Eigenschaften linear unabhängiger Vektorsysteme. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren. Beispiele für die Lösung von Problemen mit linearer Abhängigkeit oder linearer Unabhängigkeit von Vektoren

Vektoren, ihre Eigenschaften und Aktionen mit ihnen

Vektoren, Aktionen mit Vektoren, linearer Vektorraum.

Vektoren sind eine geordnete Sammlung einer endlichen Anzahl reeller Zahlen.

Aktionen: 1.Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Addition von Vektoren (gehören zum gleichen Vektorraum) Vektor x + Vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensionaler (linearer Raum) Vektor x + Vektor 0 = Vektor x

Satz. Damit ein System aus n Vektoren, ein n-dimensionaler linearer Raum, linear abhängig ist, ist es notwendig und ausreichend, dass einer der Vektoren eine lineare Kombination der anderen ist.

Satz. Jeder Satz von n+ 1. Vektoren des n-dimensionalen linearen Phänomenraums. linear abhängig.

Addition von Vektoren, Multiplikation von Vektoren mit Zahlen. Subtraktion von Vektoren.

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor, der vom Anfang des Vektors zum Ende des Vektors gerichtet ist, vorausgesetzt, dass der Anfang mit dem Ende des Vektors zusammenfällt. Wenn Vektoren durch ihre Entwicklungen in Basiseinheitsvektoren gegeben sind, werden beim Addieren von Vektoren ihre entsprechenden Koordinaten hinzugefügt.

Betrachten wir dies am Beispiel eines kartesischen Koordinatensystems. Lassen

Zeigen wir das

Aus Abbildung 3 geht hervor, dass

Die Summe einer beliebigen endlichen Anzahl von Vektoren kann mithilfe der Polygonregel ermittelt werden (Abb. 4): Um die Summe einer endlichen Anzahl von Vektoren zu konstruieren, reicht es aus, den Anfang jedes nachfolgenden Vektors mit dem Ende des vorherigen zu kombinieren und konstruiere einen Vektor, der den Anfang des ersten Vektors mit dem Ende des letzten verbindet.

Eigenschaften der Vektoradditionsoperation:

In diesen Ausdrücken sind m, n Zahlen.

Die Differenz zwischen Vektoren wird als Vektor bezeichnet. Der zweite Term ist ein Vektor, dessen Richtung dem Vektor entgegengesetzt, ihm aber in der Länge gleich ist.

Somit wird die Operation des Subtrahierens von Vektoren durch eine Additionsoperation ersetzt

Ein Vektor, dessen Anfang im Ursprung liegt und dessen Ende im Punkt A (x1, y1, z1) liegt, heißt Radiusvektor von Punkt A und wird einfach bezeichnet. Da seine Koordinaten mit den Koordinaten von Punkt A übereinstimmen, hat seine Entwicklung in Einheitsvektoren die Form

Ein Vektor, der am Punkt A(x1, y1, z1) beginnt und am Punkt B(x2, y2, z2) endet, kann geschrieben werden als

wobei r 2 der Radiusvektor von Punkt B ist; r 1 - Radiusvektor von Punkt A.

Daher hat die Entwicklung des Vektors in Einheitsvektoren die Form

Seine Länge entspricht dem Abstand zwischen den Punkten A und B

MULTIPLIKATION

Im Fall eines ebenen Problems wird das Produkt eines Vektors mit a = (ax; ay) mit der Zahl b durch die Formel ermittelt

a b = (ax b; ay b)

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt des Vektors a = (1; 2) mal 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Bei einem räumlichen Problem ergibt sich also das Produkt des Vektors a = (ax; ay; az) mit der Zahl b durch die Formel

a b = (ax b; ay b; az b)

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt des Vektors a = (1; 2; -5) mal 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Skalarprodukt von Vektoren und wo ist der Winkel zwischen den Vektoren und ; wenn beides, dann

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt dies

wobei zum Beispiel die Größe der Projektion des Vektors auf die Richtung des Vektors ist.

Skalarquadratvektor:

Eigenschaften des Skalarprodukts:

Skalarprodukt in Koordinaten

Wenn Das

Winkel zwischen Vektoren

Winkel zwischen Vektoren – der Winkel zwischen den Richtungen dieser Vektoren (kleinster Winkel).

Kreuzprodukt (Kreuzprodukt zweier Vektoren.) - Hierbei handelt es sich um einen Pseudovektor senkrecht zu einer aus zwei Faktoren konstruierten Ebene, der das Ergebnis der binären Operation „Vektormultiplikation“ über Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum ist. Das Produkt ist weder kommutativ noch assoziativ (es ist antikommutativ) und unterscheidet sich vom Skalarprodukt von Vektoren. Bei vielen technischen und physikalischen Problemen müssen Sie in der Lage sein, einen Vektor senkrecht zu zwei vorhandenen zu konstruieren – das Vektorprodukt bietet diese Möglichkeit. Das Kreuzprodukt eignet sich zum „Messen“ der Rechtwinkligkeit von Vektoren – die Länge des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen, wenn sie senkrecht stehen, und verringert sich auf Null, wenn die Vektoren parallel oder antiparallel sind.

Das Kreuzprodukt ist nur in dreidimensionalen und siebendimensionalen Räumen definiert. Das Ergebnis eines Vektorprodukts hängt wie ein Skalarprodukt von der Metrik des euklidischen Raums ab.

Im Gegensatz zur Formel zur Berechnung von Skalarproduktvektoren aus Koordinaten in einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem hängt die Formel für das Kreuzprodukt von der Ausrichtung des rechtwinkligen Koordinatensystems oder mit anderen Worten von seiner „Chiralität“ ab.

Kollinearität von Vektoren.

Zwei Vektoren ungleich Null (ungleich 0) heißen kollinear, wenn sie auf parallelen Geraden oder auf derselben Geraden liegen. Ein akzeptables, aber nicht empfohlenes Synonym sind „parallele“ Vektoren. Kollineare Vektoren können gleichgerichtet („kodirektional“) oder entgegengesetzt gerichtet sein (im letzteren Fall werden sie manchmal „antikollinear“ oder „antiparallel“ genannt).

Gemischtes Produkt von Vektoren( a, b, c)- Skalarprodukt des Vektors a und das Vektorprodukt der Vektoren b und c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

es wird manchmal als dreifaches Skalarprodukt von Vektoren bezeichnet, offenbar weil das Ergebnis ein Skalar (genauer gesagt ein Pseudoskalar) ist.

Geometrische Bedeutung: Der Modul des gemischten Produkts ist numerisch gleich dem Volumen des durch die Vektoren gebildeten Parallelepipeds (ABC) .

Eigenschaften

Ein gemischtes Produkt ist bezüglich aller seiner Argumente schiefsymmetrisch: d. h. e. Durch die Neuanordnung zweier beliebiger Faktoren ändert sich das Vorzeichen des Produkts. Daraus folgt, dass das gemischte Produkt im rechten kartesischen Koordinatensystem (auf orthonormaler Basis) gleich der Determinante einer Matrix ist, die aus Vektoren besteht und:

Das gemischte Produkt im linken kartesischen Koordinatensystem (auf Orthonormalbasis) ist gleich der Determinante der aus Vektoren zusammengesetzten Matrix und mit einem Minuszeichen versehen:

Insbesondere,

Wenn zwei beliebige Vektoren parallel sind, bilden sie mit jedem dritten Vektor ein gemischtes Produkt gleich Null.

Wenn drei Vektoren linear abhängig sind (d. h. koplanar, in derselben Ebene liegen), dann ist ihr gemischtes Produkt gleich Null.

Geometrische Bedeutung – Das gemischte Produkt ist im absoluten Wert gleich dem Volumen des Parallelepipeds (siehe Abbildung), das durch die Vektoren und gebildet wird; Das Vorzeichen hängt davon ab, ob dieses Vektortripel rechtshändig oder linkshändig ist.

Koplanarität von Vektoren.

Drei Vektoren (oder mehr) heißen koplanar, wenn sie, auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert, in derselben Ebene liegen

Eigenschaften der Koplanarität

Wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist, gelten die drei Vektoren auch als koplanar.

Ein Vektortripel, der ein Paar kollinearer Vektoren enthält, ist koplanar.

Gemischtes Produkt koplanarer Vektoren. Dies ist ein Kriterium für die Koplanarität dreier Vektoren.

Koplanare Vektoren sind linear abhängig. Dies ist auch ein Kriterium für Koplanarität.

Im dreidimensionalen Raum bilden 3 nichtkoplanare Vektoren eine Basis

Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.

Linear abhängige und unabhängige Vektorsysteme.Definition. Das Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es mindestens eine nichttriviale Linearkombination dieser Vektoren gibt, die dem Nullvektor entspricht. Ansonsten, d.h. Wenn nur eine triviale Linearkombination gegebener Vektoren dem Nullvektor entspricht, werden die Vektoren aufgerufen linear unabhängig.

Satz (lineares Abhängigkeitskriterium). Damit ein Vektorsystem in einem linearen Raum linear abhängig ist, ist es notwendig und ausreichend, dass mindestens einer dieser Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

1) Wenn es unter den Vektoren mindestens einen Nullvektor gibt, dann ist das gesamte Vektorsystem linear abhängig.

In der Tat, wenn zum Beispiel, dann haben wir unter der Annahme eine nichttriviale Linearkombination .▲

2) Wenn einige der Vektoren ein linear abhängiges System bilden, dann ist das gesamte System linear abhängig.

In der Tat seien die Vektoren linear abhängig. Dies bedeutet, dass es eine nicht triviale Linearkombination gibt, die dem Nullvektor entspricht. Aber dann, vorausgesetzt erhalten wir auch eine nichttriviale Linearkombination gleich dem Nullvektor.

2. Basis und Dimension. Definition. System linear unabhängiger Vektoren Vektorraum heißt Basis dieses Raumes, wenn jeder Vektor aus als lineare Kombination von Vektoren dieses Systems dargestellt werden kann, d.h. Für jeden Vektor gibt es reelle Zahlen so dass die Gleichheit gilt. Diese Gleichheit heißt Vektorzerlegung nach der Basis und den Zahlen werden genannt Koordinaten des Vektors relativ zur Basis(oder in der Basis) .

Satz (über die Eindeutigkeit der Entwicklung bezüglich der Basis). Jeder Vektor im Raum kann zu einer Basis entwickelt werden auf die einzige Art und Weise, d.h. Koordinaten jedes Vektors in der Basis werden eindeutig bestimmt.

Definition. Linearkombination von Vektoren a 1 , ..., a n mit den Koeffizienten x 1 , ..., x n wird als Vektor bezeichnet

x 1 ein 1 + ... + x n ein n .

trivial, wenn alle Koeffizienten x 1 , ..., x n gleich Null sind.

Definition. Die Linearkombination x 1 a 1 + ... + x n a n heißt nicht trivial, wenn mindestens einer der Koeffizienten x 1, ..., x n ungleich Null ist.

linear unabhängig, wenn es keine nichttriviale Kombination dieser Vektoren gibt, die dem Nullvektor entspricht.

Das heißt, die Vektoren a 1, ..., a n sind linear unabhängig, wenn x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 genau dann, wenn x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definition. Die Vektoren a 1, ..., a n heißen linear abhängig, wenn es eine nicht triviale Kombination dieser Vektoren gibt, die dem Nullvektor entspricht.

Eigenschaften linear abhängiger Vektoren:

Für 2- und dreidimensionale Vektoren.

Zwei linear abhängige Vektoren sind kollinear. (Kolineare Vektoren sind linear abhängig.)

Für dreidimensionale Vektoren.

Drei linear abhängige Vektoren sind koplanar. (Drei koplanare Vektoren sind linear abhängig.)

• Für n-dimensionale Vektoren.

  n + 1 Vektoren sind immer linear abhängig.

Beispiele für Probleme zur linearen Abhängigkeit und linearen Unabhängigkeit von Vektoren:

Beispiel 1. Überprüfen Sie, ob die Vektoren a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linear unabhängig sind .

Lösung:

Die Vektoren sind linear abhängig, da die Dimension der Vektoren kleiner ist als die Anzahl der Vektoren.

Beispiel 2. Überprüfen Sie, ob die Vektoren a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linear unabhängig sind.

Lösung:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

subtrahiere die zweite von der ersten Zeile; Fügen Sie der dritten Zeile eine zweite Zeile hinzu:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Diese Lösung zeigt, dass das System viele Lösungen hat, das heißt, es gibt eine Kombination von Werten der Zahlen x 1, x 2, x 3 ungleich Null, so dass die Linearkombination der Vektoren a, b, c gleich ist der Nullvektor, zum Beispiel:

A + b + c = 0

was bedeutet, dass die Vektoren a, b, c linear abhängig sind.

Antwort: Vektoren a, b, c sind linear abhängig.

Beispiel 3. Überprüfen Sie, ob die Vektoren a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linear unabhängig sind.

Lösung: Finden wir die Werte der Koeffizienten, bei denen die Linearkombination dieser Vektoren gleich dem Nullvektor ist.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Diese Vektorgleichung kann als lineares Gleichungssystem geschrieben werden

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Lösen wir dieses System mit der Gauß-Methode

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

subtrahiere die erste von der zweiten Zeile; subtrahiere die erste von der dritten Zeile:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

subtrahiere die zweite von der ersten Zeile; Fügen Sie der dritten Zeile eine Sekunde hinzu.

Das Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es Zahlen gibt, unter denen mindestens eine von Null verschieden ist, so dass die Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ist diese Gleichheit nur dann erfüllt, wenn alle , dann heißt das Vektorsystem linear unabhängig.

Satz. Das Vektorsystem wird linear abhängig genau dann, wenn mindestens einer seiner Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

Beispiel 1. Polynom ist eine lineare Kombination von Polynomen https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Die Polynome bilden seitdem ein linear unabhängiges System das Polynom https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Beispiel 2. Das Matrixsystem, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ist linear unabhängig, da eine lineare Kombination gleich ist Nullmatrix nur in dem Fall, wenn https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linear abhängig.

Lösung.

Lassen Sie uns eine lineare Kombination dieser Vektoren erstellen https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" Höhe=" 22">.

Wenn wir die gleichen Koordinaten gleicher Vektoren gleichsetzen, erhalten wir https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Endlich bekommen wir

Und

Das System hat eine einzigartige triviale Lösung, daher ist eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich Null, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher ist dieses Vektorsystem linear unabhängig.

Beispiel 4. Die Vektoren sind linear unabhängig. Wie werden die Vektorsysteme aussehen?

A).;

B).?

Lösung.

A). Machen wir eine Linearkombination und setzen sie mit Null gleich

Unter Verwendung der Eigenschaften von Operationen mit Vektoren im linearen Raum schreiben wir die letzte Gleichheit in der Form um

Da die Vektoren linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten at gleich Null sein, d. h..gif" width="12" height="23 src=">

Das resultierende Gleichungssystem hat eine einzigartige triviale Lösung .

Da Gleichberechtigung (*) wird nur ausgeführt, wenn https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linear unabhängig;

B). Machen wir eine Gleichheit https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Wenn wir eine ähnliche Argumentation anwenden, erhalten wir

Wenn wir das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen, erhalten wir

oder

Das letztere System verfügt über unendlich viele Lösungen https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Somit gibt es eine nicht- Nullsatz von Koeffizienten, für den die Gleichheit gilt (**) . Daher das Vektorsystem – linear abhängig.

Beispiel 5 Ein Vektorsystem ist linear unabhängig und ein Vektorsystem ist linear abhängig..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

In Gleichheit (***) . Tatsächlich wäre das System bei , linear abhängig.

Aus der Beziehung (***) wir bekommen oder Bezeichnen wir .

Wir bekommen

Aufgaben zur selbstständigen Lösung (im Unterricht)

1. Ein System, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

2. System bestehend aus einem Vektor A, ist genau dann linear abhängig, wenn, a=0.

3. Ein aus zwei Vektoren bestehendes System ist genau dann linear abhängig, wenn die Vektoren proportional sind (d. h. einer von ihnen entsteht aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl).

4. Wenn Sie einem linear abhängigen System einen Vektor hinzufügen, erhalten Sie ein linear abhängiges System.

5. Wenn ein Vektor aus einem linear unabhängigen System entfernt wird, ist das resultierende Vektorsystem linear unabhängig.

6. Wenn das System S ist linear unabhängig, wird aber durch Addition eines Vektors linear abhängig B, dann der Vektor B linear ausgedrückt durch Systemvektoren S.

C). Matrizensystem , , im Raum der Matrizen zweiter Ordnung.

10. Sei das Vektorsystem A,B,C Der Vektorraum ist linear unabhängig. Beweisen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Vektorsysteme:

A).a+bbc.

B).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– willkürliche Nummer

C).a+b, a+c, b+c.

11. Lassen A,B,C– drei Vektoren auf der Ebene, aus denen ein Dreieck gebildet werden kann. Werden diese Vektoren linear abhängig sein?

12. Es werden zwei Vektoren angegeben a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Finden Sie zwei weitere vierdimensionale Vektoren a3 unda4 damit das System a1,a2,a3,a4 war linear unabhängig .

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Lösung. Wir suchen nach einer allgemeinen Lösung des Gleichungssystems

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Gauß-Methode. Dazu schreiben wir dieses homogene System in Koordinaten:

Systemmatrix

Das erlaubte System hat die Form: (r A = 2, N= 3). Das System ist kooperativ und unsicher. Seine allgemeine Lösung ( X 2 – freie Variable): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Das Vorhandensein einer bestimmten Lösung ungleich Null zeigt beispielsweise an, dass die Vektoren A 1 , A 2 , A 3 linear abhängig.

Beispiel 2.

Finden Sie heraus, ob ein gegebenes Vektorsystem linear abhängig oder linear unabhängig ist:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Lösung. Betrachten Sie ein homogenes Gleichungssystem A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

oder in erweiterter Form (nach Koordinaten)

Das System ist homogen. Wenn es nicht degeneriert ist, hat es eine eindeutige Lösung. Im Fall eines homogenen Systems gibt es eine Nulllösung (trivial). Das bedeutet, dass in diesem Fall das Vektorsystem unabhängig ist. Wenn das System degeneriert ist, hat es Lösungen ungleich Null und ist daher abhängig.

Wir prüfen das System auf Entartung:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Das System ist nicht entartet und damit auch die Vektoren A 1 , A 2 , A 3 linear unabhängig.

Aufgaben. Finden Sie heraus, ob ein gegebenes Vektorsystem linear abhängig oder linear unabhängig ist:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Beweisen Sie, dass ein Vektorsystem linear abhängig ist, wenn es Folgendes enthält:

a) zwei gleiche Vektoren;

b) zwei proportionale Vektoren.

Aufgabe 1. Finden Sie heraus, ob das Vektorsystem linear unabhängig ist. Das Vektorsystem wird durch die Matrix des Systems spezifiziert, deren Spalten aus den Koordinaten der Vektoren bestehen.

.

Lösung. Lassen Sie die Linearkombination gleich Null. Nachdem wir diese Gleichheit in Koordinaten geschrieben haben, erhalten wir das folgende Gleichungssystem:

.

Ein solches Gleichungssystem heißt dreieckig. Sie hat nur eine Lösung . Daher die Vektoren linear unabhängig.

Aufgabe 2. Finden Sie heraus, ob das Vektorsystem linear unabhängig ist.

.

Lösung. Vektoren sind linear unabhängig (siehe Aufgabe 1). Beweisen wir, dass der Vektor eine Linearkombination von Vektoren ist . Vektorexpansionskoeffizienten werden aus dem Gleichungssystem ermittelt

.

Dieses System hat, wie ein dreieckiges System, eine einzigartige Lösung.

Daher das Vektorsystem linear abhängig.

Kommentar. Es werden Matrizen des gleichen Typs wie in Aufgabe 1 aufgerufen dreieckig , und in Aufgabe 2 – dreieckig gestuft . Die Frage nach der linearen Abhängigkeit eines Vektorsystems lässt sich leicht lösen, wenn die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Matrix stufenförmig ist. Wenn die Matrix keine spezielle Form hat, dann wird verwendet Elementare String-Konvertierungen Unter Beibehaltung linearer Beziehungen zwischen den Spalten kann es auf eine stufenförmige Dreiecksform reduziert werden.

Elementare String-Konvertierungen Matrizen (EPS) werden folgende Operationen auf einer Matrix aufgerufen:

1) Neuordnung der Linien;

2) Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;

3) Hinzufügen einer weiteren Zeichenfolge zu einer Zeichenfolge, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Aufgabe 3. Finden Sie das maximale linear unabhängige Subsystem und berechnen Sie den Rang des Vektorsystems

.

Lösung. Reduzieren wir die Matrix des Systems mithilfe von EPS auf eine Stufendreiecksform. Zur Erläuterung des Verfahrens bezeichnen wir die Zeile mit der Nummer der zu transformierenden Matrix mit dem Symbol . Die Spalte nach dem Pfeil gibt die Aktionen an den Zeilen der konvertierten Matrix an, die ausgeführt werden müssen, um die Zeilen der neuen Matrix zu erhalten.

.

Offensichtlich sind die ersten beiden Spalten der resultierenden Matrix linear unabhängig, die dritte Spalte ist ihre Linearkombination und die vierte hängt nicht von den ersten beiden ab. Vektoren werden als Basis bezeichnet. Sie bilden ein maximal linear unabhängiges Teilsystem des Systems , und der Rang des Systems ist drei.

Basis, Koordinaten

Aufgabe 4. Finden Sie die Basis und die Koordinaten der Vektoren in dieser Basis auf der Menge der geometrischen Vektoren, deren Koordinaten die Bedingung erfüllen .

Lösung. Die Menge ist eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft. Eine beliebige Basis auf einer Ebene besteht aus zwei nicht kollinearen Vektoren. Die Koordinaten der Vektoren in der ausgewählten Basis werden durch Lösen des entsprechenden linearen Gleichungssystems bestimmt.

Es gibt eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, indem Sie die Basis anhand der Koordinaten finden.

Koordinaten Räume sind keine Koordinaten auf der Ebene, da sie durch die Beziehung miteinander verbunden sind , das heißt, sie sind nicht unabhängig. Die unabhängigen Variablen und (sie werden als frei bezeichnet) definieren eindeutig einen Vektor auf der Ebene und können daher als Koordinaten in gewählt werden. Dann die Basis besteht aus Vektoren, die in Mengen freier Variablen liegen und diesen entsprechen Und , also .

Aufgabe 5. Finden Sie die Basis und die Koordinaten der Vektoren in dieser Basis auf der Menge aller Vektoren im Raum, deren ungerade Koordinaten einander gleich sind.

Lösung. Wählen wir wie im vorherigen Problem Koordinaten im Raum.

Als , dann freie Variablen bestimmen den Vektor eindeutig und sind daher Koordinaten. Die entsprechende Basis besteht aus Vektoren.

Aufgabe 6. Finden Sie die Basis und die Koordinaten der Vektoren in dieser Basis auf der Menge aller Matrizen der Form , Wo – beliebige Zahlen.

Lösung. Jede Matrix von ist in der Form eindeutig darstellbar:

Diese Beziehung ist die Entwicklung des Vektors von in Bezug auf die Basis
mit Koordinaten .

Aufgabe 7. Finden Sie die Dimension und Basis der linearen Hülle eines Vektorsystems

.

Lösung. Mithilfe des EPS transformieren wir die Matrix von den Koordinaten der Systemvektoren in eine Stufendreiecksform.

.

Säulen die letzten Matrizen sind linear unabhängig und die Spalten durch sie linear zum Ausdruck gebracht. Daher die Vektoren eine Basis bilden , Und .

Kommentar. Basis in ist mehrdeutig gewählt. Zum Beispiel Vektoren bilden ebenfalls eine Grundlage .