Ein Algorithmus zur Bestimmung, ob ein Punkt in eine Kontur fällt, basierend auf einer komplexen Analyse. Kritische Punkte im Graphen einer Funktion. Gründe für gesteigerten Appetit während der Menstruation

Definitionsbereich einer Funktion, Berechnung ihrer Ableitung, Bestimmung des Definitionsbereichs einer Ableitung einer Funktion, Finden Punkte Drehen Sie die Ableitung auf Null und beweisen Sie, dass die gefundenen Punkte zum Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion gehören.

Beispiel 1 Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = (x - 3)²·(x-2).

Lösung Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion. In diesem Fall gibt es keine Einschränkungen: x ∈ (-∞; +∞); Berechnen Sie die Ableitung y’. Gemäß den Regeln zur Differenzierung des Produkts aus zwei gilt: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Dann erhalten wir eine quadratische Gleichung: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Finden Sie den Definitionsbereich der Ableitung der Funktion: x ∈ (-∞; +∞). Lösen Sie die Gleichung 3 x² – 16 x + 21 = 0, um herauszufinden, an welcher Stelle sie Null wird: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Die Ableitung geht also bei Werten von x gleich 3 und 7/3 auf Null.

Bestimmen Sie, ob die gefundenen dazugehören Punkte Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion. Da x (-∞; +∞), dann beides Punkte sind kritisch.

Beispiel 2: Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = x² – 2/x.

Lösungsbereich der Funktion: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), da x im Nenner steht. Berechnen Sie die Ableitung y’ = 2 x + 2/x².

Der Definitionsbereich der Ableitung der Funktion ist derselbe wie der des Originals: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Lösen Sie die Gleichung 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Die Ableitung geht also bei x = -1 gegen Null. Die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Kritikalität ist erfüllt. Da x=-1 in das Intervall (-∞; 0) ∪ (0; +∞) fällt, ist dieser Punkt kritisch.

Quellen:

• Kritisches Verkaufsvolumen, pcsThreshold

Viele Frauen leiden unter dem prämenstruellen Syndrom, das sich nicht nur durch schmerzhafte Empfindungen, sondern auch durch gesteigerten Appetit äußert. Dadurch können kritische Tage den Abnehmprozess deutlich verlangsamen.

Gründe für gesteigerten Appetit während der Menstruation

Der Grund für die Appetitsteigerung während der Menstruation ist eine Veränderung des allgemeinen Hormonspiegels im weiblichen Körper. Einige Tage vor Beginn der Menstruation steigt der Spiegel des Hormons Progesteron, der Körper stellt sich auf die Möglichkeit ein und versucht, zusätzliche Energiereserven in Form von Fettdepots anzulegen, auch wenn die Frau sitzt. Daher sind Gewichtsveränderungen an kritischen Tagen normal.

So essen Sie während Ihrer Periode

Versuchen Sie heutzutage, keine Süßigkeiten, Süßwaren und andere kalorienreiche Lebensmittel zu sich zu nehmen, die „Fast Food“ enthalten. Ihr Überschuss wird sofort im Fett abgelagert. In dieser Zeit möchten viele Frauen unbedingt Schokolade essen; in diesem Fall können Sie dunkle Schokolade kaufen und sich ein paar Scheiben gönnen, aber nicht mehr. Während Ihrer Periode sollten Sie keine alkoholischen Getränke, Marinaden, Gurken, geräuchertes Fleisch, Samen und Nüsse konsumieren. Im Allgemeinen sollten Gurken und geräucherte Lebensmittel 6-8 Tage vor Beginn der Menstruation in der Ernährung eingeschränkt werden, da solche Produkte die Wasserreserven im Körper erhöhen und dieser Zeitraum durch eine erhöhte Flüssigkeitsansammlung gekennzeichnet ist. Um den Salzanteil in Ihrer Ernährung zu reduzieren, fügen Sie den zubereiteten Speisen nur minimale Mengen davon hinzu.

Es wird empfohlen, fettarme Milchprodukte, pflanzliche Lebensmittel und Getreide zu sich zu nehmen. Bohnen, Salzkartoffeln, Reis – Produkte, die „langsame“ Kohlenhydrate enthalten, sind nützlich. Meeresfrüchte, Leber, Fisch, Rindfleisch, Geflügel, Eier, Hülsenfrüchte und Trockenfrüchte helfen dabei, Eisenverluste auszugleichen. Weizenkleie wird nützlich sein. Eine natürliche Reaktion während der Menstruation ist eine Schwellung. Leichte harntreibende Kräuter helfen, den Zustand zu korrigieren: Basilikum, Dill, Petersilie, Sellerie. Sie können als Gewürz verwendet werden. In der zweiten Zyklushälfte wird empfohlen, proteinhaltige Lebensmittel (mageres Fleisch und Fisch, Milchprodukte) zu sich zu nehmen und den Kohlenhydratanteil in der Ernährung so weit wie möglich zu reduzieren.

Ökonomisches Konzept des kritischen Volumens Verkäufe entspricht der Position des Unternehmens auf dem Markt, in dem der Umsatz aus dem Verkauf von Waren minimal ist. Diese Situation wird als Break-Even-Punkt bezeichnet, wenn die Nachfrage nach Produkten sinkt und die Gewinne kaum noch die Kosten decken. Zur Bestimmung des kritischen Volumens Verkäufe, verwenden Sie mehrere Methoden.

Anweisungen

Der Arbeitszyklus beschränkt sich nicht auf seine Aktivitäten – Produktion oder Dienstleistungen. Hierbei handelt es sich um eine komplexe Arbeit einer bestimmten Struktur, die die Arbeit des Hauptpersonals, des Führungspersonals, des Führungspersonals usw. sowie der Wirtschaftswissenschaftler umfasst, deren Aufgabe die Finanzanalyse des Unternehmens ist.

Der Zweck dieser Analyse besteht darin, bestimmte Mengen zu berechnen, die in gewissem Maße die Höhe des Endgewinns beeinflussen. Dabei handelt es sich um verschiedene Arten von Produktions- und Verkaufsmengen, Voll- und Durchschnittsmengen, Nachfrageindikatoren usw. Die Hauptaufgabe besteht darin, das Produktionsvolumen zu ermitteln, bei dem ein stabiles Verhältnis zwischen Kosten und Gewinn hergestellt wird.

Mindestlautstärke Verkäufe, bei dem die Einnahmen die Kosten vollständig decken, aber das Eigenkapital des Unternehmens nicht erhöhen, wird als kritisches Volumen bezeichnet Verkäufe. Es gibt drei Methoden zur Berechnung dieses Indikators: die Gleichungsmethode, das Grenzeinkommen und die grafische Methode.

Zur Bestimmung des kritischen Volumens Verkäufe Erstellen Sie gemäß der ersten Methode eine Gleichung der Form: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, wobei: Вп – Einnahmen aus Verkäufe und ;Zper und Zpos – variable und konstante Kosten; Pp – Gewinn aus Verkäufe Und.

Nach einer anderen Methode ist der erste Begriff Einnahmen aus Verkäufe, stellen Sie es als Produkt aus Grenzeinkommen pro Gütereinheit und Volumen dar Verkäufe Gleiches gilt für die variablen Kosten. Die Fixkosten gelten für die gesamte Warencharge, daher lassen Sie diese Komponente gemeinsam: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Drücken Sie den Wert von N aus dieser Gleichung aus und Sie erhalten das kritische Volumen Verkäufe:N = Zpos/(MD – Zper1), wobei Zper1 die variablen Kosten pro Gütereinheit sind.

Die grafische Methode beinhaltet das Konstruieren. Zeichnen Sie zwei Linien auf der Koordinatenebene: die Umsatzfunktion von Verkäufe abzüglich der Kosten- und Gewinnfunktion. Tragen Sie auf der Abszissenachse das Produktionsvolumen und auf der Ordinatenachse das Einkommen aus der entsprechenden Gütermenge, ausgedrückt in Geldeinheiten, ein. Der Schnittpunkt dieser Linien entspricht dem kritischen Volumen Verkäufe, Break-Even-Position.

Quellen:

• wie man kritische Arbeit definiert

Kritisches Denken ist eine Reihe von Urteilen, auf deren Grundlage bestimmte Schlussfolgerungen gezogen und eine Bewertung der Kritikgegenstände vorgenommen wird. Es ist besonders charakteristisch für Forscher und Wissenschaftler aller Wissenschaftszweige. Kritisches Denken nimmt im Vergleich zum gewöhnlichen Denken eine höhere Ebene ein.

Der Wert der Erfahrung bei der Entwicklung kritischen Denkens

Es ist schwierig, etwas zu analysieren und daraus Schlussfolgerungen zu ziehen, wenn man es nicht gut versteht. Um kritisches Denken zu lernen, ist es daher notwendig, Objekte in allen möglichen Verbindungen und Beziehungen zu anderen Phänomenen zu untersuchen. Von großer Bedeutung ist dabei auch der Besitz von Informationen über solche Objekte, die Fähigkeit, logische Urteilsketten aufzubauen und vernünftige Schlussfolgerungen zu ziehen.

Beispielsweise kann man den Wert eines Kunstwerks nur beurteilen, wenn man viele andere Früchte literarischer Tätigkeit kennt. Gleichzeitig ist es gut, ein Experte für die Geschichte der menschlichen Entwicklung, die Entstehung von Literatur und Literaturkritik zu sein. Isoliert vom historischen Kontext kann ein Werk seine beabsichtigte Bedeutung verlieren. Damit die Beurteilung eines Kunstwerks hinreichend vollständig und begründet ist, ist es auch notwendig, Ihr literarisches Wissen heranzuziehen, das die Regeln für den Aufbau eines literarischen Textes innerhalb einzelner Gattungen, ein System verschiedener literarischer Techniken, Klassifikation und Analyse umfasst bestehender Stile und Tendenzen in der Literatur usw. Gleichzeitig ist es auch wichtig, die innere Logik der Handlung, den Handlungsablauf, die Anordnung und Interaktion der Charaktere in einem Kunstwerk zu studieren.

Merkmale des kritischen Denkens

Zu den weiteren Merkmalen des kritischen Denkens gehören die folgenden:
- Wissen über das Untersuchungsobjekt ist nur ein Ausgangspunkt für weitere Gehirnaktivitäten, die mit dem Aufbau logischer Ketten verbunden sind;
- Konsequent konstruiertes und vernünftiges Denken führt zur Identifizierung wahrer und falscher Informationen über das untersuchte Objekt;
- Kritisches Denken ist immer mit der Bewertung verfügbarer Informationen zu einem bestimmten Objekt und den entsprechenden Schlussfolgerungen verbunden, die Bewertung wiederum ist mit vorhandenen Fähigkeiten verbunden.

Im Gegensatz zum gewöhnlichen Denken unterliegt kritisches Denken keinem blinden Glauben. Kritisches Denken ermöglicht es, mit Hilfe eines ganzen Systems von Urteilen über den Gegenstand der Kritik dessen Wesen zu erfassen, wahres Wissen über ihn zu erkennen und falsches zu widerlegen. Es basiert auf Logik, Tiefe und Vollständigkeit des Studiums, Wahrhaftigkeit, Angemessenheit und Konsistenz der Urteile. In diesem Fall werden offensichtliche und seit langem bewiesene Aussagen als Postulate akzeptiert und bedürfen keiner wiederholten Beweisführung und Bewertung.

Im zweidimensionalen Raum schneiden sich zwei Linien nur in einem Punkt, der durch die Koordinaten (x,y) definiert ist. Da beide Geraden durch ihren Schnittpunkt verlaufen, müssen die Koordinaten (x,y) beide Gleichungen erfüllen, die diese Geraden beschreiben. Mit einigen zusätzlichen Fähigkeiten können Sie die Schnittpunkte von Parabeln und anderen quadratischen Kurven finden.

Schritte

Schnittpunkt zweier Geraden

Schreiben Sie die Gleichung jeder Zeile und isolieren Sie die Variable „y“ auf der linken Seite der Gleichung. Die anderen Terme der Gleichung sollten auf der rechten Seite der Gleichung platziert werden. Möglicherweise enthält die Ihnen gegebene Gleichung die Variable f(x) oder g(x) anstelle von „y“; Isolieren Sie in diesem Fall eine solche Variable. Um eine Variable zu isolieren, führen Sie die entsprechenden Berechnungen auf beiden Seiten der Gleichung durch.

• Wenn Ihnen die Gleichungen der Linien nicht vorliegen, basieren Sie auf den Ihnen bekannten Informationen.
• Beispiel. Gegebene Geraden, beschrieben durch Gleichungen und y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Um das „y“ in der zweiten Gleichung zu isolieren, fügen Sie die Zahl 12 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu:

1. Sie suchen den Schnittpunkt beider Geraden, also einen Punkt, dessen Koordinaten (x, y) beide Gleichungen erfüllen. Da sich die Variable „y“ auf der linken Seite jeder Gleichung befindet, können die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleichgesetzt werden. Schreiben Sie eine neue Gleichung auf.

   • Beispiel. Als y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Und y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), dann können wir die folgende Gleichheit schreiben: .

2. Finden Sie den Wert der Variablen „x“. Die neue Gleichung enthält nur eine Variable, „x“. Um „x“ zu finden, isolieren Sie diese Variable auf der linken Seite der Gleichung, indem Sie auf beiden Seiten der Gleichung die entsprechenden Berechnungen durchführen. Sie sollten eine Gleichung der Form x = __ erhalten (falls dies nicht möglich ist, lesen Sie diesen Abschnitt).

   • Beispiel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Hinzufügen 2 x (\displaystyle 2x) auf jeder Seite der Gleichung:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Subtrahieren Sie 3 von jeder Seite der Gleichung:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Teilen Sie jede Seite der Gleichung durch 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Verwenden Sie den gefundenen Wert der Variablen „x“, um den Wert der Variablen „y“ zu berechnen. Setzen Sie dazu den gefundenen Wert von „x“ in die Gleichung (beliebig) der Geraden ein.

   • Beispiel. x = 3 (\displaystyle x=3) Und y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Überprüfen Sie die Antwort. Setzen Sie dazu den Wert von „x“ in die andere Gleichung der Geraden ein und ermitteln Sie den Wert von „y“. Wenn Sie unterschiedliche y-Werte erhalten, überprüfen Sie, ob Ihre Berechnungen korrekt sind.

   • Beispiel: x = 3 (\displaystyle x=3) Und y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Sie haben den gleichen Wert für y erhalten, sodass Ihre Berechnungen keine Fehler enthalten.

5. Notieren Sie die Koordinaten (x,y). Nachdem Sie die Werte von „x“ und „y“ berechnet haben, haben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien ermittelt. Notieren Sie die Koordinaten des Schnittpunkts in (x,y)-Form.

   • Beispiel. x = 3 (\displaystyle x=3) Und y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Somit schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt mit den Koordinaten (3,6).

6. Berechnungen in Sonderfällen. In manchen Fällen kann der Wert der Variablen „x“ nicht gefunden werden. Das heißt aber nicht, dass Sie einen Fehler gemacht haben. Ein Sonderfall liegt vor, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

   • Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. In diesem Fall wird die Variable „x“ einfach reduziert und Ihre Gleichung wird zu einer bedeutungslosen Gleichheit (z. B. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Notieren Sie in diesem Fall in Ihrer Antwort, dass sich die Geraden nicht schneiden bzw. dass es keine Lösung gibt.
   • Wenn beide Gleichungen eine Gerade beschreiben, dann gibt es unendlich viele Schnittpunkte. In diesem Fall wird die Variable „x“ einfach reduziert und Ihre Gleichung wird in eine strikte Gleichheit umgewandelt (z. B. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Notieren Sie in diesem Fall in Ihrer Antwort, dass die beiden Zeilen zusammenfallen.

   Probleme mit quadratischen Funktionen

   1. Definition einer quadratischen Funktion. In einer quadratischen Funktion haben eine oder mehrere Variablen einen zweiten Grad (jedoch keinen höheren), zum Beispiel: x 2 (\displaystyle x^(2)) oder y 2 (\displaystyle y^(2)). Die Graphen quadratischer Funktionen sind Kurven, die sich möglicherweise nicht oder in einem oder zwei Punkten schneiden. In diesem Abschnitt erklären wir Ihnen, wie Sie den oder die Schnittpunkte quadratischer Kurven finden.

   2. Schreiben Sie jede Gleichung neu, indem Sie die Variable „y“ auf der linken Seite der Gleichung isolieren. Die anderen Terme der Gleichung sollten auf der rechten Seite der Gleichung platziert werden.

      • Beispiel. Finden Sie den/die Schnittpunkt(e) der Graphen x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Und
      • Isolieren Sie die Variable „y“ auf der linken Seite der Gleichung:
      • Und y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • In diesem Beispiel erhalten Sie eine quadratische Funktion und eine lineare Funktion. Denken Sie daran, dass die Berechnungen bei zwei quadratischen Funktionen den unten beschriebenen Schritten ähneln.

   3. Setzen Sie die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleich. Da sich die Variable „y“ auf der linken Seite jeder Gleichung befindet, können die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleichgesetzt werden.

      • Beispiel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Und y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Übertragen Sie alle Terme der resultierenden Gleichung auf die linke Seite und schreiben Sie 0 auf die rechte Seite. Machen Sie dazu einige grundlegende Berechnungen. Dadurch können Sie die resultierende Gleichung lösen.

      • Beispiel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Subtrahieren Sie „x“ von beiden Seiten der Gleichung:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Subtrahieren Sie 7 von beiden Seiten der Gleichung:

   5. Lösen Sie die quadratische Gleichung. Indem Sie alle Terme der Gleichung auf die linke Seite verschieben, erhalten Sie eine quadratische Gleichung. Es kann auf drei Arten gelöst werden: mit einer speziellen Formel und.

      • Beispiel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Wenn Sie eine Gleichung faktorisieren, erhalten Sie zwei Binome, die bei Multiplikation die ursprüngliche Gleichung ergeben. In unserem Beispiel der erste Term x 2 (\displaystyle x^(2)) kann in x * x zerlegt werden. Schreiben Sie Folgendes auf: (x)(x) = 0
      • In unserem Beispiel lässt sich der freie Term -6 in folgende Faktoren zerlegen: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • In unserem Beispiel ist der zweite Term x (oder 1x). Addieren Sie jedes Faktorpaar des Dummy-Terms (in unserem Beispiel -6), bis Sie 1 erhalten. In unserem Beispiel sind die entsprechenden Faktorenpaare des Dummy-Terms die Zahlen -2 und 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), als − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Füllen Sie die Lücken mit dem gefundenen Zahlenpaar aus: .

   6. Vergessen Sie nicht den zweiten Schnittpunkt der beiden Diagramme. Wenn Sie das Problem schnell und nicht sehr sorgfältig lösen, vergessen Sie möglicherweise den zweiten Schnittpunkt. So ermitteln Sie die x-Koordinaten zweier Schnittpunkte:

      • Beispiel (Faktorisierung). Wenn in Gl. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) Einer der Ausdrücke in Klammern ist gleich 0, dann ist die gesamte Gleichung gleich 0. Daher können wir es so schreiben: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Und x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Gleichung gefunden).
      • Beispiel (Verwenden einer Formel oder Vervollständigen eines perfekten Quadrats). Bei Verwendung einer dieser Methoden erscheint im Lösungsprozess eine Quadratwurzel. Die Gleichung aus unserem Beispiel wird beispielsweise die Form annehmen x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Denken Sie daran, dass Sie beim Ziehen der Quadratwurzel zwei Lösungen erhalten. In unserem Fall: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Und 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Schreiben Sie also zwei Gleichungen und finden Sie zwei Werte von x.

   7. Die Graphen schneiden sich in einem Punkt oder gar nicht. Solche Situationen treten auf, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

      • Wenn sich die Graphen in einem Punkt schneiden, wird die quadratische Gleichung in identische Faktoren zerlegt, zum Beispiel (x-1) (x-1) = 0, und die Quadratwurzel von 0 erscheint in der Formel ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). In diesem Fall hat die Gleichung nur eine Lösung.
      • Wenn sich die Graphen überhaupt nicht schneiden, wird die Gleichung nicht faktorisiert und die Quadratwurzel einer negativen Zahl erscheint in der Formel (z. B. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Schreiben Sie in diesem Fall in Ihre Antwort, dass es keine Lösung gibt.

Zeigt den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Art der Monotonie der Funktion.

Bitte seien Sie bei den folgenden Punkten äußerst vorsichtig. Schauen Sie, der Zeitplan dessen, WAS Ihnen gegeben wird! Funktion oder ihre Ableitung

Wenn ein Diagramm der Ableitung gegeben ist, dann interessieren uns nur die Funktionszeichen und Nullstellen. An irgendwelchen „Hügeln“ oder „Senken“ sind wir grundsätzlich nicht interessiert!

Aufgabe 1.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.

Lösung:

In der Abbildung sind die Bereiche abnehmender Funktion farblich hervorgehoben:

Diese abnehmenden Bereiche der Funktion enthalten 4 ganzzahlige Werte.

Aufgabe 2.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Sobald die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden (oder, was dasselbe ist) ist (oder mit ihr zusammenfällt), hat Neigung, gleich Null, dann hat die Tangente einen Winkelkoeffizienten .

Dies bedeutet wiederum, dass die Tangente parallel zur Achse verläuft, da die Steigung der Tangens des Neigungswinkels der Tangente zur Achse ist.

Daher finden wir Extrempunkte (Maximum- und Minimumpunkte) im Diagramm – an diesen Punkten verlaufen die tangentialen Funktionen zum Diagramm parallel zur Achse.

Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 3.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Lösung:

Da die Tangente an den Graphen einer Funktion parallel zu einer Geraden mit Steigung ist (oder mit dieser übereinstimmt), hat auch die Tangente eine Steigung.

Das bedeutet wiederum, dass an den Berührungspunkten.

Daher schauen wir uns an, wie viele Punkte im Diagramm eine Ordinate haben, die gleich ist.

Wie Sie sehen, gibt es vier solcher Punkte.

Aufgabe 4.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist.

Lösung:

An Extrempunkten ist die Ableitung gleich Null. Wir haben 4 davon:

Aufgabe 5.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und elf Punkte auf der x-Achse:. An wie vielen dieser Punkte ist die Ableitung der Funktion negativ?

Lösung:

In Intervallen mit abnehmender Funktion nimmt die Ableitung negative Werte an. Und die Funktion nimmt punktuell ab. Es gibt 4 solcher Punkte.

Aufgabe 6.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer auf dem Intervall definierten Funktion. Ermitteln Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion.

Lösung:

Extremumpunkte– Dies sind die Höchstpunkte (-3, -1, 1) und Mindestpunkte (-2, 0, 3).

Summe der Extrempunkte: -3-1+1-2+0+3=-2.

Aufgabe 7.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Lösung:

Die Abbildung hebt die Intervalle hervor, in denen die Ableitung der Funktion nicht negativ ist.

Auf dem kleinen ansteigenden Intervall gibt es keine ganzzahligen Punkte; auf dem ansteigenden Intervall gibt es vier ganzzahlige Werte: , , und .

Ihre Summe:

Aufgabe 8.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lösung:

In der Abbildung sind alle Intervalle, in denen die Ableitung positiv ist, farblich hervorgehoben, was bedeutet, dass die Funktion selbst in diesen Intervallen zunimmt.

Die Länge des größten von ihnen beträgt 6.

Aufgabe 9.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung einer auf dem Intervall definierten Funktion. An welchem ​​Punkt des Segments nimmt es den größten Wert an?

Lösung:

Sehen wir uns an, wie sich der Graph auf dem Segment verhält, was uns interessiert nur das Vorzeichen der Ableitung .

Das Vorzeichen der Ableitung ist negativ, da der Graph auf diesem Segment unterhalb der Achse liegt.

Dieser zweite Teil meines Artikels ist der Computergeometrie gewidmet. Ich denke, dieser Artikel wird interessanter sein als der vorherige, da die Probleme etwas schwieriger sein werden.

Beginnen wir mit der relativen Position des Punktes relativ zur Linie, zum Strahl und zum Segment.

Aufgabe Nr. 1

Bestimmen Sie die relative Position des Punktes und der Linie: liegt über der Linie, auf der Linie, unter der Linie.

Lösung
Es ist klar, dass es nichts zu entscheiden gibt, wenn eine Gerade durch ihre Gleichung ax + by + c = 0 gegeben ist. Es reicht aus, die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung einzusetzen und zu prüfen, was sie bedeuten. Ist er größer als Null, liegt der Punkt in der oberen Halbebene, ist er gleich Null, liegt der Punkt auf einer Geraden, und ist er kleiner als Null, liegt der Punkt in der unteren Hälfte -Flugzeug. Ein interessanterer Fall ist, wenn eine gerade Linie gegeben ist, gegeben durch die Koordinaten zweier Punkte, nennen wir sie P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). In diesem Fall können Sie die Koeffizienten a, b und c leicht ermitteln und die vorherige Überlegung anwenden. Aber zuerst müssen wir darüber nachdenken: Brauchen wir es? Natürlich nicht! Wie gesagt, schräge Produkte sind einfach ein Juwel der Computergeometrie. Wenden wir es an. Es ist bekannt, dass das schräge Produkt zweier Vektoren positiv ist, wenn die Drehung vom ersten zum zweiten Vektor gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, gleich Null, wenn die Vektoren kollinear sind, und negativ, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt. Daher reicht es aus, das Schrägprodukt der Vektoren P 1 P 2 und P 1 M zu berechnen und anhand seines Vorzeichens eine Schlussfolgerung zu ziehen.

Aufgabe Nr. 2

Bestimmen Sie, ob ein Punkt zu einem Strahl gehört.

Lösung
Erinnern wir uns daran, was ein Strahl ist: Ein Strahl ist eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Punkt begrenzt und auf der anderen Seite unendlich ist. Das heißt, der Strahl wird durch einen bestimmten Anfangspunkt und einen darauf liegenden Punkt spezifiziert. Punkt P 1 (x 1, y 1) sei der Anfang des Strahls und P 2 (x 2, y 2) sei ein beliebiger Punkt, der zum Strahl gehört. Es ist klar, dass, wenn ein Punkt zu einem Strahl gehört, er auch zu einer Linie gehört, die durch diese Punkte geht, aber nicht umgekehrt. Daher ist die Zugehörigkeit zu einer Linie eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Zugehörigkeit zu einem Strahl. Daher kommen wir nicht umhin, das Geflechtprodukt zu prüfen. Für eine ausreichende Bedingung müssen Sie auch das Skalarprodukt derselben Vektoren berechnen. Ist er kleiner als Null, gehört der Punkt nicht zum Strahl, ist er jedoch nicht negativ, liegt der Punkt auf dem Strahl. Warum so? Schauen wir uns die Zeichnung an.

Damit der Punkt M(x, y) auf dem Strahl mit dem Anfangspunkt P 1 (x 1, y 1) liegt, wobei P 2 (x 2, y 2) auf dem Strahl liegt, ist es notwendig und ausreichend, um zwei Bedingungen zu erfüllen:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 – Skalarprodukt (der Punkt liegt auf dem Strahl)

Aufgabe Nr. 3

Bestimmen Sie, ob ein Punkt zu einem Segment gehört.

Lösung
Die Punkte P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) seien die Enden des gegebenen Segments. Auch hier ist eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zu einem Segment gehört, dass er zu einer Linie gehört, die durch P 1, P 2 verläuft. Als nächstes müssen wir feststellen, ob der Punkt zwischen den Punkten P 1 und P 2 liegt; dazu hilft uns das Skalarprodukt von Vektoren, diesmal nur von anderen: (MP 1, MP 2). Ist er kleiner oder gleich Null, liegt der Punkt auf der Strecke, andernfalls außerhalb der Strecke. Warum so? Schauen wir uns das Bild an.

Damit der Punkt M(x, y) auf einem Segment mit den Enden P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) liegt, ist es notwendig und ausreichend, die folgenden Bedingungen zu erfüllen :
1. = 0 – Schiefprodukt (der Punkt liegt auf der Geraden)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – Skalarprodukt (der Punkt liegt zwischen P 1 und P 2)

Aufgabe Nr. 4

Die relative Position zweier Punkte relativ zu einer geraden Linie.

Lösung
Bei diesem Problem müssen Sie feststellen, ob zwei Punkte auf der gleichen oder gegenüberliegenden Seite einer geraden Linie liegen.

Wenn die Punkte auf gegenüberliegenden Seiten einer Linie liegen, haben die Skew-Produkte unterschiedliche Vorzeichen, was bedeutet, dass ihr Produkt negativ ist. Liegen die Punkte auf derselben Seite der Geraden, dann stimmen die Vorzeichen der Schiefprodukte überein, was bedeutet, dass ihr Produkt positiv ist.
Also:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – Punkte liegen auf derselben Seite.
3. * = 0 – einer (oder zwei) der Punkte liegt auf der Linie.

Das Problem der Bestimmung des Vorhandenseins eines Schnittpunkts zwischen einer Geraden und einem Segment wird übrigens genauso gelöst. Genauer gesagt ist dies das gleiche Problem: Ein Segment und eine Linie schneiden sich, wenn die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten der Linie liegen oder wenn die Enden des Segments auf der Linie liegen, d. h. es ist notwendig, * ≤ zu erfordern 0.

Problem Nr. 5

Bestimmen Sie, ob sich zwei Linien schneiden.

Lösung
Wir gehen davon aus, dass die Linien nicht zusammenfallen. Es ist klar, dass sich Geraden nur dann nicht schneiden, wenn sie parallel sind. Nachdem wir die Parallelitätsbedingung gefunden haben, können wir daher bestimmen, ob sich die Linien schneiden.
Angenommen, die Linien sind durch ihre Gleichungen a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 und a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 definiert. Dann ist die Bedingung für die Parallelität der Linien, dass a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Wenn die Linien durch die Punkte P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4) definiert sind, dann die Voraussetzung für ihre Parallelität ist die Überprüfung des Skew-Produkts der Vektoren P 1 P 2 und M 1 M 2: Wenn es gleich Null ist, dann sind die Geraden parallel.

Wenn die Linien durch ihre eigenen Gleichungen gegeben sind, überprüfen wir im Allgemeinen auch das Schrägprodukt der Vektoren (-b 1, a 1), (-b 2, a 2), die Richtungsvektoren genannt werden.

Problem Nr. 6

Bestimmen Sie, ob sich zwei Segmente schneiden.

Lösung
Das ist die Aufgabe, die ich wirklich mag. Segmente schneiden sich, wenn die Enden jedes Segments auf gegenüberliegenden Seiten des anderen Segments liegen. Schauen wir uns das Bild an:

Wir müssen also überprüfen, ob die Enden jedes Segments auf unterschiedlichen Seiten der relativen Enden des anderen Segments liegen. Wir verwenden das Skew-Produkt von Vektoren. Schauen Sie sich das erste Bild an: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Daher müssen wir noch eine weitere Prüfung durchführen, nämlich: ob mindestens ein Ende jedes Segments zu einem anderen gehört (der Punkt gehört zum Segment). Wir haben dieses Problem bereits gelöst.

Damit die Segmente gemeinsame Punkte haben, ist es notwendig und ausreichend:
1. Die Enden der Segmente liegen auf gegenüberliegenden Seiten eines anderen Segments.
2. Mindestens eines der Enden eines Segments gehört zu einem anderen Segment.

Problem Nr. 7

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Lösung
Die Linie sei durch zwei Punkte P 1 (x 1, y 1) und P 2 (x 2, y 2) definiert.

Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, dass das geometrisch schiefe Produkt die orientierte Fläche des Parallelogramms ist, also S P 1 P 2 M = 0,5*. Andererseits kennt jedes Schulkind die Formel zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks: halbe Grundfläche mal Höhe.
S P 1 P 2 M = 0,5*h*P 1 P 2 .
Wenn wir diese Bereiche gleichsetzen, finden wir

Wir haben es modulo genommen, weil der erste Bereich orientiert ist.

Wenn die Gerade durch die Gleichung ax + by + c = 0 gegeben ist, dann lautet die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt M senkrecht zur gegebenen Geraden verläuft: a(y - y 0) – b(x - x 0) = 0. Jetzt können Sie das System leicht aus den erhaltenen Gleichungen lösen, ihren Schnittpunkt finden und den Abstand vom Startpunkt zum gefundenen Punkt berechnen: Er ist genau ρ = (ax 0 + mal 0 + c)/√( a 2 + b 2).

Problem Nr. 8

Abstand vom Punkt zum Strahl.

Lösung
Dieses Problem unterscheidet sich vom vorherigen dadurch, dass es in diesem Fall vorkommen kann, dass die Senkrechte vom Punkt nicht auf den Strahl, sondern auf dessen Fortsetzung fällt.

Für den Fall, dass die Senkrechte nicht auf den Strahl fällt, muss der Abstand vom Punkt zum Anfang des Strahls ermittelt werden – dies ist die Lösung des Problems.

Wie können wir feststellen, ob eine Senkrechte auf den Balken fällt oder nicht? Wenn die Senkrechte nicht auf den Strahl fällt, ist der Winkel MP 1 P 2 stumpf oder spitz (gerade). Daher können wir anhand des Vorzeichens des Skalarprodukts von Vektoren bestimmen, ob die Senkrechte auf den Strahl fällt oder nicht:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 Senkrechte trifft den Strahl

Problem Nr. 9

Abstand von einem Punkt zu einem Segment.

Lösung
Wir argumentieren ähnlich wie beim vorherigen Problem. Wenn die Senkrechte nicht auf das Segment fällt, ist die Antwort der minimale Abstand vom angegebenen Punkt zu den Enden des Segments.

Um zu bestimmen, ob eine Senkrechte auf ein Segment fällt, müssen Sie analog zum vorherigen Problem das Skalarprodukt von Vektoren verwenden. Wenn die Senkrechte nicht auf das Segment fällt, ist entweder der Winkel MP 1 P 2 oder der Winkel MP 2 P 1 stumpf. Daher können wir anhand des Vorzeichens der Skalarprodukte bestimmen, ob die Senkrechte auf das Segment fällt oder nicht:
Wenn (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Problem Nr. 10

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte auf der Linie und dem Kreis.

Lösung
Eine Gerade und ein Kreis können null, einen oder zwei Schnittpunkte haben. Schauen wir uns die Bilder an:

Hier ist anhand der Bilder alles klar. Wir haben zwei Schnittpunkte, wenn der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner ist als der Kreisradius. Ein Berührungspunkt, wenn der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden gleich dem Radius ist. Und schließlich gibt es keinen einzigen Schnittpunkt, wenn der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer als der Kreisradius ist. Da wir das Problem, den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu ermitteln, bereits gelöst haben, ist auch dieses Problem gelöst.

Problem Nr. 11

Die relative Position zweier Kreise.

Lösung
Mögliche Fälle der Anordnung von Kreisen: schneiden, berühren, nicht schneiden.

Betrachten wir den Fall, dass sich die Kreise schneiden und die Fläche ihres Schnittpunkts ermitteln. Ich liebe dieses Problem wirklich, da ich ziemlich viel Zeit damit verbracht habe, es zu lösen (das ist lange her – in meinem ersten Jahr).

Erinnern wir uns nun daran, was ein Sektor und ein Segment sind.

Der Schnittpunkt von Kreisen besteht aus zwei Segmenten O 1 AB und O 2 AB.

Es scheint notwendig, die Flächen dieser Segmente zu addieren und das war's. Allerdings ist nicht alles so einfach. Es muss noch festgestellt werden, ob diese Formeln immer korrekt sind. Es stellt sich heraus, dass es nicht so ist!

Betrachten wir den Fall, wenn der Mittelpunkt des zweiten Kreises O 2 mit Punkt C zusammenfällt. In diesem Fall ist d 2 = 0 und wir nehmen α = π als Wert von α. In diesem Fall haben wir einen Halbkreis mit einer Fläche von 1/2 πR 2 2.

Betrachten Sie nun den Fall, dass der Mittelpunkt des zweiten Kreises O 2 zwischen den Punkten O 1 und C liegt. In diesem Fall erhalten wir einen negativen Wert für d 2. Die Verwendung eines negativen Werts für d 2 führt zu einem negativen Wert für α. In diesem Fall ist es für die richtige Antwort notwendig, 2π zu α zu addieren.

Abschluss

OK, jetzt ist alles vorbei. Wir haben nicht alle, aber die am häufigsten auftretenden Probleme der Computergeometrie bezüglich der relativen Position von Objekten berücksichtigt.

Ich hoffe, dass es Ihnen gefallen hat.

Grafische Darstellung eines Punktes in einer komplexen Zeichnung

Im Allgemeinen unterteilen Projektionsebenen den gesamten Raum in 8 Teile, die Oktanten genannt werden. Bei der Darstellung geometrischer Objekte in Zeichnungen wird das projizierte Objekt aus Gründen der Bequemlichkeit und besseren Übersichtlichkeit im ersten Oktanten platziert. Daher beschränken wir uns in unserem Kurs der beschreibenden Geometrie auf die Betrachtung geometrischer Objekte, die sich nur in diesem Oktanten befinden.

Wenn ein Punkt eine bestimmte Position im Raum einnimmt, werden seine Projektionen auf besondere Weise lokalisiert. Wir betrachten eine bestimmte Position eines Punktes als eine Position, an der er sich entweder auf der Projektionsachse oder in der Projektionsebene befindet. Liegt also ein Punkt auf der Projektionsachse, dann liegen zwei seiner Projektionen auf dieser Achse und die dritte im Ursprung. Liegt ein Punkt auf der Projektionsebene, dann liegt eine seiner Projektionen in derselben Ebene und die anderen beiden liegen auf den Projektionsachsen.

Für Punkte, die eine bestimmte Position im Raum einnehmen, sollte die Konstruktion mit Projektionen beginnen, die entweder zur Achse oder zur Projektionsebene gehören.

Um Zeichnungen realer Teile zu erstellen, die bestimmte geometrische Abmessungen haben und an bestimmte Koordinaten gebunden sind, ist es notwendig, eine Beziehung zwischen den Projektionen eines Punktes und seinen Koordinaten herzustellen.

Konstruieren von Projektionen eines Punktes aus seinen Koordinaten

Gegeben seien die Koordinaten eines Punktes A(x, y, z). Anschließend werden seine Projektionen wie folgt konstruiert: Zunächst wird die Abszisse entlang der Achse aufgetragen OH; Zeichnen Sie dann eine vertikale Linie. dann wird darauf die Ordinate entlang der Achse aufgetragen OY und entlang der Achse auftragen OZ(oben oder unten von der Achse OH abhängig vom Vorzeichen der Koordinaten y, z). Achse OY Holen Sie sich eine horizontale Projektion Eine 1, entlang der Achse OZ- frontal Eine 2. Profilprojektion Eine 3 nach bauen Eine 1 Und Eine 2(oder nach Koordinaten). Lassen Sie uns zum Beispiel Projektionen des Punktes konstruieren A(10, 20, 30), gegebene spezifische Koordinaten. Die Konstruktionen sind in Abb. dargestellt. 1.4.

Es ist zu beachten, dass die Position der horizontalen Projektion durch die Koordinaten bestimmt wird X Und j, Frontalprojektion - Koordinaten X Und z, Profilprojektion - Koordinaten j Und z. Ordinate j charakterisiert immer die Position der horizontalen Projektion und das Applikat - die frontale.

Reis. 1.4. Die Beziehung zwischen den Koordinaten eines Punktes und seinen Projektionen:

a) axonometrische Ansicht; b) komplexe Zeichnung.

Basierend auf den gleichen Bestimmungen wird das umgekehrte Problem gelöst – die Bestimmung der Koordinaten eines Punktes aus seinen Projektionen. Wenn die komplexe Zeichnung die Projektionen eines Punktes zeigt, bestimmen wir durch Messung der entsprechenden Abstände seine Koordinaten (siehe Abb. 1.4, b). Um alle drei Koordinaten zu bestimmen, genügen außerdem zwei Projektionen, denn Jedes Projektionspaar ist durch drei Koordinaten eindeutig definiert.

Abstand eines Punktes von Projektionsebenen

Der Abstand eines Punktes von einer beliebigen Projektionsebene bestimmt die Position der entsprechenden Projektionen, nämlich: den Abstand zu P 1 charakterisiert die Position der Frontalprojektion, den Abstand zu P 2– horizontale Projektion, Abstand zu P 3– sowohl horizontale als auch frontale Projektionen. Also, wenn es bekannt ist, dass der Punkt A entfernt von P 1 um 30 mm, dann seine Frontalprojektion Eine 2 von der Achse weg OH um 30 mm; wenn dieser Punkt gegeben ist A entfernt von P 3 also um 10 mm Eine 1 Und Eine 2 von den Achsen entfernt OZ Und OY entsprechend diesem Abstand (Abb. 1.5).