So finden Sie x1 x2 in einer quadratischen Gleichung. Was ist die Wurzel einer Gleichung? Unvollständige quadratische Gleichungen

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt den Lösungsprozess auch auf zwei Arten an:
- Verwendung einer Diskriminante
- Verwendung des Satzes von Vieta (falls möglich).

Darüber hinaus wird die Antwort als genau und nicht als ungefähr angezeigt.
Für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) wird die Antwort beispielsweise in der folgenden Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ und nicht so: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dieses Programm kann für Gymnasiasten in allgemeinbildenden Schulen bei der Vorbereitung auf Prüfungen und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern bei der Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie Ihre Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben einfach so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihre eigenen Schulungen und/oder Schulungen Ihrer jüngeren Geschwister durchführen und gleichzeitig den Bildungsstand im Bereich der Problemlösung erhöhen.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms

Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw.

Zahlen können als ganze oder gebrochene Zahlen eingegeben werden.
Darüber hinaus können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil entweder durch einen Punkt oder ein Komma vom ganzen Teil getrennt werden.
Dezimalbrüche können Sie beispielsweise wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganze Teil wird durch das kaufmännische Und-Zeichen vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Eine kleine Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
sieht aus wie
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen heißen quadratische Gleichungen.

Definition.
Quadratische Gleichung wird eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 genannt, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \).

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als freier Term.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a\neq 0\), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch Gleichung zweiten Grades genannt wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die angegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Wenn in einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische Gleichung. Somit sind die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten von ihnen ist b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) Axt 2 =0.

Betrachten wir die Lösung der Gleichungen jedes dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 für \(c \neq 0 \) zu lösen, verschieben Sie ihren freien Term auf die rechte Seite und dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Da \(c \neq 0 \), dann ist \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Wenn \(-\frac(c)(a)>0\), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 mit \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisieren Sie ihre linke Seite und erhalten Sie die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Das bedeutet, dass eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) immer zwei Wurzeln hat.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 =0 ist äquivalent zur Gleichung x 2 =0 und hat daher eine einzige Wurzel 0.

Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie man quadratische Gleichungen löst, in denen sowohl die Koeffizienten der Unbekannten als auch der freie Term ungleich Null sind.

Lösen wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel für die Wurzeln. Diese Formel kann dann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Seiten durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln, indem wir das Quadrat des Binomials auswählen:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Der radikale Ausdruck heißt Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Lateinisch – Diskriminator). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)

Unter Verwendung der Diskriminanzschreibweise schreiben wir nun die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D. Somit kann eine quadratische Gleichung abhängig vom Wert der Diskriminante zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung damit Formel ist es ratsam, wie folgt vorzugehen:
1) Berechnen Sie die Diskriminante und vergleichen Sie sie mit Null;
2) Wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, verwenden Sie die Wurzelformel. Wenn die Diskriminante negativ ist, schreiben Sie auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der umgekehrt genommen wird Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Nur. Nach Formeln und klaren, einfachen Regeln. In der ersten Phase

Es ist notwendig, die gegebene Gleichung in eine Standardform zu bringen, d.h. zum Formular:

Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form vorliegt, müssen Sie den ersten Schritt nicht durchführen. Das Wichtigste ist, es richtig zu machen

Bestimmen Sie alle Koeffizienten, A, B Und C.

Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt diskriminierend . Wie Sie sehen können, müssen wir X finden

wir gebrauchen nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus quadratische Gleichung. Legen Sie es einfach vorsichtig ein

Werte a, b und c Wir rechnen nach dieser Formel. Wir ersetzen durch ihre Zeichen!

Zum Beispiel, in der Gleichung:

A =1; B = 3; C = -4.

Wir ersetzen die Werte und schreiben:

Das Beispiel ist fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b Und Mit. Oder besser gesagt, mit Substitution

negative Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln ein. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel

mit bestimmten Nummern. Wenn Sie Probleme mit Berechnungen haben, tun Sie es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier A = -6; B = -5; C = -1

Wir beschreiben alles ausführlich, sorgfältig, ohne mit all den Zeichen und Klammern etwas zu übersehen:

Quadratische Gleichungen sehen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren.

Erster Termin. Seien Sie vorher nicht faul Lösen einer quadratischen Gleichung Bringen Sie es in die Standardform.

Was bedeutet das?

Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:

Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c.

Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So:

Beseitigen Sie das Minus. Wie? Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen.

Entscheide dich selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie die Wurzeln! Von Satz von Vieta.

Um die gegebenen quadratischen Gleichungen zu lösen, d.h. wenn der Koeffizient

x 2 +bx+c=0,

Dannx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−B

Für eine vollständige quadratische Gleichung, in der a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

Teilen Sie die gesamte Gleichung durch A:

→ →

Wo x 1 Und X 2 - Wurzeln der Gleichung.

Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren

Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.

Abschluss. Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir alles multiplizieren

Gleichungen um -1.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden multiplizieren

Faktor.

4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht überprüft werden

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Berücksichtigt werden die Fälle reeller, multipler und komplexer Wurzeln. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms. Geometrische Interpretation. Beispiele zur Bestimmung von Wurzeln und Faktorisierung.

Grundformeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bekannt sind, kann ein Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.

Als nächstes gehen wir davon aus, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Lassen Sie uns überlegen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn Sie die Funktion plotten
,
das ist eine Parabel, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Bei schneidet der Graph die x-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für ein Polynom zweiten Grades in der Form erhalten:
.
Dies zeigt, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Von hier aus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse in zwei Punkten.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antwort

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse in einem Punkt.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) in einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Weil diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann wird eine solche Wurzel üblicherweise als Vielfaches bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antwort

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.

Dann


.

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die x-Achse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antwort

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, daher gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unbedingt erforderlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Beachten Sie vor dem Studium spezifischer Lösungsmethoden, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen eingeteilt werden können:

1. Habe keine Wurzeln;
2. Habe genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei verschiedene Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es etwas Wunderbares - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac.

Sie müssen diese Formel auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Anhand des Vorzeichens der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn D< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Wurzeln.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und nicht überhaupt ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund glauben. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Schreiben wir die Koeffizienten für die erste Gleichung auf und ermitteln die Diskriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, die Gleichung hat also zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf ähnliche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Die letzte verbleibende Gleichung lautet:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist Null – die Wurzel ist Eins.

Bitte beachten Sie, dass für jede Gleichung Koeffizienten notiert sind. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam, aber Sie werden die Chancen nicht verwechseln und dumme Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens: Wenn Sie den Dreh raus haben, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten aufschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen damit irgendwann nach 50–70 gelösten Gleichungen an – im Allgemeinen nicht so oft.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung selbst. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mithilfe der Formeln ermittelt werden:

Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0, können Sie jede dieser Formeln verwenden – Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort ist. Wenn schließlich D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lasst uns sie finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Zum Schluss noch die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Es kann jede beliebige Formel verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, wird es keine Probleme geben. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft die oben beschriebene Technik: Betrachten Sie die Formel wörtlich, schreiben Sie jeden Schritt auf – und schon bald werden Sie Fehler los.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass eine quadratische Gleichung geringfügig von der Definition abweicht. Zum Beispiel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass diesen Gleichungen einer der Terme fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie erfordern nicht einmal die Berechnung der Diskriminante. Lassen Sie uns also ein neues Konzept vorstellen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d. h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b = c = 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 = 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x = 0.

Betrachten wir die verbleibenden Fälle. Sei b = 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0. Lassen Sie uns sie ein wenig umwandeln:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl existiert, ist die letzte Gleichung nur für (−c /a) ≥ 0 sinnvoll. Fazit:

1. Wenn in einer unvollständigen quadratischen Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 erfüllt ist, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c /a)< 0, корней нет.

Wie Sie sehen, war keine Diskriminante erforderlich – in unvollständigen quadratischen Gleichungen gibt es überhaupt keine komplexen Berechnungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c /a) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn es negativ ist, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Schauen wir uns nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0 an, in denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es reicht aus, das Polynom zu faktorisieren:

Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen

Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Hierher kommen die Wurzeln. Schauen wir uns abschließend einige dieser Gleichungen an:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Es gibt keine Wurzeln, weil Ein Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

\(2x+1=x+4\) finden wir die Antwort: \(x=3\). Wenn man statt eines X ein Tripel einsetzt, erhält man links und rechts die gleichen Werte:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

Und keine andere Zahl außer drei wird uns eine solche Gleichheit geben. Das bedeutet, dass die Zahl \(3\) die einzige Wurzel der Gleichung ist.

Noch einmal: Die Wurzel ist NICHT X!X ist eine Variable , A root ist eine Zahl , was die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt (im obigen Beispiel eine Drei). Und wenn wir Gleichungen lösen, suchen wir nach dieser unbekannten Zahl (oder Zahlen).

Beispiel : Ist \(5\) die Wurzel der Gleichung \(x^(2)-2x-15=0\)?
Lösung : Ersetzen wir \(5\) für X:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Auf beiden Seiten von gleich stehen die gleichen Werte (Null), was bedeutet, dass 5 tatsächlich eine Wurzel ist.

Mathak: Bei Tests können Sie auf diese Weise überprüfen, ob Sie die Wurzeln richtig gefunden haben.

Beispiel : Welche der Zahlen \(0, \pm1, \pm2\) ist die Wurzel von \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Lösung : Überprüfen wir jede der Zahlen durch Substitution:

check \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) – es stimmte nicht überein, was bedeutet, dass \(0\) nicht passt
Überprüfen Sie \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) – wieder konvergierte es nicht, das heißt, \(1\) ist keine Wurzel
Überprüfen Sie \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) – wieder ist die Gleichheit falsch, \(-1\) auch von
Überprüfen Sie \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - und wieder ist es nicht dasselbe, \(2\) ist auch nicht geeignet
Überprüfen Sie \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) – konvergiert, was bedeutet, dass \(-2\) die Wurzel der Gleichung ist

Offensichtlich ist das Lösen von Gleichungen durch Ausprobieren aller möglichen Werte Wahnsinn, denn es gibt unendlich viele Zahlen. Daher wurden spezielle Methoden zur Wurzelsuche entwickelt. So zum Beispiel z allein reicht, Für – Formeln werden bereits verwendet usw. Jeder Gleichungstyp hat seine eigene Methode.

Antworten auf häufig gestellte Fragen

Frage: Kann die Wurzel einer Gleichung Null sein?
Antwort: Ja natürlich. Beispielsweise hat die Gleichung \(3x=0\) eine einzige Wurzel – Null. Sie können dies durch Substitution überprüfen.

Frage: Wann hat eine Gleichung keine Wurzeln?
Antwort: Eine Gleichung hat möglicherweise keine Wurzeln, wenn es für x keine Werte gibt, die die Gleichung zu einer echten Gleichheit machen würden. Ein markantes Beispiel hierfür wäre die Gleichung \(0\cdot x=5\). Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Wert von X hier keine Rolle spielt (aufgrund der Multiplikation mit Null) – die linke Seite wird sowieso immer gleich Null sein. Und Null ist nicht gleich fünf. Das bedeutet, dass es keine Wurzeln gibt.

Frage: Wie erstellt man eine Gleichung, sodass die Wurzel dieser Gleichung einer bestimmten Zahl entspricht (z. B. drei)?
Antwort: wird später erscheinen.

Frage: Was bedeutet „die kleinere Wurzel der Gleichung finden“?
Antwort: Das bedeutet, dass Sie die Gleichung lösen und als Antwort ihre kleinere Wurzel angeben müssen. Beispielsweise hat die Gleichung \(x^2-5x-6=0\) zwei Wurzeln: \(x_1=-1\) und \(x_2=6\). Kleinste Wurzel: \(-1\). Dies ist, was Sie als Antwort aufschreiben müssen. Wenn sie nach der größeren Wurzel fragen würden, müssten sie \(6\) schreiben.