Genauigkeit der Näherungswerte. Ungefährer Wert der Größe und Fehler von Näherungen. Absoluter und relativer Fehler von Näherungswerten

Für moderne Probleme ist es notwendig, komplexe mathematische Apparate und entwickelte Methoden zu deren Lösung einzusetzen. Dabei stößt man häufig auf Probleme, für die eine analytische Lösung, d. h. Eine Lösung in Form eines analytischen Ausdrucks, der die Ausgangsdaten mit den erforderlichen Ergebnissen verbindet, ist entweder völlig unmöglich oder wird durch so umständliche Formeln ausgedrückt, dass ihre Verwendung für praktische Zwecke unpraktisch ist.

Dabei kommen numerische Lösungsverfahren zum Einsatz, die es ermöglichen, ganz einfach eine numerische Lösung des gestellten Problems zu erhalten. Numerische Methoden werden mithilfe von Rechenalgorithmen implementiert.

Die gesamte Vielfalt numerischer Verfahren gliedert sich in zwei Gruppen:

Exakt – Gehen Sie davon aus, dass bei genauer Durchführung der Berechnungen mit einer endlichen Anzahl arithmetischer und logischer Operationen genaue Werte der gewünschten Größen ermittelt werden können.

Näherungswerte – die selbst unter der Annahme, dass die Berechnungen ohne Rundung durchgeführt werden, eine Lösung des Problems nur mit einer bestimmten Genauigkeit ermöglichen.

1. Größe und Zahl. Eine Menge ist etwas, das als Zahl in bestimmten Einheiten ausgedrückt werden kann.

Wenn wir vom Wert einer Größe sprechen, meinen wir eine bestimmte Zahl, den sogenannten Zahlenwert der Größe, und ihre Maßeinheit.

Somit ist eine Größe ein Merkmal einer Eigenschaft eines Objekts oder Phänomens, das vielen Objekten gemeinsam ist, aber für jedes von ihnen individuelle Werte hat.

Mengen können konstant oder variabel sein. Wenn eine Größe unter bestimmten Bedingungen nur einen Wert annimmt und diesen nicht ändern kann, wird sie als Konstante bezeichnet. Wenn sie jedoch verschiedene Werte annehmen kann, wird sie als Variable bezeichnet. Somit ist die Beschleunigung des freien Falls eines Körpers an einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche eine konstante Größe, die einen einzigen numerischen Wert annimmt g = 9,81... m/s2, während der Weg s von einem materiellen Punkt während seines zurückgelegt wird Bewegung ist eine variable Größe.

2. Näherungswerte von Zahlen. Den Wert einer Größe, an deren Wahrheit wir nicht zweifeln, nennt man exakt. Wenn man jedoch nach dem Wert einer Größe sucht, erhält man oft nur ihren ungefähren Wert. In der Rechenpraxis hat man es am häufigsten mit Näherungswerten von Zahlen zu tun. Somit ist p eine exakte Zahl, aber aufgrund seiner Irrationalität kann nur sein Näherungswert verwendet werden.

Bei vielen Problemen werden aufgrund der Komplexität und oft der Unmöglichkeit, exakte Lösungen zu erhalten, Näherungslösungsmethoden verwendet, dazu gehören: Näherungslösung von Gleichungen, Interpolation von Funktionen, Näherungsberechnung von Integralen usw.

Die Hauptanforderung an Näherungsberechnungen ist die Einhaltung der angegebenen Genauigkeit der Zwischenberechnungen und des Endergebnisses. Gleichzeitig ist es ebenso inakzeptabel, die Fehler (Irrtümer) durch ungerechtfertigte Aufrauhungen der Berechnungen zu erhöhen und redundante Zahlen beizubehalten, die nicht der tatsächlichen Genauigkeit entsprechen.

Es gibt zwei Klassen von Fehlern, die sich aus Berechnungen und Rundungen von Zahlen ergeben – absolute und relative.

1. Absoluter Fehler (Fehler).

Führen wir die folgende Notation ein:

Sei A der genaue Wert einer bestimmten Größe. Schreiben Sie a » A wir werden lesen „a ist ungefähr gleich A“. Manchmal schreiben wir A = a, was bedeutet, dass wir von ungefährer Gleichheit sprechen.

Wenn bekannt ist, dass a< А, то а называют ein ungefährer Wert von A mit einem Nachteil. Wenn a > A, dann heißt a ungefährer Wert von A mit Überschuss.

Die Differenz zwischen dem genauen und dem Näherungswert einer Größe nennt man Näherungsfehler und wird mit D bezeichnet, d.h.

D = A – a (1)

Der Näherungsfehler D kann entweder eine positive oder eine negative Zahl sein.

Um den Unterschied zwischen einem Näherungswert einer Größe und einem exakten Wert zu charakterisieren, reicht es oft aus, den absoluten Wert der Differenz zwischen dem genauen und dem Näherungswert anzugeben.

Der absolute Wert der Differenz zwischen den ungefähren Werten A und genau A die Werte einer Zahl werden aufgerufen absoluter Fehler (Fehler) der Näherung und mit D bezeichnet A:

D A = ½ A – A½ (2)

Beispiel 1. Beim Messen eines Segments l Wir haben ein Lineal verwendet, dessen Skalenteilung 0,5 cm beträgt. Wir haben einen ungefähren Wert für die Länge des Segments erhalten A= 204 cm.

Es ist klar, dass es bei der Messung zu einem Fehler von höchstens 0,5 cm kommen konnte, d.h. Der absolute Messfehler beträgt nicht mehr als 0,5 cm.

Normalerweise ist der absolute Fehler unbekannt, da der genaue Wert der Zahl A unbekannt ist. Daher jeder Bewertung Absoluter Fehler:

D A <= DA Vor. (3)

wo d und davor. – maximaler Fehler (Anzahl, mehr Null), gegeben unter Berücksichtigung der Zuverlässigkeit, mit der die Zahl a bekannt ist.

Der maximale absolute Fehler wird auch genannt Fehlermarge. Im gegebenen Beispiel gilt also:
D und davor. = 0,5 cm.

Aus (3) erhalten wir: D A = ½ A – A½<= DA Vor. . und dann

A-D A Vor. ≤ A≤ A+D A Vor. . (4)

Bedeutet, Anzeige A Vor. wird ein ungefährer Wert sein A mit einem Nachteil, und a + D A Vor – ungefährer Wert A in Hülle und Fülle. Es wird auch die Kurzschreibweise verwendet: A= A±D A Vor (5)

Aus der Definition des maximalen absoluten Fehlers folgt, dass die Zahlen D A Vor, die Ungleichung (3) erfüllt, wird es eine unendliche Menge geben. In der Praxis versuchen sie zu wählen möglicherweise weniger aus Zahlen D und davor, die die Ungleichung D erfüllt A <= DA Vor.

Beispiel 2. Bestimmen wir den maximalen absoluten Fehler der Zahl a=3,14, angenommen als Näherungswert der Zahl π.

Es ist bekannt, dass 3,14<π<3,15. Es folgt dem

|A – π |< 0,01.

Der maximale absolute Fehler kann als Zahl D angenommen werden A = 0,01.

Wenn wir das berücksichtigen 3,14<π<3,142 , dann bekommen wir eine bessere Bewertung: D A= 0,002 also π ≈3,14 ±0,002.

Relativer Fehler (Fehler). Um die Qualität der Messung zu charakterisieren, reicht es nicht aus, nur den absoluten Fehler zu kennen.

Wenn man beispielsweise zwei Körper wiegt, erhält man folgende Ergebnisse:

P 1 = 240,3 ±0,1 g.

P 2 = 3,8 ±0,1 g.

Obwohl die absoluten Messfehler beider Ergebnisse gleich sind, ist die Messqualität im ersten Fall besser als im zweiten. Es ist durch einen relativen Fehler gekennzeichnet.

Relativer Fehler (Error) Annäherung an die Zahl A wird als absolute Fehlerquote bezeichnet D a Annäherung an den Absolutwert der Zahl A:

Da der genaue Wert einer Größe meist unbekannt ist, wird er durch einen Näherungswert ersetzt und dann:

Maximaler relativer Fehler oder Grenze des relativen Approximationsfehlers, heißt die Zahl d und davor>0, so dass:

D A<= D und davor

Der maximale relative Fehler kann offensichtlich als Verhältnis des maximalen absoluten Fehlers zum absoluten Wert des Näherungswerts angesehen werden:

Aus (9) ergibt sich leicht die folgende wichtige Beziehung:

∆und davor = |A| D und davor

Der maximale relative Fehler wird normalerweise als Prozentsatz ausgedrückt:

Beispiel. Für die Berechnung wird angenommen, dass die Basis des natürlichen Logarithmus gleich ist e=2,72. Wir haben den genauen Wert angenommen e t = 2,7183. Finden Sie die absoluten und relativen Fehler der ungefähren Zahl.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Die Größe des relativen Fehlers bleibt bei einer proportionalen Änderung der ungefährsten Zahl und ihres absoluten Fehlers unverändert. Somit sind für die Zahl 634,7, berechnet mit einem absoluten Fehler von D = 1,3, und für die Zahl 6347 mit einem Fehler von D = 13 die relativen Fehler gleich: D= 0,2.

Bei praktischen Tätigkeiten muss eine Person verschiedene Mengen messen, Materialien und Arbeitsprodukte berücksichtigen und verschiedene Berechnungen durchführen. Die Ergebnisse verschiedener Messungen, Berechnungen und Berechnungen sind Zahlen. Die durch Messungen ermittelten Zahlen charakterisieren nur annähernd und mit einiger Genauigkeit die gewünschten Größen. Genaue Messungen sind aufgrund der Ungenauigkeit der Messgeräte, der Unvollkommenheit unserer Sehorgane und der gemessenen Objekte selbst manchmal nicht möglich, ihre Größe genau zu bestimmen.

Es ist beispielsweise bekannt, dass die Länge des Suezkanals 160 km beträgt, die Entfernung mit der Bahn von Moskau nach Leningrad beträgt 651 km. Hier finden Sie Ergebnisse von Messungen mit einer Genauigkeit von bis zu einem Kilometer. Wenn beispielsweise die Länge eines rechteckigen Abschnitts 29 m und die Breite 12 m beträgt, dann wurden die Messungen wahrscheinlich auf den nächsten Meter genau durchgeführt und Bruchteile eines Meters wurden vernachlässigt.

Bevor eine Messung durchgeführt wird, muss entschieden werden, mit welcher Genauigkeit sie durchgeführt werden soll, d. h. welche Bruchteile der Maßeinheit berücksichtigt und welche vernachlässigt werden sollten.

Wenn es eine bestimmte Menge gibt A, Der wahre Wert ist unbekannt und der ungefähre Wert (Näherungswert) dieser Größe ist gleich X, dann schreiben sie ein x.

Bei unterschiedlichen Messungen derselben Größe erhalten wir unterschiedliche Näherungen. Jede dieser Näherungen wird vom wahren Wert der gemessenen Größe abweichen, beispielsweise gleich A, um einen bestimmten Betrag, den wir nennen werden Fehler. Definition. Wenn die Zahl x eine Näherung (Näherung) einer Größe ist, deren wahrer Wert gleich der Zahl ist A, dann der Modul der Zahlendifferenz, A Und X angerufen Absoluter Fehler dieser Näherung und wird bezeichnet A X: oder einfach A. Somit ist per Definition

A x = a-x (1)

Aus dieser Definition ergibt sich Folgendes

a = x A X (2)

Wenn bekannt ist, um welche Größe es sich handelt, dann in der Notation A X Index A wird weggelassen und Gleichheit (2) wird wie folgt geschrieben:

a = x x (3)

Da der wahre Wert der gewünschten Größe meist unbekannt ist, ist es unmöglich, den absoluten Fehler bei der Näherung dieser Größe zu ermitteln. Sie können im Einzelfall nur eine positive Zahl angeben, größer als diese darf dieser absolute Fehler nicht sein. Diese Zahl wird als Grenze des absoluten Fehlers der Annäherung an den Wert bezeichnet A und ist bezeichnet H A. Also, wenn X– also eine willkürliche Näherung des Wertes a für ein gegebenes Verfahren zur Erlangung von Näherungen

A x = a-x h A (4)

Aus dem oben Gesagten folgt, dass if H A ist die Grenze des absoluten Fehlers bei der Annäherung an den Wert A, dann jede Zahl größer H A, wird auch die Grenze des absoluten Fehlers bei der Annäherung an den Wert sein A.

In der Praxis ist es üblich, als absolute Fehlergrenze die kleinstmögliche Zahl zu wählen, die die Ungleichung (4) erfüllt.

Ungleichheit lösen a-x h A Das verstehen wir A innerhalb der Grenzen enthalten

x - h A a x + h A (5)

Ein strengeres Konzept der absoluten Fehlergrenze kann wie folgt angegeben werden.

Lassen X- viele verschiedene Näherungen X Mengen A für ein gegebenes Verfahren zur Erlangung einer Näherung. Dann eine beliebige Zahl H, die Bedingung erfüllend a-x h Aüberhaupt xX, wird als Grenze des absoluten Fehlers von Näherungen aus der Menge bezeichnet X. Bezeichnen wir mit H A kleinste bekannte Zahl H. Diese Nummer H A und wird in der Praxis als absolute Fehlergrenze gewählt.

Der absolute Näherungsfehler charakterisiert nicht die Qualität der Messungen. Wenn wir tatsächlich eine beliebige Länge mit einer Genauigkeit von 1 cm messen, ist die Genauigkeit bei der Bestimmung der Länge eines Bleistifts unzureichend. Wenn Sie die Länge oder Breite eines Volleyballfeldes mit einer Genauigkeit von 1 cm bestimmen, dann ist dies sehr genau.

Zur Charakterisierung der Messgenauigkeit wird das Konzept des relativen Fehlers eingeführt.

Definition. Wenn A X: Es liegt ein absoluter Näherungsfehler vor X eine Größe, deren wahrer Wert gleich der Zahl ist A, dann die Beziehung A X zum Modul einer Zahl X wird als relativer Approximationsfehler bezeichnet und mit bezeichnet A X oder X.

Somit ist per Definition

Der relative Fehler wird normalerweise als Prozentsatz ausgedrückt.

Im Gegensatz zum absoluten Fehler, der meist eine Dimensionsgröße ist, ist der relative Fehler eine dimensionslose Größe.

In der Praxis wird nicht der relative Fehler berücksichtigt, sondern die sogenannte relative Fehlergrenze: eine solche Zahl E A, größer als der relative Fehler bei der Annäherung an den gewünschten Wert nicht sein kann.

Auf diese Weise, A x E A .

Wenn H A– Grenze des absoluten Fehlers der Näherungen des Werts A, Das A x h A und deshalb

Offensichtlich jede beliebige Zahl E, die die Bedingung erfüllt, ist die relative Fehlergrenze. In der Praxis ist normalerweise eine gewisse Annäherung bekannt X Mengen A und die absolute Fehlergrenze. Dann wird die relative Fehlergrenze als Zahl angenommen

1. Die Zahlen sind exakt und ungefähr. Die Zahlen, denen wir in der Praxis begegnen, sind zweierlei Art. Manche geben den wahren Wert der Menge an, andere nur Näherungswerte. Die ersten heißen exakt, die zweiten ungefähr. In den meisten Fällen ist es praktischer, eine ungefähre Zahl anstelle einer genauen Zahl zu verwenden, insbesondere da es in vielen Fällen unmöglich ist, überhaupt eine genaue Zahl zu finden.

Die Ergebnisse von Operationen mit Zahlen ergeben: mit Näherungszahlen, Näherungszahlen. Zum Beispiel. Während der Epidemie leiden 60 % der Einwohner von St. Petersburg an der Grippe. Das sind etwa 3 Millionen Menschen. mit genauen Zahlen genaue Zahlen Zum Beispiel. Im Vorlesungssaal Mathematik sind 65 Personen. ungefähre Zahlen Zum Beispiel. Die durchschnittliche Körpertemperatur des Patienten beträgt tagsüber 37,3: morgens: 37,2; Tag:36,8; Abend38.

Die Theorie der Näherungsberechnungen ermöglicht: 1) Kenntnis des Genauigkeitsgrades der Daten, Beurteilung des Genauigkeitsgrades der Ergebnisse; 2) Daten mit einem angemessenen Genauigkeitsgrad erfassen, der ausreicht, um die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses sicherzustellen; 3) Rationalisieren Sie den Berechnungsprozess und befreien Sie ihn von Berechnungen, die die Genauigkeit des Ergebnisses nicht beeinträchtigen.

1) Wenn die erste (links) der verworfenen Ziffern kleiner als 5 ist, wird die letzte verbleibende Ziffer nicht geändert (abgerundet); 2) Wenn die erste zu verwerfende Ziffer größer als 5 oder gleich 5 ist, wird die letzte verbleibende Ziffer um eins erhöht (Rundung mit Überschuss). Rundung: a) auf Zehntel 12,34 12,3; b) bis Hundertstel 3,2465 3,25; 1038,79. c) in Tausendstel 3,4335 3,434. d) bis zu Tausenden; Berücksichtigt werden:

Die in der Medizin am häufigsten gemessenen Größen sind: Masse m, Länge l, Prozessgeschwindigkeit v, Zeit t, Temperatur t, Volumen V usw. Eine physikalische Größe zu messen bedeutet, sie mit einer homogenen Größe als Einheit zu vergleichen. 9 Maßeinheiten für physikalische Größen: Grundlänge – 1 m – (Meter) Zeit – 1 s – (Sekunde) Masse – 1 kg – (Kilogramm) Ableitungen Volumen – 1 m³ – (Kubikmeter) Geschwindigkeit – 1 m/ s - (Meter pro Sekunde)

Präfixe für Einheitennamen: Mehrere Präfixe – Erhöhung um 10, 100, 1000 usw. mal g - Hekto (×100) k – Kilo (× 1000) M – Mega (×) 1 km (Kilometer) 1 kg (Kilogramm) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g Unterabschnitte – Verringerung um 10, 100, 1000 usw. mal d – Dezi (× 0,1) s – Centi (× 0,01) m – Milli (× 0,001) 1 dm (Dezimeter) 1 dm = 0,1 m 1 cm (Zentimeter) 1 cm = 0,01 m 1 mm (Millimeter) 1 mm = 0,001 m Bei der Messung großer Abstände, Massen, Volumina, Geschwindigkeiten usw. werden mehrere Aufsätze verwendet. Bei der Messung kleiner Abstände, Geschwindigkeiten, Massen, Volumina usw. werden mehrere Aufsätze verwendet.

Zur Diagnose, Behandlung und Vorbeugung von Krankheiten werden in der Medizin verschiedene medizinische Messgeräte eingesetzt.

Thermometer. Zunächst müssen Sie die Ober- und Untergrenzen der Messungen berücksichtigen. Die untere Grenze ist der minimale und die obere Grenze der maximale Messwert. Wenn der Erwartungswert des Messwertes unbekannt ist, ist es besser, ein Gerät mit „Reserve“ zu nehmen. Beispielsweise sollte die Messung der Warmwassertemperatur nicht mit einem Straßen- oder Raumthermometer durchgeführt werden. Besser ist es, ein Gerät mit einer Obergrenze von 100 °C zu finden. Zweitens müssen Sie verstehen, wie genau der Wert gemessen werden sollte. Da der Messfehler vom Teilungswert abhängt, wird für genauere Messungen ein Gerät mit einem niedrigeren Teilungswert ausgewählt.

Messfehler. Zur Messung verschiedener Diagnoseparameter benötigen Sie ein eigenes Gerät. Beispielsweise wird die Länge mit einem Lineal und die Temperatur mit einem Thermometer gemessen. Aber Lineale, Thermometer, Tonometer und andere Instrumente sind unterschiedlich. Um also eine physikalische Größe zu messen, müssen Sie ein Gerät auswählen, das für diese Messung geeignet ist.

Preis der Instrumentenabteilung. Die Körpertemperatur eines Menschen muss genau bestimmt werden, Medikamente müssen in einer genau definierten Menge verabreicht werden, daher ist die Wertigkeit der Skalenteilung eines Messgerätes ein wichtiges Merkmal jedes Geräts. Regel zur Berechnung des Werts der Instrumententeilungen. Um den Wert der Skalenteilungen zu berechnen, müssen Sie: a) die beiden nächstgelegenen digitalisierten Linien auf der Skala auswählen; b) zählen Sie die Anzahl der Divisionen zwischen ihnen; c) Teilen Sie die Wertedifferenz um die ausgewählten Striche durch die Anzahl der Teilungen.

Preis der Instrumentenabteilung. Teilungswert (50-30)/4=5 (ml) Teilungswert: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1 g, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 Temp., (4-2)/10=0,2 s

Bestimmen Sie den Preis für die Aufteilung der Geräte: 16

Absoluter Messfehler. Bei Messungen treten zwangsläufig Fehler auf. Diese Fehler werden durch verschiedene Faktoren verursacht. Alle Faktoren können in drei Teile unterteilt werden: Fehler, die durch unvollkommene Instrumente verursacht werden; Fehler, die durch unvollkommene Messmethoden verursacht werden; Fehler, die durch den Einfluss zufälliger Faktoren verursacht werden und nicht beseitigt werden können. Wenn Sie eine Größe messen, möchten Sie nicht nur ihren Wert kennen, sondern auch, wie sehr Sie diesem Wert vertrauen können und wie genau er ist. Dazu müssen Sie wissen, um wie viel der wahre Wert einer Größe vom gemessenen abweichen kann. Zu diesem Zweck wird das Konzept der absoluten und relativen Fehler eingeführt.

Absolute und relative Fehler. Der absolute Fehler gibt an, um wie viel der tatsächliche Wert einer physikalischen Größe vom gemessenen Wert abweicht. Sie hängt vom Gerät selbst (instrumenteller Fehler) und vom Messvorgang (Skalenfehler) ab. Der Instrumentenfehler muss im Instrumentenpass angegeben werden (in der Regel entspricht er dem Instrumententeilungswert). Der Zählfehler wird normalerweise gleich der Hälfte des Divisionswerts angenommen. Der absolute Fehler eines Näherungswerts ist die Differenz Δ x = |x – x 0 |, wobei x 0 ein Näherungswert und x der genaue Wert des gemessenen Werts ist, oder manchmal A ΔA = |A – A 0 | wird anstelle von x verwendet.

Absolute und relative Fehler. Beispiel. Es ist bekannt, dass -0,333 ein ungefährer Wert für -1/3 ist. Dann gilt nach der Definition des absoluten Fehlers Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. In vielen praktisch wichtigen Fällen ist es unmöglich, den absoluten Fehler der Näherung zu ermitteln, da der genaue Wert der Größe unbekannt ist. Sie können jedoch eine positive Zahl angeben, über die dieser absolute Fehler nicht hinausgehen darf. Dies ist eine beliebige Zahl h, die die Ungleichung | erfüllt Δ x | h Dies wird als absolute Fehlergrenze bezeichnet.

In diesem Fall sagen sie, dass der Wert von x bis zu h ungefähr gleich x 0 ist. x = x 0 ± h oder x 0 - h x x 0 + h

Absolute Instrumentenfehler von Messgeräten

Abschätzung von Gerätefehlern gemessener Größen. Bei den meisten Messgeräten entspricht der Gerätefehler dem Wert seiner Teilung. Eine Ausnahme bilden digitale Instrumente und Messuhren. Bei digitalen Instrumenten wird der Fehler im Pass angegeben und ist in der Regel um ein Vielfaches höher als der Teilungswert des Instruments. Bei Zeigermessgeräten wird der Fehler durch ihre Genauigkeitsklasse, die auf der Skala des Geräts angegeben ist, und die Messgrenze bestimmt. Die Genauigkeitsklasse wird auf der Instrumentenskala als Zahl angezeigt, die nicht von Rahmen umgeben ist. In der gezeigten Abbildung beträgt die Genauigkeitsklasse des Manometers beispielsweise 1,5. Die Genauigkeitsklasse gibt an, um wie viel Prozent der Fehler des Instruments von seiner Messgrenze abweicht. Bei einem Zeigermanometer liegt die Messgrenze bei 3 atm bzw. der Fehler bei der Druckmessung beträgt 1,5 % von 3 atm, also 0,045 atm. Es ist zu beachten, dass der Fehler bei den meisten Zeigerinstrumenten dem Wert der Instrumententeilung entspricht. Wie in unserem Beispiel, wo der Barometer-Teilungspreis 0,05 atm beträgt.

Absolute und relative Fehler. Der absolute Fehler wird benötigt, um den Bereich zu bestimmen, in den der wahre Wert fallen kann, er ist jedoch nicht sehr aussagekräftig für die Beurteilung der Genauigkeit des Ergebnisses als Ganzes. Schließlich ist die Messung einer Länge von 10 m mit einem Fehler von 1 mm sicherlich sehr genau, während die Messung einer Länge von 2 mm mit einem Fehler von 1 mm offensichtlich äußerst ungenau ist. Der absolute Messfehler wird üblicherweise auf eine signifikante Zahl ΔA 0,17 0,2 gerundet. Der Zahlenwert des Messergebnisses wird so gerundet, dass seine letzte Ziffer in derselben Ziffer wie die Fehlerziffer liegt A = 10,332 · 10,3

Absolute und relative Fehler. Neben dem absoluten Fehler ist es üblich, den relativen Fehler zu berücksichtigen, der dem Verhältnis des absoluten Fehlers zum Wert der Größe selbst entspricht. Der relative Fehler einer Näherungszahl ist das Verhältnis des absoluten Fehlers der Näherungszahl zu dieser Zahl selbst: E = Δx. 100 % x 0 Der relative Fehler gibt an, bei wie viel Prozent des Wertes selbst ein Fehler auftreten könnte und ist ein Indikator für die Beurteilung der Qualität der Versuchsergebnisse.

Beispiel. Bei der Messung der Länge und des Durchmessers der Kapillare erhielten wir l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Welche dieser Messungen ist genauer? Bei der Messung der Länge einer Kapillare ist ein absoluter Fehler von 10 mm pro 100 mm zulässig, daher beträgt der absolute Fehler 10/100 = 0,1 = 10 %. Bei der Messung des Kapillardurchmessers beträgt der zulässige absolute Fehler 0,1/2,5=0,04=4 %. Daher ist die Messung des Kapillardurchmessers genauer.

In vielen Fällen kann der absolute Fehler nicht gefunden werden. Daher der relative Fehler. Sie können jedoch die Grenze des relativen Fehlers ermitteln. Jede Zahl δ, die die Ungleichung | erfüllt Δ x | / | x o | δ ist die relative Fehlergrenze. Insbesondere wenn h die absolute Fehlergrenze ist, dann ist die Zahl δ= h/| x o | ist die Grenze des relativen Fehlers der Näherung x o. Von hier. Kenntnis des Grenzrelativs p-i. δ können Sie die absolute Fehlergrenze h ermitteln. h= δ | x o |

Beispiel. Es ist bekannt, dass 2=1,41... Finden Sie die relative Genauigkeit der ungefähren Gleichheit oder die relative Fehlergrenze der ungefähren Gleichheit 2 1,41. Hier ist x = 2, x o = 1,41, Δ x = 2-1,41. Offensichtlich 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, die absolute Fehlergrenze beträgt 0,01, die relative Fehlergrenze beträgt 1/141

Beispiel. Beim Ablesen von Messwerten auf einer Skala ist es wichtig, dass Ihr Blick senkrecht zur Skala des Geräts fällt. In diesem Fall ist der Fehler geringer. So bestimmen Sie den Thermometerwert: 1. Bestimmen Sie die Anzahl der Teilungen, 2. multiplizieren Sie sie mit dem Teilungspreis 3. Berücksichtigen Sie den Fehler 4. Notieren Sie das Endergebnis. t = 20 °C ± 1,5 °C Das bedeutet, dass die Temperatur zwischen 18,5° und 21,5° liegt. Das heißt, es kann beispielsweise 19, 20 oder 21 Grad Celsius betragen. Um die Genauigkeit der Messungen zu erhöhen, ist es üblich, diese mindestens dreimal zu wiederholen und den Mittelwert des Messwertes zu berechnen

FINDEN DES MITTELWERTS Messergebnisse C 1 = 34,5 C 2 = 33,8 C 3 = 33,9 C 4 = 33,5 C 5 = 54,2 a) Ermitteln Sie den Durchschnittswert von vier Größen mit av = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c av = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Ermitteln Sie die Abweichung des Wertes vom Durchschnittswert Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Finden wir den absoluten Fehler Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 g) Finden wir den relativen Fehler δ = Δс: s CP δ = (0,3: 33,9) 100 % = 0,9 % e) Schreiben wir die endgültige Antwort auf c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

HAUSAUFGABEN Bereiten Sie sich anhand der Vorlesungsmaterialien auf den praktischen Unterricht vor. Eine Aufgabe erledigen. Finden Sie den Durchschnittswert und den Fehler: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Erstellen Sie Präsentationen zu den Themen: „Rundung von Mengen in der Medizin“, „Messfehler“, „Medizinische Messgeräte“

allgemeine Informationen

Oftmals wird eine exakte Zahl durch eine begrenzte Anzahl von Ziffern dargestellt, wobei „zusätzliche“ Ziffern weggelassen oder auf eine bestimmte Ziffer gerundet werden. Diese Zahl wird als ungefähr bezeichnet.

Der wahre Fehler der ungefähren Zahl, d.h. Die Differenz zwischen genauen und ungefähren Zahlen darf beim Verwerfen von Ziffern eine Ziffer der zuletzt gespeicherten Ziffer nicht überschreiten, und beim Verwerfen mit Rundung, die gemäß den in der Norm festgelegten Regeln durchgeführt wird, eine halbe Zifferneinheit der gespeicherten Ziffer.

Eine ungefähre Zahl wird durch die Anzahl der signifikanten Ziffern charakterisiert, die alle Ziffern außer den Nullen auf der linken Seite umfassen.

Die Zahlen in der Aufzeichnung einer ungefähren Zahl werden als korrekt bezeichnet, wenn der Fehler eine halbe Einheit der letzten Ziffer nicht überschreitet.

Zu den ungefähren Zahlen zählen auch die Ergebnisse der Messung A, die die tatsächlichen Werte von A d des Messwerts auswerten. Da der wahre Fehler des erhaltenen Ergebnisses unbekannt ist, wird er durch das Konzept des maximalen absoluten Fehlers Δ pr = | ersetzt A - A d | oder maximaler relativer Fehler δ pr = Δ pr / A (häufiger angegeben als Prozentsatz δ pr = 100 Δ pr / A)

Der maximale relative Fehler der Näherungszahl kann mit der Formel abgeschätzt werden:

wobei δ die Anzahl der korrekten signifikanten Ziffern ist;

n 1 ist die erste signifikante Zahl links.

Um die erforderliche Anzahl korrekter Zeichen zu bestimmen, die einen bestimmten maximalen relativen Fehler liefern, sollten Sie die folgenden Regeln befolgen:

Wenn die erste signifikante Ziffer drei nicht überschreitet, muss die Anzahl der korrekten Ziffern um eins größer sein als der Modul des Exponenten |-q| bei 10 in einem gegebenen relativen Fehler δ pr = 10 -q

Wenn die erste signifikante Ziffer 4 oder mehr beträgt, ist der Modul des Indikators q gleich der Anzahl der korrekten Ziffern.

(Wenn δ pr = 10 - q, dann kann S durch die Formel bestimmt werden
)

Regeln für Berechnungen mit Näherungszahlen

Das Ergebnis der Summierung (Subtraktion) von Näherungszahlen wird so viele richtige Vorzeichen haben wie der Summand mit der geringsten Anzahl richtiger Vorzeichen.

Beim Multiplizieren (Dividieren) weist das resultierende Ergebnis so viele signifikante richtige Ziffern auf, wie die ursprüngliche Zahl mit der geringsten Anzahl richtiger Ziffern enthält.

Bei der Potenzierung (Wurzelziehen) einer beliebigen Potenz weist das Ergebnis so viele richtige Vorzeichen auf, wie in der Basis vorhanden sind.

Zahl und Mantisse seines Logarithmus enthalten gleich viele korrekte Vorzeichen.

Ersatzziffernregel. Um Rundungsfehler so weit wie möglich zu reduzieren, wird empfohlen, in den Quelldaten, die dies zulassen, und damit auch, wenn sie in weitere Berechnungen einbezogen werden, zusätzlich zu dem, was durch ermittelt wird, eine zusätzliche Ziffer beizubehalten Regeln 1-4.

3. Genauigkeitsklasse und ihre Verwendung zur Beurteilung des Instrumentenfehlers von Instrumenten

Die Genauigkeitsklasse ist ein verallgemeinertes Merkmal, das zur Bewertung der Maximalwerte der Haupt- und Zusatzfehler verwendet wird.

Der Hauptfehler ist der inhärente Fehler des Instruments. normale Bedingungen Betrieb.

Die Betriebsbedingungen werden durch die Werte von Größen bestimmt, die die Messwerte von Geräten beeinflussen, die für ein bestimmtes Gerät nicht informativ sind. Zu den Einflussgrößen gehören die Temperatur der Umgebung, in der Messungen durchgeführt werden, die Position der Instrumentenskala, die Frequenz des Messwerts (nicht bei Frequenzmessgeräten), die Stärke des externen magnetischen (oder elektrischen) Felds, die Versorgungsspannung von elektronische und digitale Geräte usw.

In der technischen Dokumentation des Gerätes sind die Norm- und Einsatzbereiche der Einflussgrößen angegeben. Der Einsatz des Gerätes mit einer Einflussgröße außerhalb des Betriebsbereichs ist nicht zulässig.

Die Genauigkeitsklasse des Gerätes wird in der Form bestimmt:

absolute Fehlergrenze Δ pr = ± a oder Δ pr = ± (a + b A);

relative Fehlergrenze δ pr = ± p oder δ pr = ± ;

reduzierte Fehlergrenze γ pr = ± k

Die Zahlen a, b, p, c, d, k werden aus Zeile 1 ausgewählt; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 10 n, wobei n = 1, 0, -1, -2 usw.

A – Instrumentenablesungen;

Und max ist die Obergrenze des verwendeten Messbereichs des Geräts.

Reduzierter Fehler

,

Dabei ist A n der üblicherweise für ein bestimmtes Gerät akzeptierte Normalisierungswert, abhängig von der Form der Skala.

Nachfolgend finden Sie die Definitionen von AN für die gängigsten Skalen:

a) einseitige Skala b) Skala mit Null im Inneren

A n = A max A n = |A 1 | + A 2

c) Skala ohne Null d) deutlich ungleichmäßige Skala (bei Ohmmetern, Phasenmessern)

A n = A 2 – A 1 A n = L

Regeln und Beispiele für die Bezeichnung von Genauigkeitsklassen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.

Tabelle 3.1

Formel für den maximalen Grundfehler		Bezeichnung der Genauigkeitsklasse auf dem Gerät
		generelle Form
Δ = ± (a + b A)	± a, Einheiten Werte A ± (a + b A), Einheiten. Werte A	Römische oder lateinische Buchstaben

Region Sachalin

„Berufsschule Nr. 13“

Richtlinien für selbständiges Arbeiten von Studierenden

Alexandrowsk-Sachalinski

Näherungswerte von Mengen und Näherungsfehler: Methode angegeben. / Komp.

GBOU NPO „Berufsschule Nr. 13“, - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

Der Leitfaden richtet sich an Studierende aller Fachrichtungen in Mathematikstudiengängen

Vorsitzender des MK

Ungefährer Wert der Größe und Fehler von Näherungen.

In der Praxis kennen wir fast nie die genauen Werte von Mengen. Keine Waage, egal wie genau sie auch sein mag, zeigt das Gewicht absolut genau an; jedes Thermometer zeigt die Temperatur mit dem einen oder anderen Fehler an; Kein Amperemeter kann den Strom usw. genau ablesen. Darüber hinaus ist unser Auge nicht in der Lage, die Messwerte von Messgeräten absolut korrekt abzulesen. Anstatt uns mit den wahren Werten von Größen zu befassen, sind wir daher gezwungen, mit ihren Näherungswerten zu operieren.

Die Tatsache, dass A" ist ein ungefährer Wert der Zahl A wird wie folgt geschrieben:

a ≈ a" .

Wenn A" ist ein ungefährer Wert der Menge A , dann der Unterschied Δ = a - a" angerufen Näherungsfehler*.

* Δ - Griechischer Brief; lesen: Delta. Als nächstes kommt ein weiterer griechischer Buchstabe ε (sprich: Epsilon).

Wenn beispielsweise die Zahl 3,756 durch einen ungefähren Wert von 3,7 ersetzt wird, ist der Fehler gleich: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Wenn wir 3,8 als Näherungswert nehmen, ist der Fehler gleich: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

In der Praxis wird am häufigsten der Näherungsfehler verwendet Δ , und der absolute Wert dieses Fehlers | Δ |. Im Folgenden nennen wir diesen absoluten Fehlerwert einfach Absoluter Fehler. Eine Näherung gilt als besser als eine andere, wenn der absolute Fehler der ersten Näherung kleiner ist als der absolute Fehler der zweiten Näherung. Beispielsweise ist die 3,8-Näherung für die Zahl 3,756 besser als die 3,7-Näherung für die erste Näherung
|Δ | = | - 0,044| =0,044 und für die Sekunde | Δ | = |0,056| = 0,056.

Nummer A" A bis zuε , wenn der absolute Fehler dieser Näherung kleiner ist alsε :

|a - a" | < ε .

Beispielsweise ist 3,6 ein Näherungswert der Zahl 3,671 mit einer Genauigkeit von 0,1, da |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Ebenso kann - 3/2 als Annäherung an die Zahl - 8/5 auf 1/5 genau betrachtet werden, da

< A , Das A" nennt man den ungefähren Wert der Zahl A mit einem Nachteil.

Wenn A" > A , Das A" nennt man den ungefähren Wert der Zahl A in Hülle und Fülle.

Beispielsweise ist 3,6 ein Näherungswert der Zahl 3,671 mit einem Nachteil, da 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Wenn statt Zahlen wir A Und B Addieren Sie ihre ungefähren Werte A" Und B" , dann das Ergebnis a" + b" wird ein ungefährer Wert der Summe sein a + b . Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich die Genauigkeit dieses Ergebnisses bewerten, wenn die Genauigkeit der Approximation jedes Termes bekannt ist? Die Lösung dieses und ähnlicher Probleme basiert auf der folgenden Eigenschaft von absolutem Wert:

|a + b | < |A | + |B |.

Der Absolutwert der Summe zweier beliebiger Zahlen überschreitet nicht die Summe ihrer Absolutwerte.

Fehler

Die Differenz zwischen der genauen Zahl x und ihrem Näherungswert a wird als Fehler dieser Näherungswertzahl bezeichnet. Wenn bekannt ist, dass | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Das Verhältnis des absoluten Fehlers zum absoluten Wert des Näherungswerts wird als relativer Fehler des Näherungswerts bezeichnet. Der relative Fehler wird normalerweise als Prozentsatz ausgedrückt.

Beispiel. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Wirklich,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Übungen zum selbstständigen Arbeiten.

1. Mit welcher Genauigkeit können Längen mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden?

2. Wie genau ist die Uhr?

3. Wissen Sie, mit welcher Genauigkeit das Körpergewicht mit modernen Elektrowaagen gemessen werden kann?

4. a) Innerhalb welcher Grenzen ist die Zahl enthalten? A , wenn sein Näherungswert mit einer Genauigkeit von 0,01 0,99 beträgt?

b) Innerhalb welcher Grenzen ist die Zahl enthalten? A , wenn sein ungefährer Wert mit einem auf 0,01 genauen Nachteil 0,99 beträgt?

c) Wo liegen die Grenzen der Zahl? A , wenn sein Näherungswert mit einem Überschuss von 0,01 gleich 0,99 ist?

5 . Was ist die Annäherung an die Zahl? π ≈ 3,1415 ist besser: 3,1 oder 3,2?

6. Kann ein Näherungswert einer bestimmten Zahl mit einer Genauigkeit von 0,01 als Näherungswert derselben Zahl mit einer Genauigkeit von 0,1 betrachtet werden? Wie wäre es umgekehrt?

7. Auf dem Zahlenstrahl wird die Position des Punktes angegeben, der der Zahl entspricht A . Geben Sie in dieser Zeile an:

a) die Position aller Punkte, die ungefähren Werten der Zahl entsprechen A mit einem Nachteil mit einer Genauigkeit von 0,1;

b) die Position aller Punkte, die ungefähren Werten der Zahl entsprechen A mit Überschuss mit einer Genauigkeit von 0,1;

c) die Position aller Punkte, die ungefähren Werten der Zahl entsprechen A mit einer Genauigkeit von 0,1.

8. In welchem ​​Fall ist der Absolutwert der Summe zweier Zahlen:

a) kleiner als die Summe der Absolutwerte dieser Zahlen;

b) gleich der Summe der Absolutwerte dieser Zahlen?

9. Beweisen Sie Ungleichungen:

a) | a-b | < |A| + |B |; b)* | a - b | > ||A | - | B ||.

Wann kommt in diesen Formeln das Gleichheitszeichen vor?

Literatur:

1. Bashmakov (Grundstufe) 10-11 Klassen. – M., 2012

2. Baschmakow, 10. Klasse. Sammlung von Problemen. - M: Verlagszentrum „Akademie“, 2008

3., Mordkovich: Referenzmaterialien: Buch für Studenten. - 2. Aufl. - M.: Bildung, 1990

4. Enzyklopädisches Wörterbuch eines jungen Mathematikers / Comp. .-M.: Pädagogik, 1989