Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel? Kugel, Kugel, Segment und Sektor. Formeln und Eigenschaften der Kugel

Wenn die Länge des Radius (r) bekannt ist, dann Quadrat Oberflächen Kugeln(S) ist das vierfache Produkt des Quadratradius und der Zahl Pi (π): S=4∗π∗r². Zum Beispiel mit einer Radiuslänge Kugeln drei Meter entfernt Quadrat beträgt 4∗3,14∗3²=113,04 Quadratmeter.

Wenn Sie (V) des von der Kugel begrenzten Raums kennen, können Sie zunächst seinen Durchmesser (d) ermitteln und dann die im ersten Schritt angegebene Formel verwenden. Da das Volumen ein Sechstel Pi pro Kubikmeter Durchmesser beträgt Kugeln(V=π∗d³/6), dann kann der Durchmesser als Kubikwurzel von sechs Volumina dividiert durch Pi berechnet werden: d=³√(6∗V/π). Wenn wir diesen Wert in die Formel aus dem ersten Schritt einsetzen, erhalten wir: S=π∗(³√ (6∗V/π))². Wenn beispielsweise ein Raum durch eine Kugel von 500 Kubikmetern begrenzt wird, sieht die Berechnung seiner Fläche wie folgt aus: 3,14∗(³√(6∗500/3,14))² = 3,14∗(³√955,41)² = 3, 14∗9,85² = 3,14∗97,02 = 304,64 Quadratmeter.

Es ist ziemlich schwierig, all diese Berechnungen im Kopf durchzuführen, daher müssen Sie einen der Taschenrechner verwenden. Dies könnte beispielsweise ein in die Suchmaschinen Google oder Nigma integrierter Taschenrechner sein. Google unterscheidet sich positiv dadurch, dass es die Reihenfolge der Vorgänge unabhängig bestimmen kann, während Nigma von Ihnen verlangt, dass Sie alle Klammern sorgfältig ausfüllen. Fläche berechnen Kugeln Den Daten aus dem zweiten Schritt zufolge sieht die Suchanfrage, die in Google eingegeben werden muss, beispielsweise so aus: „4*pi*3^2“. Und für den komplexesten Fall mit der Berechnung der Kubikwurzel und der Quadrierung ab dem dritten Schritt lautet die Anfrage: „pi*(6*500/pi)^(2/3)“.

Alle Planeten im Sonnensystem haben die Form Ball. Darüber hinaus haben viele vom Menschen geschaffene Gegenstände, darunter auch Teile technischer Geräte, eine Kugelform oder eine ähnliche Form. Eine Kugel hat wie jeder Rotationskörper eine Achse, die mit ihrem Durchmesser übereinstimmt. Dies ist jedoch nicht die einzige wichtige Eigenschaft Ball. Im Folgenden besprechen wir die Haupteigenschaften dieser geometrischen Figur und die Methode zur Bestimmung ihrer Fläche.

Anweisungen

Wenn man einen Kreis nimmt und ihn um seine Achse dreht, erhält man einen Körper, den man Kugel nennt. Mit anderen Worten: Eine Kugel ist ein Körper, der von einer Kugel begrenzt wird. Die Kugel ist eine Hülle Ball und sein Umfang. Aus Ball Der Unterschied besteht darin, dass es hohl ist. Achsartig Ball Bei einer Kugel stimmt sie also mit dem Durchmesser überein und verläuft durch den Mittelpunkt. Radius Ball bezeichnet ein Segment, das von seinem Mittelpunkt zu einem beliebigen externen Punkt gezogen wird. Im Gegensatz zur Kugel Schnitt Ball sind Kreise. Die meisten Himmelskörper haben eine nahezu kugelförmige Form. An verschiedenen Stellen Ball es gibt gleich geformte, aber ungleich große, sogenannte Abschnitte – Kreise unterschiedlicher Fläche.

Eine Kugel und eine Kugel sind im Gegensatz zu einem Kegel austauschbare Körper, obwohl es sich auch um einen Rotationskörper handelt. Kugelflächen bilden im Querschnitt immer einen Kreis, egal ob horizontal oder vertikal. Eine konische Oberfläche erhält man nur durch Drehen des Dreiecks um seine Achse senkrecht zur Grundfläche. Daher ein Kegel im Gegensatz zu Ball und gilt nicht als austauschbarer Revolutionskörper.

Durch Schneiden erhält man den größtmöglichen Kreis Ball durch den Mittelpunkt O verlaufen. Alle Kreise, die durch den Mittelpunkt O verlaufen, schneiden sich im gleichen Durchmesser. Der Radius ist immer gleich dem halben Durchmesser. Durch zwei Punkte A und B, die sich irgendwo auf der Oberfläche befinden Ball, kann unendlich viele Kreise oder Kreise durchlaufen. Aus diesem Grund kann eine unbegrenzte Anzahl von Meridianen durch die Erde gezogen werden.

Bei der Suche nach der Gegend Ball Betrachtet wird zunächst einmal Quadrat sphärische Oberfläche.Fläche Ball, oder vielmehr die Kugel, die ihre Oberfläche bildet, kann auf einer Basis mit demselben Radius R berechnet werden. Da Quadrat Kreis ist das Produkt aus Halbkreis und Radius und kann wie folgt berechnet werden:S = ?R^2 Da durch den Mittelpunkt Ball passieren Sie dann dementsprechend vier große Hauptkreise Quadrat Ball(Kugel) ist gleich:S = 4 ?R^2

Dies kann nützlich sein, wenn entweder der Durchmesser oder der Radius bekannt ist Ball oder Kugeln. Allerdings sind diese Parameter nicht in allen geometrischen Problemen als Bedingungen angegeben. Es gibt auch Probleme, bei denen eine Kugel in einen Zylinder eingeschrieben ist. In diesem Fall sollten Sie den Satz von Archimedes verwenden, dessen Kern darin besteht Quadrat Oberflächen Ball eineinhalb Mal kleiner als die Gesamtoberfläche des Zylinders: S = 2/3 S-Zylinder, wobei S-Zylinder. - Quadrat volle Oberfläche des Zylinders.

Video zum Thema

Ich kenne nur die Länge Durchmesser Kreise können Sie nicht nur berechnen Quadrat Kreis, aber auch die Fläche einiger anderer geometrischer Figuren. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Durchmesser der Kreise, die um solche Figuren herum eingeschrieben oder umschrieben sind, mit den Längen ihrer Seiten oder Diagonalen übereinstimmen.

Anweisungen

Wenn Sie etwas finden müssen Quadrat(S) entsprechend seiner bekannten Länge Durchmesser(D), multipliziere pi (π) mit seiner Länge Durchmesser, und dividiere das Ergebnis durch vier: S=π ²*D²/4. Zum Beispiel,

Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Schnittstereometrie, Probleme zur Kugel). Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist – schreibe darüber im Forum. Bei Problemen wird anstelle des „Quadratwurzel“-Symbols die Funktion sqrt() verwendet, wobei sqrt das Quadratwurzelsymbol ist und der Radikandenausdruck in Klammern angegeben wird. Für einfache radikale Ausdrücke kann das Zeichen verwendet werden"√".

Aufgabe

Ein Kegel ist in eine Kugel eingeschrieben, deren Erzeugende gleich l ist und deren Winkel an der Spitze des Axialschnitts 60 Grad beträgt. Finden Sie die Fläche der Kugel.

Lösung.
Wir ermitteln die Fläche der Kugel mit der Formel:

Da ein Kegel in eine Kugel eingeschrieben ist, zeichnen wir einen Schnitt durch die Spitze des Kegels, der ein gleichschenkliges Dreieck sein wird. Da der Winkel am Scheitelpunkt des axialen Abschnitts 60 Grad beträgt, ist das Dreieck gleichseitig (die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad, was bedeutet, dass die verbleibenden Winkel (180-60) / 2 = 60 sind, d. h. alle Winkel sind gleich).

Daher ist der Radius der Kugel gleich dem Radius des Kreises, der um ein gleichseitiges Dreieck beschrieben wird. Die Seite des Dreiecks ist gemäß der Bedingung gleich l. Also

Somit ist die Fläche der Kugel

S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2

Antwort: Die Fläche der Kugel beträgt 4/3πl 2.

Aufgabe

Der Behälter hat die Form einer Halbkugel (Halbkugel). Der Umfang des Sockels beträgt 46 cm. Pro 1 Quadratmeter werden 300 Gramm Farbe verbraucht. Wie viel Farbe wird zum Bemalen eines Behälters benötigt?

Lösung.
Die Oberfläche der Figur entspricht der Hälfte der Kugelfläche und der Querschnittsfläche der Kugel.
Da wir den Umfang der Basis kennen, ermitteln wir ihren Radius:
L = 2πR
Wo
R = L/2π
R = 46 / 2π
R = 23/π

Daher ist die Fläche der Basis gleich
S = πR 2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Wir ermitteln die Fläche der Kugel mit der Formel:
S = 4πr 2

Dementsprechend ist die Fläche der Hemisphäre
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π

Die Gesamtoberfläche der Figur beträgt:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Berechnen wir nun den Farbverbrauch (beachten Sie, dass der Verbrauch pro Quadratmeter angegeben wird und der berechnete Wert in Quadratzentimetern angegeben ist, d. h. ein Meter hat 10.000 Quadratzentimeter).
1587 / π * 300 / 10.000 = 47,61 / π Gramm ≈ 15,15 g

Aufgabe

Lösung. Rishennya.

	Um die Lösung zu erklären, lassen Sie uns jede der oben genannten Formeln kommentieren Lassen Sie uns die Formel zum Ermitteln der Oberfläche einer Kugel verwenden und sie für die erste Kugel schreiben, vorausgesetzt, ihr Radius ist gleich R 1 Wir schreiben die Oberfläche der zweiten Kugel mit genau der gleichen Formel, vorausgesetzt, ihr Radius ist gleich R 2 Lassen Sie uns das Verhältnis ihrer Flächen ermitteln, indem wir den ersten Ausdruck durch den zweiten dividieren. Reduzieren wir den resultierenden Bruch. Es ist leicht zu erkennen, dass das Verhältnis der Flächen zweier Kugeln gleich dem Verhältnis der Quadrate ihrer Radien ist. Je nach den Bedingungen des Problems ist dieses Verhältnis gleich m/n Aus der resultierenden Gleichheit ermitteln wir das Verhältnis der Kugelradien, indem wir die Quadratwurzel ziehen. Erinnern wir uns an die daraus resultierende Gleichheit Lassen Sie uns die Formel zum Ermitteln des Volumens einer Kugel verwenden und sie für die erste Kugel mit Radius aufschreiben R 1 Wir schreiben das Volumen der zweiten Kugel mit der gleichen Formel und ersetzen den Radius darin R 2	Zur Klärung der Entscheidung kommentieren wir die Haut anhand der vorgegebenen Formeln Mithilfe einer schnellen Formel zum Ermitteln der Oberfläche des Kühlmittels schreiben wir sie für das erste Kühlmittel auf und geben an, dass sein Radius gleich ist R 1 Schreiben wir die Oberfläche eines anderen Kreises mit der gleichen exakten Formel auf und geben dabei an, dass sein Radius gleich ist R 2 Wir kennen die Beziehung zwischen ihren Bereichen und teilen den ersten Ausdruck aufeinander. Lassen Sie uns schnell das Tropfen entfernen. Es ist wichtig zu beachten, dass die Beziehung zwischen den Flächen der beiden Objekte dieselbe ist wie die Beziehung zwischen den Quadraten ihrer Radien. Dem Verstand zufolge ist das Verhältnis gleich m/n Aus der entfernten Gleichheit kennen wir den Zusammenhang zwischen den Radien und dem Pfad zum Ziehen der Quadratwurzel. Ich werde die Eifersucht auf den Geruch aufgeben Mit einer schnellen Formel können wir das Volumen des Kerns ermitteln und es für den ersten Kern mit Radius angeben R 1 Wir werden über das andere Kühlmittel schreiben, indem wir dieselbe Formel verwenden und den Radius darin einsetzen R 2
	8. Teilen Sie die Volumina der ersten und zweiten Kugel durcheinander 9. Reduzieren wir den resultierenden Bruch. Beachten Sie, dass das Verhältnis des Volumens zweier Kugeln gleich dem Verhältnis der Kubikzahlen ihrer Radien ist. Berücksichtigen wir den Ausdruck, den wir zuvor in Formel 4 erhalten haben, und ersetzen wir ihn. Da die Quadratwurzel eine Zahl hoch 1/2 ist, transformieren wir den Ausdruck 10. Öffnen Sie die Klammern und schreiben Sie die resultierende Beziehung in Form eines Verhältnisses. Antwort erhalten.	8. Wir werden die erste und die anderen Parteien einzeln trennen 9. Lass uns schnell tröpfeln, scho vyyshov. Es fällt auf, dass die Beziehung zwischen den beiden Werten der Beziehung zwischen den Kuben ihrer Radienzahl im konvertierbaren Weltausdruck 1/2 ähnelt 10. Öffnen Sie die Arme und notieren Sie die Beziehung in Form von Proportionen. Die Geschichte wurde entfernt.

Definition.

Kugel (Kugeloberfläche) ist die Ansammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die den gleichen Abstand von einem Punkt haben, genannt Mittelpunkt der Kugel(UM).

Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die durch Drehung eines Kreises um 180° um ihren Durchmesser oder eines Halbkreises um 360° um ihren Durchmesser entsteht.

Definition.

Ball ist eine Ansammlung aller Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand zu einem genannten Punkt einen bestimmten Abstand nicht überschreitet Mitte des Balls(O) (die Menge aller Punkte des durch eine Kugel begrenzten dreidimensionalen Raums).

Eine Kugel kann als dreidimensionale Figur beschrieben werden, die durch Drehung eines Kreises um 180° um ihren Durchmesser oder eines Halbkreises um 360° um ihren Durchmesser entsteht.

Definition. Radius der Kugel (Kugel)(R) ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel (Ball) Ö zu jedem Punkt der Kugel (Oberfläche der Kugel).

Definition. Kugeldurchmesser(D) ist ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel (der Oberfläche einer Kugel) verbindet und durch deren Mittelpunkt verläuft.

Formel. Kugelvolumen:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formel. Oberfläche einer Kugel durch Radius oder Durchmesser:

S = 4π R 2 = π D 2

Kugelgleichung

1. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Gleichung einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt an einem Punkt mit Koordinaten (x 0, y 0, z 0) im kartesischen Koordinatensystem:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definition. Diametral gegenüberliegende Punkte werden zwei beliebige Punkte auf der Oberfläche einer Kugel (Kugel) genannt, die durch einen Durchmesser verbunden sind.

Grundlegende Eigenschaften einer Kugel und eines Balls

1. Alle Punkte der Kugel sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

2. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.

3. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis.

4. Die Kugel hat unter allen Raumfiguren gleicher Oberfläche das größte Volumen.

5. Durch zwei beliebige diametral gegenüberliegende Punkte können Sie viele Großkreise für eine Kugel oder Kreise für eine Kugel zeichnen.

6. Durch zwei beliebige Punkte, mit Ausnahme diametral gegenüberliegender Punkte, können Sie nur einen großen Kreis für eine Kugel oder einen großen Kreis für eine Kugel zeichnen.

7. Zwei beliebige Großkreise einer Kugel schneiden sich entlang einer geraden Linie, die durch die Mitte der Kugel verläuft, und die Kreise schneiden sich an zwei diametral gegenüberliegenden Punkten.

8. Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Kugeln kleiner ist als die Summe ihrer Radien und größer als der Modul der Differenz ihrer Radien, dann sind es solche Kugeln schneiden, und in der Schnittebene entsteht ein Kreis.

Sekante, Sehne, Sekantenebene einer Kugel und ihre Eigenschaften

Definition. Kugelsekante ist eine Gerade, die die Kugel in zwei Punkten schneidet. Die Schnittpunkte werden aufgerufen Piercingpunkte Oberflächen oder Ein- und Austrittspunkte auf der Oberfläche.

Definition. Akkord einer Kugel (Kugel)- Dies ist ein Segment, das zwei Punkte auf einer Kugel (der Oberfläche einer Kugel) verbindet.

Definition. Schnittebene ist die Ebene, die die Kugel schneidet.

Definition. Diametrale Ebene- Hierbei handelt es sich um eine Sekantenebene, die durch den Mittelpunkt einer Kugel oder Kugel verläuft, der Schnitt bildet sich entsprechend großer Kreis Und großer Kreis. Der Großkreis und der Großkreis haben einen Mittelpunkt, der mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfällt.

Jede Sehne, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (Kugel) verläuft, ist ein Durchmesser.

Ein Akkord ist ein Segment einer Sekantenlinie.

Der Abstand d vom Kugelmittelpunkt zur Sekante ist immer kleiner als der Kugelradius:

D< R

Der Abstand m zwischen Schnittebene und Kugelmittelpunkt ist immer kleiner als der Radius R:

M< R

Die Position des Abschnitts der Schnittebene auf der Kugel wird immer sein kleiner Kreis, und auf dem Ball wird der Abschnitt sein kleiner Kreis. Der kleine Kreis und der kleine Kreis haben ihre eigenen Mittelpunkte, die nicht mit dem Mittelpunkt der Kugel (Kugel) zusammenfallen. Der Radius r eines solchen Kreises kann mit der Formel ermittelt werden:

r = √R 2 - m 2,

Dabei ist R der Radius der Kugel (Kugel) und m der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Schnittebene.

Definition. Hemisphäre (Halbkugel)- Dies ist die Hälfte einer Kugel (Kugel), die entsteht, wenn sie durch eine diametrale Ebene geschnitten wird.

Tangente, Tangentenebene an eine Kugel und ihre Eigenschaften

Definition. Tangente an eine Kugel ist eine Gerade, die die Kugel nur in einem Punkt berührt.

Definition. Tangentialebene zu einer Kugel ist eine Ebene, die die Kugel nur in einem Punkt berührt.

Die Tangente (Ebene) steht immer senkrecht zum Radius der Kugel, die zum Berührungspunkt gezogen wird

Der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Tangente (Ebene) ist gleich dem Radius der Kugel.

Definition. Kugelsegment- Dies ist der Teil der Kugel, der durch eine Schnittebene von der Kugel abgeschnitten wird. Basis des Segments bezeichnet den Kreis, der sich an der Stelle des Abschnitts gebildet hat. Segmenthöhe h ist die Länge der Senkrechten, die von der Mitte der Basis des Segments zur Oberfläche des Segments gezogen wird.

Formel. Äußere Oberfläche eines Kugelsegments mit der Höhe h durch den Kugelradius R:

S = 2πRh

Eine Kugel und eine Kugel sind zunächst einmal geometrische Figuren, und wenn eine Kugel ein geometrischer Körper ist, dann ist eine Kugel die Oberfläche einer Kugel. Diese Zahlen waren vor vielen tausend Jahren v. Chr. von Interesse.

Als später entdeckt wurde, dass die Erde eine Kugel und der Himmel eine Himmelskugel ist, entwickelte sich eine neue faszinierende Richtung in der Geometrie – die Geometrie auf einer Kugel oder sphärische Geometrie. Um über die Größe und das Volumen eines Balls zu sprechen, müssen Sie ihn zunächst definieren.

Ball

Eine Kugel mit dem Radius R und einem Mittelpunkt im Punkt O ist in der Geometrie ein Körper, der aus allen Punkten im Raum entsteht, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. Diese Punkte befinden sich in einem Abstand, der den Radius des Balls nicht überschreitet, das heißt, sie füllen den gesamten Raum in allen Richtungen von seinem Mittelpunkt aus, der kleiner als der Radius des Balls ist. Wenn wir nur die Punkte betrachten, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Balls haben, betrachten wir seine Oberfläche oder die Hülle des Balls.

Wie komme ich an den Ball? Wir können einen Kreis aus Papier ausschneiden und ihn um seinen eigenen Durchmesser drehen. Das heißt, der Durchmesser des Kreises ist die Drehachse. Die geformte Figur wird eine Kugel sein. Daher wird die Kugel auch Rotationskörper genannt. Weil es durch Drehen einer flachen Figur geformt werden kann – einem Kreis.

Nehmen wir ein Flugzeug und schneiden wir damit unseren Ball ab. So wie wir eine Orange mit einem Messer schneiden. Das Stück, das wir von der Kugel abschneiden, nennt man Kugelsegment.

Im antiken Griechenland wussten sie nicht nur, wie man mit einer Kugel und einer Kugel als geometrischen Figuren umgeht, um sie beispielsweise im Bauwesen zu verwenden, sondern wussten auch, wie man die Oberfläche einer Kugel und das Volumen einer Kugel berechnet.

Eine Kugel ist ein anderer Name für die Oberfläche einer Kugel. Eine Kugel ist kein Körper – sie ist die Oberfläche eines Rotationskörpers. Da jedoch sowohl die Erde als auch viele Körper, beispielsweise ein Wassertropfen, eine Kugelform haben, ist die Untersuchung geometrischer Zusammenhänge innerhalb der Kugel weit verbreitet.

Wenn wir beispielsweise zwei Punkte einer Kugel durch eine Gerade miteinander verbinden, dann nennt man diese Gerade Sehne, und wenn diese Sehne durch den Mittelpunkt der Kugel geht, der mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfällt, dann die Sehne wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet.

Wenn wir eine gerade Linie zeichnen, die die Kugel nur in einem Punkt berührt, dann wird diese Linie Tangente genannt. Darüber hinaus ist diese Tangente an die Kugel an diesem Punkt senkrecht zum Radius der Kugel, die zum Kontaktpunkt gezogen wird.

Wenn wir die Sehne von der Kugel aus in die eine oder andere Richtung zu einer geraden Linie verlängern, dann wird diese Sehne Sekante genannt. Oder wir können es anders sagen: Die Sekante zur Sphäre enthält ihren Akkord.

Ballvolumen

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

wobei R der Radius der Kugel ist.

Wenn Sie das Volumen eines Kugelsegments ermitteln müssen, verwenden Sie die Formel:

V seg =πh 2 (R-h/3), h ist die Höhe des Kugelsegments.

Oberfläche einer Kugel oder Kugel

Um die Fläche einer Kugel oder die Oberfläche einer Kugel zu berechnen (das ist dasselbe):

wobei R der Radius der Kugel ist.

Archimedes liebte die Kugel und die Kugel sehr und bat sogar darum, auf seinem Grab eine Zeichnung zu hinterlassen, auf der eine Kugel in einen Zylinder eingraviert war. Archimedes glaubte, dass das Volumen einer Kugel und ihre Oberfläche zwei Dritteln des Volumens und der Oberfläche des Zylinders entsprechen, in den die Kugel eingeschrieben ist.“