Aktionen mit Wurzeln geraden Grades. Wurzeln und ihre Eigenschaften. Durchschnittsniveau. Integral einer Potenzfunktion

Dieser Artikel ist eine Sammlung detaillierter Informationen, die sich auf das Thema der Eigenschaften von Wurzeln beziehen. In Anbetracht des Themas beginnen wir mit den Eigenschaften, studieren alle Formulierungen und liefern Beweise. Um das Thema zu festigen, betrachten wir Eigenschaften n-ten Grades.

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Eigenschaften von Wurzeln

Wir reden über Immobilien.

1. Eigentum multiplizierte Zahlen A Und B, die als Gleichung a · b = a · b dargestellt wird. Es kann in Form von Faktoren dargestellt werden, die positiv oder gleich Null sind a 1 , a 2 , … , a k als a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. aus dem Quotienten a:b = a:b, a ≥ 0, b > 0 kann man es auch in dieser Form schreiben: a b = a b;
3. Eigenschaft aus der Potenz einer Zahl A mit geradem Exponenten a 2 m = a m für jede Zahl A, zum Beispiel die Eigenschaft aus dem Quadrat einer Zahl a 2 = a.

In jeder der vorgestellten Gleichungen können Sie die Teile vor und nach dem Bindestrich vertauschen, zum Beispiel wird die Gleichheit a · b = a · b in a · b = a · b umgewandelt. Gleichheitseigenschaften werden häufig zur Vereinfachung komplexer Gleichungen verwendet.

Der Beweis der ersten Eigenschaften basiert auf der Definition der Quadratwurzel und den Eigenschaften von Potenzen mit natürlichem Exponenten. Um die dritte Eigenschaft zu rechtfertigen, muss auf die Definition des Moduls einer Zahl verwiesen werden.

Zunächst müssen die Eigenschaften der Quadratwurzel a · b = a · b nachgewiesen werden. Gemäß der Definition muss berücksichtigt werden, dass a b eine Zahl ist, positiv oder gleich Null, die gleich sein wird ein b während der Konstruktion in ein Quadrat. Der Wert des Ausdrucks a · b ist als Produkt nicht negativer Zahlen positiv oder gleich Null. Die Eigenschaft der Potenzen multiplizierter Zahlen ermöglicht es uns, Gleichheit in der Form (a · b) 2 = a 2 · b 2 darzustellen. Nach Definition der Quadratwurzel a 2 = a und b 2 = b, dann gilt a · b = a 2 · b 2 = a · b.

In ähnlicher Weise kann man das anhand des Produkts beweisen k Multiplikatoren a 1 , a 2 , … , a k wird gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Faktoren sein. Tatsächlich ist a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Aus dieser Gleichheit folgt, dass a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Schauen wir uns einige Beispiele an, um das Thema zu vertiefen.

Beispiel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 und 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Es ist notwendig, die Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten zu beweisen: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Die Eigenschaft ermöglicht es uns, die Gleichheit a: b 2 = a 2: b 2 und a 2: b 2 = a: b zu schreiben, während a: b eine positive Zahl oder gleich Null ist. Dieser Ausdruck wird zum Beweis.

Beispiel: 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 und 30,121 = 30,121.

Betrachten wir die Eigenschaft der Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl. Sie kann als Gleichheit geschrieben werden als a 2 = a. Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, mehrere Gleichheiten für im Detail zu betrachten a ≥ 0 und bei A< 0 .

Offensichtlich gilt für a ≥ 0 die Gleichung a 2 = a. Bei A< 0 die Gleichheit a 2 = - a wird wahr sein. In diesem Fall tatsächlich − a > 0 und (− a) 2 = a 2 . Wir können daraus schließen: a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

5 2 = 5 = 5 und - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Die nachgewiesene Eigenschaft wird helfen, a 2 m = a m zu rechtfertigen, wobei A– echt, und M-natürliche Zahl. Tatsächlich erlaubt uns die Eigenschaft, eine Macht zu erhöhen, die Macht zu ersetzen ein 2 m Ausdruck (am) 2, dann a 2 m = (a m) 2 = a m.

Beispiel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 und (- 8 , 3) ​​​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​​​7 .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Zunächst müssen wir die grundlegenden Eigenschaften der n-ten Wurzeln betrachten:

1. Eigenschaft aus dem Produkt von Zahlen A Und B, die positiv oder gleich Null sind, können als Gleichheit ausgedrückt werden a · b n = a n · b n , diese Eigenschaft gilt für das Produkt k Zahlen a 1 , a 2 , … , a k als a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. aus einer Bruchzahl hat die Eigenschaft a b n = a n b n , wobei A ist jede reelle Zahl, die positiv oder gleich Null ist, und B– positive reelle Zahl;
3. Für jeden A und sogar Indikatoren n = 2 m a 2 · m 2 · m = a ist wahr und für ungerade n = 2 m − 1 Es gilt die Gleichung a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Eigenschaft der Extraktion aus a m n = a n m , wobei A– eine beliebige Zahl, positiv oder gleich Null, N Und M Sind natürliche Zahlen, kann diese Eigenschaft auch in der Form dargestellt werden. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Für jedes nichtnegative a und beliebige N Und M, die natürlich sind, können wir auch die faire Gleichheit a m n · m = a n definieren;
6. Eigenschaft des Grades N aus der Potenz einer Zahl A, die positiv oder gleich Null ist, zur Naturkraft M, definiert durch die Gleichheit a m n = a n m ;
7. Vergleichseigenschaft, die die gleichen Exponenten hat: für alle positiven Zahlen A Und B so dass A< b , die Ungleichung a n< b n ;
8. Vergleichseigenschaft, die unter der Wurzel die gleichen Zahlen haben: if M Und N - natürliche Zahlen, die m > n, dann um 0 < a < 1 die Ungleichung a m > a n wahr ist, und wann a > 1 hingerichtet a m< a n .

Die oben angegebenen Gleichungen gelten, wenn die Teile vor und nach dem Gleichheitszeichen vertauscht werden. Sie können auch in dieser Form verwendet werden. Dies wird häufig beim Vereinfachen oder Transformieren von Ausdrücken verwendet.

Der Beweis der oben genannten Eigenschaften einer Wurzel basiert auf der Definition, den Eigenschaften des Grades und der Definition des Moduls einer Zahl. Diese Eigenschaften müssen nachgewiesen werden. Aber alles ist in Ordnung.

1. Beweisen wir zunächst die Eigenschaften der n-ten Wurzel des Produkts a · b n = a n · b n . Für A Und b , was Sind positiv oder gleich Null , der Wert a n · b n ist ebenfalls positiv oder gleich Null, da er eine Folge der Multiplikation nicht negativer Zahlen ist. Die Eigenschaft eines Produktes zur Naturkraft erlaubt es uns, die Gleichheit a n · b n n = a n n · b n n zu schreiben. Per Definition einer Wurzel N-ter Grad a n n = a und b n n = b , also a n · b n n = a · b . Die daraus resultierende Gleichheit ist genau das, was bewiesen werden musste.

Diese Eigenschaft kann für das Produkt analog nachgewiesen werden k Multiplikatoren: für nichtnegative Zahlen a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Hier finden Sie Beispiele für die Verwendung der Root-Eigenschaft N-te Potenz aus dem Produkt: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 und 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Beweisen wir die Eigenschaft der Wurzel des Quotienten a b n = a n b n . Bei a ≥ 0 Und b > 0 die Bedingung a n b n ≥ 0 ist erfüllt und a n b n n = a n n b n n = a b .

Lassen Sie uns Beispiele zeigen:

Beispiel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 und 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Im nächsten Schritt gilt es, die Eigenschaften des n-ten Grades von der Zahl zum Grad zu beweisen N. Stellen wir uns das als die Gleichheit a 2 m 2 m = a und a 2 m - 1 2 m - 1 = a für jeden reellen Wert vor A und natürlich M. Bei a ≥ 0 wir erhalten a = a und a 2 m = a 2 m, was die Gleichheit a 2 m 2 m = a beweist, und die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a ist offensichtlich. Bei A< 0 wir erhalten jeweils a = - a und a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Die letzte Transformation einer Zahl ist entsprechend der Potenzeigenschaft gültig. Genau das beweist die Gleichheit a 2 m 2 m = a, und a 2 m - 1 2 m - 1 = a wird wahr sein, da der ungerade Grad berücksichtigt wird - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 für eine beliebige Zahl C , positiv oder gleich Null.

Um die erhaltenen Informationen zu konsolidieren, betrachten wir einige Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft:

Beispiel 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 und (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Beweisen wir die folgende Gleichheit a m n = a n m . Dazu müssen Sie die Zahlen vor und nach dem Gleichheitszeichen a n · m = a m n vertauschen. Dies bedeutet, dass die Eingabe korrekt ist. Für A, was positiv ist oder gleich Null , der Form a m n ist eine Zahl positiv oder gleich Null. Wenden wir uns der Eigenschaft der Potenzsteigerung und ihrer Definition zu. Mit ihrer Hilfe können Sie Gleichungen in der Form a m n n · m = a m n n m = a m m = a umwandeln. Dies beweist die Eigenschaft der Wurzel der betrachteten Wurzel.

Andere Eigenschaften werden auf ähnliche Weise bewiesen. Wirklich, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Beispiel: 7 3 5 = 7 5 3 und 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Beweisen wir die folgende Eigenschaft a m n · m = a n . Dazu muss gezeigt werden, dass a n eine Zahl ist, positiv oder gleich Null. Potenziert ist n m gleich Bin. Wenn die Nummer A ist dann positiv oder gleich Null N-ten Abschluss aus der Mitte A ist eine positive Zahl oder gleich Null. In diesem Fall ist a n · m n = a n n m , was bewiesen werden musste.

Um die gewonnenen Erkenntnisse zu festigen, schauen wir uns einige Beispiele an.

1. Lassen Sie uns die folgende Eigenschaft beweisen – die Eigenschaft einer Wurzel einer Potenz der Form a m n = a n m . Es ist offensichtlich, wann a ≥ 0 Der Grad a n m ist eine nicht negative Zahl. Außerdem sie N die te Potenz ist gleich Bin, tatsächlich, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Dies beweist die Eigenschaft des betrachteten Abschlusses.

Beispiel: 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Dies muss für alle positiven Zahlen nachgewiesen werden A und b die Bedingung erfüllt ist A< b . Betrachten Sie die Ungleichung a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Daher ein n< b n при A< b .

Geben wir zum Beispiel 12 4< 15 2 3 4 .

1. Betrachten Sie die Eigenschaft der Wurzel N-ter Grad. Zunächst muss der erste Teil der Ungleichung betrachtet werden. Bei m > n Und 0 < a < 1 wahr a m > a n . Nehmen wir an, dass a m ≤ a n. Mithilfe der Eigenschaften können Sie den Ausdruck auf a n m · n ≤ a m m · n vereinfachen. Dann gilt gemäß den Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, d. h. a n ≤ a m. Der erhaltene Wert bei m > n Und 0 < a < 1 entspricht nicht den oben angegebenen Eigenschaften.

Ebenso lässt sich beweisen, wann m > n Und a > 1 die Bedingung a m ist wahr< a n .

Um die oben genannten Eigenschaften zu konsolidieren, betrachten wir einige konkrete Beispiele. Schauen wir uns Ungleichungen anhand bestimmter Zahlen an.

Beispiel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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Erste Ebene

Wurzel und ihre Eigenschaften. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Versuchen wir herauszufinden, was dieses Konzept der „Wurzel“ ist und „womit sie gegessen wird“. Schauen wir uns dazu Beispiele an, die Ihnen im Unterricht bereits begegnet sind (nun ja, oder denen Sie gerade begegnen werden).

Wir haben zum Beispiel eine Gleichung. Was ist die Lösung dieser Gleichung? Welche Zahlen können quadriert und erhalten werden? Wenn Sie sich an die Multiplikationstabelle erinnern, können Sie die Antwort leicht geben: und (schließlich erhält man bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen eine positive Zahl)! Zur Vereinfachung führten Mathematiker das spezielle Konzept der Quadratwurzel ein und ordneten ihr ein spezielles Symbol zu.

Definieren wir die arithmetische Quadratwurzel.

Warum muss die Zahl nicht negativ sein? Was ist zum Beispiel gleich? Nun, nun, versuchen wir, einen auszuwählen. Vielleicht drei? Überprüfen wir: , nicht. Vielleicht, ? Wir überprüfen noch einmal: . Na, es passt nicht? Das ist zu erwarten – denn es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben!
Folgendes müssen Sie beachten: Die Zahl oder der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf nicht negativ sein!

Allerdings haben die Aufmerksamsten wahrscheinlich schon bemerkt, dass die Definition besagt, dass die Lösung der Quadratwurzel „einer Zahl so“ heißt nicht negativ Zahl, deren Quadrat gleich „ ist. Einige von Ihnen werden sagen, dass wir ganz am Anfang das Beispiel analysiert und Zahlen ausgewählt haben, die quadriert und erhalten werden können. Die Antwort war und, aber hier sprechen wir von einer Art „nichtnegativer Zahl“! Diese Bemerkung ist durchaus angebracht. Hier müssen Sie lediglich zwischen den Konzepten quadratischer Gleichungen und der arithmetischen Quadratwurzel einer Zahl unterscheiden. Entspricht beispielsweise nicht dem Ausdruck.

Daraus folgt, das heißt, oder. (Lesen Sie das Thema "")

Und daraus folgt.

Das ist natürlich sehr verwirrend, aber man muss bedenken, dass die Vorzeichen das Ergebnis der Lösung der Gleichung sind, da wir beim Lösen der Gleichung alle X aufschreiben müssen, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das Ergebnis ergeben richtiges Ergebnis. Beide passen in unsere quadratische Gleichung.

Wie auch immer, wenn Ziehen Sie einfach die Quadratwurzel von etwas, dann immer Wir erhalten ein nicht negatives Ergebnis.

Versuchen Sie nun, diese Gleichung zu lösen. Nicht mehr alles ist so einfach und reibungslos, oder? Versuchen Sie, die Zahlen durchzugehen, vielleicht klappt etwas? Fangen wir ganz von vorne an – von vorne: – passt nicht, weitermachen – weniger als drei, auch zur Seite fegen, was wäre, wenn. Schauen wir mal nach: - auch nicht geeignet, weil... das sind mehr als drei. Dasselbe gilt auch für negative Zahlen. Was sollen wir also jetzt tun? Hat die Suche wirklich nichts ergeben? Überhaupt nicht, jetzt wissen wir mit Sicherheit, dass die Antwort eine Zahl zwischen und sowie zwischen und sein wird. Außerdem werden die Lösungen offensichtlich keine ganzen Zahlen sein. Darüber hinaus sind sie nicht rational. Und was dann? Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen und die Lösungen darauf markieren.

Versuchen wir, das System zu betrügen und die Antwort mit einem Taschenrechner zu erhalten! Holen wir die Wurzel raus! Oh-oh-oh, das stellt sich heraus. Diese Nummer endet nie. Wie können Sie sich das merken, da es in der Prüfung keinen Taschenrechner geben wird!? Alles ist sehr einfach, Sie müssen sich nicht daran erinnern, Sie müssen sich nur den ungefähren Wert merken (oder schnell abschätzen können). und die Antworten selbst. Solche Zahlen werden irrational genannt; um das Schreiben solcher Zahlen zu vereinfachen, wurde das Konzept einer Quadratwurzel eingeführt.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, um dies zu untermauern. Schauen wir uns das folgende Problem an: Sie müssen ein quadratisches Feld mit einer Seitenlänge von km diagonal überqueren. Wie viele km müssen Sie zurücklegen?

Am naheliegendsten ist es hier, das Dreieck separat zu betrachten und den Satz des Pythagoras zu verwenden: . Auf diese Weise, . Wie groß ist hier also der erforderliche Abstand? Offensichtlich kann der Abstand nicht negativ sein, das verstehen wir. Die Wurzel aus zwei ist ungefähr gleich, aber wie wir bereits erwähnt haben, ist sie bereits eine vollständige Antwort.

Um Beispiele mit Wurzeln zu lösen, ohne Probleme zu verursachen, müssen Sie sie sehen und erkennen. Dazu müssen Sie zumindest die Quadrate der Zahlen von bis kennen und diese auch erkennen können. Sie müssen beispielsweise wissen, was einem Quadrat entspricht und umgekehrt auch, was einem Quadrat entspricht.

Hast du verstanden, was eine Quadratwurzel ist? Lösen Sie dann einige Beispiele.

Beispiele.

Na, wie hat es geklappt? Schauen wir uns nun diese Beispiele an:

Antworten:

Kubikwurzel

Nun, wir scheinen das Konzept einer Quadratwurzel geklärt zu haben. Versuchen wir nun herauszufinden, was eine Kubikwurzel ist und was ihr Unterschied ist.

Die Kubikwurzel einer Zahl ist die Zahl, deren Kubik gleich ist. Ist Ihnen aufgefallen, dass hier alles viel einfacher ist? Es gibt keine Einschränkungen hinsichtlich der möglichen Werte sowohl des Werts unter dem Kubikwurzelzeichen als auch der extrahierten Zahl. Das heißt, die Kubikwurzel kann aus jeder Zahl gezogen werden: .

Verstehen Sie, was eine Kubikwurzel ist und wie man sie extrahiert? Dann machen Sie weiter und lösen Sie die Beispiele.

Beispiele.

Antworten:

Root – oh Grad

Nun, wir haben die Konzepte der Quadrat- und Kubikwurzeln verstanden. Fassen wir nun die mit dem Konzept gewonnenen Erkenntnisse zusammen 1. Wurzel.

1. Wurzel einer Zahl ist eine Zahl, deren Potenz gleich ist, d.h.

Äquivalent.

Wenn auch, Das:

• mit negativ, ergibt der Ausdruck keinen Sinn (gerade Wurzeln negativer Zahlen). kann nicht entfernt werden!);
• für nicht negativ() Ausdruck hat eine nicht negative Wurzel.

Wenn - ungerade ist, hat der Ausdruck für jeden eine eindeutige Wurzel.

Seien Sie nicht beunruhigt, hier gelten die gleichen Prinzipien wie bei Quadrat- und Kubikwurzeln. Das heißt, die Prinzipien, die wir bei der Betrachtung von Quadratwurzeln angewendet haben, werden auf alle Wurzeln geraden Grades ausgedehnt.

Und die Eigenschaften, die für die Kubikwurzel verwendet wurden, gelten auch für Wurzeln ungeraden Grades.

Nun, ist es klarer geworden? Schauen wir uns Beispiele an:

Hier ist alles mehr oder weniger klar: Zuerst schauen wir - ja, der Grad ist gerade, die Zahl unter der Wurzel ist positiv, was bedeutet, dass unsere Aufgabe darin besteht, eine Zahl zu finden, deren vierte Potenz uns ergibt. Nun, irgendwelche Vermutungen? Vielleicht, ? Genau!

Der Grad ist also gleich – ungerade, die Zahl unter der Wurzel ist negativ. Unsere Aufgabe ist es, eine Zahl zu finden, die, potenziert, ergibt. Es ist ziemlich schwierig, die Wurzel sofort zu erkennen. Sie können Ihre Suche jedoch sofort eingrenzen, oder? Erstens ist die gewünschte Zahl definitiv negativ, und zweitens kann man feststellen, dass sie ungerade ist und daher die gewünschte Zahl ungerade ist. Versuchen Sie, die Wurzel zu finden. Natürlich können Sie es getrost ablehnen. Vielleicht, ?

Ja, das ist es, wonach wir gesucht haben! Beachten Sie, dass wir zur Vereinfachung der Berechnung die Eigenschaften von Graden verwendet haben: .

Grundlegende Eigenschaften von Wurzeln

Es ist klar? Wenn nicht, dann sollte nach Betrachtung der Beispiele alles zusammenpassen.

Wurzeln vermehren

Wie vermehre ich Wurzeln? Die einfachste und grundlegendste Eigenschaft hilft bei der Beantwortung dieser Frage:

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

Werden die Wurzeln der resultierenden Zahlen nicht exakt gezogen? Kein Problem – hier einige Beispiele:

Was wäre, wenn es nicht zwei, sondern mehr Multiplikatoren gäbe? Das selbe! Die Formel zur Wurzelmultiplikation funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Was können wir damit machen? Nun, natürlich verstecken Sie die drei unter der Wurzel und denken Sie daran, dass die drei die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir das? Ja, nur um unsere Möglichkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft der Wurzeln? Macht es das Leben viel einfacher? Für mich ist das genau richtig! Das muss man sich einfach merken Unter dem Wurzelzeichen eines geraden Grades können wir nur positive Zahlen eingeben.

Mal sehen, wo das sonst noch nützlich sein kann. Das Problem erfordert beispielsweise den Vergleich zweier Zahlen:

Das mehr:

Das kann man nicht sofort erkennen. Nun, nutzen wir die disassemblierte Eigenschaft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben? Fahre fort:

Nun, wenn man weiß, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist! Diese. wenn, dann, . Daraus schließen wir fest: Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Zuvor haben wir einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel eingegeben, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur in Faktoren zerlegen und extrahieren, was Sie extrahieren!

Es war möglich, einen anderen Weg einzuschlagen und auf andere Faktoren auszudehnen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie möchten.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Eigenschaften von Exponenten an und faktorisieren Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel einer Zahl in eine Potenz? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Grad größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann hier ein Beispiel:

Das sind die Fallstricke immer eine Erinnerung wert. Dies spiegelt sich tatsächlich in den Immobilienbeispielen wider:

für ungerade: für gerade und:

Es ist klar? Mit Beispielen untermauern:

Ja, wir sehen, dass die Wurzel eine gerade Potenz ist, und die negative Zahl unter der Wurzel ist ebenfalls eine gerade Potenz. Na, klappt es genauso? Hier ist was:

Das ist alles! Hier nun einige Beispiele:

Habe es? Dann machen Sie weiter und lösen Sie die Beispiele.

Beispiele.

Antworten.

Wenn Sie Antworten erhalten haben, können Sie beruhigt weitermachen. Wenn nicht, dann lassen Sie uns diese Beispiele verstehen:

Schauen wir uns zwei weitere Eigenschaften von Wurzeln an:

Diese Eigenschaften müssen anhand von Beispielen analysiert werden. Na, lasst uns das machen?

Habe es? Lass es uns sichern.

Beispiele.

Antworten.

WURZELN UND IHRE EIGENSCHAFTEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Arithmetische Quadratwurzel

Die Gleichung hat zwei Lösungen: und. Das sind Zahlen, deren Quadrat gleich ist.

Betrachten Sie die Gleichung. Lassen Sie es uns grafisch lösen. Zeichnen wir einen Graphen der Funktion und eine Linie auf der Ebene. Die Schnittpunkte dieser Linien sind die Lösungen. Wir sehen, dass diese Gleichung auch zwei Lösungen hat – eine positiv, die andere negativ:

Aber in diesem Fall sind die Lösungen keine ganzen Zahlen. Darüber hinaus sind sie nicht rational. Um diese irrationalen Entscheidungen aufzuschreiben, führen wir ein spezielles Quadratwurzelsymbol ein.

Arithmetische Quadratwurzel ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist. Wenn der Ausdruck nicht definiert ist, weil Es gibt keine Zahl, deren Quadrat gleich einer negativen Zahl ist.

Quadratwurzel: .

Zum Beispiel, . Und daraus folgt, dass oder.

Lassen Sie mich noch einmal darauf aufmerksam machen, das ist sehr wichtig: Die Quadratwurzel ist immer eine nicht negative Zahl: !

Kubikwurzel einer Zahl ist eine Zahl, deren Potenz gleich ist. Die Kubikwurzel ist für jeden definiert. Es kann aus einer beliebigen Zahl extrahiert werden: . Wie Sie sehen, kann es auch negative Werte annehmen.

Die Wurzel einer Zahl ist eine Zahl, deren Potenz gleich ist, d. h.

Wenn es gerade ist, dann:

• Wenn, dann ist die Wurzel von a nicht definiert.
• wenn, dann wird die nichtnegative Wurzel der Gleichung als arithmetische Wurzel des ten Grades bezeichnet und bezeichnet.

Wenn - ungerade ist, dann hat die Gleichung für jede eine eindeutige Wurzel.

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir links über dem Zeichen der Wurzel ihren Grad schreiben? Aber nicht für die Quadratwurzel! Wenn Sie eine Wurzel ohne Grad sehen, bedeutet das, dass sie quadratisch ist (Grad).

Beispiele.

Grundlegende Eigenschaften von Wurzeln

WURZELN UND IHRE EIGENSCHAFTEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) von einer nicht negativen Zahl heißt dies nichtnegative Zahl, deren Quadrat ist

Eigenschaften von Wurzeln:

Die grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktion werden angegeben, einschließlich Formeln und Eigenschaften der Wurzeln. Es werden die Ableitung, das Integral, die Potenzreihenentwicklung und die komplexe Zahlendarstellung einer Potenzfunktion vorgestellt.

Definition

Definition
Potenzfunktion mit Exponent p ist die Funktion f (x) = x p, dessen Wert am Punkt x gleich dem Wert ist Exponentialfunktion mit Basis x im Punkt p.
Darüber hinaus f (0) = 0 p = 0 für p > 0 .

Für natürliche Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Zahlen gleich x:
.
Es ist für alle gültigen definiert.

Für positive rationale Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Wurzeln vom Grad m der Zahl x:
.
Für ungerades m ist es für alle reellen x definiert. Für gerades m ist die Potenzfunktion für nichtnegative definiert.

Für negativ wird die Potenzfunktion durch die Formel bestimmt:
.
Daher ist es an dieser Stelle nicht definiert.

Für irrationale Werte des Exponenten p wird die Potenzfunktion durch die Formel bestimmt:
,
wobei a eine beliebige positive Zahl ungleich eins ist: .
Wann ist es definiert für .
Wenn , ist die Potenzfunktion für definiert.

Kontinuität. Eine Potenzfunktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

Eigenschaften und Formeln von Potenzfunktionen für x ≥ 0

Hier betrachten wir die Eigenschaften der Potenzfunktion für nicht negative Werte des Arguments x. Wie oben erwähnt, ist für bestimmte Werte des Exponenten p die Potenzfunktion auch für negative Werte von x definiert. In diesem Fall können seine Eigenschaften aus den Eigenschaften von erhalten werden, wobei gerade oder ungerade verwendet werden. Diese Fälle werden auf der Seite „“ ausführlich besprochen und dargestellt.

Eine Potenzfunktion y = x p mit Exponent p hat die folgenden Eigenschaften:
(1.1) definiert und kontinuierlich am Set
bei ,
bei ;
(1.2) hat viele Bedeutungen
bei ,
bei ;
(1.3) steigt strikt mit ,
nimmt strikt ab als ;
(1.4) bei ;
bei ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Der Nachweis der Eigenschaften erfolgt auf der Seite „ Potenzfunktion (Kontinuitäts- und Eigenschaftsnachweis) »

Wurzeln – Definition, Formeln, Eigenschaften

Definition
Wurzel einer Zahl x vom Grad n ist die Zahl, deren Potenz n x ergibt:
.
Hier n = 2, 3, 4, ... - eine natürliche Zahl größer als eins.

Man kann auch sagen, dass die Wurzel einer Zahl x vom Grad n die Wurzel (d. h. Lösung) der Gleichung ist
.
Beachten Sie, dass die Funktion die Umkehrung der Funktion ist.

Quadratwurzel von x ist eine Wurzel vom Grad 2: .

Kubikwurzel von x ist eine Wurzel vom Grad 3: .

Gleichmäßiger Abschluss

Für gerade Potenzen n = 2 m, die Wurzel ist für x ≥ definiert 0 . Eine häufig verwendete Formel gilt sowohl für positives als auch negatives x:
.
Für die Quadratwurzel:
.

Hierbei ist die Reihenfolge wichtig, in der die Operationen ausgeführt werden – das heißt, zuerst wird die Quadratur ausgeführt, was zu einer nicht negativen Zahl führt, und dann wird daraus die Wurzel gezogen (die Quadratwurzel kann aus einer nicht negativen Zahl gezogen werden). ). Wenn wir die Reihenfolge ändern würden: , wäre für negatives x die Wurzel undefiniert und damit der gesamte Ausdruck undefiniert.

Seltsamer Grad

Für ungerade Potenzen wird die Wurzel für alle x definiert:
;
.

Eigenschaften und Formeln von Wurzeln

Die Wurzel von x ist eine Potenzfunktion:
.
Wenn x ≥ 0 Es gelten folgende Formeln:
;
;
, ;
.

Diese Formeln können auch für negative Werte von Variablen angewendet werden. Sie müssen nur sicherstellen, dass der radikale Ausdruck gerader Potenzen nicht negativ ist.

Private Werte

Die Wurzel von 0 ist 0: .
Wurzel 1 ist gleich 1: .
Die Quadratwurzel von 0 ist 0: .
Die Quadratwurzel aus 1 ist 1: .

Beispiel. Wurzel der Wurzeln

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Quadratwurzel aus Wurzeln an:
.
Lassen Sie uns die innere Quadratwurzel mit den obigen Formeln transformieren:
.
Lassen Sie uns nun die ursprüngliche Wurzel transformieren:
.
Also,
.

y = x p für verschiedene Werte des Exponenten p.

Hier sind Diagramme der Funktion für nicht negative Werte des Arguments x. Diagramme der Potenzfunktion, die für negative Werte von x definiert ist, finden Sie auf der Seite „ Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Diagramme »

Umkehrfunktion

Die Umkehrung einer Potenzfunktion mit dem Exponenten p ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 1/p.

Wenn, dann.

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung n-ter Ordnung:
;

Formeln ableiten > > >

Integral einer Potenzfunktion

P ≠ - 1 ;
.

Erweiterung der Potenzreihen

Bei - 1 < x < 1 es findet folgende Zerlegung statt:

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
F (z) = z t.
Lassen Sie uns die komplexe Variable z durch den Modul r und das Argument φ (r = |z|) ausdrücken:
z = r e i φ .
Wir stellen die komplexe Zahl t in Form von Real- und Imaginärteilen dar:
t = p + i q .
Wir haben:

Als nächstes berücksichtigen wir, dass das Argument φ nicht eindeutig definiert ist:
,

Betrachten wir den Fall, wenn q = 0 , das heißt, der Exponent ist eine reelle Zahl, t = p. Dann
.

Wenn p eine ganze Zahl ist, dann ist kp eine ganze Zahl. Dann gilt aufgrund der Periodizität trigonometrischer Funktionen:
.
Das heißt, die Exponentialfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten hat für ein gegebenes z nur einen Wert und ist daher eindeutig.

Wenn p irrational ist, ergeben die Produkte kp für jedes k keine ganze Zahl. Da k eine unendliche Reihe von Werten durchläuft k = 0, 1, 2, 3, ..., dann hat die Funktion z p unendlich viele Werte. Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion.

Wenn p rational ist, kann es wie folgt dargestellt werden:
, Wo m, n- ganze Zahlen, die keine gemeinsamen Teiler enthalten. Dann
.
Erste n Werte, mit k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 Geben Sie n verschiedene Werte von kp an:
.
Nachfolgende Werte ergeben jedoch Werte, die sich von den vorherigen um eine ganze Zahl unterscheiden. Zum Beispiel, wenn k = k 0+n wir haben:
.
Trigonometrische Funktionen, deren Argumente sich um ein Vielfaches von unterscheiden 2π, haben gleiche Werte. Daher erhalten wir bei einer weiteren Erhöhung von k die gleichen Werte von z p wie für k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Somit ist eine Exponentialfunktion mit rationalem Exponenten mehrwertig und hat n Werte (Zweige). Immer wenn das Argument z inkrementiert wird 2π(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion. Nach n solchen Umdrehungen kehren wir zum ersten Zweig zurück, von dem aus der Countdown begann.

Insbesondere hat eine Wurzel vom Grad n n Werte. Betrachten Sie als Beispiel die n-te Wurzel einer reellen positiven Zahl z = x. In diesem Fall φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Für eine Quadratwurzel gilt also n = 2 ,
.
Für gerade k, (- 1 ) k = 1. Für ungerade k, (- 1 ) k = - 1.
Das heißt, die Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: + und -.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.