Die Ellipsengleichung hat die Form. Das Konzept einer algebraischen Linie und ihre Ordnung. Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse

Definition 7.1. Die Menge aller Punkte auf der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 eine gegebene Konstante ist, wird genannt Ellipse.

Die Definition einer Ellipse gibt die folgende Möglichkeit, sie geometrisch zu konstruieren. Wir fixieren zwei Punkte F 1 und F 2 auf der Ebene und bezeichnen einen nicht negativen konstanten Wert mit 2a. Der Abstand zwischen den Punkten F 1 und F 2 sei gleich 2c. Stellen Sie sich vor, dass ein undehnbarer Faden der Länge 2a beispielsweise an den Punkten F 1 und F 2 mit Hilfe von zwei Nadeln fixiert wird. Es ist klar, dass dies nur für a ≥ c möglich ist. Ziehen Sie den Faden mit einem Bleistift und zeichnen Sie eine Linie, die eine Ellipse sein wird (Abb. 7.1).

Die beschriebene Menge ist also nicht leer, falls a ≥ c. Wenn a = c, ist die Ellipse ein Segment mit den Enden F 1 und F 2, und wenn c = 0, d. h. fallen die in der Definition einer Ellipse angegebenen Fixpunkte zusammen, handelt es sich um einen Kreis mit Radius a. Abgesehen von diesen entarteten Fällen nehmen wir weiterhin in der Regel an, dass a > c > 0 ist.

Die Fixpunkte F 1 und F 2 in Definition 7.1 der Ellipse (siehe Abb. 7.1) werden genannt Ellipsentricks, der Abstand zwischen ihnen, bezeichnet mit 2c, - Brennweite, und die Segmente F 1 M und F 2 M, die einen beliebigen Punkt M auf der Ellipse mit seinen Brennpunkten verbinden, - Fokusradien.

Die Form der Ellipse wird vollständig durch die Brennweite |F 1 F 2 | bestimmt = 2с und Parameter a und seine Position in der Ebene - durch ein Paar Punkte F 1 und F 2 .

Aus der Definition einer Ellipse folgt, dass sie symmetrisch zu einer geraden Linie ist, die durch die Brennpunkte F 1 und F 2 verläuft, sowie zu einer geraden Linie, die das Segment F 1 F 2 in zwei Hälften teilt und senkrecht dazu steht (Abb 7.2, a). Diese Zeilen werden aufgerufen Ellipsenachsen. Der Punkt O ihres Schnittpunkts ist das Symmetriezentrum der Ellipse und heißt das Zentrum der Ellipse, und die Schnittpunkte der Ellipse mit den Symmetrieachsen (Punkte A, B, C und D in Abb. 7.2, a) - die Eckpunkte der Ellipse.

Die Nummer a wird aufgerufen große Halbachse einer Ellipse, und b = √ (a 2 - c 2) - seine kleine Halbachse. Es ist leicht zu sehen, dass für c > 0 die große Halbachse a gleich dem Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zu den Scheitelpunkten ist, die auf derselben Achse wie die Brennpunkte der Ellipse liegen (Eckpunkte A und B in Abb 7.2, a), und die kleine Halbachse b ist gleich dem Abstand von der mittleren Ellipse zu ihren beiden anderen Scheitelpunkten (Eckpunkte C und D in Abb. 7.2, a).

Ellipsengleichung. Betrachten Sie eine Ellipse in der Ebene mit Brennpunkten an den Punkten F 1 und F 2 , Hauptachse 2a. Sei 2c die Brennweite, 2c = |F 1 F 2 |

Wir wählen ein rechteckiges Koordinatensystem Oxy in der Ebene so, dass sein Ursprung mit dem Mittelpunkt der Ellipse zusammenfällt und die Brennpunkte ein sind Abszisse(Abb. 7.2, b). Dieses Koordinatensystem heißt kanonisch für die betrachtete Ellipse und die entsprechenden Variablen sind kanonisch.

Im ausgewählten Koordinatensystem haben Brennpunkte die Koordinaten F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen Punkten schreiben wir die Bedingung |F 1 M| + |F 2 M| = 2a in Koordinaten:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Diese Gleichung ist unbequem, weil sie zwei Quadratradikale enthält. Also verwandeln wir es. Wir übertragen das zweite Radikal in Gleichung (7.2) auf die rechte Seite und quadrieren es:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nach Öffnen der Klammern und Kürzen gleicher Terme erhalten wir

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

wobei ε = c/a. Wir wiederholen die Quadrierung, um auch das zweite Radikal zu entfernen: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, oder, wenn der Wert des eingegebenen Parameters ε gegeben ist, (a 2 - c 2 ) x 2 / ein 2 + y 2 = ein 2 - c 2 . Da a 2 - c 2 = b 2 > 0, dann

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Gleichung (7.4) wird durch die Koordinaten aller auf der Ellipse liegenden Punkte erfüllt. Bei der Ableitung dieser Gleichung wurden jedoch nicht äquivalente Transformationen der ursprünglichen Gleichung (7.2) verwendet - zwei Quadrierungen, die quadratische Radikale entfernen. Das Quadrieren einer Gleichung ist eine äquivalente Transformation, wenn beide Seiten Größen mit demselben Vorzeichen enthalten, aber wir haben dies in unseren Transformationen nicht überprüft.

Wir dürfen die Äquivalenz von Transformationen nicht überprüfen, wenn wir das Folgende betrachten. Ein Punktepaar F 1 und F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, auf der Ebene definiert eine Familie von Ellipsen mit Brennpunkten an diesen Punkten. Jeder Punkt der Ebene, mit Ausnahme der Punkte des Segments F 1 F 2 , gehört zu irgendeiner Ellipse der angegebenen Familie. Dabei schneiden sich keine zwei Ellipsen, da die Summe der Brennradien eine bestimmte Ellipse eindeutig bestimmt. Die beschriebene Familie von Ellipsen ohne Schnittpunkte deckt also die gesamte Ebene ab, mit Ausnahme der Punkte der Strecke F 1 F 2 . Betrachten Sie eine Menge von Punkten, deren Koordinaten die Gleichung (7.4) mit einem gegebenen Wert des Parameters a erfüllen. Kann diese Menge auf mehrere Ellipsen verteilt werden? Einige der Punkte der Menge gehören zu einer Ellipse mit einer großen Halbachse a. Es gebe einen Punkt in dieser Menge, der auf einer Ellipse mit einer großen Halbachse a liegt. Dann gehorchen die Koordinaten dieses Punktes der Gleichung

diese. Gleichungen (7.4) und (7.5) haben gemeinsame Lösungen. Es ist jedoch leicht zu überprüfen, ob das System

für ã ≠ a hat keine Lösungen. Dazu genügt es, beispielsweise x aus der ersten Gleichung auszuschließen:

was nach Umformungen zur Gleichung führt

keine Lösungen für ã ≠ a haben, weil . (7.4) ist also die Gleichung einer Ellipse mit der großen Halbachse a > 0 und der kleinen Halbachse b = √ (a 2 - c 2) > 0. Sie heißt die kanonische Gleichung der Ellipse.

Ellipsenansicht. Die oben diskutierte geometrische Methode zur Konstruktion einer Ellipse gibt eine ausreichende Vorstellung vom Aussehen einer Ellipse. Aber auch die Form einer Ellipse kann mit Hilfe ihrer kanonischen Gleichung (7.4) untersucht werden. Wenn Sie zum Beispiel y ≥ 0 berücksichtigen, können Sie y durch x ausdrücken: y = b√(1 - x 2 /a 2) und, nachdem Sie diese Funktion untersucht haben, ihren Graphen erstellen. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu konstruieren. Ein Kreis mit Radius a, dessen Mittelpunkt der Ursprung des kanonischen Koordinatensystems der Ellipse (7.4) ist, wird durch die Gleichung x 2 + y 2 = a 2 beschrieben. Wird mit dem Koeffizienten a/b > 1 zusammen gestaucht y-Achse, dann erhalten Sie eine Kurve, die durch die Gleichung x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 beschrieben wird, d.h. eine Ellipse.

Bemerkung 7.1. Wird derselbe Kreis mit dem Koeffizienten a/b gestaucht

Exzentrizität der Ellipse. Das Verhältnis der Brennweite einer Ellipse zu ihrer Hauptachse heißt Ellipsenexzentrizität und mit ε bezeichnet. Für eine gegebene Ellipse

kanonische Gleichung (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Wenn in (7.4) die Parameter a und b durch die Ungleichung a zusammenhängen

Für c = 0, wenn sich die Ellipse in einen Kreis verwandelt, und ε = 0. In anderen Fällen 0

Gleichung (7.3) ist äquivalent zu Gleichung (7.4), da die Gleichungen (7.4) und (7.2) äquivalent sind. Daher ist (7.3) auch eine Ellipsengleichung. Außerdem ist die Beziehung (7.3) insofern interessant, als sie eine einfache radikalfreie Formel für die Länge |F 2 M| liefert einer der Brennradien des Punktes M(x; y) der Ellipse: |F 2 M| = a + εx.

Eine ähnliche Formel für den zweiten Fokusradius erhält man aus Symmetrieüberlegungen oder durch wiederholte Berechnungen, bei denen vor dem Quadrieren von Gleichung (7.2) das erste Radikal auf die rechte Seite übertragen wird und nicht das zweite. Also gilt für jeden Punkt M(x; y) auf der Ellipse (siehe Abb. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

und jede dieser Gleichungen ist eine Ellipsengleichung.

Beispiel 7.1. Lassen Sie uns die kanonische Gleichung einer Ellipse mit der großen Halbachse 5 und der Exzentrizität 0,8 finden und konstruieren.

Wenn wir die große Halbachse der Ellipse a = 5 und die Exzentrizität ε = 0,8 kennen, finden wir ihre kleine Halbachse b. Da b \u003d √ (a 2 - c 2) und c \u003d εa \u003d 4, dann b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Die kanonische Gleichung hat also die Form x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Um eine Ellipse zu konstruieren, ist es zweckmäßig, ein Rechteck zu zeichnen, das am Ursprung des kanonischen Koordinatensystems zentriert ist und dessen Seiten parallel zu den Symmetrieachsen der Ellipse und gleich ihrer sind entsprechenden Achsen (Abb. 7.4). Dieses Rechteck schneidet sich mit

die Achsen der Ellipse an ihren Ecken A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), und die Ellipse selbst ist darin eingeschrieben. Auf Abb. 7.4 zeigt auch die Brennpunkte F 1.2 (±4; 0) der Ellipse.

Geometrische Eigenschaften einer Ellipse. Schreiben wir die erste Gleichung in (7.6) um als |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Beachten Sie, dass der Wert von a / ε – x für a > c positiv ist, da der Brennpunkt F 1 nicht zur Ellipse gehört. Dieser Wert ist der Abstand zur vertikalen Linie d: x = a/ε vom Punkt M(x; y) links von dieser Linie. Die Ellipsengleichung kann geschrieben werden als

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Das bedeutet, dass diese Ellipse aus den Punkten M (x; y) der Ebene besteht, für die das Verhältnis der Länge des Brennradius F 1 M zum Abstand von der Geraden d ein konstanter Wert gleich ε ist (Abb. 7.5).

Die Linie d hat ein "Doppel" - eine vertikale Linie d", symmetrisch zu d in Bezug auf die Mitte der Ellipse, die durch die Gleichung x \u003d -a / ε gegeben ist. In Bezug auf d wird die Ellipse beschrieben wie bei d. Beide Zeilen d und d" werden aufgerufen Ellipsenleitlinien. Die Leitlinien der Ellipse stehen senkrecht auf der Symmetrieachse der Ellipse, auf der sich ihre Brennpunkte befinden, und sind vom Mittelpunkt der Ellipse durch einen Abstand a / ε = a 2 / c getrennt (siehe Abb. 7.5).

Der Abstand p von der Leitlinie zum ihm am nächsten liegenden Brennpunkt wird genannt Fokusparameter der Ellipse. Dieser Parameter ist gleich

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Die Ellipse hat noch eine weitere wichtige geometrische Eigenschaft: Die Brennradien F 1 M und F 2 M bilden mit der Tangente an die Ellipse im Punkt M gleiche Winkel (Abb. 7.6).

Diese Eigenschaft hat eine klare physikalische Bedeutung. Befindet sich eine Lichtquelle im Brennpunkt F1, so verläuft der aus diesem Brennpunkt austretende Strahl nach der Reflexion an der Ellipse entlang des zweiten Brennradius, da er nach der Reflexion im gleichen Winkel zur Kurve steht wie vor der Reflexion . Somit werden alle den Fokus F 1 verlassenden Strahlen im zweiten Fokus F 2 konzentriert und umgekehrt. Basierend auf dieser Interpretation wird diese Eigenschaft aufgerufen optische Eigenschaft einer Ellipse.

Definition. Eine Ellipse ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände jedes von ihnen von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Brennpunkte, ist ein konstanter Wert (vorausgesetzt, dieser Wert ist größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten).

Lassen Sie uns die Brennpunkte durch den Abstand zwischen ihnen bezeichnen - durch und einen konstanten Wert gleich der Summe der Abstände von jedem Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten durch (durch Bedingung ).

Lassen Sie uns ein kartesisches Koordinatensystem so aufbauen, dass die Brennpunkte auf der Abszissenachse liegen und der Koordinatenursprung mit der Mitte des Segments zusammenfällt (Abb. 44). Dann haben die Fokusse die folgenden Koordinaten: linker Fokus und rechter Fokus. Lassen Sie uns die Gleichung der Ellipse in dem von uns gewählten Koordinatensystem herleiten. Betrachten Sie dazu einen beliebigen Punkt der Ellipse. Per Definition einer Ellipse ist die Summe der Abstände von diesem Punkt zu den Brennpunkten:

Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir also

Um diese Gleichung zu vereinfachen, schreiben wir sie in die Form

Dann ergibt das Quadrieren beider Seiten der Gleichung

oder nach offensichtlichen Vereinfachungen:

Jetzt quadrieren wir wieder beide Seiten der Gleichung, danach haben wir:

oder nach identischen Transformationen:

Denn gemäß der Bedingung in der Definition einer Ellipse ist then eine positive Zahl. Wir führen die Notation ein

Dann nimmt die Gleichung folgende Form an:

Per Definition einer Ellipse erfüllen die Koordinaten jedes ihrer Punkte die Gleichung (26). Aber Gleichung (29) ist eine Folge von Gleichung (26). Daher erfüllt es auch die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Ellipse.

Es kann gezeigt werden, dass die Koordinaten von Punkten, die nicht auf der Ellipse liegen, die Gleichung (29) nicht erfüllen. Somit ist Gleichung (29) die Gleichung einer Ellipse. Sie wird die kanonische Gleichung der Ellipse genannt.

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung ermitteln.

Beachten Sie zunächst, dass diese Gleichung nur gerade Potenzen von x und y enthält. Das heißt, wenn irgendein Punkt zu einer Ellipse gehört, dann enthält er auch einen Punkt, der symmetrisch zu einem Punkt um die Abszissenachse ist, und einen Punkt, der symmetrisch zu einem Punkt um die y-Achse ist. Die Ellipse hat also zwei senkrecht zueinander stehende Symmetrieachsen, die in unserem gewählten Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen zusammenfallen. Die Symmetrieachsen der Ellipse werden als Ellipsenachsen bezeichnet, und der Schnittpunkt - der Mittelpunkt der Ellipse. Die Achse, auf der sich die Brennpunkte der Ellipse befinden (in diesem Fall die Abszissenachse), wird Brennachse genannt.

Lassen Sie uns zunächst im ersten Viertel die Form der Ellipse bestimmen. Dazu lösen wir Gleichung (28) nach y:

Das ist hier offensichtlich, da y imaginäre Werte für annimmt. Bei einem Anstieg von 0 auf a nimmt y von b auf 0 ab. Der im ersten Viertel liegende Teil der Ellipse wird ein Bogen sein, der von den Punkten B (0; b) begrenzt wird und auf den Koordinatenachsen liegt (Abb. 45). Wenn wir nun die Symmetrie der Ellipse verwenden, schließen wir, dass die Ellipse die in Abb. 45.

Die Schnittpunkte der Ellipse mit den Achsen heißen die Eckpunkte der Ellipse. Aus der Symmetrie der Ellipse folgt, dass die Ellipse neben den Eckpunkten noch zwei weitere Eckpunkte hat (siehe Abb. 45).

Die Segmente und, die die gegenüberliegenden Eckpunkte der Ellipse verbinden, sowie ihre Längen werden als Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse bezeichnet. Die Zahlen a und b werden die großen bzw. kleinen Halbachsen der Ellipse genannt.

Das Verhältnis des halben Abstands zwischen den Brennpunkten zur großen Halbachse der Ellipse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet:

Da ist die Exzentrizität der Ellipse kleiner als eins: Die Exzentrizität charakterisiert die Form der Ellipse. Aus Formel (28) folgt nämlich: Je kleiner die Exzentrizität der Ellipse, desto weniger weicht ihre kleine Halbachse b von der großen Halbachse a ab, d Achse).

Im Grenzfall, wenn Sie einen Kreis mit Radius a erhalten: , oder . Gleichzeitig verschmelzen die Brennpunkte der Ellipse sozusagen an einem Punkt - dem Mittelpunkt des Kreises. Die Exzentrizität des Kreises ist Null:

Die Verbindung zwischen der Ellipse und dem Kreis kann aus einem anderen Blickwinkel hergestellt werden. Zeigen wir, dass eine Ellipse mit den Halbachsen a und b als Projektion eines Kreises mit Radius a betrachtet werden kann.

Betrachten wir zwei Ebenen P und Q, die einen solchen Winkel a zwischen sich bilden, für die (Abb. 46). Wir konstruieren ein Koordinatensystem in der P-Ebene und ein Oxy-System in der Q-Ebene mit einem gemeinsamen Ursprung O und einer gemeinsamen Abszissenachse, die mit der Schnittlinie der Ebenen zusammenfällt. Betrachten Sie in der Ebene P den Kreis

zentriert am Ursprung und Radius a. Sei ein willkürlich gewählter Punkt des Kreises, sei seine Projektion auf die Q-Ebene und sei die Projektion des Punktes M auf die Ox-Achse. Zeigen wir, dass der Punkt auf einer Ellipse mit den Halbachsen a und b liegt.

Eine Ellipse ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 ist ein konstanter Wert (2a), größer als der Abstand (2c) zwischen diesen gegebenen Punkten (Abb. 3.36, a). Diese geometrische Definition drückt aus Fokaleigenschaft einer Ellipse.

Brenneigenschaft einer Ellipse

Die Punkte F_1 und F_2 heißen Brennpunkte der Ellipse, der Abstand zwischen ihnen 2c=F_1F_2 ist die Brennweite, der Mittelpunkt O der Strecke F_1F_2 ist der Mittelpunkt der Ellipse, die Zahl 2a ist die Länge der Hauptachse von die Ellipse (bzw. die Zahl a ist die große Halbachse der Ellipse). Die Strecken F_1M und F_2M, die einen beliebigen Punkt M der Ellipse mit seinen Brennpunkten verbinden, heißen Brennradien des Punktes M . Eine Strecke, die zwei Punkte einer Ellipse verbindet, wird Sehne der Ellipse genannt.

Das Verhältnis e=\frac(c)(a) heißt Exzentrizität der Ellipse. Aus der Definition (2a>2c) folgt, dass 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrische Definition einer Ellipse, die ihre Fokuseigenschaft ausdrückt, entspricht ihrer analytischen Definition - einer Linie, die durch die kanonische Gleichung einer Ellipse gegeben ist:

Führen wir tatsächlich ein rechteckiges Koordinatensystem ein (Abb. 3.36, c). Der Mittelpunkt O der Ellipse wird als Ursprung des Koordinatensystems genommen; die gerade Linie, die durch die Brennpunkte verläuft (die Brennachse oder die erste Achse der Ellipse), nehmen wir als Abszissenachse (die positive Richtung darauf vom Punkt F_1 zum Punkt F_2); als y-Achse wird die senkrecht zur Brennachse verlaufende Gerade genommen, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (zweite Achse der Ellipse) verläuft (die Richtung auf der y-Achse ist so gewählt, dass das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy rechts liegt ).

Lassen Sie uns die Gleichung einer Ellipse unter Verwendung ihrer geometrischen Definition formulieren, die die Fokuseigenschaft ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten der Fokusse F_1(-c,0),~F_2(c,0). Für einen beliebigen zur Ellipse gehörenden Punkt M(x,y) gilt:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinatenform, erhalten wir:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Wir übertragen das zweite Radikal auf die rechte Seite, quadrieren beide Seiten der Gleichung und geben gleiche Terme an:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Teilen durch 4, wir quadrieren beide Seiten der Gleichung:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Bezeichnung b=\sqrt(a^2-c^2)>0, wir bekommen b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Teilen wir beide Teile durch a^2b^2\ne0 , erhalten wir die kanonische Gleichung der Ellipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Daher ist das gewählte Koordinatensystem kanonisch.

Fallen die Brennpunkte der Ellipse zusammen, so ist die Ellipse ein Kreis (Abb. 3.36.6), da a=b. In diesem Fall ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem mit Ursprung am Punkt O\equiv F_1\equiv F_2, und die Gleichung x^2+y^2=a^2 ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt O und Radius a .

Durch Rückwärtsüberlegung kann gezeigt werden, dass alle Punkte, deren Koordinaten Gleichung (3.49) erfüllen, und nur sie, zu dem Ort der Punkte gehören, der Ellipse genannt wird. Mit anderen Worten, die analytische Definition einer Ellipse entspricht ihrer geometrischen Definition, die die fokale Eigenschaft der Ellipse ausdrückt.

Verzeichniseigenschaft einer Ellipse

Die Leitlinien einer Ellipse sind zwei gerade Linien, die parallel zur Ordinatenachse des kanonischen Koordinatensystems im gleichen Abstand \frac(a^2)(c) davon verlaufen. Für c=0, wenn die Ellipse ein Kreis ist, gibt es keine Leitlinien (wir können annehmen, dass die Leitlinien unendlich entfernt sind).

Ellipse mit Exzentrizität 0 Ort von Punkten in der Ebene, für die jeweils das Verhältnis des Abstands zu einem gegebenen Punkt F (Fokus) zum Abstand zu einer gegebenen geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen gegebenen Punkt geht, konstant und gleich ist Exzentrizität e ( Ellipse-Verzeichniseigenschaft). Hier sind F und d einer der Brennpunkte der Ellipse und eine ihrer Leitlinien, die sich auf derselben Seite der y-Achse des kanonischen Koordinatensystems befinden, d.h. F_1,d_1 oder F_2,d_2 .

Tatsächlich gilt zum Beispiel für Fokus F_2 und Leitlinie d_2 (Abb. 3.37.6) die Bedingung \frac(r_2)(\rho_2)=e kann in Koordinatenform geschrieben werden:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Irrationalität beseitigen und ersetzen e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kommen wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse (3.49). Ähnliche Überlegungen können für den Fokus F_1 und die Leitlinie angestellt werden d_1\Doppelpunkt\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ellipsengleichung in Polarkoordinaten

Die Ellipsengleichung im Polarkoordinatensystem F_1r\varphi (Abb.3.37,c und 3.37(2)) hat die Form

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

wobei p=\frac(b^2)(a) der Fokusparameter der Ellipse ist.

Wählen wir nämlich den linken Brennpunkt F_1 der Ellipse als Pol des Polarkoordinatensystems und den Strahl F_1F_2 als Polarachse (Abb. 3.37, c). Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi) gemäß der geometrischen Definition (Fokuseigenschaft) einer Ellipse r+MF_2=2a . Wir drücken den Abstand zwischen den Punkten M(r,\varphi) und F_2(2c,0) aus (siehe Punkt 2 von Bemerkung 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Daher hat die Ellipsengleichung in Koordinatenform F_1M+F_2M=2a die Form

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Wir isolieren das Radikal, quadrieren beide Seiten der Gleichung, dividieren durch 4 und geben ähnliche Terme an:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Wir drücken den Polarradius r aus und nehmen die Substitution vor e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten in der Ellipsengleichung

Finden wir die Schnittpunkte der Ellipse (siehe Abb. 3.37, a) mit den Koordinatenachsen (Eckpunkten der zllips). Setzen wir y=0 in die Gleichung ein, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Abszissenachse (mit der Brennachse): x=\pm a . Daher ist die Länge des von der Ellipse eingeschlossenen Segments der Brennachse gleich 2a. Dieses Segment wird, wie oben erwähnt, die Hauptachse der Ellipse genannt, und die Zahl a ist die Haupthalbachse der Ellipse. Setzen wir x=0 ein, erhalten wir y=\pm b . Daher ist die Länge des Segments der zweiten Achse der Ellipse, die innerhalb der Ellipse eingeschlossen ist, gleich 2b. Dieses Segment wird die kleine Achse der Ellipse genannt, und die Zahl b wird die kleine Halbachse der Ellipse genannt.

Wirklich, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, und die Gleichheit b = a wird nur im Fall c = 0 erhalten, wenn die Ellipse ein Kreis ist. Attitüde k=\frac(b)(a)\leqslant1 heißt Kontraktionsfaktor der Ellipse.

Bemerkungen 3.9

1. Die Linien x=\pm a,~y=\pm b begrenzen das Hauptrechteck auf der Koordinatenebene, in dem sich die Ellipse befindet (siehe Abb. 3.37, a).

2. Eine Ellipse kann definiert werden als die Ortskurve der Punkte, die man erhält, indem man einen Kreis auf seinen Durchmesser zusammenzieht.

In der Tat, im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy hat die Kreisgleichung die Form x^2+y^2=a^2 . Bei Komprimierung auf die x-Achse mit Faktor 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Setzen wir x=x" und y=\frac(1)(k)y" in die Kreisgleichung ein, so erhalten wir eine Gleichung für die Koordinaten des Bildes M"(x",y") des Punktes M(x). ,j) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

da b=k\cdot a . Dies ist die kanonische Gleichung der Ellipse.

3. Die Koordinatenachsen (des kanonischen Koordinatensystems) sind die Symmetrieachsen der Ellipse (Hauptachsen der Ellipse genannt), und ihr Zentrum ist das Symmetriezentrum.

Wenn nämlich der Punkt M(x,y) zur Ellipse gehört . dann gehören auch die Punkte M"(x,-y) und M""(-x,y) , symmetrisch zum Punkt M bezüglich der Koordinatenachsen, zu derselben Ellipse.

4. Aus der Gleichung einer Ellipse in einem Polarkoordinatensystem r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(siehe Abb. 3.37, c) wird die geometrische Bedeutung des Fokusparameters verdeutlicht - dies ist die halbe Länge der Sehne der Ellipse, die senkrecht zur Fokusachse durch ihren Fokus verläuft ( r = p bei \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Die Exzentrizität e charakterisiert die Form der Ellipse, nämlich den Unterschied zwischen Ellipse und Kreis. Je größer e, desto gestreckter ist die Ellipse, und je näher e an Null liegt, desto näher ist die Ellipse am Kreis (Abb. 3.38, a). In der Tat, vorausgesetzt dass e=\frac(c)(a) und c^2=a^2-b^2 , erhalten wir

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

wobei k der Kontraktionsfaktor der Ellipse ist, 0

6. Gleichung \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 Für ein

7. Gleichung \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiert eine Ellipse mit dem Mittelpunkt O "(x_0, y_0) , deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind (Abb. 3.38, c). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische zurückgeführt.