Mathematik konstanter Größen. Die Schönheit der Zahlen. Mathematische Konstanten in der Natur

E ist eine mathematische Konstante, die Basis des natürlichen Logarithmus, eine irrationale und transzendente Zahl. Manchmal wird die Zahl e auch Euler-Zahl (nicht zu verwechseln mit den sogenannten Euler-Zahlen erster Art) oder Napier-Zahl genannt. Gekennzeichnet durch den lateinischen Kleinbuchstaben „e“.... ... Wikipedia

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Die Euler-Mascheroni-Konstante oder Euler-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Grenze der Differenz zwischen der Teilsumme einer harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus einer Zahl definiert ist: Die Konstante wurde 1735 von Leonhard Euler eingeführt, der vorschlug... .. . Wikipedia

Konstante: Konstante Mathematische physikalische Konstante (in der Programmierung) Säuredissoziationskonstante Gleichgewichtskonstante ReKonstante (am Leben bleiben) Siehe auch Constantius Constantius Constantine Constant... ... Wikipedia

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Die Theorie eines verformbaren plastischen Festkörpers, die Probleme untersucht, die darin bestehen, die Felder des Verschiebungsvektors u(x, t) oder des Geschwindigkeitsvektors v(x,t), des Verformungstensors eij(x, t) oder des zu bestimmen Verformungsraten vij(x , t).und Tensor… … Mathematische Enzyklopädie

Ein magisches oder magisches Quadrat ist eine quadratische Tabelle, die mit n2 Zahlen so gefüllt ist, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und auf beiden Diagonalen gleich ist. Wenn die Summe der Zahlen in einem Quadrat nur in Zeilen und Spalten gleich ist, dann ... Wikipedia

Die zweite Entwicklungsperiode der Mathematik wird in der Literatur als bezeichnet Periode der Mathematik konstanter Größen(oder Elementare Mathematik). Es begann im 7. Jahrhundert. Chr e. und endete im 17. Jahrhundert. N. e. Die wichtigste Errungenschaft des mathematischen Denkens, die den Beginn dieser Periode kennzeichnete, war die Entstehung und Entwicklung des Beweiskonzepts. Griechische Mathematiker versuchten bewusst, mathematische Beweise in solchen Ketten anzuordnen, dass der Übergang von einem Glied zum nächsten keinen Raum für Zweifel ließ und alle dazu zwang, ihm zuzustimmen.

Leider gibt es bis heute keine Texte, anhand derer man die Entstehung dieser „deduktiven Methode“ beurteilen könnte. Die Überlieferung nennt den griechischen Wissenschaftler Thales aus Milet (einer Stadt in Kleinasien), der im 7.-6. Jahrhundert lebte, den ersten Philosophen, der Beweise in der Mathematik verwendete. Chr e. Den uns vorliegenden Informationen zufolge bewies Thales einige der einfachsten geometrischen Aussagen:

Gleichheit der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Gleichheit der vertikalen Winkel, eines der Zeichen der Gleichheit von Dreiecken, Gleichheit der Teile, in die der Durchmesser einen Kreis teilt usw.

Die von Thales entwickelte Methode zum logischen Beweis mathematischer Aussagen wurde zwischen dem Ende des 6. Jahrhunderts von Wissenschaftlern der pythagoräischen Schule entwickelt und verbessert. und die Mitte des 5. Jahrhunderts. Chr h., was insbesondere die nun genannte Aussage bewies Satz des Pythagoras(Der Wortlaut dieser Aussage war den Babyloniern bekannt).

Die Pythagoräer unternahmen den ersten Versuch, die damalige Geometrie und Algebra auf die Arithmetik zu reduzieren. Sie glaubten, dass „alles eine Zahl ist“ und meinten mit dem Wort „Zahl“ nur natürliche Zahlen. Insbesondere waren sie lange Zeit davon überzeugt, dass die Längen aller Segmente zueinander angemessen sind und daher rationale Zahlen ausreichen, um beliebige Größen zu messen.

Der Wendepunkt war die Entdeckung der Pythagoräer, dass die Diagonale eines Quadrats nicht im Verhältnis zu seiner Seite steht. Diese Entdeckung, die auf der Grundlage des Satzes des Pythagoras gemacht wurde, zeigte die Widersprüchlichkeit des Versuchs, die gesamte Geometrie auf natürliche Zahlen zu reduzieren. Die Analyse der erhaltenen Beweise führte zur Untersuchung anfänglicher Fragen der Zahlentheorie (Geradheit und Ungeradeheit von Primzahlen, Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren, Eigenschaften von teilerfremden Zahlen usw.).

Nach der Arbeit von Pythagoras wurde klar, dass nicht alle Größen durch rationale Zahlen ausgedrückt werden. Da das Konzept einer irrationalen Zahl zu dieser Zeit nicht geschaffen werden konnte, unternahmen griechische Mathematiker einen weiteren Versuch – die gesamte Mathematik auf der Grundlage geometrischer Konzepte zu begründen. Sie begannen mit der Entwicklung der geometrischen Algebra und interpretierten beispielsweise die Addition von Mengen als Addition von Segmenten und die Multiplikation als Konstruktion eines Rechtecks ​​mit gegebenen Seiten. Gleichzeitig sprachen sie von der Gleichheit der Segmente und nicht von der Gleichheit ihrer Längen, da die Länge eines Segments als Zahl ausgedrückt wird und Zahlen aus der antiken griechischen Mathematik ausgeschlossen wurden. Spuren dieser Herangehensweise an die Algebra sind in modernen Begriffen erhalten geblieben Quadrat einer Zahl, Kubik einer Zahl, geometrisches Mittel, geometrischer Verlauf usw.

Die antiken griechischen Mathematiker haben große Fortschritte gemacht. Sie führten beispielsweise eine Klassifikation quadratischer Irrationalitäten durch, entdeckten alle Arten regelmäßiger Polyeder, leiteten Formeln für das Volumen vieler Körper ab und untersuchten verschiedene gekrümmte Linien (Ellipse, Hyperbel, Parabel, Spiralen). Eine herausragende Rolle bei der Bildung der Mathematik als theoretische Wissenschaft spielte Euklids berühmtes Buch „Elemente“, das eine Synthese und Systematisierung der Hauptergebnisse des antiken griechischen mathematischen Denkens darstellte und lange Zeit als Wissensquelle und als Quelle des Wissens diente Beispiel einer strengen mathematischen Darstellung.

Euklids Buch ist der erste Versuch einer axiomatischen Darstellung der bis in unsere Zeit erhaltenen mathematischen Disziplin. Obwohl sich zu Euklids Zeiten die Frage nach der Beschreibung der logischen Mittel zur Ableitung sinnvoller Konsequenzen aus Axiomen noch nicht gestellt hatte, bestand in Euklids System die Hauptidee darin, den gesamten Grundinhalt der geometrischen Theorie durch eine rein deduktive Methode aus einem kleinen abzuleiten Anzahl der Aussagen - Axiome, deren Wahrheit klar und deutlich dargestellt wurde.

Im 19. Jahrhundert Es zeigte sich, dass Euklids Liste der Axiome unvollständig war und er bewies viele Theoreme mit Aussagen, die nicht in dieser Liste enthalten waren. Euklid hatte keine Ordnungsaxiome. Die Gleichheitszeichen von Dreiecken wurden auf der Grundlage des Konzepts der Überlagerung von Figuren bewiesen, also im Wesentlichen auf der Grundlage der Idee der Bewegung, die sich eher auf die Mechanik als auf die Mathematik bezieht.

Das Hauptaugenmerk der Kritiker und Kommentatoren zu Euklid lag zwei Jahrtausende lang auf dem Parallelenaxiom, da man davon ausging, dass es anhand der übrigen Axiome beweisbar sei. Erst die Entdeckung zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die nichteuklidische Geometrie zeigte, wie aussichtslos Versuche eines solchen Beweises waren.

Die Formulierung der Axiome Euklids wurde stark von langjährigen Auseinandersetzungen zwischen Befürwortern und Gegnern des Atomismus beeinflusst. Atomisten (Demokrit, Leukipp) argumentierten, dass Materie aus unteilbaren Atomen bestehe und dass die Teilbarkeit des Raums begrenzt sei (d. h. dass der Raum auch aus Teilchen bestehe, die noch weiter unteilbar seien). Ihre Gegner glaubten, dass der Raum unendlich teilbar sei und es daher inakzeptabel sei, anzunehmen, dass Linien aus Punkten bestünden, da Punkte weder Teile noch Dimensionen hätten und Linien eine bestimmte Länge hätten.

Obwohl Atomisten in der Geometrie große Erfolge erzielten (z. B. Demokrit leitete die Formel für das Volumen einer Pyramide ab), blieben ihre Versuche, eine logische Grundlage für die Geometrie zu schaffen, erfolglos. Tatsache ist, dass die Verhältnismäßigkeit zweier beliebiger Segmente aus atomistischen Ansichten folgte, und dies widersprach dem damals bereits bekannten Satz über die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale eines Quadrats. Gleichzeitig gelang es Euklid, ein logisch geschlossenes Geometriesystem aufzubauen, in dem man glaubte, dass jedes Segment unendlich teilbar sei und es daher keine unteilbaren Raumelemente gebe.

Euklids Buch fasste auch die lange Entwicklung der Idee der Unendlichkeit zusammen, die einerseits zur Entstehung des Konzepts einer unendlichen Reihe natürlicher Zahlen und andererseits zum Konzept unendlich teilbarer geometrischer Figuren führte (Segmente, Kreise usw.). Allerdings wurde Unendlichkeit nur als potenzielle Möglichkeit verstanden, einen bestimmten Prozess fortzusetzen (Eins zu einer natürlichen Zahl addieren, ein Segment in zwei Hälften teilen usw.). Idee um Die tatsächliche (vollendete) Unendlichkeit wurde aus den Werken von Euklid und seinen Anhängern (Archimedes, Apollonius usw.) ausgeschlossen. Diese Idee wurde diskreditiert, als der griechische Philosoph Zenon die Schwierigkeiten entdeckte, die ihre Verwendung mit sich brachte. Zeno „bewies“ zum Beispiel, dass ein Pfeil seinen Weg nicht fliegen kann, da er zuerst die halbe Strecke fliegen muss, dann die halbe Strecke usw. – was bedeutet, dass er sich niemals bewegen wird.

Daher wurden Formeln für das Volumen einer Kugel und eines Kegels, die Fläche eines Kreises usw. ohne Verwendung des Grenzübergangs, ohne Erweiterung angegeben An Infinitesimalteile, obwohl Mathematiker „verbotene Techniken“ verwendeten, um diese Formeln zu finden. Archimedes löste Probleme, die für die damalige Mathematik schwierig waren, wie zum Beispiel die Bestimmung des Volumens eines Segments eines Rotationsparaboloids und der Fläche eines Sektors einer archimedischen Spirale.

Der Nachteil des geometrischen Ansatzes in der Mathematik bestand darin Er behinderte die Entwicklung der Algebra (obwohl die Griechen beispielsweise wussten, wie man quadratische Gleichungen in geometrischer Form löst) - es war unmöglich, die vierte und höhere Längenpotenz geometrisch darzustellen, und außerdem war es unmöglich, Ausdrücke hinzuzufügen verschiedene Potenzen: Diese Summe hatte keine geometrische Bedeutung.

Aus dem gleichen Grund gab es in der griechischen Mathematik keine negativen Zahlen und keine Null, keine irrationalen Zahlen und keine alphabetische Analysis. Erst im 3. Jahrhundert. N. e. In den Werken des alexandrinischen Mathematikers Diophantus tauchen die Anfänge der alphabetischen Analysis auf. Diese Werke sollten jedoch seit der Annahme des Christentums im 5. Jahrhundert keine Fortsetzung in der griechischen Mathematik finden. N. e. Die heidnische Kultur, deren integraler Bestandteil die Mathematik war, wurde zerstört, und im Jahr 529 verbot Kaiser Justinian unter Androhung der Todesstrafe das Studium der Mathematik.

Das Zentrum der mathematischen Forschung verlagerte sich in den Osten – nach Indien, China und in die arabische Welt. Indische Mathematiker führten Null- und negative Zahlen ein und führten Forschungen zur Kombinatorik durch (Aryabhatta, 5. Jahrhundert n. Chr.). Als Hauptverdienst arabischer Mathematiker (al-Beruni, Omar Khayyam, Giyaseddin Dzhemshid, IX.-XIII. Jahrhundert n. Chr.) ist die Entwicklung der Trigonometrie (im Zusammenhang mit der astronomischen Forschung) und insbesondere die Schaffung eines neuen Bereichs der Mathematik anzusehen – Algebra.

Algebra, die heute als allgemeine Lehre formaler Handlungen und ihrer Eigenschaften gilt, erschien bei den Arabern als die Wissenschaft des Lösens von Gleichungen. Das Wort „Algebra“ selbst ist arabischen Ursprungs und bedeutet „Wiederherstellung“, also die Übertragung negativer Terme auf einen anderen Teil der Gleichungen.

Vom Anfang des 13. Jahrhunderts. Die mathematische Forschung wird in Europa wiederbelebt. Aber erst im 16. Jahrhundert. Es wurden die ersten wissenschaftlichen Ergebnisse erzielt, die die Leistungen der Griechen und Araber übertrafen – die italienischen Mathematiker del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari und andere leiteten Formeln zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades ab. Gleichzeitig wird ein System der algebraischen Notation gebildet und die verbale Algebra wird nach und nach durch die Buchstabenalgebra ersetzt. Zu Beginn des 17. Jahrhunderts. In den Werken französischer und englischer Mathematiker (Viete, Descartes, Garriott) wurde die Entwicklung der algebraischen Symbolik abgeschlossen und die Regeln der Literalrechnung geschaffen. Gleichzeitig mit der Entwicklung der Symbolik erweiterte sich der Zahlenbegriff: Mitte des 16 erlaubte keine Interpretation mit damals bekannten Mitteln). Es stellte sich heraus, dass die Regeln der Buchstabenalgebra gleichermaßen auf Zahlen jeglicher Art anwendbar sind.

Die wichtigste Rolle spielten die Werke des italienischen Wissenschaftlers Bombelli (16. Jahrhundert) und des französischen Mathematikers R. Descartes (17. Jahrhundert), die tatsächlich die Idee einer reellen Zahl einführten und damit die Algebra von ihrem ungewöhnlichen geometrischen Gewand befreiten . Descartes machte sich dies zunutze und begann, im Gegensatz zu den griechischen Mathematikern, die algebraische Probleme auf die Geometrie reduzierten, geometrische Probleme algebraisch zu lösen. Das war der Anfang analytische Geometrie.

Die zweite Periode in der Entwicklung der Mathematik wird in der Literatur als Periode der Mathematik konstanter Größen (oder Elementarmathematik) bezeichnet. Es begann im 7. Jahrhundert. Chr e. und endete im 17. Jahrhundert. N. e. Die wichtigste Errungenschaft des mathematischen Denkens, die den Beginn dieser Periode kennzeichnete, war die Entstehung und Entwicklung des Beweiskonzepts. Griechische Mathematiker versuchten bewusst, mathematische Beweise in solchen Ketten anzuordnen, dass der Übergang von einem Glied zum nächsten keinen Raum für Zweifel ließ und alle dazu zwang, ihm zuzustimmen.

Leider gibt es bis heute keine Texte, anhand derer man die Entstehung dieser „deduktiven Methode“ beurteilen könnte. Die Überlieferung nennt den griechischen Wissenschaftler Thales aus Milet (einer Stadt in Kleinasien), der im 7.-6. Jahrhundert lebte, den ersten Philosophen, der Beweise in der Mathematik verwendete. Chr. Nach den uns vorliegenden Informationen hat Thales einige der einfachsten geometrischen Aussagen bewiesen: die Gleichheit der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, die Gleichheit der vertikalen Winkel, eines der Zeichen der Gleichheit von Dreiecken, die Gleichheit der Teile, in die der Durchmesser einen Kreis teilt usw.

Die von Thales entwickelte Methode zum logischen Beweis mathematischer Aussagen wurde zwischen dem Ende des 6. Jahrhunderts von Wissenschaftlern der pythagoräischen Schule entwickelt und verbessert. und die Mitte des 5. Jahrhunderts. Chr h., der insbesondere die Aussage bewies, die heute als Satz des Pythagoras bezeichnet wird (die Formulierung dieser Aussage war den Babyloniern bekannt).

Die Pythagoräer unternahmen den ersten Versuch, die damalige Geometrie und Algebra auf die Arithmetik zu reduzieren. Sie glaubten, dass „alles eine Zahl ist“ und meinten mit dem Wort „Zahl“ nur natürliche Zahlen. Insbesondere waren sie lange Zeit davon überzeugt, dass die Längen aller Segmente einander angemessen sind und daher rationale Zahlen ausreichen, um beliebige Größen zu messen.

Der Wendepunkt war die Entdeckung der Pythagoräer, dass die Diagonale eines Quadrats nicht im Verhältnis zu seiner Seite steht. Diese Entdeckung, die auf der Grundlage des Satzes des Pythagoras gemacht wurde, zeigte die Widersprüchlichkeit des Versuchs, die gesamte Geometrie auf natürliche Zahlen zu reduzieren. Die Analyse der erhaltenen Beweise führte zur Untersuchung anfänglicher Fragen der Zahlentheorie (Geradheit und Ungeradeheit von Primzahlen, Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren, Eigenschaften von teilerfremden Zahlen usw.).

Nach der Arbeit von Pythagoras wurde klar, dass nicht alle Größen durch rationale Zahlen ausgedrückt werden. Da das Konzept einer irrationalen Zahl zu dieser Zeit nicht geschaffen werden konnte, unternahmen griechische Mathematiker einen weiteren Versuch – die gesamte Mathematik auf der Grundlage geometrischer Konzepte zu begründen. Sie begannen mit der Entwicklung der geometrischen Algebra und interpretierten beispielsweise die Addition von Mengen als Addition von Segmenten und die Multiplikation als Konstruktion eines Rechtecks ​​mit gegebenen Seiten. Gleichzeitig sprachen sie von der Gleichheit der Segmente und nicht von der Gleichheit ihrer Längen, da die Länge eines Segments als Zahl ausgedrückt wird und Zahlen aus der antiken griechischen Mathematik ausgeschlossen wurden. Spuren dieser Herangehensweise an die Algebra sind in modernen Begriffen erhalten geblieben: Quadrat einer Zahl, Kubik einer Zahl, geometrisches Mittel, geometrische Folge usw.

Die antiken griechischen Mathematiker haben große Fortschritte gemacht. Sie führten beispielsweise eine Klassifikation quadratischer Irrationalitäten durch, entdeckten alle Arten regelmäßiger Polyeder, leiteten Formeln für das Volumen vieler Körper ab und untersuchten verschiedene gekrümmte Linien (Ellipse, Hyperbel, Parabel, Spiralen). Eine herausragende Rolle bei der Bildung der Mathematik als theoretische Wissenschaft spielte Euklids berühmtes Buch „Elemente“, das eine Synthese und Systematisierung der Hauptergebnisse des antiken griechischen mathematischen Denkens darstellte und lange Zeit als Wissensquelle und als Quelle des Wissens diente Beispiel einer strengen mathematischen Darstellung.

Euklids Buch ist der erste Versuch einer axiomatischen Darstellung der bis in unsere Zeit erhaltenen mathematischen Disziplin. Obwohl sich zu Euklids Zeiten die Frage nach der Beschreibung der logischen Mittel zur Ableitung sinnvoller Konsequenzen aus Axiomen noch nicht gestellt hatte, bestand in Euklids System die Hauptidee darin, den gesamten Grundinhalt der geometrischen Theorie durch eine rein deduktive Methode aus einem kleinen abzuleiten Anzahl der Aussagen - Axiome, deren Wahrheit klar und deutlich dargestellt wurde.

Im 19. Jahrhundert Es zeigte sich, dass Euklids Liste der Axiome unvollständig war und er bewies viele Theoreme mit Aussagen, die nicht in dieser Liste enthalten waren. Euklid hatte keine Ordnungsaxiome. Die Gleichheitszeichen von Dreiecken wurden auf der Grundlage des Konzepts der Überlagerung von Figuren bewiesen, also im Wesentlichen auf der Grundlage der Idee der Bewegung, die sich eher auf die Mechanik als auf die Mathematik bezieht.

Das Hauptaugenmerk der Kritiker und Kommentatoren zu Euklid lag zwei Jahrtausende lang auf dem Parallelenaxiom, da man davon ausging, dass es anhand der übrigen Axiome beweisbar sei. Erst die Entdeckung zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die nichteuklidische Geometrie zeigte, wie aussichtslos Versuche eines solchen Beweises waren.

Die Formulierung der Axiome Euklids wurde stark von langjährigen Auseinandersetzungen zwischen Befürwortern und Gegnern des Atomismus beeinflusst. Atomisten (Demokrit, Leukipp) argumentierten, dass Materie aus unteilbaren Atomen bestehe und dass die Teilbarkeit des Raums begrenzt sei (d. h. dass der Raum auch aus Teilchen bestehe, die noch weiter unteilbar seien). Ihre Gegner glaubten, dass der Raum unendlich teilbar sei und dass es daher inakzeptabel sei, anzunehmen, dass Linien aus Punkten bestünden, da Punkte weder Teile noch Dimensionen hätten und Linien eine bestimmte Länge hätten.

Obwohl Atomisten in der Geometrie große Erfolge erzielten (z. B. Demokrit leitete die Formel für das Volumen einer Pyramide ab), blieben ihre Versuche, eine logische Grundlage für die Geometrie zu schaffen, erfolglos. Tatsache ist, dass die Verhältnismäßigkeit zweier beliebiger Segmente aus atomistischen Ansichten folgte, und dies widersprach dem damals bereits bekannten Satz über die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale eines Quadrats. Gleichzeitig gelang es Euklid, ein logisch geschlossenes Geometriesystem aufzubauen, in dem man glaubte, dass jedes Segment unendlich teilbar sei und es daher keine unteilbaren Raumelemente gebe.

Euklids Buch fasste auch die lange Entwicklung der Idee der Unendlichkeit zusammen, die einerseits zur Entstehung des Konzepts einer unendlichen Reihe natürlicher Zahlen und andererseits zum Konzept unendlich teilbarer geometrischer Figuren führte (Segmente, Kreise usw.). Allerdings wurde Unendlichkeit nur als potenzielle Möglichkeit verstanden, einen bestimmten Prozess fortzusetzen (Eins zu einer natürlichen Zahl addieren, ein Segment in zwei Hälften teilen usw.). Die Idee der tatsächlichen (vollständigen) Unendlichkeit wurde aus den Werken von Euklid und seinen Anhängern (Archimedes, Apollonius usw.) verbannt. Diese Idee wurde diskreditiert, als der griechische Philosoph Zenon die Schwierigkeiten entdeckte, die ihre Verwendung mit sich brachte. Zeno „bewies“ zum Beispiel, dass ein Pfeil seinen Weg nicht fliegen kann, da er zuerst die halbe Strecke fliegen muss, dann die halbe Strecke usw. – was bedeutet, dass er sich niemals bewegen wird.

Daher wurden Formeln für das Volumen einer Kugel und eines Kegels, die Fläche eines Kreises usw. ohne Grenzübergang und ohne Zerlegung in Infinitesimalteile angegeben, obwohl Mathematiker „verbotene Techniken“ verwendeten, um diese zu finden Formeln. Archimedes löste Probleme, die für die damalige Mathematik schwierig waren, wie zum Beispiel die Bestimmung des Volumens eines Segments eines Rotationsparaboloids und der Fläche eines Sektors einer archimedischen Spirale.

Der Nachteil der geometrischen Herangehensweise an die Mathematik bestand darin, dass sie die Entwicklung der Algebra behinderte (obwohl die Griechen beispielsweise wussten, wie man quadratische Gleichungen in geometrischer Form löst) – es war unmöglich, die vierte und höhere Längenpotenz geometrisch darzustellen, und Darüber hinaus war es unmöglich, Ausdrücke unterschiedlicher Potenz zu addieren: Diese Summe hatte keine geometrische Bedeutung.

Aus dem gleichen Grund gab es in der griechischen Mathematik keine negativen Zahlen und keine Null, keine irrationalen Zahlen und keine alphabetische Analysis. Erst im 3. Jahrhundert. N. e. In den Werken des alexandrinischen Mathematikers Diophantus tauchen die Anfänge der alphabetischen Analysis auf. Diese Werke sollten jedoch seit der Annahme des Christentums im 5. Jahrhundert keine Fortsetzung in der griechischen Mathematik finden. N. e. Die heidnische Kultur, deren integraler Bestandteil die Mathematik war, wurde zerstört, und im Jahr 529 verbot Kaiser Justinian unter Androhung der Todesstrafe das Studium der Mathematik.

Das Zentrum der mathematischen Forschung verlagerte sich in den Osten – nach Indien, China und in die arabische Welt. Indische Mathematiker führten Null- und negative Zahlen ein und führten Forschungen zur Kombinatorik durch (Aryabhatta, 5. Jahrhundert n. Chr.). Als Hauptverdienst arabischer Mathematiker (al-Beruni, Omar Khayyam, Giyaseddin Dzhemshid, IX.-XIII. Jahrhundert n. Chr.) ist die Entwicklung der Trigonometrie (im Zusammenhang mit der astronomischen Forschung) und insbesondere die Schaffung eines neuen Bereichs der Mathematik anzusehen – Algebra.

Algebra, die heute als allgemeine Lehre formaler Handlungen und ihrer Eigenschaften gilt, erschien bei den Arabern als die Wissenschaft des Lösens von Gleichungen. Das Wort „Algebra“ selbst ist arabischen Ursprungs und bedeutet „Wiederherstellung“, also die Übertragung negativer Terme auf einen anderen Teil der Gleichungen.

Vom Anfang des 13. Jahrhunderts. Die mathematische Forschung wird in Europa wiederbelebt. Aber erst im 16. Jahrhundert. Es wurden die ersten wissenschaftlichen Ergebnisse erzielt, die die Leistungen der Griechen und Araber übertrafen – die italienischen Mathematiker del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari und andere leiteten Formeln zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades ab. Gleichzeitig wird ein System der algebraischen Notation gebildet und die verbale Algebra wird nach und nach durch die Buchstabenalgebra ersetzt. Zu Beginn des 17. Jahrhunderts. In den Werken französischer und englischer Mathematiker (Viete, Descartes, Garriott) wurde die Entwicklung der algebraischen Symbolik abgeschlossen und die Regeln der Literalrechnung geschaffen. Gleichzeitig mit der Entwicklung der Symbolik erweiterte sich der Zahlenbegriff: Mitte des 16 erlaubte keine Interpretation mit damals bekannten Mitteln). Es stellte sich heraus, dass die Regeln der Buchstabenalgebra gleichermaßen auf Zahlen jeglicher Art anwendbar sind.

Die wichtigste Rolle spielten die Werke des italienischen Wissenschaftlers Bombelli (16. Jahrhundert) und des französischen Mathematikers R. Descartes (17. Jahrhundert), die tatsächlich die Idee einer reellen Zahl einführten und damit die Algebra von ihrem ungewöhnlichen geometrischen Gewand befreiten . Descartes machte sich dies zunutze und begann, im Gegensatz zu den griechischen Mathematikern, die algebraische Probleme auf die Geometrie reduzierten, geometrische Probleme algebraisch zu lösen. Dies war der Beginn der analytischen Geometrie.