Anwendung der Funktionstheorie einer komplexen Variablen. Funktionen einer komplexen Variablen. Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen. Cauchy-Riemann-Bedingungen

Funktionen einer komplexen Variablen.
Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen.

Dieser Artikel eröffnet eine Reihe von Lektionen, in denen ich typische Probleme im Zusammenhang mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen betrachte. Um die Beispiele erfolgreich zu meistern, müssen Sie über Grundkenntnisse komplexer Zahlen verfügen. Um das Material zu festigen und zu wiederholen, besuchen Sie einfach die Seite. Sie benötigen auch die Fähigkeiten zum Finden Partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Hier sind sie, diese partiellen Ableitungen ... selbst jetzt war ich ein wenig überrascht, wie oft sie vorkommen ...

Das Thema, das wir zu untersuchen beginnen, stellt keine besonderen Schwierigkeiten dar und bei den Funktionen einer komplexen Variablen ist im Prinzip alles klar und zugänglich. Die Hauptsache ist, sich an die Grundregel zu halten, die ich experimentell abgeleitet habe. Weiter lesen!

Konzept einer Funktion einer komplexen Variablen

Lassen Sie uns zunächst unser Wissen über die Schulfunktion einer Variablen auffrischen:

Funktion mit einer einzelnen Variablen ist eine Regel, nach der jeder Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) genau einem Wert der Funktion entspricht. Natürlich sind „x“ und „y“ reelle Zahlen.

Im komplexen Fall wird die funktionale Abhängigkeit ähnlich spezifiziert:

Einwertige Funktion einer komplexen Variablen- Das ist die Regel, nach der jeder umfassend Der Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) entspricht eins und nur eins umfassend Funktionswert. Die Theorie berücksichtigt auch mehrwertige und einige andere Arten von Funktionen, aber der Einfachheit halber werde ich mich auf eine Definition konzentrieren.

Was ist der Unterschied zwischen einer komplexen Variablenfunktion?

Der Hauptunterschied: komplexe Zahlen. Ich bin nicht ironisch. Solche Fragen versetzen die Menschen oft in Erstaunen; am Ende des Artikels erzähle ich Ihnen eine lustige Geschichte. Im Unterricht Komplexe Zahlen für Dummies Wir haben eine komplexe Zahl in der Form betrachtet. Seitdem ist der Buchstabe „z“ geworden Variable, dann bezeichnen wir es wie folgt: , während „x“ und „y“ unterschiedlich sein können gültig Bedeutungen. Grob gesagt hängt die Funktion einer komplexen Variablen von den Variablen und ab, die „normale“ Werte annehmen. Aus dieser Tatsache ergibt sich logischerweise folgender Punkt:

Die Funktion einer komplexen Variablen kann wie folgt geschrieben werden:
, wobei und zwei Funktionen von zwei sind gültig Variablen.

Die Funktion wird aufgerufen echter Teil Funktionen
Die Funktion wird aufgerufen Imaginärteil Funktionen

Das heißt, die Funktion einer komplexen Variablen hängt von zwei reellen Funktionen und ab. Um abschließend alles zu verdeutlichen, schauen wir uns praktische Beispiele an:

Beispiel 1

Lösung: Die unabhängige Variable „zet“ wird, wie Sie sich erinnern, in der Form geschrieben, also:

(1) Wir haben ersetzt.

(2) Für den ersten Term wurde die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet. Im Begriff wurden die Klammern geöffnet.

(3) Sorgfältig quadriert, das nicht vergessen

(4) Neuordnung der Begriffe: Zuerst schreiben wir die Begriffe neu , in dem es keine imaginäre Einheit gibt(erste Gruppe), dann die Begriffe, wo es sie gibt (zweite Gruppe). Es ist zu beachten, dass ein Mischen der Begriffe nicht erforderlich ist und dieser Schritt übersprungen werden kann (indem man ihn tatsächlich mündlich durchführt).

(5) Für die zweite Gruppe nehmen wir es aus Klammern.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass unsere Funktion in der Form dargestellt wurde

Antwort:
– Realteil der Funktion.
– Imaginärteil der Funktion.

Um welche Funktionen handelte es sich dabei? Die häufigsten Funktionen von zwei Variablen, aus denen Sie solche finden können, sind beliebt partielle Ableitungen. Ohne Gnade werden wir es finden. Aber etwas später.

Kurz gesagt lässt sich der Algorithmus für das gelöste Problem wie folgt schreiben: Wir setzen , in die ursprüngliche Funktion ein, nehmen Vereinfachungen vor und teilen alle Terme in zwei Gruppen ein – ohne imaginäre Einheit (Realteil) und mit imaginärer Einheit (Imaginärteil). .

Beispiel 2

Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bevor Sie sich mit gezogenen Steinen auf der komplexen Ebene in die Schlacht stürzen, möchte ich Ihnen die wichtigsten Ratschläge zu diesem Thema geben:

SEIEN SIE AUFMERKSAM! Natürlich muss man überall vorsichtig sein, aber bei komplexen Zahlen sollte man vorsichtiger denn je sein! Denken Sie daran, die Klammern vorsichtig zu öffnen, damit nichts verloren geht. Nach meinen Beobachtungen ist der häufigste Fehler der Verlust eines Schildes. Beeil dich nicht!

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Jetzt der Würfel. Mit der abgekürzten Multiplikationsformel leiten wir ab:
.

Formeln sind in der Praxis sehr praktisch, da sie den Lösungsprozess deutlich beschleunigen.

Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen.

Ich habe zwei Neuigkeiten: gute und schlechte. Ich fange mit dem Guten an. Für eine Funktion einer komplexen Variablen gelten die Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Die Ableitung erfolgt also genauso wie bei einer Funktion einer reellen Variablen.

Die schlechte Nachricht ist, dass es für viele komplexe Variablenfunktionen überhaupt keine Ableitung gibt und man sie herausfinden muss ist es differenzierbar? die eine oder andere Funktion. Und herauszufinden, wie sich Ihr Herz anfühlt, ist mit zusätzlichen Problemen verbunden.

Betrachten wir die Funktion einer komplexen Variablen. Damit diese Funktion differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend:

1) Es existieren also partielle Ableitungen erster Ordnung. Vergessen Sie diese Notationen gleich, da in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen traditionell eine andere Notation verwendet wird: .

2) Um das sogenannte durchzuführen Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Nur in diesem Fall existiert die Ableitung!

Beispiel 3

Lösung ist in drei aufeinanderfolgende Phasen unterteilt:

1) Finden wir den Real- und Imaginärteil der Funktion. Diese Aufgabe wurde in früheren Beispielen besprochen, daher schreibe ich sie kommentarlos auf:

Seit damals:

Auf diese Weise:

– Imaginärteil der Funktion.

Lassen Sie mich noch einen technischen Punkt ansprechen: in welcher Reihenfolge Schreiben Sie die Begriffe im Real- und Imaginärteil? Ja, im Prinzip spielt es keine Rolle. Der Realteil kann beispielsweise so geschrieben werden: , und das imaginäre – so: .

2) Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Es gibt zwei davon.

Beginnen wir mit der Überprüfung des Zustands. Wir finden partielle Ableitungen:

Somit ist die Bedingung erfüllt.

Die gute Nachricht ist natürlich, dass partielle Ableitungen fast immer sehr einfach sind.

Wir prüfen die Erfüllung der zweiten Bedingung:

Das Ergebnis ist das gleiche, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen, d. h. die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, daher ist die Funktion differenzierbar.

3) Finden wir die Ableitung der Funktion. Auch die Ableitung ist sehr einfach und wird nach den üblichen Regeln gefunden:

Die imaginäre Einheit wird bei der Differentiation als Konstante betrachtet.

Antwort: – Realteil, – Imaginärteil.
Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, die Ableitung zu finden, sie werden natürlich seltener verwendet, aber die Informationen werden für das Verständnis der zweiten Lektion nützlich sein – Wie finde ich eine Funktion einer komplexen Variablen?

Die Ableitung kann mit der Formel ermittelt werden:

In diesem Fall:

Auf diese Weise

Wir müssen das inverse Problem lösen – im resultierenden Ausdruck müssen wir isolieren. Dazu ist in den Begriffen und außerhalb der Klammern Folgendes erforderlich:

Der umgekehrte Vorgang ist, wie viele bemerkt haben, etwas schwieriger durchzuführen; zur Kontrolle ist es immer besser, den Ausdruck auf einem Entwurf zu nehmen oder die Klammern mündlich wieder zu öffnen und sicherzustellen, dass das Ergebnis genau ist

Spiegelformel zum Finden der Ableitung:

In diesem Fall: , Deshalb:

Beispiel 4

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, ermitteln Sie die Ableitung der Funktion.

Eine kurze Lösung und ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Sind die Cauchy-Riemann-Bedingungen immer erfüllt? Theoretisch werden sie nicht häufiger erfüllt als erfüllt. Aber in praktischen Beispielen kann ich mich an keinen Fall erinnern, in dem sie nicht erfüllt waren =) Wenn Ihre partiellen Ableitungen also „nicht konvergieren“, können Sie mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Machen wir unsere Funktionen komplizierter:

Beispiel 5

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung

Lösung: Der Lösungsalgorithmus bleibt vollständig erhalten, am Ende wird jedoch ein neuer Punkt hinzugefügt: das Finden der Ableitung an einem Punkt. Für den Würfel wurde die erforderliche Formel bereits abgeleitet:

Definieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Funktion:

Achtung und nochmal Aufmerksamkeit!

Seit damals:


Auf diese Weise:
– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Überprüfung der zweiten Bedingung:

Das Ergebnis ist das gleiche, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen, d. h. die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, daher ist die Funktion differenzierbar:

Berechnen wir den Wert der Ableitung am gewünschten Punkt:

Antwort:, , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt,

Funktionen mit Würfeln sind weit verbreitet, deshalb hier ein Beispiel zur Verdeutlichung:

Beispiel 6

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung.

Lösung und Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

In der Theorie der komplexen Analysis werden auch andere Funktionen eines komplexen Arguments definiert: Exponent, Sinus, Kosinus usw. Diese Funktionen haben ungewöhnliche und sogar bizarre Eigenschaften – und das ist wirklich interessant! Ich möchte es Ihnen wirklich sagen, aber hier handelt es sich zufälligerweise nicht um ein Nachschlagewerk oder Lehrbuch, sondern um ein Lösungsbuch, daher werde ich das gleiche Problem mit einigen allgemeinen Funktionen betrachten.

Zunächst zum sogenannten Eulers Formeln:

Für jeden gültig Für Zahlen gelten folgende Formeln:

Sie können es auch als Referenzmaterial in Ihr Notizbuch kopieren.

Streng genommen gibt es nur eine Formel, aber der Einfachheit halber schreibt man in der Regel auch einen Sonderfall mit einem Minus im Exponenten. Der Parameter muss kein einzelner Buchstabe sein; es kann ein komplexer Ausdruck oder eine Funktion sein, wichtig ist nur, dass sie akzeptiert werden nur gültig Bedeutungen. Eigentlich werden wir das jetzt sehen:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung.

Lösung: Die Generallinie der Partei bleibt unerschütterlich – es gilt, den realen und den imaginären Teil der Funktion zu unterscheiden. Ich werde eine detaillierte Lösung geben und jeden Schritt unten kommentieren:

Seit damals:

(1) Ersetzen Sie stattdessen „z“.

(2) Nach der Substitution müssen Sie den Real- und den Imaginärteil auswählen zuerst im Indikator Aussteller. Öffnen Sie dazu die Klammern.

(3) Wir gruppieren den Imaginärteil des Indikators und setzen die Imaginäreinheit aus Klammern.

(4) Wir verwenden die Schulaktion mit Abschlüssen.

(5) Für den Multiplikator verwenden wir die Eulersche Formel und .

(6) Öffnen Sie die Klammern, was zu Folgendem führt:

– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Weitere Aktionen sind Standard; überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Beispiel 9

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Sei es so, wir werden die Ableitung nicht finden.

Lösung: Der Lösungsalgorithmus ist den beiden vorherigen Beispielen sehr ähnlich, es gibt jedoch sehr wichtige Punkte, daher werde ich die Anfangsphase noch einmal Schritt für Schritt kommentieren:

Seit damals:

1) Ersetzen Sie stattdessen „z“.

(2) Zuerst wählen wir den Real- und Imaginärteil aus im Sinus. Zu diesem Zweck öffnen wir die Klammern.

(3) Wir verwenden die Formel und .

(4) Verwendung Parität des hyperbolischen Kosinus: Und Kuriosität des hyperbolischen Sinus: . Obwohl Hyperboliken nicht von dieser Welt sind, erinnern sie in vielerlei Hinsicht an ähnliche trigonometrische Funktionen.

Zusammenfassend:
– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Aufmerksamkeit! Das Minuszeichen bezieht sich auf den Imaginärteil, und wir sollten ihn auf keinen Fall verlieren! Zur besseren Veranschaulichung kann das oben erhaltene Ergebnis wie folgt umgeschrieben werden:

Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Antwort:, , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Meine Damen und Herren, lassen Sie es uns selbst herausfinden:

Beispiel 10

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Ich habe bewusst schwierigere Beispiele gewählt, weil scheinbar jeder mit etwas zurechtkommt, etwa mit geschälten Erdnüssen. Gleichzeitig schulen Sie Ihre Aufmerksamkeit! Nussknacker am Ende der Lektion.

Nun, abschließend werde ich mir ein weiteres interessantes Beispiel ansehen, bei dem ein komplexes Argument im Nenner steht. Das ist in der Praxis schon ein paar Mal passiert, schauen wir uns etwas Einfaches an. Äh, ich werde alt...

Beispiel 11

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Lösung: Auch hier ist es notwendig, zwischen Real- und Imaginärteil der Funktion zu unterscheiden.
Wenn, dann

Es stellt sich die Frage, was zu tun ist, wenn „Z“ im Nenner steht?

Alles ist einfach – das Standardmodell hilft Methode zur Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck, es wurde bereits in den Beispielen der Lektion verwendet Komplexe Zahlen für Dummies. Erinnern wir uns an die Schulformel. Wir haben es bereits im Nenner, was bedeutet, dass der konjugierte Ausdruck sein wird. Daher müssen Sie Zähler und Nenner multiplizieren mit: