Eigenschaften eines Grades mit einem beliebigen rationalen Exponenten. Lektion „Exponent mit rationalem Exponenten. Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m macht der Ausdruck für jedes nichtnegative a Sinn (eine gerade Wurzel einer negativen Zahl macht keinen Sinn); für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division). durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a ungleich Null sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .

Von ganzzahligen Exponenten der Zahl a bietet sich der Übergang zu rationalen Exponenten an. Im Folgenden definieren wir einen Grad mit rationalem Exponenten, und zwar so, dass alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten erhalten bleiben. Dies ist notwendig, da ganze Zahlen zu den rationalen Zahlen gehören.

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl eine Bedeutung geben A mit einem Bruchindikator m/n, Wo M ist eine ganze Zahl und N- natürlich. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit berücksichtigen und wie wir die n-te Wurzel des Grades bestimmt haben, ist es logisch, dies zu akzeptieren, sofern das Gegebene gegeben ist M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: wenn Daten angegeben sind M, N Und A der Ausdruck Sinn ergibt, dann die Potenz der Zahl A mit einem Bruchindikator m/n Wurzel genannt N Grad der A bis zu einem Grad M.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei was M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn. Abhängig von den auferlegten Einschränkungen M, N Und A Es gibt zwei Hauptansätze.

1. Der einfachste Weg besteht darin, eine Einschränkung zu verhängen A, akzeptiert a≥0 für positiv M Und a>0 für negativ M(seit wann m≤0 Grad 0 m unentschlossen). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl A mit einem Bruchindikator m/n , Wo M- ganz, und N– eine natürliche Zahl, Wurzel genannt N-tel der Zahl A bis zu einem Grad M, also, .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n , Wo M ist eine positive ganze Zahl und N– natürliche Zahl, definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten eine Einschränkung gibt: für etwas Negatives A und einige M Und N Der Ausdruck macht Sinn, aber wir haben diese Fälle durch die Einführung der Bedingung verworfen a≥0. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

2. Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: die Potenz der Zahl A, deren Exponent ein reduzierbarer gewöhnlicher Bruch ist, wird als Potenz der Zahl betrachtet A, dessen Indikator der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird weiter unten erläutert). Das heißt, wenn m/n ist ein irreduzibler Bruch, dann für jede natürliche Zahl k Abschluss wird vorläufig durch ersetzt.

Für sogar N und positiv M Der Ausdruck ist für alle Nicht-Negativen sinnvoll A(Eine gerade Wurzel einer negativen Zahl hat keine Bedeutung), für negativ M Nummer A muss noch von Null verschieden sein (sonst erfolgt eine Division durch Null). Und für seltsam N und positiv M Nummer A kann beliebig sein (eine ungerade Wurzel wird für jede reelle Zahl definiert) und für negativ M Nummer A muss ungleich Null sein (damit es keine Division durch Null gibt).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Lassen m/n– irreduzibler Bruch, M- ganz, und N- natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Grad von A mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n- es ist für

o jede reelle Zahl A, ganz positiv M und seltsam natürlich N, Zum Beispiel, ;

o jede reelle Zahl ungleich Null A, negative ganze Zahl M und seltsam N, z.B, ;

o jede nicht negative Zahl A, ganz positiv M und selbst N, Zum Beispiel, ;

o irgendetwas Positives A, negative ganze Zahl M und selbst N, z.B, ;

o In anderen Fällen wird der Grad mit einem gebrochenen Indikator nicht bestimmt, da beispielsweise die Grade nicht definiert sind .a Wir geben dem Eintrag keine Bedeutung; wir definieren die Potenz der Zahl Null für positive gebrochene Exponenten m/n Wie , für negative gebrochene Exponenten wird die Potenz der Zahl Null nicht bestimmt.

Zum Abschluss dieses Punktes möchten wir die Aufmerksamkeit auf die Tatsache lenken, dass ein gebrochener Exponent beispielsweise als Dezimalbruch oder als gemischte Zahl geschrieben werden kann: . Um die Werte von Ausdrücken dieses Typs zu berechnen, müssen Sie den Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs schreiben und dann die Definition des Exponenten mit einem gebrochenen Exponenten verwenden. Für die obigen Beispiele haben wir Und

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ enthält visuelles Lehrmaterial für den Unterricht zu diesem Thema. Die Videolektion enthält Informationen zum Konzept eines Abschlusses mit rationalem Exponenten, zu den Eigenschaften solcher Abschlüsse sowie Beispiele, die den Einsatz von Lehrmaterial zur Lösung praktischer Probleme beschreiben. Der Zweck dieser Videolektion besteht darin, das Lehrmaterial klar und deutlich zu präsentieren, den Schülern dessen Entwicklung und Auswendiglernen zu erleichtern und die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mithilfe der erlernten Konzepte zu lösen.

Die Hauptvorteile der Videolektion sind die Möglichkeit, Transformationen und Berechnungen visuell durchzuführen sowie Animationseffekte zur Verbesserung der Lerneffizienz zu verwenden. Die Sprachbegleitung hilft bei der Entwicklung einer korrekten mathematischen Sprache und ermöglicht es außerdem, die Erklärungen des Lehrers zu ersetzen und ihm so mehr Zeit für die individuelle Arbeit zu geben.

Die Videolektion beginnt mit der Einführung in das Thema. Wenn man das Studium eines neuen Themas mit zuvor untersuchtem Material verbindet, sollte man bedenken, dass n √a ansonsten als a 1/n für natürliches n und positives a bezeichnet wird. Diese n-Wurzel-Darstellung wird auf dem Bildschirm angezeigt. Als nächstes schlagen wir vor, zu überlegen, was der Ausdruck a m/n bedeutet, wobei a eine positive Zahl und m/n ein Bruch ist. Die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten als a m/n = n √a m ist im Rahmen hervorgehoben. Es ist zu beachten, dass n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl sein kann.

Nachdem ein Grad mit einem rationalen Exponenten definiert wurde, wird seine Bedeutung anhand von Beispielen offenbart: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Es zeigt auch ein Beispiel, in dem eine durch eine Dezimalzahl dargestellte Potenz in einen Bruch umgewandelt wird, der als Wurzel dargestellt wird: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 und ein Beispiel mit negativer Potenz: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Auf die Besonderheit des Sonderfalls, dass die Basis des Grades Null ist, wird gesondert hingewiesen. Es ist zu beachten, dass dieser Grad nur bei einem positiven gebrochenen Exponenten sinnvoll ist. In diesem Fall ist sein Wert Null: 0 m/n =0.

Ein weiteres Merkmal eines Grades mit einem rationalen Exponenten ist, dass ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht mit einem gebrochenen Exponenten betrachtet werden kann. Beispiele für falsche Gradangaben sind: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Als nächstes diskutieren wir in der Videolektion die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten. Es ist zu beachten, dass die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten auch für einen Grad mit einem rationalen Exponenten gelten. Es wird vorgeschlagen, sich an die Liste der Eigenschaften zu erinnern, die auch in diesem Fall gültig sind:

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen addieren sich ihre Exponenten: a p a q =a p+q.
2. Die Division von Graden mit gleichen Basen wird auf einen Grad mit gegebener Basis und der Differenz der Exponenten reduziert: a p:a q =a p-q.
3. Wenn wir den Grad auf eine bestimmte Potenz erhöhen, erhalten wir am Ende einen Grad mit einer gegebenen Basis und dem Produkt der Exponenten: (a p) q =a pq.

Alle diese Eigenschaften gelten für Potenzen mit rationalen Exponenten p, q und positiver Basis a>0. Auch Gradtransformationen beim Öffnen von Klammern bleiben wahr:

1. (ab) p =a p b p – Potenzierung mit einem rationalen Exponenten Das Produkt zweier Zahlen wird auf das Produkt von Zahlen reduziert, von denen jede auf eine bestimmte Potenz erhöht wird.
2. (a/b) p =a p /b p – Potenzierung eines Bruchs mit einem rationalen Exponenten wird auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler und Nenner auf eine bestimmte Potenz erhöht werden.

Das Video-Tutorial diskutiert Lösungsbeispiele, die die betrachteten Eigenschaften von Potenzen mit einem rationalen Exponenten verwenden. Im ersten Beispiel werden Sie aufgefordert, den Wert eines Ausdrucks zu finden, der Variablen x in einer gebrochenen Potenz enthält: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trotz der Komplexität des Ausdrucks kann er mithilfe der Potenzeigenschaften ganz einfach gelöst werden. Die Lösung des Problems beginnt mit der Vereinfachung des Ausdrucks, die die Regel verwendet, eine Potenz mit einem rationalen Exponenten zu potenzieren, sowie Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren. Nachdem der gegebene Wert x=8 in den vereinfachten Ausdruck x 1/3 +48 eingesetzt wurde, ist es einfach, den Wert - 50 zu erhalten.

Im zweiten Beispiel müssen Sie einen Bruch reduzieren, dessen Zähler und Nenner Potenzen mit einem rationalen Exponenten enthalten. Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades extrahieren wir aus der Differenz den Faktor x 1/3, der dann im Zähler und Nenner reduziert wird, und unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate wird der Zähler faktorisiert, was weitere Reduzierungen von Identischen ergibt Faktoren im Zähler und Nenner. Das Ergebnis solcher Transformationen ist der kurze Bruch x 1/4 +3.

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ kann anstelle der Erklärung eines neuen Unterrichtsthemas durch den Lehrer verwendet werden. Dieses Handbuch enthält auch ausreichend vollständige Informationen, damit der Student selbständig lernen kann. Das Material kann auch für den Fernunterricht nützlich sein.

Einmal bestimmt Grad von, es ist logisch, darüber zu sprechen Abschlusseigenschaften. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften der Potenz einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden.

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Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten

Von Gradbestimmung mit natürlichem Exponenten Die Potenz von a n ist das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und auch unter Verwendung Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen können wir Folgendes erhalten und begründen Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten:

1. die Haupteigenschaft des Grades a m ·a n =a m+n, seine Verallgemeinerung;
2. Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis a m:a n =a m−n ;
3. Produktleistungseigenschaft (a·b) n =a n ·b n , seine Erweiterung;
4. Eigenschaft des Quotienten zum natürlichen Grad (a:b) n =a n:b n ;
5. Potenzierung eines Grades (a m) n =a m·n, seine Verallgemeinerung (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. Vergleich des Grades mit Null:
   • wenn a>0, dann a n>0 für jede natürliche Zahl n;
   • wenn a=0, dann a n =0;
   • wenn ein<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 wenn a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. wenn a und b positive Zahlen sind und a
8. Wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n ist, dann bei 0 0 ist die Ungleichung a m >a n wahr.

Beachten wir sofort, dass alle geschriebenen Gleichheiten gelten identisch Unter den angegebenen Bedingungen können sowohl der rechte als auch der linke Teil ausgetauscht werden. Zum Beispiel die Haupteigenschaft des Bruchs a m ·a n =a m+n mit Ausdrücke vereinfachen wird oft in der Form a m+n =a m ·a n verwendet.

Schauen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.

Beginnen wir mit der Eigenschaft des Produkts zweier Potenzen mit gleichen Basen, die man nennt die Haupteigenschaft des Abschlusses: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichung a m ·a n =a m+n.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Abschlusses beweisen. Durch die Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten kann das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen der Form a m ·a n als Produkt geschrieben werden. Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck wie folgt geschrieben werden: , und dieses Produkt ist eine Potenz der Zahl a mit einem natürlichen Exponenten m+n, also a m+n. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Nehmen wir Grade mit den gleichen Basen 2 und natürlichen Potenzen 2 und 3. Mithilfe der Grundeigenschaft der Grade können wir die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schreiben. Überprüfen wir seine Gültigkeit, indem wir die Werte der Ausdrücke 2 2 · 2 3 und 2 5 berechnen. Durchführung Potenzierung, wir haben 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 und 2 5 =2·2·2·2·2=32, da gleiche Werte erhalten werden, dann ist die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 5 richtig und bestätigt die Haupteigenschaft des Grades.

Die grundlegende Eigenschaft eines Grades, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Für jede Anzahl k natürlicher Zahlen n 1, n 2, …, n k gilt also die folgende Gleichheit: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Zum Beispiel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Wir können zur nächsten Eigenschaft von Potenzen mit einem natürlichen Exponenten übergehen – Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit gleichen Basen: Für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m>n erfüllen, gilt die Gleichheit a m:a n =a m−n.

Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n =0 ist, und als wir uns mit der Division vertraut machten, waren wir uns einig, dass wir nicht durch Null dividieren können. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Tatsächlich ist der Exponent a m−n für m>n eine natürliche Zahl, andernfalls ist er entweder Null (was für m−n der Fall ist) oder eine negative Zahl (was für m der Fall ist).

Nachweisen. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es uns, die Gleichheit zu schreiben a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Aus der resultierenden Gleichung a m−n ·a n =am folgt, dass a m−n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen.

Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit den gleichen Basen π und den natürlichen Exponenten 5 und 2, die Gleichheit π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 entspricht der betrachteten Eigenschaft des Grades.

Lassen Sie uns nun überlegen Produktleistungseigenschaft: Die natürliche Potenz n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Potenzen a n und b n , d. h. (a·b) n =a n ·b n .

Tatsächlich haben wir nach der Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten . Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation kann das letzte Produkt umgeschrieben werden als , was gleich a n · b n ist.

Hier ist ein Beispiel: .

Diese Eigenschaft erstreckt sich auf die Potenz des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Für das Produkt aus drei Faktoren hoch 7 gilt:

Die folgende Eigenschaft ist Eigenschaft eines Quotienten in Form von Sachleistungen: Der Quotient der reellen Zahlen a und b, b≠0 zur natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n, also (a:b) n =a n:b n.

Der Nachweis kann anhand der bisherigen Eigenschaft erfolgen. Also (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, und aus der Gleichung (a:b) n ·b n =a n folgt, dass (a:b) n der Quotient von a n dividiert durch b n ist.

Schreiben wir diese Eigenschaft am Beispiel konkreter Zahlen: .

Lassen Sie es uns jetzt aussprechen Eigenschaft, eine Macht zu einer Macht zu erheben: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n ist die Potenz von a m hoch n gleich der Potenz der Zahl a mit dem Exponenten m·n, d. h. (a m) n =a m·n.

Zum Beispiel (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Der Beweis der Power-to-Degree-Eigenschaft ist die folgende Gleichungskette: .

Die betrachtete Eigenschaft kann von Grad zu Grad usw. erweitert werden. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit . Zur besseren Übersicht hier ein Beispiel mit konkreten Zahlen: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Es bleibt noch auf die Eigenschaften des Vergleichs von Graden mit einem natürlichen Exponenten einzugehen.

Beginnen wir mit dem Beweis der Eigenschaft, Null und Potenz mit einem natürlichen Exponenten zu vergleichen.

Beweisen wir zunächst, dass a n > 0 für jedes a > 0 gilt.

Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, wie aus der Definition der Multiplikation hervorgeht. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation legen nahe, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Mit diesen Argumenten können wir behaupten, dass für jede positive Basis a der Grad a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der nachgewiesenen Eigenschaft 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 und .

Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jede natürliche Zahl n mit a=0 der Grad von a n Null ist. Tatsächlich ist 0 n =0·0·…·0=0 . Beispiel: 0 3 =0 und 0 762 =0.

Kommen wir nun zu den negativen Gradzahlen.

Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann . Denn jedes der Produkte der Form a·a ist gleich dem Produkt der Moduli der Zahlen a und a, also eine positive Zahl. Daher wird das Produkt auch positiv sein und Grad a 2·m. Geben wir Beispiele: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 und .

Wenn schließlich die Basis a eine negative Zahl und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m−1 ist, dann . Alle Produkte a·a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv und seine Multiplikation mit der verbleibenden negativen Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Kommen wir zur Eigenschaft, Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten zu vergleichen, die wie folgt formuliert ist: Von zwei Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten ist n kleiner als diejenige, deren Basis kleiner ist, und größer ist diejenige, deren Basis größer ist . Lass es uns beweisen.

Ungleichheit a n Eigenschaften von Ungleichungen eine beweisbare Ungleichung der Form a n ist ebenfalls wahr (2.2) 7 und .

Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Formulieren wir es. Von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen positiven Basen kleiner als eins ist diejenige größer, deren Exponent kleiner ist; und von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen Basen größer als eins ist diejenige größer, deren Exponent größer ist. Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort.

Beweisen wir das für m>n und 0 0 aufgrund der Anfangsbedingung m>n, was bedeutet, dass bei 0

Es bleibt der Nachweis des zweiten Teils der Immobilie. Beweisen wir, dass für m>n und a>1 a m >a n gilt. Die Differenz a m −a n nach Entfernen von a n aus Klammern hat die Form a n ·(a m−n −1) . Dieses Produkt ist positiv, da für a>1 der Grad a n eine positive Zahl ist und die Differenz a m−n −1 eine positive Zahl ist, da aufgrund der Anfangsbedingung m−n>0 ist, und für a>1 der Grad a m−n ist größer als eins. Folglich gilt: a m −a n >0 und a m >a n , was bewiesen werden musste. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7 >3 2 veranschaulicht.

Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den im vorherigen Absatz aufgeführten und bewiesenen Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten überein.

Potenz mit negativem ganzzahligem Exponenten sowie einen Grad mit einem Exponenten von Null haben wir so definiert, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, gültig bleiben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für Nullexponenten als auch für negative Exponenten, wobei natürlich die Basen der Potenzen von Null verschieden sind.

Für alle reellen und ungleich Null Zahlen a und b sowie alle ganzen Zahlen m und n gilt also Folgendes: Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, sind a und b positive Zahlen und a b−n ;
7. wenn m und n ganze Zahlen sind und m>n , dann bei 0 1 Es gilt die Ungleichung a m >a n.

Wenn a=0, sind die Potenzen a m und a n nur dann sinnvoll, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen, also natürliche Zahlen, sind. Somit gelten die gerade geschriebenen Eigenschaften auch für die Fälle, in denen a=0 ist und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.

Der Beweis jeder dieser Eigenschaften ist nicht schwierig; dazu genügt es, die Definitionen von Graden mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Potenz-zu-Potenz-Eigenschaft sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu müssen Sie zeigen, dass, wenn p Null oder eine natürliche Zahl ist und q Null oder eine natürliche Zahl ist, die Gleichungen (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) und (a −p) −q =a (−p)·(−q). Lass es uns tun.

Für positive p und q wurde im vorherigen Absatz die Gleichheit (a p) q =a p·q bewiesen. Wenn p=0, dann gilt (a 0) q =1 q =1 und a 0·q =a 0 =1, woraus (a 0) q =a 0·q. Wenn q=0, dann gilt in ähnlicher Weise (a p) 0 =1 und a p·0 =a 0 =1, woraus (a p) 0 =a p·0. Wenn sowohl p=0 als auch q=0, dann (a 0) 0 =1 0 =1 und a 0·0 =a 0 =1, woraus (a 0) 0 =a 0·0.

Nun beweisen wir, dass (a −p) q =a (−p)·q . Per Definition einer Potenz mit einem negativen ganzzahligen Exponenten . Durch die Eigenschaft von Quotienten zu Potenzen haben wir . Da 1 p =1·1·…·1=1 und , dann . Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a −(p·q), die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p)·q geschrieben werden kann.

Ebenfalls .

UND .

Nach dem gleichen Prinzip können Sie alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen.

In der vorletzten der aufgezeichneten Eigenschaften lohnt es sich, auf den Beweis der Ungleichung a −n > b −n einzugehen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a erfüllt ist . Da nach Bedingung a 0 . Das Produkt a n · b n ist auch positiv als Produkt positiver Zahlen a n und b n . Dann ist der resultierende Bruch positiv als Quotient der positiven Zahlen b n −a n und a n ·b n . Daher ist a −n > b −n , was bewiesen werden musste.

Die letzte Eigenschaft von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten wird auf die gleiche Weise bewiesen wie eine ähnliche Eigenschaft von Potenzen mit natürlichen Exponenten.

Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten

Bruchgrad Wir haben es bestimmt, indem wir die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten darauf erweitert haben. Mit anderen Worten: Potenzen mit gebrochenen Exponenten haben die gleichen Eigenschaften wie Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Nämlich:

Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten basiert auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Lassen Sie uns Beweise liefern.

Per Definition einer Potenz mit gebrochenem Exponenten und dann . Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel ermöglichen es uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Wenn wir außerdem die Eigenschaft eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten verwenden, erhalten wir , woraus wir durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten haben , und der Indikator des erreichten Abschlusses kann wie folgt transformiert werden: . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Die zweite Eigenschaft von Potenzen mit gebrochenen Exponenten wird auf ganz ähnliche Weise bewiesen:

Die übrigen Gleichheiten werden nach ähnlichen Prinzipien bewiesen:

Fahren wir mit dem Beweis der nächsten Eigenschaft fort. Beweisen wir, dass für jedes positive a und b a gilt b p . Schreiben wir die rationale Zahl p als m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Bedingungen S<0 и p>0 in diesem Fall die Bedingungen m<0 и m>0 entsprechend. Für m>0 und a

Ebenso gilt für m<0 имеем a m >b m , woher also und a p > b p .

Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p>q bei 0 gilt 0 – Ungleichung a p >a q . Wir können rationale Zahlen p und q immer auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, auch wenn wir gewöhnliche Brüche und erhalten, wobei m 1 und m 2 ganze Zahlen sind und n eine natürliche Zahl ist. In diesem Fall entspricht die Bedingung p>q der Bedingung m 1 >m 2, die aus folgt. Dann durch die Eigenschaft, Potenzen mit den gleichen Basen und natürlichen Exponenten bei 0 zu vergleichen 1 – Ungleichung a m 1 >a m 2 . Diese Ungleichungen in den Eigenschaften der Wurzeln können entsprechend umgeschrieben werden als Und . Und die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es uns, zu Ungleichungen überzugehen und dementsprechend. Von hier aus ziehen wir die endgültige Schlussfolgerung: für p>q und 0 0 – Ungleichung a p >a q .

Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten

Wie es bestimmt wird Grad mit irrationalem Exponenten können wir daraus schließen, dass es alle Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten besitzt. Für alle a>0, b>0 und irrationalen Zahlen p und q gilt also Folgendes Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. für alle positiven Zahlen a und b, a 0 die Ungleichung a p b p ;
7. für irrationale Zahlen p und q, p>q bei 0 0 – Ungleichung a p >a q .

Daraus können wir schließen, dass Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a>0 die gleichen Eigenschaften haben.

Referenzliste.

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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

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