Bayes-Formel-Beispiele für Lösungen. Bayes'sche Formeln. „Physikalische Bedeutung“ und Terminologie

Der Satz von Bayes wird in einem separaten Artikel ausführlich beschrieben. Es ist ein wunderbares Werk, aber es ist 15.000 Wörter lang. Die gleiche Übersetzung des Artikels von Kalid Azad erklärt kurz das Wesentliche des Theorems.

• Die Ergebnisse von Forschung und Tests sind keine Ereignisse. Es gibt eine Methode zur Diagnose von Krebs, und es gibt das Ereignis selbst – das Vorhandensein der Krankheit. Der Algorithmus prüft, ob die Nachricht Spam enthält, das Ereignis (tatsächlich ist Spam in der E-Mail angekommen) muss jedoch getrennt vom Ergebnis seiner Arbeit betrachtet werden.
• Es liegen Fehler in den Testergebnissen vor. Oft zeigen unsere Forschungsmethoden, was nicht da ist (falsch positiv) und identifizieren nicht, was vorhanden ist (falsch negativ).
• Mit Hilfe von Tests ermitteln wir die Wahrscheinlichkeiten eines bestimmten Ergebnisses. Zu oft betrachten wir Testergebnisse einzeln und berücksichtigen Methodenfehler nicht.
• Falsch positive Ergebnisse verzerren das Bild. Angenommen, Sie versuchen, ein sehr seltenes Phänomen zu identifizieren (1 Fall von 1.000.000). Selbst wenn Ihre Methode korrekt ist, besteht die Möglichkeit, dass Ihr positives Ergebnis tatsächlich falsch positiv ist.
• Bequemer ist es, mit natürlichen Zahlen zu arbeiten. Besser gesagt: 100 von 10.000, nicht 1 %. Mit diesem Ansatz kommt es vor allem bei der Multiplikation zu weniger Fehlern. Nehmen wir an, wir müssen mit diesem 1 % weiterarbeiten. Die prozentuale Argumentation ist schwerfällig: „In 80 % der Fälle von 1 % gab es einen positiven Ausgang.“ Deutlich leichter zu verstehen ist die Information wie folgt: „In 80 von 100 Fällen wurde ein positiver Ausgang beobachtet.“
• Selbst in der Wissenschaft ist jede Tatsache nur das Ergebnis der Anwendung einer Methode. Aus philosophischer Sicht ist ein wissenschaftliches Experiment nur ein Test mit der Möglichkeit eines Fehlers. Es gibt eine Methode, die eine chemische Substanz oder ein Phänomen aufdeckt, und es gibt das Ereignis selbst – das Vorhandensein dieses Phänomens. Unsere Testmethoden können zu falschen Ergebnissen führen und alle Geräte weisen inhärente Fehler auf.

Der Satz von Bayes wandelt Testergebnisse in Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen um.

• Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit falsch positiver und falsch negativer Ergebnisse kennen, können wir Messfehler korrigieren.
• Der Satz setzt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses in Beziehung. Wir können Pr(A|X): die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, gegebenes Ergebnis X, und Pr(X|A): Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses X, gegebenes Ereignis A, in Beziehung setzen.

Lassen Sie uns die Methode verstehen

Der am Anfang dieses Aufsatzes verlinkte Artikel untersucht die diagnostische Methode (Mammographie), mit der Brustkrebs erkannt wird. Betrachten wir diese Methode im Detail.

• 1 % aller Frauen erkranken an Brustkrebs (und dementsprechend erkranken 99 % nicht)
• 80 % der Mammographien erkennen die Krankheit, wenn sie tatsächlich vorliegt (und dementsprechend erkennen 20 % sie nicht)
• 9,6 % der Tests erkennen Krebs, wenn keiner vorhanden ist (und dementsprechend erkennen 90,4 % ein negatives Ergebnis richtig)

Jetzt erstellen wir eine Tabelle wie diese:

Wie arbeite ich mit diesen Daten?

• 1 % der Frauen erkranken an Brustkrebs
• Wenn bei dem Patienten eine Krankheit diagnostiziert wird, sehen Sie sich die erste Spalte an: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Methode das richtige Ergebnis liefert, liegt bei 80 % und die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis falsch (falsch negativ) ist, bei 20 %.
• Wenn die Krankheit des Patienten nicht identifiziert wurde, sehen Sie sich die zweite Spalte an. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 9,6 % können wir sagen, dass das positive Ergebnis der Studie falsch ist, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,4 % können wir sagen, dass der Patient wirklich gesund ist.

Wie genau ist die Methode?

Schauen wir uns nun das positive Testergebnis an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person wirklich krank ist: 80 %, 90 %, 1 %?

Denken wir nach:

• Es gibt ein positives Ergebnis. Schauen wir uns alle möglichen Ergebnisse an: Das Ergebnis kann entweder ein echtes Positiv oder ein falsches Positiv sein.
• Die Wahrscheinlichkeit eines wirklich positiven Ergebnisses ist gleich: die Wahrscheinlichkeit, an der Krankheit zu erkranken, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Test die Krankheit tatsächlich erkannt hat. 1 % * 80 % = .008
• Die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses ist gleich: der Wahrscheinlichkeit, dass keine Krankheit vorliegt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Methode die Krankheit falsch erkannt hat. 99 % * 9,6 % = .09504

Jetzt sieht die Tabelle so aus:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn ein positives Mammogramm vorliegt? Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl möglicher Ausgänge des Ereignisses zur Gesamtzahl aller möglichen Ausgänge.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Ergebnisse des Ereignisses / alle möglichen Ergebnisse

Die Wahrscheinlichkeit eines wirklich positiven Ergebnisses beträgt .008. Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses ist die Wahrscheinlichkeit eines wirklich positiven Ergebnisses + die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Die Erkrankungswahrscheinlichkeit bei einem positiven Testergebnis errechnet sich also wie folgt: .008/.10304 = 0,0776. Dieser Wert liegt bei etwa 7,8 %.

Das heißt, ein positives Mammographie-Ergebnis bedeutet nur, dass die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung bei 7,8 % liegt und nicht bei 80 % (letzterer Wert ist nur die geschätzte Genauigkeit der Methode). Dieses Ergebnis scheint zunächst unverständlich und seltsam, aber man muss bedenken: Die Methode liefert in 9,6 % der Fälle ein falsch positives Ergebnis (was ziemlich viel ist), sodass es in der Probe viele falsch positive Ergebnisse geben wird. Bei einer seltenen Krankheit sind die meisten positiven Ergebnisse falsch positive Ergebnisse.

Werfen wir einen Blick auf die Tabelle und versuchen wir, die Bedeutung des Satzes intuitiv zu erfassen. Wenn wir 100 Menschen haben, ist nur einer von ihnen erkrankt (1 %). Bei dieser Person besteht eine 80-prozentige Chance, dass die Methode zu einem positiven Ergebnis führt. Von den verbleibenden 99 % werden 10 % positive Ergebnisse liefern, was grob gesagt 10 von 100 falsch positiven Ergebnissen ergibt. Wenn wir alle positiven Ergebnisse berücksichtigen, wird nur 1 von 11 wahr sein. Wenn also ein positives Ergebnis erzielt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung 1/11.

Oben haben wir berechnet, dass diese Wahrscheinlichkeit 7,8 % beträgt, d. h. Die Zahl liegt tatsächlich eher bei 1/13, aber hier konnten wir mit einfachen Überlegungen eine grobe Schätzung ohne Taschenrechner finden.

Satz von Bayes

Beschreiben wir nun unseren Gedankengang mithilfe einer Formel namens Bayes-Theorem. Mit diesem Theorem können Sie die Ergebnisse der Studie entsprechend der durch falsch positive Ergebnisse verursachten Verzerrung korrigieren:

• Pr(A|X) = Erkrankungswahrscheinlichkeit (A) bei positivem Ergebnis (X). Genau das wollen wir wissen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn der Ausgang positiv ist? In unserem Beispiel sind es 7,8 %.
• Pr(X|A) = Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses (X) für den Fall, dass der Patient wirklich krank ist (A). In unserem Fall ist dies der wahre positive Wert – 80 %
• Pr(A) = Wahrscheinlichkeit krank zu werden (1%)
• Pr(nicht A) = Wahrscheinlichkeit, nicht krank zu werden (99 %)
• Pr(X|not A) = Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses der Studie, wenn keine Erkrankung vorliegt. Dies ist die Falsch-Positiv-Rate – 9,6 %.

Wir können daraus schließen: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit eines wirklich positiven Ergebnisses durch die Wahrscheinlichkeit aller positiven Ergebnisse dividieren. Jetzt können wir die Gleichung vereinfachen:
Pr(X) ist die Normalisierungskonstante. Es hat uns gute Dienste geleistet: Ohne es hätte uns ein positives Testergebnis eine 80-prozentige Chance gegeben, dass das Ereignis eintritt.
Pr(X) ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, unabhängig davon, ob es sich um ein wirklich positives Ergebnis in einer Studie mit Patienten (1 %) oder ein falsch positives Ergebnis in einer Studie mit gesunden Menschen (99 %) handelt.

In unserem Beispiel ist Pr(X) eine ziemlich große Zahl, da die Wahrscheinlichkeit falsch positiver Ergebnisse hoch ist.

Pr(X) ergibt ein Ergebnis von 7,8 %, was auf den ersten Blick kontraintuitiv erscheint.

Die Bedeutung des Satzes

Wir führen Tests durch, um den wahren Stand der Dinge herauszufinden. Wenn unsere Tests perfekt und genau sind, stimmen die Wahrscheinlichkeiten der Tests und die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse überein. Alle positiven Ergebnisse werden wirklich positiv sein und alle negativen Ergebnisse werden negativ sein. Aber wir leben in der realen Welt. Und in unserer Welt liefern Tests falsche Ergebnisse. Der Satz von Bayes berücksichtigt verzerrte Ergebnisse, korrigiert Fehler, rekonstruiert die Grundgesamtheit und ermittelt die Wahrscheinlichkeit eines echten Positivs.

Spam Filter

Der Satz von Bayes wird erfolgreich in Spamfiltern eingesetzt.

Wir haben:

• Ereignis A – Spam im Brief
• Testergebnis – der Inhalt bestimmter Wörter im Brief:

Der Filter berücksichtigt die Testergebnisse (den Inhalt bestimmter Wörter im Brief) und sagt voraus, ob der Brief Spam enthält. Jeder versteht, dass beispielsweise das Wort „Viagra“ häufiger in Spam vorkommt als in normalen Briefen.

Der Blacklist-basierte Spamfilter hat Nachteile – er führt häufig zu falsch positiven Ergebnissen.

Der Spamfilter des Bayes-Theorems verwendet einen ausgewogenen und intelligenten Ansatz: Er arbeitet mit Wahrscheinlichkeiten. Wenn wir die Wörter in einer E-Mail analysieren, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es sich bei der E-Mail um Spam handelt, anstatt Ja/Nein-Entscheidungen zu treffen. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brief Spam enthält, 99 % beträgt, dann ist der Brief tatsächlich Spam.

Im Laufe der Zeit wird der Filter an einer immer größeren Stichprobe trainiert und die Wahrscheinlichkeiten aktualisiert. Daher prüfen erweiterte Filter, die auf dem Bayes-Theorem basieren, viele Wörter hintereinander und verwenden sie als Daten.

Zusätzliche Quellen:

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Bei der Ableitung der Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit wurde davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen vor dem Experiment bekannt waren. Die Formel von Bayes ermöglicht eine Neubewertung ursprünglicher Hypothesen im Lichte neuer Informationen, nämlich eines Ereignisses passiert. Daher wird die Bayes-Formel als Hypothesenverfeinerungsformel bezeichnet.

Satz (Bayes-Formel). Wenn das Ereignis kann nur bei einer der Hypothesen auftreten
, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, dann die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, sofern das Ereignis vorliegt passiert, berechnet nach der Formel

,
.

Nachweisen.

Die Bayessche Formel oder der Bayesianische Ansatz zur Hypothesenbewertung spielt in der Wirtschaftswissenschaft eine wichtige Rolle, weil ermöglicht die Korrektur von Managemententscheidungen, Schätzungen unbekannter Verteilungsparameter der untersuchten Merkmale in der statistischen Analyse usw.

Beispiel. Elektrische Lampen werden in zwei Fabriken hergestellt. Die erste Anlage produziert 60 % der Gesamtzahl der elektrischen Lampen, die zweite – 40 %. Die Produkte der ersten Anlage enthalten 70 % Standardlampen, die der zweiten 80 %. Der Laden erhält Produkte aus beiden Fabriken. Die im Laden gekaufte Glühbirne erwies sich als Standardbirne. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lampe im ersten Werk hergestellt wurde.

Schreiben wir den Zustand des Problems auf und führen wir die entsprechende Notation ein.

Gegeben: Ereignis ist, dass die Lampe Standard ist.

Hypothese
ist, dass die Lampe im ersten Werk hergestellt wurde

Hypothese
ist, dass die Lampe in einem zweiten Werk hergestellt wurde

Finden
.

Lösung.

5. Wiederholte unabhängige Tests. Bernoullis Formel

Schauen wir uns das Diagramm an unabhängige Tests oder Bernoulli-Schema, das eine wichtige wissenschaftliche Bedeutung und eine Vielzahl praktischer Anwendungen hat.

Lass es entstehen unabhängige Versuche, bei denen jeweils ein bestimmtes Ereignis eintreten kann .

Definition. Tests werden genanntunabhängig , wenn es in jedem von ihnen ein Ereignis gibt

, unabhängig davon, ob das Ereignis aufgetreten ist oder nicht
in anderen Tests.

Beispiel. Auf dem Prüfstand wurden 20 Glühlampen platziert, die 1000 Stunden lang unter Last getestet wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lampe den Test besteht, beträgt 0,8 und ist unabhängig davon, was mit den anderen Lampen passiert ist.

In diesem Beispiel bezieht sich die Prüfung auf die Prüfung, ob die Lampe einer Belastung von 1000 Stunden standhält. Daher ist die Anzahl der Tests gleich
. In jedem einzelnen Versuch sind nur zwei Ergebnisse möglich:

Definition. Eine Reihe wiederholter unabhängiger Versuche, bei denen es sich jeweils um ein Ereignis handelt
tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf
, unabhängig von der Testnummer, aufgerufen wirdBernoulli-Schema.

Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses bezeichnen
, und, wie oben bewiesen wurde,

Satz. Unter den Bedingungen des Bernoulli-Schemas beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei unabhängige Testveranstaltung wird auftauchen
Zeiten, bestimmt durch die Formel

Wo
Anzahl der durchgeführten unabhängigen Tests;

Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses
;

Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt
in einem separaten Prozess;

Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt
in einem separaten Prozess;

Bayes-Formel

Satz von Bayes- einer der Hauptsätze der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses unter Bedingungen bestimmt, bei denen aufgrund von Beobachtungen nur einige Teilinformationen über Ereignisse bekannt sind. Mithilfe der Bayes-Formel ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit genauer neu zu berechnen und dabei sowohl bereits bekannte Informationen als auch Daten aus neuen Beobachtungen zu berücksichtigen.

„Physikalische Bedeutung“ und Terminologie

Mit der Bayes-Formel können Sie „Ursache und Wirkung neu ordnen“: Berechnen Sie anhand der bekannten Tatsache eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit, dass es durch eine bestimmte Ursache verursacht wurde.

In diesem Fall werden üblicherweise Ereignisse genannt, die die Wirkung von „Ursachen“ widerspiegeln Hypothesen, seit sie sind angeblich die Ereignisse, die dazu geführt haben. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist, heißt a priori(Wie wahrscheinlich ist der Grund überhaupt) und bedingt – unter Berücksichtigung der Tatsache des Ereignisses – A posteriori(Wie wahrscheinlich ist der Grund Es stellte sich heraus, dass die Ereignisdaten berücksichtigt wurden).

Folge

Eine wichtige Konsequenz der Bayes-Formel ist die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses in Abhängigkeit von mehrere inkonsistente Hypothesen ( und nur von ihnen!).

- Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses B, abhängig von einer Reihe von Hypothesen A ich, wenn der Grad der Zuverlässigkeit dieser Hypothesen bekannt ist (z. B. experimentell gemessen);

Herleitung der Formel

Wenn ein Ereignis nur von Ursachen abhängt A ich, wenn es passiert ist, bedeutet das, dass einer der Gründe eingetreten sein muss, d. h.

Nach der Formel von Bayes

Per Überweisung P(B) nach rechts erhalten wir den gewünschten Ausdruck.

Spam-Filtermethode

Eine auf dem Bayes-Theorem basierende Methode hat bei der Spam-Filterung erfolgreiche Anwendung gefunden.

Beschreibung

Beim Training eines Filters wird für jedes in Buchstaben gefundene Wort sein „Gewicht“ berechnet und gespeichert – die Wahrscheinlichkeit, dass ein Buchstabe mit diesem Wort Spam ist (im einfachsten Fall – gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: „Auftritte in Spam / Auftritte insgesamt“).

Bei der Prüfung eines neu eingetroffenen Briefes wird anhand der obenstehenden Formel für verschiedene Hypothesen die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass es sich um Spam handelt. In diesem Fall sind „Hypothesen“ Wörter, und für jedes Wort ist „die Zuverlässigkeit der Hypothese“ der Prozentsatz dieses Wortes im Buchstaben und „die Abhängigkeit des Ereignisses von der Hypothese“. P(B | A ich) - das zuvor berechnete „Gewicht“ des Wortes. Das heißt, das „Gewicht“ eines Buchstabens ist in diesem Fall nichts anderes als das durchschnittliche „Gewicht“ aller seiner Wörter.

Die Klassifizierung eines Briefes als „Spam“ oder „Nicht-Spam“ erfolgt danach, ob sein „Gewicht“ einen bestimmten, vom Benutzer festgelegten Wert (normalerweise 60-80 %) überschreitet. Nachdem eine Entscheidung über einen Buchstaben getroffen wurde, werden die „Gewichtungen“ der darin enthaltenen Wörter in der Datenbank aktualisiert.

Charakteristisch

Diese Methode ist einfach (die Algorithmen sind elementar), praktisch (ermöglicht den Verzicht auf „Blacklists“ und ähnliche künstliche Techniken), effektiv (nach dem Training an einer ausreichend großen Stichprobe werden bis zu 95–97 % des Spams entfernt) und im Fehlerfall kann es neu trainiert werden). Generell deutet alles auf eine weite Verbreitung hin, was auch in der Praxis der Fall ist – fast alle modernen Spamfilter sind auf dieser Basis aufgebaut.

Allerdings hat die Methode auch einen grundsätzlichen Nachteil: sie basierend auf Annahmen, Was Einige Wörter kommen häufiger in Spam vor, während andere häufiger in normalen E-Mails vorkommen und ist unwirksam, wenn diese Annahme falsch ist. Wie die Praxis zeigt, kann jedoch selbst ein Mensch solchen Spam nicht „mit dem Auge“ erkennen – nur indem er den Brief liest und seine Bedeutung versteht.

Ein weiterer, nicht grundlegender Nachteil der Implementierung besteht darin, dass die Methode nur mit Text funktioniert. Spammer waren sich dieser Einschränkung bewusst und begannen, Werbeinformationen in das Bild einzufügen, der Text im Brief fehlte jedoch oder war bedeutungslos. Um dem entgegenzuwirken, müssen Sie entweder Texterkennungstools (ein „teures“ Verfahren, das nur dann verwendet wird, wenn es absolut notwendig ist) oder alte Filtermethoden verwenden – „schwarze Listen“ und reguläre Ausdrücke (da solche Buchstaben oft eine stereotype Form haben).

siehe auch

Anmerkungen

Links

Literatur

• Vogel-Kiwi. Der Satz von Reverend Bayes. // Computerra-Magazin, 24. August 2001.
• Paul Graham. Ein Plan gegen Spam (Englisch). // Persönliche Website von Paul Graham.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie, was „Bayes-Formel“ in anderen Wörterbüchern ist:

Eine Formel mit der Form: wobei a1, A2,..., An inkompatible Ereignisse sind. Allgemeines Anwendungsschema von f.v. B.: wenn Ereignis B auf verschiedene Weise auftreten kann Bedingungen, zu denen n Hypothesen A1, A2, ..., An mit vor dem Experiment bekannten Wahrscheinlichkeiten P(A1), ... aufgestellt wurden. Geologische Enzyklopädie

Ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse anhand der bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses unter der Annahme bestimmter Hypothesen sowie der Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen. Formulierung Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und die vollständige Gruppe in Paaren... ... Wikipedia

Ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse anhand der bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses unter der Annahme bestimmter Hypothesen sowie der Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen. Formulierung Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und eine vollständige Gruppe von Ereignissen wie... ... Wikipedia

- (oder Bayes-Formel) ist einer der Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, der es Ihnen ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Ereignis (Hypothese) eingetreten ist, wenn nur indirekte Beweise (Daten) vorliegen, die möglicherweise ungenau sind... Wikipedia

Der Satz von Bayes ist einer der Hauptsätze der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses unter Bedingungen bestimmt, bei denen aufgrund von Beobachtungen nur einige Teilinformationen über Ereignisse bekannt sind. Mit der Bayes-Formel können Sie... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Geburtsdatum: 1702 (1702) Geburtsort ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Geburtsdatum: 1702 Geburtsort: London ... Wikipedia

Die Bayes'sche Inferenz ist eine der Methoden der statistischen Inferenz, bei der die Bayes-Formel verwendet wird, um probabilistische Schätzungen der Wahrheit von Hypothesen zu verfeinern, wenn Beweise vorliegen. Die Verwendung der Bayes'schen Aktualisierung ist besonders wichtig in... ... Wikipedia

Um diesen Artikel zu verbessern, ist es wünschenswert?: Links zu maßgeblichen Quellen, die das Geschriebene bestätigen, finden und in Form von Fußnoten anordnen. Geben Sie nach dem Hinzufügen von Fußnoten genauere Quellenangaben an. Pere... Wikipedia

Werden die Gefangenen sich gegenseitig verraten und ihren egoistischen Interessen folgen, oder werden sie schweigen und so die Gesamtstrafe herabsetzen? Gefangenendilemma

Bücher

• Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik in Problemen: Mehr als 360 Probleme und Übungen, Borzykh D.. Das vorgeschlagene Handbuch enthält Probleme unterschiedlicher Komplexität. Der Schwerpunkt liegt jedoch auf Aufgaben mittlerer Komplexität. Dies geschieht absichtlich, um die Schüler zu ermutigen, ...

Wenn das Ereignis A kann nur passieren, wenn eines der Ereignisse, die sich bilden eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse , dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A nach der Formel berechnet

Diese Formel heißt Gesamtwahrscheinlichkeitsformel .

Betrachten wir noch einmal die gesamte Gruppe inkompatibler Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten . Ereignis A kann nur zusammen mit einem der von uns aufgerufenen Ereignisse stattfinden Hypothesen . Dann gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Wenn das Ereignis A passiert, kann dies die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen verändern .

Nach dem Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

.

Ähnliches gilt für die übrigen Hypothesen

Die resultierende Formel heißt Bayes-Formel (Bayes-Formel ). Die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen werden aufgerufen hintere Wahrscheinlichkeiten , während - A-priori-Wahrscheinlichkeiten .

Beispiel. Der Laden erhielt neue Produkte von drei Fabriken. Die prozentuale Zusammensetzung dieser Produkte ist wie folgt: 20 % – Produkte des ersten Unternehmens, 30 % – Produkte des zweiten Unternehmens, 50 % – Produkte des dritten Unternehmens; Darüber hinaus sind 10 % der Produkte des ersten Unternehmens von höchster Qualität, beim zweiten Unternehmen sind es 5 % und beim dritten Unternehmen sind es 20 % der Produkte höchster Qualität. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gekauftes neues Produkt von höchster Qualität ist.

Lösung. Bezeichnen wir mit IN Das Ereignis, bei dem Produkte höchster Qualität gekauft werden, bezeichnen wir als Ereignisse, die im Kauf von Produkten des ersten, zweiten bzw. dritten Unternehmens bestehen.

Sie können die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel anwenden und in unserer Notation:

Wenn wir diese Werte in die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel einsetzen, erhalten wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

Beispiel. Einer der drei Schützen wird zur Schusslinie gerufen und feuert zwei Schüsse ab. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,3, für den zweiten 0,5; für den dritten - 0,8. Das Ziel wird nicht getroffen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schüsse vom ersten Schützen abgegeben wurden.

Lösung. Drei Hypothesen sind möglich:

Der erste Schütze wird zur Schusslinie gerufen,

Der zweite Schütze wird in die Schusslinie gerufen,

Ein dritter Schütze wird zur Schusslinie gerufen.

Da es also gleichermaßen möglich ist, jeden Schützen in die Schusslinie zu rufen

Als Ergebnis des Experiments wurde Ereignis B beobachtet – nachdem die Schüsse abgefeuert wurden, wurde das Ziel nicht getroffen. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses unter den aufgestellten Hypothesen sind gleich:

Mit der Bayes-Formel ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit der Hypothese nach dem Experiment:

Beispiel. Drei Automaten bearbeiten gleichartige Teile, die nach der Bearbeitung auf ein gemeinsames Förderband übergeben werden. Die erste Maschine erzeugt 2 % der Fehler, die zweite 7 % und die dritte 10 %. Die Produktivität der ersten Maschine ist dreimal höher als die Produktivität der zweiten und die dritte ist zweimal geringer als die zweite.

a) Wie hoch ist die Fehlerquote am Fließband?

b) Wie hoch ist der Anteil der Teile jeder Maschine an den fehlerhaften Teilen auf dem Förderband?

Lösung. Nehmen wir zufällig ein Teil vom Fließband und betrachten Ereignis A – das Teil ist defekt. Damit sind Hypothesen darüber verbunden, wo dieses Teil verarbeitet wurde: - Ein zufällig ausgewähltes Teil wurde auf der Maschine verarbeitet.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten (in der Problemstellung werden sie in Form von Prozentsätzen angegeben):

Die Abhängigkeiten zwischen Maschinenproduktivität bedeuten Folgendes:

Und da die Hypothesen eine vollständige Gruppe bilden, dann .

Nachdem wir das resultierende Gleichungssystem gelöst haben, finden wir: .

a) Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein zufällig vom Fließband entnommenes Teil fehlerhaft ist:

Mit anderen Worten: Unter der Masse der Teile, die vom Band kommen, machen Fehler 4 % aus.

b) Es sei bekannt, dass das zufällig entnommene Teil fehlerhaft sei. Mithilfe der Bayes-Formel ermitteln wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen:

Somit beträgt der Anteil der ersten Maschine an der Gesamtmasse der fehlerhaften Teile auf dem Förderband 33 %, der zweite – 39 %, der dritte – 28 %.

Praktische Aufgaben

Übung 1

Lösung von Problemen in den Hauptzweigen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Ziel ist es, praktische Fähigkeiten zur Lösung von Problemen zu erwerben

Zweige der Wahrscheinlichkeitstheorie

Vorbereitung auf den Praxiseinsatz

Machen Sie sich mit theoretischem Material zu diesem Thema vertraut, studieren Sie den Inhalt des theoretischen Materials sowie die relevanten Abschnitte in literarischen Quellen

Vorgehensweise zum Erledigen der Aufgabe

Lösen Sie 5 Aufgaben entsprechend der in Tabelle 1 angegebenen Nummer der Aufgabenoption.

Optionen für Quelldaten

Tabelle 1

	Aufgabennummer

Verfassen des Berichts zu Aufgabe 1

5 gelöste Probleme entsprechend der Optionsnummer.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1.. Sind die folgenden Gruppen von Ereignissen Fälle: a) Erfahrung – Werfen einer Münze; Veranstaltungen: A1- Aussehen des Wappens; A2- Erscheinen einer Zahl; b) Experiment – ​​zwei Münzen werfen; Veranstaltungen: IN 1- das Erscheinen zweier Wappen; UM 2 - das Erscheinen zweier Zahlen; UM 3- das Erscheinen eines Wappens und einer Nummer; c) Erfahrung – Würfeln; Veranstaltungen: C1 - das Auftreten von nicht mehr als zwei Punkten; C2 - das Erscheinen von drei oder vier Punkten; C3 - Auftreten von mindestens fünf Punkten; d) Erfahrung – Schießen auf ein Ziel; Veranstaltungen: D1- Schlag; D2- vermissen; e) Erfahrung – zwei Schüsse auf ein Ziel; Veranstaltungen: E0- kein einziger Treffer; E1- ein Treffer; E2- zwei Treffer; f) Erfahrung – Entfernen von zwei Karten aus dem Stapel; Veranstaltungen: F1 - das Erscheinen von zwei roten Karten; F2- das Erscheinen zweier schwarzer Karten?

2. In der Urne sind A und B weiß schwarze Kugeln. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.

3. In Urne A weiß und B schwarze Kugeln. Eine Kugel wird aus der Urne genommen und beiseite gelegt. Es stellte sich heraus, dass dieser Ball weiß war. Danach wird eine weitere Kugel aus der Urne genommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball auch weiß sein wird.

4. In Urne A Weiß und B schwarze Kugeln. Eine Kugel wurde aus der Urne genommen und ohne hinzusehen beiseite gelegt. Danach wurde eine weitere Kugel aus der Urne genommen. Es stellte sich heraus, dass er weiß war. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste zur Seite gelegte Ball ebenfalls weiß ist.

5. Aus einer Urne mit A Weiß und B Schwarze Kugeln, nimm alle Kugeln bis auf eine nacheinander heraus. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte in der Urne verbleibende Kugel weiß ist.

6. Aus der Urne, in der A weiße Kugeln und B schwarze, nimm alle Kugeln in einer Reihe heraus. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die weiße Kugel als Zweite gezogen wird.

7. In einer Urne befinden sich A weiße und B schwarze Kugeln (A > 2). Aus der Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.

8. In der Urne sind A und B weiß schwarze Kugeln (A > 2, B > 3). Aus der Urne werden auf einmal fünf Kugeln entnommen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass zwei von ihnen weiß und drei schwarz sein werden.

9. In einem Spiel bestehend aus X Produkte verfügbar ICH defekt. Ausgewählt aus der Charge für Kontrolle I Produkte. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R Welcher von ihnen ist genau J? Produkte werden fehlerhaft sein.

10. Der Würfel wird einmal gewürfelt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A - Auftreten einer geraden Anzahl von Punkten; IN- Erscheinen von mindestens 5 Punkten; MIT- Aussehen nicht mehr als 5 Punkte.

11. Es wird zweimal gewürfelt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass beide Male die gleiche Anzahl an Punkten erscheint.

12. Es werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A- die Summe der gezogenen Punkte beträgt 8; IN- das Produkt der gewürfelten Punkte ist 8; MIT- die Summe der gewürfelten Punkte ist größer als ihr Produkt.

13. Zwei Münzen werden geworfen. Welches der folgenden Ereignisse ist wahrscheinlicher: A - die Münzen liegen auf den gleichen Seiten; IN - Werden die Münzen auf verschiedenen Seiten landen?

14. In Urne A Weiß und B schwarze Kugeln (A > 2; B > 2). Aus der Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher: A- gleichfarbige Kugeln; IN - Kugeln in verschiedenen Farben?

15. Drei Spieler spielen Karten. Jedem von ihnen wurden 10 Karten ausgeteilt und zwei Karten blieben in der Ziehung übrig. Einer der Spieler sieht, dass er 6 Karten mit Karo und 4 Karten ohne Karo auf der Hand hat. Er wirft zwei dieser vier Karten ab und zieht selbst. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Diamanten kauft.

16. Aus einer Urne mit P nummerierte Kugeln, alle darin befindlichen Kugeln werden nach dem Zufallsprinzip herausgenommen, eine nach der anderen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gezogenen Kugeln in der folgenden Reihenfolge ist: 1, 2,..., P.

17. Die gleiche Urne wie in der vorherigen Aufgabe, aber nachdem jede Kugel herausgenommen wurde, wird sie wieder hineingelegt, mit anderen vermischt und ihre Nummer wird notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine natürliche Zahlenfolge geschrieben wird: 1, 2,..., n.

18. Ein komplettes Kartenspiel (52 Blatt) wird nach dem Zufallsprinzip in zwei gleiche Pakete zu je 26 Blatt aufgeteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A - jede Packung enthält zwei Asse; IN- Eines der Pakete enthält kein einziges Ass und das andere nicht alle vier. S-v Eines der Pakete enthält ein Ass und das andere drei.

19. An der Basketballmeisterschaft nehmen 18 Mannschaften teil, aus denen nach dem Zufallsprinzip zwei Gruppen zu je 9 Mannschaften gebildet werden. Unter den Wettbewerbsteilnehmern sind 5 Teams

Extraklasse. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A - alle hochkarätigen Teams werden in derselben Gruppe sein; IN- Zwei hochkarätige Teams fallen in eine der Gruppen und drei - in die andere.

20. Auf neun Karten werden Zahlen geschrieben: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Zwei davon werden zufällig herausgenommen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt, dann wird die resultierende Zahl abgelesen , zum Beispiel 07 (sieben), 14 (vierzehn) usw. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gerade ist.

21. Auf fünf Karten stehen die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5. Zwei davon werden nacheinander herausgenommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der zweiten Karte größer ist als die Zahl auf der ersten.

22. Dieselbe Frage wie in Aufgabe 21, aber nachdem die erste Karte herausgenommen wurde, wird sie zurückgelegt, mit den anderen gemischt und die Zahl darauf wird notiert.

23. In Urne A weiß, B schwarze und rote Kugeln. Alle darin befindlichen Kugeln werden einzeln aus der Urne genommen und ihre Farben werden notiert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Weiß in dieser Liste vor Schwarz erscheint.

24. Es gibt zwei Urnen: in der ersten A Weiß und B schwarze Kugeln; im zweiten C Weiß und D Schwarz. Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.

25. Bestimmen Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 24 die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben haben.

26. In der Revolvertrommel gibt es sieben Schlitze, fünf davon enthalten Patronen und zwei bleiben leer. Die Trommel wird gedreht, wodurch eines der Nester zufällig am Stamm erscheint. Danach wird der Auslöser gedrückt; War die Zelle leer, erfolgt der Schuss nicht. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R die Tatsache, dass wir, nachdem wir dieses Experiment zweimal hintereinander wiederholt haben, nicht beide Male schießen werden.

27. Bestimmen Sie unter den gleichen Bedingungen (siehe Aufgabe 26) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schuss beide Male auftritt.

28. Die Urne enthält A; Bälle mit den Nummern 1, 2, ..., Zu Aus der Urne ICH Es wird jeweils ein Ball herausgenommen (ICH<к), Die Ballnummer wird notiert und der Ball zurück in die Urne gelegt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass alle aufgezeichneten Nummern unterschiedlich sein werden.

29. Das Wort „Buch“ besteht aus fünf Buchstaben des geteilten Alphabets. Ein Kind, das nicht lesen kann, hat diese Buchstaben verstreut und sie dann in zufälliger Reihenfolge eingesammelt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass er wieder auf das Wort „Buch“ kam.

30. Das Wort „Ananas“ besteht aus den Buchstaben des geteilten Alphabets. Ein Kind, das nicht lesen kann, hat diese Buchstaben verstreut und sie dann in zufälliger Reihenfolge eingesammelt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass er wieder das Wort „Ananas“ hat

31. Aus einem vollen Kartenspiel (52 Blatt, 4 Farben) werden mehrere Karten gezogen. Wie viele Karten müssen herausgenommen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0,50 zu sagen, dass sich darunter Karten derselben Farbe befinden?

32. N Menschen sitzen zufällig an einem runden Tisch (N> 2). Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass zwei feste Personen A Und IN wird in der Nähe sein.

33. Das gleiche Problem (siehe 32), aber der Tisch ist rechteckig und N Menschen sitzen wahllos an einer seiner Seiten.

34. Lottofässer haben Zahlen von 1 bis N. Von diesen N Zwei Fässer werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Fässer Zahlen kleiner als k enthalten (2

35. Lottofässer haben Zahlen von 1 bis N. Von diesen N Zwei Fässer werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Fässer eine Zahl größer als k enthält , und andererseits - weniger als k . (2

36. Batterie von M Schüsse schießen auf eine Gruppe bestehend aus N Ziele (M< N). Die Geschütze wählen ihre Ziele nacheinander und zufällig aus, vorausgesetzt, dass nicht zwei Geschütze auf dasselbe Ziel schießen können. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit R dass auf Ziele mit den Nummern 1, 2,... geschossen wird M.

37.. Batterie bestehend aus Zu Waffen, Feuer auf eine Gruppe bestehend aus ICH Flugzeug (Zu< 2). Jede Waffe wählt ihr Ziel zufällig und unabhängig von den anderen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alles Zu Waffen werden auf dasselbe Ziel schießen.

38. Bestimmen Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems die Wahrscheinlichkeit, dass alle Geschütze auf unterschiedliche Ziele schießen.

39. Vier Bälle werden zufällig über vier Löcher verteilt; Jeder Ball fällt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen in das eine oder andere Loch (es gibt keine Hindernisse dafür, dass mehrere Bälle in dasselbe Loch fallen). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem der Löcher drei Bälle befinden, im anderen einer und in den anderen beiden Löchern keine Bälle.

40. Mascha hat sich mit Petja gestritten und will nicht mit ihm im selben Bus fahren. Von 19:00 bis 20:00 Uhr verkehren 5 Busse vom Hostel zum Institut. Wer diese Busse nicht erwischt, kommt zu spät zur Vorlesung. Auf wie viele Arten können Mascha und Petja mit verschiedenen Bussen zum Institut gelangen, ohne zu spät zur Vorlesung zu kommen?

41. Die Informationstechnologieabteilung der Bank beschäftigt 3 Analysten, 10 Programmierer und 20 Ingenieure. Für Überstunden an Feiertagen muss der Abteilungsleiter einen Mitarbeiter einsetzen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

42. Der Leiter des Sicherheitsdienstes der Bank muss täglich 10 Wachen an 10 Posten aufstellen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

43. Der neue Präsident der Bank muss aus zehn Direktoren zwei neue Vizepräsidenten ernennen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

44. Eine der Kriegsparteien nahm 12 und die andere 15 Gefangene gefangen. Auf wie viele Arten können 7 Kriegsgefangene ausgetauscht werden?

45. Petya und Masha sammeln Video-Discs. Petya hat 30 Komödien, 80 Actionfilme und 7 Melodramen, Masha hat 20 Komödien, 5 Actionfilme und 90 Melodramen. Auf wie viele Arten können Petja und Mascha drei Komödien, zwei Actionfilme und ein Melodram austauschen?

46. ​​​​Auf wie viele Arten können Petja und Mascha unter den Bedingungen von Problem 45 3 Melodramen und 5 Komödien austauschen?

47. Auf wie viele Arten können Petja und Mascha unter den Bedingungen von Problem 45 zwei Actionfilme und sieben Komödien austauschen?

48. Eine der Kriegsparteien nahm 15 und die andere 16 Gefangene gefangen. Auf wie viele Arten können 5 Kriegsgefangene ausgetauscht werden?

49. Wie viele Autos können in einer Stadt zugelassen werden, wenn die Nummer aus 3 Zahlen und 3 Buchstaben besteht (nur diejenigen, deren Schreibweise mit den lateinischen übereinstimmt - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, U, X )?

50. Eine der Kriegsparteien nahm 14 und die andere 17 Gefangene gefangen. Auf wie viele Arten können 6 Kriegsgefangene ausgetauscht werden?

51. Wie viele verschiedene Wörter können Sie bilden, indem Sie die Buchstaben im Wort „Mutter“ neu anordnen?

52. In einem Korb liegen 3 rote und 7 grüne Äpfel. Ein Apfel wird herausgenommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es rot sein wird.

53. In einem Korb liegen 3 rote und 7 grüne Äpfel. Ein grüner Apfel wurde herausgenommen und beiseite gelegt. Dann wird noch 1 Apfel aus dem Korb genommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Apfel grün ist?

54. Von einer Charge von 1000 Produkten sind 4 defekt. Zur Kontrolle wird eine Charge von 100 Produkten ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von LLP, dass die Kontrollcharge keine fehlerhaften Chargen enthält?

56. In den 80er Jahren war das Spiel „Sportloto 5 aus 36“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte auf einer Karte 5 Zahlen von 1 bis 36 und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler keine einzige Zahl erraten hat.

57. In den 80er Jahren war das Spiel „Sport Loto 5 aus 36“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte auf einer Karte 5 Zahlen von 1 bis 36 und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler eine Zahl erraten hat.

58. In den 80er Jahren war das Spiel „Sportloto 5 aus 36“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte auf einer Karte 5 Zahlen von 1 bis 36 und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler drei Zahlen erraten hat.

59. In den 80er Jahren war das Spiel „Sportloto 5 aus 36“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte auf einer Karte 5 Zahlen von 1 bis 36 und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler nicht alle 5 Zahlen richtig getippt hat.

60. In den 80er Jahren war das Spiel „Sport Loto 6 aus 49“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte 6 Zahlen von 1 bis 49 auf einer Karte und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler zwei Zahlen erraten hat.

61. In den 80er Jahren war das Spiel „Sport Loto 6 aus 49“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte 6 Zahlen von 1 bis 49 auf einer Karte und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler keine einzige Zahl erraten hat.

62. In den 80er Jahren war das Spiel „Sportloto 6 aus 49“ in der UdSSR beliebt. Der Spieler markierte 6 Zahlen von 1 bis 49 auf einer Karte und erhielt Preise in verschiedenen Nennwerten, wenn er eine andere, von der Ziehungskommission bekannt gegebene Zahlenzahl erriet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle 6 Zahlen erraten hat.

63. Von einer Charge von 1000 Produkten sind 4 defekt. Zur Kontrolle wird eine Charge von 100 Produkten ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von LLP, dass die Kontrollcharge nur eine defekte Charge enthält?

64. Wie viele verschiedene Wörter können Sie bilden, indem Sie die Buchstaben im Wort „Buch“ neu anordnen?

65. Wie viele verschiedene Wörter können Sie bilden, indem Sie die Buchstaben im Wort „Ananas“ neu anordnen?

66. 6 Personen betraten den Aufzug und das Hostel hat 7 Etagen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Personen auf derselben Etage aussteigen?

67. 6 Personen betraten den Aufzug, das Gebäude hat 7 Stockwerke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Personen auf unterschiedlichen Etagen aussteigen?

68. Während eines Gewitters brach im Abschnitt zwischen 40 und 79 km der Stromleitung ein Draht. Unter der Annahme, dass ein Bruch an jedem Punkt gleichermaßen möglich ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Bruch zwischen dem 40. und 45. Kilometer aufgetreten ist.

69. Auf einem 200 Kilometer langen Abschnitt der Gaspipeline kommt es zwischen den Kompressorstationen A und B zu einem Gasleck, das an jeder Stelle der Pipeline gleichermaßen möglich ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leck nicht weiter als 20 km von A entfernt auftritt?

70. Auf einem 200 Kilometer langen Abschnitt der Gaspipeline kommt es zwischen den Kompressorstationen A und B zu einem Gasleck, das an jeder Stelle der Pipeline gleichermaßen möglich ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leck näher an A als an B auftritt?

71. Das Radar des Verkehrspolizeiinspektors hat eine Genauigkeit von 10 km/h und rundet in die nächstgelegene Richtung. Was passiert häufiger – Rundung zugunsten des Fahrers oder des Kontrolleurs?

72. Mascha verbringt 40 bis 50 Minuten auf dem Weg zum Institut, und jede Zeit in diesem Zeitraum ist ebenso wahrscheinlich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 45 bis 50 Minuten unterwegs ist?

73. Petja und Mascha vereinbarten, sich zwischen 12 und 13 Uhr am Puschkin-Denkmal zu treffen, aber niemand konnte die genaue Ankunftszeit angeben. Sie einigten sich darauf, 15 Minuten aufeinander zu warten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ihres Treffens?

74. Die Fischer fingen im Teich 120 Fische, 10 davon waren beringt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen beringten Fisch zu fangen?

75. Aus einem Korb mit 3 roten und 7 grünen Äpfeln werden alle Äpfel einzeln entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 2. Apfel rot ist?

76. Aus einem Korb mit 3 roten und 7 grünen Äpfeln werden alle Äpfel einzeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Apfel grün ist?

77. Studenten glauben, dass von 50 Tickets 10 „gut“ sind. Petja und Mascha ziehen abwechselnd jeweils ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha ein „gutes“ Ticket bekommen hat?

78. Studenten glauben, dass von 50 Tickets 10 „gut“ sind. Petja und Mascha ziehen abwechselnd jeweils ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide ein „gutes“ Ticket bekommen haben?

79. Masha kam zur Prüfung und kannte die Antworten auf 20 von 25 Fragen des Programms. Der Professor stellt 3 Fragen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha drei Fragen beantwortet?

80. Mascha kam zur Prüfung und kannte die Antworten auf 20 von 25 Fragen des Programms. Der Professor stellt 3 Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha keine Fragen beantwortet?

81. Masha kam zur Prüfung und kannte die Antworten auf 20 von 25 Fragen des Programms. Der Professor stellt 3 Fragen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha eine Frage beantwortet?

82. Die Statistik der Kreditanfragen bei der Bank sieht wie folgt aus: 10 % - Staat. Behörden, 20 % - andere Banken, der Rest - Privatpersonen. Die Wahrscheinlichkeit der Nichtrückzahlung von Krediten beträgt 0,01, 0,05 bzw. 0,2. Wie viel Prozent der Kredite werden nicht zurückgezahlt?

83. Die Wahrscheinlichkeit, dass der wöchentliche Umsatz eines Eishändlers 2000 Rubel übersteigt. beträgt 80 % bei klarem Wetter, 50 % bei teilweise bewölktem Wetter und 10 % bei Regenwetter. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Umsatz 2000 Rubel übersteigt? wenn die Wahrscheinlichkeit klaren Wetters 20 % und teilweise bewölkt und regnerisch jeweils 40 % beträgt.

84. In Urne A gibt es Weiß (b) und B schwarze (h) Kugeln. Zwei Kugeln werden (gleichzeitig oder nacheinander) aus der Urne gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.

85. In Urne A Weiß und B

86. In Wahlurne A Weiß und B

87. In Wahlurne A Weiß und B schwarze Kugeln. Eine Kugel wird aus der Urne genommen, ihre Farbe wird notiert und die Kugel wird in die Urne zurückgelegt. Danach wird eine weitere Kugel aus der Urne genommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugeln unterschiedliche Farben haben.

88. Es gibt eine Schachtel mit neun neuen Tennisbällen. Um zu spielen, nehmen Sie drei Bälle; Nach dem Spiel werden sie zurückgelegt. Bei der Auswahl der Bälle wird nicht zwischen gespielten Bällen und nicht gespielten Bällen unterschieden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach drei Spielen keine unbespielten Bälle mehr im Strafraum liegen?

89. Die Wohnung verlassen, N Jeder Gast trägt seine eigenen Galoschen.

90. Die Wohnung verlassen, N Gäste mit gleichen Schuhgrößen tragen im Dunkeln Galoschen. Jeder von ihnen kann die rechte Galosche von der linken unterscheiden, aber nicht seine eigene von der eines anderen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür Jeder Gast trägt Galoschen, die zum selben Paar gehören (vielleicht nicht seine eigenen).

91. Ermitteln Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 90 die Wahrscheinlichkeit, dass jeder in seinen Galoschen abreist Wenn die Gäste die rechten Galoschen nicht von den linken unterscheiden können, nehmen sie einfach die ersten beiden Galoschen, auf die sie stoßen.

92. Es wird auf ein Flugzeug geschossen, dessen gefährdete Teile zwei Triebwerke und das Cockpit sind. Um ein Flugzeug zu treffen (unschädlich zu machen), reicht es aus, beide Triebwerke zusammen oder das Cockpit zu treffen. Unter diesen Zündbedingungen ist die Wahrscheinlichkeit, das erste Triebwerk zu treffen, gleich p1 zweiter Motor p2, Cockpit p3. Flugzeugteile sind unabhängig voneinander betroffen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug getroffen wird.

93. Zwei Schützen geben unabhängig voneinander zwei Schüsse ab (jeder auf sein eigenes Ziel). Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss für den ersten Schützen zu treffen p1 zum zweiten p2. Der Gewinner des Wettbewerbs ist der Schütze, dessen Ziel die meisten Löcher hat. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit Rx dass der erste Schütze gewinnt.

94. Hinter einem Weltraumobjekt wird das Objekt mit Wahrscheinlichkeit erkannt R. Die Objekterkennung erfolgt in jedem Zyklus unabhängig von den anderen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass wann P Zyklen wird das Objekt erkannt.

95. 32 Buchstaben des russischen Alphabets sind auf ausgeschnittenen Alphabetkarten geschrieben. Fünf Karten werden nacheinander zufällig gezogen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Ende“ erscheint.

96. Zwei Kugeln werden zufällig und unabhängig voneinander in vier Felder gestreut, die in einer geraden Linie hintereinander liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball in jedem Feld landet, ist gleich 1/4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln in benachbarte Zellen fallen.

97. Mit Brandgranaten wird Feuer auf das Flugzeug abgefeuert. Der Treibstoff des Flugzeugs ist in vier hintereinander angeordneten Tanks im Rumpf konzentriert. Die Flächen der Tanks sind gleich. Um das Flugzeug in Brand zu setzen, reicht es aus, zwei Granaten entweder im selben Panzer oder in benachbarten Panzern zu treffen. Es ist bekannt, dass zwei Granaten den Panzerbereich getroffen haben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug Feuer fängt.

98. Aus einem vollen Kartenspiel (52 Blatt) werden vier Karten auf einmal entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier dieser Karten unterschiedliche Farben haben.

99. Aus einem vollen Kartenspiel (52 Blatt) werden vier Karten auf einmal entnommen, aber jede Karte wird nach der Entnahme wieder in das Kartenspiel zurückgelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier dieser Karten unterschiedliche Farben haben.

100. Beim Einschalten der Zündung beginnt der Motor mit Wahrscheinlichkeit zu laufen R.

101. Das Gerät kann in zwei Modi betrieben werden: 1) normal und 2) abnormal. Der Normalmodus wird in 80 % aller Gerätebetriebsfälle beobachtet; abnormal - in 20 %. Wahrscheinlichkeit eines Geräteausfalls im Laufe der Zeit T im Normalmodus beträgt er 0,1; in anormal - 0,7. Finden Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit R Ausfall des Gerätes.

102. Ein Geschäft erhält Waren von 3 Lieferanten: 55 % vom 1., 20 vom 2. und 25 % vom 3. Lieferanten. Die Mängelquote beträgt 5, 6 bzw. 8 Prozent. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gekaufte fehlerhafte Produkt von einem zweiten Lieferanten stammt?

103. Der Pkw-Strom an Tankstellen vorbei besteht zu 60 % aus Lkw und zu 40 % aus Pkw. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein LKW an einer Tankstelle steht, wenn die Wahrscheinlichkeit, ihn zu tanken, 0,1 und die Wahrscheinlichkeit eines Pkw 0,3 beträgt?

104. Der Pkw-Strom an Tankstellen vorbei besteht zu 60 % aus Lkw und zu 40 % aus Pkw. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein LKW an einer Tankstelle steht, wenn die Wahrscheinlichkeit, ihn zu tanken, 0,1 und die Wahrscheinlichkeit eines Pkw 0,3 beträgt?

105. Ein Geschäft erhält Waren von 3 Lieferanten: 55 % vom 1., 20 vom 2. und 25 % vom 3. Lieferanten. Die Mängelquote beträgt 5, 6 bzw. 8 Prozent. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gekaufte defekte Produkt vom Erstlieferanten stammt?

106. 32 Buchstaben des russischen Alphabets sind auf ausgeschnittenen Alphabetkarten geschrieben. Fünf Karten werden nacheinander zufällig gezogen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Buch“ vorkommt.

107. Ein Geschäft erhält Waren von 3 Lieferanten: 55 % vom 1., 20 vom 2. und 25 % vom 3. Lieferanten. Die Mängelquote beträgt 5, 6 bzw. 8 Prozent. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gekaufte defekte Produkt vom Erstlieferanten stammt?

108. Zwei Kugeln werden zufällig und unabhängig voneinander in vier Felder gestreut, die in einer geraden Linie hintereinander liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball in jedem Feld landet, ist gleich 1/4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kugeln in eine Zelle fallen

109. Beim Einschalten der Zündung beginnt der Motor mit Wahrscheinlichkeit zu laufen R. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor beim zweiten Einschalten der Zündung anspringt.

110. Mit Brandgranaten wird Feuer auf das Flugzeug abgefeuert. Der Treibstoff des Flugzeugs ist in vier hintereinander angeordneten Tanks im Rumpf konzentriert. Die Flächen der Tanks sind gleich. Um das Flugzeug in Brand zu setzen, reicht es aus, zwei Granaten in denselben Panzer zu treffen. Es ist bekannt, dass zwei Granaten den Panzerbereich getroffen haben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug Feuer fängt

111. Mit Brandgranaten wird Feuer auf das Flugzeug abgefeuert. Der Treibstoff des Flugzeugs ist in vier hintereinander angeordneten Tanks im Rumpf konzentriert. Die Flächen der Tanks sind gleich. Um das Flugzeug in Brand zu setzen, genügt es, die angrenzenden Panzer mit zwei Granaten zu treffen. Es ist bekannt, dass zwei Granaten den Panzerbereich getroffen haben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug Feuer fängt

112.In Urne A Weiß und B schwarze Kugeln. Eine Kugel wird aus der Urne genommen, ihre Farbe wird notiert und die Kugel wird in die Urne zurückgelegt. Danach wird eine weitere Kugel aus der Urne genommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln weiß sind.

113. In Wahlurne A Weiß und B schwarze Kugeln. Aus der Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugeln unterschiedliche Farben haben.

114. Zwei Kugeln werden zufällig und unabhängig voneinander in vier Felder gestreut, die in einer geraden Linie hintereinander liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Ball in jedem Feld landet, ist gleich 1/4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln in benachbarte Zellen fallen.

115. Mascha kam zur Prüfung und kannte die Antworten auf 20 von 25 Fragen des Programms. Der Professor stellt 3 Fragen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mascha zwei Fragen beantwortet?

116. Studenten glauben, dass von 50 Tickets 10 „gut“ sind. Petja und Mascha ziehen abwechselnd jeweils ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide ein „gutes“ Ticket bekommen haben?

117. Die Statistik der Kreditanfragen bei der Bank sieht wie folgt aus: 10 % - Staat. Behörden, 20 % - andere Banken, der Rest - Privatpersonen. Die Wahrscheinlichkeit der Nichtrückzahlung von Krediten beträgt 0,01, 0,05 bzw. 0,2. Wie viel Prozent der Kredite werden nicht zurückgezahlt?

118. 32 Buchstaben des russischen Alphabets sind auf ausgeschnittenen Alphabetkarten geschrieben. Fünf Karten werden nacheinander zufällig gezogen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Ende“ erscheint.

119 Statistiken zu Kreditanfragen bei der Bank lauten wie folgt: 10 % – Staat. Behörden, 20 % - andere Banken, der Rest - Privatpersonen. Die Wahrscheinlichkeit der Nichtrückzahlung von Krediten beträgt 0,01, 0,05 bzw. 0,2. Wie viel Prozent der Kredite werden nicht zurückgezahlt?

120. Die Wahrscheinlichkeit, dass der wöchentliche Umsatz eines Eishändlers 2000 Rubel übersteigt. beträgt 80 % bei klarem Wetter, 50 % bei teilweise bewölktem Wetter und 10 % bei Regenwetter. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Umsatz 2000 Rubel übersteigt? wenn die Wahrscheinlichkeit klaren Wetters 20 % und teilweise bewölkt und regnerisch jeweils 40 % beträgt.

Sibirische Staatliche Universität für Telekommunikation und Informatik

Abteilung für Höhere Mathematik

in der Disziplin: „Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik“

„Die Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes (Bayes) und ihre Anwendung“

Vollendet:

Leiter: Professor B.P. Zelentsov

Nowosibirsk, 2010

Einleitung 3

1. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel 4-5

2. Bayes-Formel (Bayes) 5-6

3. Probleme mit Lösungen 7-11

4. Die Hauptanwendungsgebiete der Bayes-Formel (Bayes) 11

Fazit 12

Literatur 13

Einführung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist einer der klassischen Zweige der Mathematik. Es hat eine lange Geschichte. Die Grundlagen dieses Wissenschaftszweiges wurden von großen Mathematikern gelegt. Ich nenne zum Beispiel Fermat, Bernoulli, Pascal.
Später wurde die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie in den Arbeiten vieler Wissenschaftler bestimmt.
Wissenschaftler aus unserem Land haben einen großen Beitrag zur Wahrscheinlichkeitstheorie geleistet:
P.L.Chebyshev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorov. Wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Methoden sind inzwischen tief in die Anwendungen eingedrungen. Sie werden in der Physik, Technik, Wirtschaft, Biologie und Medizin eingesetzt. Ihre Rolle hat insbesondere im Zusammenhang mit der Entwicklung der Computertechnologie zugenommen.

Um beispielsweise physikalische Phänomene zu untersuchen, werden Beobachtungen oder Experimente durchgeführt. Ihre Ergebnisse werden normalerweise in Form von Werten einiger beobachtbarer Größen aufgezeichnet. Bei der Wiederholung von Experimenten stellen wir eine Streuung ihrer Ergebnisse fest. Durch wiederholte Messungen derselben Menge mit demselben Gerät unter Einhaltung bestimmter Bedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit usw.) erhalten wir beispielsweise Ergebnisse, die sich zumindest geringfügig voneinander unterscheiden. Selbst wiederholte Messungen ermöglichen keine genaue Vorhersage des Ergebnisses der nächsten Messung. In diesem Sinne sagt man, dass das Ergebnis einer Messung eine Zufallsvariable ist. Ein noch offensichtlicheres Beispiel für eine Zufallsvariable ist die Nummer eines Gewinnloses in einer Lotterie. Es können viele weitere Beispiele für Zufallsvariablen angegeben werden. Dennoch zeigen sich in der Welt des Zufalls bestimmte Muster. Der mathematische Apparat zur Untersuchung solcher Muster wird durch die Wahrscheinlichkeitstheorie bereitgestellt.
Somit befasst sich die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der mathematischen Analyse von Zufallsereignissen und zugehörigen Zufallsvariablen.

1. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel.

Lass es eine Gruppe von Ereignissen geben H 1 ,H 2 ,..., Hn, mit den folgenden Eigenschaften:

1) Alle Ereignisse sind paarweise inkompatibel: Hallo

Hj =Æ; ich , J =1,2,...,N ; ich ¹ J ;

2) ihre Vereinigung bildet den Raum elementarer Ergebnisse W:

.

Abb.8

In diesem Fall werden wir das sagen H 1 , H 2 ,...,Hn bilden vollständige Veranstaltungsgruppe. Solche Ereignisse werden manchmal aufgerufen Hypothesen .

Lassen A- irgendein Ereignis: AÌW (Venn-Diagramm ist in Abbildung 8 dargestellt). Dann hält es Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /Hn)P (Hn) =

Nachweisen. Offensichtlich: A=

, und alle Ereignisse ( ich = 1,2,...,N) sind paarweise inkonsistent. Von hier aus erhalten wir unter Verwendung des Additionssatzes der Wahrscheinlichkeiten

P (A) = P (

) + P () +...+ P (

Wenn wir das durch den Multiplikationssatz berücksichtigen P (

) = P (AH ich) P (H ich) ( ich = 1,2,...,N), dann ist es aus der letzten Formel leicht, die obige Gesamtwahrscheinlichkeitsformel zu erhalten.

Beispiel. Das Geschäft verkauft elektrische Lampen, die von drei Fabriken hergestellt werden, wobei der Anteil der ersten Fabrik 30 %, der zweiten 50 % und der dritten 20 % beträgt. Die Fehlerquote ihrer Produkte liegt bei 5 %, 3 % bzw. 2 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig in einem Geschäft ausgewählte Lampe defekt ist?

Lassen Sie die Veranstaltung H 1 ist, dass die ausgewählte Lampe in der ersten Fabrik hergestellt wird, H 2 auf der zweiten, H 3 - im dritten Werk. Offensichtlich:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Lassen Sie die Veranstaltung A ist, dass sich herausstellte, dass die ausgewählte Lampe defekt war; A/H ich bezeichnet den Fall, dass aus den produzierten Lampen eine defekte Lampe ausgewählt wird ich-te Pflanze. Aus der Problemstellung folgt:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

Mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel erhalten wir

2. Bayes-Formel (Bayes)

Lassen H 1 ,H 2 ,...,Hn- eine komplette Veranstaltungsgruppe und AМ W ist ein Ereignis. Dann gemäß der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

(1)

Hier P (Hk /A) – bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (Hypothese) Hk oder die Wahrscheinlichkeit, dass Hk wird umgesetzt, sofern die Veranstaltung A passiert.

Nach dem Wahrsckann der Zähler der Formel (1) dargestellt werden als

P = P = P (A /Hk)P (Hk)

Um den Nenner der Formel (1) darzustellen, können Sie die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verwenden

P (A)

Aus (1) können wir nun eine Formel namens erhalten Bayes-Formel :

Die Bayes-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr wird Hk vorausgesetzt, dass die Veranstaltung A passiert. Die Bayes-Formel wird auch genannt Formel für die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen. Wahrscheinlichkeit P (Hk) wird als A-priori-Wahrscheinlichkeit der Hypothese bezeichnet Hk und die Wahrscheinlichkeit P (Hk /A) – A-posteriori-Wahrscheinlichkeit.

Satz. Die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese nach dem Test ist gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit der Hypothese vor dem Test und der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit des während des Tests aufgetretenen Ereignisses geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.

Beispiel. Betrachten wir das obige Problem bezüglich elektrischer Lampen, ändern Sie einfach die Frage des Problems. Angenommen, ein Kunde kaufte in diesem Geschäft eine elektrische Lampe und es stellte sich heraus, dass sie defekt war. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Lampe im zweiten Werk hergestellt wurde. Größe P (H 2) = 0,5 ist in diesem Fall die a priori Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die gekaufte Lampe im zweiten Werk hergestellt wurde. Nachdem wir die Information erhalten haben, dass die gekaufte Lampe defekt ist, können wir unsere Einschätzung der Möglichkeit, diese Lampe im zweiten Werk herzustellen, korrigieren, indem wir die spätere Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnen.

Typ