Das Vorhandensein einer arithmetischen Progression in Differenzengleichungen. Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Oder Arithmetik ist eine Art geordnete Zahlenfolge, deren Eigenschaften in einem Schulalgebrakurs untersucht werden. In diesem Artikel wird ausführlich auf die Frage eingegangen, wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt.

Was ist das für ein Fortschritt?

Bevor wir uns der Frage zuwenden (wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt), lohnt es sich zu verstehen, wovon wir sprechen.

Jede Folge reeller Zahlen, die man durch Addieren (Subtrahieren) eines Wertes von jeder vorherigen Zahl erhält, wird algebraische (arithmetische) Folge genannt. Wenn diese Definition in die mathematische Sprache übersetzt wird, hat sie die Form:

Hier ist i die Seriennummer des Elements der Zeile a i. Wenn Sie also nur eine Startnummer kennen, können Sie die gesamte Serie problemlos wiederherstellen. Der Parameter d in der Formel wird Progressionsdifferenz genannt.

Man kann leicht zeigen, dass für die betrachtete Zahlenreihe folgende Gleichheit gilt:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Das heißt, um den Wert des n-ten Elements der Reihe nach zu ermitteln, sollten Sie die Differenz d n-1 Mal zum ersten Element a 1 addieren.

Was ist die Summe einer arithmetischen Folge: Formel

Bevor die Formel für den angegebenen Betrag angegeben wird, lohnt es sich, einen einfachen Sonderfall zu betrachten. Bei einer Reihe natürlicher Zahlen von 1 bis 10 müssen Sie deren Summe ermitteln. Da es in der Folge (10) nur wenige Terme gibt, ist es möglich, das Problem frontal zu lösen, d. h. alle Elemente der Reihe nach zu summieren.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Es lohnt sich, über eine interessante Sache nachzudenken: Da sich jeder Term vom nächsten um den gleichen Wert d = 1 unterscheidet, führt die paarweise Summierung des ersten mit dem zehnten, des zweiten mit dem neunten usw. zum gleichen Ergebnis. Wirklich:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Wie Sie sehen, gibt es nur 5 dieser Summen, also genau das Zweifache der Anzahl der Elemente der Reihe. Wenn Sie dann die Anzahl der Summen (5) mit dem Ergebnis jeder Summe (11) multiplizieren, erhalten Sie das im ersten Beispiel erhaltene Ergebnis.

Wenn wir diese Argumente verallgemeinern, können wir den folgenden Ausdruck schreiben:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Dieser Ausdruck zeigt, dass es überhaupt nicht notwendig ist, alle Elemente in einer Reihe zu summieren; es reicht aus, den Wert des ersten a 1 und des letzten a n sowie die Gesamtzahl der Terme n zu kennen.

Es wird angenommen, dass Gauß zum ersten Mal an diese Gleichheit dachte, als er nach einer Lösung für ein von seinem Schullehrer gestelltes Problem suchte: Summieren Sie die ersten 100 ganzen Zahlen.

Summe der Elemente von m bis n: Formel

Die im vorherigen Absatz angegebene Formel beantwortet die Frage, wie man die Summe einer arithmetischen Folge (der ersten Elemente) ermittelt. Bei Problemen ist es jedoch häufig erforderlich, eine Reihe von Zahlen in der Mitte der Folge zu summieren. Wie kann man das machen?

Der einfachste Weg, diese Frage zu beantworten, besteht darin, das folgende Beispiel zu betrachten: Es sei notwendig, die Summe der Terme vom m-ten zum n-ten zu ermitteln. Um das Problem zu lösen, sollten Sie den gegebenen Abschnitt von m bis n der Progression in Form einer neuen Zahlenreihe darstellen. In dieser Darstellung ist der m-te Term a m der erste und a n wird mit n-(m-1) nummeriert. In diesem Fall erhält man bei Anwendung der Standardformel für die Summe den folgenden Ausdruck:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Beispiel für die Verwendung von Formeln

Wenn man weiß, wie man die Summe einer arithmetischen Folge ermittelt, lohnt es sich, ein einfaches Beispiel für die Verwendung der oben genannten Formeln zu betrachten.

Nachfolgend finden Sie eine Zahlenfolge. Sie sollten die Summe ihrer Terme finden, beginnend mit dem 5. und endend mit dem 12.:

Die angegebenen Zahlen geben an, dass die Differenz d gleich 3 ist. Mit dem Ausdruck für das n-te Element können Sie die Werte des 5. und 12. Termes der Progression ermitteln. Es stellt sich heraus:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Wenn Sie die Werte der Zahlen am Ende der betrachteten algebraischen Folge kennen und auch wissen, welche Zahlen in der Reihe sie einnehmen, können Sie die Formel für die im vorherigen Absatz erhaltene Summe verwenden. Es wird sich herausstellen:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Es ist erwähnenswert, dass dieser Wert auch auf andere Weise ermittelt werden kann: Ermitteln Sie zunächst die Summe der ersten 12 Elemente mithilfe der Standardformel, berechnen Sie dann die Summe der ersten 4 Elemente mithilfe derselben Formel und subtrahieren Sie dann das zweite von der ersten Summe.

Das Konzept einer Zahlenfolge impliziert, dass jede natürliche Zahl einem realen Wert entspricht. Eine solche Zahlenreihe kann entweder beliebig sein oder bestimmte Eigenschaften haben – eine Progression. Im letzteren Fall kann jedes nachfolgende Element (Mitglied) der Sequenz anhand des vorherigen berechnet werden.

Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlenwerten, bei der sich ihre Nachbarglieder um die gleiche Zahl voneinander unterscheiden (alle Elemente der Reihe, beginnend mit dem 2., haben eine ähnliche Eigenschaft). Diese Zahl – die Differenz zwischen dem vorherigen und dem nachfolgenden Term – ist konstant und wird Progressionsdifferenz genannt.

Fortschrittsunterschied: Definition

Betrachten Sie eine Folge bestehend aus j Werten A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j gehört zur Menge der natürlichen Zahlen N. Eine Arithmetik Progression ist ihrer Definition nach eine Folge, in der a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Der Wert d ist die gewünschte Differenz dieser Progression.

d = a(j) – a(j-1).

Markieren:

• Eine zunehmende Progression, in diesem Fall d > 0. Beispiel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Abnehmendes Fortschreiten, dann d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Differenzverlauf und seine willkürlichen Elemente

Wenn zwei beliebige Terme der Folge bekannt sind (i-ter, k-ter), dann kann die Differenz für eine gegebene Folge anhand der Beziehung bestimmt werden:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, was d = (a(i) – a(k))/(i-k) bedeutet.

Unterschied der Progression und ihrer ersten Amtszeit

Dieser Ausdruck hilft nur dann bei der Bestimmung eines unbekannten Werts, wenn die Nummer des Sequenzelements bekannt ist.

Progressionsdifferenz und ihre Summe

Die Summe einer Progression ist die Summe ihrer Glieder. Um den Gesamtwert der ersten j Elemente zu berechnen, verwenden Sie die entsprechende Formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, aber da a(j) = a(1) + d(j – 1), dann S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Probleme mit der arithmetischen Progression gab es bereits in der Antike. Sie erschienen und forderten eine Lösung, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.

So enthält einer der Papyri des alten Ägypten mit mathematischem Inhalt, der Rhind-Papyrus (19. Jahrhundert v. Chr.), die folgende Aufgabe: Teilen Sie zehn Maß Brot unter zehn Personen auf, vorausgesetzt, dass die Differenz zwischen jedem von ihnen ein Achtel beträgt messen."

Und in den mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Theoreme zur arithmetischen Progression. So formulierte Hypsicles von Alexandria (2. Jahrhundert, der viele interessante Probleme zusammenstellte und das vierzehnte Buch zu Euklids Elementen hinzufügte) die Idee: „In einer arithmetischen Folge, die eine gerade Anzahl von Termen hat, ist die Summe der Terme der 2. Hälfte.“ ist größer als die Summe der Terme der 1. auf dem Quadrat 1/2 Anzahl der Mitglieder.“

Die Folge wird mit an bezeichnet. Die Nummern einer Sequenz werden als ihre Mitglieder bezeichnet und normalerweise durch Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Seriennummer dieses Mitglieds angeben (a1, a2, a3 ... lesen Sie: „ein 1.“, „ein 2.“, „ein 3.“ und so weiter ).

Die Folge kann unendlich oder endlich sein.

Was ist eine arithmetische Folge? Damit meinen wir denjenigen, der durch Addition des vorherigen Termes (n) mit derselben Zahl d erhalten wird, was die Differenz der Progression darstellt.

Wenn d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, dann gilt ein solcher Verlauf als ansteigend.

Eine arithmetische Folge heißt endlich, wenn nur ihre ersten Terme berücksichtigt werden. Bei einer sehr großen Mitgliederzahl ist dies bereits eine endlose Entwicklung.

Jede arithmetische Folge wird durch die folgende Formel definiert:

an =kn+b, während b und k einige Zahlen sind.

Die gegenteilige Aussage ist absolut richtig: Wenn eine Folge durch eine ähnliche Formel gegeben ist, dann ist es genau eine arithmetische Folge, die die Eigenschaften hat:

1. Jeder Term der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen und des nachfolgenden Termes.
2. Umgekehrt: Wenn ab dem 2. jeder Term das arithmetische Mittel des vorherigen und des nachfolgenden Termes ist, d.h. Ist die Bedingung erfüllt, handelt es sich bei dieser Folge um eine arithmetische Folge. Diese Gleichheit ist auch ein Zeichen des Fortschritts, weshalb sie üblicherweise als charakteristische Eigenschaft des Fortschritts bezeichnet wird.
   Ebenso ist der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt, wahr: Eine Folge ist nur dann eine arithmetische Folge, wenn diese Gleichheit für einen der Terme der Folge wahr ist, beginnend mit dem 2..

Die charakteristische Eigenschaft für vier beliebige Zahlen einer arithmetischen Folge kann durch die Formel an + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k sind Folgezahlen).

In einer arithmetischen Folge kann jeder notwendige (N-te) Term mithilfe der folgenden Formel gefunden werden:

Beispiel: Der erste Term (a1) in einer arithmetischen Folge ist gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Sie müssen das fünfundvierzigste Glied dieser Progression finden. a45 = 1+4(45-1)=177

Mit der Formel an = ak + d(n - k) können Sie den n-ten Term einer arithmetischen Folge durch jeden ihrer k-ten Terme bestimmen, sofern dieser bekannt ist.

Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge (gemeint sind die ersten n Terme einer endlichen Folge) berechnet sich wie folgt:

Sn = (a1+an) n/2.

Wenn auch der 1. Term bekannt ist, eignet sich zur Berechnung eine andere Formel:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Die Summe einer arithmetischen Folge, die n Terme enthält, wird wie folgt berechnet:

Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Probleme und den Ausgangsdaten ab.

Die natürliche Reihe beliebiger Zahlen wie 1,2,3,...,n,... ist das einfachste Beispiel einer arithmetischen Folge.

Neben der arithmetischen Folge gibt es auch eine geometrische Folge, die ihre eigenen Eigenschaften und Merkmale aufweist.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie Gobbledygook anstelle von Formeln sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie Sie das in Ihrem Browser machen, lesen Sie hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, werfen Sie einen Blick auf unseren Navigator, um die nützlichsten Ressourcen zu finden

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer erkennen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.
Die Zahl mit Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Diese Zahlenfolge nennt man arithmetische Folge.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als unendliche Zahlenfolge verstanden. Der Name „Arithmetik“ wurde von der Theorie der stetigen Proportionen übernommen, die von den alten Griechen studiert wurde.

Dabei handelt es sich um eine Zahlenfolge, bei der jedes Mitglied dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

A)
B)
C)
D)

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:
Ist arithmetische Folge - b, c.
Ist nicht arithmetische Folge - a, d.

Kehren wir zur angegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Terms zu ermitteln. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können die Progressionszahl zum vorherigen Wert addieren, bis wir den dritten Term der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenfassen müssen – nur drei Werte:

Der te Term der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des dritten Termes der Progression ermitteln müssten? Die Summierung würde mehr als eine Stunde dauern, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren von Zahlen keine Fehler machen würden.
Natürlich haben Mathematiker einen Weg gefunden, bei dem es nicht notwendig ist, die Differenz einer arithmetischen Folge zum vorherigen Wert zu addieren. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genauer an... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, woraus der Wert des dritten Termes dieser arithmetischen Folge besteht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbst den Wert eines Gliedes einer gegebenen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Hast du berechnet? Vergleichen Sie Ihre Notizen mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir die Terme der arithmetischen Folge nacheinander zum vorherigen Wert hinzugefügt haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Folgen können steigend oder fallend sein.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen in steigenden und fallenden Termen einer arithmetischen Folge verwendet.
Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen.
Wir erhalten eine arithmetische Folge, die aus den folgenden Zahlen besteht: Schauen wir uns an, wie die te-Zahl dieser arithmetischen Folge aussehen wird, wenn wir sie mit unserer Formel berechnen:

Seit damals:

Daher sind wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl in abnehmender als auch in zunehmender arithmetischer Folge funktioniert.
Versuchen Sie, das te- und das te-Term dieser arithmetischen Folge selbst zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Verkomplizieren wir das Problem – wir leiten die Eigenschaft der arithmetischen Folge ab.
Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Bedingung:
- Arithmetische Folge, finde den Wert.
Ganz einfach, sagen Sie und fangen an, nach der Formel zu zählen, die Sie bereits kennen:

Lass, ah, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und erhalten, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns in der Bedingung Zahlen gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, dass bei den Berechnungen ein Fehler gemacht wird.
Überlegen Sie nun, ob es möglich ist, dieses Problem mit einer beliebigen Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich ja, und das werden wir jetzt versuchen herauszustellen.

Bezeichnen wir den erforderlichen Term der arithmetischen Folge als, die Formel zu seiner Ermittlung ist uns bekannt – dies ist dieselbe Formel, die wir zu Beginn abgeleitet haben:
, Dann:

• Der bisherige Term der Progression ist:
• Der nächste Term der Progression ist:

Fassen wir die vorherigen und nachfolgenden Bedingungen der Progression zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Terme der Progression der doppelte Wert des dazwischen liegenden Progressionsterms ist. Mit anderen Worten: Um den Wert eines Progressionsterms mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu ermitteln, müssen Sie diese addieren und durch dividieren.

Stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Sichern wir das Material. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut gemacht! Du weißt fast alles über Fortschritt! Es bleibt nur noch eine Formel herauszufinden, die der Legende nach von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, dem „König der Mathematiker“ – Karl Gauß, leicht abgeleitet werden konnte …

Als Carl Gauss 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeit der Schüler anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis (nach anderen Quellen bis) einschließlich.“ Stellen Sie sich die Überraschung des Lehrers vor, als einer seiner Schüler (das war Karl Gauß) eine Minute später die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langen Berechnungen das falsche Ergebnis erhielten ...

Dem jungen Carl Gauß ist ein bestimmtes Muster aufgefallen, das auch Ihnen leicht auffällt.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ten Termen besteht: Wir müssen die Summe dieser Terme der arithmetischen Folge ermitteln. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn die Aufgabe das Ermitteln der Summe ihrer Terme erfordert, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns den uns gegebenen Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Hast du es versucht? Was haben Sie bemerkt? Rechts! Ihre Summen sind gleich

Sagen Sie mir nun, wie viele solcher Paare gibt es insgesamt in der uns gegebenen Progression? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist und ähnliche Paare gleich sind, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Unterschied in der Progression. Versuchen Sie, die Formel des th-Terms in die Summenformel einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut gemacht! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauss gestellt wurde: Berechnen Sie selbst, wie groß die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte fest, dass die Summe der Terme gleich ist und die Summe der Terme gleich ist. Haben Sie sich dafür entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser Zeit machten geistreiche Menschen die Eigenschaften der arithmetischen Folge voll aus.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und das größte Bauprojekt dieser Zeit vor – den Bau einer Pyramide... Das Bild zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagen Sie? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Folge? Berechnen Sie, wie viele Blöcke zum Bau einer Mauer benötigt werden, wenn an der Basis Blockziegel platziert werden. Ich hoffe, Sie zählen nicht, während Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus: .
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.
Setzen wir unsere Daten in die letzten Formeln ein (berechnen wir die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Habe es? Gut gemacht, Sie beherrschen die Summe der n-ten Terme einer arithmetischen Folge.
Natürlich kann man eine Pyramide nicht aus Blöcken an der Basis bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandsteine ​​benötigt werden, um unter dieser Bedingung eine Mauer zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Ausbildung

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag erhöht sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Mascha in der Woche Kniebeugen machen, wenn sie in der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Bei der Lagerung von Protokollen stapeln Holzfäller diese so, dass jede oberste Schicht ein Protokoll weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme enthält ein Mauerwerk, wenn das Fundament des Mauerwerks aus Baumstämmen besteht?

Antworten:

1. Definieren wir die Parameter der arithmetischen Folge. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antwort: In zwei Wochen sollte Mascha einmal am Tag Kniebeugen machen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in beträgt die Hälfte. Überprüfen wir diese Tatsache jedoch mithilfe der Formel zum Ermitteln des ten Termes einer arithmetischen Folge:

   Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Ersetzen wir die verfügbaren Daten in der Formel:

   Antwort: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern wir uns an das Problem mit den Pyramiden. In unserem Fall a, da jede oberste Schicht um einen Log reduziert wird, gibt es insgesamt eine Reihe von Schichten.
   Ersetzen wir die Daten in der Formel:

   Antwort: Im Mauerwerk liegen Baumstämme.

Fassen wir es zusammen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kann steigend oder fallend sein.
2. Formel finden Der te Term einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge angegeben ist.
3. Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge- - wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.
4. Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHE PROGRESSION. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Zahlenfolge

Setzen wir uns hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber wir können immer sagen, welches das erste, welches das zweite ist usw., das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar einer eindeutigen. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuordnen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn der te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Reihenfolge:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (hier ist der erste Term gleich und die Differenz gleich). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine rekurrente Formel, bei der Sie zum Ermitteln des th-Terms den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um zum Beispiel das te Glied der Progression mit dieser Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lass es zum Beispiel. Dann:

Ist nun klar, wie die Formel lautet?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Welcher? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Was ist der Unterschied? Hier ist was:

(Deshalb wird es Differenz genannt, weil es gleich der Differenz aufeinanderfolgender Terme der Progression ist).

Also die Formel:

Dann ist der hundertste Term gleich:

Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach hat der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten berechnet. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und vorletzten gleich ist, die Summe der dritten und dritten Zahl vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es insgesamt? Das ist richtig, also genau die Hälfte aller Zahlen. Also,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste dieser Zahlen ist diese. Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition zur vorherigen Zahl erhalten. Somit bilden die Zahlen, die uns interessieren, eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz.

Formel des th-Terms für diese Progression:

Wie viele Begriffe gibt es in der Folge, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Der letzte Term der Progression wird gleich sein. Dann ist die Summe:

Antwort: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Sportler mehr Meter als am Vortag. Wie viele Gesamtkilometer wird er in den Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer legt jeden Tag mehr Kilometer zurück als am Vortag. Am ersten Tag legte er km zurück. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer wird er am letzten Tag seiner Reise zurücklegen?
3. Der Preis für einen Kühlschrank in einem Geschäft sinkt jedes Jahr um den gleichen Betrag. Bestimmen Sie, wie stark der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel verkauft wurde.

Antworten:

1. Dabei geht es vor allem darum, die arithmetische Folge zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antwort:
2. Hier gilt: , muss gefunden werden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie im vorherigen Problem verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also lautet die Antwort.
   Berechnen wir den am letzten Tag zurückgelegten Weg mit der Formel des th-Terms:
   (km).
   Antwort:

3. Gegeben: . Finden: .
   Es könnte nicht einfacher sein:
   (reiben).
   Antwort:

ARITHMETISCHE PROGRESSION. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Der arithmetische Fortschritt kann steigend () und fallend () sein.

Zum Beispiel:

Formel zum Finden des n-ten Termes einer arithmetischen Folge

wird durch die Formel geschrieben, wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.

Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Damit können Sie einen Term einer Folge leicht finden, wenn die benachbarten Terme bekannt sind – wo ist die Anzahl der Zahlen in der Folge.

Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu ermitteln:

Wo ist die Anzahl der Werte?

Wo ist die Anzahl der Werte?

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie verstehen die Theorie zu diesem Thema. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

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