Eine quadratische Gleichung mit dem ersten Koeffizienten gleich eins. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen. Beispiele. Faktorisieren eines Ausdrucks
Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt den Lösungsprozess auch auf zwei Arten an:
- Verwendung einer Diskriminante
- Verwendung des Satzes von Vieta (falls möglich).
Darüber hinaus wird die Antwort als genau und nicht als ungefähr angezeigt.
Für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) wird die Antwort beispielsweise in der folgenden Form angezeigt:
Dieses Programm kann für Gymnasiasten in allgemeinbildenden Schulen bei der Vorbereitung auf Prüfungen und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern bei der Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie Ihre Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben einfach so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihre eigenen Schulungen und/oder Schulungen Ihrer jüngeren Geschwister durchführen und gleichzeitig den Bildungsstand im Bereich der Problemlösung erhöhen.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms
Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw.
Zahlen können als ganze oder gebrochene Zahlen eingegeben werden.
Darüber hinaus können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil entweder durch einen Punkt oder ein Komma vom ganzen Teil getrennt werden.
Dezimalbrüche können Sie beispielsweise wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganze Teil wird durch das kaufmännische Und-Zeichen vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
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Eine kleine Theorie.
Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen
Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
sieht aus wie
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen heißen quadratische Gleichungen.
Definition.
Quadratische Gleichung wird eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 genannt, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \).
Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als freier Term.
In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a\neq 0\), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.
Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch Gleichung zweiten Grades genannt wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.
Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die angegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Wenn in einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische Gleichung. Somit sind die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten von ihnen ist b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.
Es gibt drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) Axt 2 =0.
Betrachten wir die Lösung der Gleichungen jedes dieser Typen.
Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 für \(c \neq 0 \) zu lösen, verschieben Sie ihren freien Term auf die rechte Seite und dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Da \(c \neq 0 \), dann ist \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Wenn \(-\frac(c)(a)>0\), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 mit \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisieren Sie ihre linke Seite und erhalten Sie die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.
Das bedeutet, dass eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) immer zwei Wurzeln hat.
Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 =0 ist äquivalent zur Gleichung x 2 =0 und hat daher eine einzige Wurzel 0.
Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Betrachten wir nun, wie man quadratische Gleichungen löst, in denen sowohl die Koeffizienten der Unbekannten als auch der freie Term ungleich Null sind.
Lösen wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel für die Wurzeln. Diese Formel kann dann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.
Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0
Wenn wir beide Seiten durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln, indem wir das Quadrat des Binomials auswählen:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Der radikale Ausdruck heißt Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Lateinisch – Diskriminator). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)
Unter Verwendung der Diskriminanzschreibweise schreiben wir nun die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)
Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D. Somit kann eine quadratische Gleichung abhängig vom Wert der Diskriminante zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben Formel ist es ratsam, wie folgt vorzugehen:
1) Berechnen Sie die Diskriminante und vergleichen Sie sie mit Null;
2) Wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, verwenden Sie die Wurzelformel. Wenn die Diskriminante negativ ist, schreiben Sie auf, dass es keine Wurzeln gibt.
Satz von Vieta
Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der umgekehrt genommen wird Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.
Die Summe der Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.
Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)
Arten quadratischer Gleichungen
Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Das Schlüsselwort ist "Quadrat". Das bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x im Quadrat geben. Darüber hinaus kann die Gleichung nur X (in der ersten Potenz) und nur eine Zahl enthalten (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein X im Grad zwei geben.
Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:
Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut alles, aber A– alles andere als Null. Zum Beispiel:
Hier A =1; B = 3; C = -4
Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2
Hier A =-3; B = 6; C = -18
Naja, du verstehst...
In diesen quadratischen Gleichungen links gibt es vollständiger Satz Mitglieder. X im Quadrat mit einem Koeffizienten A, x zur ersten Potenz mit Koeffizient B Und kostenlose Mitglieder s.
Solche quadratischen Gleichungen heißen voll.
Und wenn B= 0, was bekommen wir? Wir haben X geht an die erste Potenz verloren. Dies geschieht, wenn man mit Null multipliziert.) Es stellt sich zum Beispiel heraus:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Usw. Und wenn beide Koeffizienten B Und C gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Solche Gleichungen, bei denen etwas fehlt, nennt man unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass in allen Gleichungen das Quadrat x vorhanden ist.
Übrigens, warum A kann nicht gleich Null sein? Und Sie ersetzen stattdessen A Null.) Unser X-Quadrat wird verschwinden! Die Gleichung wird linear. Und die Lösung ist eine ganz andere...
Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.
Quadratische Gleichungen lösen.
Komplette quadratische Gleichungen lösen.
Quadratische Gleichungen sind leicht zu lösen. Nach Formeln und klaren, einfachen Regeln. Im ersten Schritt ist es notwendig, die gegebene Gleichung in eine Standardform zu bringen, d.h. zum Formular:
Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form vorliegt, müssen Sie den ersten Schritt nicht durchführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten richtig zu bestimmen, A, B Und C.
Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um X zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus einer quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c Wir rechnen nach dieser Formel. Lasst uns ersetzen mit Ihren eigenen Schildern! Zum Beispiel in der Gleichung:
A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir es auf:
Das Beispiel ist fast gelöst:
Das ist die Antwort.
Alles ist sehr einfach. Und was, Sie denken, dass es unmöglich ist, einen Fehler zu machen? Nun ja, wie...
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo kann man das verwechseln?), sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Zahlen. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, TU das!
Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:
Hier A = -6; B = -5; C = -1
Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie selten beim ersten Mal Antworten erhalten.
Nun, seien Sie nicht faul. Das Schreiben einer zusätzlichen Zeile dauert etwa 30 Sekunden und die Anzahl der Fehler wird stark abnehmen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:
Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig aufzuschreiben. Aber es scheint nur so. Versuche es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile wird es nicht mehr nötig sein, alles so sorgfältig aufzuschreiben. Es wird von alleine klappen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten lässt sich einfach und fehlerfrei lösen!
Quadratische Gleichungen sehen jedoch oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:
Hast du es erkannt?) Ja! Das unvollständige quadratische Gleichungen.
Unvollständige quadratische Gleichungen lösen.
Sie können auch mit einer allgemeinen Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig verstehen, was sie hier bedeuten. a, b und c.
Hast du es herausgefunden? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es ist überhaupt nicht da! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet das das c = 0 ! Das ist alles. Ersetzen Sie stattdessen Null in der Formel C, und wir werden Erfolg haben. Das Gleiche gilt für das zweite Beispiel. Nur haben wir hier nicht Null Mit, A B !
Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ganz ohne Formeln. Betrachten wir die erste unvollständige Gleichung. Was können Sie auf der linken Seite tun? Sie können X aus Klammern entfernen! Nehmen wir es raus.
Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist! Glauben Sie mir nicht? Okay, dann überlegen Sie sich zwei Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt!
Klappt nicht? Das ist es...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.
Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die Verwendung der allgemeinen Formel. Lassen Sie mich übrigens anmerken, welches X das erste und welches das zweite sein wird – völlig gleichgültig. Es ist bequem, in der richtigen Reihenfolge zu schreiben, x 1- was ist kleiner und x 2- das, was größer ist.
Auch die zweite Gleichung lässt sich einfach lösen. Bewegen Sie 9 nach rechts. Wir bekommen:
Es bleibt nur noch, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Es wird sich herausstellen:
Auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.
Auf diese Weise werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder indem man X aus Klammern setzt oder indem man einfach die Zahl nach rechts verschiebt und dann die Wurzel zieht.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwechseln. Ganz einfach, weil man im ersten Fall die Wurzel von
Diskriminant. Diskriminanzformel.
magisches Wort diskriminierend ! Selten hat ein Gymnasiast dieses Wort nicht gehört! Der Satz „Wir lösen eine Lösung durch eine Diskriminante“ weckt Vertrauen und Sicherheit. Denn vom Diskriminanten sind keine Tricks zu erwarten! Es ist einfach und problemlos zu verwenden.) Ich erinnere Sie an die allgemeinste Lösungsformel beliebig quadratische Gleichungen:
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird Diskriminante genannt. Typischerweise wird die Diskriminante durch den Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:
D = b 2 - 4ac
Und was ist an diesem Ausdruck so bemerkenswert? Warum hat es einen besonderen Namen verdient? Worin die Bedeutung der Diskriminante? Schließlich -B, oder 2a In dieser Formel nennen sie es nicht ausdrücklich irgendetwas... Buchstaben und Buchstaben.
Hier ist das Ding. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist dies möglich nur drei Fälle.
1. Die Diskriminante ist positiv. Das bedeutet, dass die Wurzel daraus gezogen werden kann. Ob die Wurzel gut oder schlecht extrahiert wird, ist eine andere Frage. Wichtig ist, was grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.
2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Denn das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler ändert nichts. Streng genommen ist dies nicht eine Wurzel, sondern zwei identisch. In einer vereinfachten Version ist es jedoch üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.
3. Die Diskriminante ist negativ. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.
Um ehrlich zu sein, ist das Konzept einer Diskriminante beim einfachen Lösen quadratischer Gleichungen nicht wirklich erforderlich. Wir setzen die Werte der Koeffizienten in die Formel ein und zählen. Dort passiert alles von selbst, zwei Wurzeln, eine und keine. Allerdings bei der Lösung komplexerer Aufgaben ohne Wissen Bedeutung und Formel der Diskriminante nicht genug. Besonders in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen!)
Also, wie man quadratische Gleichungen löst durch die Diskriminante, an die du dich erinnert hast. Oder Sie haben gelernt, was auch nicht schlecht ist.) Sie wissen, wie man richtig bestimmt a, b und c. Weißt du wie? aufmerksam setze sie in die Wurzelformel ein und aufmerksam Zähle das Ergebnis. Sie verstehen, dass das Schlüsselwort hier lautet aufmerksam?
Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Die gleichen, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind... Was später schmerzhaft und beleidigend wird...
Erster Termin
. Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen und sie in die Standardform bringen. Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:
Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen durcheinander bringen a, b und c. Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So:
Und noch einmal: Beeilen Sie sich nicht! Ein Minus vor einem X im Quadrat kann Sie wirklich verärgern. Es ist leicht zu vergessen... Beseitigen Sie das Minus. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:
Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen. Entscheide dich selbst.
Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben. Zweiter Empfang. Überprüfen Sie die Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Hab keine Angst, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Grundformel aufgeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1 , ist die Überprüfung der Wurzeln einfach. Es reicht aus, sie zu vervielfachen. Das Ergebnis sollte ein kostenloses Mitglied sein, d.h. in unserem Fall -2. Bitte beachten Sie, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit Deinem Schild
Wenn es funktioniert, müssen Sie die Wurzeln hinzufügen. Letzte und letzte Kontrolle. Der Koeffizient sollte sein B Mit Gegenteil
vertraut. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem X steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass dies nur für Beispiele so einfach ist, bei denen x im Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie zumindest solche Gleichungen! Es wird immer weniger Fehler geben.
Rezeption Dritter . Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren Sie die Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion „Wie löst man Gleichungen? Identitätstransformationen“ beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen schleichen sich aus irgendeinem Grund immer wieder Fehler ein ...
Übrigens habe ich versprochen, das böse Beispiel durch ein paar Minuspunkte zu vereinfachen. Bitte! Da ist er.
Um uns nicht durch die Minuspunkte verwirren zu lassen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:
Das ist alles! Das Lösen macht Freude!
Fassen wir also das Thema zusammen.
Praktische Tipps:
1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.
2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.
3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.
4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta verifiziert werden. Tu es!
Jetzt können wir entscheiden.)
Gleichungen lösen:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Antworten (in Unordnung):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x – eine beliebige Zahl
x 1 = -3
x 2 = 3
keine Lösungen
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Passt alles? Großartig! Quadratische Gleichungen bereiten Ihnen keine Kopfschmerzen. Die ersten drei haben funktioniert, der Rest jedoch nicht? Dann liegt das Problem nicht bei quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schauen Sie sich den Link an, er ist hilfreich.
Klappt das nicht ganz? Oder klappt es überhaupt nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555 weiter. Alle diese Beispiele sind dort aufgeschlüsselt. Gezeigt hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich sprechen wir auch über die Verwendung identischer Transformationen bei der Lösung verschiedener Gleichungen. Hilft sehr!
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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)
Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)
Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a*x^2 +b*x+c=0, wobei a,b,c beliebige reelle Zahlen sind und x eine Variable ist. Außerdem ist die Zahl a=0.
Die Zahlen a,b,c heißen Koeffizienten. Die Zahl a heißt führender Koeffizient, die Zahl b ist der Koeffizient von x und die Zahl c heißt freier Term.
Quadratische Gleichungen lösen
Eine quadratische Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder die Tatsache festzustellen, dass eine quadratische Gleichung keine Wurzeln hat. Die Wurzel einer quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 ist ein beliebiger Wert der Variablen x, so dass das quadratische Trinom a*x^2 +b*x+c verschwindet. Manchmal wird dieser Wert von x als Wurzel des Quadrattrinoms bezeichnet.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Betrachten Sie eine davon – die universellste. Es kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.
Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen
Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung lautet a*x^2 +b*x+c=0.
x=(-b±√D)/(2*a), wobei D =b^2-4*a*c.
Diese Formel erhält man, indem man die Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 in allgemeiner Form unter Verwendung des Quadrats des Binomials löst.
In der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung wird der Ausdruck D (b^2-4*a*c) als Diskriminante der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 bezeichnet. Dieser Name stammt aus der lateinischen Sprache und wird mit „Diskriminator“ übersetzt. Abhängig vom Wert der Diskriminante hat die quadratische Gleichung zwei oder eine Wurzel oder überhaupt keine Wurzeln.
Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln. (x=(-b±√D)/(2*a))
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel. (x=(-b/(2*a))
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Wurzeln.
Allgemeiner Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung
Basierend auf dem oben Gesagten formulieren wir einen allgemeinen Algorithmus zur Lösung der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 unter Verwendung der Formel:
1. Ermitteln Sie den Wert der Diskriminante mithilfe der Formel D =b^2-4*a*c.
2. Berechnen Sie abhängig vom Wert der Diskriminante die Wurzeln mithilfe der Formeln:
D<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
Dieser Algorithmus ist universell und zur Lösung beliebiger quadratischer Gleichungen geeignet. Vollständig und unvollständig, gegeben und nicht gegeben.
Nur. Nach Formeln und klaren, einfachen Regeln. In der ersten Phase
Es ist notwendig, die gegebene Gleichung in eine Standardform zu bringen, d.h. zum Formular:
Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form vorliegt, müssen Sie den ersten Schritt nicht durchführen. Das Wichtigste ist, es richtig zu machen
Bestimmen Sie alle Koeffizienten, A, B Und C.
Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt diskriminierend . Wie Sie sehen können, müssen wir X finden
wir gebrauchen nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus quadratische Gleichung. Richten Sie es einfach sorgfältig ein
Werte a, b und c Wir rechnen nach dieser Formel. Wir ersetzen durch ihre Zeichen!
Zum Beispiel, in der Gleichung:
A =1; B = 3; C = -4.
Wir ersetzen die Werte und schreiben:
Das Beispiel ist fast gelöst:
Das ist die Antwort.
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b Und Mit. Oder besser gesagt, mit Substitution
negative Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln ein. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel
mit bestimmten Nummern. Wenn Sie Probleme mit Berechnungen haben, tun Sie es!
Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:
Hier A = -6; B = -5; C = -1
Wir beschreiben alles ausführlich, sorgfältig, ohne mit all den Zeichen und Klammern etwas zu übersehen:
Quadratische Gleichungen sehen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:
Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren.
Erster Termin. Seien Sie vorher nicht faul Lösen einer quadratischen Gleichung Bringen Sie es in die Standardform.
Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:
Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen durcheinanderbringen a, b und c.
Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So:
Beseitigen Sie das Minus. Wie? Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:
Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen.
Entscheide dich selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.
Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.Überprüfen Sie die Wurzeln! Von Satz von Vieta.
Um die gegebenen quadratischen Gleichungen zu lösen, d.h. wenn der Koeffizient
x 2 +bx+c=0,
Dannx 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−B
Für eine vollständige quadratische Gleichung, in der a≠1:
x 2 +Bx+C=0,
Teilen Sie die gesamte Gleichung durch A:
→ 
→
Wo x 1 Und X 2 - Wurzeln der Gleichung.
Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren
Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.
Abschluss. Praktische Tipps:
1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.
2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir alles multiplizieren
Gleichungen um -1.
3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden multiplizieren
Faktor.
4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht überprüft werden
Quadratische Gleichungen unterscheiden sich von linearen Gleichungen durch das Vorhandensein einer Unbekannten, die in die zweite Potenz erhoben wird. In der klassischen (kanonischen) Form sind die Faktoren a, b und der freie Term c ungleich Null.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die linke Seite Null und die rechte Seite ein Trinom zweiten Grades der Form ist:
Ein Trinom zu lösen oder seine Wurzeln zu finden bedeutet, die Werte von x zu finden, bei denen die Gleichheit wahr wird. Daraus folgt, dass die Wurzeln einer solchen Gleichung die Werte der Variablen x sind.
Finden von Wurzeln mit der Diskriminanzformel
Ein Beispiel kann eine oder zwei Wurzeln haben oder keine. Zur Ermittlung der Lösungsanzahl gibt es einen sehr einfachen und verständlichen Algorithmus. Dazu reicht es aus, eine Diskriminante zu finden – einen speziellen berechneten Wert, der bei der Suche nach Wurzeln verwendet wird. Die Berechnungsformel lautet wie folgt:
Abhängig von den erzielten Ergebnissen können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
- es gibt zwei Wurzeln, wenn D > 0;
- es gibt eine Lösung, wenn D = 0;
- Es gibt keine Wurzeln, wenn D< 0.
Wenn D ≥ 0, müssen Sie die Berechnungen mit der Formel fortsetzen:
Der Wert von x1 ist gleich und x2 - . Wenn D = 0, dann verliert das Zeichen „±“ jede Bedeutung, weil √0 = 0. In diesem Fall ist die einzige Wurzel gleich .
Beispiele für die Lösung einer quadratischen Gleichung
Der Algorithmus zum Lösen eines Polynoms ist sehr einfach:
- Bringen Sie den Ausdruck in eine klassische Form.
- Bestimmen Sie, ob es Wurzeln einer quadratischen Gleichung gibt (Diskriminanzformel).
- Wenn D ≥ 0, ermitteln Sie die Werte der Variablen x mit einer der bekannten Methoden.
Lassen Sie uns ein klares Beispiel dafür geben, wie eine quadratische Gleichung gelöst wird.
Problem 1. Finden Sie die Wurzeln und geben Sie den Lösungsbereich der Gleichung 6x + 8 – 2×2 = 0 grafisch an.
Zunächst ist es notwendig, die Gleichheit in die kanonische Form ax2+bx+c=0 zu bringen. Dazu ordnen wir die Terme des Polynoms neu.
Dann vereinfachen wir den Ausdruck, indem wir den Koeffizienten vor x2 eliminieren. Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit (-1)⁄2, das Ergebnis ist:
Der Vorteil von Formeln zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch eine Diskriminante besteht darin, dass Sie mit ihrer Hilfe jedes Trinom zweiten Grades lösen können.
Im gegebenen Polynom ist also a=1, b=-3 und c=-4. Berechnen wir den Diskriminanzwert für ein bestimmtes Beispiel.
Das bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Um den Lösungsbereich des Beispiels grafisch zu finden, müssen Sie eine Parabel konstruieren, deren Funktion gleich ist 
.
Die Ausdrucksdiagramme sehen folgendermaßen aus:
Im betrachteten Beispiel ist D>0, es gibt also zwei Wurzeln.
Tipp 1: Wenn der Faktor a eine negative Zahl ist, müssen Sie beide Seiten des Beispiels mit (-1) multiplizieren.
Tipp 2: Wenn es im Beispiel Brüche gibt, versuchen Sie, diese zu entfernen, indem Sie die linke und rechte Seite des Ausdrucks mit ihren Kehrwerten multiplizieren.
Tipp 3: Sie sollten die Gleichung immer in die kanonische Form bringen, um die Möglichkeit einer Verwechslung der Koeffizienten auszuschließen.
Satz von Vieta
Es gibt Methoden, die die Berechnungen deutlich reduzieren können. Dazu gehört der Satz von Vieta. Diese Methode kann nicht auf alle Arten von Gleichungen angewendet werden, sondern nur, wenn der Multiplikator der Variablen x2 gleich eins ist, also a = 1.
Schauen wir uns diese Aussage anhand konkreter Beispiele an:
- 5×2 – 2x + 9 = 0 – die Anwendung des Satzes ist in diesem Fall unangemessen, da a = 5;
- –x2 + 11x – 8 = 0 − a = -1, was bedeutet, dass die Gleichung mit der Methode von Vieta erst gelöst wird, nachdem sie in die klassische Form gebracht wurde, d. h. beide Seiten mit -1 multipliziert wurden;
- x2 + 4x – 5 = 0 – diese Aufgabe eignet sich hervorragend zur Analyse des Lösungsverfahrens.
Um schnell die Wurzeln eines Ausdrucks zu finden, ist es notwendig, ein Paar von x-Werten auszuwählen, für das das folgende lineare Gleichungssystem gilt.
