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Potenzen mit gleichen Basen online multiplizieren. Wie man Potenzen multipliziert, multipliziert man Potenzen mit verschiedenen Exponenten. Addition und Subtraktion von Potenzen

In der letzten Videolektion haben wir gelernt, dass der Grad einer bestimmten Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis selbst darstellt, gemessen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Wirkungsweisen von Kräften untersuchen.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:

Lassen Sie uns dieses Werk in seiner Gesamtheit vorstellen:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann 32, wie aus demselben Beispiel hervorgeht, als das Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn man es mitzählt, dann:

Somit können wir zuversichtlich schlussfolgern, dass:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Diese Regel funktioniert aus allen Indikatoren und Gründen erfolgreich. Diese Eigenschaft der Potenzmultiplikation ergibt sich aus der Regel, dass die Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen in einem Produkt erhalten bleibt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a)x und (a)y gleich a(x + y). Mit anderen Worten: Wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das resultierende Monom einen Gesamtgrad, der durch Addition der Grade des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.

Auch bei der Multiplikation mehrerer Ausdrücke funktioniert die vorgestellte Regel hervorragend. Die Hauptbedingung ist, dass alle die gleichen Grundlagen haben. Zum Beispiel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es ist unmöglich, mit zwei Elementen eines Ausdrucks Abstufungen zu addieren und überhaupt keine machtbasierten gemeinsamen Aktionen durchzuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, lassen sich die Regeln für die Addition von Potenzen in einem Produkt aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse Multiplikation und Division perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in seine vollständige Form umwandeln und die gleichen Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, da bereits beim Lösen klar wird, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es sind zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten abzieht.

Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Grad des Divisors vom Grad des Dividenden abzuziehen. Die Regel funktioniert mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle Naturkräfte. In Form der Abstraktion haben wir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Aus der Regel, identische Basen durch Grade zu dividieren, folgt die Definition für den Nullgrad. Offensichtlich sieht der folgende Ausdruck so aus:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Wenn wir die Division hingegen visueller durchführen, erhalten wir:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also eins. Daher wird allgemein angenommen, dass jede zur Nullpotenz erhobene Basis gleich eins ist:

Unabhängig vom Wert von a.

Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was bei jeder Multiplikation immer noch 0 ergibt) irgendwie gleich eins wäre, sodass ein Ausdruck der Form (0) 0 (null hoch null) einfach keinen Sinn ergibt und die Formel ( a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: „wenn a ungleich 0 ist.“

Lasst uns die Übung lösen. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da die Basis überall gleich ist und 34 beträgt, hat der Endwert die gleiche Basis mit einem Grad (gemäß den oben genannten Regeln):

Mit anderen Worten:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.

Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Der umfassende Leitfaden (2019)

Warum werden Abschlüsse benötigt? Wo werden Sie sie brauchen? Warum sollten Sie sich die Zeit nehmen, sie zu studieren?

In diesem Artikel erfahren Sie alles über Abschlüsse, wofür sie benötigt werden und wie Sie Ihr Wissen im Alltag anwenden können.

Und natürlich bringen Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens bzw. der Einheitlichen Staatsprüfung und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

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ERSTE EBENE

Potenzierung ist eine mathematische Operation, genau wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Seien Sie vorsichtig. Die Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola gibt es? Genau, 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Das gleiche Beispiel mit Cola kann anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann einen Weg, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, schwieriger und mit Fehlern! Aber…

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.

Und noch eins, schöneres:

Welche anderen cleveren Zähltricks haben sich faule Mathematiker ausgedacht? Rechts - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf... Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Alles was Sie tun müssen ist Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Warum heißt es übrigens zweiter Grad? Quadrat Zahlen und der dritte - Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit dem Quadrat oder der zweiten Potenz der Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der einen mal einen Meter misst. Der Pool befindet sich in Ihrer Datscha. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber... der Pool hat keinen Boden! Sie müssen den Boden des Pools mit Fliesen abdecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie den Bodenbereich des Beckens kennen.

Sie können ganz einfach per Fingerzeig ausrechnen, dass der Boden des Beckens aus meterweise großen Würfeln besteht. Wenn Sie Fliesen von einem Meter mal einem Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hat man solche Fliesen gesehen? Die Fliese wird höchstwahrscheinlich Zentimeter für Zentimeter groß sein, und dann wird man mit dem „Zählen mit dem Finger“ gequält. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multiplizieren Sie mit und Sie erhalten Kacheln ().

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir zur Bestimmung der Fläche des Beckenbodens dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet das? Da wir dieselbe Zahl multiplizieren, können wir die Technik der „Potenzierung“ verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist die Potenzierung viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für das Einheitliche Staatsexamen ist dies sehr wichtig).
Dreißig hoch zwei ist also (). Oder wir können sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder es auf dem Schachbrett gibt ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu berechnen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Sie bemerken, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, dann können Sie acht quadrieren. Sie erhalten Zellen. () Also?

Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben

Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: Der Boden ist einen Meter groß und einen Meter tief, und versuchen Sie zu zählen, wie viele Würfel es gibt, wenn man einen Meter mal einen Meter misst passt in Ihren Pool.

Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viele hast du bekommen? Nicht verloren? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau die Mathematiker wären, wenn sie auch dies vereinfachen würden. Wir haben alles auf eine Aktion reduziert. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben: .

Es bleibt nur noch Denken Sie an die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie weiterhin mit dem Finger zählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Aufgebenden und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier ein paar weitere Beispiele aus dem Leben.

Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, eine weitere Million. Das heißt, jede Million, die Sie haben, verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr – zwei multipliziert mit zwei … im zweiten Jahr – was im dritten Jahr um zwei weitere geschah … Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der am schnellsten zählen kann, wird diese Millionen bekommen ... Es lohnt sich, sich an die Macht der Zahlen zu erinnern, finden Sie nicht?

Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, zwei weitere. Großartig, nicht wahr? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr – mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. In der vierten Potenz entspricht es also einer Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier Potenzen oder sind.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen weiteren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte... um nicht durcheinander zu kommen

Definieren wir also zunächst die Konzepte. Wie denkst du, Was ist ein Exponent?? Es ist ganz einfach: Es ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Abschlussbasis? Noch einfacher: Dies ist die Nummer, die sich unten an der Basis befindet.

Hier ist eine Zeichnung zur Sicherheit.

Nun, im Allgemeinen, um es zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis „ “ und einem Exponenten „ “ wird als „bis zum Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: Weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist das? natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Objekte zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht: „ein Drittel“ oder „null Komma fünf“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Welche Zahlen sind das Ihrer Meinung nach?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und Zahlen. Null ist leicht zu verstehen – es ist, wenn es nichts gibt. Was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie Ihrer Meinung nach entstanden? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen natürliche Zahlen zur Messung von Länge, Gewicht, Fläche usw. fehlten. Und sie haben es sich ausgedacht Rationale Zahlen... Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, es ist ein unendlicher Dezimalbruch. Teilt man beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Definieren wir das Konzept eines Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.

Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
Eine Zahl quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Eigenschaften von Graden

Woher kamen diese Eigenschaften? Ich werde es dir jetzt zeigen.

Mal sehen: Was ist das? Und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben den Faktoren Multiplikatoren hinzugefügt und das Ergebnis sind Multiplikatoren.

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, also: , was bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben!
Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

nur für das Produkt der Potenzen!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

2. Das ist es Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das stimmt schließlich nicht.

Leistung mit negativer Basis

Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Doch was soll die Grundlage sein?

In Potenzen von natürlicher Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, funktioniert es.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach!

6 Beispiele zum Üben

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate! Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Bei einer Umkehrung könnte die Regel gelten.

Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Ganz Wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem „ “-Zeichen genommen) und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Fragen wir uns wie immer: Warum ist das so?

Betrachten wir einen Grad mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen das Gleiche wie es war – . Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.

Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl hoch null gleich sein. Wie viel davon ist wahr? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht darauf einzulassen und weigerten sich, Null in die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.

Lass uns weitermachen. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was eine negative Potenz ist, machen wir es wie beim letzten Mal: Multiplizieren Sie eine normale Zahl mit derselben Zahl, um eine negative Potenz zu erhalten:

Von hier aus können Sie ganz einfach ausdrücken, wonach Sie suchen:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Formulieren wir also eine Regel:

Eine Zahl mit negativer Potenz ist der Kehrwert derselben Zahl mit positiver Potenz. Aber zur selben Zeit Die Basis darf nicht null sein:(weil man nicht durch teilen kann).

Fassen wir zusammen:

I. Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die in negativer Potenz ungleich Null ist, ist die Umkehrung derselben Zahl in positiver Potenz: .

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Nun, wie immer Beispiele für unabhängige Lösungen:

Analyse von Problemen zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber beim Einheitlichen Staatsexamen muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie ihre Lösungen, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, in der Prüfung problemlos damit umzugehen!

Erweitern wir den Zahlenbereich, der als Exponent „geeignet“ ist, weiter.

Lassen Sie uns nun überlegen Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und ganze Zahlen sind und.

Um zu verstehen, was es ist „Bruchgrad“ Betrachten Sie den Bruch:

Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:

Erinnern wir uns nun an die Regel über „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel der Potenz ist die umgekehrte Operation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich lässt sich dieser Spezialfall erweitern: .

Nun fügen wir den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort lässt sich leicht mit der Power-to-Power-Regel erhalten:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.

Keiner!

Erinnern wir uns an die Regel: Jede gerade Potenz ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!

Dies bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner in eine gebrochene Potenz gebracht werden können, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier entsteht ein Problem.

Die Zahl kann beispielsweise in Form anderer, reduzierbarer Brüche dargestellt werden, oder.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, sondern dass es sich nur um zwei verschiedene Datensätze derselben Nummer handelt.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber wenn wir den Indikator anders aufschreiben, geraten wir erneut in Schwierigkeiten: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, überlegen wir nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Wenn also:

- natürliche Zahl;
- ganze Zahl;

Beispiele:

Rationale Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:

5 Beispiele zum Üben

Analyse von 5 Beispielen für das Training

Nun kommt der schwierigste Teil. Jetzt werden wir es herausfinden Grad mit irrationalem Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier mit einer Ausnahme genau die gleichen wie für einen Grad mit rationalem Exponenten

Schließlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl;

...Zahl hoch null- das ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich eine Zahl;

...Grad mit negativem ganzzahligem Exponenten- Es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.

WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse der Lösungen:

1. Beginnen wir mit der üblichen Regel zur Potenzsteigerung:

Schauen Sie sich nun den Indikator an. Erinnert er dich an nichts? Erinnern wir uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Quadratdifferenz:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antwort: .

2. Wir reduzieren Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Bestimmung des Abschlusses

Ein Abschluss ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

— Abschlussbasis;
- Exponent.

Abschluss mit natürlichem Indikator (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Konstruktion bis zum Nullgrad:

Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.

Wenn der Exponent ist negative ganze Zahl Nummer:

(weil man nicht durch teilen kann).

Noch einmal zu den Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Potenz mit rationalem Exponenten

- natürliche Zahl;
- ganze Zahl;

Beispiele:

Eigenschaften von Graden

Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.

Mal sehen: Was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhalten wir also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist es eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben. Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Lassen Sie uns diese Arbeit wie folgt neu gruppieren:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze schaffen: !

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt schließlich nicht.

Macht mit negativer Basis.

Bisher haben wir nur besprochen, wie es sein sollte Index Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Potenzen von natürlich Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ?

Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir - .

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Folgende einfache Regeln lassen sich formulieren:

sogar Grad, - Zahl positiv.
Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
Null zu jeder Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:

Alles ist wie immer – wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie durcheinander, teilen sie in Paare auf und erhalten:

Bevor wir uns die letzte Regel ansehen, lösen wir einige Beispiele.

Berechnen Sie die Ausdrücke:

Lösungen :

Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Im umgekehrten Fall könnte Regel 3 gelten. Aber wie? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Wenn man es mit multipliziert, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt kommt es so:

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Sie können es nicht ersetzen, indem Sie nur einen Nachteil ändern, der uns nicht gefällt!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Nun also die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich wie immer: Lassen Sie uns das Konzept des Abschlusses erweitern und vereinfachen:

Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben gibt es insgesamt? mal durch Multiplikatoren - woran erinnert dich das? Dies ist nichts weiter als eine Definition einer Operation Multiplikation: Da gab es nur Multiplikatoren. Das heißt, dies ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Exponenten. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt. Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl; eine Zahl hoch null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, d „Leerzahl“, nämlich eine Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten – es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept des Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Antworten:

Erinnern wir uns an die Formel für die Differenz der Quadrate. Antwort: .
Wir reduzieren die Brüche auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel: .
Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

ZUSAMMENFASSUNG DES ABSCHNITTS UND GRUNDFORMELN

Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten

ein Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Potenz mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Exponent negative und gebrochene Zahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

ein Grad, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.

Eigenschaften von Graden

Merkmale von Abschlüssen.

Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
Null ist gleich jeder Potenz.
Jede Zahl hoch null ist gleich.

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Und viel Glück bei deinen Prüfungen!

Manchmal wird das Schreiben jeder arithmetischen Operation zu umständlich und sie versuchen, sie zu vereinfachen. Dies war einmal bei der Additionsoperation der Fall. Die Menschen mussten wiederholte Additionen desselben Typs durchführen, um beispielsweise den Preis von einhundert Perserteppichen zu berechnen, deren Kosten jeweils 3 Goldmünzen betragen. 3+3+3+…+3 = 300. Aufgrund der Umständlichkeit wurde beschlossen, die Notation auf 3 * 100 = 300 zu kürzen. Tatsächlich bedeutet die Notation „drei mal einhundert“, dass Sie eins nehmen müssen Hundert Dreien und addiere sie. Die Multiplikation fand großen Anklang und erfreute sich allgemeiner Beliebtheit. Aber die Welt steht nicht still, und zwar im Mittelalter Es war notwendig Führen Sie wiederholte Multiplikationen derselben Art durch. Ich erinnere mich an ein altes indisches Rätsel über einen Weisen, der als Belohnung für die geleistete Arbeit Weizenkörner in folgenden Mengen verlangte: Für das erste Feld des Schachbretts verlangte er ein Korn, für das zweite zwei, für das dritte vier. für die fünfte - achte und so weiter. So entstand die erste Potenzmultiplikation, denn die Anzahl der Körner war gleich zwei der Potenz der Zellzahl. In der letzten Zelle stünden beispielsweise 2*2*2*...*2 = 2^63 Körner, was einer Zahl von 18 Zeichen Länge entspricht, was tatsächlich die Bedeutung des Rätsels ist.

Die Operation der Potenzierung setzte sich recht schnell durch, und es entstand auch schnell die Notwendigkeit, Potenzen zu addieren, zu subtrahieren, zu dividieren und zu multiplizieren. Letzteres ist eine genauere Betrachtung wert. Die Formeln zum Addieren von Potenzen sind einfach und leicht zu merken. Darüber hinaus ist es sehr einfach zu verstehen, woher sie kommen, wenn die Potenzoperation durch Multiplikation ersetzt wird. Aber zuerst müssen Sie einige grundlegende Terminologie verstehen. Der Ausdruck a^b (sprich „a hoch b“) bedeutet, dass die Zahl a b-mal mit sich selbst multipliziert werden soll, wobei „a“ die Basis der Potenz und „b“ der Potenzexponent bezeichnet wird. Wenn die Grundlagen der Grade gleich sind, lassen sich die Formeln ganz einfach ableiten. Konkretes Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2^3 * 2^4. Um zu wissen, was passieren soll, sollten Sie die Antwort am Computer herausfinden, bevor Sie mit der Lösung beginnen. Wenn Sie diesen Ausdruck in einen beliebigen Online-Rechner, eine Suchmaschine eingeben, „Potenzen mit verschiedenen Basen und demselben multiplizieren“ oder ein mathematisches Paket eingeben, ist die Ausgabe 128. Jetzt schreiben wir diesen Ausdruck aus: 2^3 = 2*2*2, und 2^4 = 2 *2*2*2. Es stellt sich heraus, dass 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Es stellt sich heraus, dass das Produkt von Potenzen mit derselben Basis gleich der Basis ist, die auf eine Potenz erhöht wird, die der Summe der beiden vorherigen Potenzen entspricht.

Man könnte meinen, das sei ein Unfall, aber nein: Jedes andere Beispiel kann diese Regel nur bestätigen. Im Allgemeinen sieht die Formel also so aus: a^n * a^m = a^(n+m) . Es gibt auch die Regel, dass jede Zahl hoch null gleich eins ist. Hier sollten wir uns an die Regel der negativen Potenzen erinnern: a^(-n) = 1 / a^n. Das heißt, wenn 2^3 = 8, dann ist 2^(-3) = 1/8. Mit dieser Regel können Sie die Gültigkeit der Gleichheit a^0 = 1 beweisen: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) kann reduziert werden und es bleibt eins übrig. Daraus leitet sich die Regel ab, dass der Quotient von Potenzen gleicher Basis dieser Basis in einem Maße gleich ist, das dem Quotienten aus Dividend und Divisor entspricht: a^n: a^m = a^(n-m) . Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Die Multiplikation ist eine kommutative Operation, daher müssen Sie zuerst die Multiplikationsexponenten addieren: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Als nächstes müssen Sie sich mit der Teilung durch eine negative Potenz auseinandersetzen. Es ist notwendig, den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden zu subtrahieren: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Es stellt sich heraus, dass die Operation der Division durch einen negativen Grad identisch mit der Operation der Multiplikation mit einem ähnlichen positiven Exponenten ist. Die endgültige Antwort lautet also 8.

Es gibt Beispiele, in denen eine nichtkanonische Potenzvervielfachung stattfindet. Potenzen mit unterschiedlichen Basen zu multiplizieren ist oft viel schwieriger und manchmal sogar unmöglich. Es sollen einige Beispiele für verschiedene mögliche Techniken gegeben werden. Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Offensichtlich handelt es sich um eine Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen. Es ist jedoch zu beachten, dass alle Basen unterschiedliche Dreierpotenzen sind. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Mit der Regel (a^n) ^m = a^(n*m) sollten Sie den Ausdruck in eine bequemere Form umschreiben: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Antwort: 3^11. Bei unterschiedlichen Basen gilt für gleiche Indikatoren die Regel a^n * b^n = (a*b) ^n. Beispiel: 3^3 * 7^3 = 21^3. Andernfalls kann bei unterschiedlichen Basen und Exponenten keine vollständige Multiplikation durchgeführt werden. Manchmal kann man die Computertechnologie teilweise vereinfachen oder auf sie zurückgreifen.

Typ