, 3 - zehn. Mit Hilfe dieser Zeichen war es nach der Additionsmethode auch möglich, mehrwertige Zahlen auszudrücken. Zum Beispiel ist das Zeichen ЎЎЎ dargestellt 5, das Zeichen 33ЎЎЎ- die Zahl 23 usw. ЎЎ

Der Ursprung der ägyptischen Kultur geht auf das Jahr 4000 v. Chr. zurück. Es wird angenommen, dass auch die ägyptische Schrift in dieser Zeit entstanden ist. Ursprünglich hatte es hieroglyphischen Charakter, d.h. Jedes Konzept wurde als separate Figur dargestellt. Aber nach und nach nahmen hieroglyphische Aufzeichnungen eine etwas andere Form an, genannt Hieroglyphische Schrift.

Die gleiche Methode wurde verwendet, um Zahlen aufzuzeichnen. Bei der Hieroglyphenschrift wurden Zahlen bereits im Dezimalsystem ausgedrückt, und es gab Sonderzeichen für Bitzahlen: Einer, Zehner, Hunderter usw. Die Einheit wurde durch das Zeichen |, zehn, hundert, tausend, zehntausend, einhunderttausend, eine Million, zehn Millionen dargestellt. Wenn darüber hinaus die Einheit irgendeiner Kategorie mehrmals in der Zahl enthalten war, dann wurde sie im Datensatz genauso oft wiederholt, d. h. das Additionsgesetz wurde eingehalten. Beispielsweise wurde die Zahl 5 folgendermaßen ausgedrückt: . Die Zahl 122 sah so aus: .

Die Ägypter verwendeten nur einzelne Brüche, d.h. diejenigen, die in unserem Datensatz nur einen Anteil ausdrücken, haben einen im Zähler (wir nennen solche Brüche aliquot). Die Ausnahme war der Bruch 2/3, für den es ein besonderes Zeichen gab: ; Ѕ hatte auch ein besonderes Zeichen, und alle anderen wurden mit dem Symbol "ro" ausgedrückt, das eine Form hatte. Um eine Art Bruch darzustellen, wurde dieses Symbol gezeichnet und eine Zahl darunter platziert, die den Nenner darstellt. Ein Siebtel wurde beispielsweise so geschrieben:.

Aufnahmen wurden hauptsächlich in Farbe auf Papyrus gemacht. Manchmal dienten Stein, Holz, Leder, Leinwand als Aufnahmematerial. Der Text passt hauptsächlich von rechts nach links in die Zeilen und von oben nach unten in die Spalten.

Die ersten Konzepte der Mathematik, die ihren Ursprung im alten China hatten, dienten der Entwicklung der mathematischen Kultur benachbarter Völker, die das Gebiet des modernen Korea, Indochinas und insbesondere Japans besetzten.

In China begannen sich früh Informationen mathematischer Natur zu häufen, und eine Aufzeichnung von Zahlen erschien. Gleichzeitig waren chinesische Hieroglyphenziffern noch schwieriger zu schreiben als ägyptische. (Abb. im Anhang).

Aber neben diesen Hieroglyphen waren in China auch einfachere digitale Zeichen für Handelsgeschäfte weit verbreitet.

Sie sahen so aus: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Zahlen wurden in Spalten von oben nach unten geschrieben. Der große Vorteil der chinesischen Notation war die Einführung der Null, um fehlende Ziffern auszudrücken. Es wird angenommen, dass die Null im 12. Jahrhundert aus Indien entlehnt wurde.

Seit der Antike ist in China ein Saunapfannen-Zählgerät in Gebrauch, das im Design einem modernen russischen Abakus ähnelt (Abb. im Anhang). Der Hauptunterschied zu russischen Konten besteht darin, dass unsere Konten auf dem Dezimalzahlensystem basieren, während sauna-pan ein gemischtes Quinär- und Binärsystem hat. In einer Saunapfanne ist jeder Draht in zwei Teile geteilt: 5 Knochen sind im unteren Teil aufgereiht und im oberen Teil 2. Wenn alle fünf Knochen von der Unterseite des Drahtes gezählt werden, werden sie durch einen im oberen ersetzt Teil; wo die Knochen im oberen Teil durch einen Knochen des höchsten Ranges ersetzt werden. Kalkül Nummerierung gebrochen rational

Zu Beginn der menschlichen Kultur in der Entwicklung der Mathematik war China Babylon und Ägypten weit voraus.

Die Methode, Zahlen von den Römern zu schreiben, wurde von den alten Etruskern, einem der Stämme des alten Italiens, entlehnt. Spuren des quinären Zahlensystems sind in dieser Aufzeichnung erhalten geblieben, und Zahlen wurden mit Buchstaben ausgedrückt, nämlich die Zahlen 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000 wurden mit den Buchstaben I, V, X, L, C bezeichnet. D und M. Für größere Zahlen (10000, 100000, 1000000) hatten Sonderzeichen. Es gab kein Zeichen, um Null anzuzeigen. Beim Schreiben hielten sie sich an das Prinzip der Addition und Subtraktion: Die rechts geschriebenen Zahlen wurden addiert, und die links geschriebenen Zahlen wurden von der daneben geschriebenen Zahl subtrahiert. IX, XII, XC und CXXX bedeuteten also 9, 12, 90 bzw. 130. zum Beispiel das Datum der Errichtung eines Denkmals oder Gebäudes, ein Jahrhundert, ein Kapitel in einem Buch usw.

Aufgrund der Schwierigkeit der Berechnungen griffen die Römer auf die Fingerzählung oder den Abakus zurück. (Reis).

Dieser Abakus ist ein Metallbrett mit Rillen, an denen Token vorbeigeführt werden können. Es gibt neun Längsrillen, von denen sieben das Zählen von Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender und Millionen ermöglichen. Die Einerstellen werden vergrößert, wenn man sich von der rechten zur linken Nut bewegt (wie in der Abbildung zu sehen). Die beiden Rillen ganz rechts ermöglichen das Zählen von Bruchteilen. Die Rillen für ganze Zahlen sind in zwei Teile unterteilt: Ein Token wird in den oberen und vier in den unteren gelegt. Der oberste Token ersetzt die fünf unteren. Die zweite Rille rechts ist ebenfalls zweigeteilt und ermöglicht das Zwölftelzählen, wobei der obere Teil einen Token und der untere fünf Token enthält. Der ganz rechte Groove ist in drei Teile unterteilt, von denen der obere 24 Schläge, der mittlere 48 und der untere 72 Takte ausgibt. Die rechte Zeichnung zeigt einen Bericht gleich 84 071+2|12+1|72.

Zahlen in Indien.

Einen besonders wertvollen Beitrag zur Arithmetik leisteten die Indianer. In dieser Hinsicht verdankt die Mathematik den Indianern die Ordnung der Zahlenschreibweise durch die Einführung von Ziffern für das dezimale Zahlensystem und die Etablierung des Prinzips des Ortswerts von Ziffern. Darüber hinaus ist die Verwendung von Null zur Angabe der entsprechenden Biteinheiten in Indien weit verbreitet, was auch eine große Rolle bei der Verbesserung numerischer Aufzeichnungen und der Erleichterung von Operationen mit Zahlen spielte.

Die digitalen Zeichen Indiens stimmen in ihrer Form nicht mit modernen Zahlen überein, haben aber dennoch teilweise eine große Ähnlichkeit mit ihnen. So waren zum Beispiel indische Zeichen, die eins, sieben und null darstellten, modernen Zahlen sehr ähnlich. Die restlichen Zeichen haben sich im Laufe der Jahrhunderte stark verändert und trennen uns von der Zeit ihrer Entstehung.

Die Einführung von Null, Ziffern und das Prinzip ihres lokalen Werts erleichterten Rechenoperationen mit Zahlen, und daher erfuhren arithmetische Berechnungen in Indien eine bedeutende Entwicklung. Der Hauptvorteil der Einführung indischer Methoden zum Schreiben von Zahlen besteht darin, dass sie die Anzahl der Ziffern erheblich reduziert, ein Positionssystem auf die Dezimalzählung angewendet und das Nullzeichen eingeführt haben. Während die Griechen, Juden, Syrer usw. Bis zu 27 verschiedene Digitalzeichen wurden zum Schreiben von Zahlen verwendet, bei den Indianern verringerte sich die Anzahl solcher Digitalzeichen auf 10, einschließlich der Bezeichnung Null. Was das Stellensystem anbelangt, so waren seine Ansätze noch bei den Babyloniern vorhanden, aber dort wurde dieses System für das Sixagesimal-Zählen verwendet, und die Indianer führten es für das Dezimalsystem ein. Schließlich bot die Verwendung eines Zeichens für Null im Positionssystem einen großen Vorteil gegenüber der Aufzeichnung von Zahlen bei den Babyloniern. So konnte beispielsweise bei den Babyloniern das Zeichen Ў sowohl eine Einheit als auch 1/60 bezeichnen, und im Allgemeinen jede Zahl der Form 60 n, und in den indischen Aufzeichnungen konnte das Zeichen 1 nur eine Einheit bezeichnen, da to bezeichnen zehn, hundert, und so weiter, nachdem die Einheit geschrieben wurde entsprechende Anzahl von Nullen.

Das Schreiben von Zahlen und das Durchführen von Rechenoperationen darauf wurde von den Indianern auf einer mit rotem Sand bedeckten weißen Tafel durchgeführt. Der Stock wurde als Schreibgerät verwendet. So erschienen beim Schreiben auf der roten Oberfläche weiße Markierungen, die mit einem Stock gezeichnet wurden.

Zahlen der Völker Zentralasiens.

Ab dem 7. Jahrhundert In der Geschichte der Völker, die Teil der Staaten Zentralasiens und des Nahen Ostens sind, beginnt der arabische Staat eine bedeutende Rolle zu spielen. Aus den kleinen arabischen Staaten, die im 7.-8. Jahrhundert vollständig auf die Arabische Halbinsel passten, wurde ein arabisches Kalifat geschaffen – ein Staat, der ein riesiges Territorium besetzte. Neben dem Hauptgebiet der Araber umfasste es Palästina, Syrien, Mesopotamien, Persien, Transkaukasien, Zentralasien, Nordindien, Ägypten, Nordafrika und die Iberische Halbinsel. Die Hauptstadt des Kalifats war zunächst Damaskus und dann im VIII. Jahrhundert. In der Nähe des ehemaligen Babylon wurde eine neue Stadt gebaut - Bagdad, wohin die Hauptstadt verlegt wurde.

Da viele Vertreter der im Kalifat eingeschlossenen Völker auf Arabisch schrieben, zählen bürgerliche Historiker die Werke der Wissenschaftler dieser Völker fälschlicherweise zu den Werken der Araber.

Der erste große Mathematiker gehörte zu den Völkern, die Teil des Kalifats waren, wir werden den großen usbekischen (Khorezmian) Mathematiker und Astrologen des 9. Jahrhunderts nennen. Mohammed ben Mussa al-Khwarizmi (2. Hälfte des 8. Jahrhunderts - zwischen 830-840).

Al-Khwarizmis Werk über Arithmetik ist bis heute nur in Übersetzung ins Lateinische überliefert. Es spielte eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der europäischen Mathematik, da die Europäer darin die indischen Methoden zum Schreiben von Zahlen kennenlernten, dh das indische Zahlensystem, die Verwendung von Null und die hybride Bedeutung von Zahlen. Aufgrund der Tatsache, dass diese Informationen von Europäern einem Buch entnommen wurden, dessen Autor in einem arabischen Staat lebte und auf Arabisch schrieb, wurden die indischen Ziffern des Dezimalsystems fälschlicherweise als „arabische Ziffern“ bezeichnet.

Nummerierung in Russland.

Ostslawische Stämme, die alten Vorfahren der russischen, ukrainischen und belarussischen Völker, begannen sich etwa 2-3 Tonnen vor Christus zu bilden. Im 7. und 8. Jahrhundert Die ersten Städte tauchten unter den Slawen auf. Die ersten großen Städte Russlands waren Kiew und Nowgorod.

Im X. Jahrhundert, während der Regierungszeit von Wladimir Swjatoslawowitsch (? -1015), erreichte der alte russische Staat (Kiewaner Rus) seinen größten Wohlstand und seine größte Macht. Hinsichtlich der kulturellen Entwicklung nahm es einen der herausragenden Plätze unter den Staaten Europas ein. In Russland gab es in dieser Zeit parallel zur allgemeinen Entwicklung der Kultur eine relativ schnelle Verbreitung von Informationen aus der Mathematik.

Zwar sind bis heute keine Denkmäler der mathematischen Literatur erhalten geblieben, die uns die Möglichkeit geben würden, die Entwicklung der Mathematik in Russland im 9.-10. Jahrhundert zu beurteilen, aber Dokumente anderer Art erlauben uns, diesbezüglich einige Schlussfolgerungen zu ziehen. Als erstes russisches Denkmal mathematischen Inhalts gilt bis heute ein handschriftlicher Aufsatz eines Novgorod-Mönchs. Kirika, geschrieben von ihm im Jahr 1136 und mit der Überschrift „Kritik des Diakons und Hausangestellten des Antoniusklosters von Novgorod, die Lehre von ihm, die Anzahl aller Jahre für eine Person zu kennen.“

Kirik zeigte sich in dieser Arbeit als sehr geschickter Zähler und großer Liebhaber von Zahlen. Die Hauptaufgaben, die Kirik löst, sind chronologisch geordnet: die Berechnung der zwischen Ereignissen verstrichenen Zeit. Bei Berechnungen verwendete Kirik das Nummerierungssystem, das als kleine Liste bezeichnet wurde und durch die folgenden Namen ausgedrückt wurde: 10.000 - Dunkelheit, 100.000 - Legion oder Unwissenheit, 1.000.000 - Leodr.

Neben einer kleinen Liste gab es im alten Russland eine noch größere Liste, die es ermöglichte, mit sehr großen Zahlen zu operieren. Im Listensystem hatten die Hauptbiteinheiten dieselben Namen wie im kleinen, aber die Verhältnisse zwischen diesen Einheiten waren unterschiedlich, nämlich:

Tausend tausend ist Dunkelheit;

Die Dunkelheit dieser ist Legion oder Pevedius;

Legion der Legionen - leodr;

Leodr leodrov - Rabe;

10 Raben - Deck.

In der letzten dieser Nummern, d.h. Über das Deck hieß es: "Und mehr als das kann der menschliche Verstand verstehen."

Einheiten, Zehner und Hunderter wurden in slawischen Buchstaben mit einem Zeichen darüber, genannt titlo, dargestellt, um Zahlen von Buchstaben zu unterscheiden. Tausende wurden durch dieselben Buchstaben dargestellt, aber ihnen ging das Zeichen So voraus, das eine Einheit darstellte, - zweiundzwanzig, - sechstausend usw.

Darkness, Legion und Leodre wurden durch dieselben Buchstaben dargestellt, aber um sie von Einheiten, Zehnern, Hundertern und Tausendern zu unterscheiden, wurden sie eingekreist. So dargestellt drei Dunkelheit; - drei Legionen und - drei Leoder.

Bis zum 16. Jahrhundert umfasst die Erfindung eines bemerkenswerten Zählgeräts, das später den Namen „Russischer Abakus“ erhielt (Abb. Es wird angenommen, dass die Idee, dieses Gerät zu entwickeln, den russischen Kaufleuten Strogonov gehört. Brüche wurden im alten Russland Aktien genannt, später „gebrochene Zahlen“. In alten Handbüchern finden wir die folgenden Namen von Fraktionen in Russland:

halb, halb, - drittel, - vier, - halbes Drittel, - halbes Viertel, - halbes Drittel, - halbes halbes, - halbes halbes Drittel (kleines Drittel), - halbes halbes Viertel, - ein Fünftel, - eine Woche, - ein Zehnter.

Die slawische Nummerierung wurde in Russland bis zum 16. Jahrhundert verwendet, erst in diesem Jahrhundert begann das dezimale Positionsnummernsystem allmählich in unser Land einzudringen. Sie ersetzte schließlich die slawische Nummerierung unter Peter I.

Olga Perkova
Arten der schriftlichen Nummerierung (Präsentation)

Arten der schriftlichen Nummerierung.

Die Entwicklung des Zählens begann zu einer Zeit, als Produktionsformen wie Jagd und Fischfang den Menschen vertraut wurden. Es wurde notwendig, Werkzeuge herzustellen, um diese Industrien zu meistern. Und nachdem sie in kalte Länder gezogen waren, begannen die Menschen, solche Werkzeuge herzustellen, die sich leicht zu haltbarer Haut verarbeiten ließen.

Finger zählen.

Das Zählen hat sich seit der Zeit, als die Menschen vermuteten, sich an ihre Finger zu wenden, schneller entwickelt. Sie waren es, die so einfach und gleichzeitig einzigartig wurden "Gerät", die den Grundstein für die weitere Entwicklung legte geschriebene Nummerierung.

Es gab natürlich eine mündliche Darstellung, aber sie wurde erst aktiv, nachdem sich die Landwirtschaft entwickelt hatte.

Im Laufe der Zeit begannen viele Völker, verschiedene Wörter für Namen zu erfinden, die Zahlen zugeordnet wurden. Wenn es beispielsweise notwendig war, die Nummer eins zu bezeichnen, wurde sie als bezeichnet "Nase". "Mund", "Kopf" (was eine Person in einer Menge hat). Dementsprechend wurden die Wörter der Nummer zwei zugeordnet "Augen", "Waffen", "Beine" usw.

Die Fingerzählung führte allmählich dazu, dass die Zählung zu rationalisieren begann und die Person die Zahlen dementsprechend verbal vereinfachte. Sagen wir den Ausdruck, der der Zahl 13 entsprach - „Zehn Finger an beiden Füßen und drei Finger an einer Hand“- vereinfacht ein "Finger zur Hand"; Um die Zahl 26 auszudrücken, wurden statt der Worte „zehn Finger an beiden Füßen, zehn Finger an beiden Händen und drei Finger am Fuß einer anderen Person“ gesagt Andernfalls: "drei Finger einer anderen Person".

Die Entstehung von Zahlensystemen

Der Übergang des Menschen zum Fingerzählen führte zur Schaffung mehrerer verschiedener Zahlensysteme.

Das älteste der Fingerzahlensysteme gilt als fünf. Dieses System entstand und verbreitete sich in Amerika.

Die Weiterentwicklung der Zahlensysteme folgte zwei Pfaden. Die Stämme, die nicht damit aufhörten, an den Fingern einer Hand zu zählen, gingen dazu über, an den Fingern der zweiten Hand und dann an den Zehen zu zählen.

Die natürliche Einheit der höchsten Kategorie bei der Entstehung des vigesimalen Systems war "Mensch" als Besitzer von 20 Fingern. In diesem System wird 40 ausgedrückt als "zwei Menschen", 80 – "vier Menschen" usw.

So schuf die Menschheit nach und nach ihre eigenen Zählmethoden und erreichte den Moment, in dem die Methode auftauchte, die die moderne Mathematik verwendet.

Nummerierung in Russland.

Bis heute gilt das handschriftliche Werk des Novgorod-Mönchs Kirik, das von ihm 1136 verfasst wurde, als das erste russische Denkmal mathematischen Inhalts.

Bis zum 16. Jahrhundert bezieht sich auf die Erfindung eines bemerkenswerten Rechengeräts, das später den Namen erhielt "Russischer Abakus"

Geschrieben Das Zahlensystem hat viele Änderungen erfahren

wie es sich entwickelt und reift menschliche Gesellschaft, mit einem fließenden Übergang von einer alten Person zu einer modernen Person.

Der Zweck jeder Nummerierung besteht darin, eine beliebige natürliche Zahl mit wenigen Einzelzeichen darzustellen. Dies könnte mit einem einzigen Zeichen erreicht werden - 1 (eins). Jede natürliche Zahl würde dann geschrieben, indem das Einheitensymbol so oft wiederholt wird, wie es Einheiten in dieser Zahl gibt. Die Addition würde auf das einfache Zuweisen von Einheiten reduziert und die Subtraktion auf das Löschen (Löschen). Die Idee, die einem solchen System zugrunde liegt, ist einfach, aber dieses System ist sehr unpraktisch. Es ist praktisch nicht zum Schreiben großer Zahlen geeignet und wird nur von verwendet Völker, die das Konto haben, geht nicht über ein oder zwei Zehner hinaus.

Mit der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft nimmt das Wissen der Menschen zu und die Notwendigkeit, die Ergebnisse des Zählens ziemlich großer Mengen zu zählen und aufzuzeichnen, wird immer größer, das Messen großer Mengen.

Die Naturvölker hatten keine Schriftsprache, es gab keine Buchstaben oder Zahlen, alles, jede Handlung wurde mit einem Bild dargestellt. Dies waren echte Zeichnungen, die diese oder jene Menge darstellten.Allmählich wurden sie vereinfacht und wurden immer bequemer zum Schreiben.Wir sprechen über das Schreiben von Zahlen in Hieroglyphen.Zahlen. Um das Konto weiter zu verbessern, war es jedoch notwendig, auf eine bequemere Schreibweise umzusteigen, die es ermöglicht, Zahlen durch spezielle, bequemere Zeichen (Zahlen) zu bezeichnen.Der Ursprung der Zahlen für jede Nation ist unterschiedlich.

Die ersten Figuren werden mehr als 2000 Jahre v. Chr. in Babylon gefunden.Die Babylonier schrieben mit Stöcken auf weiche Tonplatten und trockneten dann ihre Aufzeichnungen.Die Schrift der alten Babylonier wurde genannt Keilschrift. Die Keile wurden je nach Wert sowohl horizontal als auch vertikal platziert, wobei die vertikalen Keile Einheiten und die horizontalen, sogenannten Zehner, Einheiten der zweiten Ziffer bezeichneten.

Einige Kulturen verwendeten Buchstaben, um Zahlen zu schreiben. Anstelle von Zahlen schrieben sie die Anfangsbuchstaben von Zahlenwörtern.Eine solche Nummerierung gab es beispielsweise bei den alten Griechen.Unter dem Namen der Wissenschaftlerin, die sie vorschlug, ging sie unter dem Namen in die Kulturgeschichte ein gerodian In dieser Nummerierung wurde also die Zahl „fünf“ „pinta“ genannt und mit dem Buchstaben „P“ bezeichnet, und die Zahl zehn wurde „deka“ genannt und mit dem Buchstaben „D“ bezeichnet. Derzeit verwendet niemand diese Nummerierung, im Gegensatz dazu römisch Die Nummerierung ist erhalten geblieben und hat sich bis in unsere Tage erhalten, obwohl römische Ziffern heute nicht mehr so ​​​​üblich sind: auf Uhrenzifferblättern, um Kapitel in Büchern, Jahrhunderten, auf alten Gebäuden usw. anzuzeigen. Es gibt sieben Schlüsselzeichen in der römischen Numerierung: I, V, X, L, C, D, M.

Sie können erraten, wie diese Zeichen erschienen sind. Zeichen (1) - Einheit - ist eine Hieroglyphe, die I-Finger (Kama) darstellt, Zeichen V ist ein Bild einer Hand (Handgelenk mit ausgestrecktem Daumen) und für die Zahl 10 - ein Bild von zwei Fünfen (X) zusammen Schreiben Sie die Zahlen II, III, IV auf, verwenden Sie dieselben Zeichen und zeigen Sie Aktionen mit ihnen an. Die Zahlen II und III wiederholen also die Einheit entsprechend oft. Um die Zahl IV zu schreiben, steht I vor 5. Bei dieser Schreibweise wird die vor der 5 stehende Einheit von V subtrahiert, und die nach V stehenden Einheiten sind

werden dazu hinzugefügt. Und auf die gleiche Weise wird die vor zehn (X) geschriebene Einheit von zehn subtrahiert und die rechte dazu addiert. Die Zahl 40 wird mit XL bezeichnet, in diesem Fall wird 10 von 50 abgezogen. Um die Zahl 90 zu schreiben, wird 10 von 100 subtrahiert und XC geschrieben.

Die römische Nummerierung ist sehr bequem zum Schreiben von Zahlen, aber fast ungeeignet für Berechnungen.Es ist fast unmöglich, irgendwelche Aktionen schriftlich (Rechnungen mit „Spalten“ und andere Berechnungsmethoden) mit römischen Ziffern durchzuführen.Dies ist ein sehr großer Nachteil der römischen Nummerierung.

Bei einigen Völkern wurden Zahlen mit den Buchstaben des Alphabets aufgezeichnet, die in der Grammatik verwendet wurden, diese Aufzeichnung fand bei den Slawen, Juden, Arabern und Georgiern statt.

alphabetisch Das Nummerierungssystem wurde erstmals in Griechenland verwendet. Die älteste Aufzeichnung nach diesem System wird der Mitte des 5. Jahrhunderts zugeschrieben. BC. In allen alphabetischen Systemen wurden Zahlen von 1 bis 9 durch einzelne Zeichen unter Verwendung der entsprechenden Buchstaben des Alphabets bezeichnet. In der griechischen und slawischen Nummerierung wurde ein „titlo“ Bindestrich (~) über den Buchstaben platziert, die Zahlen bezeichneten, um Zahlen von gewöhnlichen Zahlen zu unterscheiden Wörter. Zum Beispiel, a, b,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа при­бавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с чер­точкой слева внизу,например, @ , q; usw.

Spuren des alphabetischen Systems haben sich bis in unsere Zeit erhalten, so dass wir die Absätze von Berichten, Beschlüssen etc. oft mit Buchstaben nummerieren. Wir haben die alphabetische Nummerierung jedoch nur zur Bezeichnung von Ordnungszahlen beibehalten, Kardinalzahlen bezeichnen wir nie mit Buchstaben, geschweige denn arbeiten wir mit alphabetisch geschriebenen Zahlen.

Die altrussische Nummerierung war ebenfalls alphabetisch, die slawische alphabetische Nummernbezeichnung entstand im 10. Jahrhundert.

Jetzt existiert Indisches System Zahleneinträge. Es wurde von den Arabern nach Europa gebracht, weshalb es seinen Namen erhielt Arabisch Nummerierung: Die arabische Nummerierung hat sich auf der ganzen Welt verbreitet und verdrängt alle anderen Zahleneingaben.Bei dieser Nummerierung werden 10 Symbole verwendet, um Zahlen zu schreiben, die Nummern genannt werden. Neun von ihnen repräsentieren Zahlen von 1 bis 9.

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Das zehnte Symbol - Null (0) - bedeutet das Fehlen einer bestimmten Ziffer von Zahlen. Mit Hilfe dieser zehn Zeichen können Sie beliebig große Zahlen schreiben. Bis ins 18. Jahrhundert. In Russland wurden geschriebene Zeichen mit Ausnahme der Null als Zeichen bezeichnet.

So hatten die Völker verschiedener Länder unterschiedliche schriftliche Nummerierungen: Hieroglyphen - unter den Ägyptern; Keilschrift - unter den Babyloniern; Herodian - unter den alten Griechen, Phöniziern; alphabetisch - unter den Griechen und Slawen; Roman – in den westlichen Ländern Europas Arabisch – im Nahen Osten Es sollte gesagt werden, dass die arabische Nummerierung jetzt fast überall verwendet wird.

Wenn wir die Systeme zum Schreiben von Zahlen (Nummerierung) analysieren, die in der Geschichte der Kulturen verschiedener Völker stattfanden, können wir den Schluss ziehen, dass alle Schriftsysteme in zwei große Gruppen unterteilt sind: positionelle und nicht-positionelle Zahlensysteme.

Zu den nicht positionellen Zahlensystemen gehören: Zahlen in Hieroglyphen schreiben, alphabetisch, römisch und einige andere Systeme. Ein nicht-positionelles Zahlensystem ist ein solches System zum Schreiben von Zahlen, bei dem der Inhalt jedes Zeichens nicht von der Stelle abhängt, an der es geschrieben wird. Diese Zeichen sind sozusagen Knotenzahlen, und algorithmische Zahlen sind es aus diesen Zeichen zusammengesetzt, zum Beispiel wird die Zahl 33 in nicht-positionaler römischer Numerierung wie folgt geschrieben: XXXIII Hier werden die Zeichen X (Zehn) und I (Eins) jeweils dreimal in der Schreibweise der Zahl verwendet. Außerdem bezeichnet dieses Zeichen jedes Mal denselben Wert: X ist zehn Einheiten, I ist eins, unabhängig davon, wo sie in einer Reihe anderer Zeichen stehen.

Bei Positionssystemen hat jedes Zeichen eine andere Bedeutung, je nachdem, wo es in der Zahleneingabe steht: Bei der Zahl 222 zum Beispiel wird die Zahl „2“ dreimal wiederholt, aber die erste Ziffer rechts gibt zwei Einheiten an, die die zweite zwei Zehner und die dritte zweihundert. In diesem Fall meinen wir Dezimalzahlensystem. Neben dem dezimalen Zahlensystem in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik gab es binäre, fünffache, zweidezimale usw.

Positionsnummernsysteme sind praktisch, da sie es ermöglichen, große Zahlen mit einer relativ kleinen Anzahl von Zeichen zu schreiben. Ein wichtiger Vorteil von Positionssystemen ist die Einfachheit und Leichtigkeit der Durchführung arithmetischer Operationen an Zahlen, die in diesen Systemen geschrieben sind.

Die Entstehung von Positionssystemen zur Bezeichnung von Zahlen war einer der großen Meilensteine ​​in der Kulturgeschichte. Es sei gesagt, dass dies kein Zufall, sondern ein natürlicher Schritt in der kulturellen Entwicklung der Völker war, was durch die eigenständige Entstehung von Positionssystemen bestätigt wird bei verschiedene Völker: unter den Babyloniern - mehr als 2000 Jahre v. Chr.; unter den Maya-Stämmen (Mittelamerika) - zu Beginn einer neuen Ära; unter den Indianern - im IV-VI Jahrhundert n. Chr.

Der Ursprung des Positionsprinzips ist zunächst durch das Auftreten einer multiplikativen Aufzeichnungsform zu erklären. In einem multiplikativen Datensatz kann also die Zahl 154 geschrieben werden: 1xYu 2 + 5x10 + 4. Wie Sie sehen können, zeigt dieser Datensatz die Tatsache, dass beim Zählen einiger Zahlen die erste Ziffer, in diesem Fall zehn Einheiten, sind für eine Einheit der nächsten Ziffer genommen wird, wird eine bestimmte Anzahl von Einheiten der zweiten Ziffer wiederum als Einheit der dritten Ziffer genommen und so weiter. Auf diese Weise können Sie dieselben numerischen Symbole verwenden, um die Anzahl der Einheiten verschiedener Ziffern anzuzeigen. Die gleiche Notation ist möglich, wenn beliebige Elemente endlicher Mengen gezählt werden.

Beim Fünfersystem wird nach "Fersen" gezählt - jeweils fünf. Also zählen afrikanische Schwarze auf Kieselsteine ​​oder Nüsse und stapeln sie zu je fünf Stück. Sie kombinieren fünf solcher Haufen zu einem neuen Haufen und so weiter. Gleichzeitig werden zuerst Kieselsteine ​​gezählt, dann Haufen, dann große Haufen. Mit dieser Zählweise wird betont, dass mit Kieselsteinhaufen die gleichen Operationen durchgeführt werden müssen wie mit einzelnen Kieselsteinen Der russische Reisende Miklukho-Maclay veranschaulicht die Zähltechnik nach diesem System und charakterisiert damit den Vorgang des Warenzählens Von den Ureinwohnern Neuguineas schreibt er, dass die Papuas Folgendes taten, um die Anzahl der Papierstreifen zu zählen, die die Anzahl der Tage vor der Rückkehr der Vityaz-Korvette angaben: zehn, der zweite wiederholte dasselbe Wort , aber gleichzeitig beugte er seine Finger, zuerst auf die eine, dann auf die andere Hand. Nachdem er bis zehn gezählt und die Finger beider Hände gebogen hatte, senkte der Papua beide Fäuste auf seine Knie und sprach "iben kare" - zwei Hände. Der dritte Papua beugte gleichzeitig einen Finger auf seiner Hand, mit einem weiteren zehn war er es

Dasselbe wurde gemacht, wobei der dritte Papua den zweiten Finger beugte und für den dritten zehn den dritten Finger usw. Eine ähnliche Rechnung fand auch unter anderen Nationen statt.Für eine solche Rechnung waren mindestens drei Personen erforderlich.Einer zählte Einheiten, der andere – Zehner, der dritte – Hunderter.Wenn wir die Finger derjenigen, die gezählt haben, durch Kieselsteine ​​ersetzen,die in verschiedene gelegt werden Vertiefungen einer Lehmplatte oder auf Zweigen aufgereiht, dann würde sich das einfachste Rechengerät herausstellen.

Im Laufe der Zeit wurden beim Schreiben von Zahlen die Namen der Ziffern übersprungen, aber um das Stellensystem zu vervollständigen, fehlte der letzte Schritt - die Einführung der Null. Bei einer relativ kleinen Zählbasis, der Zahl 10, und dem Arbeiten mit relativ großen Zahlen, insbesondere nachdem die Namen von Biteinheiten übersprungen wurden, wurde die Einführung der Null einfach notwendig.Das Nullzeichen könnte zunächst ein Bild von sein ein leerer Abakus-Token oder ein modifizierter einfacher Punkt, der an die Stelle der fehlenden Ziffer gesetzt werden könnte. Auf die eine oder andere Weise war die Einführung der Null jedoch ein absolut unvermeidlicher Schritt im natürlichen Entwicklungsprozess, der zur Schaffung eines modernen Positionssystems führte.

Das Zahlensystem kann auf jeder Zahl außer 1 (Eins) und 0 (Null) basieren. In Babylon gab es zum Beispiel die Zahl 60. Wenn dem Zahlensystem eine große Zahl zugrunde gelegt wird, dann wird die Aufzeichnung der Zahl sehr kurz sein, aber die Ausführung von Rechenoperationen wird schwieriger. Nehmen Sie im Gegenteil die Nummer 2 oder 3, dann werden arithmetische Operationen sehr einfach ausgeführt, aber die Aufzeichnung selbst wird umständlich.Es wäre möglich, das Dezimalsystem durch ein bequemeres zu ersetzen, aber der Übergang dorthin wäre damit verbunden mit großen Schwierigkeiten: Zunächst einmal müssten alle wissenschaftlichen Bücher neu aufgelegt, alle Zählinstrumente und -maschinen erneuert werden, was wohl kaum sinnvoll wäre.

Übungen zur Selbstprüfung

Es wird eine fortlaufende Zahlenreihe ermittelt

allmählich verblasst. Die Hauptrolle bei der Erstellung von ... Zahlen spielte ... Addition. Außerdem wurde ... sowie Multiplikation verwendet.

algorithmisch

Betrieb

Subtraktion

Zeichen

Keilschrift Hieroglyphen alphabetisch

Um Zahlen zu schreiben, haben verschiedene Völker verschiedene erfunden ... Also, vor unserer

Tagen sind die folgenden Arten von Aufzeichnungen eingetroffen:,

Gerodianov, ..., Roman usw.

Und jetzt Leute manchmal
Verwenden Sie alphabetisch und .., Nummerierung, römisch

am häufigsten bei der Bezeichnung von Ordnungszahlen.

In der heutigen Gesellschaft die meisten
Völker verwendet arabische (...) Zahlen- Hindu-

Schriftliche Nummerierung (Systeme) de
fallen in zwei große Gruppen: Position
nye und ... Zahlensysteme. nicht positionell

§ 6. Recheninstrumente

Die ältesten Geräte zur Erleichterung des Zählens und Rechnens waren die menschliche Hand und Kieselsteine.Dank des Zählens an den Fingern entstanden fünfstellige und dezimale (dezimale) Zahlensysteme.Es wurde vom Wissenschaftler Mathematiker N.N. korrekt festgestellt, dass wir keine zehn Finger hatten auf unseren Händen, aber acht, dann würde die Menschheit das Oktalsystem verwenden.

In der Praxis benutzten die Menschen beim Zählen von Gegenständen Kieselsteine, Markierungen mit Kerben, Seile mit Knoten usw. Das erste und fortschrittlichere Gerät, das speziell für das Rechnen entwickelt wurde, war ein einfacher Abakus, von dem aus die Entwicklung der Computertechnologie begann. Buchhaltung mit Hilfe eines in China bereits bekannten Abakus, Antikes Ägypten und das antike Griechenland lange vor unserer Zeitrechnung existierte viele Jahrtausende, als schriftliche Berechnungen den Abakus ersetzten.Es sollte beachtet werden, dass der Abakus nicht so sehr dazu diente, die eigentlichen Berechnungen zu erleichtern, sondern um sich die Zwischenergebnisse zu merken.

Es sind mehrere Arten von Abakus bekannt: Griechisch, das in Form einer Tontafel hergestellt wurde, auf der Linien mit einem festen Gegenstand gezeichnet und Kieselsteine ​​​​in die entstandenen Vertiefungen (Rillen) gelegt wurden. Noch einfacher war der römische Abakus, auf dem sich die Kieselsteine ​​​​nicht entlang der Rillen bewegen konnten, sondern einfach entlang der auf dem Brett gezeichneten Linien.

In China wurde ein abakusähnliches Gerät Suan-Pan und in Japan Soroban genannt. Die Basis für diese Geräte waren Kugeln

ki an Zweigen aufgereiht, Zähltabellen, bestehend aus horizontalen Linien für Einer, Zehner, Hunderter usw. und vertikalen Linien für einzelne Begriffe und Faktoren. Auf diesen Linien wurden Token ausgelegt - bis zu vier.

Unsere Vorfahren hatten auch Abakus - russische Abakus. Sie erschienen im 16.-17. Jahrhundert, sie werden noch heute verwendet. Das Hauptverdienst der Erfinder des Abakus ist die Verwendung eines Positionszahlensystems.

Der nächste wichtige Schritt in der Entwicklung der Computertechnologie war die Schaffung von Addiermaschinen und Addiermaschinen, die von verschiedenen Erfindern unabhängig voneinander entworfen wurden.

In den Manuskripten des italienischen Wissenschaftlers Leonardo da Vinci (1452-1519) gibt es eine Skizze eines 13-Bit-Addiergeräts, eine 6-Bit-Skizze wurde von dem deutschen Wissenschaftler V. Schickard (1592-1636) und der Maschine entwickelt selbst wurde um 1623 erbaut. Anzumerken ist, dass diese Erfindungen erst Mitte des 20. Jahrhunderts bekannt wurden, also keinen Einfluss auf die Entwicklung der Computertechnik hatten, es wurde angenommen, dass die erste Rechenmaschine (8-Bit) 1641 konstruiert und gebaut wurde 1645 von B. Pascal. Daher wurde das Projekt zur Serienproduktion gestartet. Mehrere Exemplare dieser Maschinen sind bis heute erhalten. Ihr Vorteil war, dass Sie alle vier arithmetischen Operationen durchführen konnten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Unter dem Begriff "Computertechnik" wird eine Gesamtheit technischer Systeme verstanden, d. h. Computer, mathematische Werkzeuge, Methoden und Techniken, die zur Erleichterung und Beschleunigung der Lösung arbeitsintensiver Aufgaben der Informationsverarbeitung (Berechnungen) sowie der Branche dienen der Technologie, die mit der Entwicklung und dem Betrieb von Computern zu tun hat. Die Hauptfunktionselemente moderner Computer oder Computer werden auf elektronischen Geräten hergestellt, daher werden sie als elektronische Computer bezeichnet - Computer.Je nach der Methode der Informationsdarstellung werden Computer in drei Gruppen eingeteilt;

Analoge Computer (AVM), bei denen Informationen in Form von sich ständig ändernden Variablen dargestellt werden, die durch einige physikalische Größen ausgedrückt werden;

• Digitalcomputer (DCM), in denen
  Informationen werden in Form von diskreten Werten dargestellt
  Gürtel (Zahlen), ausgedrückt als Kombination diskreter Werte
  Werte einer beliebigen physikalischen Größe (Zahlen);
• Hybridcomputer (HVM)
  ryh, beide Arten der Informationsdarstellung werden verwendet.

Das erste analoge Rechengerät erschien im 17. Jahrhundert. Es war ein Rechenschieber.

Im XVIII-XIX Jahrhundert. Weiterentwicklung mechanischer Arithmometer mit elektrischem Antrieb. Diese Verbesserung war rein mechanischer Natur und verlor mit dem Übergang zur Elektronik an Bedeutung. Die einzigen Ausnahmen sind die Maschinen des englischen Wissenschaftlers Ch. Be-bidzha: Difference (1822) und Analytical (1830).

Die Differenzmaschine war zum Tabellieren von Polynomen bestimmt und stellte aus heutiger Sicht einen spezialisierten Computer mit festem (hartem) Programm dar. Die Maschine hatte ein „Gedächtnis“ – mehrere Register zum Speichern von Zahlen. Wenn eine bestimmte Anzahl von Berechnungsschritten durchgeführt wurde, wurde der Zähler der Anzahl der Operationen ausgelöst - eine Glocke war zu hören. Die Ergebnisse wurden auf einem Druckgerät ausgedruckt, außerdem wurde dieser Vorgang zeitlich mit Berechnungen kombiniert.

Während der Arbeit an der Differenzmaschine kam Bebidge auf die Idee, einen digitalen Computer zur Durchführung verschiedener wissenschaftlicher und technischer Berechnungen zu entwickeln. Diese automatisch arbeitende Maschine führte ein bestimmtes Programm aus. Der Autor nannte diese Maschine Analytik. Diese Maschine ist ein Prototyp moderner Computer. Die Analyse-Engine von Bebidzh umfasste die folgenden Geräte:

• zum Speichern digitaler Informationen (jetzt als
  von einem Speichergerät gespeichert);
• um Operationen mit Zahlen durchzuführen (nun this
  Rechengerät);
• Gerät, für das Babyj keinen Namen gefunden hat
  und die den Ablauf der Aktionen des ma kontrollierten
  Reifen (jetzt ist dies ein Steuergerät);
• zur Ein- und Ausgabe von Informationen.

Als Informationsträger für die Ein- und Ausgabe beabsichtigte Bebidge Lochkarten (Lochkarten) zu verwenden, wie sie bei der Steuerung eines Webstuhls verwendet werden, Bebidge sorgte für die Eingabe von Funktionswerttabellen mit Steuerung in die Maschine.

wodurch es möglich war, es bei Bedarf wieder in das Auto einzugeben.

So war die Analytical Engine von Bebidzh der erste programmgesteuerte Computer der Welt.Für diese Maschine wurden auch die ersten Programme der Welt kompiliert.Die erste Programmiererin war die Tochter des englischen Dichters Byron, Augusta Ada Lovelace (1815-1852). Ihr zu Ehren heißt eine der modernen Programmiersprachen „Ada“.

Als erster elektronischer Computer gilt eine an der University of Pennsylvania, USA, entwickelte Maschine. Diese ENIAC-Maschine wurde 1945 gebaut, hatte eine automatische Programmsteuerung, der Nachteil dieser Maschine war das Fehlen eines Speichergeräts zum Speichern von Befehlen.

Der erste Computer mit allen Komponenten moderner Maschinen war die englische EDSAK-Maschine, gebaut 1949 an der University of Cambridge.Der Speicher dieser Maschine enthält Zahlen (im Binärcode geschrieben) und das Programm selbst. Dank der numerischen Form von Durch das Schreiben von Programmbefehlen kann die Maschine verschiedene Operationen ausführen.

Unter der Leitung von S. A. Lebedev (1902-1974) wurde der erste Haushaltscomputer (elektronischer Computer) entwickelt. MESM führte nur 12 Befehle aus, die Nenngeschwindigkeit der Aktionen betrug 50 Operationen pro Sekunde. Der MESM-RAM konnte 31 17-Bit-Binärzahlen und 64 20-Bit-Befehle speichern. Hinzu kamen externe Speichergeräte.1966 wurde unter Anleitung desselben Designers eine große elektronische Rechenmaschine (BESM) entwickelt.

Elektronische Computer verwenden verschiedene Programmiersprachen - dies ist ein Notationssystem zur Beschreibung von Informationsdaten und Programmen (Algorithmen).

Das Programm in Maschinensprache hat die Form einer Zahlentabelle, jede Zeile entspricht einem Bediener-Maschinen-Befehl. Gleichzeitig sind beispielsweise im Befehl die ersten Ziffern der Operationscode, d. H. Sie sagen der Maschine, was sie tun soll (addieren, multiplizieren usw.), und die restlichen Zahlen geben genau an, wo die erforderlichen Zahlen sind befinden sich im Speicher der Maschine (Terme, Faktoren) und wo Sie sich das Ergebnis der Operationen merken sollten (die Summe der Produkte usw.).

Eine Programmiersprache wird durch drei Komponenten definiert: Alphabet, Syntax und Semantik.

Die meisten der bisher entwickelten Programmiersprachen (BASIC, FORTRAN, PASCAL, ADA, COBOL, LISP) sind sequentiell, die darin geschriebenen Programme stellen eine Abfolge von Anweisungen (Anweisungen) dar. Sie werden sequentiell nacheinander abgearbeitet durch die Maschine mit Hilfe sogenannter Übersetzer.

Die Leistung von Computern wird durch die parallele (gleichzeitige) Ausführung von Operationen steigen, während die meisten bestehenden Programmiersprachen auf die sequentielle Ausführung von Operationen ausgelegt sind. Daher gehört die Zukunft offenbar solchen Programmiersprachen, die es ermöglichen, das zu lösende Problem und nicht die Reihenfolge der Ausführung von Operatoren zu beschreiben.

Übungen zum Selbsttest

Die Entwicklung ... von Instrumenten in der Geschichte der Mathematik Zählen
matik geschah nach und nach
Verwendung von Teilen des eigenen Körpers - Finger
... - zum Einsatz von diversen Specials Abakus
alno erstellte Geräte: ... linear logarithmisch
ka, Abakus, ... , Analytical Engine und rechnen
elektronisches ... Auto.

Programme für ... Maschinen sind elektronisches Rechnen

Zahlentabellen. Telny

Bestandteile von Programmiersprachen
niya sind das Alphabet, ... und die Semantik. Syntax

§ 7. Gründung, Stand und Perspektiven

entwickelte Methodik, um Kindern die Elemente der Mathematik beizubringen

Vorschulalter

Die Probleme der mathematischen Entwicklung von Vorschulkindern sind in der klassischen und Volkspädagogik verwurzelt.Verschiedene Zählreime, Sprichwörter, Redewendungen, Rätsel, Kinderreime waren ein gutes Material, um Kindern das Zählen beizubringen, und ermöglichten dem Kind, Konzepte über Zahlen, Formen und Größen zu bilden , Raum und Zeit. Zum Beispiel,

Die weißseitige Elster kochte Brei und fütterte die Kinder.

Ich habe dies gegeben, ich habe dies gegeben und ich habe dies gegeben, aber ich habe dies nicht gegeben:

Du hast kein Wasser getragen, du hast kein Brennholz gehackt, du hast keinen Brei gekocht - es gibt nichts für dich.

Das erste gedruckte Lehrbuch von I. Fedorov "Primer" (1574) enthielt Gedanken über die Notwendigkeit, Kindern das Zählen bei verschiedenen Übungen beizubringen. Pädagogische Werke von Ya.A. Comenius, M. G. Pestalozzi, K. D. Ushinsky, F. Frebel, L. N. Tolstoi und andere.

So empfiehlt Y. A. Komensky (1592-1670) in dem Buch "Mother's School" bereits vor der Schule, einem Kind beizubringen, bis zwanzig zu zählen, zwischen großen und kleinen, geraden und ungeraden Zahlen zu unterscheiden, Objekte nach Größe zu vergleichen, zu erkennen und Nennen Sie einige geometrische Figuren, verwenden Sie in der Praxis Maßeinheiten: Zoll, Spannweite, Schrittweite, Pfund usw.

Die klassischen Systeme des sensorischen Lernens von F. Frebel (1782-1852) und M. Montessori (1870-1952) stellen eine Methodik dar, um Kinder an geometrische Formen, Größen, Messen und Zählen heranzuführen. Die von Fröbel geschaffenen "Geschenke" werden noch heute als didaktisches Material verwendet, um Kindern Zahlen, Formen, Größen und räumliche Beziehungen näher zu bringen.

KD Ushinsky (1824-1871) schrieb wiederholt über die Wichtigkeit, Kindern vor der Schule das Zählen beizubringen. Er hielt es für wichtig, dem Kind beizubringen, einzelne Gegenstände und ihre Gruppen zu zählen, zu addieren und zu subtrahieren, den Begriff Zehn als Recheneinheit zu bilden, aber all dies waren nur Wünsche, die keine wissenschaftliche Begründung hatten.

Von besonderer Bedeutung sind die Fragen der Methodik der mathematischen Entwicklung in der pädagogischen Literatur der Volksschule an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert. Die damaligen Verfasser der Methodenempfehlungen waren fortgeschrittene Pädagogen und Methodiker, nicht immer waren die Erfahrungen der Praktiker wissenschaftlich untermauert.

nym, aber es wurde in der Praxis erprobt, im Laufe der Zeit wurde es besser, stärker und vollständiger, fortschrittliches pädagogisches Denken kam darin zum Vorschein. Ende des 19. - Anfang des 20. Jahrhunderts mussten Methodologen eine wissenschaftliche Grundlage für die Methodik der Arithmetik entwickeln. Einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Methodik leisteten die fortgeschrittenen russischen Lehrer und Methodologen P.S. Guryev, A. I.Goldenberg, D.F.Egorov, VAEvtushevsky, D.D.Galanin und andere.

Die ersten Lehrmittel zur Methodik des Unterrichtens von Vorschulkindern richteten sich in der Regel gleichzeitig an Lehrer, Eltern und Erzieher.Auf der Grundlage der Erfahrungen aus der praktischen Arbeit mit Kindern werden V.A.-Gespräche, Spiele, praktische Übungen zu Arbeitsmethoden angeboten mit Kindern Der Autor hält es für notwendig, Kinder mit folgenden Konzepten vertraut zu machen: eins, viele, mehrere, paar, mehr, weniger, gleich, gleich, gleich, gleich und andere. Die Hauptaufgabe besteht darin, die Zahlen von 1 bis 10 zu studieren, wobei jede Zahl separat betrachtet wird. Gleichzeitig lernen die Kinder Aktionen mit diesen Zahlen. Bildmaterial wird häufig verwendet.

In Gesprächen und Unterricht gewinnen Kinder Wissen über Form, Raum und Zeit, über die Aufteilung des Ganzen in Teile, über Mengen und deren Messung.

Fragen zu den Methoden, Inhalten des Rechnenunterrichts und der mathematischen Entwicklung im Allgemeinen, die die Grundlage für ihre erfolgreiche weitere schulische Bildung werden könnten, werden seit der Schaffung eines breiten Netzwerks öffentlicher vorschulischer Bildung in der Vorschulpädagogik besonders heftig diskutiert.

Die extremste Position bestand darin, jeden gezielten Mathematikunterricht zu verbieten, was sich am deutlichsten in den Werken von K. Flebedintsev widerspiegelt Kinder auf der Grundlage der Unterscheidung von Objektgruppen, der Wahrnehmung von Mengen. Und über diese kleinen Aggregate hinaus gehört die Hauptrolle bei der Bildung des Zahlbegriffs dem Konto, das die gleichzeitige (ganzheitliche) Wahrnehmung von Mengen verdrängt. Gleichzeitig hielt er es für wünschenswert, dass sich das Kind in dieser Zeit „unmerklich“, selbstständig Wissen aneignet.K. F. Lebedintsev kam zu diesem Schluss aufgrund von Beobachtungen von Kindern, die die ersten Zahlendarstellungen lernten und diese beherrschten

Tatsächlich fangen Kinder sehr früh an, einige kleine Gruppen homogener Objekte zu isolieren, und bezeichnen sie in Anlehnung an Erwachsene als Zahl. Aber dieses Wissen ist noch oberflächlich, nicht bewusst genug, denn die Fähigkeit von Kindern, Zahlen zu benennen, ist nicht immer ein objektiver Indikator für mathematische Fähigkeiten. Dennoch haben sich in den 20er Jahren viele Methodologen und Pädagogen den Standpunkt von K. F. Lebedintsev zu eigen gemacht: Ihrer Meinung nach entstehen numerische Darstellungen bei einem Kind hauptsächlich aufgrund der ganzheitlichen Wahrnehmung kleiner Gruppen homogener Objekte, die sich in der Umgebung befinden (Arme, Beine, Tisch, Autoräder usw.). Auf dieser Grundlage wurde es als optional angesehen, Kindern das Zählen beizubringen.

Die führenden Lehrer - "Vorschulkinder" in den 20-30er Jahren (E. I. Tikheeva, L. K. Shleger und andere) stellten jedoch fest, dass der Prozess der Bildung numerischer Darstellungen bei Kindern sehr komplex ist und es daher notwendig ist, ihnen gezielt das Zählen beizubringen. Das Spielen wurde als die wichtigste Methode erkannt, um Kindern das Zählen beizubringen. So schrieben die Autoren des Buches „Lebende Zahlen, lebendige Gedanken und Hände bei der Arbeit“ (Kiew, 1920) E. Gorbunov-Pasadov und I. Tsunzer, dass das Kind versucht, in sein Aktivitätsspiel einzuführen, was für es interessant ist Daher sollte die Einarbeitung in Elemente der Mathematik auf der aktiven Aktivität des Kindes basieren. Es wurde angenommen, dass Kinder beim Spielen das Konto besser lernen und sich besser mit Zahlen und Aktionen auf ihnen vertraut machen.

Die meisten Lehrer der 1920er und 1930er Jahre hatten eine negative Einstellung gegenüber der Notwendigkeit, Programme für den Kindergarten zu schaffen, gegenüber zielorientiertem Lernen. Insbesondere L. K. Schleger argumentierte, dass Kinder ihre eigenen Aktivitäten nach eigenen Wünschen frei wählen sollten, d. h. jeder kann tun, was er vorhat, das geeignete Material auswählen, sich Ziele setzen und diese erreichen. Dieses Programm sollte sich ihrer Meinung nach an den natürlichen Neigungen und Bestrebungen von Kindern orientieren. Die Rolle des Erziehers bestünde lediglich darin, Bedingungen zu schaffen, die der Selbsterziehung der Kinder förderlich sind. L. K. Schleger war der Meinung, dass das Konto mit verschiedenen Aktivitäten des Kindes verbunden sein sollte und der Erzieher verschiedene Momente aus dem Leben der Kinder nutzen sollte, um sie im Konto auszuüben.

In den Werken von E. I. Tikheeva, M. Ya. Morozova und anderen wurde betont, dass das Kind bereits vor der Schule Kenntnisse über die ersten zehn Zahlen lernen und sie gleichzeitig „ohne systematischen Unterricht und spezielle Unterrichtsmethoden“ lernen muss.

anderer Charakter "In der Arbeit" Moderner Kindergarten, seine Bedeutung und Ausstattung "(Petersburg, 1920) stellten die Autoren fest, dass das Leben des Kindergartens selbst, die Aktivitäten der Kinder und das Spiel eine Vielzahl von Momenten bieten, die genutzt werden können für Kinder, das Konto innerhalb der ihnen zur Verfügung stehenden Grenzen ihres Alters zu lernen, und die Assimilation ist völlig leicht. Die Grundlage des mathematischen Denkens wird leicht in der Seele eines Kindes gelegt, was sowohl für den Schüler als auch für den Lehrer so notwendig ist, wenn die Schule ( Kindergarten) strebt eine wissenschaftliche und systematische Bildung an.

E. I. Tikheeva stellte sich den Inhalt der Vertrautmachung von Vorschulkindern mit Zahlen und Zählen klar vor und betonte wiederholt, dass die moderne Methodik darauf abzielt, Kinder zur eigenständigen Assimilation von Wissen zu führen und Bedingungen für das Kind zu schaffen, die ihm eine unabhängige Suche nach kognitivem Material ermöglichen und der Gebrauch sein. Sie schrieb, Kindern dürfe man nicht Rechnen beibringen, aber die ersten Zehn müsse das Kind natürlich vor der Schule lernen. Alle Zahlendarstellungen, die Kindern in diesem Alter zur Verfügung stehen, müssen sie aus dem Leben nehmen, an dem sie aktiv teilnehmen. Und die Teilnahme des Kindes am Leben unter normalen Bedingungen sollte sich nur in einer Sache ausdrücken - Arbeit, Spiel, d.h. Das heißt, beim Spielen, Arbeiten, Leben wird das Kind sicherlich lernen, auf sich selbst zu zählen, wenn Erwachsene gleichzeitig unauffällige Helfer und Führer für es sind.

In der Arbeit „Account in the Life of Young Children“ (1920) widersetzte sich E. I. Tikheeva auch „Unterdrückung und Gewalt“ in der mathematischen Entwicklung des Kindes Momente, aber auch gegen die spontane Erziehung des Kindes. Zu Recht betrachtete sie die Sinneswahrnehmung als die Hauptquelle mathematischen Wissens. Der Zahlenbegriff soll nur in „untrennbarer Einheit mit den Gegenständen“ in das Leben des Kindes eintreten, wobei der Autor auf die Verfügbarkeit des notwendigen Anschauungsmaterials im Kindergarten und zu Hause hinweist. Nachdem das Kind diese oder andere numerische Darstellungen erhalten hat, können Sie Spiellektionen verwenden.Der Autor empfiehlt spezielle Spiellektionen mit didaktischen Materialien, um diese Ideen kennenzulernen und zu festigen und die erforderlichen Fähigkeiten im Zählen zu vertiefen.

E. I. Tikheeva erkannte, dass die spontane Beherrschung numerischer Darstellungen nicht die richtige Reihenfolge und Konsistenz haben kann, und bot spezielle Sätze von didaktischem Material als Mittel zur Systematisierung des Wissens an.Sie empfahl die Verwendung von natürlichem Material als Zählmaterial: Kieselsteine, Blätter, Bohnen, Zapfen usw Sie erstellte didaktisches Material wie Paarbilder und Lotto, entwickelte Aufgaben zur Festigung quantitativer und räumlicher Darstellungen.

Der Inhalt des mathematischen Wissens E. I. Tikheeva war ziemlich weit verbreitet. Dies ist eine Bekanntschaft mit dem Wert, Maß, Zahlen, sogar Brüchen. E. I. Tikheeva wies der Bildung von Vorstellungen von Kindern über Größe und Maß einen bedeutenden Platz im Inhalt des Mathematikunterrichts zu und hielt es für wichtig, Kindern die funktionale Beziehung zwischen dem Messergebnis und der Größe des Maßes aufzuzeigen. Alle Arten von Messungen sollten angemessen sein, verbunden mit praktischen Aufgaben, z. B. Spielen in einem Geschäft ("Laden").

Leider schätzte E. I. Tikheeva die Rolle kollektiver Aktivitäten überhaupt nicht, da sie der Ansicht waren, dass sie dem Kind von außen aufgezwungen werden, und ging davon aus, dass das Wissen der Kinder im Kindergarten anders sein würde; der Grad ihrer Entwicklung ist nicht derselbe, aber dies „sollte den Erzieher nicht erschrecken“. Obwohl der Autor nirgendwo konkrete Empfehlungen gibt, wie man mit Kindern unterschiedlicher Entwicklungsstufen arbeiten kann.

E. I. Tikheeva leistete einen gewissen Beitrag zur Entwicklung von Methoden, um Kindern das Zählen beizubringen, nachdem sie die Menge an Wissen ermittelt hatte, die „Vorschulkindern“ zur Verfügung stand. mehr-weniger, breiter-schmaler, kürzer-länger Sie war eine ausgezeichnete Praktikerin, die das Kind tief kannte, und spürte die Notwendigkeit des Trainings, der allmählichen Verkomplizierung des Unterrichtsmaterials, obwohl sie im Grunde nur individuelles Training anerkannte. Tatsächlich hat E. I. Tikheeva die Methodik zum Unterrichten des Zählens nicht entwickelt und theoretisch begründet, hat nicht die wichtigsten Wege aufgezeigt, wie Kinder das anfängliche mathematische Wissen beherrschen können, aber das von ihr erstellte didaktische Material und die didaktischen Spiele werden auch in der modernen pädagogischen Praxis verwendet .

Ende der 1930er Jahre gab es eine Abkehr von der unorganisierten Erziehung im Kindergarten, und von diesem Moment an stellten sich Probleme im Zusammenhang mit der Bestimmung der Inhalte und Methoden des Unterrichts von Kindern verschiedener Altersgruppen im Kindergarten.

Eine bedeutende Phase in der Entwicklung von Methoden zur Entwicklung mathematischer Darstellungen war die Arbeit von F. N. Bleher. Als Innovator-Praktikerin ihrer Zeit im Bereich der Vorschulerziehung entwickelte, erprobte und bot sie Lehrern ein breites Programm an, um Vorschulkindern Grundkenntnisse in Mathematik, Größe, Menge, Raum, Zeit und Messung zu vermitteln, während das Lernen des Zählens im Allgemeinen ist Für den individuellen Gebrauch konzipiert, gibt es viel Material, um Kinder zusammenzubringen. Um dem Lehrer die Verteilung des Materials zu erleichtern, ist der gesamte Inhalt des Handbuchs in Lektionen (81 Lektionen) unterteilt - so nennt der Autor die Klassen.

Eine Million ist 1 Milliarde.

mündliche Nummerierung.

Beispiele und Aufgaben für mündliche Berechnungen.

geometrisches Material.

Komplexere Aufgaben für alle Aktionen.

Beispiele und Aufgaben für alle Aktionen.

Verfahren. Klammern.

Privat ändern.

Division mehrstelliger Zahlen.

Wechsel der Arbeit.

Multiplikation mehrstelliger Zahlen.

Wiederholung von Addition und Subtraktion.

Unterschied ändern.

Subtraktion mehrstelliger Zahlen.

Betrag ändern.

Schriftliche Nummerierung.

mündliche Nummerierung.

Nummerierung von ganzen Zahlen beliebiger Größe.

2 . Nennen Sie die Zahlen, in denen:

a) 3 Hundert Millionen 2 Zehn Millionen;

b) 8 Hundert Millionen 4 Zehner Millionen 5 Millionen;

c) 6 Millionen 9 Millionen.

3 . Wie viele Millionen, Zehner- und Hundertermillionen in Zahlen: 378 Millionen; 905 Millionen; 540 Millionen?

5. Nennen Sie die Zahlen, in denen:

a) 500 Milliarden 6 zig Milliarden;

b) 8 Hundert Milliarden 3 Zehner Milliarden 4 Milliarden;

c) 600 Milliarden 5 Milliarden;

6 . Wie viele Milliarden, Zehner-Milliarden und Hunderter-Milliarden in Zahlen: 504 Milliarden; 790 Milliarden; 456 Milliarden; 935 Milliarden?

Nennen Sie die Ziffern von Zahlen, in denen:

a) 345 Milliarden 248 Millionen;

b) 400 Milliarden 736 Millionen;

c) 680 Milliarden 24 Millionen.

8. Nennen Sie die Zahlen, in denen:

a) 385 Einheiten der ersten Klasse;

b) 508 Einheiten der zweiten Klasse;

c) 743 Einheiten der dritten Klasse;

d) 214 Einheiten der vierten Klasse;

9. Nennen Sie die Zahlen, in denen:

a) 56 Anteile der dritten Klasse und 380 Anteile der zweiten Klasse;

b) 5 Anteile der vierten Klasse und 25 Anteile der dritten Klasse;

c) 1 Anteil der vierten Klasse, 300 Anteile der dritten Klasse, 286 Anteile der zweiten Klasse und 85 Anteile der ersten Klasse.

10 . Nennen Sie die Ziffern und Klassen jeder Zahl in der Tabelle und lesen Sie die Zahlen.

Schreibe jede Zahl in der Tabelle in ein Heft.

14 . Lesen Sie die folgende Nachricht:

Stargazers - Die Gewinner werden auf dem Hauptplatz der Hauptstadt des Königreichs ausgezeichnet.

Stargazer A. zählte 3056800000 Himmelskörper,

Sterngucker B - 1317500000 und

Sterngucker C - 1845800000.

Gleichzeitig wird gefragt, wer den ersten, wer den zweiten und wer den dritten Preis erhält?

15 . Schreiben Sie die folgenden Zahlen in Zahlen:

a) eine Milliarde eine Million;

b) dreihundertfünfundzwanzigtausendsechshundertachtzehn;

c) acht Millionen;

d) fünfhundert Millionen fünfhundert Einheiten;

e) vier Milliarden zehn Millionen eintausendeins Einheit;

f) zehn Milliarden neunhundertsechstausend;

g) achtzig Millionen siebentausenddreißig Einheiten;

16 . Welche Art Reihen stellen die verschiedenen Ziffern der folgenden Zahlen dar:

568; 6798; 207886; 2326728; 20192837; 35796234865 ?

17 . Schreiben Sie als einzelne Zahl:

a) 2000000 + 40000 + 400 + 30 + 5;

b) 20000000 + 3000000 + 700000 + 8000 + 200 + 5;

c) 300000000 + 4000000 + 50000 + 600 + 8;

18 . In Bitterme von Zahlen zerlegen:

32750; 148004; 250070; 2435600; 750420045;

19 . Wie Gesamt Zehner in den folgenden Zahlen:

34560; 145634; 2000000; 34567280; 142345675; ?

20 . Wie Gesamt Tausend in jeder der folgenden Zahlen:

32010; 60518; 212268; 504308; 760390; ?

21 . Wie Gesamt Zehntausende in jeder der folgenden Nummern:

100000; 245624; 1000000; 34567310; 1000000000; 384104500000 ?

22. Schreiben Sie Zahlen, in denen:

a)t;

b) einZehner;

c) fünfunddreißighunderttausend;

d) siebzehn Zehnerhundert;

e) zweitausendfünfhundertvierhundertdrei Einheiten;

23 . Schreiben:

a) eine sechsstellige Zahl, in der es keine Einheiten der Hunderterstelle gibt;

b) eine achtstellige Zahl, in der es keine Einheiten der Tausenderstelle gibt;

c) eine zehnstellige Zahl, in der es keine Zehntausenderstelle gibt.

24 . Schreiben:

a) die kleinste vierstellige Zahl;

b) die größte siebenstellige Zahl;

c) die kleinste fünfstellige Zahl;

25 . Schreiben Sie eine Zahl, die aus drei Klassen, aus zwei Klassen, aus vier Klassen besteht.

26. Notieren Sie die folgenden Daten in Zahlen:

Radiogramme vom Raumschiff:

a) Der Flug läuft gut. Von den vierundneunzig Millionen einhundertachtunddreißigtausend einhundertneunundfünfzig Kilometern blieben nur noch einundneunzig Millionen einhundertdreizehntausend einhundertdreiundfünfzig Kilometer zu fliegen.

b) Gefangen in einem Meteoritenschauer. Der Bordcomputer zählte einhundertachtzig Milliarden dreihundert Millionen Treffer gegen den Schiffsrumpf.

27 . Schreiben Sie die Zahlen in Zahlen: 4 Millionen 216 Tausend und 4 Millionen 236 Tausend.

28 . Auf Tausend Zahlen aufrunden: 145374 und 145680; 21450 und 21550; 76459 und 76511;

29. Auf Millionenzahlen aufrunden: 3567400; 35247000; 115620000; 115450000; 28742000; 28327000;

30 . Auf Millionen von Zahlen aufrunden: 5780000000; 6460000000; 37047560000; 84915036000;