Angrenzendes Moll der Matrix. Rang der Matrix und Basisminor der Matrix. Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe von Minderjährigen

Gegeben sei eine Matrix:

.

Lassen Sie uns in dieser Matrix auswählen beliebige Zeichenfolgen und beliebige Spalten
. Dann die Determinante Ordnung, bestehend aus Matrixelementen
, das sich am Schnittpunkt ausgewählter Zeilen und Spalten befindet, wird als Minor bezeichnet Matrix th. Ordnung
.

Definition 1.13. Matrixrang
ist die größte Ordnung des Nicht-Null-Minor dieser Matrix.

Um den Rang einer Matrix zu berechnen, sollte man alle ihre Nebenwerte der niedrigsten Ordnung berücksichtigen und, wenn mindestens einer von ihnen von Null verschieden ist, mit der Betrachtung der Nebenwerte der höchsten Ordnung fortfahren. Dieser Ansatz zur Bestimmung des Rangs einer Matrix wird als Grenzmethode (oder Grenzmethode für Minderjährige) bezeichnet.

Aufgabe 1.4. Bestimmen Sie den Rang der Matrix mithilfe der Methode der Randeingrenzung
.

.

Betrachten Sie zum Beispiel Kanten erster Ordnung:
. Dann betrachten wir einige Kanten zweiter Ordnung.

Zum Beispiel,
.

Lassen Sie uns abschließend die Umrandung dritter Ordnung analysieren.

.

Die höchste Ordnung eines Molls ungleich Null ist also 2
.

Wenn Sie Problem 1.4 lösen, können Sie feststellen, dass eine Anzahl angrenzender Minderjähriger zweiter Ordnung ungleich Null ist. In diesem Zusammenhang gilt das folgende Konzept.

Definition 1.14. Ein Basisminor einer Matrix ist jeder Minor ungleich Null, dessen Ordnung dem Rang der Matrix entspricht.

Satz 1.2.(Basis-Moll-Theorem). Die Basiszeilen (Basisspalten) sind linear unabhängig.

Beachten Sie, dass die Zeilen (Spalten) einer Matrix genau dann linear abhängig sind, wenn mindestens eine von ihnen als lineare Kombination der anderen dargestellt werden kann.

Satz 1.3. Die Anzahl der linear unabhängigen Matrixzeilen ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Matrixspalten und entspricht dem Rang der Matrix.

Satz 1.4.(Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Determinante gleich Null ist). Damit die Determinante -te Ordnung gleich Null war, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Zeilen (Spalten) linear abhängig sind.

Den Rang einer Matrix anhand ihrer Definition zu berechnen, ist zu umständlich. Dies ist besonders wichtig für Matrizen hoher Ordnung. In diesem Zusammenhang wird in der Praxis der Rang einer Matrix auf der Grundlage der Anwendung der Sätze 10.2 – 10.4 sowie der Verwendung der Konzepte der Matrixäquivalenz und elementarer Transformationen berechnet.

Definition 1.15. Zwei Matrizen
Und heißen äquivalent, wenn ihre Ränge gleich sind, d. h.
.

Wenn Matrizen
Und sind gleichwertig, dann beachten Sie
 .

Satz 1.5. Der Rang der Matrix ändert sich durch Elementartransformationen nicht.

Wir werden elementare Matrixtransformationen nennen
eine der folgenden Operationen auf einer Matrix:

Ersetzen von Zeilen durch Spalten und Spalten durch entsprechende Zeilen;

Matrixzeilen neu anordnen;

Durchstreichen einer Linie, deren Elemente alle Null sind;

Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer anderen Zahl als Null;

Zu den Elementen einer Zeile werden die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile addiert, multipliziert mit derselben Zahl
.

Folgerung von Satz 1.5. Wenn Matrix
aus Matrix erhalten unter Verwendung einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen, dann die Matrix
Und sind gleichwertig.

Bei der Berechnung des Rangs einer Matrix sollte diese mithilfe einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen auf eine Trapezform reduziert werden.

Definition 1.16. Wir nennen trapezförmig eine Form der Matrixdarstellung, bei der im angrenzenden Minor höchster Ordnung ungleich Null alle Elemente unterhalb der diagonalen verschwinden. Zum Beispiel:

.

Hier
, Matrixelemente
auf Null gehen. Dann ist die Darstellungsform einer solchen Matrix trapezförmig.

In der Regel werden Matrizen mit dem Gauß-Algorithmus auf eine Trapezform reduziert. Die Idee des Gauß-Algorithmus besteht darin, dass durch Multiplikation der Elemente der ersten Zeile der Matrix mit den entsprechenden Faktoren erreicht wird, dass alle Elemente der ersten Spalte unterhalb des Elements liegen
, würde auf Null gehen. Dann multiplizieren wir die Elemente der zweiten Spalte mit den entsprechenden Faktoren und stellen sicher, dass sich alle Elemente der zweiten Spalte unterhalb des Elements befinden
, würde auf Null gehen. Gehen Sie dann genauso vor.

Aufgabe 1.5. Bestimmen Sie den Rang einer Matrix, indem Sie sie auf eine Trapezform reduzieren.

.

Um die Verwendung des Gaußschen Algorithmus zu vereinfachen, können Sie die erste und dritte Zeile vertauschen.








.

Das ist hier offensichtlich
. Um dem Ergebnis jedoch eine elegantere Form zu verleihen, können Sie die Spalten noch weiter transformieren.










.

>>Matrixrang

Matrixrang

Bestimmen des Rangs einer Matrix

Betrachten Sie eine rechteckige Matrix. Wenn in dieser Matrix wir willkürlich auswählen k Linien und k Spalten, dann bilden die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Zeilen und Spalten eine quadratische Matrix k-ter Ordnung. Die Determinante dieser Matrix heißt Moll der k-ten Ordnung Matrix A. Offensichtlich hat Matrix A Nebenwerte jeder Ordnung von 1 bis zur kleinsten der Zahlen m und n. Unter allen Minderjährigen ungleich Null der Matrix A gibt es mindestens einen Minderjährigen, dessen Ordnung die größte ist. Die größte der von Null verschiedenen Nebenordnungen einer gegebenen Matrix wird aufgerufen Rang Matrizen. Wenn der Rang der Matrix A ist R Dies bedeutet, dass Matrix A eine Nebenordnung ungleich Null hat R, aber jede kleinere Ordnung größer als R, ist gleich Null. Der Rang der Matrix A wird mit r(A) bezeichnet. Offensichtlich gilt die Beziehung

Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe von Minderjährigen

Der Rang der Matrix wird entweder durch die Methode der angrenzenden Minderjährigen oder durch die Methode der Elementartransformationen ermittelt. Wenn Sie den Rang einer Matrix mit der ersten Methode berechnen, sollten Sie von Minderjährigen niedrigerer Ordnung zu Minderjährigen höherer Ordnung übergehen. Wenn bereits ein von Null verschiedenes Minor D der k-ten Ordnung der Matrix A gefunden wurde, müssen nur die an das Minor D angrenzenden Minors (k+1)-Ordnung berechnet werden, d. h. enthält es als Nebenfach. Wenn sie alle gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich k.

Beispiel 1.Ermitteln Sie den Rang der Matrix mithilfe der Methode der Grenzüberschreitungen

.

Lösung.Wir beginnen mit Minderjährigen erster Ordnung, d.h. aus den Elementen der Matrix A. Wählen wir zum Beispiel ein Nebenelement (Element) M 1 = 1, das sich in der ersten Zeile und ersten Spalte befindet. Durch die Eingrenzung mit Hilfe der zweiten Zeile und der dritten Spalte erhalten wir ein von Null verschiedenes Minor M 2 =. Wir wenden uns nun den Minderjährigen 3. Ordnung zu, die an M2 grenzen. Es gibt nur zwei davon (Sie können eine zweite oder vierte Spalte hinzufügen). Berechnen wir sie: = 0. Somit erwiesen sich alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung als gleich Null. Der Rang der Matrix A ist zwei.

Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen

GrundschuleDie folgenden Matrixtransformationen heißen:

1) Permutation zweier beliebiger Zeilen (oder Spalten),

2) Multiplizieren einer Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl ungleich Null,

3) Hinzufügen einer weiteren Zeile (oder Spalte) zu einer Zeile (oder Spalte), multipliziert mit einer bestimmten Zahl.

Die beiden Matrizen werden aufgerufen Äquivalent, wenn eine von ihnen durch eine endliche Menge elementarer Transformationen aus der anderen gewonnen wird.

Äquivalente Matrizen sind im Allgemeinen nicht gleich, aber ihre Ränge sind gleich. Wenn die Matrizen A und B äquivalent sind, wird es wie folgt geschrieben: A~B.

KanonischEine Matrix ist eine Matrix, in der am Anfang der Hauptdiagonale mehrere Einsen hintereinander stehen (deren Anzahl Null sein kann) und alle anderen Elemente gleich Null sind, zum Beispiel

.

Durch elementare Transformationen von Zeilen und Spalten kann jede Matrix auf kanonisch reduziert werden. Der Rang einer kanonischen Matrix ist gleich der Anzahl der Einsen auf ihrer Hauptdiagonale.

Beispiel 2Finden Sie den Rang einer Matrix

A=

und bringen Sie es in kanonische Form.

Lösung. Subtrahieren Sie von der zweiten Zeile die erste und ordnen Sie diese Zeilen neu an:

.

Von der zweiten und dritten Zeile subtrahieren wir nun die erste, multipliziert mit 2 bzw. 5:

;

subtrahiere die erste von der dritten Zeile; wir bekommen eine Matrix

B = ,

was der Matrix A äquivalent ist, da sie aus dieser mithilfe einer endlichen Menge elementarer Transformationen erhalten wird. Offensichtlich ist der Rang der Matrix B 2 und daher ist r(A)=2. Matrix B kann leicht auf kanonisch reduziert werden. Indem wir die erste Spalte, multipliziert mit geeigneten Zahlen, von allen nachfolgenden subtrahieren, setzen wir alle Elemente der ersten Zeile außer der ersten auf Null, und die Elemente der verbleibenden Zeilen ändern sich nicht. Dann subtrahieren wir die zweite Spalte, multipliziert mit geeigneten Zahlen, von allen nachfolgenden, setzen alle Elemente der zweiten Zeile außer der zweiten auf Null und erhalten die kanonische Matrix:

.

Sei A eine Matrix der Größen m\times n und k eine natürliche Zahl, die m und n nicht überschreitet: k\leqslant\min\(m;n\). Kleinere k-te Ordnung Matrix A ist die Determinante einer Matrix k-ter Ordnung, die durch die Elemente am Schnittpunkt von willkürlich gewählten k Zeilen und k Spalten der Matrix A gebildet wird. Bei der Bezeichnung von Minderjährigen geben wir die Nummern der ausgewählten Zeilen als obere Indizes und die Nummern der ausgewählten Spalten als untere Indizes an und ordnen sie in aufsteigender Reihenfolge an.

Beispiel 3.4. Schreiben Sie Minderjährige verschiedener Ordnungen der Matrix

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Lösung. Matrix A hat die Dimensionen 3\times4 . Es hat: 12 Minderjährige 1. Ordnung, zum Beispiel Moll M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 Minderjährige 2. Ordnung, zum Beispiel, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 Minderjährige 3. Ordnung, zum Beispiel,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

In einer Matrix A der Dimensionen m\times n wird die r-te Ordnung als Minor bezeichnet Basic, wenn es ungleich Null ist und alle Minderjährigen der Ordnung (r+1)-ro gleich Null sind oder überhaupt nicht existieren.

Matrixrang wird als Ordnung des Basis-Moll bezeichnet. In einer Nullmatrix gibt es keine Basisminor. Daher ist der Rang einer Nullmatrix per Definition gleich Null. Der Rang der Matrix A wird mit bezeichnet \operatorname(rg)A.

Beispiel 3.5. Finden Sie alle Basis-Minor- und Matrix-Ränge

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Lösung. Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da diese Determinanten eine dritte Zeile von Null haben. Daher kann nur ein Minor zweiter Ordnung, der sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix befindet, grundlegend sein. Wir gehen 6 mögliche Minderjährige durch und wählen einen Wert ungleich Null aus

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Bei jedem dieser fünf Nebenfächer handelt es sich um ein Grundfach. Daher ist der Rang der Matrix 2.

Hinweise 3.2

1. Wenn alle Minderjährigen k-ter Ordnung in einer Matrix gleich Null sind, dann sind auch die Minderjährigen höherer Ordnung gleich Null. Tatsächlich erhalten wir durch die Erweiterung des Minor der (k+1)-ro-Ordnung über eine beliebige Zeile die Summe der Produkte der Elemente dieser Zeile mit Minor-Elementen der k-ten Ordnung, und sie sind gleich Null.

2. Der Rang einer Matrix entspricht der höchsten Ordnung des von Null verschiedenen Minor dieser Matrix.

3. Wenn eine quadratische Matrix nicht singulär ist, entspricht ihr Rang ihrer Ordnung. Wenn eine quadratische Matrix singulär ist, ist ihr Rang kleiner als ihre Ordnung.

4. Bezeichnungen werden auch für den Rang verwendet \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rang der Blockmatrix ist definiert als der Rang einer regulären (numerischen) Matrix, d.h. unabhängig von der Blockstruktur. In diesem Fall ist der Rang einer Blockmatrix nicht geringer als der Rang ihrer Blöcke: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A Und \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, da alle Minderjährigen der Matrix A (oder B) auch Minderjährige der Blockmatrix (A\mid B) sind.

Sätze über die Basis Minor und den Rang der Matrix

Betrachten wir die Hauptsätze, die die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und linearen Unabhängigkeit von Spalten (Zeilen) einer Matrix ausdrücken.

Satz 3.1 zur Basis Minor. In einer beliebigen Matrix A ist jede Spalte (Zeile) eine lineare Kombination der Spalten (Zeilen), in denen sich die Basis Minor befindet.

Tatsächlich nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass in einer Matrix A der Größe m\times n die Basis Minor in den ersten r Zeilen und ersten r Spalten liegt. Betrachten Sie die Determinante

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

die man erhält, indem man die entsprechenden Elemente der etw. Zeile und der k-ten Spalte der Basis Minor der Matrix A zuordnet. Beachten Sie das für alle 1\leqslant s\leqslant m und diese Determinante ist gleich Null. Wenn s\leqslant r oder k\leqslant r, dann enthält die Determinante D zwei identische Zeilen oder zwei identische Spalten. Wenn s>r und k>r, dann ist die Determinante D gleich Null, da sie eine Nebendeterminante der Ordnung (r+l)-ro ist. Wenn wir die Determinante entlang der letzten Zeile erweitern, erhalten wir

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

wobei D_(r+1\,j) die algebraischen Komplemente der Elemente der letzten Zeile sind. Beachten Sie, dass D_(r+1\,r+1)\ne0, da dies ein Basis-Moll ist. Deshalb

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Wo \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Wenn wir die letzte Gleichung für s=1,2,\ldots,m schreiben, erhalten wir

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

diese. k-te Spalte (für jede 1\leqslant k\leqslant n) ist eine lineare Kombination der Spalten der Basis Minor, was wir beweisen mussten.

Der Basis-Moll-Satz dient dem Beweis der folgenden wichtigen Sätze.

Bedingung dafür, dass die Determinante Null ist

Satz 3.2 (notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Determinante Null ist). Damit eine Determinante gleich Null ist, ist es notwendig und ausreichend, dass eine ihrer Spalten (eine ihrer Zeilen) eine Linearkombination der übrigen Spalten (Zeilen) ist.

Tatsächlich folgt die Notwendigkeit aus dem Basis-Moll-Theorem. Wenn die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n gleich Null ist, dann ist ihr Rang kleiner als n, d.h. Mindestens eine Kolumne ist nicht im Basis-Moll enthalten. Dann ist diese ausgewählte Spalte nach Satz 3.1 eine Linearkombination der Spalten, in denen sich die Basis Minor befindet. Indem wir dieser Kombination bei Bedarf weitere Spalten mit Nullkoeffizienten hinzufügen, erhalten wir, dass die ausgewählte Spalte eine lineare Kombination der verbleibenden Spalten der Matrix ist. Die Suffizienz ergibt sich aus den Eigenschaften der Determinante. Wenn zum Beispiel die letzte Spalte A_n der Determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linear ausgedrückt durch den Rest

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

dann Addition zu A_n, Spalte A_1 multipliziert mit (-\lambda_1), dann Spalte A_2 multipliziert mit (-\lambda_2) usw. Spalte A_(n-1) multipliziert mit (-\lambda_(n-1)) erhalten wir die Determinante \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) mit einer Nullspalte, die gleich Null ist (Eigenschaft 2 der Determinante).

Invarianz des Matrixrangs unter elementaren Transformationen

Satz 3.3 (zur Ranginvarianz unter elementaren Transformationen). Bei elementaren Transformationen der Spalten (Zeilen) einer Matrix ändert sich ihr Rang nicht.

In der Tat, lass es sein. Nehmen wir an, dass wir als Ergebnis einer elementaren Transformation der Spalten der Matrix A die Matrix A erhalten haben. Wenn eine Transformation vom Typ I durchgeführt wurde (Permutation zweier Spalten), dann alle kleineren (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A“ ist entweder gleich dem entsprechenden Moll (r+l )-ro der Ordnung der Matrix A oder unterscheidet sich von diesem im Vorzeichen (Eigenschaft 3 der Determinante). Wenn eine Typ-II-Transformation durchgeführt wurde (Multiplikation der Spalte mit der Zahl \lambda\ne0), dann ist jedes kleinere (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A" entweder gleich dem entsprechenden kleinen (r+l) -ro der Ordnung der Matrix A oder ein davon abweichender Faktor \lambda\ne0 (Eigenschaft 6 der Determinante). Wenn eine Typ-III-Transformation durchgeführt wurde (Hinzufügen einer anderen Spalte zu einer Spalte multipliziert mit der Zahl \Lambda), dann beliebig „Mindere der (r+1)-ten Ordnung der Matrix A“ ist entweder gleich der entsprechenden kleinen (r+1)-ten Ordnung der Matrix A (Eigenschaft 9 der Determinante) oder gleich der Summe von zwei Minderjährige (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A (Eigenschaft 8 der Determinante). Daher sind bei einer Elementartransformation jeglicher Art alle Nebenstellen (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A gleich Null, da alle Nebenstellen (r+l)-ro der Ordnung der Matrix A gleich Null sind gleich Null. Somit ist bewiesen, dass die Rangmatrix bei elementaren Transformationen von Spalten nicht ansteigen kann. Da zu elementaren Transformationen inverse Transformationen elementar sind, kann der Rang der Matrix bei elementaren Transformationen der Spalten nicht abnehmen, d. h. ändert sich nicht. Ebenso wird bewiesen, dass sich der Rang der Matrix bei elementaren Transformationen der Zeilen nicht ändert.

Folgerung 1. Wenn eine Zeile (Spalte) einer Matrix eine lineare Kombination ihrer anderen Zeilen (Spalten) ist, kann diese Zeile (Spalte) aus der Matrix gelöscht werden, ohne ihren Rang zu ändern.

Tatsächlich kann eine solche Zeichenfolge mithilfe elementarer Transformationen zu Null gemacht werden, und eine Nullzeichenfolge kann nicht in die Basis-Moll-Zeichenfolge aufgenommen werden.

Folgerung 2. Wenn die Matrix auf die einfachste Form (1.7) reduziert wird, dann

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Tatsächlich hat die Matrix der einfachsten Form (1.7) eine Basis kleiner r. Ordnung.

Folgerung 3. Jede nicht singuläre quadratische Matrix ist elementar, mit anderen Worten, jede nicht singuläre quadratische Matrix entspricht einer Identitätsmatrix derselben Ordnung.

In der Tat, wenn A eine nicht singuläre quadratische Matrix n-ter Ordnung ist, dann \operatorname(rg)A=n(siehe Absatz 3 der Kommentare 3.2). Wenn wir also die Matrix A durch elementare Transformationen in die einfachste Form (1.7) bringen, erhalten wir die Identitätsmatrix \Lambda=E_n , da \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(siehe Folgerung 2). Daher ist die Matrix A äquivalent zur Identitätsmatrix E_n und kann aus dieser als Ergebnis einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen gewonnen werden. Dies bedeutet, dass Matrix A elementar ist.

Satz 3.4 (über den Rang der Matrix). Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen dieser Matrix.

Tatsächlich, lass \operatorname(rg)A=r. Dann hat die Matrix A r linear unabhängige Zeilen. Dies sind die Zeilen, in denen sich das Basis-Moll befindet. Wären sie linear abhängig, dann wäre dieser Minor nach Satz 3.2 gleich Null und der Rang der Matrix A wäre nicht gleich r. Zeigen wir, dass r die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist, d.h. Alle p-Zeilen sind für p>r linear abhängig. Tatsächlich bilden wir aus diesen p Zeilen die Matrix B. Da Matrix B Teil von Matrix A ist, dann \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Dies bedeutet, dass mindestens eine Zeile der Matrix B nicht in der Basis Minor dieser Matrix enthalten ist. Dann ist es nach dem Basis-Minor-Theorem gleich einer linearen Kombination der Zeilen, in denen sich das Basis-Minor befindet. Daher sind die Zeilen der Matrix B linear abhängig. Somit hat die Matrix A höchstens r linear unabhängige Zeilen.

Folgerung 1. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen in einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Diese Aussage folgt aus Satz 3.4, wenn wir sie auf die Zeilen einer transponierten Matrix anwenden und berücksichtigen, dass sich die Minoren während der Transposition nicht ändern (Eigenschaft 1 der Determinante).

Folgerung 2. Bei elementaren Transformationen der Zeilen einer Matrix bleibt die lineare Abhängigkeit (oder lineare Unabhängigkeit) eines beliebigen Spaltensystems dieser Matrix erhalten.

Wählen wir tatsächlich beliebige k Spalten einer gegebenen Matrix A aus und stellen wir daraus die Matrix B zusammen. Die Matrix A" erhalte man als Ergebnis elementarer Transformationen der Zeilen der Matrix A und die Matrix B" erhalte man als Ergebnis der gleichen Transformationen der Zeilen der Matrix B. Nach Satz 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Wenn also die Spalten der Matrix B linear unabhängig wären, d.h. k=\Operatorname(rg)B(siehe Korollar 1), dann sind auch die Spalten der Matrix B" linear unabhängig, da k=\operatorname(rg)B". Wenn die Spalten der Matrix B linear abhängig wären (k>\operatorname(rg)B), dann sind auch die Spalten der Matrix B" linear abhängig (k>\operatorname(rg)B"). Folglich bleibt für alle Spalten der Matrix A die lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit bei elementaren Zeilentransformationen erhalten.

Hinweise 3.3

1. Nach Korollar 1 von Satz 3.4 gilt die in Korollar 2 angegebene Eigenschaft von Spalten auch für jedes System von Matrixzeilen, wenn elementare Transformationen nur an seinen Spalten durchgeführt werden.

2. Korollar 3 von Satz 3.3 kann wie folgt verfeinert werden: Jede nicht singuläre quadratische Matrix kann mithilfe elementarer Transformationen nur ihrer Zeilen (oder nur ihrer Spalten) auf eine Identitätsmatrix derselben Ordnung reduziert werden.

Tatsächlich kann jede Matrix A unter Verwendung nur elementarer Zeilentransformationen auf die vereinfachte Form \Lambda (Abb. 1.5) reduziert werden (siehe Satz 1.1). Da die Matrix A nicht singulär ist (\det(A)\ne0), sind ihre Spalten linear unabhängig. Das bedeutet, dass auch die Spalten der Matrix \Lambda linear unabhängig sind (Korollar 2 von Satz 3.4). Daher stimmt die vereinfachte Form \Lambda einer nicht singulären Matrix A mit ihrer einfachsten Form (Abb. 1.6) überein und ist die Identitätsmatrix \Lambda=E (siehe Korollar 3 von Satz 3.3). Indem also nur die Zeilen einer nicht singulären Matrix transformiert werden, kann diese auf die Identitätsmatrix reduziert werden. Ähnliche Überlegungen gelten für elementare Transformationen der Spalten einer nicht singulären Matrix.

Rang des Produkts und Summe der Matrizen

Satz 3.5 (über den Rang des Matrizenprodukts). Der Rang des Matrizenprodukts überschreitet nicht den Rang der Faktoren:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Angenommen, die Matrizen A und B hätten die Größen m\times p und p\times n . Ordnen wir der Matrix A die Matrix zu C=AB\colon\,(A\mid C). Natürlich \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), da C Teil der Matrix (A\mid C) ist (siehe Abschnitt 5 der Anmerkungen 3.2). Beachten Sie, dass jede Spalte C_j gemäß der Matrixmultiplikationsoperation eine lineare Kombination von Spalten ist A_1,A_2,\ldots,A_p Matrizen A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Eine solche Spalte kann aus der Matrix (A\mid C) gelöscht werden, ohne dass sich ihr Rang ändert (Korollar 1 von Satz 3.3). Wenn wir alle Spalten der Matrix C durchstreichen, erhalten wir: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Von hier, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Ebenso können wir beweisen, dass die Bedingung gleichzeitig erfüllt ist \Operatorname(rg)C\leqslant\Operatorname(rg)B, und ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Gültigkeit des Satzes.

Folge. Wenn A ist also eine nicht singuläre quadratische Matrix \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B Und \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, d.h. Der Rang einer Matrix ändert sich nicht, wenn sie von links oder rechts mit einer nicht singulären quadratischen Matrix multipliziert wird.

Satz 3.6 über den Rang von Matrizensummen. Der Rang der Summe der Matrizen überschreitet nicht die Summe der Ränge der Terme:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Lassen Sie uns tatsächlich eine Matrix erstellen (A+B\Mitte A\Mitte B). Beachten Sie, dass jede Spalte der Matrix A+B eine lineare Kombination der Spalten der Matrizen A und B ist. Deshalb \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Bedenkt man, dass die Anzahl der linear unabhängigen Spalten in der Matrix (A\mid B) nicht überschreitet \Operatorname(rg)A+\Operatorname(rg)B,A \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(siehe Abschnitt 5 der Bemerkungen 3.2) erhalten wir die zu beweisende Ungleichung.

Wir werden auch eine wichtige praktische Anwendung des Themas betrachten: Untersuchung eines Systems linearer Gleichungen auf Konsistenz.

Welchen Rang hat eine Matrix?

Das humorvolle Epigraph des Artikels enthält viel Wahrheit. Normalerweise verbinden wir das Wort „Rang“ mit einer Art Hierarchie, am häufigsten mit einer Karriereleiter. Je mehr Wissen, Erfahrung, Fähigkeiten, Verbindungen usw. eine Person hat. – desto höher ist seine Position und sein Chancenspektrum. In der Jugendsprache bezieht sich der Rang auf den allgemeinen Grad der „Steilheit“.

Und unsere mathematischen Brüder leben nach denselben Prinzipien. Gehen wir mit ein paar zufällig ausgewählten Exemplaren spazieren Nullmatrizen:

Lassen Sie uns darüber nachdenken, ob in der Matrix alles Nullen, über welchen Rang können wir dann sprechen? Jeder kennt den umgangssprachlichen Ausdruck „total null“. In der Matrizengesellschaft ist alles genau gleich:

Rang der NullmatrixJede Größe ist gleich Null.

Notiz : Die Nullmatrix wird mit dem griechischen Buchstaben „Theta“ bezeichnet

Um den Rang der Matrix besser zu verstehen, werde ich im Folgenden Materialien zur Hilfe verwenden analytische Geometrie. Betrachten Sie Null Vektor unser dreidimensionaler Raum, der keine bestimmte Richtung vorgibt und zum Bauen unbrauchbar ist affine Basis. Aus algebraischer Sicht werden die Koordinaten dieses Vektors eingeschrieben Matrix„eins nach drei“ und logisch (im angegebenen geometrischen Sinne) Nehmen Sie an, dass der Rang dieser Matrix Null ist.

Schauen wir uns nun einige an ungleich Null Spaltenvektoren Und Zeilenvektoren:


Jede Instanz hat mindestens ein Element ungleich Null, und das ist etwas!

Der Rang jedes Zeilenvektors (Spaltenvektors) ungleich Null ist gleich eins

Und überhaupt - wenn in der Matrix beliebige Größen Gibt es mindestens ein Nicht-Null-Element, dann dessen Rang nicht weniger Einheiten.

Algebraische Zeilenvektoren und Spaltenvektoren sind gewissermaßen abstrakt, wenden wir uns also noch einmal der geometrischen Assoziation zu. Nicht Null Vektor Gibt eine ganz bestimmte Richtung im Raum vor und eignet sich zum Konstruieren Basis, daher wird der Rang der Matrix als gleich eins betrachtet.

Theoretische Informationen : In der linearen Algebra ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums (definiert durch 8 Axiome), der insbesondere eine geordnete Zeile (oder Spalte) reeller Zahlen darstellen kann, wobei die Operationen Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahl definiert sind für Sie. Ausführlichere Informationen zu Vektoren finden Sie im Artikel Lineare Transformationen.

linear abhängig(durcheinander ausgedrückt). Aus geometrischer Sicht enthält die zweite Zeile die Koordinaten des kollinearen Vektors , was die Sache im Bauwesen überhaupt nicht vorangebracht hat dreidimensionale Basis, in diesem Sinne überflüssig. Somit ist auch der Rang dieser Matrix gleich eins.

Schreiben wir die Koordinaten der Vektoren in Spalten um ( Transponieren Sie die Matrix):

Was hat sich in Bezug auf den Rang geändert? Nichts. Die Spalten sind proportional, was bedeutet, dass der Rang gleich eins ist. Beachten Sie übrigens, dass alle drei Linien auch proportional sind. Sie können anhand der Koordinaten identifiziert werden drei kollineare Vektoren der Ebene, davon nur einer nützlich für den Aufbau einer „flachen“ Basis. Und das steht völlig im Einklang mit unserem geometrischen Ranggefühl.

Aus obigem Beispiel ergibt sich eine wichtige Aussage:

Der Rang der Matrix in Zeilen ist gleich dem Rang der Matrix in Spalten. Ich habe dies bereits in der Lektion über die Wirksamkeit ein wenig erwähnt Methoden zur Berechnung der Determinante.

Notiz : Lineare Abhängigkeit von Zeilen impliziert lineare Abhängigkeit von Spalten (und umgekehrt). Aber um Zeit zu sparen und aus Gewohnheit werde ich fast immer von der linearen Abhängigkeit von Strings sprechen.

Lasst uns unser geliebtes Haustier weiter trainieren. Fügen wir der Matrix in der dritten Zeile die Koordinaten eines weiteren kollinearen Vektors hinzu :

Hat er uns beim Aufbau einer dreidimensionalen Basis geholfen? Natürlich nicht. Alle drei Vektoren bewegen sich auf demselben Weg hin und her, und der Rang der Matrix ist gleich eins. Sie können so viele kollineare Vektoren nehmen, wie Sie möchten, sagen wir 100, ihre Koordinaten in eine „Einhundert mal drei“-Matrix einfügen, und der Rang eines solchen Wolkenkratzers bleibt immer noch eins.

Machen wir uns mit der Matrix und ihren Zeilen vertraut linear unabhängig. Zur Konstruktion einer dreidimensionalen Basis eignet sich ein Paar nichtkollinearer Vektoren. Der Rang dieser Matrix ist zwei.

Welchen Rang hat die Matrix? Die Linien scheinen nicht proportional zu sein... also sind es theoretisch drei. Der Rang dieser Matrix beträgt jedoch auch zwei. Ich habe die ersten beiden Zeilen hinzugefügt und das Ergebnis unten geschrieben, d.h. linear ausgedrückt die dritte Zeile durch die ersten beiden. Geometrisch entsprechen die Zeilen der Matrix den Koordinaten von drei koplanare Vektoren, und unter diesen dreien gibt es ein Paar nichtkollinearer Kameraden.

Wie du sehen kannst, lineare Abhängigkeit in der betrachteten Matrix ist nicht offensichtlich, und heute werden wir lernen, wie man es ans Licht bringt.

Ich denke, viele Leute können den Rang einer Matrix erraten!

Betrachten Sie eine Matrix, deren Zeilen linear unabhängig. Es bilden sich Vektoren affine Basis, und der Rang dieser Matrix ist drei.

Wie Sie wissen, wird jeder vierte, fünfte und zehnte Vektor des dreidimensionalen Raums linear durch Basisvektoren ausgedrückt. Wenn Sie also einer Matrix eine beliebige Anzahl von Zeilen hinzufügen, ändert sich deren Rang wird immer noch gleich drei sein.

Ähnliche Überlegungen können für Matrizen größerer Größe durchgeführt werden (natürlich ohne geometrische Bedeutung).

Definition : Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen. Oder: Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten. Ja, ihre Anzahl ist immer gleich.

Aus dem oben Gesagten ergibt sich auch ein wichtiger praktischer Leitfaden: Der Rang der Matrix überschreitet nicht ihre Mindestdimension. Zum Beispiel in der Matrix vier Zeilen und fünf Spalten. Die Mindestdimension beträgt vier, daher wird der Rang dieser Matrix den Wert 4 sicherlich nicht überschreiten.

Bezeichnungen: In der Welttheorie und -praxis gibt es keinen allgemein anerkannten Standard für die Bezeichnung des Rangs einer Matrix; am häufigsten findet man: - Wie man sagt, schreibt ein Engländer das eine, ein Deutscher das andere. Lassen Sie uns daher, basierend auf dem berühmten Witz über die amerikanische und russische Hölle, den Rang der Matrix mit einem einheimischen Wort bezeichnen. Zum Beispiel: . Und wenn die Matrix „unbenannt“ ist, von denen es viele gibt, dann können Sie einfach schreiben.

Wie finde ich den Rang einer Matrix mithilfe von Minderjährigen?

Wenn meine Großmutter eine fünfte Spalte in ihrer Matrix hätte, müsste sie einen weiteren Minor 4. Ordnung („blau“, „himbeer“ + 5. Spalte) berechnen.

Abschluss: Die maximale Ordnung eines Molls ungleich Null ist drei, was bedeutet.

Vielleicht hat nicht jeder diesen Satz vollständig verstanden: Ein Minderjähriger 4. Ordnung ist gleich Null, aber unter den Minderjährigen 3. Ordnung gab es eins ungleich Null – also die maximale Ordnung ungleich Null Moll und gleich drei.

Es stellt sich die Frage, warum nicht gleich die Determinante berechnen? Nun, erstens ist die Matrix bei den meisten Aufgaben nicht quadratisch, und zweitens wird die Aufgabe höchstwahrscheinlich abgelehnt, selbst wenn Sie einen Wert ungleich Null erhalten, da es sich normalerweise um eine Standardlösung „von unten nach oben“ handelt. Und im betrachteten Beispiel erlaubt die Nulldeterminante 4. Ordnung die Aussage, dass der Rang der Matrix nur kleiner als vier ist.

Ich muss zugeben, dass ich mir das Problem ausgedacht habe, das ich selbst analysiert habe, um die Methode der Grenzüberschreitung bei Minderjährigen besser zu erklären. In der Praxis ist alles einfacher:

Beispiel 2

Ermitteln Sie den Rang einer Matrix mithilfe der Edge-Minor-Methode

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wann arbeitet der Algorithmus am schnellsten? Kehren wir zur gleichen Vier-mal-Vier-Matrix zurück. . Offensichtlich ist die Lösung im Fall von „gut“ die kürzeste Eckminderjährige:

Und wenn, dann, sonst – .

Das Denken ist überhaupt nicht hypothetisch – es gibt viele Beispiele, bei denen sich die ganze Angelegenheit nur auf kantige Minderjährige beschränkt.

In manchen Fällen ist jedoch eine andere Methode effektiver und vorzuziehen:

Wie finde ich den Rang einer Matrix mit der Gaußschen Methode?

Der Absatz richtet sich an Leser, die ihn bereits kennen Gaußsche Methode und haben ihn mehr oder weniger in die Finger bekommen.

Aus technischer Sicht ist die Methode nicht neu:

1) Mithilfe elementarer Transformationen reduzieren wir die Matrix auf eine schrittweise Form;

2) Der Rang der Matrix ist gleich der Anzahl der Zeilen.

Das ist absolut klar Die Verwendung der Gaußschen Methode ändert den Rang der Matrix nicht, und das Wesentliche hier ist äußerst einfach: Gemäß dem Algorithmus werden bei elementaren Transformationen alle unnötigen proportionalen (linear abhängigen) Zeilen identifiziert und entfernt, was zu einem „trockenen Rückstand“ führt – der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen.

Lassen Sie uns die altbekannte Matrix mit den Koordinaten von drei kollinearen Vektoren transformieren:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

(2) Nulllinien werden entfernt.

Es bleibt also eine Zeile übrig, also . Das geht natürlich viel schneller, als neun Null-Molls 2. Ordnung zu berechnen und erst dann eine Schlussfolgerung zu ziehen.

Ich erinnere Sie daran algebraische Matrix Es kann nichts geändert werden und Transformationen werden nur zum Zweck der Rangbestimmung durchgeführt! Bleiben wir übrigens noch einmal bei der Frage: Warum nicht? Quellmatrix trägt Informationen, die sich grundlegend von den Informationen der Matrix und Zeile unterscheiden. In einigen mathematischen Modellen (keine Übertreibung) kann der Unterschied in einer Zahl über Leben und Tod entscheiden. ...Ich erinnerte mich an Mathematiklehrer an Grund- und weiterführenden Schulen, die die Noten wegen der geringsten Ungenauigkeit oder Abweichung vom Algorithmus gnadenlos um 1-2 Punkte kürzten. Und es war furchtbar enttäuschend, als es statt einer scheinbar garantierten „Eins“ „gut“ oder sogar schlechter ausfiel. Die Einsicht kam erst viel später: Wie sonst sollte man einem Menschen Satelliten, Atomsprengköpfe und Kraftwerke anvertrauen? Aber keine Sorge, ich arbeite nicht in diesen Bereichen =)

Kommen wir zu sinnvolleren Aufgaben, bei denen wir uns unter anderem mit wichtigen Rechentechniken vertraut machen Gauß-Methode:

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Rang einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen

Lösung: Es wird eine „vier mal fünf“-Matrix angegeben, was bedeutet, dass ihr Rang mit Sicherheit nicht mehr als 4 beträgt.

In der ersten Spalte gibt es keine 1 oder –1, daher sind zusätzliche Aktionen erforderlich, um mindestens eine Einheit zu erhalten. Im Laufe der Existenz der Site wurde mir immer wieder die Frage gestellt: „Ist es möglich, Spalten während elementarer Transformationen neu anzuordnen?“ Hier haben wir die erste und zweite Spalte neu angeordnet und alles ist in Ordnung! Bei den meisten Aufgaben, bei denen es verwendet wird Gaußsche Methode, die Spalten können tatsächlich neu angeordnet werden. ABER NICHT ERFORDERLICH. Und es geht nicht einmal um eine mögliche Verwechslung mit Variablen, sondern darum, dass diese Aktion im klassischen Kurs der höheren Mathematik traditionell nicht berücksichtigt wird, sodass ein solches Nicken SEHR schief betrachtet wird (oder sogar dazu gezwungen wird, alles zu wiederholen).

Der zweite Punkt betrifft Zahlen. Bei Ihrer Entscheidung ist es hilfreich, die folgende Faustregel zu verwenden: Elementartransformationen sollten möglichst die Matrixzahlen reduzieren. Schließlich ist es viel einfacher, mit eins, zwei, drei zu arbeiten als beispielsweise mit 23, 45 und 97. Und die erste Aktion zielt nicht nur darauf ab, eine Eins in der ersten Spalte zu erhalten, sondern auch darauf, die Zahlen zu eliminieren 7 und 11.

Erst die komplette Lösung, dann Kommentare:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –3. Und zum Heap: Die 1. Zeile wurde zur 4. Zeile addiert, multipliziert mit -1.

(2) Die letzten drei Zeilen sind proportional. Die 3. und 4. Zeile wurden entfernt, die zweite Zeile wurde an die erste Stelle verschoben.

(3) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –3.

Die auf Staffelform reduzierte Matrix besteht aus zwei Zeilen.

Antwort:

Jetzt sind Sie an der Reihe, die Vier-mal-Vier-Matrix zu quälen:

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Rang einer Matrix mit der Gaußschen Methode

Ich erinnere Sie daran Gaußsche Methode bedeutet keine eindeutige Starrheit, und Ihre Entscheidung wird höchstwahrscheinlich von meiner Entscheidung abweichen. Ein kurzes Beispiel einer Aufgabe am Ende der Lektion.

Welche Methode sollte ich verwenden, um den Rang einer Matrix zu ermitteln?

In der Praxis wird oft überhaupt nicht angegeben, mit welcher Methode der Rang ermittelt werden soll. In einer solchen Situation sollte die Bedingung analysiert werden – für einige Matrizen ist es rationaler, sie durch Minderjährige zu lösen, während es für andere viel rentabler ist, elementare Transformationen anzuwenden:

Beispiel 5

Finden Sie den Rang einer Matrix

Lösung: Die erste Methode verschwindet irgendwie sofort =)

Etwas weiter oben habe ich empfohlen, die Spalten der Matrix nicht zu berühren, aber wenn es eine Nullspalte oder proportionale/zusammenfallende Spalten gibt, lohnt es sich trotzdem, sie zu amputieren:

(1) Die fünfte Spalte ist Null, entfernen Sie sie aus der Matrix. Somit beträgt der Rang der Matrix nicht mehr als vier. Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert. Dies ist ein weiteres charakteristisches Merkmal der Gauß-Methode, das die folgende Aktion in einen angenehmen Spaziergang verwandelt:

(2) Zu allen Zeilen, beginnend mit der zweiten, wurde die erste Zeile hinzugefügt.

(3) Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert, die dritte Zeile wurde durch 2 geteilt, die vierte Zeile wurde durch 3 geteilt. Die zweite Zeile wurde zur fünften Zeile addiert und mit –1 multipliziert.

(4) Die dritte Zeile wurde zur fünften Zeile addiert, multipliziert mit –2.

(5) Die letzten beiden Zeilen sind proportional, die fünfte wird gestrichen.

Das Ergebnis sind 4 Zeilen.

Antwort:

Fünfstöckiges Standardgebäude für unabhängiges Lernen:

Beispiel 6

Finden Sie den Rang einer Matrix

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Dabei ist zu beachten, dass der Begriff „Matrixrang“ in der Praxis nicht so häufig vorkommt und man bei den meisten Problemen auch ganz darauf verzichten kann. Aber es gibt eine Aufgabe, bei der das betreffende Konzept die Hauptfigur ist, und wir schließen den Artikel mit dieser praktischen Anwendung ab:

Wie untersucht man ein System linearer Gleichungen auf Konsistenz?

Oft zusätzlich zur Lösung Systeme linearer Gleichungen Je nach Bedingung ist zunächst die Kompatibilität zu prüfen, also zu beweisen, dass es überhaupt eine Lösung gibt. Eine Schlüsselrolle bei einer solchen Überprüfung spielt Kronecker-Capelli-Theorem, die ich in der notwendigen Form formulieren werde:

Wenn Rang Systemmatrizen gleich dem Rang erweitertes Matrixsystem, dann ist das System konsistent, und wenn diese Zahl mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt, dann ist die Lösung eindeutig.

Um das System auf Kompatibilität zu untersuchen, muss daher die Gleichheit überprüft werden , Wo - Systemmatrix(Merken Sie sich die Terminologie aus der Lektion Gauß-Methode), A - erweiterte Systemmatrix(d. h. eine Matrix mit Variablenkoeffizienten + eine Spalte mit freien Termen).

Der Rang einer Matrix ist ein wichtiges numerisches Merkmal. Das typischste Problem, bei dem der Rang einer Matrix ermittelt werden muss, ist die Überprüfung der Konsistenz eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. In diesem Artikel stellen wir das Konzept des Matrixrangs vor und betrachten Methoden, um ihn zu finden. Um das Material besser zu verstehen, werden wir die Lösungen mehrerer Beispiele im Detail analysieren.

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Bestimmung des Rangs einer Matrix und notwendiger Zusatzkonzepte.

Bevor Sie die Definition des Rangs einer Matrix aussprechen, sollten Sie das Konzept eines Minors gut verstehen. Das Finden der Minors einer Matrix setzt die Fähigkeit voraus, die Determinante zu berechnen. Daher empfehlen wir Ihnen, sich bei Bedarf an die Theorie des Artikels, die Methoden zum Ermitteln der Determinante einer Matrix und die Eigenschaften der Determinante zu erinnern.

Nehmen wir eine Matrix A der Ordnung. Sei k eine natürliche Zahl, die die kleinste der Zahlen m und n nicht überschreitet, d. h. .

Definition.

Kleinere k-te Ordnung Matrix A ist die Determinante einer quadratischen Ordnungsmatrix, die aus Elementen der Matrix A besteht, die sich in vorgewählten k Zeilen und k Spalten befinden, und die Anordnung der Elemente der Matrix A bleibt erhalten.

Mit anderen Worten, wenn wir in der Matrix A (p–k) Zeilen und (n–k) Spalten löschen und aus den verbleibenden Elementen eine Matrix erstellen und dabei die Anordnung der Elemente der Matrix A beibehalten, dann ist die Determinante von Die resultierende Matrix ist eine Nebenmatrix der Ordnung k der Matrix A.

Schauen wir uns die Definition einer Matrix-Minor anhand eines Beispiels an.

Betrachten Sie die Matrix .

Schreiben wir einige Nebenformen erster Ordnung dieser Matrix auf. Wenn wir beispielsweise die dritte Zeile und die zweite Spalte der Matrix A auswählen, entspricht unsere Auswahl einem Minor erster Ordnung . Mit anderen Worten, um dieses Nebenelement zu erhalten, haben wir die erste und zweite Zeile sowie die erste, dritte und vierte Spalte der Matrix A durchgestrichen und aus dem verbleibenden Element eine Determinante gebildet. Wenn wir die erste Zeile und die dritte Spalte der Matrix A wählen, erhalten wir einen Moll .

Lassen Sie uns das Verfahren zur Erlangung der betrachteten Minderjährigen erster Ordnung veranschaulichen
Und .

Somit sind die Minderjährigen erster Ordnung einer Matrix die Matrixelemente selbst.

Lassen Sie uns einige Minderjährige zweiter Ordnung zeigen. Wählen Sie zwei Zeilen und zwei Spalten aus. Nehmen Sie zum Beispiel die erste und zweite Zeile sowie die dritte und vierte Spalte. Mit dieser Wahl haben wir ein Nebenfach zweiter Ordnung . Dieses Moll könnte auch durch Streichen der dritten Zeile, der ersten und zweiten Spalte aus Matrix A komponiert werden.

Ein weiterer Minor zweiter Ordnung der Matrix A ist .

Lassen Sie uns die Konstruktion dieser Minderjährigen zweiter Ordnung veranschaulichen
Und .

Ebenso können Minderjährige dritter Ordnung der Matrix A gefunden werden. Da es in Matrix A nur drei Zeilen gibt, wählen wir sie alle aus. Wenn wir die ersten drei Spalten dieser Zeilen auswählen, erhalten wir ein Moll dritter Ordnung

Sie kann auch durch Durchstreichen der letzten Spalte der Matrix A erstellt werden.

Ein weiteres Moll dritter Ordnung ist

erhalten durch Löschen der dritten Spalte der Matrix A.

Hier ist ein Bild, das den Bau dieser Minderjährigen dritter Ordnung zeigt
Und .

Für eine gegebene Matrix A gibt es keine Minderjährigen mit einer höheren Ordnung als der dritten, da .

Wie viele Minderjährige k-ter Ordnung gibt es in einer Matrix A der Ordnung?

Die Anzahl der Minderjährigen der Ordnung k kann wie folgt berechnet werden: Und - die Anzahl der Kombinationen von p bis k bzw. von n bis k.

Wie können wir alle Minderjährigen der Ordnung k der Matrix A der Ordnung p durch n konstruieren?

Wir benötigen viele Matrixzeilennummern und viele Spaltennummern. Wir schreiben alles auf Kombinationen von p Elementen durch k(Sie entsprechen den ausgewählten Zeilen der Matrix A, wenn ein Minor der Ordnung k konstruiert wird). Zu jeder Kombination von Zeilennummern fügen wir nacheinander alle Kombinationen von n Elementen mit k Spaltennummern hinzu. Diese Sätze von Kombinationen von Zeilennummern und Spaltennummern der Matrix A helfen bei der Zusammenstellung aller Minderjährigen der Ordnung k.

Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Finden Sie alle Minderjährigen zweiter Ordnung der Matrix.

Lösung.

Da die Ordnung der ursprünglichen Matrix 3 mal 3 ist, beträgt die Gesamtzahl der Minderjährigen zweiter Ordnung .

Schreiben wir alle Kombinationen von 3 bis 2 Zeilennummern der Matrix A auf: 1, 2; 1, 3 und 2, 3. Alle Kombinationen von 3 bis 2 Spaltennummern sind 1, 2; 1, 3 und 2, 3.

Nehmen wir die erste und zweite Zeile der Matrix A. Durch Auswahl der ersten und zweiten Spalte, der ersten und dritten Spalte, der zweiten und dritten Spalte für diese Zeilen erhalten wir jeweils die Nebenwerte

Für die erste und dritte Zeile haben wir eine ähnliche Auswahl an Spalten

Es müssen noch die erste und zweite, erste und dritte, zweite und dritte Spalte zur zweiten und dritten Zeile hinzugefügt werden:

Somit wurden alle neun Nebenstrukturen zweiter Ordnung der Matrix A gefunden.

Jetzt können wir mit der Bestimmung des Rangs der Matrix fortfahren.

Definition.

Matrixrang ist die höchste Ordnung des Nicht-Null-Minor der Matrix.

Der Rang der Matrix A wird als Rank(A) bezeichnet. Man findet auch die Bezeichnungen Rg(A) oder Rang(A) .

Aus den Definitionen von Matrixrang und Matrixminor können wir schließen, dass der Rang einer Nullmatrix gleich Null ist und der Rang einer Nicht-Null-Matrix nicht kleiner als eins ist.

Den Rang einer Matrix per Definition ermitteln.

Die erste Methode zum Ermitteln des Rangs einer Matrix lautet also Methode zur Zählung von Minderjährigen. Diese Methode basiert auf der Bestimmung des Rangs der Matrix.

Wir müssen den Rang einer Matrix A der Ordnung ermitteln.

Lassen Sie uns kurz beschreiben Algorithmus Lösung dieses Problems durch Aufzählung von Minderjährigen.

Wenn es mindestens ein Element der Matrix gibt, das von Null verschieden ist, dann ist der Rang der Matrix mindestens gleich eins (da es ein Nebenelement erster Ordnung gibt, das ungleich Null ist).

Als nächstes schauen wir uns die Minderjährigen zweiter Ordnung an. Wenn alle Minderjährigen zweiter Ordnung gleich Null sind, dann ist der Rang der Matrix gleich Eins. Wenn es mindestens einen Nebenwert zweiter Ordnung ungleich Null gibt, zählen wir die Nebenwerte dritter Ordnung auf, und der Rang der Matrix ist mindestens gleich zwei.

Wenn in ähnlicher Weise alle Minderjährigen dritter Ordnung Null sind, beträgt der Rang der Matrix zwei. Wenn es mindestens einen von Null verschiedenen Moll dritter Ordnung gibt, beträgt der Rang der Matrix mindestens drei, und wir fahren mit der Aufzählung von Molls vierter Ordnung fort.

Beachten Sie, dass der Rang der Matrix die kleinste der Zahlen p und n nicht überschreiten kann.

Beispiel.

Finden Sie den Rang der Matrix .

Lösung.

Da die Matrix ungleich Null ist, ist ihr Rang nicht kleiner als eins.

Moll zweiter Ordnung von Null verschieden ist, daher beträgt der Rang der Matrix A mindestens zwei. Wir fahren mit der Aufzählung von Minderjährigen dritter Ordnung fort. Insgesamt Dinge.

Alle Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null. Daher ist der Rang der Matrix zwei.

Antwort:

Rang(A) = 2 .

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe der Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen.

Es gibt andere Methoden zum Ermitteln des Rangs einer Matrix, mit denen Sie das Ergebnis mit weniger Rechenaufwand erhalten können.

Eine solche Methode ist Edge-Moll-Methode.

Lasst uns damit umgehen Konzept des Randmolls.

Man sagt, dass ein Neben-M ok der (k+1)-ten Ordnung der Matrix A an ein Neben-M der Ordnung k der Matrix A grenzt, wenn die dem Neben-M ok entsprechende Matrix die dem Neben-M ok entsprechende Matrix „enthält“. M .

Mit anderen Worten, die Matrix, die dem angrenzenden Nebenfach M entspricht, wird aus der Matrix erhalten, die dem angrenzenden Nebenfach M ok entspricht, indem die Elemente einer Zeile und einer Spalte gelöscht werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix und nehmen Sie ein Nebenfach zweiter Ordnung. Schreiben wir alle angrenzenden Minderjährigen auf:

Die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen wird durch den folgenden Satz gerechtfertigt (wir präsentieren seine Formulierung ohne Beweis).

Satz.

Wenn alle Nebenstellen, die an die Nebenstelle k-ter Ordnung einer Matrix A der Ordnung p mal n grenzen, gleich Null sind, dann sind alle Nebenstellen der Ordnung (k+1) der Matrix A gleich Null.

Um den Rang einer Matrix zu ermitteln, ist es daher nicht notwendig, alle Minderjährigen durchzugehen, die ausreichend angrenzend sind. Die Anzahl der Nebenstellen, die an die Nebenstellen der k-ten Ordnung einer Matrix A der Ordnung grenzen, wird durch die Formel ermittelt . Beachten Sie, dass es nicht mehr Minderjährige gibt, die an den Minderjährigen k-ter Ordnung der Matrix A grenzen, als es Minderjährige (k + 1)-Ordnung der Matrix A gibt. Daher ist in den meisten Fällen die Methode der Eingrenzung von Minderjährigen lohnender als die bloße Aufzählung aller Minderjährigen.

Fahren wir mit der Ermittlung des Rangs der Matrix fort, indem wir die Methode der Begrenzung von Minderjährigen verwenden. Lassen Sie uns kurz beschreiben Algorithmus diese Methode.

Wenn die Matrix A ungleich Null ist, nehmen wir als Minor erster Ordnung jedes Element der Matrix A, das von Null verschieden ist. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen an. Wenn sie alle gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich Eins. Wenn es mindestens einen angrenzenden Minor ungleich Null gibt (seine Reihenfolge ist zwei), dann betrachten wir seine angrenzenden Minor. Wenn sie alle Null sind, dann ist Rang(A) = 2. Wenn mindestens ein angrenzender Minor ungleich Null ist (seine Ordnung ist drei), dann betrachten wir seine angrenzenden Minor. Usw. Als Ergebnis gilt Rank(A) = k, wenn alle angrenzenden Minor-Werte der (k + 1)-ten Ordnung der Matrix A gleich Null sind, oder Rank(A) = min(p, n), wenn es ein nicht- null Moll, das an ein Moll der Ordnung grenzt (min( p, n) – 1) .

Schauen wir uns anhand eines Beispiels die Methode der Randeingrenzung von Minderjährigen an, um den Rang einer Matrix zu ermitteln.

Beispiel.

Finden Sie den Rang der Matrix durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen.

Lösung.

Da das Element a 1 1 der Matrix A ungleich Null ist, betrachten wir es als Nebenelement erster Ordnung. Beginnen wir mit der Suche nach einem angrenzenden Moll, das von Null verschieden ist:

Es wird ein Kantenminor zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen (ihre) an Dinge):

Alle an den Minor zweiter Ordnung angrenzenden Minors sind gleich Null, daher ist der Rang der Matrix A gleich zwei.

Antwort:

Rang(A) = 2 .

Beispiel.

Finden Sie den Rang der Matrix Verwendung angrenzender Minderjähriger.

Lösung.

Als von Null verschiedenes Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 1 der Matrix A. Das umgebende Moll zweiter Ordnung ungleich Null. Dieser Moll wird von einem Moll dritter Ordnung begrenzt
. Da sie ungleich Null ist und es für sie kein einziges angrenzendes Minor gibt, ist der Rang der Matrix A gleich drei.

Antwort:

Rang(A) = 3 .

Ermittlung des Rangs mittels elementarer Matrixtransformationen (Gauss-Methode).

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, den Rang einer Matrix zu ermitteln.

Die folgenden Matrixtransformationen werden als elementar bezeichnet:

• Neuanordnen von Zeilen (oder Spalten) einer Matrix;
• Multiplizieren aller Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer beliebigen Zahl k, die von Null verschieden ist;
• Addieren der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix zu den Elementen einer Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl k.

Matrix B heißt äquivalent zu Matrix A, wenn B aus A durch endlich viele Elementartransformationen gewonnen wird. Die Äquivalenz von Matrizen wird durch das Symbol „~“ gekennzeichnet, also geschrieben A ~ B.

Das Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe elementarer Matrixtransformationen basiert auf der Aussage: Wenn Matrix B aus Matrix A mithilfe einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen erhalten wird, dann gilt Rang(A) = Rang(B).

Die Gültigkeit dieser Aussage ergibt sich aus den Eigenschaften der Determinante der Matrix:

• Wenn die Zeilen (oder Spalten) einer Matrix neu angeordnet werden, ändert sich das Vorzeichen ihrer Determinante. Wenn er gleich Null ist, bleibt er beim Neuanordnen der Zeilen (Spalten) gleich Null.
• Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer beliebigen Zahl k ungleich Null multipliziert werden, ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix multipliziert mit k. Wenn die Determinante der ursprünglichen Matrix gleich Null ist, ist nach der Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte mit der Zahl k auch die Determinante der resultierenden Matrix gleich Null.
• Das Hinzufügen der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix zu den Elementen einer bestimmten Zeile (Spalte) der Matrix, multipliziert mit einer bestimmten Zahl k, ändert deren Determinante nicht.

Die Essenz der Methode der Elementartransformationen besteht darin, die Matrix, deren Rang wir finden müssen, mithilfe elementarer Transformationen auf eine trapezförmige (in einem bestimmten Fall auf eine obere dreieckige) zu reduzieren.

Warum wird das gemacht? Der Rang von Matrizen dieses Typs ist sehr einfach zu ermitteln. Sie entspricht der Anzahl der Zeilen, die mindestens ein Element ungleich Null enthalten. Und da sich der Rang der Matrix bei der Durchführung elementarer Transformationen nicht ändert, entspricht der resultierende Wert dem Rang der ursprünglichen Matrix.

Wir geben Abbildungen von Matrizen, von denen eine nach Transformationen erhalten werden sollte. Ihr Aussehen hängt von der Reihenfolge der Matrix ab.

Diese Abbildungen sind Vorlagen, in die wir die Matrix A umwandeln.

Lassen Sie uns beschreiben Methodenalgorithmus.

Wir müssen den Rang einer Nicht-Null-Matrix A der Ordnung ermitteln (p kann gleich n sein).

Also, . Multiplizieren wir alle Elemente der ersten Zeile der Matrix A mit . In diesem Fall erhalten wir eine äquivalente Matrix mit der Bezeichnung A (1):

Zu den Elementen der zweiten Zeile der resultierenden Matrix A (1) addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . Zu den Elementen der dritten Zeile addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . Und so weiter bis zur p-ten Zeile. Lassen Sie uns eine äquivalente Matrix erhalten und sie mit A (2) bezeichnen:

Wenn alle Elemente der resultierenden Matrix, die sich in den Zeilen von der zweiten bis zur p-ten befinden, gleich Null sind, ist der Rang dieser Matrix gleich eins und folglich ist der Rang der ursprünglichen Matrix gleich zu einem.

Wenn in den Zeilen vom zweiten bis zum p-ten mindestens ein Element ungleich Null vorhanden ist, führen wir weiterhin Transformationen durch. Darüber hinaus verfahren wir genauso, jedoch nur mit dem in der Abbildung markierten Teil der Matrix A (2).

Wenn , dann ordnen wir die Zeilen und (oder) Spalten der Matrix A (2) neu an, sodass das „neue“ Element ungleich Null wird.