Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ellipse mit Brennpunkten an Punkten. Linien zweiter Ordnung. Ellipse und ihre kanonische Gleichung. Kreis

Kurven zweiter Ordnung Auf einer Ebene sind durch Gleichungen definierte Linien definiert, in denen die variablen Koordinaten vorliegen X Und j sind im zweiten Grad enthalten. Hierzu zählen die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel.

Die allgemeine Form der Kurvengleichung zweiter Ordnung lautet wie folgt:

Wo A, B, C, D, E, F- Zahlen und mindestens einer der Koeffizienten A, B, C ungleich Null.

Bei der Lösung von Problemen mit Kurven zweiter Ordnung werden am häufigsten die kanonischen Gleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel berücksichtigt. Von allgemeinen Gleichungen kann leicht zu ihnen übergegangen werden; Beispiel 1 von Problemen mit Ellipsen ist diesem Thema gewidmet.

Ellipse gegeben durch die kanonische Gleichung

Definition einer Ellipse. Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände zu den als Brennpunkte bezeichneten Punkten ein konstanter Wert ist, der größer ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Die Schwerpunkte sind wie in der Abbildung unten angegeben.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form:

Wo A Und B (A > B) - die Längen der Halbachsen, d. h. die Hälfte der Längen der von der Ellipse abgeschnittenen Segmente auf den Koordinatenachsen.

Die durch die Brennpunkte der Ellipse verlaufende Gerade ist ihre Symmetrieachse. Eine weitere Symmetrieachse einer Ellipse ist eine Gerade, die durch die Mitte eines zu diesem Segment senkrechten Segments verläuft. Punkt UM Der Schnittpunkt dieser Linien dient als Symmetriezentrum der Ellipse oder einfach als Mittelpunkt der Ellipse.

Die Abszissenachse der Ellipse schneidet sich in den Punkten ( A, UM) Und (- A, UM), und die Ordinatenachse ist in Punkten ( B, UM) Und (- B, UM). Diese vier Punkte werden Eckpunkte der Ellipse genannt. Das Segment zwischen den Eckpunkten der Ellipse wird auf der x-Achse ihre Hauptachse und auf der Ordinatenachse ihre kleine Achse genannt. Ihre Segmente von der Spitze bis zur Mitte der Ellipse werden Halbachsen genannt.

Wenn A = B, dann nimmt die Gleichung der Ellipse die Form an. Dies ist die Gleichung eines Kreises mit Radius A, und ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse. Eine Ellipse kann aus einem Kreis mit Radius erhalten werden A, wenn Sie es komprimieren A/B mal entlang der Achse Oy .

Beispiel 1.Überprüfen Sie, ob eine durch eine allgemeine Gleichung gegebene Gerade ist , Ellipse.

Lösung. Wir transformieren die allgemeine Gleichung. Wir nutzen die Übertragung des freien Termes auf die rechte Seite, die Term-für-Term-Division der Gleichung durch die gleiche Zahl und die Reduktion von Brüchen:

Antwort. Die als Ergebnis der Transformationen erhaltene Gleichung ist die kanonische Gleichung der Ellipse. Daher ist diese Linie eine Ellipse.

Beispiel 2. Bilden Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse, wenn ihre Halbachsen 5 bzw. 4 sind.

Lösung. Wir schauen uns die Formel für die kanonische Gleichung einer Ellipse an und ersetzen sie durch: Die große Halbachse ist A= 5, die kleine Halbachse ist B= 4 . Wir erhalten die kanonische Gleichung der Ellipse:

Punkte und , grün auf der Hauptachse angezeigt, wo

werden genannt Tricks.

angerufen Exzentrizität Ellipse.

Attitüde B/A charakterisiert die „Abplattung“ der Ellipse. Je kleiner dieses Verhältnis ist, desto stärker wird die Ellipse entlang der Hauptachse verlängert. Der Grad der Dehnung einer Ellipse wird jedoch häufiger durch die Exzentrizität ausgedrückt, deren Formel oben angegeben ist. Für verschiedene Ellipsen variiert die Exzentrizität zwischen 0 und 1 und bleibt immer kleiner als eins.

Beispiel 3. Stellen Sie die kanonische Gleichung der Ellipse auf, wenn der Abstand zwischen den Brennpunkten 8 und der Hauptachse 10 beträgt.

Lösung. Lassen Sie uns einige einfache Schlussfolgerungen ziehen:

Wenn die Hauptachse gleich 10 ist, dann ist ihre Hälfte, also die Halbachse A = 5 ,

Wenn der Abstand zwischen den Brennpunkten 8 beträgt, dann ist die Zahl C der Fokuskoordinaten ist gleich 4.

Wir ersetzen und berechnen:

Das Ergebnis ist die kanonische Gleichung der Ellipse:

Beispiel 4. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse auf, wenn ihre Hauptachse 26 und ihre Exzentrizität beträgt.

Lösung. Sowohl aus der Größe der Hauptachse als auch aus der Exzentrizitätsgleichung ergibt sich die große Halbachse der Ellipse A= 13. Aus der Exzentrizitätsgleichung drücken wir die Zahl aus C, benötigt zur Berechnung der Länge der kleinen Halbachse:

.

Wir berechnen das Quadrat der Länge der kleinen Halbachse:

Wir stellen die kanonische Gleichung der Ellipse auf:

Beispiel 5. Bestimmen Sie die Brennpunkte der durch die kanonische Gleichung gegebenen Ellipse.

Lösung. Finden Sie die Nummer C, das die ersten Koordinaten der Brennpunkte der Ellipse bestimmt:

.

Wir erhalten die Schwerpunkte der Ellipse:

Beispiel 6. Die Brennpunkte der Ellipse liegen auf der Achse Ochse symmetrisch zum Ursprung. Stellen Sie die kanonische Gleichung der Ellipse zusammen, wenn:

1) Der Abstand zwischen den Brennpunkten beträgt 30 und die Hauptachse beträgt 34

2) Nebenachse 24, und einer der Schwerpunkte liegt am Punkt (-5; 0)

3) Exzentrizität, und einer der Brennpunkte liegt am Punkt (6; 0)

Lassen Sie uns weiterhin gemeinsam Ellipsenprobleme lösen

Wenn es sich um einen beliebigen Punkt der Ellipse handelt (im oberen rechten Teil der Ellipse in der Zeichnung grün dargestellt) und der Abstand zu diesem Punkt von den Brennpunkten ist, lauten die Formeln für die Abstände wie folgt:

Für jeden zur Ellipse gehörenden Punkt ist die Summe der Abstände von den Brennpunkten ein konstanter Wert von 2 A.

Durch Gleichungen definierte Linien

werden genannt Schulleiterinnen Ellipse (in der Zeichnung gibt es rote Linien an den Rändern).

Aus den beiden obigen Gleichungen folgt dies für jeden Punkt der Ellipse

,

wo und sind die Abstände dieses Punktes zu den Leitlinien und .

Beispiel 7. Gegeben sei eine Ellipse. Schreiben Sie eine Gleichung für ihre Leitlinien.

Lösung. Wir schauen uns die Leitliniengleichung an und stellen fest, dass wir die Exzentrizität der Ellipse ermitteln müssen, d. h. Wir haben alle Daten dazu. Wir berechnen:

.

Wir erhalten die Gleichung der Leitlinien der Ellipse:

Beispiel 8. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse auf, wenn ihre Brennpunkte Punkte und ihre Leitlinien Linien sind.

Linien zweiter Ordnung.
Ellipse und ihre kanonische Gleichung. Kreis

Nach gründlichem Studium gerade Linien in der Ebene Wir studieren weiterhin die Geometrie der zweidimensionalen Welt. Der Einsatz wird verdoppelt und ich lade Sie ein, eine malerische Galerie mit Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln zu besuchen, die typische Vertreter sind Linien zweiter Ordnung. Die Exkursion hat bereits begonnen und zunächst eine kurze Information zur gesamten Ausstellung auf den verschiedenen Etagen des Museums:

Das Konzept einer algebraischen Linie und ihre Reihenfolge

Eine Linie in einer Ebene heißt algebraisch, wenn in affines Koordinatensystem Seine Gleichung hat die Form , wobei es sich um ein Polynom handelt, das aus Termen der Form ( – reelle Zahl, – nichtnegative ganze Zahlen) besteht.

Wie Sie sehen können, enthält die Gleichung einer algebraischen Geraden keine Sinus-, Kosinus-, Logarithmen- und andere funktionale Beau Monde. Nur X und Y sind drin nichtnegative ganze Zahlen Grad.

Zeilenreihenfolge gleich dem Maximalwert der darin enthaltenen Begriffe.

Nach dem entsprechenden Satz hängen der Begriff einer algebraischen Geraden sowie ihre Reihenfolge nicht von der Wahl ab affines Koordinatensystem Daher gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass alle nachfolgenden Berechnungen in stattfinden Kartesischen Koordinaten.

Allgemeine Gleichung Die zweite Bestellzeile hat die Form , wobei – beliebige reelle Zahlen (Es ist üblich, es mit dem Faktor zwei zu schreiben), und die Koeffizienten sind gleichzeitig ungleich Null.

Wenn, dann vereinfacht sich die Gleichung zu , und wenn die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind, dann ist dies genau der Fall allgemeine Gleichung einer „flachen“ Linie, was darstellt Zeile erster Ordnung.

Viele haben die Bedeutung der neuen Begriffe verstanden, aber um den Stoff zu 100 % zu beherrschen, stecken wir dennoch den Finger in die Steckdose. Um die Zeilenreihenfolge zu bestimmen, müssen Sie iterieren alle Begriffe seine Gleichungen und finden Sie für jede von ihnen Summe der Grade eingehende Variablen.

Zum Beispiel:

der Begriff enthält „x“ hoch 1;
der Begriff enthält „Y“ hoch 1;
Der Term enthält keine Variablen, daher ist die Summe ihrer Potenzen Null.

Lassen Sie uns nun herausfinden, warum die Gleichung die Linie definiert zweite Befehl:

der Begriff enthält „x“ hoch 2;
der Summand hat die Summe der Potenzen der Variablen: 1 + 1 = 2;
der Begriff enthält „Y“ in der 2. Potenz;
alle anderen Begriffe - weniger Grad.

Maximalwert: 2

Wenn wir beispielsweise noch etwas zu unserer Gleichung hinzufügen, dann wird es bereits bestimmt Linie dritter Ordnung. Es ist offensichtlich, dass die allgemeine Form der Liniengleichung 3. Ordnung einen „vollständigen Satz“ von Termen enthält, wobei die Summe der Potenzen der Variablen gleich drei ist:
, wobei die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind.

Für den Fall, dass Sie einen oder mehrere passende Begriffe hinzufügen, die enthalten , dann werden wir schon darüber reden Linien 4. Ordnung, usw.

Insbesondere beim Kennenlernen werden wir mehr als einmal auf algebraische Linien 3., 4. und höherer Ordnung stoßen müssen Polarkoordinatensystem.

Kehren wir jedoch zur allgemeinen Gleichung zurück und erinnern uns an ihre einfachsten Schulvarianten. Als Beispiele entstehen eine Parabel, deren Gleichung sich leicht auf eine allgemeine Form reduzieren lässt, und eine Hyperbel mit einer äquivalenten Gleichung. Allerdings ist nicht alles so glatt...

Ein wesentlicher Nachteil der allgemeinen Gleichung besteht darin, dass fast immer nicht klar ist, welche Linie sie definiert. Selbst im einfachsten Fall werden Sie nicht sofort erkennen, dass es sich um eine Übertreibung handelt. Solche Layouts sind nur bei einer Maskerade gut, daher wird ein typisches Problem im Rahmen der analytischen Geometrie betrachtet Bringen der Geradengleichung 2. Ordnung in die kanonische Form.

Was ist die kanonische Form einer Gleichung?

Dies ist die allgemein akzeptierte Standardform einer Gleichung, bei der innerhalb von Sekunden klar wird, welches geometrische Objekt sie definiert. Darüber hinaus eignet sich die kanonische Form sehr gut zur Lösung vieler praktischer Probleme. Also zum Beispiel nach der kanonischen Gleichung „flach“ gerade Erstens ist sofort klar, dass es sich um eine Gerade handelt, und zweitens sind der dazugehörige Punkt und der Richtungsvektor gut erkennbar.

Es ist offensichtlich, dass irgendjemand Zeile 1. Ordnung ist eine Gerade. Im zweiten Stock erwartet uns nicht mehr der Wächter, sondern eine viel vielfältigere Schar von neun Statuen:

Klassifizierung von Linien zweiter Ordnung

Mit einem speziellen Aktionssatz wird jede Gleichung einer Geraden zweiter Ordnung auf eine der folgenden Formen reduziert:

(und sind positive reelle Zahlen)

1) – kanonische Gleichung der Ellipse;

2) – kanonische Gleichung einer Hyperbel;

3) – kanonische Gleichung einer Parabel;

4) – imaginär Ellipse;

5) – ein Paar sich schneidender Linien;

6) – Paar imaginär Schnittlinien (mit einem einzigen gültigen Schnittpunkt im Ursprung);

7) – ein Paar paralleler Linien;

8) – Paar imaginär parallele Linien;

9) – ein Paar zusammenfallender Linien.

Manche Leser könnten den Eindruck haben, dass die Liste unvollständig ist. In Punkt Nr. 7 gibt die Gleichung beispielsweise das Paar an Direkte, parallel zur Achse, und es stellt sich die Frage: Wo ist die Gleichung, die die Linien parallel zur Ordinatenachse bestimmt? Antwort: es nicht als kanonisch angesehen. Geraden stellen den gleichen Standardfall dar, um 90 Grad gedreht, und der zusätzliche Eintrag in der Klassifizierung ist überflüssig, da er nichts grundsätzlich Neues bringt.

Somit gibt es neun und nur neun verschiedene Arten von Linien 2. Ordnung, in der Praxis sind es jedoch die häufigsten Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Schauen wir uns zunächst die Ellipse an. Wie üblich konzentriere ich mich auf die Punkte, die für die Lösung von Problemen von großer Bedeutung sind. Wenn Sie eine detaillierte Herleitung von Formeln oder Beweise für Theoreme benötigen, lesen Sie bitte beispielsweise das Lehrbuch von Bazylev/Atanasyan oder Aleksandrov.

Ellipse und ihre kanonische Gleichung

Rechtschreibung... Bitte wiederholen Sie nicht die Fehler einiger Yandex-Benutzer, die sich für „wie man eine Ellipse baut“, „den Unterschied zwischen einer Ellipse und einem Oval“ und „die Exzentrizität einer Ellipse“ interessieren.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind und . Ich werde die eigentliche Definition einer Ellipse später formulieren, aber jetzt ist es an der Zeit, eine Pause vom Fachsimpeln einzulegen und ein häufiges Problem zu lösen:

Wie baut man eine Ellipse?

Ja, nimm es einfach und zeichne es einfach. Die Aufgabe kommt häufig vor und ein erheblicher Teil der Schüler kommt mit der Zeichnung nicht richtig zurecht:

Beispiel 1

Konstruieren Sie die durch die Gleichung gegebene Ellipse

Lösung: Zuerst bringen wir die Gleichung in die kanonische Form:

Warum mitbringen? Einer der Vorteile der kanonischen Gleichung besteht darin, dass sie eine sofortige Bestimmung ermöglicht Eckpunkte der Ellipse, die sich an Punkten befinden. Es ist leicht zu erkennen, dass die Koordinaten jedes dieser Punkte die Gleichung erfüllen.

In diesem Fall :


Liniensegment angerufen Hauptachse Ellipse;
Liniensegment – Nebenachse;
Nummer angerufen halbgroßer Schaft Ellipse;
Nummer – Nebenachse.
in unserem Beispiel: .

Um sich schnell vorzustellen, wie eine bestimmte Ellipse aussieht, schauen Sie sich einfach die Werte von „a“ und „be“ ihrer kanonischen Gleichung an.

Alles ist gut, glatt und schön, aber es gibt eine Einschränkung: Ich habe die Zeichnung mit dem Programm erstellt. Und Sie können die Zeichnung mit jeder beliebigen Anwendung erstellen. Doch in der harten Realität liegt ein kariertes Blatt Papier auf dem Tisch und Mäuse tanzen im Kreis auf unseren Händen. Menschen mit künstlerischem Talent können natürlich darüber streiten, aber es gibt auch Mäuse (wenn auch kleinere). Nicht umsonst hat die Menschheit das Lineal, den Zirkel, den Winkelmesser und andere einfache Zeichengeräte erfunden.

Aus diesem Grund ist es unwahrscheinlich, dass wir eine Ellipse genau zeichnen können, wenn wir nur die Eckpunkte kennen. Es ist in Ordnung, wenn die Ellipse klein ist, zum Beispiel mit Halbachsen. Alternativ können Sie den Maßstab und entsprechend die Abmessungen der Zeichnung verkleinern. Im Allgemeinen ist es jedoch äußerst wünschenswert, zusätzliche Punkte zu finden.

Es gibt zwei Ansätze zur Konstruktion einer Ellipse – geometrisch und algebraisch. Ich mag das Konstruieren mit Zirkel und Lineal nicht, weil der Algorithmus nicht der kürzeste ist und die Zeichnung deutlich unübersichtlich ist. Im Notfall greifen Sie bitte auf das Lehrbuch zurück, aber in Wirklichkeit ist es viel rationaler, die Werkzeuge der Algebra zu nutzen. Aus der Ellipsengleichung im Entwurf können wir schnell Folgendes ausdrücken:

Die Gleichung zerfällt dann in zwei Funktionen:
– definiert den oberen Bogen der Ellipse;
– definiert den unteren Bogen der Ellipse.

Die durch die kanonische Gleichung definierte Ellipse ist sowohl in Bezug auf die Koordinatenachsen als auch in Bezug auf den Ursprung symmetrisch. Und das ist großartig – Symmetrie ist fast immer ein Vorbote von Gratisgeschenken. Offensichtlich reicht es aus, sich mit dem 1. Koordinatenviertel zu befassen, also brauchen wir die Funktion . Es müssten noch weitere Punkte mit Abszissen gefunden werden . Tippen wir auf dem Taschenrechner drei SMS-Nachrichten an:

Schön ist natürlich auch, dass ein gravierender Fehler bei der Berechnung sofort beim Bau auffällt.

Markieren wir die Punkte auf der Zeichnung (rot), symmetrische Punkte auf den restlichen Bögen (blau) und verbinden wir das gesamte Unternehmen sorgfältig mit einer Linie:


Es ist besser, die erste Skizze sehr dünn zu zeichnen und erst dann mit einem Bleistift Druck auszuüben. Das Ergebnis sollte eine recht anständige Ellipse sein. Möchten Sie übrigens wissen, was diese Kurve ist?

Definition einer Ellipse. Ellipsenschwerpunkte und Ellipsenexzentrizität

Eine Ellipse ist ein Sonderfall eines Ovals. Das Wort „Oval“ ist nicht im spießbürgerlichen Sinne zu verstehen („das Kind hat ein Oval gezeichnet“ usw.). Dies ist ein mathematischer Begriff, der eine detaillierte Formulierung hat. Der Zweck dieser Lektion besteht nicht darin, die Theorie der Ovale und ihrer verschiedenen Typen zu betrachten, denen im Standardkurs der analytischen Geometrie praktisch keine Aufmerksamkeit geschenkt wird. Und entsprechend aktuellerer Bedürfnisse gehen wir gleich zur strengen Definition einer Ellipse über:

Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände zu jedem von ihnen von zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks Ellipse ist eine konstante Größe, numerisch gleich der Länge der Hauptachse dieser Ellipse: .
In diesem Fall sind die Abstände zwischen den Fokussen kleiner als dieser Wert: .

Jetzt wird alles klarer:

Stellen Sie sich vor, dass sich der blaue Punkt entlang einer Ellipse „bewegt“. Unabhängig davon, welchen Punkt der Ellipse wir nehmen, ist die Summe der Längen der Segmente immer gleich:

Stellen wir sicher, dass in unserem Beispiel der Wert der Summe tatsächlich acht beträgt. Platzieren Sie im Geiste den Punkt „um“ am rechten Scheitelpunkt der Ellipse und dann: , was überprüft werden musste.

Eine andere Methode zum Zeichnen basiert auf der Definition einer Ellipse. Höhere Mathematik ist manchmal die Ursache für Anspannung und Stress, daher ist es Zeit für eine weitere Entlastungssitzung. Bitte nehmen Sie Whatman-Papier oder ein großes Blatt Pappe und befestigen Sie es mit zwei Nägeln am Tisch. Das werden Tricks sein. Binden Sie einen grünen Faden an die überstehenden Nagelköpfe und ziehen Sie ihn mit einem Bleistift bis zum Anschlag durch. Die Bleistiftmine landet an einem bestimmten Punkt, der zur Ellipse gehört. Bewegen Sie nun den Bleistift über das Blatt Papier und halten Sie dabei den grünen Faden gespannt. Setzen Sie den Vorgang fort, bis Sie zum Ausgangspunkt zurückkehren ... großartig ... die Zeichnung kann vom Arzt und Lehrer überprüft werden =)

Wie finde ich die Brennpunkte einer Ellipse?

Im obigen Beispiel habe ich „vorgefertigte“ Schwerpunkte dargestellt, und jetzt lernen wir, wie man sie aus den Tiefen der Geometrie extrahiert.

Wenn eine Ellipse durch eine kanonische Gleichung gegeben ist, dann haben ihre Brennpunkte Koordinaten , wo ist es Abstand von jedem Brennpunkt zum Symmetriezentrum der Ellipse.

Die Berechnungen sind einfacher als einfach:

! Die spezifischen Koordinaten der Brennpunkte können nicht mit der Bedeutung von „tse“ identifiziert werden! Ich wiederhole, dass dies der Fall ist ABSTAND von jedem Fokus zum Zentrum(was im Allgemeinen nicht genau im Ursprung liegen muss).
Und deshalb kann der Abstand zwischen den Brennpunkten auch nicht an die kanonische Position der Ellipse gebunden werden. Mit anderen Worten: Die Ellipse kann an eine andere Stelle verschoben werden und der Wert bleibt unverändert, während die Brennpunkte auf natürliche Weise ihre Koordinaten ändern. Bitte berücksichtigen Sie dies bei der weiteren Auseinandersetzung mit dem Thema.

Ellipsenexzentrizität und ihre geometrische Bedeutung

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Verhältnis, das Werte im Bereich annehmen kann.

In unserem Fall:

Lassen Sie uns herausfinden, wie die Form einer Ellipse von ihrer Exzentrizität abhängt. Dafür Fixieren Sie die linken und rechten Eckpunkte der betrachteten Ellipse, d. h. der Wert der großen Halbachse bleibt konstant. Dann nimmt die Exzentrizitätsformel die Form an: .

Beginnen wir damit, den Exzentrizitätswert näher an Eins zu bringen. Dies ist nur möglich, wenn . Was bedeutet das? ...merken Sie sich die Tricks . Dies bedeutet, dass sich die Brennpunkte der Ellipse entlang der Abszissenachse zu den Seitenscheitelpunkten „auseinander bewegen“. Und da „die grünen Segmente nicht aus Gummi sind“, wird sich die Ellipse unweigerlich abflachen und sich in eine immer dünnere Wurst verwandeln, die auf einer Achse aufgereiht ist.

Auf diese Weise, Je näher der Exzentrizitätswert der Ellipse bei Eins liegt, desto länger ist die Ellipse.

Modellieren wir nun den umgekehrten Prozess: die Brennpunkte der Ellipse gingen aufeinander zu und näherten sich der Mitte. Das bedeutet, dass der Wert von „ce“ immer kleiner wird und dementsprechend die Exzentrizität gegen Null tendiert: .
In diesem Fall werden die „grünen Segmente“ im Gegenteil „überfüllt“ und beginnen, die Ellipsenlinie nach oben und unten zu „schieben“.

Auf diese Weise, Je näher der Exzentrizitätswert bei Null liegt, desto ähnlicher ist die Ellipse... betrachten Sie den Grenzfall, wenn die Brennpunkte am Ursprung erfolgreich wiedervereinigt werden:

Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse

Tatsächlich nimmt die kanonische Gleichung der Ellipse bei Gleichheit der Halbachsen die Form an, die sich reflexartig in die aus der Schule bekannte Gleichung eines Kreises mit einem Mittelpunkt im Ursprung des Radius „a“ umwandelt.

In der Praxis wird häufiger die Notation mit dem „sprechenden“ Buchstaben „er“ verwendet: . Der Radius ist die Länge eines Segments, wobei jeder Punkt des Kreises um einen Radiusabstand vom Mittelpunkt entfernt ist.

Beachten Sie, dass die Definition einer Ellipse völlig korrekt bleibt: Die Brennpunkte fallen zusammen und die Summe der Längen der zusammenfallenden Segmente für jeden Punkt auf dem Kreis ist eine Konstante. Da der Abstand zwischen den Brennpunkten dann beträgt Die Exzentrizität jedes Kreises ist Null.

Einen Kreis zu konstruieren ist einfach und schnell, einfach mit einem Zirkel. Manchmal ist es jedoch notwendig, die Koordinaten einiger seiner Punkte herauszufinden. In diesem Fall gehen wir den bekannten Weg – wir bringen die Gleichung in die fröhliche Matanov-Form:

– Funktion des oberen Halbkreises;
– Funktion des unteren Halbkreises.

Dann finden wir die erforderlichen Werte, unterscheiden, integrieren und andere gute Dinge tun.

Der Artikel dient natürlich nur als Referenz, aber wie kann man in einer Welt ohne Liebe leben? Kreative Aufgabe zur eigenständigen Lösung

Beispiel 2

Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse auf, wenn einer ihrer Brennpunkte und ihre kleine Halbachse bekannt sind (der Mittelpunkt liegt im Ursprung). Suchen Sie Eckpunkte und zusätzliche Punkte und zeichnen Sie eine Linie in der Zeichnung. Exzentrizität berechnen.

Lösung und Zeichnung am Ende der Lektion

Fügen wir eine Aktion hinzu:

Eine Ellipse drehen und parallel verschieben

Kehren wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse zurück, nämlich zu dem Zustand, dessen Geheimnis neugierige Geister seit der ersten Erwähnung dieser Kurve quält. Also haben wir uns die Ellipse angesehen , aber ist es in der Praxis nicht möglich, die Gleichung zu erfüllen? ? Aber auch hier scheint es sich um eine Ellipse zu handeln!

Eine solche Gleichung kommt zwar selten vor, kommt aber dennoch rüber. Und es definiert tatsächlich eine Ellipse. Entmystifizieren wir:

Als Ergebnis der Konstruktion entstand unsere um 90 Grad gedrehte heimische Ellipse. Also, - Das nicht-kanonischer Eintrag Ellipse . Aufzeichnen!- Die gleichung definiert keine andere Ellipse, da es auf der Achse keine Punkte (Brennpunkte) gibt, die der Definition einer Ellipse entsprechen würden.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort von Punkten auf einer Ebene, wobei die Summe der Abstände von jedem dieser Punkte zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 ein konstanter Wert (2a) ist, der größer als der Abstand (2c) zwischen diesen gegebenen Punkten ist (Abb .3.36, a). Diese geometrische Definition drückt aus Fokuseigenschaft einer Ellipse.

Brennweiteigenschaft einer Ellipse

Die Punkte F_1 und F_2 werden Brennpunkte der Ellipse genannt, der Abstand zwischen ihnen 2c=F_1F_2 ist die Brennweite, das mittlere O des Segments F_1F_2 ist der Mittelpunkt der Ellipse, die Zahl 2a ist die Länge der Hauptachse der Ellipse (dementsprechend ist die Zahl a die große Halbachse der Ellipse). Die Segmente F_1M und F_2M, die einen beliebigen Punkt M der Ellipse mit seinen Brennpunkten verbinden, werden Brennradien des Punktes M genannt. Das Segment, das zwei Punkte einer Ellipse verbindet, wird als Sehne der Ellipse bezeichnet.

Das Verhältnis e=\frac(c)(a) wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet. Aus der Definition (2a>2c) folgt, dass 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrische Definition der Ellipse, der seine Fokuseigenschaft ausdrückt, entspricht seiner analytischen Definition – der Linie, die durch die kanonische Gleichung der Ellipse gegeben ist:

Führen wir tatsächlich ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (Abb. 3.36c). Als Ursprung des Koordinatensystems nehmen wir den Mittelpunkt O der Ellipse; wir nehmen die gerade Linie, die durch die Brennpunkte (Brennachse oder erste Achse der Ellipse) verläuft, als Abszissenachse (die positive Richtung darauf verläuft von Punkt F_1 zu Punkt F_2); Nehmen wir eine gerade Linie senkrecht zur Brennachse, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (die zweite Achse der Ellipse) verläuft, als Ordinatenachse (die Richtung auf der Ordinatenachse wird so gewählt, dass das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy richtig ist). .

Erstellen wir eine Gleichung für die Ellipse anhand ihrer geometrischen Definition, die die Fokuseigenschaft ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten der Brennpunkte F_1(-c,0),~F_2(c,0). Für einen beliebigen Punkt M(x,y), der zur Ellipse gehört, gilt:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Wenn wir diese Gleichheit in Koordinatenform schreiben, erhalten wir:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Wir verschieben das zweite Radikal auf die rechte Seite, quadrieren beide Seiten der Gleichung und bringen ähnliche Terme:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Durch Division durch 4 quadrieren wir beide Seiten der Gleichung:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Bestimmt haben b=\sqrt(a^2-c^2)>0, wir bekommen b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Wenn wir beide Seiten durch a^2b^2\ne0 dividieren, erhalten wir die kanonische Gleichung der Ellipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Daher ist das gewählte Koordinatensystem kanonisch.

Fallen die Brennpunkte der Ellipse zusammen, so ist die Ellipse ein Kreis (Abb. 3.36,6), da a=b. In diesem Fall ist jedes rechteckige Koordinatensystem mit Ursprung im Punkt kanonisch O\equiv F_1\equiv F_2, und die Gleichung x^2+y^2=a^2 ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt O und Radius gleich a.

Wenn man die Überlegungen in umgekehrter Reihenfolge durchführt, kann man zeigen, dass alle Punkte, deren Koordinaten die Gleichung (3.49) erfüllen, und nur sie, zum Ort der Punkte gehören, der Ellipse genannt wird. Mit anderen Worten: Die analytische Definition einer Ellipse entspricht ihrer geometrischen Definition, die die Fokuseigenschaft der Ellipse ausdrückt.

Regieeigenschaft einer Ellipse

Die Leitlinien einer Ellipse sind zwei Geraden, die parallel zur Ordinatenachse des kanonischen Koordinatensystems im gleichen Abstand \frac(a^2)(c) davon verlaufen. Bei c=0, wenn die Ellipse ein Kreis ist, gibt es keine Leitlinien (wir können annehmen, dass die Leitlinien im Unendlichen liegen).

Ellipse mit Exzentrizität 0 der Ort von Punkten in der Ebene, für die das Verhältnis des Abstands zu einem bestimmten Punkt F (Fokus) zum Abstand zu einer bestimmten geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen bestimmten Punkt verläuft, konstant und gleich der Exzentrizität ist e ( Richtungseigenschaft einer Ellipse). Hier sind F und d einer der Brennpunkte der Ellipse und eine ihrer Leitlinien, die sich auf einer Seite der Ordinatenachse des kanonischen Koordinatensystems befinden, d.h. F_1,d_1 oder F_2,d_2 .

Tatsächlich gilt beispielsweise für Fokus F_2 und Leitlinie d_2 (Abb. 3.37,6) die Bedingung \frac(r_2)(\rho_2)=e kann in Koordinatenform geschrieben werden:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Irrationalität loswerden und ersetzen e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, so gelangen wir zur kanonischen Ellipsengleichung (3.49). Ähnliche Überlegungen können für Fokus F_1 und Direktor durchgeführt werden d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Gleichung einer Ellipse in einem Polarkoordinatensystem

Die Gleichung der Ellipse im Polarkoordinatensystem F_1r\varphi (Abb. 3.37, c und 3.37 (2)) hat die Form

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

wobei p=\frac(b^2)(a) der Fokusparameter der Ellipse ist.

Wählen wir tatsächlich den linken Fokus F_1 der Ellipse als Pol des Polarkoordinatensystems und den Strahl F_1F_2 als Polarachse (Abb. 3.37, c). Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi) gemäß der geometrischen Definition (Fokuseigenschaft) einer Ellipse r+MF_2=2a. Wir drücken den Abstand zwischen den Punkten M(r,\varphi) und F_2(2c,0) aus (siehe Absatz 2 der Anmerkungen 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(ausgerichtet)

Daher hat die Gleichung der Ellipse F_1M+F_2M=2a in Koordinatenform die Form

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Wir isolieren die Wurzel, quadrieren beide Seiten der Gleichung, dividieren durch 4 und stellen ähnliche Terme dar:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Drücken Sie den Polarradius r aus und führen Sie die Ersetzung durch e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometrische Bedeutung der Koeffizienten in der Ellipsengleichung

Suchen wir die Schnittpunkte der Ellipse (siehe Abb. 3.37a) mit den Koordinatenachsen (Eckpunkten der Ellipse). Wenn wir y=0 in die Gleichung einsetzen, finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Abszissenachse (mit der Brennachse): x=\pm a. Daher ist die Länge des in der Ellipse enthaltenen Segments der Brennachse gleich 2a. Dieses Segment wird, wie oben erwähnt, die Hauptachse der Ellipse genannt, und die Zahl a ist die große Halbachse der Ellipse. Wenn wir x=0 einsetzen, erhalten wir y=\pm b. Daher ist die Länge des in der Ellipse enthaltenen Segments der zweiten Achse der Ellipse gleich 2b. Dieses Segment wird als Nebenachse der Ellipse bezeichnet, und die Zahl b ist die Nebenachse der Ellipse.

Wirklich, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, und die Gleichheit b=a erhält man nur im Fall c=0, wenn die Ellipse ein Kreis ist. Attitüde k=\frac(b)(a)\leqslant1 wird Ellipsenkompressionsverhältnis genannt.

Hinweise 3.9

1. Die Geraden x=\pm a,~y=\pm b begrenzen das Hauptrechteck auf der Koordinatenebene, in dessen Inneren sich eine Ellipse befindet (siehe Abb. 3.37, a).

2. Eine Ellipse kann definiert werden als der Ort von Punkten, der durch Komprimieren eines Kreises auf seinen Durchmesser erhalten wird.

Tatsächlich sei die Gleichung eines Kreises im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy x^2+y^2=a^2. Bei Komprimierung auf die x-Achse mit einem Koeffizienten von 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Wenn wir die Kreise x=x" und y=\frac(1)(k)y" in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Koordinaten des Bildes M"(x",y") des Punktes M(x,y). ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

da b=k\cdot a . Dies ist die kanonische Gleichung der Ellipse.

3. Die Koordinatenachsen (des kanonischen Koordinatensystems) sind die Symmetrieachsen der Ellipse (die Hauptachsen der Ellipse genannt) und ihr Mittelpunkt ist der Symmetrieschwerpunkt.

Tatsächlich, wenn der Punkt M(x,y) zur Ellipse gehört. dann gehören auch die Punkte M"(x,-y) und M""(-x,y), die relativ zu den Koordinatenachsen symmetrisch zum Punkt M sind, zur gleichen Ellipse.

4. Aus der Gleichung der Ellipse im Polarkoordinatensystem r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(siehe Abb. 3.37, c) wird die geometrische Bedeutung des Fokusparameters geklärt – dies ist die halbe Länge der Sehne der Ellipse, die senkrecht zur Fokusachse durch ihren Fokus verläuft ( r = p bei \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Die Exzentrizität e charakterisiert die Form der Ellipse, nämlich den Unterschied zwischen Ellipse und Kreis. Je größer e, desto länger ist die Ellipse, und je näher e an Null liegt, desto näher ist die Ellipse einem Kreis (Abb. 3.38a). Unter Berücksichtigung von e=\frac(c)(a) und c^2=a^2-b^2 erhalten wir tatsächlich

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

wobei k das Ellipsenkomprimierungsverhältnis ist, 0

6. Gleichung \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 an einer

7. Gleichung \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiert eine Ellipse mit Mittelpunkt im Punkt O"(x_0,y_0), deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind (Abb. 3.38, c). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische reduziert.

Wenn a=b=R die Gleichung ist (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 beschreibt einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Punkt O"(x_0,y_0) .

Parametrische Ellipsengleichung

Parametrische Ellipsengleichung im kanonischen Koordinatensystem hat die Form

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (3.49) einsetzen, gelangen wir tatsächlich zur trigonometrischen Hauptidentität \cos^2t+\sin^2t=1 .

Beispiel 3.20. Zeichne eine Ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 im kanonischen Koordinatensystem Oxy. Finden Sie die Halbachsen, die Brennweite, die Exzentrizität, das Kompressionsverhältnis, den Brennpunktparameter und die Leitliniengleichungen.

Lösung. Indem wir die gegebene Gleichung mit der kanonischen vergleichen, bestimmen wir die Halbachsen: a=2 – große Halbachse, b=1 – kleine Halbachse der Ellipse. Wir bauen das Hauptrechteck mit den Seiten 2a=4,~2b=2, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt (Abb. 3.39). Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Ellipse passen wir sie in das Hauptrechteck ein. Bestimmen Sie ggf. die Koordinaten einiger Punkte der Ellipse. Wenn wir beispielsweise x=1 in die Ellipsengleichung einsetzen, erhalten wir

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Daher Punkte mit Koordinaten \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- gehören zur Ellipse.

Berechnung des Kompressionsverhältnisses k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Brennweite 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); Exzentrizität e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); Fokusparameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Wir stellen die Directrix-Gleichungen zusammen: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

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Vorlesungen über Algebra und Geometrie. Semester 1.

Vorlesung 15. Ellipse.

Kapitel 15. Ellipse.

Klausel 1. Grundlegende Definitionen.

Definition. Eine Ellipse ist die GMT einer Ebene. Die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert.

Definition. Der Abstand von einem beliebigen Punkt M der Ebene zum Brennpunkt der Ellipse wird Brennradius des Punktes M genannt.

Bezeichnungen:
– Brennpunkte der Ellipse,
– Brennradien des Punktes M.

Nach der Definition einer Ellipse ist ein Punkt M genau dann ein Punkt einer Ellipse, wenn
- konstanter Wert. Diese Konstante wird normalerweise als 2a bezeichnet:

. (1)

beachte das
.

Per Definition einer Ellipse sind ihre Brennpunkte feste Punkte, sodass der Abstand zwischen ihnen für eine gegebene Ellipse ebenfalls ein konstanter Wert ist.

Definition. Der Abstand zwischen den Brennpunkten der Ellipse wird Brennweite genannt.

Bezeichnung:
.

Aus einem Dreieck
folgt dem
, d.h.

.

Bezeichnen wir mit b die Zahl gleich
, d.h.

. (2)

Definition. Attitüde

(3)

nennt man die Exzentrizität der Ellipse.

Führen wir auf dieser Ebene ein Koordinatensystem ein, das wir als kanonisch für die Ellipse bezeichnen.

Definition. Die Achse, auf der die Brennpunkte der Ellipse liegen, wird Brennachse genannt.

Lassen Sie uns einen kanonischen PDSC für die Ellipse konstruieren, siehe Abb. 2.

Wir wählen die Fokusachse als Abszissenachse und zeichnen die Ordinatenachse durch die Mitte des Segments
senkrecht zur Brennachse.

Dann haben die Brennpunkte Koordinaten
,
.

Klausel 2. Kanonische Gleichung einer Ellipse.

Satz. Im kanonischen Koordinatensystem für eine Ellipse hat die Gleichung der Ellipse die Form:

. (4)

Nachweisen. Wir führen den Beweis in zwei Schritten durch. Im ersten Schritt werden wir beweisen, dass die Koordinaten jedes auf der Ellipse liegenden Punktes Gleichung (4) erfüllen. Im zweiten Schritt werden wir beweisen, dass jede Lösung der Gleichung (4) die Koordinaten eines Punktes liefert, der auf der Ellipse liegt. Daraus folgt, dass Gleichung (4) nur von den Punkten der Koordinatenebene erfüllt wird, die auf der Ellipse liegen. Daraus und aus der Definition der Kurvengleichung folgt, dass Gleichung (4) eine Ellipsengleichung ist.

1) Der Punkt M(x, y) sei ein Punkt der Ellipse, d.h. die Summe seiner Brennradien beträgt 2a:

.

Lassen Sie uns die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Koordinatenebene verwenden und diese Formel verwenden, um die Brennradien eines bestimmten Punktes M zu ermitteln:

,
, woher wir kommen:

Verschieben wir eine Wurzel auf die rechte Seite der Gleichheit und quadrieren sie:

Durch Reduzieren erhalten wir:

Wir präsentieren ähnliche, reduzieren um 4 und entfernen das Radikal:

.

Quadrieren

Klammern öffnen und um kürzen
:

wo wir bekommen:

Mit Gleichung (2) erhalten wir:

.

Division der letzten Gleichheit durch
, wir erhalten Gleichheit (4) usw.

2) Angenommen, ein Zahlenpaar (x, y) erfüllt Gleichung (4) und M(x, y) sei der entsprechende Punkt auf der Koordinatenebene Oxy.

Dann folgt aus (4):

.

Wir setzen diese Gleichheit in den Ausdruck für die Brennradien des Punktes M ein:

.

Hier haben wir die Gleichungen (2) und (3) verwendet.

Auf diese Weise,
. Ebenfalls,
.

Beachten Sie nun, dass aus Gleichung (4) Folgendes folgt

oder
usw.
, dann folgt die Ungleichung:

.

Daraus folgt wiederum das

oder
Und

,
. (5)

Aus den Gleichungen (5) folgt Folgendes
, d.h. der Punkt M(x, y) ist ein Punkt der Ellipse usw.

Der Satz ist bewiesen.

Definition. Gleichung (4) wird die kanonische Gleichung der Ellipse genannt.

Definition. Die kanonischen Koordinatenachsen einer Ellipse werden als Hauptachsen der Ellipse bezeichnet.

Definition. Der Ursprung des kanonischen Koordinatensystems für eine Ellipse wird als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet.

Klausel 3. Eigenschaften der Ellipse.

Satz. (Eigenschaften einer Ellipse.)

1. Im kanonischen Koordinatensystem für eine Ellipse alles

Die Punkte der Ellipse liegen im Rechteck

,
.

2. Die Punkte liegen auf

3. Eine Ellipse ist eine Kurve, die symmetrisch ist

ihre Hauptachsen.

4. Der Mittelpunkt der Ellipse ist ihr Symmetriezentrum.

Nachweisen. 1, 2) Folgt unmittelbar aus der kanonischen Gleichung der Ellipse.

3, 4) Sei M(x, y) ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann erfüllen seine Koordinaten Gleichung (4). Dann erfüllen aber auch die Koordinaten der Punkte Gleichung (4) und sind daher Punkte der Ellipse, aus der die Aussagen des Satzes folgen.

Der Satz ist bewiesen.

Definition. Die Größe 2a wird als große Halbachse der Ellipse bezeichnet, die Größe a als große Halbachse der Ellipse.

Definition. Die Größe 2b wird als Nebenachse der Ellipse bezeichnet, die Größe b als Nebenachse der Ellipse.

Definition. Die Schnittpunkte einer Ellipse mit ihren Hauptachsen werden als Eckpunkte der Ellipse bezeichnet.

Kommentar. Eine Ellipse kann wie folgt konstruiert werden. Im Flugzeug „schlagen wir einen Nagel in die Brennpunkte“ und befestigen daran ein Fadenstück
. Dann nehmen wir einen Bleistift und ziehen damit den Faden fest. Dann bewegen wir die Bleistiftmine entlang der Ebene und achten darauf, dass der Faden gespannt ist.

Aus der Definition der Exzentrizität ergibt sich Folgendes

Lassen Sie uns die Zahl a festlegen und die Zahl c auf Null setzen. Dann um
,
Und
. Im Limit bekommen wir

oder
– Kreisgleichung.

Lassen Sie uns jetzt leiten
. Dann
,
und wir sehen, dass die Ellipse im Grenzfall zu einem geraden Liniensegment degeneriert
in der Notation von Abbildung 3.

Klausel 4. Parametrische Gleichungen der Ellipse.

Satz. Lassen
– beliebige reelle Zahlen. Dann das Gleichungssystem

,
(6)

sind parametrische Gleichungen einer Ellipse im kanonischen Koordinatensystem für die Ellipse.

Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass das Gleichungssystem (6) äquivalent zu Gleichung (4) ist, d.h. Sie haben die gleichen Lösungen.

1) Sei (x, y) eine beliebige Lösung für System (6). Teilen Sie die erste Gleichung durch a, die zweite durch b, quadrieren Sie beide Gleichungen und addieren Sie:

.

Diese. Jede Lösung (x, y) des Systems (6) erfüllt Gleichung (4).

2) Umgekehrt sei das Paar (x, y) eine Lösung der Gleichung (4), d.h.

.

Aus dieser Gleichheit folgt, dass der Punkt mit Koordinaten
liegt auf einem Kreis mit Einheitsradius und Mittelpunkt im Ursprung, d. h. ist ein Punkt auf einem trigonometrischen Kreis, dem ein bestimmter Winkel entspricht
:

Aus der Definition von Sinus und Cosinus folgt dies unmittelbar

,
, Wo
, woraus folgt, dass das Paar (x, y) eine Lösung für System (6) usw. ist.

Der Satz ist bewiesen.

Kommentar. Eine Ellipse kann durch gleichmäßige „Stauchung“ eines Kreises mit dem Radius a zur Abszissenachse hin erhalten werden.

Lassen
– Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung. Die „Komprimierung“ eines Kreises auf die Abszissenachse ist nichts anderes als eine Transformation der Koordinatenebene, die nach der folgenden Regel durchgeführt wird. Für jeden Punkt M(x, y) ordnen wir einen Punkt auf derselben Ebene zu
, Wo
,
- Kompressionsrate.

Bei dieser Transformation „geht“ jeder Punkt auf dem Kreis zu einem anderen Punkt auf der Ebene über, der dieselbe Abszisse, aber eine kleinere Ordinate hat. Drücken wir die alte Ordinate eines Punktes durch die neue aus:

und setze Kreise in die Gleichung ein:

.

Von hier aus erhalten wir:

. (7)

Daraus folgt, dass, wenn vor der „Kompression“-Transformation der Punkt M(x, y) auf dem Kreis lag, d.h. seine Koordinaten erfüllten die Kreisgleichung, dann „transformierte“ sich dieser Punkt nach der „Komprimierungs“-Transformation in einen Punkt
, deren Koordinaten die Ellipsengleichung (7) erfüllen. Wenn wir die Gleichung einer Ellipse mit kleiner Halbachseb erhalten wollen, müssen wir den Kompressionsfaktor verwenden

.

Klausel 5. Tangente an eine Ellipse.

Satz. Lassen
– beliebiger Punkt der Ellipse

.

Dann die Gleichung der Tangente an diese Ellipse im Punkt
hat die Form:

. (8)

Nachweisen. Es genügt, den Fall zu betrachten, dass der Tangentialpunkt im ersten oder zweiten Viertel der Koordinatenebene liegt:
. Die Gleichung der Ellipse in der oberen Halbebene hat die Form:

. (9)

Lassen Sie uns die Tangentengleichung an den Graphen der Funktion verwenden
am Punkt
:

Wo
– der Wert der Ableitung einer gegebenen Funktion an einem Punkt
. Die Ellipse im ersten Viertel kann als Funktionsgraph (8) betrachtet werden. Finden wir seine Ableitung und seinen Wert am Tangentenpunkt:

,

. Hier haben wir uns die Tatsache zunutze gemacht, dass der Tangentenpunkt
ist ein Punkt der Ellipse und daher erfüllen seine Koordinaten die Ellipsengleichung (9), d. h.

.

Wir setzen den gefundenen Wert der Ableitung in die Tangensgleichung (10) ein:

,

wo wir bekommen:

Dies impliziert:

Teilen wir diese Gleichheit durch
:

.

Das bleibt anzumerken
, Weil Punkt
gehört zur Ellipse und ihre Koordinaten erfüllen ihre Gleichung.

Die Tangentengleichung (8) wird auf ähnliche Weise an dem Tangentenpunkt bewiesen, der im dritten oder vierten Viertel der Koordinatenebene liegt.

Und schließlich können wir leicht überprüfen, dass Gleichung (8) die Tangentengleichung an den Punkten ergibt
,
:

oder
, Und
oder
.

Der Satz ist bewiesen.

Klausel 6. Spiegeleigenschaft einer Ellipse.

Satz. Die Tangente an die Ellipse hat gleiche Winkel wie die Brennradien des Tangentialpunktes.

Lassen
- Anlaufstelle,
,
– Brennradien des Tangentialpunktes, P und Q – Projektionen der Brennpunkte auf der Tangente, die an die Ellipse am Punkt gezogen wird
.

Der Satz besagt das

. (11)

Diese Gleichheit kann als Gleichheit der Einfalls- und Reflexionswinkel eines Lichtstrahls von einer Ellipse interpretiert werden, die aus ihrem Fokus austritt. Diese Eigenschaft wird Spiegeleigenschaft der Ellipse genannt:

Ein vom Brennpunkt der Ellipse freigesetzter Lichtstrahl durchläuft nach der Reflexion am Spiegel der Ellipse einen anderen Brennpunkt der Ellipse.

Beweis des Satzes. Um die Gleichheit der Winkel (11) zu beweisen, beweisen wir die Ähnlichkeit von Dreiecken
Und
, in dem die Parteien
Und
wird ähnlich sein. Da die Dreiecke rechtwinklig sind, reicht es aus, die Gleichheit zu beweisen

Typ