Berechnen Sie die Steigung. Gleichung einer Geraden in Segmenten. Gleichung einer Geraden in parametrischer Form. So schreiben Sie eine Gleichung einer geraden Linie unter Verwendung eines Punktes und eines Richtungsvektors

Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt auf dem Graphen dieser Funktion. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Denken Sie an die allgemeinen Regeln für die Bildung von Ableitungen und fahren Sie erst dann mit dem nächsten Schritt fort.

• Lesen Sie den Artikel.
• Es wird beschrieben, wie man die einfachsten Ableitungen bildet, beispielsweise die Ableitung einer Exponentialgleichung. Die in den folgenden Schritten dargestellten Berechnungen basieren auf den darin beschriebenen Methoden.

Lernen Sie, Probleme zu unterscheiden, bei denen die Steigung durch die Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Problemen müssen Sie nicht immer die Steigung oder Ableitung einer Funktion ermitteln. Beispielsweise werden Sie möglicherweise gebeten, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A(x,y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, die Steigung der Tangente am Punkt A(x,y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist es notwendig, die Ableitung der Funktion zu bilden.

Der Hang ist gerade. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Koordinatenebene befassen, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik enthalten ist. Dies sind Aufgaben für:

— Bestimmung des Winkelkoeffizienten einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind, durch die sie verläuft;
— Bestimmung der Abszisse oder Ordinate des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene.

In diesem Abschnitt wurde beschrieben, was Abszisse und Ordinate eines Punktes sind. Darin haben wir bereits mehrere Probleme im Zusammenhang mit der Koordinatenebene betrachtet. Was müssen Sie für die Art des betrachteten Problems verstehen? Eine kleine Theorie.

Die Gleichung einer Geraden auf der Koordinatenebene hat die Form:

Wo k – das ist die Steigung der Geraden.

Nächster Moment! Die Steigung einer Geraden ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden. Dies ist der Winkel zwischen einer bestimmten Linie und der AchseOh.

Der Bereich liegt zwischen 0 und 180 Grad.

Das heißt, wenn wir die Geradengleichung auf die Form reduzieren j = kx + B, dann können wir immer den Koeffizienten k (Steigungskoeffizient) bestimmen.

Wenn wir anhand der Bedingung auch den Tangens des Neigungswinkels der Geraden bestimmen können, ermitteln wir dadurch ihren Winkelkoeffizienten.

Nächster theoretischer Punkt!Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.Die Formel sieht so aus:

Betrachten wir die Aufgaben (ähnlich den Aufgaben aus der offenen Aufgabenbank):

Ermitteln Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte mit den Koordinaten (–6;0) und (0;6) verläuft.

Bei diesem Problem besteht die rationalste Lösung darin, den Tangens des Winkels zwischen der x-Achse und der gegebenen Geraden zu ermitteln. Es ist bekannt, dass es gleich der Steigung ist. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck, das aus einer Geraden und den Achsen x und oy besteht:

Der Tangens eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:

*Beide Beine sind gleich sechs (das sind ihre Längen).

Dieses Problem kann natürlich mit der Formel zum Finden der Gleichung einer Geraden gelöst werden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Aber das wird eine längere Lösung sein.

Antwort 1

Ermitteln Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte mit den Koordinaten (5;0) und (0;5) verläuft.

Unsere Punkte haben die Koordinaten (5;0) und (0;5). Bedeutet,

Geben wir die Formel in das Formular ein j = kx + B

Das fanden wir am Hang k = – 1.

Antwort 1

Gerade A geht durch Punkte mit den Koordinaten (0;6) und (8;0). Gerade B geht durch den Punkt mit den Koordinaten (0;10) und ist parallel zur Geraden A B mit Achse Oh.

In dieser Aufgabe finden Sie die Geradengleichung A, bestimmen Sie die Steigung dafür. Auf der Geraden B Die Steigung bleibt gleich, da sie parallel sind. Als nächstes finden Sie die Gleichung der Geraden B. Und dann ersetzen wir den Wert y = 0 und ermitteln die Abszisse. ABER!

In diesem Fall ist es einfacher, die Ähnlichkeitseigenschaft von Dreiecken zu nutzen.

Durch diese (parallelen) Linien und Koordinatenachsen gebildete rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, was bedeutet, dass die Verhältnisse ihrer entsprechenden Seiten gleich sind.

Die erforderliche Abszisse beträgt 40/3.

Antwort: 40/3

Gerade A geht durch Punkte mit den Koordinaten (0;8) und (–12;0). Gerade B verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (0; –12) und ist parallel zur Geraden A. Finden Sie die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden B mit Achse Oh.

Der rationalste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, die Ähnlichkeitseigenschaft von Dreiecken zu nutzen. Aber wir werden es anders lösen.

Wir kennen die Punkte, durch die die Gerade verläuft A. Wir können eine Gleichung für eine Gerade schreiben. Die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, hat die Form:

Gemäß der Bedingung haben die Punkte die Koordinaten (0;8) und (–12;0). Bedeutet,

Erinnern wir uns daran j = kx + B:

Habe diese Ecke k = 2/3.

*Der Winkelkoeffizient kann durch den Tangens des Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Schenkeln 8 und 12 ermittelt werden.

Es ist bekannt, dass parallele Linien gleiche Winkelkoeffizienten haben. Das bedeutet, dass die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt (0;-12) geht, die Form hat:

Finden Sie den Wert B wir können die Abszisse und die Ordinate in die Gleichung einsetzen:

Somit sieht die Gerade so aus:

Um nun die gewünschte Abszisse des Schnittpunkts der Linie mit der x-Achse zu finden, müssen Sie y = 0 ersetzen:

Antwort: 18

Finden Sie die Ordinate des Achsenschnittpunkts Oh und eine Linie, die durch Punkt B(10;12) verläuft und parallel zu einer Linie ist, die durch den Ursprung und Punkt A(10;24) verläuft.

Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch Punkte mit den Koordinaten (0;0) und (10;24) verläuft.

Die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, hat die Form:

Unsere Punkte haben die Koordinaten (0;0) und (10;24). Bedeutet,

Erinnern wir uns daran j = kx + B

Die Winkelkoeffizienten paralleler Linien sind gleich. Das bedeutet, dass die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt B(10;12) verläuft, die Form hat:

Bedeutung B Finden wir heraus, indem wir die Koordinaten des Punktes B(10;12) in diese Gleichung einsetzen:

Wir haben die Geradengleichung erhalten:

Finden Sie die Ordinate des Schnittpunkts dieser Linie mit der Achse OU müssen in die gefundene Gleichung eingesetzt werden X= 0:

*Die einfachste Lösung. Mithilfe der Parallelverschiebung verschieben wir diese Linie entlang der Achse nach unten OU zu Punkt (10;12). Die Verschiebung erfolgt um 12 Einheiten, d. h. Punkt A(10;24) „bewegt“ sich zu Punkt B(10;12) und Punkt O(0;0) „bewegt“ sich zu Punkt (0;–12). Das bedeutet, dass die resultierende Gerade die Achse schneidet OU am Punkt (0;–12).

Die erforderliche Ordinate ist –12.

Antwort: –12

Ermitteln Sie die Ordinate des Schnittpunkts der durch die Gleichung gegebenen Geraden

3x + 2у = 6, mit Achse Oy.

Koordinate des Schnittpunkts einer gegebenen Geraden mit einer Achse OU hat die Form (0; bei). Setzen wir die Abszisse in die Gleichung ein X= 0, und finden Sie die Ordinate:

Die Ordinate des Schnittpunkts der Linie und der Achse OU gleich 3.

*Das System ist gelöst:

Antwort: 3

Finden Sie die Ordinate des Schnittpunkts der durch die Gleichungen gegebenen Geraden

3x + 2y = 6 Und y = – x.

Wenn zwei Geraden gegeben sind und es darum geht, die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Geraden zu finden, wird ein System dieser Gleichungen gelöst:

In der ersten Gleichung ersetzen wir – X anstatt bei:

Die Ordinate ist gleich minus sechs.

Antwort: – 6

Ermitteln Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte mit den Koordinaten (–2;0) und (0;2) verläuft.

Ermitteln Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte mit den Koordinaten (2;0) und (0;2) verläuft.

Linie a verläuft durch Punkte mit den Koordinaten (0;4) und (6;0). Linie b verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (0;8) und ist parallel zu Linie a. Finden Sie die Abszisse des Schnittpunkts der Linie b mit der Ox-Achse.

Finden Sie die Ordinate des Schnittpunkts der oy-Achse und der Linie, die durch Punkt B (6;4) und parallel zur Linie, die durch den Ursprung und Punkt A (6;8) verläuft, verläuft.

1. Es muss klar sein, dass der Winkelkoeffizient einer Geraden gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden ist. Dies wird Ihnen bei der Lösung vieler Probleme dieser Art helfen.

2. Die Formel zum Finden einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, muss verstanden werden. Mit seiner Hilfe finden Sie immer die Gleichung einer Geraden, wenn die Koordinaten ihrer beiden Punkte angegeben sind.

3. Denken Sie daran, dass die Steigungen paralleler Geraden gleich sind.

4. Wie Sie wissen, ist es bei einigen Problemen praktisch, die Dreiecksähnlichkeitsfunktion zu verwenden. Probleme werden praktisch mündlich gelöst.

5. Probleme, bei denen zwei Geraden gegeben sind und die Abszisse oder Ordinate ihres Schnittpunktes ermittelt werden muss, können grafisch gelöst werden. Das heißt, bauen Sie sie auf einer Koordinatenebene (auf einem Blatt Papier in einem Quadrat) auf und bestimmen Sie den Schnittpunkt visuell. *Aber diese Methode ist nicht immer anwendbar.

6. Und zu guter Letzt. Wenn eine Gerade und die Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angegeben sind, ist es bei solchen Problemen zweckmäßig, den Winkelkoeffizienten zu ermitteln, indem man den Tangens des Winkels im gebildeten rechtwinkligen Dreieck ermittelt. Wie man dieses Dreieck mit unterschiedlichen Positionen der Geraden in der Ebene „sieht“, ist unten schematisch dargestellt:

>> Gerader Winkel von 0 bis 90 Grad<<

>> Gerader Winkel von 90 bis 180 Grad<<

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir etwas über die Seite erzählen würden in sozialen Netzwerken.

In der Mathematik ist einer der Parameter, der die Position einer Linie auf der kartesischen Koordinatenebene beschreibt, der Winkelkoeffizient dieser Linie. Dieser Parameter charakterisiert die Steigung der Geraden zur Abszissenachse. Um zu verstehen, wie man die Steigung ermittelt, erinnern Sie sich zunächst an die allgemeine Form der Gleichung einer geraden Linie im XY-Koordinatensystem.

Im Allgemeinen kann jede Linie durch den Ausdruck ax+by=c dargestellt werden, wobei a, b und c beliebige reelle Zahlen sind, aber a 2 + b 2 ≠ 0.

Mithilfe einfacher Transformationen kann eine solche Gleichung in die Form y=kx+d gebracht werden, wobei k und d reelle Zahlen sind. Die Zahl k ist die Steigung, und die Gleichung einer Geraden dieses Typs wird als Gleichung mit Steigung bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass Sie zum Ermitteln der Steigung lediglich die ursprüngliche Gleichung auf die oben angegebene Form reduzieren müssen. Betrachten Sie für ein umfassenderes Verständnis ein konkretes Beispiel:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 36x - 18y = 108 gegeben ist

Lösung: Lassen Sie uns die ursprüngliche Gleichung umwandeln.

Antwort: Die erforderliche Steigung dieser Linie beträgt 2.

Wenn wir bei der Transformation der Gleichung einen Ausdruck wie x = const erhalten haben und wir daher y nicht als Funktion von x darstellen können, dann haben wir es mit einer Geraden parallel zur X-Achse zu tun. Der Winkelkoeffizient davon eine gerade Linie ist gleich unendlich.

Für Linien, die durch eine Gleichung wie y = const ausgedrückt werden, ist die Steigung Null. Dies ist typisch für Geraden parallel zur Abszissenachse. Zum Beispiel:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 gegeben ist

Lösung: Bringen wir die ursprüngliche Gleichung in ihre allgemeine Form

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es ist unmöglich, y aus dem resultierenden Ausdruck auszudrücken, daher ist der Winkelkoeffizient dieser Linie gleich unendlich und die Linie selbst verläuft parallel zur Y-Achse.

Geometrische Bedeutung

Zum besseren Verständnis schauen wir uns das Bild an:

In der Abbildung sehen wir einen Graphen einer Funktion wie y = kx. Nehmen wir zur Vereinfachung den Koeffizienten c = 0. Im Dreieck OAB ist das Verhältnis der Seiten BA zu AO gleich dem Winkelkoeffizienten k. Gleichzeitig ist das Verhältnis BA/AO der Tangens des spitzen Winkels α im rechtwinkligen Dreieck OAB. Es stellt sich heraus, dass der Winkelkoeffizient der Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den diese Gerade mit der Abszissenachse des Koordinatengitters bildet.

Um das Problem zu lösen, wie man den Winkelkoeffizienten einer Geraden ermittelt, ermitteln wir den Tangens des Winkels zwischen dieser und der X-Achse des Koordinatengitters. Grenzfälle, in denen die betreffende Linie parallel zu den Koordinatenachsen verläuft, bestätigen das oben Gesagte. Tatsächlich ist für eine gerade Linie, die durch die Gleichung y=const beschrieben wird, der Winkel zwischen ihr und der Abszissenachse Null. Der Tangens des Nullwinkels ist ebenfalls Null und die Steigung ist ebenfalls Null.

Für gerade Linien senkrecht zur x-Achse, die durch die Gleichung x=const beschrieben werden, beträgt der Winkel zwischen ihnen und der x-Achse 90 Grad. Der Tangens eines rechten Winkels ist gleich unendlich, und der Winkelkoeffizient ähnlicher Geraden ist ebenfalls gleich unendlich, was das oben Geschriebene bestätigt.

Tangentensteigung

Eine in der Praxis häufig anzutreffende Aufgabe besteht auch darin, die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln. Eine Tangente ist eine Gerade, daher ist der Begriff der Steigung auch auf sie anwendbar.

Um herauszufinden, wie man die Steigung einer Tangente ermittelt, müssen wir uns an das Konzept der Ableitung erinnern. Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist eine Konstante, die numerisch gleich dem Tangens des Winkels ist, der zwischen der Tangente am angegebenen Punkt an den Graphen dieser Funktion und der Abszissenachse gebildet wird. Es stellt sich heraus, dass wir zur Bestimmung des Winkelkoeffizienten der Tangente am Punkt x 0 den Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt berechnen müssen k = f"(x 0). Schauen wir uns das Beispiel an:

Problem: Finden Sie die Steigung der Tangente an die Funktion y = 12x 2 + 2xe x bei x = 0,1.

Lösung: Finden Sie die Ableitung der Originalfunktion in allgemeiner Form

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Antwort: Die erforderliche Steigung am Punkt x = 0,1 beträgt 4,831

Fortsetzung des Themas, die Gleichung einer Geraden in einer Ebene basiert auf dem Studium einer Geraden aus dem Algebraunterricht. Dieser Artikel liefert allgemeine Informationen zum Thema Gleichung einer Geraden mit Steigung. Betrachten wir die Definitionen, erhalten wir die Gleichung selbst und identifizieren wir den Zusammenhang mit anderen Gleichungstypen. Alles wird anhand von Beispielen zur Problemlösung besprochen.

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Bevor eine solche Gleichung geschrieben wird, ist es notwendig, den Neigungswinkel der Geraden zur O x -Achse mit ihrem Winkelkoeffizienten zu definieren. Nehmen wir an, dass ein kartesisches Koordinatensystem O x in der Ebene gegeben ist.

Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden zur O x -Achse, befindet sich im kartesischen Koordinatensystem O x y in der Ebene und ist der Winkel, der von der positiven Richtung O x zur Geraden gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird.

Wenn die Gerade parallel zu O x verläuft oder darin zusammenfällt, beträgt der Neigungswinkel 0. Dann wird der Neigungswinkel der gegebenen Geraden α auf dem Intervall [ 0 , π) definiert.

Definition 2

Direkter Hang ist der Tangens des Neigungswinkels einer gegebenen Geraden.

Die Standardbezeichnung ist k. Aus der Definition ergibt sich, dass k = t g α . Wenn die Linie parallel zu Ox verläuft, sagt man, dass die Steigung nicht existiert, da sie ins Unendliche geht.

Die Steigung ist positiv, wenn der Graph der Funktion zunimmt und umgekehrt. Die Abbildung zeigt verschiedene Variationen der Lage des rechten Winkels relativ zum Koordinatensystem mit dem Wert des Koeffizienten.

Um diesen Winkel zu finden, ist es notwendig, die Definition des Winkelkoeffizienten anzuwenden und den Tangens des Neigungswinkels in der Ebene zu berechnen.

Lösung

Aus der Bedingung folgt, dass α = 120°. Per Definition muss die Steigung berechnet werden. Finden wir es anhand der Formel k = t g α = 120 = - 3.

Antwort: k = - 3 .

Wenn der Winkelkoeffizient bekannt ist und der Neigungswinkel zur Abszissenachse ermittelt werden muss, sollte der Wert des Winkelkoeffizienten berücksichtigt werden. Wenn k > 0, dann ist der rechte Winkel spitz und wird durch die Formel α = a r c t g k ermittelt. Wenn k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der gegebenen Geraden zu O x mit einem Winkelkoeffizienten von 3.

Lösung

Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient positiv ist, was bedeutet, dass der Neigungswinkel zu O x weniger als 90 Grad beträgt. Berechnungen erfolgen nach der Formel α = a r c t g k = a r c t g 3.

Antwort: α = a r c t g 3 .

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse, wenn die Steigung = - 1 3 ist.

Lösung

Wenn wir den Buchstaben k als Bezeichnung für den Winkelkoeffizienten nehmen, dann ist α der Neigungswinkel zu einer gegebenen Geraden in positiver Richtung O x. Daher ist k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Antwort: 5 π 6 .

Eine Gleichung der Form y = k x + b, wobei k die Steigung und b eine reelle Zahl ist, wird als Geradengleichung mit Steigung bezeichnet. Die Gleichung ist typisch für jede gerade Linie, die nicht parallel zur O-y-Achse verläuft.

Betrachten wir im Detail eine Gerade auf einer Ebene in einem festen Koordinatensystem, die durch eine Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten der Form y = k x + b angegeben wird. In diesem Fall bedeutet dies, dass die Gleichung den Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden entspricht. Wenn wir die Koordinaten des Punktes M, M 1 (x 1, y 1) in die Gleichung y = k x + b einsetzen, dann verläuft die Gerade in diesem Fall durch diesen Punkt, sonst gehört der Punkt nicht zur Geraden.

Beispiel 4

Gegeben ist eine Gerade mit der Steigung y = 1 3 x - 1. Berechnen Sie, ob die Punkte M 1 (3, 0) und M 2 (2, - 2) zur gegebenen Geraden gehören.

Lösung

Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes M 1 (3, 0) in die gegebene Gleichung einzusetzen, dann erhalten wir 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Die Gleichheit ist wahr, was bedeutet, dass der Punkt zur Linie gehört.

Wenn wir die Koordinaten des Punktes M 2 (2, - 2) ersetzen, erhalten wir eine falsche Gleichheit der Form - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Wir können daraus schließen, dass Punkt M 2 nicht zur Geraden gehört.

Antwort: M 1 gehört zur Linie, M 2 jedoch nicht.

Es ist bekannt, dass die Gerade durch die Gleichung y = k · x + b definiert ist, die durch M 1 (0, b) verläuft. Bei der Substitution erhalten wir eine Gleichheit der Form b = k · 0 + b ⇔ b = b. Daraus können wir schließen, dass die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten y = k x + b in der Ebene eine Gerade definiert, die durch den Punkt 0, b geht. Es bildet einen Winkel α mit der positiven Richtung der O x -Achse, wobei k = t g α.

Betrachten wir als Beispiel eine gerade Linie, die mithilfe eines Winkelkoeffizienten definiert wird, der in der Form y = 3 x - 1 angegeben ist. Wir erhalten, dass die Gerade durch den Punkt mit der Koordinate 0, - 1 mit einer Steigung von α = a r c t g 3 = π 3 Bogenmaß in der positiven Richtung der O x -Achse verläuft. Dies zeigt, dass der Koeffizient 3 beträgt.

Gleichung einer geraden Linie mit Steigung, die durch einen bestimmten Punkt verläuft

Es ist notwendig, ein Problem zu lösen, bei dem es notwendig ist, die Gleichung einer Geraden mit einer gegebenen Steigung zu erhalten, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Die Gleichheit y 1 = k · x + b kann als gültig angesehen werden, da die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft. Um die Zahl b zu entfernen, ist es notwendig, die Gleichung mit der Steigung von der linken und rechten Seite zu subtrahieren. Daraus folgt, dass y - y 1 = k · (x - x 1) . Diese Gleichheit wird als Gleichung einer Geraden mit gegebener Steigung k bezeichnet, die durch die Koordinaten des Punktes M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Beispiel 5

Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (4, - 1) und einem Winkelkoeffizienten von - 2 verläuft.

Lösung

Durch die Bedingung gilt x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Von hier aus wird die Geradengleichung wie folgt geschrieben: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Antwort: y = - 2 x + 7 .

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (3, 5) parallel zur Geraden y = 2 x - 2 verläuft.

Lösung

Als Bedingung gilt, dass parallele Linien identische Neigungswinkel haben, was bedeutet, dass die Winkelkoeffizienten gleich sind. Um die Steigung aus dieser Gleichung zu ermitteln, müssen Sie sich die Grundformel y = 2 x - 2 merken, daraus folgt k = 2. Wir erstellen eine Gleichung mit dem Steigungskoeffizienten und erhalten:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Antwort: y = 2 x - 1 .

Übergang von einer Geradengleichung mit Steigung zu anderen Arten von Geradengleichungen und zurück

Diese Gleichung ist nicht immer zur Lösung von Problemen anwendbar, da sie nicht sehr bequem geschrieben ist. Dazu müssen Sie es in einer anderen Form präsentieren. Beispielsweise erlaubt uns eine Gleichung der Form y = k x + b nicht, die Koordinaten des Richtungsvektors einer Geraden oder die Koordinaten eines Normalenvektors aufzuschreiben. Dazu müssen Sie lernen, mit Gleichungen eines anderen Typs darzustellen.

Wir können die kanonische Gleichung einer Geraden auf einer Ebene erhalten, indem wir die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten verwenden. Wir erhalten x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es ist notwendig, den Term b auf die linke Seite zu verschieben und durch den Ausdruck der resultierenden Ungleichung zu dividieren. Dann erhalten wir eine Gleichung der Form y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Die Gleichung einer Geraden mit Steigung ist zur kanonischen Gleichung dieser Geraden geworden.

Beispiel 7

Bringen Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten y = - 3 x + 12 in die kanonische Form.

Lösung

Lassen Sie es uns berechnen und in Form einer kanonischen Geradengleichung darstellen. Wir erhalten eine Gleichung der Form:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Antwort: x 1 = y - 12 - 3.

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lässt sich am einfachsten aus y = k · x + b erhalten, hierfür sind jedoch Umformungen erforderlich: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Es erfolgt ein Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu Gleichungen anderer Art.

Beispiel 8

Gegeben sei eine Geradengleichung der Form y = 1 7 x - 2 . Finden Sie heraus, ob der Vektor mit den Koordinaten a → = (- 1, 7) ein Normallinienvektor ist?

Lösung

Um es zu lösen, ist es notwendig, zu einer anderen Form dieser Gleichung überzugehen, dazu schreiben wir:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Die Koeffizienten vor den Variablen sind die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden. Schreiben wir es so: n → = 1 7, - 1, also 1 7 x - y - 2 = 0. Es ist klar, dass der Vektor a → = (- 1, 7) kollinear zum Vektor n → = 1 7, - 1 ist, da wir die faire Beziehung a → = - 7 · n → haben. Daraus folgt, dass der ursprüngliche Vektor a → = - 1, 7 ein Normalenvektor der Geraden 1 7 x - y - 2 = 0 ist, was bedeutet, dass er als Normalenvektor für die Gerade y = 1 7 x - 2 betrachtet wird.

Antwort: Ist

Lösen wir das umgekehrte Problem dieses Problems.

Es ist notwendig, von der allgemeinen Form der Gleichung A x + B y + C = 0, wobei B ≠ 0, zu einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten überzugehen. Dazu lösen wir die Gleichung nach y. Wir erhalten A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Das Ergebnis ist eine Gleichung mit einer Steigung gleich - A B .

Beispiel 9

Gegeben ist eine Geradengleichung der Form 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Ermitteln Sie die Gleichung einer gegebenen Geraden mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung

Basierend auf der Bedingung muss nach y aufgelöst werden, dann erhalten wir eine Gleichung der Form:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Antwort: y = 1 6 x + 1 4 .

Auf ähnliche Weise wird eine Gleichung der Form x a + y b = 1 gelöst, die als Geradengleichung in Segmenten oder kanonisch der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y bezeichnet wird. Wir müssen es nach y auflösen, erst dann erhalten wir eine Gleichung mit der Steigung:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Die kanonische Gleichung kann auf eine Form mit einem Winkelkoeffizienten reduziert werden. Dafür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Beispiel 10

Es gibt eine Gerade, die durch die Gleichung x 2 + y - 3 = 1 gegeben ist. Reduzieren Sie auf die Form einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung.

Basierend auf der Bedingung ist eine Transformation erforderlich, dann erhalten wir eine Gleichung der Form _Formel_. Beide Seiten der Gleichung müssen mit -3 multipliziert werden, um die erforderliche Steigungsgleichung zu erhalten. Durch die Transformation erhalten wir:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Antwort: y = 3 2 x - 3 .

Beispiel 11

Reduzieren Sie die Geradengleichung der Form x - 2 2 = y + 1 5 auf eine Form mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung

Es ist notwendig, den Ausdruck x - 2 2 = y + 1 5 als Verhältnis zu berechnen. Wir erhalten 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Jetzt müssen Sie es vollständig aktivieren. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Antwort: y = 5 2 x - 6 .

Um solche Probleme zu lösen, sollten parametrische Gleichungen der Geraden der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ auf die kanonische Geradengleichung reduziert werden, erst danach kann man zur Gleichung mit übergehen der Steigungskoeffizient.

Beispiel 12

Finden Sie die Steigung der Geraden, wenn sie durch parametrische Gleichungen x = λ y = - 1 + 2 · λ gegeben ist.

Lösung

Es ist ein Übergang von der parametrischen Ansicht zur Neigung erforderlich. Dazu finden wir die kanonische Gleichung aus der gegebenen parametrischen Gleichung:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nun muss diese Gleichheit nach y aufgelöst werden, um die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten zu erhalten. Schreiben wir es dazu so:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Daraus folgt, dass die Steigung der Geraden 2 beträgt. Dies wird als k = 2 geschrieben.

Antwort: k = 2.

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Im vorherigen Kapitel wurde gezeigt, dass wir durch die Wahl eines bestimmten Koordinatensystems auf der Ebene die geometrischen Eigenschaften, die die Punkte der betrachteten Linie charakterisieren, analytisch durch eine Gleichung zwischen den aktuellen Koordinaten ausdrücken können. Somit erhalten wir die Geradengleichung. In diesem Kapitel werden Geradengleichungen betrachtet.

Um eine Gleichung für eine gerade Linie in kartesischen Koordinaten zu erstellen, müssen Sie irgendwie die Bedingungen festlegen, die ihre Position relativ zu den Koordinatenachsen bestimmen.

Zunächst stellen wir das Konzept des Winkelkoeffizienten einer Linie vor, der eine der Größen ist, die die Position einer Linie auf einer Ebene charakterisieren.

Nennen wir den Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse den Winkel, um den die Ox-Achse gedreht werden muss, damit sie mit der gegebenen Linie übereinstimmt (oder parallel dazu verläuft). Wie üblich berücksichtigen wir den Winkel unter Berücksichtigung des Vorzeichens (das Vorzeichen wird durch die Drehrichtung bestimmt: gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn). Da eine weitere Drehung der Ox-Achse um einen Winkel von 180° diese wieder an der Geraden ausrichtet, kann der Neigungswinkel der Geraden zur Achse nicht eindeutig (bis auf einen Term, ein Vielfaches von) gewählt werden.

Der Tangens dieses Winkels wird eindeutig bestimmt (da eine Änderung des Winkels seinen Tangens nicht ändert).

Der Tangens des Neigungswinkels der Geraden an die Ox-Achse wird als Winkelkoeffizient der Geraden bezeichnet.

Der Winkelkoeffizient charakterisiert die Richtung der Geraden (wir unterscheiden hier nicht zwischen zwei einander entgegengesetzten Richtungen der Geraden). Wenn die Steigung einer Geraden Null ist, dann verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Bei einem positiven Winkelkoeffizienten ist der Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse spitz (wir betrachten hier den kleinsten positiven Wert des Neigungswinkels) (Abb. 39); Darüber hinaus ist der Neigungswinkel zur Ox-Achse umso größer, je größer der Winkelkoeffizient ist. Wenn der Winkelkoeffizient negativ ist, ist der Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse stumpf (Abb. 40). Beachten Sie, dass eine gerade Linie senkrecht zur Ox-Achse keinen Winkelkoeffizienten hat (der Tangens des Winkels existiert nicht).