So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks, sofern dieser bekannt ist. So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks, wenn nicht alle Seiten bekannt sind. Berechnung aus vorgegebenen Seitenlängen

Vorabinformationen

Der Umfang einer flachen geometrischen Figur auf einer Ebene ist definiert als die Summe der Längen aller ihrer Seiten. Das Dreieck ist hier keine Ausnahme. Zunächst stellen wir das Konzept eines Dreiecks sowie die Dreieckstypen in Abhängigkeit von den Seiten vor.

Definition 1

Wir nennen ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die durch Segmente miteinander verbunden sind (Abb. 1).

Definition 2

Im Rahmen der Definition 1 nennen wir die Punkte die Eckpunkte des Dreiecks.

Definition 3

Im Rahmen der Definition 1 nennen wir die Segmente Seiten des Dreiecks.

Offensichtlich hat jedes Dreieck drei Eckpunkte und drei Seiten.

Abhängig vom Verhältnis der Seiten zueinander werden Dreiecke in ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke unterteilt.

Definition 4

Wir nennen ein Dreieck skalenförmig, wenn keine seiner Seiten einer anderen gleich ist.

Definition 5

Wir nennen ein Dreieck gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten einander gleich sind, aber nicht gleich der dritten Seite.

Definition 6

Wir nennen ein Dreieck gleichseitig, wenn alle seine Seiten einander gleich sind.

Sie können alle Arten dieser Dreiecke in Abbildung 2 sehen.

Wie finde ich den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein ungleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlängen gleich $α$, $β$ und $γ$ sind.

Abschluss: Um den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie alle Längen seiner Seiten addieren.

Beispiel 1

Finden Sie den Umfang des ungleichseitigen Dreiecks, der $34$ cm, $12$ cm und $11$ cm entspricht.

$P=34+12+11=57$ cm

Antwort: 57 $ cm.

Beispiel 2

Finden Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 6$ und 8$ cm lang sind.

Lassen Sie uns zunächst die Länge der Hypotenusen dieses Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Bezeichnen wir es dann mit $α$

$α=10$ Gemäß der Regel zur Berechnung des Umfangs eines ungleichseitigen Dreiecks erhalten wir

$P=10+8+6=24$ cm

Antwort: $24$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks?

Nehmen wir ein gleichschenkliges Dreieck, die Seitenlängen betragen $α$ und die Grundlänge beträgt $β$.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+β=2α+β$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die doppelte Länge seiner Seiten zur Länge seiner Grundfläche.

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Seiten 12 cm und dessen Grundfläche 11 cm betragen.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Antwort: 35 $ cm.

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Höhe zur Basis $8$ cm beträgt und die Basis $12$ cm beträgt.

Schauen wir uns die Zeichnung entsprechend den Problembedingungen an:

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $BD$ auch der Median, also $AD=6$ cm.

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir aus dem Dreieck $ADB$ die laterale Seite. Bezeichnen wir es dann mit $α$

Nach der Regel zur Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks erhalten wir

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Antwort: $32$ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck, dessen Längen aller Seiten gleich $α$ sind.

Das erhalten wir, indem wir den Umfang einer flachen geometrischen Figur bestimmen

$P=α+α+α=3α$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, multiplizieren Sie die Seitenlänge des Dreiecks mit $3$.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Seitenlänge $12$ cm beträgt.

Anhand des oben besprochenen Beispiels sehen wir das

$P=3\cdot 12=36$ cm

Wie finde ich den Umfang eines Dreiecks? Jeder von uns hat diese Frage während des Lernens in der Schule gestellt. Versuchen wir uns an alles zu erinnern, was wir über diese erstaunliche Figur wissen, und beantworten wir auch die gestellte Frage.

Die Antwort auf die Frage, wie man den Umfang eines Dreiecks ermittelt, ist normalerweise recht einfach: Sie müssen lediglich die Längen aller seiner Seiten addieren. Es gibt jedoch mehrere einfachere Methoden, um den gewünschten Wert zu ermitteln.

Rat

Wenn der Radius (r) eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises und seine Fläche (S) bekannt sind, ist die Beantwortung der Frage, wie man den Umfang eines Dreiecks ermittelt, recht einfach. Dazu müssen Sie die übliche Formel verwenden:

Wenn zwei Winkel, sagen wir α und β, bekannt sind, die an die Seite angrenzen, und die Länge der Seite selbst, dann kann der Umfang mithilfe einer sehr, sehr beliebten Formel ermittelt werden, die wie folgt aussieht:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + à

Wenn Sie die Längen benachbarter Seiten und den Winkel β zwischen ihnen kennen, müssen Sie zum Ermitteln des Umfangs Folgendes verwenden: Der Umfang wird nach folgender Formel berechnet:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),

wobei b2 und a2 die Quadrate der Längen benachbarter Seiten sind. Der Wurzelausdruck ist die Länge der unbekannten dritten Seite, ausgedrückt mit dem Kosinussatz.

Wenn Sie nicht wissen, wie Sie den Umfang finden, gibt es hier eigentlich nichts Kompliziertes. Berechnen Sie es mit der Formel:

Dabei ist b die Basis des Dreiecks und a seine Seiten.

Um den Umfang eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln, verwenden Sie die einfachste Formel:

wobei a die Länge der Seite ist.

Wie kann man den Umfang eines Dreiecks ermitteln, wenn nur die Radien der Kreise bekannt sind, die es umschreiben oder einschreiben? Wenn das Dreieck gleichseitig ist, sollte die Formel angewendet werden:

P = 3R√3 = 6r√3,

wobei R und r die Radien des Umkreises bzw. des eingeschriebenen Kreises sind.

Wenn das Dreieck gleichschenklig ist, gilt für es die Formel:

P=2R (sinβ + 2sinα),

Dabei ist α der Winkel, der an der Basis liegt, und β der Winkel, der der Basis gegenüberliegt.

Die Lösung mathematischer Probleme erfordert oft eine gründliche Analyse und eine besondere Fähigkeit, die erforderlichen Formeln zu finden und abzuleiten, und das ist, wie viele wissen, eine ziemlich schwierige Arbeit. Obwohl einige Probleme mit nur einer Formel gelöst werden können.

Schauen wir uns die Formeln an, die für die Beantwortung der Frage, wie man den Umfang eines Dreiecks ermittelt, in Bezug auf eine Vielzahl von Dreieckstypen grundlegend sind.

Die Hauptregel zum Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks ist natürlich diese Aussage: Um den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie die Längen aller seiner Seiten mit der entsprechenden Formel addieren:

Dabei sind b, a und c die Längen der Seiten des Dreiecks und P der Umfang des Dreiecks.

Es gibt mehrere Sonderfälle dieser Formel. Nehmen wir an, Ihr Problem lautet wie folgt: „Wie finde ich den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks?“ In diesem Fall sollten Sie die folgende Formel verwenden:

P = b + a + √(b2 + a2)

In dieser Formel sind b und a die unmittelbaren Längen der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks. Es ist leicht zu erraten, dass anstelle der Seite mit (Hypotenuse) ein Ausdruck verwendet wird, der aus dem Satz des großen Wissenschaftlers der Antike - Pythagoras - stammt.

Wenn Sie ein Problem lösen müssen, bei dem die Dreiecke ähnlich sind, wäre es logisch, diese Aussage zu verwenden: Das Verhältnis der Umfänge entspricht dem Ähnlichkeitskoeffizienten. Nehmen wir an, Sie haben zwei ähnliche Dreiecke – ΔABC und ΔA1B1C1. Um den Ähnlichkeitskoeffizienten zu ermitteln, muss dann der Umfang ΔABC durch den Umfang ΔA1B1C1 geteilt werden.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass der Umfang eines Dreiecks je nach den Ihnen vorliegenden Ausgangsdaten mit verschiedenen Techniken ermittelt werden kann. Es sollte hinzugefügt werden, dass es einige Sonderfälle für rechtwinklige Dreiecke gibt.

Der Umfang eines Dreiecks ist die Länge der Linie, die die Figur begrenzt. Um es zu berechnen, müssen Sie die Summe aller Seiten dieses Polygons ermitteln.

Berechnung aus vorgegebenen Seitenlängen

Sobald ihre Bedeutung bekannt ist, ist dies einfach. Wenn wir diese Parameter mit den Buchstaben m, n, k und den Umfang mit dem Buchstaben P bezeichnen, erhalten wir die Berechnungsformel: P = m+n+k. Aufgabe: Es ist bekannt, dass ein Dreieck Seitenlängen von 13,5 Dezimetern, 12,1 Dezimetern und 4,2 Dezimetern hat. Finden Sie den Umfang heraus. Wir lösen: Wenn die Seiten dieses Polygons a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm sind, dann ist P = 29,8 dm. Antwort: P = 29,8 dm.

Umfang eines Dreiecks mit zwei gleichen Seiten

Ein solches Dreieck nennt man gleichschenklig. Wenn diese gleichen Seiten eine Länge von einem Zentimeter haben und die dritte Seite eine Länge von b Zentimetern hat, dann ist der Umfang leicht herauszufinden: P = b + 2a. Aufgabe: Ein Dreieck hat zwei Seiten von 10 Dezimetern und eine Basis von 12 Dezimetern. Finden Sie P. Lösung: Sei die Seite a = c = 10 dm, die Basis b = 12 dm. Seitensumme P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Antwort: P = 32 Dezimeter.

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks

Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks die gleiche Anzahl an Maßeinheiten haben, spricht man von einer Gleichseite. Ein anderer Name ist korrekt. Der Umfang eines regelmäßigen Dreiecks wird mit der Formel ermittelt: P = a+a+a = 3·a. Problem: Wir haben ein gleichseitiges dreieckiges Grundstück. Eine Seite ist 6 Meter lang. Ermitteln Sie die Länge des Zauns, der diesen Bereich umschließen kann. Lösung: Wenn die Seite dieses Polygons a = 6 m ist, dann beträgt die Länge des Zauns P = 3 · 6 = 18 (m). Antwort: P = 18 m.

Dreieck mit einem Winkel von 90°

Es heißt rechteckig. Das Vorhandensein eines rechten Winkels ermöglicht das Auffinden unbekannter Seiten mithilfe der Definition trigonometrischer Funktionen und des Satzes des Pythagoras. Die längste Seite wird Hypotenuse genannt und mit c bezeichnet. Es gibt zwei weitere Seiten, a und b. Nach dem nach Pythagoras benannten Satz gilt c 2 = a 2 + b 2 . Beine a = √ (c 2 - b 2) und b = √ (c 2 - a 2). Da wir die Länge zweier Schenkel a und b kennen, berechnen wir die Hypotenuse. Dann ermitteln wir die Summe der Seiten der Figur, indem wir diese Werte addieren. Aufgabe: Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks haben eine Länge von 8,3 Zentimetern und 6,2 Zentimetern. Der Umfang des Dreiecks muss berechnet werden. Lösen: Bezeichnen wir die Beine mit a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 = 10,4 (cm ). P = 24,9 (cm). Oder P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Antwort: P = 24,9 cm. Die Werte der Wurzeln wurden mit einer Genauigkeit von Zehnteln ermittelt. Wenn wir die Werte der Hypotenuse und des Beins kennen, erhalten wir den Wert von P durch die Berechnung von P = √ (c 2 – b 2) + b + c. Aufgabe 2: Ein im 90-Grad-Winkel gegenüberliegender Landabschnitt ist 12 km lang, einer der Schenkel ist 8 km lang. Wie lange dauert es, das gesamte Gebiet zu umrunden, wenn man sich mit einer Geschwindigkeit von 4 Kilometern pro Stunde fortbewegt? Lösung: Wenn das größte Segment 12 km und das kleinere b = 8 km beträgt, beträgt die Länge des gesamten Pfads P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Wir finden die Zeit, indem wir den Weg durch die Geschwindigkeit dividieren. 28,9:4 = 7,225 (h). Antwort: Sie können es in 7,3 Stunden umgehen. Wir nehmen den Wert der Quadratwurzeln und die auf Zehntel genaue Antwort. Sie können die Summe der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, wenn eine der Seiten und der Wert eines der spitzen Winkel angegeben sind. Wenn wir die Länge des Schenkels b und den Wert des Winkels β gegenüber ihm kennen, finden wir die unbekannte Seite a = b/ tan β. Finden Sie die Hypotenuse c = a: sinα. Den Umfang einer solchen Figur ermitteln wir durch Addition der resultierenden Werte. P = a + a/ sinα + a/ tan α, oder P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Aufgabe: In einem Rechteck Δ ABC mit rechtem Winkel C hat der Schenkel BC eine Länge von 10 m, der Winkel A beträgt 29 Grad. Wir müssen die Summe der Seiten Δ ABC ermitteln. Lösung: Bezeichnen wir die bekannte Seite BC = a = 10 m, den ihr gegenüberliegenden Winkel ∟A = α = 30°, dann Seite AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), Hypotenuse AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Oder P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. Wir haben: P = 47,2 m. Wir nehmen den Wert der trigonometrischen Funktionen auf Hundertstel genau und runden die Länge der Seiten und den Umfang auf Zehntel ab. Mit dem Wert des Schenkels α und dem angrenzenden Winkel β finden wir heraus, was der zweite Schenkel ist: b = a tan β. Die Hypotenuse ist in diesem Fall gleich dem Bein geteilt durch den Kosinus des Winkels β. Wir ermitteln den Umfang durch die Formel P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Aufgabe: Der Schenkel eines Dreiecks mit einem Winkel von 90 Grad beträgt 18 cm, der angrenzende Winkel beträgt 40 Grad. Finden Sie P. Lösung: Bezeichnen wir die bekannte Seite mit BC = 18 cm, ∟β = 40°. Dann ist die unbekannte Seite AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), Hypotenuse AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Die Summe der Seiten der Figur beträgt P = 56,3 (cm). Oder P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Antwort: P = 56,3 cm Wenn die Länge der Hypotenuse c und ein gewisser Winkel α bekannt sind, sind die Schenkel gleich dem Produkt der Hypotenuse für der erste - durch den Sinus und der zweite - durch den Kosinus dieses Winkels. Der Umfang dieser Figur ist P = (sin α + 1+ cos α)*c. Aufgabe: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks AB = 9,1 Zentimeter und der Winkel beträgt 50 Grad. Finden Sie die Summe der Seiten dieser Figur. Lösung: Bezeichnen wir die Hypotenuse mit AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, dann hat einer der Schenkel BC eine Länge a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), Schenkel AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Das bedeutet, dass der Umfang dieses Polygons P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm) beträgt. Oder P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Antwort: P = 21,9 Zentimeter.

Ein beliebiges Dreieck, dessen eine Seite unbekannt ist

Wenn wir die Werte zweier Seiten a und c und den Winkel zwischen diesen Seiten γ haben, finden wir den dritten durch den Kosinussatz: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, wobei β der Winkel ist liegt zwischen den Seiten a und c. Dann finden wir den Umfang. Aufgabe: Δ ABC hat eine Strecke AB mit einer Länge von 15 dm und eine Strecke AC mit einer Länge von 30,5 dm. Der Winkel zwischen diesen Seiten beträgt 35 Grad. Berechnen Sie die Summe der Seiten Δ ABC. Lösung: Mithilfe des Kosinussatzes berechnen wir die Länge der dritten Seite. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm). Wir haben: P = 65,6 dm.

Die Summe der Seiten eines beliebigen Dreiecks, bei dem die Längen zweier Seiten unbekannt sind

Wenn wir die Länge nur eines Segments und den Wert zweier Winkel kennen, können wir die Länge zweier unbekannter Seiten mithilfe des Sinussatzes ermitteln: „In einem Dreieck sind die Seiten immer proportional zu den Werten der Sinuswerte von.“ entgegengesetzte Winkel.“ Woher kommt b = (a* sin β)/ sin a. Ebenso c = (a sin γ): sin a. Der Umfang ist in diesem Fall P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Aufgabe: Wir haben Δ ABC. Darin beträgt die Länge der Seite BC 8,5 mm, der Winkel C beträgt 47° und der Winkel B beträgt 35 Grad. Finden Sie die Summe der Seiten dieser Figur. Lösung: Bezeichnen wir die Längen der Seiten BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Aus den aus dem Sinussatz erhaltenen Beziehungen finden wir die Beine AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Daher beträgt die Summe der Seiten dieses Polygons P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Antwort: P = 23,5 mm. Für den Fall, dass nur die Länge eines Segments und die Werte zweier benachbarter Winkel vorhanden sind, berechnen wir zunächst den Winkel gegenüber der bekannten Seite. Alle Winkel dieser Figur ergeben zusammen 180 Grad. Daher ist ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Als nächstes finden wir die unbekannten Segmente mithilfe des Sinussatzes. Aufgabe: Wir haben Δ ABC. Es hat ein Segment BC von 10 cm. Der Wert des Winkels B beträgt 48 Grad, der Winkel C beträgt 56 Grad. Finden Sie die Summe der Seiten Δ ABC. Lösung: Ermitteln Sie zunächst den Wert des Winkels A gegenüber der Seite BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Nun berechnen wir mit dem Sinussatz die Länge der Seite AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. Der Umfang des Dreiecks beträgt P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Ergebnis: P = 26,2 cm.

Berechnen des Umfangs eines Dreiecks anhand des Radius des darin eingeschriebenen Kreises

Manchmal ist keine Seite des Problems bekannt. Es gibt jedoch einen Wert für die Fläche des Dreiecks und den Radius des darin eingeschriebenen Kreises. Diese Größen hängen zusammen: S = r p. Wenn wir den Wert der Fläche und des Radius r des Dreiecks kennen, können wir den Halbumfang p ermitteln. Wir finden p = S: r. Problem: Das Grundstück hat eine Fläche von 24 m², der Radius r beträgt 3 m. Finden Sie die Anzahl der Bäume, die gleichmäßig entlang der Linie gepflanzt werden müssen, die dieses Grundstück umschließt, wenn zwischen zwei ein Abstand von 2 Metern bestehen soll benachbarte. Lösung: Wir ermitteln die Summe der Seiten dieser Figur wie folgt: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Dann dividiere durch zwei. 16:2= 8. Insgesamt: 8 Bäume.

Summe der Seiten eines Dreiecks in kartesischen Koordinaten

Die Eckpunkte von Δ ABC haben Koordinaten: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Finden wir die Quadrate jeder Seite AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Um den Umfang zu ermitteln, addieren Sie einfach alle Segmente. Aufgabe: Koordinaten der Eckpunkte Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Finden Sie die Summe der Seiten dieser Figur. Lösung: Wenn wir die Werte der entsprechenden Koordinaten in die Umfangsformel einsetzen, erhalten wir P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Wir haben: P = 16,6. Befindet sich die Figur nicht auf einer Ebene, sondern im Raum, dann hat jeder der Eckpunkte drei Koordinaten. Daher wird die Formel für die Seitensumme einen weiteren Term haben.

Vektormethode

Wenn eine Figur durch die Koordinaten ihrer Eckpunkte gegeben ist, kann der Umfang mit der Vektormethode berechnet werden. Ein Vektor ist ein Segment, das eine Richtung hat. Sein Modul (Länge) wird durch das Symbol ǀᾱǀ angegeben. Der Abstand zwischen Punkten ist die Länge des entsprechenden Vektors oder der Absolutwert des Vektors. Betrachten Sie ein Dreieck, das auf einer Ebene liegt. Wenn die Eckpunkte die Koordinaten A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3) haben, wird die Länge jeder Seite mithilfe der Formeln ermittelt: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Den Umfang des Dreiecks erhalten wir durch Addition der Längen der Vektoren. Ermitteln Sie auf ähnliche Weise die Summe der Seiten eines Dreiecks im Raum.

In diesem Artikel zeigen wir anhand von Beispielen, wie man den Umfang eines Dreiecks ermittelt. Betrachten wir alle Hauptfälle, wie man den Umfang von Dreiecken ermittelt, auch wenn nicht alle Seitenwerte bekannt sind.

Dreieck ist eine einfache geometrische Figur, die aus drei sich schneidenden Geraden besteht. Dabei heißen die Schnittpunkte der Geraden Scheitelpunkte und die sie verbindenden Geraden Seiten.
Umfang eines Dreiecks heißt die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks. Es hängt davon ab, wie viele Ausgangsdaten wir zur Berechnung des Umfangs des Dreiecks benötigen, welche Option wir zur Berechnung verwenden.
Erste Wahl
Wenn wir die Längen der Seiten n, y und z des Dreiecks kennen, können wir den Umfang mit der folgenden Formel bestimmen: wobei P der Umfang ist, n, y, z die Seiten des Dreiecks sind

Formel für den Umfang eines Rechtecks

P = n + y + z

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv mit den Seitenlängen k = 10 cm, s = 10 cm, v = 8 cm. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 10 + 10 + 8 = 28.
Antwort: P = 28cm.

Für ein gleichseitiges Dreieck ermitteln wir den Umfang wie folgt: die Länge einer Seite multipliziert mit drei. die formel sieht so aus:
P = 3n
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv mit den Seitenlängen k = 10 cm, s = 10 cm, v = 10 cm. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 10 * 3 = 30
Antwort: P = 30 cm.

Für ein gleichschenkliges Dreieck ermitteln wir den Umfang wie folgt: Zur Länge einer Seite multipliziert mit zwei addieren wir die Seite der Basis
Ein gleichschenkliges Dreieck ist das einfachste Polygon, bei dem zwei Seiten gleich sind und die dritte Seite Basis genannt wird.

P = 2n + z

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Gegeben sei ein Dreieck ksv mit den Seitenlängen k = 10 cm, s = 10 cm, v = 7 cm. Finden Sie seinen Umfang.
Mit der Formel erhalten wir 2 * 10 + 7 = 27.
Antwort: P = 27cm.
Zweite Option
Wenn wir die Länge einer Seite nicht kennen, aber die Längen der anderen beiden Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen, und der Umfang des Dreiecks erst ermittelt werden kann, wenn wir die Länge der dritten Seite kennen. In diesem Fall ist die unbekannte Seite gleich der Quadratwurzel des Ausdrucks b2 + c2 - 2 ∙ b ∙ c ∙ cosβ

P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - Seitenlängen
α ist die uns bekannte Größe des Winkels zwischen den Seiten

Dritte Option
Wenn wir die Seiten n und y nicht kennen, aber wir kennen die Länge der Seite z und die daran angrenzenden Werte. In diesem Fall können wir den Umfang des Dreiecks nur ermitteln, wenn wir die Längen zweier uns unbekannter Seiten ermitteln und sie mithilfe des Sinussatzes und der Formel bestimmen

P = z + sinα ∙ z / (sin (180°-α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180°-α - β))
z ist die Länge der uns bekannten Seite
α, β – uns bekannte Winkelgrößen

Vierte Option
Sie können den Umfang eines Dreiecks auch anhand des in seinen Umfang eingeschriebenen Radius und der Fläche des Dreiecks ermitteln. Den Umfang ermitteln wir mit der Formel

P=2S/r
S – Fläche des Dreiecks
r ist der Radius des darin eingeschriebenen Kreises

Wir haben vier verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung des Umfangs eines Dreiecks besprochen.
Den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln ist im Prinzip nicht schwierig. Wenn Sie Fragen oder Ergänzungen zum Artikel haben, schreiben Sie diese unbedingt in die Kommentare.

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