Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Prismenformel. Volumen eines dreieckigen Prismas: allgemeine Formel und Formel für ein regelmäßiges Prisma

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA_1B_1C_1 beträgt die Seitenlänge der Basis 4 und die Seitenkanten 10. Ermitteln Sie die Querschnittsfläche des Prismas anhand der Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, A_1B_1 und A_1C_1 verläuft.

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Lösung

Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Das Segment MN ist daher die Mittellinie des Dreiecks A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Ebenfalls, KL=\frac12BC=2. Außerdem ist MK = NL = 10. Daraus folgt, dass das Viereck MNLK ein Parallelogramm ist. Da MK\parallel AA_1, dann MK\perp ABC und MK\perp KL. Daher ist das Viereck MNLK ein Rechteck. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Antwort

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Prismas ABCDA_1B_1C_1D_1 beträgt 24 . Punkt K ist die Mitte der Kante CC_1. Finden Sie das Volumen der Pyramide KBCD.

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Lösung

Gemäß der Bedingung ist KC die Höhe der Pyramide KBCD. CC_1 ist die Höhe des Prismas ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Da K der Mittelpunkt von CC_1 ist KC=\frac12CC_1. Sei dann CC_1=H KC=\frac12H. Beachten Sie auch das S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Dann, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Somit, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, dessen Grundseite 6 und die Höhe 8 beträgt.

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Lösung

Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ergibt sich aus der Formel S Seite. = P basisch · h = 6a\cdot h, wobei P basisch ist. und h sind jeweils der Umfang der Basis und die Höhe des Prismas, gleich 8, und a ist die Seite eines regelmäßigen Sechsecks, gleich 6. Daher S-Seite. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Wasser wurde in ein Gefäß gegossen, das die Form eines regelmäßigen dreieckigen Prismas hatte. Der Wasserstand erreicht 40 cm. Wie hoch wird der Wasserstand sein, wenn er in ein anderes Gefäß gleicher Form gegossen wird, dessen Bodenseite doppelt so groß ist wie der erste? Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.

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Lösung

Sei a die Seite des Bodens des ersten Gefäßes, dann ist 2 a die Seite des Bodens des zweiten Gefäßes. Bedingungsweise ist das Flüssigkeitsvolumen V im ersten und zweiten Gefäß gleich. Mit H bezeichnen wir das Niveau, bis zu dem die Flüssigkeit im zweiten Gefäß gestiegen ist. Dann V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Und, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Von hier \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 sind alle Kanten gleich 2. Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten A und E_1.

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Lösung

Das Dreieck AEE_1 ist rechteckig, da die Kante EE_1 senkrecht zur Ebene der Prismenbasis steht und der Winkel AEE_1 ein rechter Winkel ist.

Dann ist nach dem Satz des Pythagoras AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Finden wir AE aus dem Dreieck AFE mithilfe des Kosinussatzes. Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks beträgt 120^(\circ). Dann AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Daher ist AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Finden Sie die Seitenfläche eines geraden Prismas, an dessen Basis eine Raute mit Diagonalen liegt 4\sqrt5 und 8 und eine Seitenkante gleich 5.

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Lösung

Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ergibt sich aus der Formel S Seite. = P basisch · h = 4a\cdot h, wobei P basisch ist. und h jeweils der Umfang der Basis und die Höhe des Prismas, gleich 5, und a ist die Seite der Raute. Finden wir die Seite der Raute anhand der Tatsache, dass die Diagonalen der Raute ABCD senkrecht zueinander stehen und durch den Schnittpunkt halbiert werden.

Verschiedene Prismen unterscheiden sich voneinander. Gleichzeitig haben sie viele Gemeinsamkeiten. Um die Grundfläche des Prismas zu ermitteln, müssen Sie verstehen, um welchen Typ es sich handelt.

Allgemeine Theorie

Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen Seiten die Form eines Parallelogramms haben. Darüber hinaus kann seine Basis jedes Polyeder sein – vom Dreieck bis zum N-Eck. Darüber hinaus sind die Grundflächen des Prismas immer gleich. Was für die Seitenflächen nicht gilt, ist, dass diese in ihrer Größe stark variieren können.

Bei der Lösung von Problemen wird nicht nur die Fläche der Prismenbasis berücksichtigt. Möglicherweise ist die Kenntnis der Seitenfläche erforderlich, also aller Flächen, die keine Basen sind. Die vollständige Oberfläche ist die Vereinigung aller Flächen, aus denen das Prisma besteht.

Manchmal hängen Probleme mit der Körpergröße zusammen. Es steht senkrecht zu den Basen. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei beliebige Eckpunkte paarweise verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Es ist zu beachten, dass die Grundfläche eines geraden oder geneigten Prismas nicht vom Winkel zwischen ihnen und den Seitenflächen abhängt. Wenn sie auf der Ober- und Unterseite die gleichen Figuren haben, sind ihre Flächen gleich.

Dreieckiges Prisma

An seiner Basis befindet sich eine Figur mit drei Spitzen, also ein Dreieck. Wie Sie wissen, kann es anders sein. Wenn ja, genügt es, sich daran zu erinnern, dass seine Fläche durch die Hälfte des Produkts der Beine bestimmt wird.

Die mathematische Notation sieht so aus: S = ½ av.

Um die Fläche der Basis im Allgemeinen herauszufinden, sind die Formeln nützlich: Heron und die, bei der die Hälfte der Seite durch die darauf gezeichnete Höhe gebildet wird.

Die erste Formel sollte wie folgt geschrieben werden: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Diese Notation enthält einen Halbumfang (p), also die Summe von drei Seiten geteilt durch zwei.

Zweitens: S = ½ n a * a.

Wenn Sie die Grundfläche eines dreieckigen Prismas herausfinden möchten, die regelmäßig ist, dann erweist sich das Dreieck als gleichseitig. Dafür gibt es eine Formel: S = ¼ a 2 * √3.

Viereckiges Prisma

Seine Basis ist eines der bekannten Vierecke. Es kann ein Rechteck oder ein Quadrat, ein Parallelepiped oder eine Raute sein. Um die Grundfläche des Prismas zu berechnen, benötigen Sie jeweils eine eigene Formel.

Wenn die Grundfläche ein Rechteck ist, wird seine Fläche wie folgt bestimmt: S = ab, wobei a, b die Seiten des Rechtecks ​​sind.

Bei einem viereckigen Prisma wird die Grundfläche eines regelmäßigen Prismas anhand der Formel für ein Quadrat berechnet. Denn er ist es, der das Fundament bildet. S = a 2.

Wenn die Basis ein Parallelepiped ist, ist die folgende Gleichheit erforderlich: S = a * n a. Es kommt vor, dass die Seite eines Parallelepipeds und einer der Winkel angegeben sind. Um die Höhe zu berechnen, müssen Sie dann eine zusätzliche Formel verwenden: n a = b * sin A. Darüber hinaus grenzt der Winkel A an die Seite „b“ und die Höhe n ist diesem Winkel entgegengesetzt.

Wenn sich an der Basis des Prismas eine Raute befindet, benötigen Sie zur Bestimmung seiner Fläche die gleiche Formel wie für ein Parallelogramm (da es sich um einen Sonderfall davon handelt). Sie können aber auch Folgendes verwenden: S = ½ d 1 d 2. Hier sind d 1 und d 2 zwei Diagonalen der Raute.

Regelmäßiges fünfeckiges Prisma

In diesem Fall wird das Polygon in Dreiecke unterteilt, deren Flächen sich leichter ermitteln lassen. Es kommt zwar vor, dass Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Eckpunkten haben können.

Da die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges Fünfeck ist, kann es in fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Dann ist die Fläche der Basis des Prismas gleich der Fläche eines solchen Dreiecks (die Formel ist oben zu sehen), multipliziert mit fünf.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma

Mit dem für ein fünfeckiges Prisma beschriebenen Prinzip ist es möglich, das Sechseck der Grundfläche in 6 gleichseitige Dreiecke zu unterteilen. Die Formel für die Grundfläche eines solchen Prismas ähnelt der vorherigen. Nur sollte es mit sechs multipliziert werden.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: S = 3/2 a 2 * √3.

Aufgaben

Nr. 1. Bei einer regelmäßigen Geraden beträgt ihre Diagonale 22 cm, die Höhe des Polyeders beträgt 14 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis des Prismas und der gesamten Oberfläche.

Lösung. Die Grundfläche des Prismas ist quadratisch, seine Seite ist jedoch unbekannt. Sie können seinen Wert aus der Diagonale des Quadrats (x) ermitteln, die mit der Diagonale des Prismas (d) und seiner Höhe (h) zusammenhängt. x 2 = d 2 - n 2. Andererseits ist dieses Segment „x“ die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Schenkel gleich der Seite des Quadrats sind. Das heißt, x 2 = a 2 + a 2. Somit stellt sich heraus, dass a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Ersetzen Sie die Zahl 22 anstelle von d und ersetzen Sie „n“ durch seinen Wert - 14. Es stellt sich heraus, dass die Seite des Quadrats 12 cm beträgt. Jetzt müssen Sie nur noch die Grundfläche ermitteln: 12 * 12 = 144 cm 2.

Um die Fläche der gesamten Oberfläche zu ermitteln, müssen Sie die doppelte Grundfläche addieren und die Seitenfläche vervierfachen. Letzteres lässt sich leicht mit der Formel für ein Rechteck ermitteln: Multiplizieren Sie die Höhe des Polyeders und die Seite der Grundfläche. Das heißt, 14 und 12, diese Zahl entspricht 168 cm 2. Die Gesamtoberfläche des Prismas beträgt 960 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche des Prismas beträgt 144 cm 2. Die Gesamtfläche beträgt 960 cm 2.

Nr. 2. Gegeben An der Basis befindet sich ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 6 cm. In diesem Fall beträgt die Diagonale der Seitenfläche 10 cm. Berechnen Sie die Flächen: Basis und Seitenfläche.

Lösung. Da das Prisma regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daher ist seine Fläche gleich 6 zum Quadrat, multipliziert mit ¼ und der Quadratwurzel aus 3. Eine einfache Berechnung führt zu dem Ergebnis: 9√3 cm 2. Dies ist die Fläche einer Basis des Prismas.

Alle Seitenflächen sind gleich und stellen Rechtecke mit einer Seitenlänge von 6 und 10 cm dar. Um ihre Flächen zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese Zahlen. Dann multipliziere sie mit drei, denn das Prisma hat genau so viele Seitenflächen. Dann beträgt die Fläche der Seitenfläche der Wunde 180 cm 2.

Antwort. Flächen: Basis - 9√3 cm 2, Seitenfläche des Prismas - 180 cm 2.

Schüler, die sich auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereiten, sollten unbedingt lernen, Aufgaben zur Ermittlung der Fläche eines geraden und regelmäßigen Prismas zu lösen. Die langjährige Praxis bestätigt, dass viele Studierende solche Geometrieaufgaben als recht schwierig empfinden.

Gleichzeitig sollten Gymnasiasten jeden Ausbildungsniveaus in der Lage sein, die Fläche und das Volumen eines regelmäßigen und geraden Prismas zu ermitteln. Nur in diesem Fall können sie damit rechnen, wettbewerbsfähige Ergebnisse auf der Grundlage der Ergebnisse des Bestehens des Einheitlichen Staatsexamens zu erhalten.

Wichtige Punkte, die Sie sich merken sollten

• Stehen die Seitenkanten eines Prismas senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einer Geraden. Alle Seitenflächen dieser Figur sind Rechtecke. Die Höhe eines geraden Prismas stimmt mit seiner Kante überein.
• Ein regelmäßiges Prisma ist eines, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen, in der sich das regelmäßige Vieleck befindet. Die Seitenflächen dieser Figur sind gleich große Rechtecke. Ein richtiges Prisma ist immer gerade.

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Definition.

Dies ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei gleiche Quadrate und dessen Seitenflächen gleiche Rechtecke sind

Seitliche Rippe- ist die gemeinsame Seite zweier benachbarter Seitenflächen

Prismenhöhe- Dies ist ein Segment senkrecht zur Basis des Prismas

Prismendiagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören

Diagonale Ebene- eine Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine Seitenkanten verläuft

Diagonaler Abschnitt- die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck

Senkrechter Schnitt (orthogonaler Schnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer Ebene, die senkrecht zu seinen Seitenkanten verläuft

Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas

Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die durch die entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:

• Die Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
• Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, die jeweils ein Rechteck sind
• Seitenfläche – die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
• Gesamtfläche – die Summe der Flächen aller Grundflächen und Seitenflächen (Summe der Fläche der Seitenfläche und Grundflächen)
• Seitenrippen AA 1, BB 1, CC 1 und DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Basisdiagonale BD
• Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
• Senkrechter Abschnitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas

• Die Grundflächen sind zwei gleiche Quadrate
• Die Basen sind parallel zueinander
• Die Seitenflächen sind Rechtecke
• Die Seitenkanten sind einander gleich
• Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen
• Die seitlichen Rippen sind parallel zueinander und gleich
• Senkrechter Schnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
• Winkel des senkrechten Abschnitts - gerade
• Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
• Senkrecht (orthogonaler Schnitt) parallel zu den Basen

Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma

Anleitung zur Problemlösung

Bei der Lösung von Problemen zum Thema „ regelmäßiges viereckiges Prisma" bedeutet, dass:

Richtiges Prisma- ein Prisma, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas oben) Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Stereometrie – Prisma). Hier gibt es Probleme, die schwer zu lösen sind. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um den Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel bei der Lösung von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol verwendet√ .

Aufgabe.

Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma beträgt die Grundfläche 144 cm 2 und die Höhe 14 cm. Ermitteln Sie die Diagonale des Prismas und die Gesamtoberfläche.

Lösung.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Dementsprechend ist die Seite der Basis gleich

√144 = 12 cm.
Von dort aus ist die Diagonale der Basis eines regelmäßigen rechteckigen Prismas gleich
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas bildet mit der Diagonale der Grundfläche und der Höhe des Prismas ein rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regelmäßigen viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwort: 22 cm

Aufgabe

Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas, wenn seine Diagonale 5 cm und die Diagonale seiner Seitenfläche 4 cm beträgt.

Lösung.
Da die Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas ein Quadrat ist, ermitteln wir die Seite der Grundfläche (bezeichnet als a) mithilfe des Satzes des Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Die Höhe der Seitenfläche (bezeichnet als h) ist dann gleich:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Die Gesamtoberfläche entspricht der Summe aus der Seitenoberfläche und dem Doppelten der Grundfläche

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.