Beispiele für Ableitungen komplexer Funktionen nach der logarithmischen Methode. Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung. Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Haben Sie das Gefühl, dass bis zur Prüfung noch viel Zeit vergeht? Ist das ein Monat? Zwei? Jahr? Die Praxis zeigt, dass ein Student eine Prüfung am besten meistert, wenn er sich schon im Vorfeld darauf vorbereitet. Im Einheitlichen Staatsexamen gibt es viele schwierige Aufgaben, die Schülern und zukünftigen Bewerbern die Erreichung höchster Punktzahlen verwehren. Sie müssen lernen, diese Hindernisse zu überwinden, und außerdem ist es nicht schwer. Sie müssen das Prinzip der Arbeit mit verschiedenen Aufgaben aus Tickets verstehen. Dann wird es mit den neuen keine Probleme geben.

Logarithmen erscheinen auf den ersten Blick unglaublich komplex, doch mit einer detaillierten Analyse wird die Situation viel einfacher. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit der höchsten Punktzahl bestehen möchten, sollten Sie das jeweilige Konzept verstehen, was wir in diesem Artikel vorschlagen.

Lassen Sie uns zunächst diese Definitionen trennen. Was ist ein Logarithmus (Log)? Dies ist ein Indikator für die Stärke, auf die die Basis angehoben werden muss, um die angegebene Zahl zu erhalten. Wenn es nicht klar ist, schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

In diesem Fall muss die Basis unten um die zweite Potenz erhöht werden, um die Zahl 4 zu erhalten.

Schauen wir uns nun das zweite Konzept an. Die Ableitung einer Funktion in beliebiger Form ist ein Konzept, das die Änderung einer Funktion an einem bestimmten Punkt charakterisiert. Allerdings handelt es sich hierbei um einen Schullehrplan, und wenn Sie mit diesen Konzepten einzeln Probleme haben, lohnt es sich, das Thema zu wiederholen.

Ableitung des Logarithmus

In den Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen zu diesem Thema können Sie mehrere Aufgaben als Beispiel nennen. Zunächst die einfachste logarithmische Ableitung. Es ist notwendig, die Ableitung der folgenden Funktion zu finden.

Wir müssen die nächste Ableitung finden

Es gibt eine spezielle Formel.

In diesem Fall ist x=u, log3x=v. Wir setzen die Werte aus unserer Funktion in die Formel ein.

Die Ableitung von x wird gleich eins sein. Der Logarithmus ist etwas schwieriger. Aber Sie werden das Prinzip verstehen, wenn Sie einfach die Werte ersetzen. Denken Sie daran, dass die Ableitung von lg x die Ableitung des dezimalen Logarithmus ist und die Ableitung von ln x die Ableitung des natürlichen Logarithmus (basierend auf e).

Setzen Sie nun einfach die resultierenden Werte in die Formel ein. Probieren Sie es selbst aus, dann prüfen wir die Antwort.

Was könnte hier für einige das Problem sein? Wir haben das Konzept des natürlichen Logarithmus eingeführt. Lassen Sie uns darüber reden und gleichzeitig herausfinden, wie wir Probleme damit lösen können. Sie werden nichts Kompliziertes sehen, insbesondere wenn Sie das Funktionsprinzip verstehen. Man sollte sich daran gewöhnen, da es in der Mathematik häufig verwendet wird (insbesondere an höheren Bildungseinrichtungen).

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Im Kern ist es die Ableitung des Logarithmus zur Basis e (eine irrationale Zahl, die ungefähr 2,7 beträgt). Tatsächlich ist ln sehr einfach und wird daher häufig in der Mathematik im Allgemeinen verwendet. Eigentlich wird es auch kein Problem sein, das Problem damit zu lösen. Es sei daran erinnert, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus zur Basis e gleich eins dividiert durch x ist. Die Lösung des folgenden Beispiels wird am aufschlussreichsten sein.

Stellen wir es uns als eine komplexe Funktion vor, die aus zwei einfachen besteht.

Es reicht aus, umzuwandeln

Wir suchen die Ableitung von u nach x

Lassen
(1)
ist eine differenzierbare Funktion der Variablen x. Betrachten wir es zunächst anhand der Wertemenge x, für die y positive Werte annimmt: . Im Folgenden werden wir zeigen, dass alle erhaltenen Ergebnisse auch für negative Werte von gelten.

In manchen Fällen ist es praktisch, die Ableitung der Funktion (1) vorher zu logarithmieren, um sie zu ermitteln
,
und dann die Ableitung berechnen. Dann gilt nach der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion:
.
Von hier
(2) .

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion wird logarithmische Ableitung genannt:
.

Logarithmische Ableitung der Funktion y = f(x) ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus dieser Funktion: (ln f(x))′.

Der Fall negativer y-Werte

Betrachten Sie nun den Fall, dass eine Variable sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann. Nehmen Sie in diesem Fall den Logarithmus des Moduls und ermitteln Sie seine Ableitung:
.
Von hier
(3) .
Das heißt, im allgemeinen Fall müssen Sie die Ableitung des Logarithmus des Moduls der Funktion ermitteln.

Beim Vergleich von (2) und (3) ergibt sich:
.
Das heißt, das formale Ergebnis der Berechnung der logarithmischen Ableitung hängt nicht davon ab, ob wir das Modulo genommen haben oder nicht. Daher müssen wir uns bei der Berechnung der logarithmischen Ableitung keine Gedanken darüber machen, welches Vorzeichen die Funktion hat.

Dieser Sachverhalt lässt sich mit komplexen Zahlen verdeutlichen. Für einige Werte von x sei es negativ: . Wenn wir nur reelle Zahlen betrachten, ist die Funktion undefiniert. Wenn wir jedoch komplexe Zahlen in Betracht ziehen, erhalten wir Folgendes:
.
Das heißt, die Funktionen und unterscheiden sich durch eine komplexe Konstante:
.
Da die Ableitung einer Konstanten also Null ist
.

Eigenschaft der logarithmischen Ableitung

Aus einer solchen Überlegung ergibt sich Folgendes Die logarithmische Ableitung ändert sich nicht, wenn Sie die Funktion mit einer beliebigen Konstante multiplizieren :
.
In der Tat, mit Eigenschaften des Logarithmus, Formeln abgeleitete Summe Und Ableitung einer Konstante, wir haben:

.

Anwendung der logarithmischen Ableitung

Es ist zweckmäßig, die logarithmische Ableitung in Fällen zu verwenden, in denen die ursprüngliche Funktion aus einem Produkt von Potenz- oder Exponentialfunktionen besteht. In diesem Fall wandelt die Logarithmusoperation das Produkt von Funktionen in deren Summe um. Dies vereinfacht die Berechnung der Ableitung.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung der Funktion:
.

Lösung

Logarithmieren wir die ursprüngliche Funktion:
.

Differenzieren wir nach der Variablen x.
In der Ableitungstabelle finden wir:
.
Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an.
;
;
;
;
(A1.1) .
Mal:

.

Also haben wir die logarithmische Ableitung gefunden:
.
Von hier aus finden wir die Ableitung der ursprünglichen Funktion:
.

Notiz

Wenn wir nur reelle Zahlen verwenden wollen, sollten wir den Logarithmus des Moduls der Originalfunktion nehmen:
.
Dann
;
.
Und wir haben Formel (A1.1). Daher hat sich am Ergebnis nichts geändert.

Antwort

Beispiel 2

Ermitteln Sie mithilfe der logarithmischen Ableitung die Ableitung der Funktion
.

Lösung

Nehmen wir Logarithmen:
(A2.1) .
Differenzieren Sie nach der Variablen x:
;
;

;
;
;
.

Mal:
.
Von hier aus erhalten wir die logarithmische Ableitung:
.

Ableitung der Originalfunktion:
.

Notiz

Hier ist die ursprüngliche Funktion nicht negativ: . Es ist definiert bei . Wenn wir nicht davon ausgehen, dass der Logarithmus für negative Werte des Arguments definiert werden kann, sollte Formel (A2.1) wie folgt geschrieben werden:
.
Weil das

Und
,
Dies hat keinen Einfluss auf das Endergebnis.

Antwort

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung
.

Lösung

Wir differenzieren mit der logarithmischen Ableitung. Nehmen wir einen Logarithmus und berücksichtigen dabei Folgendes:
(A3.1) .

Durch Differenzieren erhalten wir die logarithmische Ableitung.
;
;
;
(A3.2) .

Seit damals

.

Notiz

Führen wir die Berechnungen ohne die Annahme durch, dass der Logarithmus für negative Werte des Arguments definiert werden kann. Nehmen Sie dazu den Logarithmus des Moduls der Originalfunktion:
.
Dann gilt anstelle von (A3.1):
;

.
Beim Vergleich mit (A3.2) sehen wir, dass sich das Ergebnis nicht geändert hat.

Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir verbessern weiterhin unsere Differenzierungstechnik. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, schauen uns komplexere Ableitungen an und lernen auch neue Techniken und Tricks zum Finden einer Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten sich den Artikel ansehen Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen, wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen Alle die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, die Position „Wo sonst?“ einzunehmen. Das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind häufig in der Praxis anzutreffen.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben uns eine Reihe von Beispielen mit ausführlichen Kommentaren angesehen. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Zweige der mathematischen Analyse müssen Sie sehr häufig differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele ausführlich zu beschreiben. Deshalb werden wir das Finden von Derivaten mündlich üben. Die am besten geeigneten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster komplexer Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Differenzierungsregel komplexer Funktionen :

Beim Studium anderer Matan-Themen in der Zukunft ist eine derart detaillierte Aufzeichnung meist nicht erforderlich; es wird davon ausgegangen, dass der Student weiß, wie man solche Ableitungen auf Autopilot findet. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelt und eine angenehme Stimme fragt: „Was ist die Ableitung des Tangens zweier X?“ Darauf sollte eine fast augenblickliche und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist sofort zur eigenständigen Lösung vorgesehen.

Beispiel 1

Finden Sie die folgenden Ableitungen mündlich, in einer Aktion, zum Beispiel: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls Sie sich noch nicht daran erinnert haben). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

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Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint keine Fehler zu geben...

(1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir bilden die Ableitung der Differenz nach der Regel

(3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

(5) Bilden Sie die Ableitung des Logarithmus.

(6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich – Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Sie können sich auch verdrehen und etwas aus Klammern setzen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort genau in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Schauen wir uns ähnliche Beispiele mit Brüchen an.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann? Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Lassen Sie uns den dreistöckigen Bruchteil loswerden:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie den langen Weg gehen und die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt einen sofort in Verzweiflung – man muss die unangenehme Ableitung von einer Bruchzahl und dann auch von einer Bruchzahl nehmen.

Deshalb Vor Wie man die Ableitung eines „ausgefeilten“ Logarithmus berechnet, wird zunächst anhand bekannter Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, kopieren Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann etwa so geschrieben werden:

Lassen Sie uns die Funktion transformieren:

Finden der Ableitung:

Die Vorkonvertierung der Funktion selbst hat die Lösung erheblich vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, empfiehlt es sich immer, ihn „aufzubrechen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten finden Sie am Ende der Lektion.

Logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so schöne Musik ist, dann stellt sich die Frage: Ist es in manchen Fällen möglich, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir haben uns kürzlich ähnliche Beispiele angesehen. Was zu tun ist? Sie können nacheinander die Differenzierungsregel des Quotienten und dann die Differenzierungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass am Ende ein riesiger dreistöckiger Bruchteil entsteht, mit dem man sich überhaupt nicht befassen möchte.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten „aufhängt“:

Notiz : Weil Da eine Funktion negative Werte annehmen kann, müssen Sie im Allgemeinen Module verwenden: , die durch Differenzierung verschwinden wird. Allerdings ist auch das aktuelle Design akzeptabel, sofern es standardmäßig berücksichtigt wird Komplex Bedeutungen. Aber bei aller Strenge sollte in beiden Fällen ein Vorbehalt gemacht werden.

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Prozess im Detail beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Wir schließen beide Teile unter der Primzahl ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach; ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum steht unter dem Logarithmus ein Buchstabe „Y“?“

Tatsache ist, dass dieses „Ein-Buchstaben-Spiel“ – IST SELBST EINE FUNKTION(Wenn es nicht ganz klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und das „y“ eine interne Funktion. Und wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion :

Auf der linken Seite haben wir wie von Zauberhand eine Ableitung. Als nächstes übertragen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und nun erinnern wir uns, über welche Art von „Spieler“-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein Musterentwurf eines Beispiels dieser Art finden Sie am Ende der Lektion.

Mit der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, außerdem sind die Funktionen dort einfacher und die Verwendung der logarithmischen Ableitung ist möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt.

Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir haben diese Funktion noch nicht berücksichtigt. Eine Potenzexponentialfunktion ist eine Funktion für die Sowohl der Grad als auch die Basis hängen vom „x“ ab.. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie finde ich die Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade besprochene Technik zu verwenden – die logarithmische Ableitung. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf:

In der Regel wird auf der rechten Seite der Grad unter dem Logarithmus abgezogen:

Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite das Produkt zweier Funktionen, die wir nach der Standardformel differenzieren .

Wir finden die Ableitung; dazu schließen wir beide Teile mit Strichen ein:

Weitere Aktionen sind einfach:

Endlich:

Sollte eine Umrechnung nicht ganz klar sein, lesen Sie bitte die Erläuterungen zu Beispiel Nr. 11 noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Potenz-Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus x“ (unter dem Logarithmus ist ein weiterer Logarithmus verschachtelt). Wie wir uns erinnern, ist es beim Differenzieren besser, die Konstante sofort aus dem Ableitungszeichen zu verschieben, damit sie nicht im Weg steht; Und natürlich wenden wir die bekannte Regel an :

Wenn wir eine Exponentialfunktion der Form y = (f (x)) g (x) differenzieren oder einen umständlichen Ausdruck mit Brüchen umwandeln müssen, können wir die logarithmische Ableitung verwenden. Im Rahmen dieses Materials geben wir mehrere Beispiele für die Anwendung dieser Formel.

Um dieses Thema zu verstehen, müssen Sie wissen, wie man eine Ableitungstabelle verwendet, mit den Grundregeln der Differenzierung vertraut sind und verstehen, was eine Ableitung einer komplexen Funktion ist.

So leiten Sie die Formel für die logarithmische Ableitung ab

Um diese Formel zu erhalten, müssen Sie zunächst einen Logarithmus zur Basis e berechnen und dann die resultierende Funktion vereinfachen, indem Sie die Grundeigenschaften des Logarithmus anwenden. Anschließend müssen Sie die Ableitung der implizit angegebenen Funktion berechnen:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Beispiele für die Verwendung der Formel

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Beispiel 1

Berechnen Sie die Ableitung einer exponentiellen Potenzfunktion der Variablen x hoch x.

Lösung

Wir logarithmieren mit der angegebenen Basis und erhalten ln y = ln x x. Unter Berücksichtigung der Eigenschaften des Logarithmus kann dies ausgedrückt werden als ln y = x · ln x. Nun unterscheiden wir die linke und rechte Seite der Gleichheit und erhalten das Ergebnis:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Antwort: x x " = x x (ln x + 1)

Dieses Problem kann auf andere Weise gelöst werden, ohne die logarithmische Ableitung. Zuerst müssen wir den ursprünglichen Ausdruck umwandeln, um von der Differenzierung einer Exponentialfunktion zur Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion überzugehen, zum Beispiel:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Betrachten wir ein weiteres Problem.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Lösung

Die ursprüngliche Funktion wird als Bruch dargestellt, was bedeutet, dass wir das Problem durch Differenzierung lösen können. Allerdings ist diese Funktion recht komplex, sodass viele Transformationen erforderlich sind. Daher ist es besser, hier die logarithmische Ableitung y " = y ln (f (x))" zu verwenden. Lassen Sie uns erklären, warum diese Berechnung bequemer ist.

Beginnen wir mit der Suche nach ln(f(x)). Zur weiteren Umrechnung benötigen wir folgende Eigenschaften des Logarithmus:

• der Logarithmus eines Bruchs kann als Differenz von Logarithmen dargestellt werden;
• der Logarithmus des Produkts kann als Summe dargestellt werden;
• Wenn der Ausdruck unter dem Logarithmus eine Potenz hat, können wir ihn als Koeffizienten herausrechnen.

Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Als Ergebnis haben wir einen ziemlich einfachen Ausdruck erhalten, dessen Ableitung leicht zu berechnen ist:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Das Ergebnis muss nun in die Formel für die logarithmische Ableitung eingesetzt werden.

Antwort: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Um den Stoff zu vertiefen, studieren Sie noch ein paar der folgenden Beispiele. Hier werden nur Berechnungen mit einem Minimum an Kommentaren aufgeführt.

Beispiel 3

Gegeben sei eine Exponentialpotenzfunktion y = (x 2 + x + 1) x 3 . Berechnen Sie seine Ableitung.

Lösung:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Antwort: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Beispiel 4

Berechnen Sie die Ableitung des Ausdrucks y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Lösung

Wir wenden die Formel für die logarithmische Ableitung an.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Antwort:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

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