Allgemeine Ansicht der Kreisgleichung. Gleichung eines Kreises

Anweisungen

Der Abstand vom Punkt (x, y) zum Koordinatenmittelpunkt ist gleich der Länge des Segments, das ihn mit dem Punkt (0, 0) verbindet. Dieses Segment bildet zusammen mit seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Schenkel gleich x0 und y0 sind und dessen Hypotenuse nach dem Satz des Pythagoras gleich √(x^2 + y^2) ist ).

Um einen Kreis zu erhalten, benötigen Sie eine Gleichung, die alle Punkte bestimmt, für die dieser Abstand gleich R ist. Somit gilt: √(x^2 + y^2) = R und daher
x^2 + y^2 = R^2.

Auf ähnliche Weise wird die Gleichung erstellt Kreis Radius R, dessen Mittelpunkt im Punkt (x0, y0) liegt. Der Abstand von einem beliebigen Punkt (x, y) zu einem gegebenen Punkt (x0, y0) ist gleich √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Daher lautet die Gleichung, die Sie benötigen Kreis wird so aussehen: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.

Möglicherweise müssen Sie auch eine Gleichung erstellen Kreis mit Mittelpunkt an einem Koordinatenpunkt, der durch einen gegebenen Punkt (x0, y0) verläuft. In diesem Fall ist der Radius der gewünschte Kreis ist nicht explizit angegeben und muss berechnet werden. Offensichtlich ist es gleich dem Abstand vom Punkt (x0, y0) zum Ursprung, also √(x0^2 + y0^2). Ersetzen Sie diesen Wert in die bereits abgeleitete Gleichung Kreis, erhalten Sie: x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Wenn Sie mit den abgeleiteten Formeln einen Kreis konstruieren müssen, müssen diese nach y aufgelöst werden. Selbst die einfachste dieser Gleichungen ergibt: y = ±√(R^2 - x^2). Das Vorzeichen ± ist hier notwendig, da das Quadrat einer Zahl immer nicht negativ ist, und dass ohne das Vorzeichen ± die Gleichung beschrieben wird Um nur den oberen Halbkreis zu konstruieren, ist es bequemer, eine parametrische Gleichung zu erstellen, in der beide Koordinaten x und y vom Parameter t abhängen.

Wenn gemäß der Definition trigonometrischer Funktionen die Hypotenuse gleich 1 ist und einer der Winkel an der Hypotenuse gleich φ ist, dann ist die angrenzende Seite gleich cos(φ) und die gegenüberliegende Seite ist gleich Sünde(φ). Somit ist sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 für jedes φ.

Angenommen, Sie erhalten einen Kreis mit einem Einheitsradius, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt (x, y) darauf Kreis und zeichne ein Segment davon zur Mitte. Dieses Segment bildet mit der positiven Halbachse x einen Winkel, der 0 bis 360° oder 0 bis 2π betragen kann. Wenn Sie diesen Winkel t bezeichnen, erhalten Sie die Beziehung: x = cos(t),
y = sin(t).

Diese Formel kann auf den Fall verallgemeinert werden Kreis Radius R mit Mittelpunkt an einem beliebigen Punkt (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

Quellen:

• Gleichung eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt und Radius

Mit der Standardgleichung eines Kreises können Sie mehrere wichtige Informationen über diese Figur herausfinden, beispielsweise die Koordinaten ihres Mittelpunkts und die Länge des Radius. Bei einigen Problemen hingegen müssen Sie eine Gleichung unter Verwendung gegebener Parameter erstellen.

Anweisungen

Bestimmen Sie anhand der Ihnen gestellten Aufgabe, welche Informationen Sie über den Kreis haben. Denken Sie daran, dass das ultimative Ziel darin besteht, sowohl die Koordinaten des Mittelpunkts als auch den Durchmesser zu bestimmen. Alle Ihre Handlungen sollten darauf ausgerichtet sein, dieses besondere Ergebnis zu erreichen.

Verwenden Sie Daten zum Vorhandensein von Schnittpunkten mit Koordinatenlinien oder anderen Linien. Bitte beachten Sie, dass, wenn der Kreis durch die Abszissenachse verläuft, der zweite die Koordinate 0 hat, und wenn er durch die Ordinatenachse verläuft, dann der erste. Mithilfe dieser Koordinaten können Sie die Koordinaten des Kreismittelpunkts ermitteln und auch den Radius berechnen.

Vergessen Sie nicht die grundlegenden Eigenschaften von Sekanten und Tangenten. Der nützlichste Satz ist insbesondere, dass Radius und Tangente am Berührungspunkt einen rechten Winkel bilden. Bitte beachten Sie jedoch, dass Sie möglicherweise aufgefordert werden, alle im Kurs verwendeten Theoreme zu beweisen.

Lösen Sie die gängigsten Typen, um zu lernen, wie Sie bestimmte Daten für die Kreisgleichung verwenden. Zusätzlich zu den bereits erwähnten Problemen mit direkt gegebenen Koordinaten und denen, bei denen Informationen über das Vorhandensein von Schnittpunkten gegeben werden, können Sie zur Erstellung der Kreisgleichung Kenntnisse über den Mittelpunkt des Kreises und die Länge des Kreises verwenden Akkord und auf dem dieser Akkord liegt.

Konstruieren Sie zur Lösung ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die gegebene Sehne ist und dessen gleiche Seiten die Radien sind. Stellen Sie eine Datei zusammen, aus der Sie die erforderlichen Daten leicht finden können. Dazu reicht es aus, die Formel zum Ermitteln der Länge eines Segments in einer Ebene zu verwenden.

Video zum Thema

Abhängig von den Bedingungen des Problems und den darin dargestellten Anforderungen kann es erforderlich sein, auf die kanonische oder parametrische Methode zur Definition einer Geraden zurückzugreifen. Versuchen Sie beim Lösen geometrischer Probleme, alle möglichen Versionen der Gleichungen im Voraus aufzuschreiben.

Anweisungen

Überprüfen Sie, ob Sie über alle erforderlichen Parameter verfügen, um eine parametrische Gleichung zu erstellen. Dementsprechend benötigen Sie die Koordinaten des zu dieser Linie gehörenden Punktes sowie den Richtungsvektor. Dies wird jeder Durchgang sein, der parallel zu dieser Linie verläuft. Die parametrische Definition einer geraden Linie ist ein System aus zwei Gleichungen x = x0+txt, y = y0+tyt, wobei (x0, y0) die Koordinaten eines Punktes sind, der auf einer gegebenen geraden Linie liegt, und (tx, ty) sind die Koordinaten des Richtungsvektors entlang der Abszisse bzw. der Ordinate.

Schreiben Sie die kanonische Gleichung der Geraden auf der Grundlage der Ihnen vorliegenden Daten auf: Die Koordinaten des Richtungsvektors auf den entsprechenden Achsen sind Multiplikatoren der Parametervariablen, und die Koordinaten des zur Geraden gehörenden Punktes sind die freien Terme der parametrische Gleichung.

Beachten Sie alle in der Aufgabe genannten Bedingungen, wenn Sie der Meinung sind, dass nicht genügend Daten vorhanden sind. Ein Hinweis zum Aufstellen einer parametrischen Gleichung einer Geraden kann daher ein Hinweis auf sein, senkrecht zur Führung oder in einem bestimmten Winkel dazu gelegen. Verwenden Sie die Bedingungen der Rechtwinkligkeit von Vektoren: Dies ist nur möglich, wenn sie gleich Null sind.

Schreiben Sie eine parametrische Gleichung für eine Gerade, die durch zwei Punkte verläuft: Dadurch erhalten Sie die notwendigen Daten zur Bestimmung des Richtungsvektors. Schreiben Sie zwei auf: Der Zähler sollte die Differenz zwischen x und den Koordinaten entlang der Abszissenachse eines der zur Linie gehörenden Punkte enthalten. Der Nenner sollte die Differenz zwischen den Koordinaten entlang der Abszissenachse beider gegebener Punkte enthalten. Schreiben Sie auf die gleiche Weise für die Werte auf der y-Achse. Setzen Sie die resultierenden Brüche mit dem Parameter gleich (normalerweise mit dem Buchstaben t bezeichnet) und drücken Sie dadurch zuerst x und dann y aus. Das aus diesen Transformationen resultierende Gleichungssystem ist eine parametrische Geradengleichung.

Video zum Thema

Tipp 4: So erstellen Sie eine Gleichung einer Ebene mithilfe eines Punktes und einer Linie

Jede Ebene kann linear angegeben werden Gleichung Ax+By+Cz+D=0. Umgekehrt definiert jede dieser Gleichungen eine Ebene. Um eine Gleichung zu erstellen Flugzeug, auf der Durchreise Punkt und einer geraden Linie müssen Sie die Koordinaten des Punktes und die Gleichung der geraden Linie kennen.

Du wirst brauchen

• - Punktkoordinaten;
• - Gleichung einer Geraden.

Anweisungen

Aus drei Punkten kann man eine Ebene bilden, die die Ebene eindeutig definiert. Es seien drei Punkte mit den Koordinaten (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Notieren Sie die Determinante:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1) Setzen Sie die Determinante Null gleich. Das wird passieren. Es kann in dieser Form belassen oder durch Offenlegen der Determinante geöffnet werden: (x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+ (z-z1 )(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x -x1)( z2-z1)(y3-y1). Die Arbeit ist mühsam und in der Regel unnötig, da man sich die Eigenschaften einer Determinante gleich Null leichter merken kann.

Beispiel. Schreiben Sie eine Gleichung für die Ebene, wenn bekannt ist, dass sie durch den Punkt M(2,3,4) und die Gerade (x-1)/3=y/5=(z-2)/4 verläuft. Lösung. Zuerst müssen Sie die Gleichung der Geraden umwandeln. Von hier aus ist es einfach, zwei Punkte auszuwählen, die eindeutig zu dieser Linie gehören. Dies sind (1,0,2) und (4,5,6). Das ist alles, es gibt drei Punkte, Sie können eine Gleichung für die Ebene (x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-) erstellen. 1) (3-0) (4-2)Setzen Sie die Determinante mit Null gleich und vereinfachen Sie.

Gesamt:(x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1) 5 2+1 y 4+(z-2) 3 3-(z-2) 5 ·1-(x-1 )·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0. Antwort. Die erforderliche Gleichung der Ebene lautet -2x-2y+4z-6=0.

Hilfreicher Rat

Eine Ebene und eine Gerade können auch durch eine kanonische, parametrische, vektorparametrische und normale Gleichung angegeben werden. Eine Gerade kann auch in Segmenten und durch einen Winkelkoeffizienten angegeben werden. Alle Aufgabenmethoden können von einer auf die andere übertragen werden.

Charakteristische Gleichungen, auf deren Grundlage zunächst Eigenwerte (Werte) berechnet werden, haben in Mathematik, Physik und Technik breite Anwendung gefunden. Sie finden sich in Lösungen für automatische Steuerungsprobleme, Lösungen für Differentialgleichungssysteme usw.

Anweisungen

Die Antwort auf die Frage sollte auf der Grundlage der Berücksichtigung der einfachsten Probleme angegangen werden, deren Lösung möglicherweise charakteristische Gleichungen erfordert. Dies ist zunächst die Lösung eines normalen homogenen Systems homogener Differentialgleichungen (LODE). Sein Aussehen ist in Abbildung 1 dargestellt. Unter Berücksichtigung der in Abb. gezeigten Bezeichnungen. 1. Schreiben Sie das System in Matrixform um. Erhalten Sie Y’=AY.

Es ist bekannt, dass das Lösungssystem (SSF) des betrachteten Problems die Form Y=expB hat, wobei B eine Konstantenspalte ist. Dann ist Y’=kY. Es erscheint das System AY-kEY=0 (E ist die Identitätsmatrix). Oder (A-kE)Y=0. Es ist erforderlich, Lösungen ungleich Null zu finden, daher hat dieses System eine singuläre Matrix und dementsprechend ist diese Determinante gleich Null. In seiner erweiterten Form ist diese Determinante (siehe Abb. 2). In Abb. 2 wird eine algebraische Gleichung n-ter Ordnung in Form einer Determinante geschrieben und ihre Lösungen ermöglichen die Erstellung des FSR des Originalsystems. Diese Gleichung ist charakteristisch.

Betrachten Sie nun einen LODE n-ter Ordnung (siehe Abb. 3). Wenn seine linke Seite als linearer Differentialoperator L[y] bezeichnet wird, wird der LODE als L[y]=0 umgeschrieben. Wenn wir nach Lösungen für die LDE in der Form y=exp(kx) suchen, dann y'=kexp(kx), y''=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1) =(k^( n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) und nach Reduktion um y=exp(kx) erhalten wir die Gleichung: k^n+(a1 )k^(n-1 )+…+a(n-1)k+an=0, was ebenfalls charakteristisch ist.

Um sicherzustellen, dass die Essenz der letzten charakteristischen Gleichung gleich bleibt (das heißt, dass es sich nicht um ein anderes Objekt handelt), gehen Sie durch aufeinanderfolgende Substitutionen vom LODE-System n-ter Ordnung zum normalen LODE-System über. Die erste davon ist y1=y, und dann y1'=y2, y2'1=y3, …, y(n-1)' = yn, yn'=-an*y1-a(n-2)*yn -…- a1*y(n-1).

Schreiben Sie das resultierende System auf, stellen Sie seine charakteristische Gleichung in Form einer Determinante zusammen, öffnen Sie es und stellen Sie sicher, dass Sie die charakteristische Gleichung für die LDE n-ter Ordnung erhalten haben. Gleichzeitig entsteht eine Aussage über die grundsätzliche Bedeutung der charakteristischen Gleichung.

Gehen Sie zur allgemeinen Aufgabe über, die Eigenwerte linearer Transformationen zu finden (sie können auch differenziell sein), einschließlich der Erstellung einer charakteristischen Gleichung. Die Zahl k heißt Eigenwert (Zahl) einer linearen Transformation A, wenn es einen Vektor x gibt, so dass Ax = kx ist. Da jeder linearen Transformation ihre Matrix eindeutig zugeordnet werden kann, reduziert sich das Problem auf die Aufstellung einer charakteristischen Gleichung für eine bestimmte quadratische Matrix. Dies geschieht genau wie im ersten Beispiel für normale LODE-Systeme. Ersetzen Sie einfach y durch x, wenn nach dem Schreiben der charakteristischen Gleichung weitere Aktionen folgen. Wenn nicht, sollten Sie es nicht tun. Nehmen Sie einfach Matrix A (siehe Abb. 1) und schreiben Sie sie in Form einer Determinante (siehe Abb. 2). Nach der Offenlegung der Determinante ist die Arbeit abgeschlossen.

Chemisch ist eine Reaktion, die durch Formeln ausgedrückt wird. Eine chemische Gleichung zeigt, welche Stoffe reagieren und welche Stoffe als Ergebnis dieser Reaktion entstehen. Die Grundlage für die Aufstellung chemischer Gleichungen ist das Massenerhaltungsgesetz. Es zeigt auch das Mengenverhältnis der Stoffe, die an einer chemischen Reaktion beteiligt sind. Um eine chemische Gleichung zu lösen, müssen Sie bestimmte Methoden, Methoden und Ansätze für diesen Prozess kennen. Man kann einem solchen Algorithmus folgen, um chemische Gleichungen zu lösen.

Der Zweck der Lektion: Führen Sie die Gleichung eines Kreises ein, bringen Sie den Schülern bei, anhand einer vorgefertigten Zeichnung eine Kreisgleichung aufzustellen, und konstruieren Sie einen Kreis anhand einer gegebenen Gleichung.

Ausrüstung: interaktives Board.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment – ​​3 Min.
2. Wiederholung. Organisation geistiger Aktivität – 7 Min.
3. Erläuterung des neuen Materials. Herleitung der Kreisgleichung – 10 Min.
4. Konsolidierung des gelernten Materials – 20 Min.
5. Zusammenfassung der Lektion – 5 Min.

Während des Unterrichts

2. Wiederholung:

− (Anhang 1 Folie 2) Schreiben Sie die Formel zum Ermitteln der Koordinaten der Mitte eines Segments auf;

− (Folie 3) Z Schreiben Sie die Formel für den Abstand zwischen Punkten (die Länge des Segments).

3. Erläuterung des neuen Materials.

(Folien 4 – 6) Definieren Sie die Gleichung eines Kreises. Leiten Sie Gleichungen eines Kreises her, dessen Mittelpunkt im Punkt ( A;B) und im Ursprung zentriert.

(X – A ) 2 + (bei – B ) 2 = R 2 – Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt MIT (A;B) , Radius R , X Und bei – Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis .

X 2 + J 2 = R 2 – Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung.

(Folie 7)

Um die Gleichung eines Kreises zu erstellen, müssen Sie:

• kennen Sie die Koordinaten des Zentrums;
• kennen Sie die Länge des Radius;
• Setzen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und die Länge des Radius in die Kreisgleichung ein.

4. Problemlösung.

Erstellen Sie in den Aufgaben Nr. 1 – Nr. 6 Kreisgleichungen anhand vorgefertigter Zeichnungen.

(Folie 14)

№ 7. Füllen Sie die Tabelle aus.

(Folie 15)

№ 8. Konstruieren Sie in Ihrem Notizbuch Kreise, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind:

A) ( X – 5) 2 + (bei + 3) 2 = 36;
B) (X + 1) 2 + (bei– 7) 2 = 7 2 .

(Folie 16)

№ 9. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und die Länge des Radius, wenn AB– Durchmesser des Kreises.

(Folie 17)

№ 10. Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und durch den Punkt verläuft ZU(-12;5).

Lösung.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Kreisgleichung: x 2 + y 2 = 169 .

(Folie 18)

№ 11. Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis, der durch den Ursprung verläuft und bei zentriert ist MIT(3; - 1).

Lösung.

R2= Betriebssystem 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Kreisgleichung: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Folie 19)

№ 12. Schreiben Sie eine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt A(3;2), durchgehend IN(7;5).

Lösung.

1. Mittelpunkt des Kreises – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Kreisgleichung ( X – 3) 2 + (bei − 2) 2 = 25.

(Folie 20)

№ 13. Überprüfen Sie, ob die Punkte liegen A(1; -1), IN(0;8), MIT(-3; -1) auf dem durch die Gleichung definierten Kreis ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

Lösung.

ICH. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes A(1; -1) in die Kreisgleichung:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – die Gleichheit ist falsch, das heißt A(1; -1) lügt nicht auf dem Kreis, der durch die Gleichung ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

II. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes IN(0;8) in die Kreisgleichung:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)Lügen X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

III. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes MIT(-3; -1) in die Kreisgleichung:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – die Gleichheit ist wahr, das heißt MIT(-3; -1) Lügen auf dem Kreis, der durch die Gleichung ( X + 3) 2 + (bei − 4) 2 = 25.

Zusammenfassung der Lektion.

1. Wiederholen: Kreisgleichung, Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung.
2. (Folie 21) Hausaufgaben.

Umfang ist die Menge der Punkte in der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Wenn Punkt C der Mittelpunkt des Kreises ist, R sein Radius und M ein beliebiger Punkt auf dem Kreis ist, dann ist dies per Definition ein Kreis

Gleichheit (1) ist Gleichung eines Kreises Radius R mit Mittelpunkt im Punkt C.

Sei ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem (Abb. 104) und ein Punkt C( A; B) ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius R. Sei M( X; bei) ist ein beliebiger Punkt dieses Kreises.

Seit |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), dann kann Gleichung (1) wie folgt geschrieben werden:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (j - b) 2 = R 2 (2)

Gleichung (2) wird aufgerufen allgemeine Kreisgleichung oder die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt im Punkt ( A; B). Zum Beispiel die Gleichung

(X - l) 2 + ( j + 3) 2 = 25

ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R = 5 und dem Mittelpunkt im Punkt (1; -3).

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, dann nimmt Gleichung (2) die Form an

X 2 + bei 2 = R 2 . (3)

Gleichung (3) wird aufgerufen kanonische Kreisgleichung .

Aufgabe 1. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R = 7, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.

Durch direktes Einsetzen des Radiuswerts in Gleichung (3) erhalten wir

X 2 + bei 2 = 49.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R = 9 und dem Mittelpunkt im Punkt C(3; -6).

Wenn wir den Wert der Koordinaten des Punktes C und den Wert des Radius in Formel (2) einsetzen, erhalten wir

(X - 3) 2 + (bei- (-6)) 2 = 81 oder ( X - 3) 2 + (bei + 6) 2 = 81.

Aufgabe 3. Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises

(X + 3) 2 + (bei-5) 2 =100.

Wenn wir diese Gleichung mit der allgemeinen Kreisgleichung (2) vergleichen, sehen wir das A = -3, B= 5, R = 10. Daher ist C(-3; 5), R = 10.

Aufgabe 4. Beweisen Sie, dass die Gleichung

X 2 + bei 2 + 4X - 2j - 4 = 0

ist die Gleichung eines Kreises. Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius.

Lassen Sie uns die linke Seite dieser Gleichung transformieren:

X 2 + 4X + 4- 4 + bei 2 - 2bei +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (bei - 1) 2 = 9.

Diese Gleichung ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-2; 1); Der Radius des Kreises beträgt 3.

Aufgabe 5. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt C(-1; -1) tangential zur Geraden AB, wenn A (2; -1), B(- 1; 3).

Schreiben wir die Gleichung der Geraden AB:

oder 4 X + 3j-5 = 0.

Da ein Kreis eine gegebene Linie berührt, steht der zum Berührungspunkt gezeichnete Radius senkrecht zu dieser Linie. Um den Radius zu ermitteln, müssen Sie den Abstand vom Punkt C(-1; -1) – dem Mittelpunkt des Kreises – zur Geraden 4 ermitteln X + 3j-5 = 0:

Schreiben wir die Gleichung des gewünschten Kreises

(X +1) 2 + (j +1) 2 = 144 / 25

Gegeben sei ein Kreis in einem rechtwinkligen Koordinatensystem X 2 + bei 2 = R 2 . Betrachten Sie seinen beliebigen Punkt M( X; bei) (Abb. 105).

Sei der Radiusvektor OM> Punkt M bildet einen Größenwinkel T mit positiver Richtung der O-Achse X, dann ändern sich Abszisse und Ordinate des Punktes M je nach T

(0 T x und y durch T, wir finden

X= Rcos T ; j= R sin T , 0 T

Gleichungen (4) werden aufgerufen parametrische Gleichungen eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung.

Aufgabe 6. Der Kreis ist durch die Gleichungen gegeben

X= \(\sqrt(3)\)cos T, j= \(\sqrt(3)\)sin T, 0 T

Schreiben Sie die kanonische Gleichung dieses Kreises auf.

Es ergibt sich aus der Bedingung X 2 = 3 weil 2 T, bei 2 = 3 Sünde 2 T. Wenn wir diese Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir

X 2 + bei 2 = 3(cos 2 T+ Sünde 2 T)

oder X 2 + bei 2 = 3