So beweisen Sie, dass der Grenzwert einer Funktion nicht existiert. Grenzwert einer konvergenten und beschränkten Folge. Grenzwert der Cauchy-Funktion

Heute im Unterricht werden wir uns das ansehen strenge Reihenfolge Und strenge Definition des Grenzwertes einer Funktion und lernen auch, relevante Probleme theoretischer Natur zu lösen. Der Artikel richtet sich in erster Linie an Studienanfänger der Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften, die mit dem Studium der Theorie der mathematischen Analyse begonnen haben und auf Schwierigkeiten gestoßen sind, diesen Abschnitt der höheren Mathematik zu verstehen. Darüber hinaus ist das Material für Oberstufenschüler gut zugänglich.

Im Laufe der Jahre des Bestehens der Website habe ich ein Dutzend Briefe mit ungefähr folgendem Inhalt erhalten: „Ich verstehe die mathematische Analyse nicht gut, was soll ich tun?“, „Ich verstehe die Mathematik überhaupt nicht.“ Ich denke darüber nach, mein Studium abzubrechen“ usw. Und tatsächlich ist es oft der Matan, der die Studentengruppe bereits nach der ersten Sitzung auslichtet. Warum ist das so? Weil das Thema unvorstellbar komplex ist? Gar nicht! Die Theorie der mathematischen Analyse ist nicht so schwierig, sondern eigenartig. Und du musst sie so akzeptieren und lieben, wie sie ist =)

Beginnen wir mit dem schwierigsten Fall. Das Erste und Wichtigste ist, dass Sie Ihr Studium nicht aufgeben müssen. Verstehen Sie es richtig, Sie können jederzeit aufhören;-) Wenn Sie sich nach ein oder zwei Jahren aufgrund Ihrer gewählten Fachrichtung krank fühlen, sollten Sie natürlich darüber nachdenken (Und sei nicht böse!)über eine Änderung der Tätigkeit. Aber jetzt lohnt es sich weiterzumachen. Und vergessen Sie bitte den Satz „Ich verstehe nichts“ – es kommt nicht vor, dass Sie ÜBERHAUPT nichts verstehen.

Was tun, wenn die Theorie schlecht ist? Dies gilt übrigens nicht nur für die mathematische Analyse. Wenn die Theorie schlecht ist, müssen Sie sich zunächst ernsthaft auf die Praxis konzentrieren. In diesem Fall werden zwei strategische Aufgaben gleichzeitig gelöst:

– Erstens ist ein erheblicher Teil des theoretischen Wissens durch die Praxis entstanden. Und deshalb verstehen viele Menschen die Theorie durch... – das stimmt! Nein, nein, darüber denkst du nicht nach =)

– Und zweitens werden Sie die praktischen Fähigkeiten höchstwahrscheinlich durch die Prüfung „ziehen“, auch wenn ... aber lassen wir uns nicht so sehr aufregen! Alles ist real und alles kann in relativ kurzer Zeit „erzogen“ werden. Die mathematische Analyse ist mein Lieblingsfach in der höheren Mathematik, und deshalb konnte ich einfach nicht anders, als Ihnen zu helfen:

Zu Beginn des 1. Semesters werden in der Regel Reihenfolgegrenzen und Funktionsgrenzen abgedeckt. Sie verstehen diese nicht und wissen nicht, wie Sie sie lösen können? Beginnen Sie mit dem Artikel Funktionsgrenzen, in dem das Konzept selbst „an den Fingern“ untersucht und die einfachsten Beispiele analysiert werden. Arbeiten Sie als Nächstes weitere Lektionen zu diesem Thema durch, einschließlich einer Lektion darüber innerhalb von Sequenzen, zu dem ich eigentlich schon eine strenge Definition formuliert habe.

Welche Symbole außer Ungleichheitszeichen und Modul kennen Sie?

– ein langer vertikaler Stab liest sich so: „so dass“, „so dass“, „so dass“ oder „so dass“, in unserem Fall sprechen wir natürlich von einer Zahl – also „so dass“;

– für alle „en“ größer als ;

– Das Modulzeichen bedeutet Abstand, d.h. Dieser Eintrag sagt uns, dass der Abstand zwischen den Werten kleiner als Epsilon ist.

Nun, ist es tödlich schwierig? =)

Nachdem ich die Praxis gemeistert habe, freue ich mich darauf, Sie im nächsten Absatz zu sehen:

Und tatsächlich, lassen Sie uns ein wenig nachdenken: Wie formuliert man eine strenge Definition der Reihenfolge? ...Das erste, was mir auf der Welt in den Sinn kommt praktische Lektion: „Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der die Mitglieder der Folge unendlich nahe kommen.“

Okay, lass es uns aufschreiben Folge :

Es ist nicht schwer, das zu verstehen Folge Annäherung unendlich nahe an die Zahl –1 und gerade nummerierte Terme - zu einem".

Oder gibt es vielleicht zwei Grenzen? Aber warum kann dann keine Sequenz zehn oder zwanzig davon haben? Auf diese Weise können Sie weit kommen. In dieser Hinsicht ist es logisch, dies anzunehmen Wenn eine Sequenz eine Grenze hat, ist sie eindeutig.

Notiz : Die Folge hat keinen Grenzwert, es lassen sich jedoch zwei Teilfolgen von ihr unterscheiden (siehe oben), von denen jede ihren eigenen Grenzwert hat.

Daher erweist sich die obige Definition als unhaltbar. Ja, es funktioniert in Fällen wie (was ich bei vereinfachten Erläuterungen praktischer Beispiele nicht ganz richtig verwendet habe), aber jetzt müssen wir eine strenge Definition finden.

Versuch zwei: „Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der sich ALLE Mitglieder der Folge nähern, außer vielleicht ihre.“ Finale Mengen." Dies ist näher an der Wahrheit, aber immer noch nicht ganz korrekt. So zum Beispiel die Reihenfolge die Hälfte der Terme nähert sich gar nicht dem Nullpunkt – sie sind einfach gleich Null =) Das „Blinklicht“ nimmt übrigens im Allgemeinen zwei feste Werte an.

Die Formulierung ist nicht schwer zu klären, aber dann stellt sich eine andere Frage: Wie schreibt man die Definition in mathematischen Symbolen? Die wissenschaftliche Welt kämpfte lange Zeit mit diesem Problem, bis die Situation gelöst war berühmter Maestro, was im Wesentlichen die klassische mathematische Analyse in ihrer ganzen Strenge formalisierte. Cauchy schlug eine Operation vor Umfeld , was die Theorie erheblich voranbrachte.

Betrachten Sie einen Punkt und es ist willkürlich-Umfeld:

Der Wert von „epsilon“ ist immer positiv und darüber hinaus wir haben das Recht, es selbst zu wählen. Nehmen wir an, dass es in dieser Nachbarschaft viele Mitglieder gibt (nicht unbedingt alle) irgendeine Reihenfolge. Wie schreibt man die Tatsache nieder, dass beispielsweise das zehnte Semester in der Nachbarschaft liegt? Lass es auf der rechten Seite sein. Dann sollte der Abstand zwischen den Punkten und kleiner als „epsilon“ sein: . Liegt „x Zehntel“ jedoch links vom Punkt „a“, ist die Differenz negativ und muss daher um das Vorzeichen ergänzt werden Modul: .

Definition: Eine Zahl heißt Grenzwert einer Folge, wenn für jeden seine Umgebung (vorausgewählt) Es gibt eine solche natürliche Zahl ALLE Mitglieder der Folge mit höheren Nummern liegen innerhalb der Nachbarschaft:

Oder kurz gesagt: wenn

Mit anderen Worten: Egal wie klein der „Epsilon“-Wert ist, den wir annehmen, früher oder später wird sich der „unendliche Schwanz“ der Sequenz VOLLSTÄNDIG in dieser Nachbarschaft befinden.

Zum Beispiel der „unendliche Schwanz“ der Sequenz wird VOLLSTÄNDIG jede beliebige kleine Umgebung des Punktes betreten. Dieser Wert ist also per Definition der Grenzwert der Folge. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine Sequenz aufgerufen wird, deren Grenzwert Null ist unendlich klein.

Es ist zu beachten, dass es für eine Sequenz nicht mehr möglich ist, „endloser Schwanz“ zu sagen. wird reinkommen„- Mitglieder mit ungeraden Zahlen sind tatsächlich gleich Null und „gehen nirgendwo hin“ =) Deshalb wird in der Definition das Verb „erscheinen“ verwendet. Und natürlich gehen die Mitglieder einer solchen Sequenz auch „nirgendwo hin“. Überprüfen Sie übrigens, ob die Anzahl das Limit darstellt.

Jetzt zeigen wir, dass die Folge keine Grenze hat. Betrachten Sie zum Beispiel eine Umgebung des Punktes. Es ist absolut klar, dass es keine solche Zahl gibt, nach der ALLE Begriffe in einer bestimmten Nachbarschaft landen – ungerade Begriffe „springen“ immer auf „minus eins“. Aus einem ähnlichen Grund gibt es derzeit keine Begrenzung.

Lassen Sie uns den Stoff durch Übung festigen:

Beispiel 1

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der Folge Null ist. Geben Sie die Zahl an, nach der garantiert alle Mitglieder der Sequenz innerhalb einer beliebig kleinen Umgebung des Punktes liegen.

Notiz : Bei vielen Folgen hängt die benötigte natürliche Zahl vom Wert ab – daher die Notation.

Lösung: halten willkürlich gibt es irgendwelche Nummer – so dass sich ALLE Mitglieder mit höheren Nummern in dieser Nachbarschaft befinden:

Um die Existenz der erforderlichen Zahl zu zeigen, drücken wir sie durch aus.

Da für jeden Wert von „en“ das Modulzeichen entfernt werden kann:

Wir verwenden „schulische“ Aktionen mit Ungleichheiten, die ich im Unterricht wiederholt habe Lineare Ungleichungen Und Funktionsdomäne. In diesem Fall ist ein wichtiger Umstand, dass „epsilon“ und „en“ positiv sind:

Da es sich auf der linken Seite um natürliche Zahlen handelt und die rechte Seite im Allgemeinen gebrochen ist, muss sie gerundet werden:

Notiz : Manchmal wird sicherheitshalber eine Einheit rechts hinzugefügt, aber in Wirklichkeit ist das übertrieben. Relativ gesehen: Wenn wir das Ergebnis durch Abrunden abschwächen, erfüllt die nächstliegende passende Zahl („drei“) immer noch die ursprüngliche Ungleichung.

Nun schauen wir uns die Ungleichheit an und erinnern uns daran, was wir ursprünglich in Betracht gezogen haben willkürlich-Nachbarschaft, d.h. „epsilon“ kann gleich sein irgendjemand eine positive Zahl.

Abschluss: Für jede beliebig kleine Umgebung eines Punktes wurde der Wert gefunden . Somit ist eine Zahl per Definition der Grenzwert einer Folge. Q.E.D.

Übrigens, aus dem erhaltenen Ergebnis Ein natürliches Muster ist deutlich zu erkennen: Je kleiner die Nachbarschaft, desto größer die Zahl, nach der sich ALLE Mitglieder der Sequenz in dieser Nachbarschaft befinden. Aber egal wie klein das „Epsilon“ ist, es wird immer einen „unendlichen Schwanz“ innen und außen geben – auch wenn er groß ist Finale Anzahl der Mitglieder.

Wie sind Ihre Eindrücke? =) Ich stimme zu, dass es etwas seltsam ist. Aber streng! Bitte lesen Sie es noch einmal durch und denken Sie noch einmal über alles nach.

Schauen wir uns ein ähnliches Beispiel an und machen uns mit anderen technischen Techniken vertraut:

Beispiel 2

Lösung: Per Definition einer Folge muss das bewiesen werden (Sag es laut!!!).

Lassen Sie uns überlegen willkürlich-Nachbarschaft des Punktes und der Kontrolle, existiert es natürliche Zahl – so dass für alle größeren Zahlen die folgende Ungleichung gilt:

Um die Existenz eines solchen zu zeigen, müssen Sie „en“ durch „epsilon“ ausdrücken. Wir vereinfachen den Ausdruck unter dem Modulzeichen:

Das Modul zerstört das Minuszeichen:

Der Nenner ist für jedes „en“ positiv, daher können die Stäbchen entfernt werden:

Mischen:

Jetzt müssen wir die Quadratwurzel ziehen, aber der Haken ist, dass für ein gewisses „Epsilon“ die rechte Seite negativ sein wird. Um dieses Problem zu vermeiden lasst uns stärken Ungleichung nach Modul:

Warum ist das möglich? Stellt sich relativ gesehen heraus, dass dies der Fall ist, dann ist auch die Bedingung erfüllt. Das Modul kann einfach steigern gesuchte Nummer, und die wird uns auch passen! Grob gesagt gilt: Wenn das Hundertste passt, dann passt auch das Zweihundertste! Laut Definition muss man zeigen die bloße Tatsache der Existenz der Zahl(zumindest einige), danach befinden sich alle Mitglieder der Sequenz in der -Nachbarschaft. Aus diesem Grund haben wir übrigens auch keine Angst vor der abschließenden Rundung der rechten Seite nach oben.

Extraktion der Wurzel:

Und runden Sie das Ergebnis ab:

Abschluss: Weil Der Wert „epsilon“ wurde willkürlich gewählt, dann wurde der Wert für jede beliebige kleine Umgebung des Punktes gefunden , so dass für alle größeren Zahlen die Ungleichung gilt . Auf diese Weise, a-priorat. Q.E.D.

ich empfehle besonders Das Verstehen der Verstärkung und Schwächung von Ungleichungen ist eine typische und sehr verbreitete Technik in der mathematischen Analyse. Das Einzige, was Sie überwachen müssen, ist die Richtigkeit dieser oder jener Aktion. So zum Beispiel Ungleichheit Unter keinen Umständen ist es möglich lösen, subtrahieren, sagen wir, eins:

Nochmals unter Bedingung: Wenn die Zahl genau passt, dann passt die vorherige möglicherweise nicht mehr.

Das folgende Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 3

Beweisen Sie dies anhand der Definition einer Folge

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wenn die Reihenfolge unendlich groß, dann wird die Definition eines Grenzwerts auf ähnliche Weise formuliert: Ein Punkt heißt Grenzwert einer Folge, wenn für irgendeinen, so groß wie du möchtest Zahl gibt es eine Zahl, so dass für alle größeren Zahlen die Ungleichung erfüllt ist. Die Nummer wird angerufen Nähe des Punktes „plus Unendlich“:

Mit anderen Worten: Unabhängig davon, wie groß der Wert ist, den wir annehmen, wird der „unendliche Schwanz“ der Folge zwangsläufig in die Umgebung des Punktes gehen, so dass links nur eine endliche Anzahl von Termen übrig bleibt.

Standardbeispiel:

Und verkürzte Schreibweise: , if

Schreiben Sie für den Fall die Definition selbst auf. Die richtige Version finden Sie am Ende der Lektion.

Sobald Sie sich mit praktischen Beispielen vertraut gemacht und die Definition des Grenzwerts einer Folge herausgefunden haben, können Sie sich der Literatur zur Analysis und/oder Ihrem Vorlesungsheft zuwenden. Ich empfehle, Band 1 von Bohan herunterzuladen (einfacher - für Fernstudenten) und Fichtenholtz (ausführlicher und ausführlicher). Unter anderen Autoren empfehle ich Piskunov, dessen Kurs sich an technische Universitäten richtet.

Versuchen Sie, die Sätze, die den Grenzwert der Folge, ihre Beweise und Konsequenzen betreffen, gewissenhaft zu studieren. Auf den ersten Blick mag die Theorie „trüb“ erscheinen, aber das ist normal – man muss sich nur daran gewöhnen. Und viele werden sogar auf den Geschmack kommen!

Strenge Definition des Grenzwerts einer Funktion

Beginnen wir mit dem Gleichen: Wie formuliert man dieses Konzept? Die verbale Definition des Grenzwertes einer Funktion ist viel einfacher formuliert: „Eine Zahl ist der Grenzwert einer Funktion, wenn mit „x“ dazu tendiert (sowohl links als auch rechts), die entsprechenden Funktionswerte tendieren zu » (Zeichnung sehen). Alles scheint normal zu sein, aber Worte sind Worte, Bedeutung ist Bedeutung, ein Symbol ist ein Symbol und es gibt nicht genügend strenge mathematische Notationen. Und im zweiten Absatz lernen wir zwei Ansätze zur Lösung dieses Problems kennen.

Die Funktion sei in einem bestimmten Intervall definiert, möglicherweise mit Ausnahme des Punktes. In der pädagogischen Literatur wird allgemein angenommen, dass die Funktion dort liegt Nicht definiert:

Diese Wahl unterstreicht das Wesen der Grenze einer Funktion: "X" unendlich nah Ansätze und die entsprechenden Werte der Funktion sind unendlich nah Zu . Mit anderen Worten, der Begriff einer Grenze impliziert nicht eine „exakte Annäherung“ an Punkte, sondern nämlich unendlich enge Annäherung Dabei spielt es keine Rolle, ob die Funktion an dem Punkt definiert ist oder nicht.

Es überrascht nicht, dass die erste Definition des Grenzwerts einer Funktion mithilfe von zwei Folgen formuliert wird. Erstens hängen die Konzepte zusammen, und zweitens werden die Grenzen von Funktionen normalerweise erst nach den Grenzen von Folgen untersucht.

Betrachten Sie die Reihenfolge Punkte (nicht auf der Zeichnung), zum Intervall gehörend und anders als, welche konvergiert Zu . Dann bilden die entsprechenden Funktionswerte ebenfalls eine Zahlenfolge, deren Mitglieder auf der Ordinatenachse liegen.

Grenzwert einer Funktion nach Heine für jeden Folgen von Punkten (zugehörig und verschieden von), die gegen den Punkt konvergiert, konvergiert die entsprechende Folge von Funktionswerten gegen .

Eduard Heine ist ein deutscher Mathematiker. ...Und an so etwas muss man nicht denken, es gibt nur einen Schwulen in Europa - Gay-Lussac =)

Die zweite Definition des Grenzwerts wurde erstellt... ja, ja, Sie haben Recht. Aber zuerst wollen wir sein Design verstehen. Betrachten Sie eine beliebige Umgebung des Punktes („schwarzes“ Viertel). Basierend auf dem vorherigen Absatz bedeutet der Eintrag das etwas Wert Die Funktion befindet sich in der Nachbarschaft „epsilon“.

Nun finden wir die -Nachbarschaft, die der gegebenen -Nachbarschaft entspricht (Zeichnen Sie im Geiste schwarze gepunktete Linien von links nach rechts und dann von oben nach unten.). Beachten Sie, dass der Wert ausgewählt ist entlang der Länge des kleineren Segments, in diesem Fall entlang der Länge des kürzeren linken Segments. Darüber hinaus kann die „Himbeer“-Nachbarschaft eines Punktes sogar reduziert werden, da in der folgenden Definition Die bloße Tatsache der Existenz ist wichtig dieses Viertel. Und in ähnlicher Weise bedeutet die Notation, dass ein bestimmter Wert innerhalb der „Delta“-Umgebung liegt.

Grenzwert der Cauchy-Funktion: Eine Zahl heißt Grenzwert einer Funktion an einem Punkt, wenn für jeden vorgewählt Nachbarschaft (so klein wie Sie möchten), existiert-Umgebung des Punktes, SOLCH, dass: ALS NUR Werte (zugehörig) In diesem Bereich enthalten: (rote Pfeile)– SOFORT werden garantiert die entsprechenden Funktionswerte in die -Nachbarschaft eingetragen: (blaue Pfeile).

Ich muss Sie warnen, dass ich der Übersichtlichkeit halber ein wenig improvisiert habe, also übertreiben Sie es nicht =)

Kurzer Eintrag: , wenn

Was ist der Kern der Definition? Im übertragenen Sinne „begleiten“ wir durch die unendliche Reduzierung der -Nachbarschaft die Funktionswerte bis zu ihrem Grenzwert und lassen ihnen keine Alternative, sich woanders anzunähern. Ziemlich ungewöhnlich, aber auch hier streng! Um die Idee vollständig zu verstehen, lesen Sie den Wortlaut noch einmal.

! Aufmerksamkeit: wenn Sie nur formulieren müssen Heines Definition oder nur Cauchy-Definition Bitte vergiss es nicht bedeutsam Vorbemerkungen: „Betrachten Sie eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert ist, möglicherweise mit Ausnahme eines Punktes.“. Ich habe das gleich zu Beginn einmal gesagt und es nicht jedes Mal wiederholt.

Nach dem entsprechenden Satz der mathematischen Analyse sind die Definitionen von Heine und Cauchy gleichwertig, aber die zweite Option ist die bekannteste (würde es immer noch!), die auch „Sprachgrenze“ genannt wird:

Beispiel 4

Beweisen Sie dies anhand der Definition des Grenzwerts

Lösung: Die Funktion ist auf der gesamten Zahlenlinie mit Ausnahme des Punktes definiert. Mithilfe der Definition beweisen wir die Existenz einer Grenze an einem bestimmten Punkt.

Notiz : Der Wert der „Delta“-Nachbarschaft hängt vom „Epsilon“ ab, daher die Bezeichnung

Lassen Sie uns überlegen willkürlich-Umfeld. Die Aufgabe besteht darin, anhand dieses Wertes zu prüfen, ob existiert es-Umfeld, SOLCH, was aus der Ungleichung Ungleichheit folgt .

Unter der Annahme transformieren wir die letzte Ungleichung:
(erweiterte das quadratische Trinom)

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher werden wir gleichzeitig mehrere detaillierte Beispiele zur Lösung von Grenzen mit Erläuterungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Doch zunächst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie Interesse haben, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In Beispielen X kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Intuitiv gilt: Je größer die Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir im Zähler eine quadratische Gleichung haben. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirkungsvolle Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen, aber für diese Arbeit absolut keine Zeit haben, wenden Sie sich an Professioneller Studentenservice für eine schnelle und detaillierte Lösung.

(X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0
2) für jede Sequenz (xn), konvergierend zu x 0 :
, deren Elemente zur Nachbarschaft gehören,
Folge (f(xn)) konvergiert zu:
.

Hier x 0 und a können entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann entweder zweiseitig oder einseitig sein.

.

Zweite Definition des Grenzwertes einer Funktion (nach Cauchy)

Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 , auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede positive Zahl ε > 0 es gibt eine solche Zahl δ ε > 0 , abhängig von ε, dass für alle x, die zum punktierten δ gehören ε - Umgebung des Punktes x 0 :
,
Funktionswerte f (X) gehören zur ε-Umgebung von Punkt a:
.

Punkte x 0 und a können entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann auch entweder zweiseitig oder einseitig sein.

Schreiben wir diese Definition mit den logischen Symbolen von Existenz und Universalität:
.

Diese Definition verwendet Nachbarschaften mit äquidistanten Enden. Eine äquivalente Definition kann unter Verwendung beliebiger Punktumgebungen gegeben werden.

Definition unter Verwendung beliebiger Nachbarschaften
Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 , auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede Nachbarschaft U (A) von Punkt a gibt es eine solche punktierte Umgebung von Punkt x 0 das für alle x, die zur punktierten Umgebung des Punktes x gehören 0 :
,
Funktionswerte f (X) gehören zur Nachbarschaft U (A) Punkte a:
.

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann diese Definition wie folgt geschrieben werden:
.

Einseitige und zweiseitige Grenzen

Die oben genannten Definitionen sind in dem Sinne universell, dass sie für jede Art von Nachbarschaft verwendet werden können. Wenn wir als linksseitige punktierte Umgebung den Endpunkt verwenden, erhalten wir die Definition eines linksseitigen Grenzwerts. Wenn wir die Umgebung eines Punktes im Unendlichen als Umgebung verwenden, erhalten wir die Definition des Grenzwerts im Unendlichen.

Um das Heine-Limit zu bestimmen, kommt es darauf an, dass einer beliebigen Folge, die gegen konvergiert, eine zusätzliche Einschränkung auferlegt wird: Ihre Elemente müssen zur entsprechenden punktierten Umgebung des Punktes gehören.

Um die Cauchy-Grenze zu bestimmen, ist es in jedem Fall notwendig, die Ausdrücke und in Ungleichungen umzuwandeln, wobei die entsprechenden Definitionen der Umgebung eines Punktes verwendet werden.
Siehe „Nachbarschaft eines Punktes“.

Die Bestimmung dieses Punktes a ist nicht der Grenzwert einer Funktion

Es wird oft notwendig, die Bedingung zu verwenden, dass Punkt a nicht der Grenzwert der Funktion bei ist. Konstruieren wir Negationen zu den obigen Definitionen. In ihnen gehen wir davon aus, dass die Funktion f (X) ist auf einer punktierten Umgebung des Punktes x definiert 0 . Punkte a und x 0 können entweder endliche Zahlen oder unendlich weit entfernt sein. Alles Nachfolgende gilt sowohl für bilaterale als auch für unilaterale Grenzwerte.

Laut Heine.
Nummer a ist nicht Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 : ,
wenn eine solche Sequenz existiert (xn), konvergierend zu x 0 :
,
deren Elemente zur Nachbarschaft gehören,
Wie ist die Reihenfolge? (f(xn)) konvergiert nicht zu:
.
.

Laut Cauchy.
Nummer a ist nicht Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
wenn es eine solche positive Zahl ε gibt > 0 , also für jede positive Zahl δ > 0 , existiert ein x, das zur punktierten δ-Umgebung des Punktes x gehört 0 :
,
dass der Wert der Funktion f (X) gehört nicht zur ε-Umgebung von Punkt a:
.
.

Wenn Punkt a nicht der Grenzwert einer Funktion bei ist, heißt das natürlich nicht, dass es keinen Grenzwert geben kann. Es kann eine Grenze geben, aber diese ist nicht gleich a. Es ist auch möglich, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes definiert ist, bei jedoch keine Grenze hat.

Funktion f(x) = sin(1/x) hat keine Grenze, da x → 0.

Beispielsweise ist eine Funktion unter definiert, es gibt jedoch keine Begrenzung. Um es zu beweisen, nehmen wir die Sequenz. Es konvergiert zu einem Punkt 0 : . Weil dann .
Nehmen wir die Reihenfolge. Es konvergiert auch auf den Punkt 0 : . Aber seitdem, dann.
Dann kann der Grenzwert nicht gleich einer beliebigen Zahl a sein. Tatsächlich gibt es für , eine Folge mit . Daher ist jede Zahl ungleich Null kein Grenzwert. Aber es ist auch keine Grenze, da es eine Reihenfolge gibt, mit der .

Äquivalenz der Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts

Satz
Die Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts einer Funktion sind äquivalent.

Nachweisen

Im Beweis gehen wir davon aus, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung eines Punktes (endlich oder im Unendlichen) definiert ist. Punkt a kann auch endlich oder im Unendlichen liegen.

Heines Beweis ⇒ Cauchys

Die Funktion soll in einem Punkt gemäß der ersten Definition (nach Heine) einen Grenzwert a haben. Das heißt, für jede Folge, die zu einer Umgebung eines Punktes gehört und einen Grenzwert hat
(1) ,
Der Grenzwert der Folge ist a:
(2) .

Zeigen wir, dass die Funktion an einem Punkt einen Cauchy-Grenzwert hat. Das heißt, für jeden ist etwas dabei.

Nehmen wir das Gegenteil an. Die Bedingungen (1) und (2) seien erfüllt, aber die Funktion habe keinen Cauchy-Grenzwert. Das heißt, es gibt etwas, das für jeden existiert
.

Nehmen wir , wobei n eine natürliche Zahl ist. Dann existiert , und
.
Somit haben wir eine Folge konstruiert, die gegen konvergiert, aber der Grenzwert der Folge ist nicht gleich a. Dies widerspricht den Bedingungen des Satzes.

Der erste Teil ist bewiesen.

Cauchys Beweis ⇒ Heines

Die Funktion soll in einem Punkt gemäß der zweiten Definition (nach Cauchy) einen Grenzwert a haben. Das heißt, für jeden gibt es das
(3) für alle .

Zeigen wir, dass die Funktion nach Heine an einem Punkt einen Grenzwert a hat.
Nehmen wir eine beliebige Zahl. Nach Cauchys Definition existiert die Zahl, also gilt (3).

Nehmen wir eine beliebige Folge, die zur punktierten Umgebung gehört und gegen konvergiert. Nach der Definition einer konvergenten Folge existiert diese für jede
bei .
Aus (3) folgt dann Folgendes
bei .
Da dies also für jeden gilt
.

Der Satz ist bewiesen.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.

Konstante Zahl A angerufen Grenze Sequenzen(x n ), falls für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, die alle Werte hat x n, für die n>N, die Ungleichung erfüllen

|x n - a|< ε. (6.1)

Schreiben Sie es wie folgt auf: oder x n → A.

Ungleichung (6.1) entspricht der doppelten Ungleichung

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, ausgehend von einer Zahl n>N, innerhalb des Intervalls liegen (a-ε, a+ ε ), d.h. fallen in jedes kleineε -Nachbarschaft eines Punktes A.

Eine Folge mit einem Grenzwert wird aufgerufen konvergent, sonst - abweichend.

Das Konzept eines Funktionslimits ist eine Verallgemeinerung des Konzepts eines Sequenzlimits, da der Grenzwert einer Sequenz als Grenzwert einer Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann N.

Die Funktion f(x) sei gegeben und sei A - Grenzpunkt Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung andere Punkte der Menge D(f) enthält als A. Punkt A kann zur Menge D(f) gehören oder auch nicht.

Definition 1.Die konstante Zahl A heißt Grenze Funktionen f(x) bei x→a, wenn für jede Folge (x n ) von Argumentwerten dazu tendiert A, die entsprechenden Folgen (f(x n)) haben den gleichen Grenzwert A.

Diese Definition heißt indem man den Grenzwert einer Funktion nach Heine definiert, oder " in Sequenzsprache”.

Definition 2. Die konstante Zahl A heißt Grenze Funktionen f(x) bei x→a, wenn, durch Angabe einer beliebig kleinen positiven Zahl ε, kann man ein solches δ finden>0 (abhängig von ε), was für jeden etwas ist X, liegt inε-Umgebungen der Zahl A, d.h. Für X, wodurch die Ungleichung erfüllt wird
0 < x-a< ε , liegen die Werte der Funktion f(x) inε-Umgebung der Zahl A, d.h.|f(x)-A|< ε.

Diese Definition heißt indem man den Grenzwert einer Funktion nach Cauchy definiert, oder „in der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x →a hat Grenze, gleich A, dies wird in der Form geschrieben

. (6.3)

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jede Näherungsmethode unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). X bis an deine Grenzen A, dann sagen wir, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es in der Form:

Es wird eine Variable (also eine Folge oder Funktion) aufgerufen, deren Grenzwert Null ist unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um den Grenzwert in der Praxis zu finden, werden die folgenden Theoreme verwendet.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - unsicher sind, zum Beispiel das Verhältnis zweier unendlich kleiner oder unendlich großer Größen, und das Finden einer solchen Grenze wird als „Aufdecken von Unsicherheiten“ bezeichnet.

Satz 2. (6.7)

diese. man kann aufgrund der Potenz mit konstantem Exponenten bis zum Grenzwert gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

Wo e » 2,7 - Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen die ersten wunderbare Grenze und die zweite bemerkenswerte Grenze.

Die Konsequenzen der Formel (6.11) werden auch in der Praxis genutzt:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze,

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x→a + 0. Wenn insbesondere a = 0, dann schreiben Sie anstelle des Symbols 0+0 +0. Ebenso wenn x→a und gleichzeitig x a-0. Zahlen und heißen entsprechend rechte Grenze Und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt A. Damit es einen Grenzwert der Funktion f(x) als x→ gibta ist dafür notwendig und ausreichend . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann wie folgt umgeschrieben werden:

,

das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn diese an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das bei x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder Umgebung davon, d.h. In jedem offenen Intervall, das den Punkt 0 enthält, gibt es Punkte aus D(f), aber es selbst gehört nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist undefiniert, daher weist die Funktion am Punkt x o = 0 eine Diskontinuität auf.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts durchgehend an der Stelle x o wenn die Grenze

,

Und links durchgehend am Punkt x o, wenn die Grenze

.

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt xo ist äquivalent zu seiner Kontinuität an diesem Punkt sowohl nach rechts als auch nach links.

Damit die Funktion an einem Punkt stetig ist xo, zum Beispiel rechts, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich ist f(x o). Wenn daher mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Diskontinuität auf.

1. Wenn der Grenzwert existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagt man das Funktion f(x) am Punkt x o hat Bruch erster Art, oder Sprung.

2. Wenn das Limit ist+∞ oder -∞ oder existiert nicht, dann sagt man das in Punkt xo Die Funktion weist eine Unstetigkeit auf zweite Art.

Zum Beispiel ist die Funktion y = cot x bei x→ +0 hat einen Grenzwert gleich +∞, was bedeutet, dass es im Punkt x=0 eine Diskontinuität zweiter Art hat. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von X) an Punkten mit ganzen Abszissen weist Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge auf.

Eine Funktion, die an jedem Punkt im Intervall stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich V. Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zur zweiten bemerkenswerten Grenze. Zu diesen Aufgaben gehören beispielsweise: Wachstum von Lagerstätten nach dem Zinseszinsgesetz, Wachstum der Landesbevölkerung, Zerfall radioaktiver Stoffe, Vermehrung von Bakterien usw.

Lassen Sie uns überlegen Beispiel von Ya. I. Perelman, was eine Interpretation der Zahl gibt e im Zinseszinsproblem. Nummer e Es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem Anlagekapital jährlich Zinsgelder hinzugefügt. Erfolgt der Beitritt häufiger, dann wächst das Kapital schneller, da ein größerer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie 100 Denier auf der Bank hinterlegen. Einheiten basierend auf 100 % pro Jahr. Wenn dem Anlagekapital erst nach einem Jahr Zinsgelder hinzugefügt werden, dann sind es in diesem Zeitraum 100 Höhlen. Einheiten wird sich in 200 Geldeinheiten verwandeln. Nun wollen wir sehen, was aus 100 Denize wird. Einheiten, wenn alle sechs Monate Zinsgelder zum Anlagekapital hinzugefügt werden. Nach sechs Monaten 100 Höhle. Einheiten wird auf 100 anwachsen× 1,5 = 150 und nach weiteren sechs Monaten - 150× 1,5 = 225 (den. Einheiten). Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 Höhlen. Einheiten wird zu 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. Einheiten). Wir werden die Bedingungen für die Hinzurechnung von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, auf 0,01 Jahr, auf 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 Höhlen. Einheiten nach einem Jahr wird es sein:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. Einheiten),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. Einheiten),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Zinslaufzeit wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr eingezahlte Kapital kann sich auch bei aufgelaufenen Zinsen nicht um mehr als das 2,71-fache erhöhen wurden jede Sekunde zum Kapital addiert, da das Limit überschritten wurde

Beispiel 3.1.Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwerts einer Zahlenfolge, dass die Folge x n =(n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Lösung.Wir müssen das beweisen, egal was passiertε > 0, egal was wir nehmen, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt|x n -1|< ε.

Nehmen wir ein beliebiges e > 0. Da ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, dann reicht es aus, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden< e. Daher ist n>1/ e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1/ angenommen werden e , N = E(1/ e ). Wir haben damit bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2 . Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Lösung.Wenden wir den Grenzwert des Summensatzes an und ermitteln wir den Grenzwert jedes Termes. Wenn n→ ∞ Zähler und Nenner jedes Termes tendieren gegen Unendlich, und wir können den Quotientengrenzwertsatz nicht direkt anwenden. Daher transformieren wir zunächst x n, indem man Zähler und Nenner des ersten Termes durch dividiert Nr. 2, und der zweite weiter N. Wenn wir dann den Grenzwert des Quotienten und den Grenzwert des Summensatzes anwenden, finden wir:

.

Beispiel 3.3. . Finden .

Lösung. .

Hier haben wir den Grenzwertsatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4 . Finden ( ).

Lösung.Es ist unmöglich, den Differenzgrenzensatz anzuwenden, da wir eine Unsicherheit der Form haben ∞-∞ . Lassen Sie uns die allgemeine Termformel umwandeln:

.

Beispiel 3.5 . Gegeben ist die Funktion f(x)=2 1/x. Beweisen Sie, dass es keine Grenze gibt.

Lösung.Lassen Sie uns Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion durch eine Folge verwenden. Nehmen wir eine gegen 0 konvergierende Folge ( x n ), d. h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Sequenzen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich ist dann die Grenze erreicht Wählen wir nun als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, die ebenfalls gegen Null tendiert. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 . Beweisen Sie, dass es keine Grenze gibt.

Lösung.Sei x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n) für verschiedene x n → ∞?

Wenn x n = p n, dann sin x n = sin p n = 0 für alle N und der Grenzwert If
x n =2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle N und damit die Grenze. Es existiert also nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Limits

Geben Sie im oberen Fenster anstelle von sin(x)/x die Funktion ein, deren Grenzwert Sie finden möchten. Geben Sie im unteren Fenster die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um den gewünschten Grenzwert zu erhalten. Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Regeln für die Eingabe von Funktionen: sqrt(x) – Quadratwurzel, cbrt(x) – Kubikwurzel, exp(x) – Exponent, ln(x) – natürlicher Logarithmus, sin(x) – Sinus, cos(x) – Kosinus, tan (x) – Tangens, cot(x) – Kotangens, arcsin(x) – Arkussinus, arccos(x) – Arkuskosinus, arctan(x) – Arcustangens. Zeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Potenzierung, stattdessen Unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird als sqrt(tan(x/2)) eingegeben.