So finden Sie das Bewegungsgesetz. Gesetz der Körperbewegung: Definition, Formeln. Bewegung entlang einer elliptischen Flugbahn am Beispiel der Planeten des Sonnensystems

Und warum wird es benötigt? Wir wissen bereits, was ein Bezugssystem, die Relativität der Bewegung und ein materieller Punkt sind. Nun, es ist Zeit, weiterzumachen! Hier betrachten wir die Grundkonzepte der Kinematik, stellen die nützlichsten Formeln für die Grundlagen der Kinematik zusammen und geben ein praktisches Beispiel zur Lösung des Problems.

Lassen Sie uns dieses Problem lösen: Ein Punkt bewegt sich auf einem Kreis mit einem Radius von 4 Metern. Das Gesetz seiner Bewegung wird durch die Gleichung S=A+Bt^2 ausgedrückt. A=8m, B=-2m/s^2. Zu welchem ​​Zeitpunkt beträgt die Normalbeschleunigung eines Punktes 9 m/s^2? Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, Tangential- und Gesamtbeschleunigung des Punktes für diesen Zeitpunkt.

Lösung: Wir wissen, dass wir zum Ermitteln der Geschwindigkeit die erste zeitliche Ableitung des Bewegungsgesetzes nehmen müssen, und die Normalbeschleunigung ist gleich dem Quotienten aus dem Quadrat der Geschwindigkeit und dem Radius des Kreises, entlang dem der Punkt verläuft bewegt sich. Mit diesem Wissen ermitteln wir die benötigten Mengen.

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Jeder achtete auf die Vielfalt der Bewegungsarten, denen er in seinem Leben begegnet. Bei jeder mechanischen Bewegung des Körpers gibt es jedoch zwei Arten: linear oder rotierend. Betrachten wir in dem Artikel die Grundgesetze der Bewegung von Körpern.

Über welche Bewegungsarten werden wir sprechen?

Wie in der Einleitung erwähnt, sind alle Arten von Körperbewegungen, die in der klassischen Physik betrachtet werden, entweder mit einer geradlinigen oder einer kreisförmigen Flugbahn verbunden. Durch eine Kombination dieser beiden können beliebige andere Trajektorien erhalten werden. Im weiteren Verlauf des Artikels werden die folgenden Gesetze der Körperbewegung betrachtet:

1. Einheitlich in einer geraden Linie.
2. Gleichmäßig beschleunigt (gleichmäßig abgebremst) in einer geraden Linie.
3. Gleichmäßig am Umfang.
4. Gleichmäßig im Kreis beschleunigt.
5. Bewegung entlang einer elliptischen Bahn.

Gleichförmige Bewegung oder Ruhezustand

Galilei begann sich Ende des 16. – Anfang des 17. Jahrhunderts erstmals aus wissenschaftlicher Sicht für diese Bewegung zu interessieren. Als er die Trägheitseigenschaften eines Körpers untersuchte und das Konzept eines Referenzsystems einführte, vermutete er, dass der Ruhezustand und die gleichförmige Bewegung ein und dasselbe sind (alles hängt von der Wahl des Objekts ab, relativ zu dem die Geschwindigkeit ist). berechnet).

Anschließend formulierte Isaac Newton sein erstes Bewegungsgesetz eines Körpers, wonach die Geschwindigkeit des Körpers immer dann ein konstanter Wert ist, wenn keine äußeren Kräfte wirken, die die Bewegungseigenschaften verändern.

Die gleichmäßige geradlinige Bewegung eines Körpers im Raum wird durch die folgende Formel beschrieben:

Dabei ist s die Strecke, die der Körper in der Zeit t zurücklegt und sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Dieser einfache Ausdruck wird auch in den folgenden Formen geschrieben (alles hängt von den bekannten Größen ab):

Geradeausbewegung mit Beschleunigung

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz führt das Vorhandensein einer äußeren Kraft, die auf einen Körper einwirkt, zwangsläufig zum Auftreten einer Beschleunigung in diesem. Aus (Geschwindigkeitsänderungsrate) folgt der Ausdruck:

a = v / t oder v = a * t

Wenn die auf den Körper wirkende äußere Kraft konstant bleibt (ihre Größe oder Richtung nicht ändert), ändert sich auch die Beschleunigung nicht. Diese Art von Bewegung wird als gleichmäßig beschleunigt bezeichnet, wobei die Beschleunigung als Proportionalitätskoeffizient zwischen Geschwindigkeit und Zeit fungiert (Geschwindigkeit wächst linear).

Für diese Bewegung wird die zurückgelegte Strecke durch Integration der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet. Das Gesetz der Körperbewegung für eine Bahn mit gleichmäßig beschleunigter Bewegung hat die Form:

Das häufigste Beispiel für diese Bewegung ist der Fall eines Objekts aus großer Höhe, bei dem ihm die Schwerkraft eine Beschleunigung von g = 9,81 m/s 2 verleiht.

Geradlinige beschleunigte (langsame) Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Tatsächlich handelt es sich um eine Kombination zweier Bewegungsarten, die in den vorherigen Absätzen besprochen wurden. Stellen wir uns eine einfache Situation vor: Ein Auto fuhr mit einer bestimmten Geschwindigkeit v 0, dann trat der Fahrer auf die Bremse und das Fahrzeug hielt nach einiger Zeit an. Wie lässt sich die Bewegung in diesem Fall beschreiben? Für die Funktion Geschwindigkeit über der Zeit gilt der Ausdruck:

Dabei ist v 0 die Anfangsgeschwindigkeit (bevor das Auto bremst). Das Minuszeichen zeigt an, dass die äußere Kraft (Gleitreibung) gegen die Geschwindigkeit v 0 gerichtet ist.

Wenn wir wie im vorherigen Absatz das Zeitintegral von v(t) nehmen, erhalten wir die Formel für den Pfad:

s = v 0 * t - a * t 2 / 2

Beachten Sie, dass diese Formel nur den Bremsweg berechnet. Um herauszufinden, wie weit das Auto während seiner gesamten Fahrt zurückgelegt hat, sollten Sie die Summe zweier Wege ermitteln: für gleichmäßige und für gleichmäßig langsame Bewegung.

Wenn der Fahrer im oben beschriebenen Beispiel das Gaspedal und nicht das Bremspedal betätigt, würde sich das „-“-Zeichen in den dargestellten Formeln in „+“ ändern.

Kreisbewegung

Ohne Beschleunigung kann keine Bewegung auf einem Kreis erfolgen, denn selbst wenn die Größe der Geschwindigkeit beibehalten wird, ändert sich ihre Richtung. Die mit dieser Änderung verbundene Beschleunigung wird als Zentripetal bezeichnet (diese krümmt die Flugbahn des Körpers und verwandelt ihn in einen Kreis). Der Modul dieser Beschleunigung berechnet sich wie folgt:

a c = v 2 / r, r - Radius

In diesem Ausdruck kann die Geschwindigkeit von der Zeit abhängen, wie es bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung im Kreis der Fall ist. Im letzteren Fall wird a c schnell ansteigen (quadratische Abhängigkeit).

Die Zentripetalbeschleunigung bestimmt die Kraft, die aufgewendet werden muss, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. Ein Beispiel sind Hammerwurfwettbewerbe, bei denen die Athleten erhebliche Kraft aufwenden, um das Projektil vor dem Werfen zu drehen.

Drehung um eine Achse mit konstanter Geschwindigkeit

Diese Bewegungsart ist mit der vorherigen identisch, nur wird sie üblicherweise nicht durch lineare physikalische Größen, sondern durch Winkeleigenschaften beschrieben. Das Gesetz der Rotationsbewegung eines Körpers, wenn sich die Winkelgeschwindigkeit nicht ändert, wird in Skalarform wie folgt geschrieben:

Hier sind L und I die Impuls- bzw. Trägheitsmomente, ω ist die Winkelgeschwindigkeit, die durch die Gleichung mit der Lineargeschwindigkeit zusammenhängt:

Der Wert ω gibt an, um wie viel Bogenmaß sich der Körper pro Sekunde dreht. Die Größen L und I haben bei linearer Bewegung die gleiche Bedeutung wie Impuls und Masse. Dementsprechend wird der Winkel θ, um den sich der Körper in der Zeit t dreht, wie folgt berechnet:

Ein Beispiel für diese Art von Bewegung ist die Drehung eines Schwungrads, das sich auf der Kurbelwelle eines Automotors befindet. Das Schwungrad ist eine massive Scheibe, die nur sehr schwer zu beschleunigen ist. Dadurch wird eine sanfte Änderung des Drehmoments gewährleistet, das vom Motor auf die Räder übertragen wird.

Drehung um eine Achse mit Beschleunigung

Wenn auf ein rotierbares System eine äußere Kraft ausgeübt wird, beginnt es seine Winkelgeschwindigkeit zu erhöhen. Diese Situation wird durch das folgende Gesetz der Körperbewegung beschrieben:

Dabei ist F die äußere Kraft, die im Abstand d von der Rotationsachse auf das System einwirkt. Das Produkt auf der linken Seite der Gleichung wird Kraftmoment genannt.

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in einem Kreis finden wir, dass ω wie folgt von der Zeit abhängt:

ω = α * t, wobei α = F * d / I – Winkelbeschleunigung

In diesem Fall kann der Drehwinkel über der Zeit t durch Integration von ω über die Zeit bestimmt werden, also:

Wenn sich der Körper bereits mit einer bestimmten Geschwindigkeit ω 0 drehte und dann das äußere Kraftmoment F*d zu wirken begann, dann lassen sich in Analogie zum linearen Fall folgende Ausdrücke schreiben:

ω = ω 0 + α * t;

θ = ω 0 * t + α * t 2 / 2

Somit ist das Auftreten eines äußeren Kraftmoments der Grund für das Vorhandensein einer Beschleunigung in einem System mit einer Rotationsachse.

Der Vollständigkeit halber weisen wir darauf hin, dass die Drehzahl ω nicht nur mit Hilfe eines äußeren Kraftmoments, sondern auch durch Veränderung der inneren Eigenschaften des Systems, insbesondere seines Trägheitsmoments, verändert werden kann. Diese Situation wurde von jedem gesehen, der den Schlittschuhläufern zusah, wie sie sich auf dem Eis drehten. Bei der Gruppierung erhöhen Sportler ω, indem sie I verringern, gemäß dem einfachen Gesetz der Körperbewegung:

Bewegung entlang einer elliptischen Flugbahn am Beispiel der Planeten des Sonnensystems

Wie Sie wissen, drehen sich unsere Erde und andere Planeten des Sonnensystems nicht kreisförmig, sondern entlang einer elliptischen Flugbahn um ihren Stern. Mathematische Gesetze zur Beschreibung dieser Rotation wurden erstmals Anfang des 17. Jahrhunderts vom berühmten deutschen Wissenschaftler Johannes Kepler formuliert. Anhand der Ergebnisse der Beobachtungen seines Lehrers Tycho Brahe über die Bewegung der Planeten gelangte Kepler zur Formulierung seiner drei Gesetze. Sie sind wie folgt formuliert:

1. Die Planeten des Sonnensystems bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei sich die Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse befindet.
2. Der Radiusvektor, der die Sonne und den Planeten verbindet, beschreibt gleiche Flächen in gleichen Zeiträumen. Diese Tatsache folgt aus der Drehimpulserhaltung.
3. Wenn wir das Quadrat der Umlaufzeit durch die Potenz der großen Halbachse der elliptischen Umlaufbahn eines Planeten dividieren, erhalten wir eine bestimmte Konstante, die für alle Planeten in unserem System gleich ist. Mathematisch wird es so geschrieben:

T 2 / a 3 = C = konst

Anschließend formulierte Isaac Newton unter Verwendung dieser Bewegungsgesetze von Körpern (Planeten) sein berühmtes Gesetz der universellen Gravitation oder Gravitation. Damit können wir zeigen, dass die Konstante C in 3 gleich ist:

C = 4 * pi 2 / (G * M)

Wobei G die universelle Gravitationskonstante und M die Masse der Sonne ist.

Beachten Sie, dass die Bewegung entlang einer elliptischen Umlaufbahn bei Einwirkung einer zentralen Kraft (Schwerkraft) dazu führt, dass sich die lineare Geschwindigkeit v ständig ändert. Sie ist maximal, wenn der Planet dem Stern am nächsten ist, und minimal, wenn er von ihm entfernt ist.

Betrachten wir ein weiteres besonderes Problem.

Es ist bekannt, dass der Geschwindigkeitsmodul des Körpers während seiner gesamten Bewegung konstant blieb und 5 m/s betrug. Finden Sie das Bewegungsgesetz dieses Körpers. Der Ursprung der Weglängen fällt mit dem Ausgangspunkt der Körperbewegung zusammen.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel

Von hier aus können Sie die Erhöhung der Pfadlänge für einen beliebigen kurzen Zeitraum ermitteln

Aufgrund der Bedingung ist das Geschwindigkeitsmodul konstant. Dies bedeutet, dass die Pfadlängenzuwächse für alle gleichen Zeiträume gleich sind. Per Definition handelt es sich hierbei um eine gleichförmige Bewegung. Die Gleichung, die wir erhalten haben, ist nichts anderes als das Gesetz einer solchen gleichförmigen Bewegung. Wenn wir Ausdrücke in diese Gleichung einsetzen, können wir leicht erhalten

Nehmen wir an, dass der Beginn der Zeitzählung mit dem Beginn der Körperbewegung zusammenfällt. Berücksichtigen wir, dass je nach Bedingung der Beginn der Weglängen mit dem Startpunkt der Körperbewegung zusammenfällt. Nehmen wir als Intervall die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zu dem Moment, den wir brauchen. Dann müssen wir Folgendes angeben: Nach dem Ersetzen dieser Werte hat das Gesetz der betreffenden Bewegung die Form

Das betrachtete Beispiel ermöglicht uns eine neue Definition der gleichförmigen Bewegung (§ 13): Gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung mit konstanter absoluter Geschwindigkeit.

Das gleiche Beispiel ermöglicht es uns, die allgemeine Formel für das Gesetz der gleichförmigen Bewegung zu erhalten.

Wenn der Beginn der Zeitzählung mit dem Beginn der Bewegung und der Beginn der Weglängen mit dem Startpunkt der Bewegung zusammenfällt, dann hat das Gesetz der gleichförmigen Bewegung die Form

Wenn die Startzeit der Bewegung die Länge des Weges zum Startpunkt der Bewegung ist, dann nimmt das Gesetz der gleichförmigen Bewegung eine komplexere Form an:

Achten wir auf ein weiteres wichtiges Ergebnis, das aus dem von uns gefundenen Gesetz der gleichförmigen Bewegung gewonnen werden kann. Nehmen wir an, dass für eine gleichförmige Bewegung ein Diagramm der Geschwindigkeit über der Zeit gegeben ist (Abb. 1.60). Das Gesetz dieser Bewegung Aus der Abbildung geht hervor, dass das Produkt numerisch gleich der Fläche der Figur ist, die durch die Koordinatenachsen, das Diagramm der Geschwindigkeitsabhängigkeit von der Zeit und die entsprechende Ordinate begrenzt wird

Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist es anhand des Geschwindigkeitsdiagramms möglich, die Inkremente der Weglängen während der Bewegung zu berechnen.

Mit einem komplexeren mathematischen Apparat können wir zeigen, dass dieses Ergebnis, das wir für einen bestimmten Fall erhalten haben, für alle ungleichmäßigen Bewegungen gültig ist. Das Inkrement der Weglänge während der Bewegung ist immer numerisch gleich der Fläche der Figur, die durch das Geschwindigkeitsdiagramm durch die Koordinatenachsen und die Ordinate begrenzt wird, die dem ausgewählten Endzeitpunkt entspricht.

Diese Möglichkeit, das Gesetz komplexer Bewegungen grafisch zu finden, wird in Zukunft genutzt.