Die Summe der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse. Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten in der Mathematik. Betrachten Sie inkompatible Zufallsereignisse

Das Konzept eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zuverlässige und unmögliche Ereignisse. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsadditionssatz. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz. Lösung der einfachsten Probleme der Wahrscheinlichkeitsbestimmung durch Addition von Wahrscheinlichkeiten.

Richtlinien für Thema 3.1:

Das Konzept eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zuverlässige und unmögliche Ereignisse. Klassische Definition von Wahrscheinlichkeiten:

Die Untersuchung jedes Phänomens in der Reihenfolge der Beobachtung oder des Experiments ist mit der Umsetzung bestimmter Bedingungen (Tests) verbunden. Jedes Ergebnis bzw. Ergebnis eines Tests wird aufgerufen Ereignis.

Wenn ein Ereignis unter bestimmten Bedingungen eintreten kann oder nicht, wird es aufgerufen zufällig. Wenn ein Ereignis mit Sicherheit eintritt, wird es aufgerufen zuverlässig, und für den Fall, dass es offensichtlich nicht passieren kann, - unmöglich.

Die Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar, wenn nur einer von ihnen jedes Mal erscheinen kann. Die Ereignisse werden aufgerufen gemeinsam, wenn unter bestimmten Bedingungen das Auftreten eines dieser Ereignisse das Auftreten eines anderen während derselben Prüfung nicht ausschließt.

Die Ereignisse werden aufgerufen Gegenteil, wenn sie unter den Bedingungen des Tests als dessen einzige Ergebnisse unvereinbar sind.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses betrachtet.

Wahrscheinlichkeit Ereignisse nennt man das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse M, günstig für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses, zur Anzahl n aller Ergebnisse (inkompatibel, nur möglich und gleichermaßen möglich), d.h.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht kleiner als Null und größer als Eins sein, d. h. . Ein unmögliches Ereignis entspricht einer Wahrscheinlichkeit, und ein zuverlässiges Ereignis entspricht einer Wahrscheinlichkeit

Beispiel 1. Bei einer Lotterie mit 1000 Losen gibt es 200 Gewinner. Es wird nach dem Zufallsprinzip ein Ticket gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Los ein Gewinner ist?

Die Gesamtzahl der unterschiedlichen Ergebnisse beträgt N= 1000. Die Anzahl der gewinnbringenden Ergebnisse beträgt M= 200. Nach der Formel erhalten wir .

Beispiel 2. Aus einer Urne mit 5 weißen und 3 schwarzen Kugeln wird eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball schwarz ist.

Bezeichnen wir das Ereignis, das im Erscheinen einer schwarzen Kugel besteht, mit . Gesamtzahl der Fälle. Zahl der Fälle M, günstig für den Eintritt des Ereignisses, ist gleich 3. Mit der Formel erhalten wir .

Beispiel 3. Aus einer Urne mit 12 weißen und 8 schwarzen Kugeln werden zufällig zwei Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln schwarz sind?

Bezeichnen wir das Ereignis, das im Erscheinen zweier schwarzer Kugeln besteht, mit . Gesamtzahl der möglichen Fälle N gleich der Anzahl der Kombinationen von 20 Elementen (12 + 8) mal zwei:

Zahl der Fälle M, günstig für das Ereignis, ist

Mithilfe der Formel ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen zweier schwarzer Kugeln:

Wahrscheinlichkeitsadditionssatz. Lösung der einfachsten Probleme der Wahrscheinlichkeitsbestimmung mithilfe des Wahrscheinlichkeitsadditionssatzes:

Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines von mehreren paarweise inkompatiblen Ereignissen, egal welches, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines von zwei gemeinsamen Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens:

Beispiel 4. In einer Box sind 20 Teile in zufälliger Reihenfolge angeordnet, davon sind fünf Standardteile. Ein Arbeiter nimmt zufällig drei Teile. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der entnommenen Teile Standard ist.

Offensichtlich ist mindestens einer der entnommenen Teile Standard, wenn eines von drei inkompatiblen Ereignissen eintritt: B- ein Teil ist Standard, zwei sind nicht standardmäßig; C- zwei Standardteile, ein nicht standardmäßiges und D- Drei Teile sind Standard.

Also die Veranstaltung A kann als Summe dieser drei Ereignisse dargestellt werden: A = B + C + D. Nach dem Additionssatz haben wir P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Finden Sie die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ereignisse:

Durch Addition der gefundenen Werte erhalten wir

Beispiel 5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte zweistellige Zahl ein Vielfaches von 3 oder 5 oder beiden ist.

Lassen A- ein Ereignis, das darin besteht, dass eine zufällig ausgewählte Zahl ein Vielfaches von 3 ist, und B- ist, dass es ein Vielfaches von 5 ist. Suchen wir nach Since A Und B gemeinsame Veranstaltungen, dann verwenden wir die Formel:

Insgesamt gibt es 90 zweistellige Zahlen: 10, 11, 98, 99. Davon sind 30 Vielfache von 3 (begünstigen den Eintritt des Ereignisses). A); 18 – Vielfaches von 5 (begünstigen das Eintreten eines Ereignisses B) und 6 – Vielfache von 3 und 5 gleichzeitig (begünstigen das Eintreten des Ereignisses AB). Also, d.h.

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz:

Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens zweier unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Die Eintrittswahrscheinlichkeit mehrerer in der Summe unabhängiger Ereignisse wird nach folgender Formel berechnet:

Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens zweier abhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt eines von ihnen und der bedingten Wahrscheinlichkeit des zweiten:

Beispiel 6. Eine Urne enthält 4 weiße und 8 schwarze Kugeln, die andere enthält 3 weiße und 9 schwarze Kugeln. Aus jeder Urne wurde eine Kugel entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.

Es sei das Erscheinen einer weißen Kugel aus der ersten Urne und das Erscheinen einer weißen Kugel aus der zweiten Urne. Es ist offensichtlich, dass die Ereignisse unabhängig sind. Wir werden finden

Mit der Formel erhalten wir:

Selbsttestfragen zum Thema 3.1:

1. Was ist eine Veranstaltung?

2. Welche Ereignisse werden als zuverlässig bezeichnet?

3. Welche Ereignisse werden als unmöglich bezeichnet?

4. Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit.

5. Formulieren Sie den Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten.

6. Formulieren Sie den Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung zu Thema 3.1:

1. Eine Box enthält 10 Teile in zufälliger Reihenfolge, davon 4 Standardteile. Der Prüfer nahm zufällig drei Teile. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens eines der entnommenen Teile als Standardteil herausstellte.

2. Eine Urne enthält 10 weiße, 15 schwarze, 20 blaue und 25 rote Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der gezogene Ball: 1) weiß ist; 2) schwarz oder rot.

3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte zweistellige Zahl ein Vielfaches von 4 oder 5 oder beiden ist.

4. Ein Arbeiter bedient zwei Maschinen, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Maschine innerhalb einer Stunde nicht die Aufmerksamkeit eines Arbeiters erfordert, beträgt 0,8 und für die zweite Maschine beträgt diese Wahrscheinlichkeit 0,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Stunde keine einzige Maschine die Aufmerksamkeit eines Arbeiters erfordert.

5. Die Urne enthält 6 Kugeln, davon 3 weiß. Es werden nach dem Zufallsprinzip zwei Kugeln gezogen, eine nach der anderen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.

6. Eine Urne enthält 10 weiße und 6 schwarze Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällig nacheinander gezogene Kugeln schwarz sind.

Vorlesung 7. Wahrscheinlichkeitstheorie

Konsequenzen aus den Sätzen der Addition und Multiplikation

Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse

Der Additionssatz für unvereinbar Veranstaltungen. Hier stellen wir den Additionssatz für vor gemeinsam Veranstaltungen.

Es werden zwei Ereignisse aufgerufen gemeinsam, wenn das Erscheinen des einen von ihnen das Erscheinen des anderen im selben Verfahren nicht ausschließt.

Beispiel 1 . A – das Erscheinen von vier Punkten beim Würfeln; B – Auftreten einer geraden Anzahl von Punkten. Die Ereignisse A und B sind gemeinsam.

Seien die Ereignisse A und B gemeinsam, und die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sowie die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens werden angegeben. Wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A + B, dass mindestens eines der Ereignisse A und B eintritt? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse.

Satz. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines von zwei gemeinsamen Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Nachweisen . Da die Ereignisse A und B aufgrund der Bedingung kompatibel sind, tritt Ereignis A + B ein, wenn eines der folgenden drei inkompatiblen Ereignisse eintritt: . Nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse gilt:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Ereignis A tritt ein, wenn eines von zwei inkompatiblen Ereignissen eintritt: A
oder AB. Nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse haben wir

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Ebenso haben wir

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Wenn wir (**) und (***) in (*) einsetzen, erhalten wir schließlich

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Anmerkung 1. Bei der Verwendung der resultierenden Formel ist zu berücksichtigen, dass die Ereignisse A und B beides sein können unabhängig, so und abhängig.

Für unabhängige Veranstaltungen

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Für abhängige Ereignisse

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Anmerkung 2. Wenn die Ereignisse A und B unvereinbar, dann ist ihre Kombination ein unmögliches Ereignis und daher ist P(AB) = 0.

Die Formel (****) für inkompatible Ereignisse hat die Form

P(A + B) = P(A) + P(B).

Wir haben wieder den Additionssatz für inkompatible Ereignisse erhalten. Somit gilt die Formel (****) sowohl für gemeinsame als auch für inkompatible Ereignisse.

Beispiel 2. Die Trefferwahrscheinlichkeiten beim Abfeuern des ersten und zweiten Geschützes sind jeweils gleich: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit einer Salve
(von beiden Waffen) mit mindestens einer der Waffen.

Lösung . Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Waffe das Ziel trifft, hängt nicht vom Ergebnis des Schusses der anderen Waffe ab, daher sind die Ereignisse A (Treffer durch die erste Waffe) und B (Treffer durch die zweite Waffe) unabhängig.

Wahrscheinlichkeit eines AB-Ereignisses (beide Geschütze haben einen Treffer erzielt)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Notiz 3. Da in diesem Beispiel die Ereignisse A und B unabhängig sind, könnten wir die Formel P = 1 – q 1 q 2 verwenden

Tatsächlich sind die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen entgegengesetzt zu den Ereignissen A und B, d. h. Die Wahrscheinlichkeiten von Fehlschlägen sind:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, dass in einer Salve mindestens eine Waffe trifft, ist gleich

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Wie zu erwarten war, wurde das gleiche Ergebnis erzielt.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der Testergebnisse, die das Eintreten des Ereignisses A begünstigen, zur Gesamtzahl n aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Ergebnisse: P(A)=m/n.

Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A (oder die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eintritt) ist die Zahl P B (A) = P (AB) / P (B), wobei A und B zwei zufällige Ereignisse desselben Tests sind.

Die Summe einer endlichen Anzahl von Ereignissen Ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines von ihnen besteht, wird aufgerufen. Die Summe zweier Ereignisse wird mit A+B bezeichnet.

Regeln zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten :

• gemeinsame Veranstaltungen A und B:
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist, P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist, P(A+B). ) ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mindestens eines von zwei Ereignissen, P(AB) ist die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens zweier Ereignisse.
• Regel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten inkompatible Ereignisse A und B:
  P(A+B) = P(A)+P(B), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist.

Das Produkt einer endlichen Anzahl von Ereignissen heißt das Ereignis, dass jeder von ihnen eintreten wird. Das Produkt zweier Ereignisse wird mit AB bezeichnet.

Regeln zur Wahrscheinlichkeitsmultiplikation :

• abhängige Ereignisse A und B:
  P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), wobei P A (B) die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B ist, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist, P B ( A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist;
• Wahrschunabhängige Veranstaltungen A und B:
  P(AB) = P(A)*P(B), wobei P(A) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und P(B) die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist.

Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema „Operationen bei Ereignissen. Regeln zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten“

Problem 1 . Die Box enthält 250 Glühbirnen, davon 100 mit 90 W, 50 mit 60 W, 50 mit 25 W und 50 mit 15 W. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Leistung einer zufällig ausgewählten Glühbirne 60 W nicht überschreitet.

Lösung.

A = (Glühlampenleistung beträgt 90 W), Wahrscheinlichkeit P(A) = 100/250 = 0,4;
B = (Lampenleistung beträgt 60 W);
C = (Lampenleistung beträgt 25 W);
D = (Lampenleistung beträgt 15 W).

2. Ereignisse A, B, C, D-Formular Vollständiges System , da sie alle inkompatibel sind und einer von ihnen in diesem Experiment (Auswahl einer Glühbirne) definitiv vorkommen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen eintritt, ist ein bestimmtes Ereignis, dann ist P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Die Ereignisse (Glühlampenleistung nicht mehr als 60 W) (d. h. weniger als oder gleich 60 W) und (Glühlampenleistung mehr als 60 W) (in diesem Fall – 90 W) sind gegensätzlich. Gemäß der Eigenschaft der entgegengesetzten Zahlen gilt P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Unter Berücksichtigung von P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D) erhalten wir P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Problem 2 . Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,7 und für den zweiten Schützen 0,9. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür
a) das Ziel wird nur von einem Schützen getroffen;
b) das Ziel wird von mindestens einem Schützen getroffen.

Lösung.
1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:
A1 = (der erste Schütze trifft das Ziel), P(A1) = 0,7 aus den Problembedingungen;
Ā1 = (der erste Schütze verfehlt), während P(A1)+P(Ā1) = 1, da A1 und Ā1 entgegengesetzte Ereignisse sind. Daher P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (der zweite Schütze trifft das Ziel), P(A2) = 0,9 aus den Problembedingungen;
Ā2 = (der zweite Schütze verfehlte), während P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Ereignis A=(das Ziel wird nur von einem Schützen getroffen) bedeutet, dass eines von zwei inkompatiblen Ereignissen eingetreten ist: entweder A1A2 oder A1A2.
Nach der Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten P(A)= P(A1A2)+P(A1A2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0,3*0,9=0,27.
Dann ist P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Ereignis B=(Ziel von mindestens einem Schützen getroffen) bedeutet, dass entweder das Ziel vom ersten Schützen getroffen wurde, oder das Ziel vom zweiten Schützen getroffen wurde, oder dass das Ziel von beiden Schützen getroffen wurde.

Ereignis B̄=(das Ziel wird von keinem Schützen getroffen) ist das Gegenteil von Ereignis B, was P(B)=1-P(B̄) bedeutet.
Ereignis B̄ bedeutet das gleichzeitige Auftreten unabhängiger Ereignisse Ā1 und Ā2, daher P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Dann ist P(B)= 1-P(B̄)=1-0,3=0,7.

Problem 3 . Das Prüfungsticket besteht aus drei Fragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die erste Frage beantwortet, beträgt 0,7; am zweiten – 0,9; am dritten – 0,6. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student, der ein Ticket ausgewählt hat, antwortet:
a) zu allen Fragen;
d) mindestens zwei Fragen.

Lösung. 1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:
A1 = (Schüler beantwortete die erste Frage), P(A1) = 0,7 aus den Problembedingungen;
Ā1 = (der Schüler hat die erste Frage nicht beantwortet), während P(A1)+P(Ā1) = 1, da A1 und Ā1 entgegengesetzte Ereignisse sind. Daher P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (Schüler beantwortete die zweite Frage), P(A2) = 0,9 aus den Problembedingungen;
Ā2 = (der Student hat die zweite Frage nicht beantwortet), während P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1;
A3 = (Schüler beantwortete die dritte Frage), P(A3) = 0,6 aus den Problembedingungen;
Ā3 = (der Student hat die dritte Frage nicht beantwortet), während P(Ā3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Ereignis A = (der Schüler hat alle Fragen beantwortet) bedeutet das gleichzeitige Auftreten unabhängiger Ereignisse A1, A2 und A3, d.h. P(A)= P(A1A2A3). Nach der Regel der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Dann ist P(A)= P(A1A2A3)=0,378.

3. Ereignis D = (der Student hat mindestens zwei Fragen beantwortet) bedeutet, dass zwei beliebige Fragen oder alle drei beantwortet wurden, d. h. Eines von vier inkompatiblen Ereignissen ist aufgetreten: entweder A1A2Ā3 oder A1Ā2A3 oder Ā1A2A3 oder A1A2A3.
Gemäß der Regel zur Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Nach der Regel der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Dann ist P(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze.
Abhängige und unabhängige Veranstaltungen

Der Titel sieht gruselig aus, aber in Wirklichkeit ist alles sehr einfach. In dieser Lektion machen wir uns mit den Sätzen der Addition und Multiplikation von Ereigniswahrscheinlichkeiten vertraut und analysieren außerdem typische Probleme, die damit einhergehen Problem zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung werden Sie auf jeden Fall treffen oder, was wahrscheinlicher ist, bereits auf Ihrem Weg getroffen haben. Um die Materialien in diesem Artikel effektiv studieren zu können, müssen Sie grundlegende Begriffe kennen und verstehen Wahrscheinlichkeitstheorie und einfache Rechenoperationen durchführen können. Wie Sie sehen, ist nur sehr wenig erforderlich und somit ist ein sattes Plus an Vermögen nahezu garantiert. Andererseits warne ich auch hier vor einer oberflächlichen Einstellung zu Praxisbeispielen – es gibt auch viele Feinheiten. Viel Glück:

Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: Eintrittswahrscheinlichkeit von einem von zwei unvereinbar Veranstaltungen bzw (egal was), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Eine ähnliche Tatsache gilt für eine größere Anzahl inkompatibler Ereignisse, beispielsweise für drei inkompatible Ereignisse und:

Der Satz ist ein Traum =) Ein solcher Traum bedarf jedoch eines Beweises, der beispielsweise im Lehrbuch von V.E. zu finden ist. Gmurman.

Machen wir uns mit neuen, bisher unbekannten Konzepten vertraut:

Abhängige und unabhängige Veranstaltungen

Beginnen wir mit unabhängigen Veranstaltungen. Veranstaltungen sind unabhängig , wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit jeder von ihnen kommt nicht darauf an vom Erscheinen/Nichterscheinen anderer Ereignisse des betrachteten Sets (in allen möglichen Kombinationen). ...Aber warum sollte man sich mit allgemeinen Formulierungen beschäftigen:

Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse: die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens unabhängiger Ereignisse und ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Kehren wir zum einfachsten Beispiel der 1. Lektion zurück, in dem zwei Münzen geworfen werden und folgende Ereignisse passieren:

– Kopf erscheint auf der 1. Münze;
– Kopf erscheint auf der 2. Münze.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln (Kopf erscheint auf der ersten Münze). Und Auf der 2. Münze erscheint ein Adler - Denken Sie daran, wie man liest Produkt von Ereignissen!) . Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze „Kopf“ hat, hängt in keiner Weise vom Ergebnis des Werfens einer anderen Münze ab, daher sind die Ereignisse unabhängig.

Ebenfalls:
– die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze „Kopf“ erhält Und am 2. Schwanz;
– die Wahrscheinlichkeit, dass auf der 1. Münze „Kopf“ erscheint Und am 2. Schwanz;
– Wahrscheinlichkeit, dass die 1. Münze Kopf zeigt Und auf dem 2. Adler.

Beachten Sie, dass sich die Ereignisse bilden volle Gruppe und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist gleich eins: .

Der Multiplikationssatz erstreckt sich offensichtlich auf eine größere Anzahl unabhängiger Ereignisse. Wenn die Ereignisse beispielsweise unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens gleich: . Üben wir anhand konkreter Beispiele:

Problem 3

Jede der drei Boxen enthält 10 Teile. Die erste Box enthält 8 Standardteile, die zweite – 7, die dritte – 9. Aus jeder Box wird ein Teil zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Teile Standard sind.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, ein Standard- oder Nicht-Standardteil aus einer Box zu extrahieren, hängt nicht davon ab, welche Teile aus anderen Boxen entnommen werden, daher handelt es sich bei dem Problem um unabhängige Ereignisse. Betrachten Sie die folgenden unabhängigen Ereignisse:

– aus der 1. Box wird ein Normteil entnommen;
– aus der 2. Box wurde ein Normteil entfernt;
– Aus der 3. Box wird ein Normteil entfernt.

Nach der klassischen Definition:
sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Für uns interessante Veranstaltung (Ein Standardteil wird aus der 1. Box entfernt Und ab 2. Standard Und ab 3. Norm) wird durch das Produkt ausgedrückt.

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

– die Wahrscheinlichkeit, dass ein Normteil aus drei Kartons entnommen wird.

Antwort: 0,504

Nach belebenden Übungen mit Kisten erwarten uns nicht weniger interessante Urnen:

Problem 4

Drei Urnen enthalten 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus jeder Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) alle drei Kugeln weiß sind; b) Alle drei Kugeln haben die gleiche Farbe.

Erraten Sie anhand der erhaltenen Informationen, wie Sie mit dem „sein“-Punkt umgehen sollen ;-) Ein ungefähres Lösungsbeispiel ist im akademischen Stil mit einer detaillierten Beschreibung aller Ereignisse gestaltet.

Abhängige Ereignisse. Das Ereignis wird aufgerufen abhängig , wenn seine Wahrscheinlichkeit kommt darauf an aus einem oder mehreren bereits eingetretenen Ereignissen. Für Beispiele müssen Sie nicht lange suchen – gehen Sie einfach zum nächstgelegenen Geschäft:

– Morgen um 19.00 Uhr wird frisches Brot verkauft.

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt von vielen anderen Ereignissen ab: ob morgen frisches Brot geliefert wird, ob es vor 19 Uhr ausverkauft sein wird oder nicht usw. Abhängig von verschiedenen Umständen kann dieses Ereignis entweder zuverlässig oder unmöglich sein. So ist die Veranstaltung abhängig.

Brot... und, wie die Römer forderten, Zirkusse:

– Bei der Prüfung erhält der Student ein einfaches Ticket.

Wenn Sie nicht der allererste sind, wird die Veranstaltung abhängig sein, da ihre Wahrscheinlichkeit davon abhängt, welche Tickets bereits von Mitschülern gezogen wurden.

Wie lässt sich die Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Ereignissen bestimmen?

Manchmal wird dies direkt in der Problemstellung angegeben, aber meistens muss eine unabhängige Analyse durchgeführt werden. Hier gibt es keine eindeutige Richtlinie, und die Tatsache der Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von Ereignissen ergibt sich aus natürlichen logischen Überlegungen.

Um nicht alles auf einen Haufen zu werfen, Aufgaben für abhängige Ereignisse Ich werde die folgende Lektion hervorheben, aber zunächst betrachten wir die in der Praxis am häufigsten vorkommenden Theoreme:

Probleme zu Additionssätzen für inkompatible Wahrscheinlichkeiten
und Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Dieses Tandem funktioniert nach meiner subjektiven Einschätzung bei ca. 80 % der Aufgaben zum betrachteten Thema. Hit of Hits und ein echter Klassiker der Wahrscheinlichkeitstheorie:

Problem 5

Jeweils zwei Schützen feuerten einen Schuss auf das Ziel ab. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten 0,6. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) nur ein Schütze trifft das Ziel;
b) mindestens einer der Schützen trifft das Ziel.

Lösung: Die Trefferquote eines Schützen ist offensichtlich unabhängig von der Leistung des anderen Schützen.

Betrachten wir die Ereignisse:
– Der erste Schütze trifft das Ziel.
– Der 2. Schütze trifft das Ziel.

Nach Bedingung: .

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ermitteln, die die entsprechenden Pfeile verfehlen:

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Nur ein Schütze trifft das Ziel. Dieses Ereignis besteht aus zwei inkompatiblen Ergebnissen:

Der erste Schütze trifft Und Der 2. wird fehlen
oder
Der erste wird fehlen Und Der 2. wird treffen.

Auf der Zunge Ereignisalgebren Diese Tatsache wird durch die folgende Formel geschrieben:

Zuerst verwenden wir den Satz zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse, dann den Satz zum Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

– die Wahrscheinlichkeit, dass es nur einen Treffer gibt.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Mindestens einer der Schützen trifft das Ziel.

Denken wir zunächst einmal darüber nach: Was bedeutet die Bedingung „MINDESTENS EINES“? In diesem Fall bedeutet das, dass entweder der 1. Schütze trifft (der 2. Schütze verfehlt) oder 2. (der 1. wird verfehlen) oder beide Schützen gleichzeitig – insgesamt 3 inkompatible Ergebnisse.

Methode eins: Unter Berücksichtigung der Bereitschaftswahrscheinlichkeit des vorherigen Punktes ist es zweckmäßig, das Ereignis als Summe der folgenden inkompatiblen Ereignisse darzustellen:

jemand wird dort ankommen (ein Ereignis, das wiederum aus zwei inkompatiblen Ergebnissen besteht) oder
Wenn beide Pfeile treffen, kennzeichnen wir dieses Ereignis mit dem Buchstaben .

Auf diese Weise:

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
– Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze trifft Und Der 2. Schütze wird treffen.

Nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse:
– die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel mindestens einmal getroffen wird.

Methode zwei: Betrachten Sie das gegenteilige Ereignis: – Beide Schützen werden ihr Ziel verfehlen.

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Ergebend:

Achten Sie besonders auf die zweite Methode – im Allgemeinen ist sie rationaler.

Darüber hinaus gibt es einen alternativen, dritten Lösungsweg, der auf dem Satz der Addition gemeinsamer Ereignisse basiert, der oben nicht erwähnt wurde.

! Wenn Sie sich zum ersten Mal mit dem Material vertraut machen, ist es zur Vermeidung von Verwirrung besser, den nächsten Absatz zu überspringen.

Methode drei : Die Ereignisse sind kompatibel, das heißt, ihre Summe drückt das Ereignis „mindestens ein Schütze trifft das Ziel“ aus (vgl. Algebra der Ereignisse). Von der Satz zur Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse und der Satz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Schauen wir uns an: Ereignisse und (jeweils 0, 1 und 2 Treffer) bilden eine vollständige Gruppe, daher muss die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein:
, was überprüft werden musste.

Antwort:

Mit einem gründlichen Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Sie auf Dutzende Probleme mit militaristischem Inhalt stoßen, und es ist bezeichnend, dass Sie danach niemanden mehr erschießen wollen – die Probleme sind fast ein Geschenk. Warum nicht auch die Vorlage vereinfachen? Kürzen wir den Eintrag:

Lösung: nach Bedingung: , – Wahrscheinlichkeit, die entsprechenden Schützen zu treffen. Dann die Wahrscheinlichkeiten ihres Fehlschlags:

a) Nach den Sätzen der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
– die Wahrscheinlichkeit, dass nur ein Schütze das Ziel trifft.

b) Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
– die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schützen ihr Ziel verfehlen.

Dann: – die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Schützen das Ziel trifft.

Antwort:

In der Praxis können Sie jede Gestaltungsmöglichkeit nutzen. Natürlich nehmen sie viel häufiger den kurzen Weg, aber wir dürfen die 1. Methode nicht vergessen – sie ist zwar länger, aber sinnvoller – sie ist klarer, was, warum und warum addiert und multipliziert. In manchen Fällen ist ein Hybridstil angemessen, wenn es praktisch ist, Großbuchstaben zu verwenden, um nur einige Ereignisse anzuzeigen.

Ähnliche Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Problem 6

Zur Brandmeldung sind zwei unabhängig voneinander arbeitende Sensoren verbaut. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sensor im Brandfall funktioniert, beträgt 0,5 bzw. 0,7 für den ersten und zweiten Sensor. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Brand:

a) beide Sensoren fallen aus;
b) Beide Sensoren funktionieren.
c) Verwendung der Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Brand nur ein Sensor funktioniert. Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie diese Wahrscheinlichkeit direkt berechnen (unter Verwendung von Additions- und Multiplikationssätzen).

Hier wird die Eigenständigkeit des Betriebs der Geräte direkt in der Bedingung zum Ausdruck gebracht, was im Übrigen eine wichtige Klarstellung darstellt. Die Musterlösung ist im akademischen Stil gestaltet.

Was wäre, wenn in einem ähnlichen Problem die gleichen Wahrscheinlichkeiten gegeben wären, zum Beispiel 0,9 und 0,9? Sie müssen genau das Gleiche entscheiden! (was im Beispiel mit zwei Münzen tatsächlich bereits demonstriert wurde)

Problem 7

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft, beträgt 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel nicht getroffen wird, nachdem der erste und der zweite Schütze jeweils einen Schuss abgegeben haben, beträgt 0,08. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft?

Und das ist ein kleines Puzzle, das kurz gestaltet ist. Die Bedingung kann prägnanter umformuliert werden, aber ich werde das Original nicht wiederholen – in der Praxis muss ich mich mit kunstvolleren Erfindungen befassen.

Lernen Sie ihn kennen – er ist derjenige, der enorm viele Details für Sie geplant hat =):

Aufgabe 8

Ein Arbeiter bedient drei Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Schicht die erste Maschine angepasst werden muss, beträgt 0,3, die zweite - 0,75, die dritte - 0,4. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht:

a) alle Maschinen müssen angepasst werden;
b) nur eine Maschine muss angepasst werden;
c) Mindestens eine Maschine muss angepasst werden.

Lösung: Da die Bedingung nichts über einen einzelnen technologischen Prozess aussagt, sollte der Betrieb jeder Maschine unabhängig vom Betrieb anderer Maschinen betrachtet werden.

In Analogie zu Problem Nr. 5 können Sie hier die Ereignisse berücksichtigen, bei denen die entsprechenden Maschinen während der Schicht angepasst werden müssen, die Wahrscheinlichkeiten aufschreiben, die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ermitteln usw. Aber mit drei Objekten möchte ich die Aufgabe nicht mehr so ​​formatieren – das wird langwierig und mühsam. Daher ist es hier deutlich gewinnbringender, den Stil „schnell“ zu verwenden:

Gemäß der Bedingung: – der Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht die entsprechenden Maschinen abgestimmt werden müssen. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten, dass sie keine Aufmerksamkeit erfordern, wie folgt:

Einer der Leser hat hier einen coolen Tippfehler gefunden, ich werde ihn nicht einmal korrigieren =)

a) Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
– die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht alle drei Maschinen angepasst werden müssen.

b) Das Ereignis „Während der Schicht muss nur eine Maschine angepasst werden“ besteht aus drei inkompatiblen Ergebnissen:

1) 1. Maschine benötigt Aufmerksamkeit Und 2. Maschine wird nicht benötigt Und 3. Maschine wird nicht benötigt
oder:
2) 1. Maschine wird nicht benötigt Aufmerksamkeit Und 2. Maschine benötigt Und 3. Maschine wird nicht benötigt
oder:
3) 1. Maschine wird nicht benötigt Aufmerksamkeit Und 2. Maschine wird nicht benötigt Und 3. Maschine benötigt.

Nach den Sätzen der Addition von Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse und der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

– die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Schicht nur eine Maschine angepasst werden muss.

Ich denke, inzwischen sollten Sie verstehen, woher der Ausdruck kommt

c) Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschinen nicht angepasst werden müssen, und dann die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses:
– dass mindestens eine Maschine angepasst werden muss.

Antwort:

Punkt „ve“ kann auch durch die Summe gelöst werden, wobei es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass während einer Schicht nur zwei Maschinen angepasst werden müssen. Dieses Ereignis wiederum beinhaltet 3 inkompatible Ergebnisse, die in Analogie zum „sein“-Punkt beschrieben werden. Versuchen Sie, selbst die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, das gesamte Problem mithilfe der Gleichheit zu überprüfen.

Problem 9

Aus drei Geschützen wurde eine Salve auf das Ziel abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeit eines Treffers mit einem Schuss allein mit der ersten Waffe beträgt 0,7, mit der zweiten – 0,6, mit der dritten – 0,8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: 1) mindestens ein Projektil das Ziel trifft; 2) nur zwei Granaten treffen das Ziel; 3) Das Ziel wird mindestens zweimal getroffen.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Und noch einmal zum Thema Zufälle: Wenn je nach Bedingung zwei oder sogar alle Werte der Anfangswahrscheinlichkeiten übereinstimmen (zum Beispiel 0,7, 0,7 und 0,7), dann sollte genau der gleiche Lösungsalgorithmus befolgt werden.

Schauen wir uns zum Abschluss des Artikels ein weiteres häufiges Rätsel an:

Aufgabe 10

Der Schütze trifft das Ziel bei jedem Schuss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer mit drei Schüssen 0,973 beträgt?

Lösung: Bezeichnen wir mit – die Wahrscheinlichkeit, das Ziel bei jedem Schuss zu treffen.
und durch - die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses bei jedem Schuss.

Und schreiben wir die Ereignisse auf:
– Bei 3 Schüssen trifft der Schütze das Ziel mindestens einmal;
– Der Schütze wird dreimal verfehlen.

Bedingung, dann die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses:

Andererseits gilt nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Auf diese Weise:

- die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses bei jedem Schuss.

Ergebend:
– die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Schuss.

Antwort: 0,7

Schlicht und elegant.

Im betrachteten Problem können zusätzlich Fragen nach der Wahrscheinlichkeit von nur einem Treffer, von nur zwei Treffern und der Wahrscheinlichkeit von drei Treffern auf das Ziel gestellt werden. Das Lösungsschema wird genau das gleiche sein wie in den beiden vorherigen Beispielen:

Der grundlegende inhaltliche Unterschied besteht jedoch darin, dass es hier solche gibt wiederholte unabhängige Tests, die nacheinander, unabhängig voneinander und mit gleicher Ergebniswahrscheinlichkeit durchgeführt werden.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie Gobbledygook anstelle von Formeln sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie Sie das in Ihrem Browser machen, lesen Sie hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, werfen Sie einen Blick auf unseren Navigator, um die nützlichsten Ressourcen zu finden

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch Klingeln der ersten Tür: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

1. Du hast angerufen 1 Tür
2. Du hast angerufen 2 Tür
3. Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 die Tür
B. Hinter 2 die Tür
V. Hinter 3 die Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn dies nicht der Fall ist.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A positive Ergebnisse für alle . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (in unserem Fall eine Türklingel) als Experimente bezeichnen, wird das Ergebnis solcher Experimente üblicherweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie für uns geöffnet. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 die Tür
b) Freund für 2 die Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn schon nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür geantwortet hätte, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, sie kommen vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

1. Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Optionen (entweder Kopf oder Zahl, wir vernachlässigen die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
2. Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist einfach, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

1. Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
2. Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alle möglichen Optionen:

1. Adler-Adler
2. Kopf-Zahl
3. Zahl-Köpfe
4. Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie in der Bedingung lediglich aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss die Antwort in Form eines Dezimalbruchs angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Verpackung verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir zweimal „Kopf“ sehen, wenn wir einmal eine Münze werfen.

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (die erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, gegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, nicht zu verwechseln, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren sollten:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Karten eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass erhält? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Thema). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
3. In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt auch für tails: .

2. Gesamtoptionen: (wie viele Seiten hat der Würfel, so viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
   Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
3. Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

1. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
2. Die Münze wird einmal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
3. Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
3. 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
2. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir mithilfe der Konjunktionen „AND“ oder „OR“ anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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