Welche Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden? Möglichkeiten, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln. Unechte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Ein Dezimalbruch besteht aus zwei durch Kommas getrennten Teilen. Der erste Teil ist eine ganze Einheit, der zweite Teil sind Zehner (wenn es eine Zahl nach dem Komma gibt), Hunderter (zwei Zahlen nach dem Komma, wie zwei Nullen in einem Hundert), Tausendstel usw. Schauen wir uns Beispiele für Dezimalbrüche an: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Das sind alles Dezimalbrüche. Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Beispiel eins

Wir haben einen Bruch, zum Beispiel 0,5. Wie oben erwähnt besteht es aus zwei Teilen. Die erste Zahl, 0, gibt an, wie viele ganze Einheiten der Bruch hat. In unserem Fall gibt es keine. Die zweite Zahl zeigt Zehner. Der Bruch lautet sogar null Komma fünf. Dezimalzahl in Bruch umwandeln Jetzt wird es nicht mehr schwer, wir schreiben 5/10. Wenn Sie sehen, dass die Zahlen einen gemeinsamen Faktor haben, können Sie den Bruch reduzieren. Wir haben diese Zahl 5, dividieren beide Seiten des Bruchs durch 5 und erhalten - 1/2.

Beispiel zwei

Nehmen wir einen komplexeren Bruch – 2,25. Es liest sich so: zwei Komma zwei und fünfundzwanzig Hundertstel. Bitte beachten Sie - Hundertstel, da es zwei Nachkommazahlen gibt. Jetzt können Sie ihn in einen gemeinsamen Bruch umwandeln. Wir schreiben auf - 2 25/100. Der ganze Teil ist 2, der Bruchteil ist 25/100. Wie im ersten Beispiel kann dieser Teil gekürzt werden. Der gemeinsame Teiler für die Zahlen 25 und 100 ist die Zahl 25. Beachten Sie, dass wir immer den größten gemeinsamen Teiler wählen. Wenn wir beide Seiten des Bruchs durch GCD dividieren, erhalten wir 1/4. 2,25 ist also 2 1/4.

Beispiel drei

Und um das Material zu festigen, nehmen wir den Dezimalbruch 4,112 – vier Komma eins und einhundertzwölf Tausendstel. Warum Tausendstel, denke ich, ist klar. Jetzt notieren wir 4 112/1000. Mit dem Algorithmus ermitteln wir den gcd der Zahlen 112 und 1000. In unserem Fall ist dies die Zahl 6. Wir erhalten 4 14/125.

Abschluss

1. Wir zerlegen den Bruch in ganze und gebrochene Teile.
2. Mal sehen, wie viele Nachkommastellen es gibt. Wenn eins Zehner ist, zwei Hunderter, drei Tausendstel usw.
3. Wir schreiben den Bruch in gewöhnlicher Form.
4. Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs.
5. Wir schreiben den resultierenden Bruch auf.
6. Wir überprüfen, indem wir den oberen Teil des Bruchs durch den unteren Teil dividieren. Wenn es einen ganzzahligen Teil gibt, addieren Sie ihn zum resultierenden Dezimalbruch. Die Originalversion ist großartig geworden, was bedeutet, dass Sie alles richtig gemacht haben.

Anhand von Beispielen habe ich gezeigt, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln kann. Wie Sie sehen, ist dies sehr einfach und unkompliziert.

Ein Bruch kann in eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Ein unechter Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist und durch ihn ohne Rest teilbar ist, wird in eine ganze Zahl umgewandelt, zum Beispiel: 20/5. Teilen Sie 20 durch 5 und erhalten Sie die Zahl 4. Wenn der Bruch richtig ist, das heißt, der Zähler kleiner als der Nenner ist, wandeln Sie ihn in eine Zahl (Dezimalbruch) um. Weitere Informationen zu Brüchen erhalten Sie in unserer Rubrik -.

Möglichkeiten, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln

• Die erste Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, eignet sich für einen Bruch, der in eine Zahl umgewandelt werden kann, die ein Dezimalbruch ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob es möglich ist, den angegebenen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Achten wir dazu auf den Nenner (die Zahl, die unter der Linie oder rechts von der schrägen Linie steht). Wenn der Nenner faktorisiert werden kann (in unserem Beispiel 2 und 5), was wiederholt werden kann, kann dieser Bruch tatsächlich in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden. Zum Beispiel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Dieser gemeinsame Bruch wird in eine Zahl (Dezimalzahl) mit endlich vielen Dezimalstellen umgewandelt. Aber der Bruch 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) wird in eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen umgewandelt. Das heißt, bei der genauen Berechnung eines Zahlenwerts ist es ziemlich schwierig, die letzte Dezimalstelle zu bestimmen, da es unendlich viele solcher Zeichen gibt. Daher erfordert die Lösung von Problemen normalerweise das Runden des Werts auf Hundertstel oder Tausendstel. Als nächstes müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, sodass der Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 usw. ergibt. Beispiel: 11/40 =(11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• Die zweite Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist einfacher: Sie müssen den Zähler durch den Nenner dividieren. Um diese Methode anzuwenden, führen wir einfach eine Division durch und die resultierende Zahl ist der gewünschte Dezimalbruch. Beispielsweise müssen Sie den Bruch 2/15 in eine Zahl umwandeln. Teilen Sie 2 durch 15. Wir erhalten 0,1333... – einen unendlichen Bruch. Wir schreiben es so: 0,13(3). Wenn der Bruch ein unechter Bruch ist, also der Zähler größer als der Nenner ist (z. B. 345/100), dann führt die Umwandlung in eine Zahl zu einem ganzzahligen Wert oder einem Dezimalbruch mit einem ganzen Bruchteil. In unserem Beispiel beträgt er 3,45. Um einen gemischten Bruch wie 3 2 / 7 in eine Zahl umzuwandeln, müssen Sie ihn zunächst in einen unechten Bruch umwandeln: (3∙7+2)/7 = 23/7. Als nächstes teilen wir 23 durch 7 und erhalten die Zahl 3,2857143, die wir auf 3,29 reduzieren.

Der einfachste Weg, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist die Verwendung eines Taschenrechners oder eines anderen Computergeräts. Zuerst geben wir den Zähler des Bruchs an, drücken dann die Schaltfläche mit dem „Dividieren“-Symbol und geben den Nenner ein. Nach Drücken der Taste „=“ erhalten wir die gewünschte Zahl.

Wenn wir 497 durch 4 teilen müssen, werden wir bei der Division feststellen, dass 497 nicht gleichmäßig durch 4 teilbar ist, d. h. der Rest der Division bleibt bestehen. In solchen Fällen spricht man von „vollendet“. Division mit Rest, und die Lösung lautet wie folgt:
497: 4 = 124 (1 Rest).

Die Divisionskomponenten auf der linken Seite der Gleichheit heißen genauso wie bei der Division ohne Rest: 497 - Dividende, 4 - Teiler. Das Ergebnis der Division bei Division mit einem Rest wird aufgerufen unvollständig privat. In unserem Fall ist dies die Zahl 124. Und schließlich ist die letzte Komponente, die nicht in der gewöhnlichen Division steht Rest. In Fällen, in denen es keinen Rest gibt, spricht man von der Division einer Zahl durch eine andere spurlos oder vollständig. Es wird angenommen, dass bei einer solchen Division der Rest Null ist. In unserem Fall ist der Rest 1.

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Die Division kann durch Multiplikation überprüft werden. Liegt beispielsweise eine Gleichheit 64:32 = 2 vor, dann kann die Prüfung wie folgt erfolgen: 64 = 32 * 2.

In Fällen, in denen eine Division mit einem Rest durchgeführt wird, ist es häufig praktisch, die Gleichheit zu verwenden
a = b * n + r,
Dabei ist a der Dividend, b der Divisor, n der Teilquotient und r der Rest.

Der Quotient natürlicher Zahlen kann als Bruch geschrieben werden.

Der Zähler eines Bruchs ist der Dividend und der Nenner ist der Divisor.

Da der Zähler eines Bruchs der Dividend und der Nenner der Divisor ist, glauben, dass die Gerade eines Bruchs die Aktion der Division bedeutet. Manchmal ist es praktisch, die Division als Bruch zu schreiben, ohne das Zeichen „:“ zu verwenden.

Der Quotient der Division der natürlichen Zahlen m und n kann als Bruch \(\frac(m)(n)\) geschrieben werden, wobei der Zähler m der Dividend und der Nenner n der Divisor ist:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Es gelten folgende Regeln:

Um den Bruch \(\frac(m)(n)\) zu erhalten, müssen Sie die Einheit in n gleiche Teile (Anteile) teilen und m solcher Teile nehmen.

Um den Bruch \(\frac(m)(n)\) zu erhalten, müssen Sie die Zahl m durch die Zahl n dividieren.

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, müssen Sie die dem Ganzen entsprechende Zahl durch den Nenner dividieren und das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Um aus seinem Teil ein Ganzes zu finden, müssen Sie die diesem Teil entsprechende Zahl durch den Zähler dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Wenn sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Wenn sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Diese Eigenschaft heißt Haupteigenschaft eines Bruchs.

Die letzten beiden Transformationen werden aufgerufen einen Bruch reduzieren.

Wenn Brüche als Brüche mit demselben Nenner dargestellt werden müssen, wird diese Aktion aufgerufen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Echte und unechte Brüche. Gemischte Zahlen

Sie wissen bereits, dass man einen Bruch erhalten kann, indem man ein Ganzes in gleiche Teile teilt und mehrere solcher Teile nimmt. Beispielsweise bedeutet der Bruch \(\frac(3)(4)\) drei Viertel eins. In vielen der Aufgaben im vorherigen Absatz wurden Brüche verwendet, um Teile eines Ganzen darzustellen. Der gesunde Menschenverstand schreibt vor, dass der Teil immer kleiner sein sollte als das Ganze, aber was ist mit Brüchen wie \(\frac(5)(5)\) oder \(\frac(8)(5)\)? Es ist klar, dass dies nicht mehr Teil der Einheit ist. Dies ist wahrscheinlich der Grund, warum man Brüche nennt, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist unechte Brüche. Die restlichen Brüche, also Brüche, deren Zähler kleiner als der Nenner ist, werden aufgerufen richtige Brüche.

Wie Sie wissen, kann man sich jeden gewöhnlichen Bruch, sowohl den echten als auch den unechten Bruch, als das Ergebnis der Division des Zählers durch den Nenner vorstellen. Daher bedeutet der Begriff „unechter Bruch“ in der Mathematik im Gegensatz zur gewöhnlichen Sprache nicht, dass wir etwas falsch gemacht haben, sondern nur, dass der Zähler dieses Bruchs größer oder gleich dem Nenner ist.

Besteht eine Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruch, dann ist z Brüche heißen gemischt.

Zum Beispiel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ist der ganzzahlige Teil und \(\frac(2)(3) \) ist der Bruchteil.

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b) \) durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, dann muss, um diesen Bruch durch n zu teilen, sein Zähler durch diese Zahl geteilt werden:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b)\) nicht durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, müssen Sie zum Teilen dieses Bruchs durch n seinen Nenner mit dieser Zahl multiplizieren:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Beachten Sie, dass die zweite Regel auch gilt, wenn der Zähler durch n teilbar ist. Daher können wir es verwenden, wenn es schwierig ist, auf den ersten Blick festzustellen, ob der Zähler eines Bruchs durch n teilbar ist oder nicht.

Aktionen mit Brüchen. Brüche addieren.

Sie können mit Bruchzahlen arithmetische Operationen durchführen, genau wie mit natürlichen Zahlen. Schauen wir uns zunächst das Addieren von Brüchen an. Es ist einfach, Brüche mit gleichen Nennern zu addieren. Finden wir zum Beispiel die Summe von \(\frac(2)(7)\) und \(\frac(3)(7)\). Es ist leicht zu verstehen, dass \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren müssen, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden. Zum Beispiel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Für Brüche gelten wie für natürliche Zahlen die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition.

Gemischte Brüche addieren

Es werden Notationen wie \(2\frac(2)(3)\) aufgerufen gemischte Brüche. In diesem Fall wird die Nummer 2 aufgerufen ganzer Teil gemischter Bruch, und die Zahl \(\frac(2)(3)\) ist sein Bruchteil. Der Eintrag \(2\frac(2)(3)\) lautet wie folgt: „zwei und zwei Drittel.“

Wenn man die Zahl 8 durch die Zahl 3 dividiert, erhält man zwei Antworten: \(\frac(8)(3)\) und \(2\frac(2)(3)\). Sie drücken dieselbe Bruchzahl aus, d. h. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Somit wird der unechte Bruch \(\frac(8)(3)\) als gemischter Bruch \(2\frac(2)(3)\) dargestellt. In solchen Fällen spricht man von einem unechten Bruch den ganzen Teil hervorgehoben.

Subtrahieren von Brüchen (Bruchzahlen)

Die Subtraktion von Bruchzahlen wird wie natürliche Zahlen auf der Grundlage der Additionswirkung bestimmt: Eine andere von einer Zahl zu subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie zur zweiten addiert, die erste ergibt. Zum Beispiel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) da \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner ähnelt der Regel zum Addieren solcher Brüche:
Um die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner zu ermitteln, müssen Sie den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Mit Buchstaben wird diese Regel wie folgt geschrieben:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Brüche multiplizieren

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner schreiben.

Mit Buchstaben lässt sich die Regel zur Multiplikation von Brüchen wie folgt formulieren:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Mit der formulierten Regel können Sie einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, mit einem gemischten Bruch und auch mit gemischten Brüchen multiplizieren. Dazu müssen Sie eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1, einen gemischten Bruch, als unechten Bruch schreiben.

Das Ergebnis der Multiplikation sollte (wenn möglich) vereinfacht werden, indem der Bruch reduziert und der ganze Teil des unechten Bruchs isoliert wird.

Für Brüche gelten wie für natürliche Zahlen die kommutativen und kombinativen Eigenschaften der Multiplikation sowie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Division von Brüchen

Nehmen wir den Bruch \(\frac(2)(3)\) und „drehen“ ihn um, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. Wir erhalten den Bruch \(\frac(3)(2)\). Dieser Bruch heißt umkehren Brüche \(\frac(2)(3)\).

Wenn wir nun den Bruch \(\frac(3)(2)\) „umkehren“, erhalten wir den ursprünglichen Bruch \(\frac(2)(3)\). Daher heißen Brüche wie \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(3)(2)\). gegenseitig umgekehrt.

Zum Beispiel die Brüche \(\frac(6)(5) \) und \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) und \(\frac (18). )(7)\).

Mit Buchstaben können Kehrbrüche wie folgt geschrieben werden: \(\frac(a)(b) \) und \(\frac(b)(a) \)

Es ist klar, dass das Produkt der reziproken Brüche ist gleich 1. Zum Beispiel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Mithilfe reziproker Brüche können Sie die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduzieren.

Die Regel zum Teilen eines Bruchs durch einen Bruch lautet:
Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Teilen von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Wenn der Dividend oder Divisor eine natürliche Zahl oder ein gemischter Bruch ist, muss er, um die Regel zum Teilen von Brüchen anwenden zu können, zunächst als unechter Bruch dargestellt werden.

Es scheint, dass die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen regulären Bruch ein elementares Thema ist, aber viele Schüler verstehen es nicht! Deshalb werfen wir heute einen detaillierten Blick auf mehrere Algorithmen gleichzeitig, mit deren Hilfe Sie alle Brüche in Sekundenschnelle verstehen.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es mindestens zwei Formen gibt, denselben Bruch zu schreiben: den gemeinsamen und den dezimalen Bruch. Dezimalbrüche sind alle Arten von Konstruktionen der Form 0,75; 1,33; und sogar −7,41. Hier sind Beispiele für gewöhnliche Brüche, die dieselben Zahlen ausdrücken:

Nun wollen wir es herausfinden: Wie kommt man von der Dezimalschreibweise zur regulären Schreibweise? Und vor allem: Wie geht das möglichst schnell?

Grundlegender Algorithmus

Tatsächlich gibt es mindestens zwei Algorithmen. Und wir werden uns jetzt beide ansehen. Beginnen wir mit dem ersten – dem einfachsten und verständlichsten.

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen Sie drei Schritte ausführen:

Ein wichtiger Hinweis zu negativen Zahlen. Steht im Originalbeispiel ein Minuszeichen vor dem Dezimalbruch, dann sollte in der Ausgabe auch ein Minuszeichen vor dem gemeinsamen Bruch stehen. Hier noch einige Beispiele:

Beispiele für den Übergang von der Dezimalschreibweise von Brüchen zur gewöhnlichen

Besonderes Augenmerk möchte ich auf das letzte Beispiel richten. Wie Sie sehen, enthält der Bruch 0,0025 viele Nullen nach dem Komma. Aus diesem Grund müssen Sie Zähler und Nenner bis zu viermal mit 10 multiplizieren. Ist es in diesem Fall möglich, den Algorithmus irgendwie zu vereinfachen?

Natürlich kannst du. Und jetzt schauen wir uns einen alternativen Algorithmus an – er ist etwas schwieriger zu verstehen, funktioniert aber mit ein wenig Übung viel schneller als der Standardalgorithmus.

Schnellerer Weg

Auch dieser Algorithmus besteht aus 3 Schritten. Gehen Sie wie folgt vor, um aus einer Dezimalzahl einen Bruch zu erhalten:

1. Zählen Sie, wie viele Nachkommastellen es gibt. Beispielsweise hat der Bruch 1,75 zwei solcher Ziffern und 0,0025 vier. Bezeichnen wir diese Größe mit dem Buchstaben $n$.
2. Schreiben Sie die ursprüngliche Zahl als Bruch der Form $\frac(a)(((10)^(n)))$ um, wobei $a$ alle Ziffern des ursprünglichen Bruchs sind (ohne die „Start“-Nullen auf dem). links, falls vorhanden) und $n$ ist die gleiche Anzahl von Nachkommastellen, die wir im ersten Schritt berechnet haben. Mit anderen Worten: Sie müssen die Ziffern des ursprünglichen Bruchs durch eins dividieren, gefolgt von $n$ Nullen.
3. Reduzieren Sie nach Möglichkeit den resultierenden Bruch.

Das ist alles! Auf den ersten Blick ist dieses Schema komplizierter als das vorherige. Tatsächlich ist es jedoch einfacher und schneller. Urteile selbst:

Wie Sie sehen können, gibt es im Bruch 0,64 zwei Nachkommastellen – 6 und 4. Daher ist $n=2$. Wenn wir das Komma und die Nullen auf der linken Seite entfernen (in diesem Fall nur eine Null), erhalten wir die Zahl 64. Fahren wir mit dem zweiten Schritt fort: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, daher ist der Nenner genau einhundert. Nun, dann müssen wir nur noch Zähler und Nenner reduzieren. :)

Noch ein Beispiel:

Hier ist alles etwas komplizierter. Erstens gibt es bereits 3 Nachkommazahlen, d.h. $n=3$, also musst du durch $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ dividieren. Zweitens, wenn wir das Komma aus der Dezimalschreibweise entfernen, erhalten wir Folgendes: 0,004 → 0004. Denken Sie daran, dass die Nullen auf der linken Seite entfernt werden müssen, sodass wir tatsächlich die Zahl 4 haben. Dann ist alles einfach: dividieren, reduzieren und erhalten die Antwort.

Zum Schluss noch das letzte Beispiel:

Die Besonderheit dieses Bruchs ist das Vorhandensein eines ganzen Teils. Daher ist die Ausgabe, die wir erhalten, ein unechter Bruchteil von 47/25. Sie können natürlich versuchen, 47 durch 25 mit Rest zu dividieren und so den ganzen Teil wieder zu isolieren. Aber warum sollten Sie Ihr Leben verkomplizieren, wenn dies bereits in der Phase der Transformation möglich ist? Nun, lass es uns herausfinden.

Was tun mit dem ganzen Teil?

Eigentlich ist alles ganz einfach: Wenn wir einen echten Bruch erhalten wollen, müssen wir bei der Transformation den ganzen Teil daraus entfernen und ihn dann, wenn wir das Ergebnis erhalten, rechts vor der Bruchlinie wieder hinzufügen .

Betrachten Sie zum Beispiel dieselbe Zahl: 1,88. Lassen Sie uns mit eins punkten (den ganzen Teil) und uns den Bruch 0,88 ansehen. Es lässt sich leicht umwandeln:

Dann erinnern wir uns an die „verlorene“ Einheit und fügen sie vorne hinzu:

\[\frac(22)(25)\zu 1\frac(22)(25)\]

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Antwort dieselbe war wie nach der Auswahl des gesamten Teils beim letzten Mal. Noch ein paar Beispiele:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\bis 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\bis 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Das ist das Schöne an der Mathematik: Egal welchen Weg man einschlägt, wenn alle Berechnungen richtig durchgeführt werden, wird die Antwort immer dieselbe sein. :)

Abschließend möchte ich noch eine Technik betrachten, die vielen hilft.

Transformationen „nach Gehör“

Lassen Sie uns darüber nachdenken, was eine Dezimalzahl ist. Genauer gesagt, wie wir es lesen. Zum Beispiel die Zahl 0,64 – wir lesen sie als „Nullpunkt 64 Hundertstel“, oder? Na ja, oder einfach nur „64 Hundertstel“. Das Schlüsselwort hier ist „Hundertstel“, also „Hundertstel“. Nummer 100.

Was ist mit 0,004? Das ist „null Komma 4 Tausendstel“ oder einfach „vier Tausendstel“. So oder so lautet das Schlüsselwort „Tausende“, d.h. 1000.

Was ist also die große Sache? Und Tatsache ist, dass es diese Zahlen sind, die in der zweiten Stufe des Algorithmus letztendlich in den Nennern „auftauchen“. Diese. 0,004 ist „vier Tausendstel“ oder „4 geteilt durch 1000“:

Versuchen Sie es selbst zu üben – es ist ganz einfach. Die Hauptsache ist, den ursprünglichen Bruch richtig zu lesen. Zum Beispiel ist 2,5 „2 ganze, 5 Zehntel“, also

Und etwa 1,125 ist „1 Ganzes, 125 Tausendstel“, also

Im letzten Beispiel wird natürlich jemand einwenden, dass nicht jedem Schüler klar ist, dass 1000 durch 125 teilbar ist. Aber hier müssen Sie bedenken, dass 1000 = 10 3 und 10 = 2 ∙ 5

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Somit kann jede Zehnerpotenz nur in die Faktoren 2 und 5 zerlegt werden – nach diesen Faktoren muss im Zähler gesucht werden, damit am Ende alles reduziert wird.

Damit ist die Lektion abgeschlossen. Kommen wir zu einer komplexeren umgekehrten Operation – siehe „

Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einer oder mehreren Einheiten besteht. In der Mathematik gibt es drei Arten von Brüchen: gewöhnliche, gemischte und dezimale Brüche.

• 
  Gemeinsame Brüche

Ein gewöhnlicher Bruch wird als Verhältnis geschrieben, bei dem der Zähler angibt, wie viele Teile aus der Zahl entnommen werden, und der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist. Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, dann haben wir einen echten Bruch. Zum Beispiel: ½, 3/5, 8/9.

Ist der Zähler gleich oder größer als der Nenner, handelt es sich um einen unechten Bruch. Zum Beispiel: 5/5, 9/4, 5/2 Das Teilen des Zählers kann zu einer endlichen Zahl führen. Zum Beispiel 40/8 = 5. Daher kann jede ganze Zahl als gewöhnlicher unechter Bruch oder als Reihe solcher Brüche geschrieben werden. Betrachten wir die Einträge derselben Nummer in Form mehrerer verschiedener.

• Gemischte Brüche

Im Allgemeinen kann ein gemischter Bruch durch die Formel dargestellt werden:

Somit wird ein gemischter Bruch als ganze Zahl und als gewöhnlicher echter Bruch geschrieben, und eine solche Schreibweise wird als Summe des Ganzen und seines Bruchteils verstanden.

• Dezimalzahlen

Eine Dezimalzahl ist eine besondere Art von Bruch, bei dem der Nenner als Zehnerpotenz dargestellt werden kann. Es gibt unendliche und endliche Dezimalzahlen. Beim Schreiben dieser Art von Bruch wird zuerst der ganze Teil angegeben, dann wird der Bruchteil durch ein Trennzeichen (Punkt oder Komma) geschrieben.

Die Notation eines Bruchteils wird immer durch seine Dimension bestimmt. Die Dezimalschreibweise sieht so aus:

Regeln für die Umrechnung zwischen verschiedenen Arten von Brüchen

• Einen gemischten Bruch in einen gemeinsamen Bruch umwandeln

Ein gemischter Bruch kann nur in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Zum Übersetzen ist es notwendig, den ganzen Teil auf den gleichen Nenner zu bringen wie den Bruchteil. Im Allgemeinen wird es so aussehen:
Schauen wir uns die Verwendung dieser Regel anhand konkreter Beispiele an:

• Einen gewöhnlichen Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln

Ein unechter Bruch lässt sich durch einfache Division in einen gemischten Bruch umwandeln, der den ganzen Teil und den Rest (Bruchteil) ergibt.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Bruch 439/31 in gemischt umwandeln:
​​

• Brüche umwandeln

In manchen Fällen ist die Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl recht einfach. In diesem Fall wird die Grundeigenschaft eines Bruchs angewendet: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, um den Divisor auf eine Zehnerpotenz zu bringen.

Zum Beispiel:

In einigen Fällen müssen Sie den Quotienten möglicherweise durch Division durch Ecken oder mithilfe eines Taschenrechners ermitteln. Und manche Brüche lassen sich nicht auf eine letzte Dezimalzahl reduzieren. Wenn man beispielsweise den Bruch 1/3 dividiert, erhält man nie das Endergebnis.