Untersuchung des einfachsten Schwingungssystems. Oszillierende Bewegung
Schwingungssysteme
Systeme, in denen infolge einer Verletzung des Gleichgewichtszustandes Eigenschwingungen angeregt werden können. Oszillatorische Systeme werden in konservativ (kein Energieverlust – Idealisierung), dissipativ (Schwingungen werden durch Energieverluste gedämpft, z. B. Pendel, Schwingkreis) und aktiv unterteilt, zu denen auch selbstoszillierende Systeme gehören (Energieverluste werden durch eine Energiequelle, z. B. Generatoren, ausgeglichen). elektrische Schwingungen). Schwingungssysteme unterscheiden sich auch durch die Anzahl der Freiheitsgrade.
Oszillatorische Systeme
physikalische Systeme, bei denen infolge einer Verletzung des Gleichgewichtszustandes aufgrund der Eigenschaften des Systems selbst Eigenschwingungen entstehen.
Von der Energieseite von K. s. werden unterteilt in: konservative Systeme, in denen keine Energieverluste auftreten bzw. die mit hinreichender Genauigkeit als frei von solchen Verlusten angesehen werden können (mechanische Systeme ohne Reibung und ohne Strahlung elastischer Wellen; elektromagnetische Systeme ohne Widerstand und ohne Strahlung elektromagnetischer Wellen). Wellen); dissipative Systeme, bei denen die zunächst zugeführte Energie während des Schwingungsvorgangs nicht konstant bleibt, sondern für Arbeit aufgewendet wird, wodurch die Schwingungen abklingen; selbstoszillierende Systeme, bei denen nicht nur Energieverlust auftritt, sondern auch deren Wiederauffüllung aufgrund der im System verfügbaren konstanten Energiequellen (siehe Selbstoszillationen).
Im allgemeinen Fall sind die Parameter von K. s. (Masse, Kapazität, Elastizität usw.) hängen von den in ihnen ablaufenden Prozessen ab. Solche K. s. werden durch nichtlineare Gleichungen beschrieben und gehören zur Klasse der nichtlinearen Systeme. C.-Systeme, deren Parameter mit ausreichender Genauigkeit unabhängig von den in ihnen ablaufenden Prozessen betrachtet und durch lineare Gleichungen beschrieben werden können, werden als linear bezeichnet. Das Hauptmerkmal des linearen K. s. ist die Umsetzung des Superpositionsprinzips. Dadurch ist es möglich, Schwingungen im System als Summe von Schwingungen einer bestimmten Art darzustellen.
K. s. Sie unterscheiden sich auch in der Anzahl der Freiheitsgrade, also in der Anzahl unabhängiger Parameter (verallgemeinerte Koordinaten, die den Zustand des Systems bestimmen). Wenn die Anzahl N solcher Parameter endlich ist, dann ist K. s. heißen diskret mit N Freiheitsgraden. Der Grenzfall für N ╝ ¥ bilden die sogenannten verteilten kosmischen Systeme. (Strang, Membran, Elektrokabel, feste volumetrische Systeme usw.). Allgemeine Eigenschaften von K. s. und die allgemeinen Gesetze der in ihnen ablaufenden Prozesse bilden den Gegenstand der Schwingungstheorie.
Schwingungssysteme dienen dazu, elektrische Schwingungen zu erzeugen, diese zu verstärken, elektromagnetische Energie in den Raum abzustrahlen und bei Empfang Schwingungen einer bestimmten Frequenz auszulösen.
In funktechnischen Geräten wird als solches System ein Schwingkreis verwendet, bei dem es sich um einen geschlossenen Stromkreis handelt, der aus einem Kondensator C und einer Induktivität L besteht.
Betrachten wir den Betrieb eines idealen Schwingkreises, also eines Stromkreises, in dem es keine Energieverluste gibt.
Wenn die Schaltung (Abb. a) an eine Gleichstromquelle angeschlossen wird, wird der Kondensator C aufgeladen. Nach einiger Zeit erreicht die Spannung an seinen Platten ihr Maximum U max, gleich der Spannung an den Anschlüssen der Stromquelle. Gleichzeitig die ganze Energie E=C U 2 max: 2, Es stellt sich heraus, dass die von der Schaltung gespeicherte Energie im elektrischen Feld des Kondensators konzentriert ist.
Wenn der Schwingkreis von der Stromquelle getrennt wird, wird der Kondensator entladen. Im Stromkreis entsteht ein Entladestrom i und um die Windungen der Induktivität L entsteht ein Magnetfeld (Abb. b). Der Kondensatorentladungsprozess erfolgt aufgrund des Auftretens der selbstinduktiven EMK der Spule nicht sofort. Je größer die Induktivität der Spule und die Kapazität des Kondensators sind, desto länger dauert die Entladung. Nach einiger Zeit ist der Kondensator vollständig entladen, die Spannung an ihm wird Null und der Strom in der Spule erreicht seinen Maximalwert. Im Magnetfeld der Spule wird Energie gespeichert Em = L I 2 max: 2.
Der Prozess der Erzeugung elektrischer Schwingungen
Dadurch wird die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators in die Energie des magnetischen Feldes der Induktivität umgewandelt.
Anschließend beginnt der Entladestrom, nachdem er seinen Maximalwert erreicht hat, abzunehmen. In diesem Fall entsteht eine EMK der Selbstinduktion in die entgegengesetzte Richtung, die verhindert, dass der Strom abnimmt. Unter dem Einfluss dieser EMF wird der Kondensator aufgeladen. Nach einiger Zeit stoppt der Ladestrom vollständig, die Spannung am Kondensator wird maximal, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen (Abb. c). Danach beginnt sich der Kondensator wieder zu entladen, der Strom durch die Spule fließt jedoch in die entgegengesetzte Richtung (Abb. d).
Schwingungen, die in einem Stromkreis ohne kontinuierliche Einwirkung einer Quelle alternierender EMF auftreten, werden als freie oder natürliche Schwingungen bezeichnet. Ihre Periode T 0 (s) und Frequenz f 0 (Hz) hängen von der Größe der Induktivität L (Hz) der Spule und der Kapazität C (F) des Kondensators ab:
Prozesse in einem idealen Stromkreis zeigen, dass freie elektrische Schwingungen harmonisch sind und einen ungedämpften Charakter haben. Da ein realer Stromkreis über einen aktiven Verlustwiderstand R verfügt, sterben freie Schwingungen darin mit der Zeit ab. Die Güte des Stromkreises wird durch den Gütefaktor Q charakterisiert, der angibt, wie oft der Wellenwiderstand (charakteristischer Widerstand) des Stromkreises größer als der Verlustwiderstand R ist.
Je höher die Güte, desto weniger freie Schwingungen im Stromkreis werden gedämpft. Es ist üblich, Schaltungen als gut zu betrachten, wenn der Qualitätsfaktor 100 übersteigt. Bei schlechten Schaltungen liegt der Qualitätsfaktor unter 20.
Für das Vorhandensein ungedämpfter Schwingungen in einem realen Stromkreis ist es notwendig, den Energieverbrauch für Verluste im Stromkreis durch eine externe Quelle alternierender EMF auszugleichen. Schwingungen, die in einem Stromkreis unter ständigem Einfluss einer Wechsel-EMF-Quelle auftreten, werden als erzwungen bezeichnet. Wenn die Frequenz der erzwungenen Schwingungen mit der Frequenz der freien Schwingungen des Stromkreises übereinstimmt, tritt darin das Phänomen der elektrischen Resonanz auf. Es ist gekennzeichnet durch das Auftreten ungedämpfter elektrischer Schwingungen im Stromkreis mit unbedeutendem Energieverbrauch aus der Stromquelle, der nur zur Deckung von Verlusten am aktiven Widerstand des Stromkreises erforderlich ist
Serienschwingkreis:
elektrischer Schaltplan; b - Vektordiagramm der Spannungen; c – Diagramm der Änderungen der Reaktanz als Funktion der Schwingungsfrequenzen
Je nach Anschlussplan der Quelle an den Schwingkreis unterscheidet man zwischen serieller und paralleler Verbindung. Dementsprechend werden die Schaltungen als seriell oder parallel bezeichnet.
Radiowellen von Schall- und Infraschallfrequenzen, die elektromagnetischer Natur sind, sollten nicht mit Schallwellen, also elastischen mechanischen Schwingungen, vermischt werden.
Das Spektrum elektromagnetischer Wellen umfasst Frequenzen von etwa 10 -3 bis 10 23 Hz. Radiowellen besetzen Frequenzen von 3-3 · 10 · 12 Hz und sind in 12 Bereiche unterteilt.
Je nach Ausbreitungsmethode werden frei ausbreitende Radiowellen unterschieden: terrestrisch, troposphärisch und ionosphärisch.
Das Frequenzspektrum der in der Luftfahrt praktisch genutzten Funkwellen von 3 - 10 4 bis 3 - 10 11 Hz wird je nach Ausbreitungscharakteristik in mehrere Bereiche eingeteilt.
Das Konzept der Systemgleichung. Die Klassifizierung schwingungsfähiger Systeme hängt mit den Eigenschaften der Operatorgleichung zusammen, die die Beziehung zwischen dem Zustandsvektor des Systems und dem Vektor der Umwelteinflüsse auf das System herstellt:
Dabei handelt es sich um den Systemoperator, der alle notwendigen Gleichungen und Zusatzbedingungen umfasst, um das Verhalten des Systems unter äußerer Einwirkung eindeutig zu beschreiben
Für mechanische Systeme wird die Operatorgleichung (1) in der Regel auf eine Menge einiger Differentialgleichungen mit Rand- und Anfangsbedingungen sowie mit zusätzlichen Beziehungen wie Kopplungsgleichungen reduziert.
Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden und verteilte Systeme. Vibrationssysteme können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Eines der wichtigsten Merkmale ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems, also die Anzahl unabhängiger numerischer Parameter, die die Konfiguration des Systems zu jedem festen Zeitpunkt eindeutig bestimmen. Das Konzept der Konfiguration an sich
braucht Definition. Wir beschränken uns hier darauf, darauf hinzuweisen, dass bei mechanischen Systemen unter Konfiguration die Lage aller Punkte des Systems im Raum verstanden wird.
Es gibt Systeme mit endlichen und unendlich vielen Freiheitsgraden. Im letzteren Fall kann die Menge der Freiheitsgrade entweder abzählbar oder stetig sein. Systeme mit kontinuierlichen Freiheitsgraden werden als verteilt (kontinuierlich) bezeichnet. Die Anzahl der Freiheitsgrade hängt von der Art der Idealisierung des realen Systems ab. Elastische Systeme mit verteilter Masse sind verteilte Systeme; Ersetzen wir die verteilte Masse durch eine endliche Anzahl konzentrierter Massen, erhalten wir ein System mit endlich vielen Freiheitsgraden. Aus mathematischer Sicht werden Schwingungen von Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben; Schwingungen verteilter Systeme - Partielle Differentialgleichungen. Die mathematische Beschreibung einer sehr breiten und für Anwendungen wichtigsten Klasse verteilter Systeme kann auf unendliche Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert werden. Diese Klasse verteilter Systeme entspricht somit Systemen mit unendlich abzählbaren Freiheitsgraden. Eine näherungsweise Interpretation des Letzteren führt zu Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden.
Lineare und nichtlineare Systeme. Prinzip der Superposition. Ein System heißt linear, wenn sein Operator linear ist, also die Bedingung erfüllt
für alle zulässigen Zustandsänderungsgesetze und alle numerischen Faktoren. Ist Bedingung (2) nicht erfüllt, heißt das System nichtlinear. Beziehung (2) enthält das Superpositionsprinzip für lineare Systeme. Lassen Sie das Verhalten des Systems unter äußerem Einfluss durch einen Vektor und unter äußerem Einfluss durch einen Vektor beschreiben. Dann wird das Verhalten des Systems unter äußerem Einfluss durch einen Vektor beschrieben. Das Prinzip der Superposition - eines davon die wichtigsten Eigenschaften linearer Systeme – wird sowohl in der theoretischen Forschung als auch in technischen Anwendungen häufig verwendet.
Stationäre und instationäre Systeme. Wenn sich die Eigenschaften eines Systems über einen bestimmten Zeitraum nicht ändern, wird das System in diesem Zeitraum als stationär bezeichnet. Insbesondere kann ein Zeitraum die gesamte Zahlenachse darstellen. Ändern sich die Eigenschaften eines Systems im Laufe der Zeit, spricht man von instationär. In stationären Systemen ablaufende Prozesse werden durch Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben; Prozesse in instationären Systemen - Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten. In der Literatur finden sich auch die Begriffe System mit konstanten Parametern und System mit variablen Parametern.
Autonome und nicht autonome Systeme. In der Operatorgleichung (1) für ein autonomes System sollte man angeben, dass oszillierende Prozesse in autonomen Systemen nur aufgrund interner Energiequellen oder aufgrund von Energie auftreten können, die dem System in Form einer anfänglichen Störung zugeführt wird. Die übrigen Systeme werden als nichtautonom bezeichnet. Die Unterscheidung zwischen autonomen und nichtautonomen Systemen ist bedingt, da die Grenze, die das System von der Umgebung trennt, bei der Formulierung des mathematischen Modells gewählt wird.
Konservative und nichtkonservative Systeme. Ein System heißt konservativ, wenn seine gesamte mechanische Energie bei Schwingungen konstant bleibt. Andernfalls wird das System als nichtkonservativ bezeichnet. Unter den nichtkonservativen Systemen wiederum lassen sich Systeme mit bestimmten charakteristischen Eigenschaften unterscheiden. Daher wird ein System als dissipativ bezeichnet, wenn die gesamte mechanische Energie bei jeder Bewegung des entsprechenden autonomen Systems abnimmt. Ein System wird als selbstschwingend bezeichnet, wenn es stationär und autonom ist und unter bestimmten Bedingungen eine Selbsterregung von Schwingungen in ihm möglich ist. Selbstschwingende Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen eine Energiequelle nichtschwingender Natur vorhanden ist und die Energiezufuhr durch die Bewegung des Systems selbst reguliert wird.
Ein schwingungsfähiges System ist ein System, in dem es aufgrund einer Verletzung des Gleichgewichtszustandes zu Schwingungen kommen kann.
Die Art der im System auftretenden Schwingungen hängt von verschiedenen das System charakterisierenden physikalischen Größen – den Parametern des Systems – sowie von der Art der äußeren Einflüsse ab, die das System aus der Gleichgewichtslage bringen (zum Beispiel: ein mathematisches Pendel im Feld). der Schwerkraft).
Schwingungssysteme können linear und nichtlinear sein. Physikalische Systeme, die Schwingungen ausführen, deren wesentliche Merkmale mit ausreichender Näherung durch lineare Differentialgleichungen vermittelt werden, werden als lineare Schwingungssysteme bezeichnet, die übrigen als nichtlinear.
Wir betrachten nur die einfachsten Schwingungssysteme – lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad und solchen, bei denen die Parameter des Systems nicht von seinem Zustand abhängen und konstant sind. Solche Schwingungssysteme werden durch lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Beispiele für solche Systeme sind Systeme wie „elektrischer Schwingkreis“, „Drehpendel“, „an einer Feder aufgehängte Kugel“ usw.
Betrachten wir die Phänomene, die in schwingungsfähigen Systemen auftreten. Ohne eine Analyse im allgemeinen Fall durchführen zu können, beschränken wir uns auf die Betrachtung zweier Beispiele: eines elektrischen Schwingkreises und eines mechanischen Pendels.
Der Schwingkreis (Abb. 1) bestehe aus der Kapazität C, der Induktivität L und dem ohmschen Widerstand R.
Mit einer in Reihe zu den Elementen des Schaltkreises geschalteten Wechselspannungsquelle E(t) kann der Schaltkreis in seine Gleichgewichtslage gebracht werden. Wir gehen davon aus, dass wir die Art der Abhängigkeit der Quell-EMK von der Zeit beliebig wählen können (insbesondere können wir sie auf Null setzen). Die EMK der Quelle spielt die Rolle einer externen Antriebswirkung für den Stromkreis.
Ein mechanisches Pendel (Abb. 2) ist eine Kugel mit der Masse m, die an einer Feder K befestigt ist.
Das System kann mit einem Bewegungsstrom Ø in Bewegung gesetzt werden, an dem das zweite Ende a der Feder befestigt ist. Stellen wir Differentialgleichungen für die Spannung U C an der Kapazität des Schwingkreises und für die Koordinaten der Verschiebung des Kugelmittelpunkts aus der Gleichgewichtslage auf. Offensichtlich gilt die Gleichheit für einen geschlossenen Kreislauf eines Schwingkreises
E(t) = UL + UR + UC |
wobei U L, U R und U C die Spannungsabfälle an den Schaltungselementen L, R und C sind. Verwendung bekannter Gleichheiten
UR = JR,
UL = L
U=UC= | |||||||||||||
C ∫ | |||||||||||||
und angesichts dessen | |||||||||||||
U′= | U''= | d2U | 1 DJ |
||||||||||
dt 2 | dt, |
||||||||||||
wir reduzieren Gleichung (1) auf die Form
LCU" + RCU" + U = E(t)
Lassen Sie uns die Notation einführen
Für ein mechanisches System nach dem zweiten Newtonschen Gesetz
mx " = fmp + fg |
Dabei ist fmp = -rx " die Reibungskraft, fg = -k(x – x 1) die Kraft aufgrund der Verformung der Feder, k der Federsteifigkeitskoeffizient, x 1 = x 1 (t) die Verschiebung des Endes der Feder aus der Position
mx" + rx" + k(x – x1 ) = 0
Bezeichnungen vorstellen
Beim Vergleich der Gleichungen (2) und (6) sehen wir, dass sie sich nur in der Bezeichnung der Variablen (U oder x) und dem freien Term E(t) oder x 1 (t) unterscheiden. Diese. Sowohl die Spannung an der Kapazität des Stromkreises als auch die Auslenkung der Kugel des mechanischen Pendels werden durch dieselbe Gleichung beschrieben und hängen in gleicher Weise von der Art der Antriebswirkung ab. (Im Folgenden verwenden wir Gleichung (3), wobei wir bedenken, dass sie sowohl mechanische als auch elektrische Systeme gleichermaßen beschreibt.)
Das erhaltene Ergebnis zusammenfassend können wir sagen, dass jedes einfachste Schwingsystem durch nur zwei Größen α und ω 0 charakterisiert werden kann und die Art seiner Bewegung von diesen Größen und von der Art der Funktion E(t) abhängt, die das Äußere beschreibt Einfluss auf das System. Die Koeffizienten α und ω 0 werden durch die Parameter eines bestimmten Schwingungssystems bestimmt. Insbesondere für die von uns betrachteten Systeme gelten die Beziehungen (2) und (5). Die Größe α heißt Dämpfungskoeffizient,àω 0 - Eigenfrequenz Systeme.
Durch Anregung des Schwingungssystems auf irgendeine Weise (d. h. durch Einstellen einer bestimmten Art von Funktion E(t)) und Untersuchung der resultierenden Schwingungen ist es möglich, die Koeffizienten α und ω 0 zu bestimmen. Es gibt zwei am häufigsten verwendete Methoden zur Bestimmung der Koeffizienten – eine Methode, die auf der Anregung in einem System freier Schwingungen basiert, und eine Methode, die auf der Nichterregung in einem System erzwungener Schwingungen basiert. Betrachten wir diese beiden Arten von Systemschwingungen.
Kostenlose Vibrationen.
Freie bzw. Eigenschwingungen eines Systems liegen dann vor, wenn das System durch einen hinreichend starken Anfangsstoß aus dem Gleichgewicht gebracht und anschließend sich selbst überlassen wurde. Wenn wir E(t)=0 in Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir für diesen Fall
erfüllt Gleichung (7). (In der Theorie der Differentialgleichungen ist bewiesen, dass diese Lösung eindeutig ist, wenn ω 0 2 ≠ α 2).
Formel (8) hat nur dann eine direkte physikalische Bedeutung, wenn ω с eine reelle Größe ist, d. h. ω 0 2 > α 2 .
(Wenn ω 0 2< α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).
Die U-Funktion repräsentiert gedämpfte Schwingungen. Sein Diagramm ist in Abb. dargestellt. 3.
Diese Funktion ist nicht periodisch, weist jedoch eine gewisse Art von „Wiederholung“ auf, die darin besteht, dass die Maxima der Funktion, ihre Minima und Nullstellen in gleichen Zeitintervallen auftreten, die der Periode T c des harmonischen Faktors entsprechen cos(ω c t- α ). Deshalb können wir darüber reden „Periode“ der gedämpften Schwingung.
und über die „Frequenz“ der gedämpften Schwingung ω c .
Da die Funktion U nicht harmonisch ist, trifft der Begriff „Amplitude“ streng genommen nicht auf sie zu.
Normalerweise sprechen wir jedoch von „Amplitude“. gedämpfte Schwingung Bedeutung damit der höchste Wert, den eine Funktion während einer Periode erreicht. Die „Amplitude“ der gedämpften Schwingung U 0 e α t nimmt nach dem Exponentialgesetz ab. Verhältnis zweier aufeinanderfolgender „Amplituden“
U0 e− α t | αT c |
|||
− α (t+ T | ||||
wenn der Wert konstant ist. Der natürliche Logarithmus dieses Verhältnisses ist
λ= α Tс
wird als logarithmisches Dämpfungsdekrement bezeichnet Zögern.
(Oft wird es abgekürzt: Dämpfungsdekrement oder einfach: Dekrement genannt). Lassen Sie uns die physikalische Bedeutung der Größen α, λ und ω 0 erklären.
Mit τ bezeichnen wir die Zeitspanne, in der die Amplitude der Schwingungen um pas abnimmt. Dann ist e - ατ = e -1, woraus α = τ 1. Koeff Dämpfungsrateα ist
Kehrwert einer Zeitspanneτ , während dessen die Amplitude abnimmt e. einmal. Das logarithmische Dämpfungsdekrement gibt an, wie stark die Amplitude der Schwingung über einen Zeitraum abnimmt. Sei N die Anzahl der Schwingungen, bei denen die Amplitude um einen Faktor abnimmt. Dann
Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist demnach der Kehrwert der Schwingungszahl
Danach nimmt die Amplitude ab e mal. Wenn wir α =0 setzen, dann gilt anstelle von (8) U = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Auf diese Weise, Eigenfrequenz ist die Frequenz
harmonische Schwingungen, die das System ohne Reibung ausführen würde. Beliebige Konstanten U 0 und ϕ in der Funktion U werden durch den Anfang bestimmt
Bedingungen, d.h. Werte der Funktionen U und ihrer Ableitung U " zum Anfangszeitpunkt. Diese Werte hängen von der Art und Weise ab, wie das System aus der Gleichgewichtslage entfernt wurde.
Erzwungene Vibrationen.
Betrachten wir nun Vorgänge in Schwingungssystemen im Bereich erzwungener harmonischer Schwingungen.
Der erzwingende Einfluss soll die Form einer harmonischen Funktion haben
E(t) = Å0 cos ω t |
Folglich wird nun unser Schwingungssystem durch die Gleichung beschrieben
U" + 2α U" + ω0 2 U = E0 ω0 2 cos ω t | ||
Die Lösung der Gleichung (13) hat die Form | ||
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] | ||
Der erste Term der Summe in Ausdruck (14) sind die natürlichen Schwingungen des Systems, die entstehen, wenn das System zum Zeitpunkt des Einschaltens der Antriebswirkung aus seiner Gleichgewichtsposition entfernt wird. Da Eigenschwingungen gedämpft werden, wird ihre Amplitude nach einiger Zeit vernachlässigbar klein und das System beginnt mit einer ihm durch äußere Einwirkung aufgeprägten Frequenz ω zu schwingen.
stationär, und die Anfangsphase wird aufgerufen Übergangsprozess. Wir betrachten nur den stationären Prozess. Somit
U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] |
diese. Die Schwingungen des Systems sind harmonisch, mit der Amplitude U(ω) und der Phase ϕ(ω), abhängig von der Frequenz.
Den anregenden Einfluss (12) und seine Amplitude nennen wir künftig Eingangsschwingung (Impact) und Eingangsamplitude, die Schwingung (15), die die Reaktion des Systems beschreibt, und die Amplitude dieser Schwingung Ausgangsschwingung Schwingung und Ausgangsamplitude.
Wenn wir (15) in Gleichung (13) einsetzen, finden wir
U(ω)= 2 | 4α 2 | ω) 2 | |||||||
2 αω | ||||||||
ϕ (ω ) = − arctan | ||||||||
1− ( | ||||||||
Aus den erhaltenen Ausdrücken wird deutlich, dass die Form der Abhängigkeit der Ausgangsamplitude von der Frequenz und der Phase der Ausgangsschwingung nur von zwei Parametern abhängt – dem natürlichen
Frequenz ω 0 und Verhältnis2 α.
Lassen Sie uns das Konzept des Qualitätsfaktors des Schwingsystems Q einführen
Q = ω 2 α 0
(Die physikalische Bedeutung des Qualitätsfaktors erfahren wir später). Ersetzen
(18)/ in (16) und (17) erhalten wir
U (ω )= 2+ | ω) 2 |
|||
ϕ (ω ) = − arctanω 0
Betrachten wir die Art der Abhängigkeit der Amplitude und Phase der Ausgangsschwingung von der Frequenz.
Die Familie der U(ω)-Kurven für verschiedene Werte von Q ist in Abb. 4 dargestellt.
Wenn die Eingangsschwingungsfrequenz klein ist ω<<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте
als ω → ∞. Der Anstieg von U(ω) in der Nähe des Maximums erfolgt umso stärker, je mehr
Qualitätsfaktor und desto niedriger ist daher der Dämpfungskoeffizient α des Systems. Ein starker Anstieg der Amplitude der Ausgangsschwingung nahe ω 0 bei Systemen mit geringer Dämpfung wird als Resonanzphänomen bezeichnet. Die Amplituden-Frequenz-Kurven werden in diesem Fall aufgerufen Amplitudenresonanzkurven, und entsprechend der maximalen Amplitude – Resonanzfrequenz.
Definieren wir ω р. Nehmen Sie die Ableitung | und wenn wir es mit Null gleichsetzen, erhalten wir |
|||||||
1− | = ω 2 | −2 α 2 |
||||||
2Q 2 | ||||||||
Lassen Sie uns die physikalische Bedeutung des Qualitätsfaktors herausfinden. Betrachten wir ein System mit geringer Dämpfung. Ein solches System weist ausgeprägte Resonanzeigenschaften auf. Für Sie
Bedingungen erfüllt sind
α2<<ω0 2 , | Q2 >>1 |
Dann können wir darüber nachdenken
ωð ≈ ω0 |
Ein quantitatives Merkmal des Resonanzeffekts kann das Verhältnis der maximalen Ausgangsamplitude zur Amplitude erzwungener Schwingungen weit entfernt von der Resonanz sein, im Bereich von Frequenzen, die so niedrig sind, dass die Amplitude als unabhängig von der Frequenz betrachtet werden kann. Aus (19) erhalten wir unter Berücksichtigung der Bedingungen (22) und (23).
U U (max 0)≈ Q
diese. Dieses Verhältnis entspricht dem Qualitätsfaktor des Systems. Da U(0) = E 0, zeigt der Gütefaktor auch an, wie oft die Amplitude am Systemausgang bei Resonanz die Eingangsamplitude überschreitet. Je höher die Güte des Systems ist, desto schmaler ist das Resonanzmaximum. Auch die Breite der Resonanzkurve auf einer bestimmten, einmalig gewählten Höhe kann als quantitatives Merkmal der Resonanzwirkung dienen. Resonanzbreite
proportional zum Quadrat der Amplitude ist, entspricht dies einer Verringerung der Schwingungsenergie um die Hälfte gegenüber dem Maximum).
Daher heißt die gemessene Breite 2∆ ω Breite der Resonanzkurve bei halber Leistung. Finden wir die Breite 2∆ ω. Die Bedingung für die Reduzierung der quadrierten Amplitude um die Hälfte im Verhältnis zum Maximum hat die Form
Q2 E2 | |||||||||
} Zusammenhängende Posts: | |||||||||
