heim » Rat » Der größte Wert einer Funktion in einem Intervall. Der größte und kleinste Wert einer Funktion. Aufgabe B15 (2014)

Der größte Wert einer Funktion in einem Intervall. Der größte und kleinste Wert einer Funktion. Aufgabe B15 (2014)

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Die notwendige Bedingung für das Maximum und Minimum (Extremum) einer Funktion ist die folgende: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder nicht nicht existieren.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Die Ableitung am Punkt x = a kann gegen Null oder Unendlich gehen oder nicht existieren, ohne dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum aufweist.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a negativ und rechts von a positiv ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). Minimum vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) hier stetig ist.

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion verwenden:

An der Stelle x = a sei die erste Ableitung f?(x) verschwunden; ist die zweite Ableitung f??(a) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann hat sie ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Dies ist der Wert des Funktionsarguments, bei dem die Funktion ein Extremum (d. h. Maximum oder Minimum) hat. Um es zu finden, brauchen Sie Finden Sie die Ableitung Funktion f?(x) und, indem man sie mit Null gleichsetzt, löse die Gleichung f?(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sowie die Punkte, an denen die Ableitung dieser Funktion nicht existiert, sind kritische Punkte, also Werte des Arguments, bei denen es ein Extremum geben kann. Sie können leicht durch Hinsehen identifiziert werden Ableitungsgraph: Uns interessieren die Werte des Arguments, bei denen der Graph der Funktion die Abszissenachse (Ox-Achse) schneidet, und diejenigen, bei denen der Graph Diskontinuitäten aufweist.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In diesem Fall liegt der kritische Punkt bei x0=-1/3. Mit diesem Argument hat die Funktion den Wert Extremum. Zu ihm finden Ersetzen Sie anstelle von „x“ die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes x0 von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann ist x0 Maximalpunkt; Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert, dann ist x0 Mindestpunktzahl; Wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, gibt es am Punkt x0 weder ein Maximum noch ein Minimum.

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Größter und kleinster Wert einer Funktion auf dem Intervall(auf einem Segment) werden mit dem gleichen Verfahren gefunden, nur unter Berücksichtigung der Tatsache, dass möglicherweise nicht alle kritischen Punkte innerhalb des angegebenen Intervalls liegen. Die kritischen Punkte, die außerhalb des Intervalls liegen, müssen von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Wenn es innerhalb des Intervalls nur einen kritischen Punkt gibt, hat dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum. In diesem Fall berücksichtigen wir zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte der Funktion auch die Werte der Funktion an den Enden des Intervalls.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Werte der Funktion bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] hat die Funktion den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Um alle Wendepunkte der Geraden y = f(x) zu finden, müssen Sie die zweite Ableitung finden, sie mit Null gleichsetzen (die Gleichung lösen) und alle Werte von x testen, für die die zweite Ableitung Null ist. unendlich oder existiert nicht. Wenn beim Durchlaufen eines dieser Werte die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, dann weist der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Wende auf. Wenn es sich nicht ändert, gibt es keine Biegung.

Die Wurzeln der Gleichung f? (x) = 0 sowie mögliche Unstetigkeitspunkte der Funktion und der zweiten Ableitung unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in eine Reihe von Intervallen. Die Konvexität in jedem ihrer Intervalle wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Wenn die zweite Ableitung an einem Punkt des untersuchten Intervalls positiv ist, dann ist die Linie y = f(x) nach oben konkav, und wenn sie negativ ist, dann nach unten.

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x;y) ausreichend nahe an P0. Bleibt die Differenz positiv, dann haben wir am Punkt P0 ein Minimum, ist sie negativ, dann haben wir ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es im Punkt P0 kein Extremum.

Die Extrema einer Funktion werden für eine größere Anzahl von Argumenten auf ähnliche Weise bestimmt.

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Sehen wir uns an, wie man eine Funktion mithilfe eines Diagramms untersucht. Es stellt sich heraus, dass wir durch einen Blick auf die Grafik alles herausfinden können, was uns interessiert, nämlich:

Domäne einer Funktion
Funktionsumfang
Funktionsnullstellen
Intervalle von Zunahme und Abnahme
maximale und minimale Punkte
der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment.

Lassen Sie uns die Terminologie klären:

Abszisse ist die horizontale Koordinate des Punktes.
Ordinate- vertikale Koordinate.
Abszissenachse- die horizontale Achse, am häufigsten Achse genannt.
Y-Achse- vertikale Achse oder Achse.

Streit- eine unabhängige Variable, von der die Funktionswerte abhängen. Am häufigsten angegeben.
Mit anderen Worten: Wir wählen aus, setzen Funktionen in die Formel ein und erhalten.

Domain Funktionen – die Menge der (und nur der) Argumentwerte, für die die Funktion existiert.
Angezeigt durch: oder .

In unserer Abbildung ist der Definitionsbereich der Funktion das Segment. Auf diesem Segment wird der Graph der Funktion gezeichnet. Dies ist der einzige Ort, an dem diese Funktion existiert.

Funktionsumfang ist die Menge der Werte, die eine Variable annimmt. In unserer Abbildung ist dies ein Segment – vom niedrigsten zum höchsten Wert.

Funktionsnullstellen- Punkte, an denen der Wert der Funktion Null ist. In unserer Abbildung sind dies die Punkte und .

Funktionswerte sind positiv Wo . In unserer Abbildung sind dies die Intervalle und .
Funktionswerte sind negativ Wo . Für uns ist dies das Intervall (oder Intervall) von bis .

Die wichtigsten Konzepte - zunehmende und abnehmende Funktion auf irgendeinem Set. Als Menge können Sie ein Segment, ein Intervall, eine Vereinigung von Intervallen oder die gesamte Zahlengeraden nehmen.

Funktion erhöht sich

Mit anderen Worten, je mehr, desto mehr, das heißt, der Graph geht nach rechts und nach oben.

Funktion nimmt ab auf einer Menge, wenn für alle und die zur Menge gehören, impliziert die Ungleichung die Ungleichung.

Bei einer fallenden Funktion entspricht ein größerer Wert einem kleineren Wert. Die Grafik geht nach rechts und nach unten.

In unserer Abbildung nimmt die Funktion im Intervall zu und in den Intervallen und ab.

Lassen Sie uns definieren, was es ist Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

Maximaler Punkt- Dies ist ein interner Punkt des Definitionsbereichs, sodass der Wert der Funktion darin größer ist als in allen Punkten, die hinreichend nahe bei ihm liegen.
Mit anderen Worten, ein Maximalpunkt ist ein Punkt, an dem der Wert der Funktion liegt mehr als in benachbarten. Dies ist ein lokaler „Hügel“ auf der Karte.

In unserer Abbildung gibt es einen Maximalpunkt.

Mindestpunktzahl- ein interner Punkt des Definitionsbereichs, so dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in allen Punkten, die hinreichend nahe bei ihm liegen.
Das heißt, der Minimalpunkt ist so, dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in seinen Nachbarn. Dies ist ein lokales „Loch“ im Diagramm.

In unserer Abbildung gibt es einen Mindestpunkt.

Der Punkt ist die Grenze. Es ist kein interner Punkt des Definitionsbereichs und passt daher nicht zur Definition eines Maximalpunkts. Schließlich hat sie links keine Nachbarn. Ebenso kann es in unserem Diagramm keinen Mindestpunkt geben.

Die Maximal- und Minimalpunkte zusammen werden aufgerufen Extrempunkte der Funktion. In unserem Fall ist das und .

Was tun, wenn Sie beispielsweise Folgendes finden müssen? minimale Funktion auf dem Segment? In diesem Fall lautet die Antwort: . Weil minimale Funktion ist sein Wert am Minimalpunkt.

Ebenso ist das Maximum unserer Funktion. Es wird am Punkt erreicht.

Wir können sagen, dass die Extrema der Funktion gleich und sind.

Manchmal müssen Probleme gefunden werden größter und kleinster Wert einer Funktion auf einem bestimmten Segment. Sie stimmen nicht unbedingt mit den Extremen überein.

In unserem Fall kleinster Funktionswert auf dem Segment ist gleich dem Minimum der Funktion und fällt mit diesem zusammen. Aber sein größter Wert in diesem Segment ist gleich. Es wird am linken Ende des Segments erreicht.

In jedem Fall werden die größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf einem Segment entweder an den Extrempunkten oder an den Enden des Segments erreicht.

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen, wie man die Fähigkeit des Findens auf das Studium einer Funktion anwenden kann: um ihren größten oder kleinsten Wert zu finden. Und dann werden wir mehrere Probleme aus Aufgabe B15 aus der offenen Aufgabenbank lösen.

Erinnern wir uns wie üblich zunächst an die Theorie.

Zu Beginn jeder Untersuchung einer Funktion finden wir sie

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie untersuchen, in welchen Intervallen die Funktion zunimmt und in welchen sie abnimmt.

Dazu müssen wir die Ableitung der Funktion finden und ihre Intervalle mit konstantem Vorzeichen untersuchen, also die Intervalle, über die die Ableitung ihr Vorzeichen behält.

Intervalle, über die die Ableitung einer Funktion positiv ist, sind Intervalle mit zunehmender Funktion.

Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion negativ ist, sind Intervalle mit abnehmender Funktion.

1 . Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245184)

Um es zu lösen, folgen wir dem folgenden Algorithmus:

a) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion

b) Finden wir die Ableitung der Funktion.

c) Setzen wir es mit Null gleich.

d) Finden wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

e) Finden Sie den Punkt, an dem die Funktion den größten Wert annimmt.

f) Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle.

Die detaillierte Lösung dieser Aufgabe erkläre ich im VIDEO-TUTORIAL:

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Feuerfuchs

2. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 282862)

Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment

Es ist offensichtlich, dass die Funktion am Maximalpunkt, bei x=2, den größten Wert auf dem Segment annimmt. Lassen Sie uns an dieser Stelle den Wert der Funktion ermitteln:

Antwort: 5

3. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245180):

Finden Sie den größten Wert der Funktion

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Weil gemäß dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Der Zähler ist bei gleich Null. Lassen Sie uns prüfen, ob die ODZ zur Funktion gehört. Dazu prüfen wir, ob die Bedingung title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Titel="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

das bedeutet, dass der Punkt zur ODZ-Funktion gehört

Untersuchen wir das Vorzeichen der Ableitung rechts und links vom Punkt:

Wir sehen, dass die Funktion am Punkt ihren größten Wert annimmt. Lassen Sie uns nun den Wert der Funktion ermitteln:

Bemerkung 1. Beachten Sie, dass wir in diesem Problem den Definitionsbereich der Funktion nicht gefunden haben: Wir haben nur die Einschränkungen festgelegt und geprüft, ob der Punkt, an dem die Ableitung gleich Null ist, zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Dies erwies sich für diese Aufgabe als ausreichend. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Es kommt auf die Aufgabe an.

Anmerkung 2. Wenn Sie das Verhalten einer komplexen Funktion untersuchen, können Sie die folgende Regel verwenden:

Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion zunimmt, nimmt die Funktion ihren größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion ihren größten Wert annimmt. Dies folgt aus der Definition einer steigenden Funktion: Eine Funktion wächst im Intervall I, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.
Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion abnimmt, nimmt die Funktion ihren größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion ihren kleinsten Wert annimmt . Dies folgt aus der Definition einer abnehmenden Funktion: Eine Funktion nimmt im Intervall I ab, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht

In unserem Beispiel nimmt die externe Funktion im gesamten Definitionsbereich zu. Unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht ein Ausdruck – ein quadratisches Trinom, das bei negativem Leitkoeffizienten an der Stelle den größten Wert annimmt . Als nächstes setzen wir diesen x-Wert in die Funktionsgleichung ein und seinen größten Wert finden.

Größter und kleinster Wert einer Funktion

Konzepte der mathematischen Analyse. Der Wert, den eine Funktion an einem Punkt der Menge annimmt, auf der diese Funktion definiert ist, wird als der größte (kleinste) Wert dieser Menge bezeichnet, wenn die Funktion an keinem anderen Punkt der Menge einen größeren (kleineren) Wert hat. N. und N. H. F. im Vergleich zu seinen Werten an allen hinreichend nahen Punkten nennt man Extrema (Maxima bzw. Minima) der Funktion. N. und N. H. f., gegeben auf einem Segment, kann entweder an Punkten erreicht werden, an denen die Ableitung gleich Null ist, oder an Punkten, an denen sie nicht existiert, oder an den Enden des Segments. Eine auf einem Segment definierte stetige Funktion erreicht notwendigerweise ihren größten und kleinsten Wert; Wenn eine kontinuierliche Funktion in einem Intervall (d. h. einem Segment mit ausgeschlossenen Enden) betrachtet wird, gibt es unter ihren Werten in diesem Intervall möglicherweise nicht den größten oder kleinsten. Zum Beispiel die Funktion bei = X, angegeben auf dem Segment, erreicht den größten bzw. kleinsten Wert bei X= 1 und X= 0 (d. h. an den Enden des Segments); Wenn wir diese Funktion im Intervall (0; 1) betrachten, dann gibt es unter ihren Werten in diesem Intervall weder den größten noch den kleinsten, da für jeden x 0 es gibt immer einen Punkt dieses Intervalls, der rechts (links) liegt x 0, und zwar so, dass der Wert der Funktion an diesem Punkt größer (bzw. kleiner) als an diesem Punkt ist x 0. Ähnliche Aussagen gelten für Funktionen vieler Variablen. Siehe auch Extremum.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Der größte und kleinste Wert einer Funktion“ ist:

Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Konzepte der mathematischen Analyse. Der Wert, den eine Funktion an einem bestimmten Punkt der Menge annimmt, auf der diese Funktion angegeben ist, wird als der größte (kleinste) auf dieser Menge bezeichnet, wenn die Funktion an keinem anderen Punkt einen größeren (kleineren) Wert hat ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Konzepte der Mathematik. Analyse. Der Wert, den die Funktion an dem Punkt der Menge annimmt, außer dass diese Funktion gegeben ist, wird aufgerufen. der größte (kleinste) Wert dieser Menge, wenn die Funktion an keinem anderen Punkt einen größeren (kleineren) Wert hat ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

MAXIMALE UND MINIMALE FUNKTIONEN- jeweils der größte und kleinste Wert der Funktion im Vergleich zu ihren Werten an allen hinreichend nahen Punkten. Die Maximal- und Minimalpunkte heißen Extrempunkte... Große Polytechnische Enzyklopädie

Die größten und dementsprechend kleinsten Werte einer Funktion, die reelle Werte annimmt. Der Punkt im Definitionsbereich der betrachteten Funktion, an dem sie ein Maximum oder Minimum annimmt, wird aufgerufen. jeweils ein Maximalpunkt bzw. ein Minimalpunkt... ... Mathematische Enzyklopädie

Eine ternäre Funktion in der Theorie funktionaler Systeme und der ternären Logik ist eine Funktion vom Typ, bei dem es sich um eine ternäre Menge und eine nichtnegative ganze Zahl handelt, die als Arität oder Lokalität der Funktion bezeichnet wird. Elemente des Sets sind digital... ... Wikipedia

Darstellung boolescher Funktionen durch Normalformen (siehe Normalformen boolescher Funktionen). die einfachste relativ zu einem bestimmten Maß an Komplexität. Typischerweise bezieht sich die Komplexität einer Normalform auf die Anzahl der darin enthaltenen Buchstaben. In diesem Fall heißt die einfachste Form... ... Mathematische Enzyklopädie

Eine Funktion, die unendlich kleine Inkremente für infinitesimale Inkremente des Arguments empfängt. Eine einwertige Funktion f (x) heißt stetig für den Wert des Arguments x0, wenn für alle Werte des Arguments x, die sich hinreichend wenig von x0 unterscheiden ... Große sowjetische Enzyklopädie

- (lat. Maximum und Minimum, wörtlich das Größte und das Kleinste) (math.), die größten und kleinsten Werte einer Funktion im Vergleich zu ihren Werten an ziemlich nahe beieinander liegenden Punkten. In der Abbildung hat die Funktion y = f(x) ein Maximum an den Punkten x1 und x3 und am Punkt x2 ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

- (vom lateinischen Maximum und Minimum, größtes und kleinstes) (mathematisch), der größte und kleinste Wert einer Funktion im Vergleich zu ihren Werten an ziemlich nahe beieinander liegenden Punkten. Die Maximal- und Minimalpunkte heißen Extrempunkte... Moderne Enzyklopädie

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion verwenden:

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Werte der Funktion bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] hat die Funktion den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

Die Extrema einer Funktion werden für eine größere Anzahl von Argumenten auf ähnliche Weise bestimmt.

Welche kohlensäurehaltigen Erfrischungsgetränke reinigen Oberflächen?
Es gibt die Meinung, dass das kohlensäurehaltige Erfrischungsgetränk Coca-Cola Fleisch auflösen kann. Aber leider gibt es dafür keine direkten Beweise. Im Gegenteil, es gibt positive Fakten, die bestätigen, dass Fleisch, das zwei Tage lang im Coca-Cola-Getränk belassen wird, seine Verbrauchereigenschaften verändert und nirgendwo verschwindet.

Grundrisse von Standardwohnungen, Beschreibungen und Fotos von Häusern können auf den Websites eingesehen werden: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Wie behandelt man Neurose?
Neurose (novolat. Neurose, kommt vom altgriechischen νε?ρον – Nerv; Synonyme – Psychoneurose, neurotische Störung) – in der Klinik: ein Sammelbegriff für eine Gruppe funktioneller psychogener reversibler Störungen, die dazu neigen, fortzubestehen

Was ist Aphel?
Das Apozentrum ist der Punkt auf der Umlaufbahn, an dem ein Körper, der sich auf einer elliptischen Umlaufbahn um einen anderen Körper dreht, seinen maximalen Abstand von diesem erreicht. An derselben Stelle wird gemäß dem zweiten Keplerschen Gesetz die Geschwindigkeit der Umlaufbewegung minimal. Das Apozentrum liegt an einem Punkt diametral gegenüber der Periapsis. In besonderen Fällen ist es üblich, spezielle Begriffe zu verwenden:

Was ist Mamon?
Mamon (m.r.), Mammon (f.r.) – ein aus dem Griechischen abgeleitetes Wort. mammonas und bedeutet Reichtum, irdische Schätze, Segen. Unter einigen alten heidnischen Völkern war er der Gott des Reichtums und des Profits. In der Heiligen Schrift heißt es von den Evangelisten Matthäus und Lukas: „Niemand kann zwei Herren dienen; denn entweder wird er den einen oder den anderen hassen.“

Wann ist orthodoxes Ostern im Jahr 2049?
Im Jahr 2015 wird das orthodoxe Ostern am 12. April und das katholische Ostern am 5. April sein. Kirchenkalender geben die Daten des orthodoxen Osterfestes nach dem julianischen Kalender (alter Stil) an, während das katholische Osterfest nach dem modernen gregorianischen Kalender (neuer Stil) berechnet wird, sodass der Vergleich der Daten einige mentale Anstrengung erfordert

Was ist ein Rubel?
Rubel ist der Name der modernen Währungen Russlands, Weißrusslands (belarussischer Rubel) und Transnistriens (transnistrischer Rubel). Der russische Rubel wird auch in Südossetien und Abchasien verwendet. In der Vergangenheit - die Währungseinheit der russischen Republiken und Fürstentümer, des Großfürstentums Moskau, des russischen Zarentums, des Großfürstentums Litauen, des Russischen Reiches und verschiedener anderer

Wie lange lag Ariel Sharon im Koma?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) – israelischer Militär, Politiker und Staatsmann, israelischer Premierminister von 2001 bis 2006. Geburtsdatum: 26. Februar 1928 Geburtsort: Siedlung Kfar Malal in der Nähe von Kfar Sava, Israel Sterbedatum: 11. Januar 2014 Sterbeort: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Wer waren die Neandertaler?
Neandertaler, Neandertaler (lat. Homo neanderthalensis oder Homo sapiens neanderthalensis) ist eine fossile Art von Menschen, die vor 300-24.000 Jahren lebten. Herkunft des Namens Es wird angenommen, dass der Neandertaler-Schädel erstmals im Jahr 1856 gefunden wurde

Wie alt ist Geoffrey Rush?
Geoffrey Rush ist ein australischer Film- und Bühnenschauspieler. Gewinner des Oscar (1997), BAFTA (1996, 1999), Golden Globe (1997, 2005). Die bekanntesten Filme mit seiner Beteiligung sind „Shine“.

So bestimmen Sie die Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle eines Funktionsgraphen
Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum? Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion. Die notwendige Bedingung für das Maximum und Minimum (Extremum) einer Funktion ist die folgende: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder nicht nicht existieren. Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Ableitung in t

Typ

oder

Der größte Wert einer Funktion in einem Intervall. Der größte und kleinste Wert einer Funktion. Aufgabe B15 (2014)

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