Квантовая теория информации
Рассмотрим вектор состояния кубита
и определим, сколько информации содержится в таком состоянии.
Примем интуитивную форму определения классической информации в векторе состояния. Отнесем к классической ту часть информации, которую мы имеем в классической форме, т.е. при измерении в базисе - , что означает: классическая информация может нести в таком состоянии максимум 1 бит.
Величины характеризуются тремя аналоговыми компонентами, которые можно отнести к квантовой части информации. Эти компоненты представляют собой.
Но для того что бы определить необходимо провести бесконечное множество измерений ансамбля частиц находящихся в состоянии, и определить вероятности по итогам испытаний, где:
А для определения разности фаз необходимы измерения интерференционного типа. Полное определение вектора состояния принято называть квантовой томографией.
Аналоговый характер квантовой информации принципиально важен, так как это означает. Что она образует континуум и два состояния в таком континууме могут быть преобразованы друг в друга. Так же отсюда следует, что процессы вычислений квантовой информации протекают в пространстве аналоговых переменных амплитуды при базисных состояниях.
Реализация квантового алгоритма
правление компьютером с n-кубитами реализуется преобразованием:
где и - векторы с компонентами. Очевидно что уже для n=3 вычисление даже на самом производительном компьютере станет проблемой. Еще сложнее физическая реализация
Выход из этой ситуации можно найти. Если рассмотреть возможность разложения матрицы в произведение матриц второго и четвертого порядка:
Матрица второго порядка преобразует вектор в состояние одного кубита следующим образом:
Таким образом, имеем, что каждая матрица из(1.1) описывает операцию на отдельном кубите. Матрица преобразует векторы пар кубитов:
Следовательно, числа сомножителя второго и четвертого порядков в разложении (1.1) определяют число однокубитовых и двухкубитовых операций, необходимых для реализации алгоритма. Чтобы алгоритм был эффективным, необходимо, чтобы полное число операций было полиномиальным от числа задействованных кубитов в компьютере. Если число операций возрастает экспоненциально, то такой алгоритм считается неэффективным
Универсальные наборы элементарных операций
Исходя из данных предыдущих параграфов, имеем, что однокубитовые операции описывают вращение одного кубита
Двухкубитовые операции происходят несколько иначе. Они предполагают связь двух кубитов, своего рода управление одного кубита (контролируемого) другим (контролирующим). Такая связь требует наличия физического взаимодействия между кубитами, либо включаемого на время, либо существующего постоянно.
Среди двухкубитовых операций выделяют операцию «контролируемого НЕ» (Controlled NOT - CNOT). Пусть контролирующий кубит первый, а контролируемый - второй. Тогда операция CNOT характеризуется таблицей входных и выходных состояний:
Таблица 1
|
Входное состояние |
|
Выходное состояние |
Из таблицы видно, что второй кубит инвертируется:
Рис. 1
В результате этой операции состояние может оказаться запутанным, если первый находится в состоянии. Диаграммный символ операции представлен на рисунке 2.1 (горизонтальные линии - оси времени, вертикальная линия - взаимодействие кубитов).
То с помощью таблицы операций легко вычислить
Обобщением контролируемой операции, является операция C-U, где U - любая однокубитовая операция. Эта операция выполняется над вторым кубитом, но только тогда, когда контролирующий кубит находится в состоянии. Так же эта операция может быть операцией изменения фазы:
Тогда операция взаимодействия двух кубитов примет вид:
Однокубитовые операции и двухкубитовая CNOT составляют универсальный набор операций для квантовых компьютеров, позволяющие описать любое преобразование вектора состояния компьютера. С точки зрения практической реализации наличие континуума операций крайне неудобно. Максимальной простотой исполнения обладает некоторый дискретный набор операций. В качестве такого предлагают использовать набор однокубитовых операций: преобразование Адамара, фазового вентиля
Фазового вентиля, и двухкубитового вентиля CNOT.
Физическая реализация квантовой операции всегда сопровождается некоторой погрешностью исполнения е. В связи с этим теория квантовой информации строится, как теория аппроксимаций.
Ошибка определяется как при выполнении операций:
Где - матрица идеального преобразования, - матрица реального преобразования, - пространство векторов стояния системы. Погрешности последовательности операций суммируются в смысле неравенства:
Убедимся в универсальности дискретного набора операций покажем возможность выполнения с их помощью любого однокубитового вращения с заданной погрешностью е.
Введем переменные.
Операторы имеют вид:
Очевидно, что
На сфере блоха значения a и b одного кубита будет иметь вид
Покажем, что с точностью до постоянной
Покажем, что с точностью до постоянной
Последовательное преобразование HTH и T будут представлять собой вращение сферы блоха на угол вокруг оси Ox, и вокруг оси Oz:
Два таких вращения эквивалентны одному вращению на угол, который можно определить из равенства, вокруг вектора.
Таким образом, получается, что именно фазы являются самыми удобными для использования.
Теперь докажем, что именно с погрешностью
Для углов покажем, что
Так же нам известно, что возможно такое вращение вокруг вектора
Отсюда и следует, что
Произвольное преобразование можно представить тремя вращениями вокруг трех осей n,m,n, каждое которых можно аппроксимировать, на угол.
Согласно теореме Соловей-Китаева, чтобы достичь погрешности необходимо совершить операций.
Кроме однокубитовых операций, двухкубитовая операция CNOT включает в себя процесс свободной эволюции двух кубитов под воздействием гамельтониана и их взаимодействия. В процессе этой эволюции один кубит управляет другим, при этом используется энергия их взаимодействия.
Отметим, что произвольное унитарное преобразование требует операций из универсального набора, другими словами число операций экспоненциально велико. По этому, эффективные алгоритмы могут быть только полиномиальными.
Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка … Википедия
Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка... Основа … Википедия
Квантовая криптография метод защиты коммуникаций, основанный на принципах квантовой физики. В отличие от традиционной криптографии, которая использует математические методы, чтобы обеспечить секретность информации, квантовая криптография… … Википедия
Квантовая механика … Википедия
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
Квантовая телепортация передача квантового состояния на расстояние при помощи разъединённой в пространстве сцепленной(запутанной) пары и классического канала связи, при которой состояние разрушается в точке отправления при проведении… … Википедия
Раздел статистической оптики, изучающий микроструктуру световых полей и оптич. явления, в к рых видна квант. природа света. Представление о квант. структуре излучения введено нем. физиком М. Планком в 1900. Статистич. структуру интерференц. поля… … Физическая энциклопедия
Связать? … Википедия
Общая теория относительности Математическая формулировка ОТО Космология Фундаментальные идеи Специальная теория относительности … Википедия
Изучает состояния микрочастиц и их систем (элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, кристаллов), изменение этих состояний во времени, а также связь величин, характеризующих состояния микрочастиц, с эксперим. макроскопич. величинами. К … Химическая энциклопедия
Книги
- Квантовые вычисления и квантовая информация , Нильсен М.. Книга известных американских специалистов дает подробное и всестороннее введение в новую область исследований: изучение роли физических законов (и, особенно, законов квантовой механики) при…
- Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 2 , Дж. Прескилл. Книга Дж. Прескилла представляет собой наиболее полное современное введение в новую, бурно развивающуюся область науки - теорию квантовой информации и квантовых вычислений. Вопросы,…
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ, раздел математики, в котором изучаются общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального и помехоустойчивого построения. Квантовая теория информации приводит к новому пониманию фундаментальных закономерностей квантовой теории, её оснований и соотношений с реальностью, а также стимулирует развитие экспериментальной физики.
Квантовая теория информации сформировалась как самостоятельная дисциплина в 1990-е годы, однако её зарождение относится к 1950-м годам и связано с появлением основ классической теории информации и помехоустойчивой связи в трудах В. А. Котельникова и К. Шеннона. На начальном этапе (1950-80-е годы) основным вопросом квантовой теории информации было выяснение фундаментальных ограничений на возможности передачи и обработки информации, обусловленных квантово-механической природой её носителя. Развитие информационных технологий в направлении микроминиатюризации, использование достижений квантовой оптики и квантовой электроники, супрамолекулярной химии, исследующей кибернетические свойства молекулярных соединений, приводят к выводу о том, что в обозримой перспективе эти ограничения станут основным препятствием для дальнейшего развития существующих технологий и принципов обработки информации. С другой стороны, появление в 1980-90-е годы идей построения квантового компьютера, квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволяет говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключённых в использовании специфически квантовых ресурсов, так называемого квантового параллелизма, сцепленности (перепутанности) квантовых состояний и дополнительности между измерением и возмущением.
В квантовой теории информации носителем информации является состояние квантовой системы Н, которое представляет собой информационный ресурс, поскольку оно имеет статистическую неопределённость. Математическим описанием чистого состояния является оператор проектирования (проектор) Р ψ на вектор ψ из гильбертова пространства системы Н. Рассматриваются также смешанные состояния, представляющие собой статистический ансамбль чистых состояний Рψ i с вероятностями p i . Такое состояние описывается оператором плотности ρ = ∑ i p i Ρ ψ , который характеризуется следующими свойствами: ρ - положительный оператор; ρ имеет единичный след. Т.о., собственные числа λ j оператора плотности образуют распределение вероятностей. Энтропия этого распределения
называемая энтропией фон Неймана, подобно энтропии Шеннона классического источника сообщений, является мерой неопределённости, то есть информационного содержания состояния, описываемого оператором р.
При передаче классического (не квантового) сообщения по квантовому каналу связи оно записывается в квантовом состоянии посредством задания значений параметров прибора, формирующего состояние. Однако вся полнота информационного содержания квантового состояния не может быть сведена к классическому сообщению, и поэтому для информации, содержащейся в квантовом состоянии, используется специальный термин «квантовая информация». Это связано с тем, что оно содержит в себе статистику всевозможных, в том числе и взаимоисключающих (так называемых дополнительных), измерений над системой. Наиболее ярким отличием квантовой информации от классической является невозможность копирования, линейность уравнений квантовой эволюции приводит к невозможности «квантового ксерокса», то есть физического устройства, позволяющего копировать произвольную квантовую информацию.
Подобно тому, как количество классической информации может быть измерено минимальным числом двоичных символов (битов), необходимым для кодирования (сжатия) сообщения, количество квантовой информации может быть определено как минимальное число элементарных квантовых систем с двумя уровнями (q-битов, кубитов), необходимое для хранения или передачи данного ансамбля квантовых состояний при оптимальном кодировании. Для асимптотически безошибочного кодирования квантового сообщения длины n, в котором состояния Рψ i появляются с вероятностями p i , необходимое число q-битов асимптотически (при n →∞) равно nН(ρ). Это означает, что размерность квантовой системы, в которой осуществляется оптимальное сжатие квантовой информации, содержащейся в состоянии ρ, асимптотически равна 2 nH(ρ) , что даёт информационную интерпретацию энтропии фон Неймана.
В основе феномена сцепленности квантовых состояний лежат необычные (для классических систем) свойства составных квантовых систем, которые описываются тензорным (а не декартовым, как в классической механике) произведением ⊗ подсистем. Пространство составной системы AB, наряду с векторами вида ψ А ⊗ψ В, содержит и всевозможные их линейные комбинации ∑ j ψ j A ⊗ψ j B . Cocтoяния составной системы, задаваемые векторами-произведениями, называются несцепленными, а не сводящиеся к таковым - сцепленными. Сцепленность представляет собой чисто квантовое свойство, отчасти родственное классической коррелированности, однако к ней не сводящееся (говорят о корреляциях Эйнштейна - Подольского - Розена). Именно наличие сцепленных состояний противоречит гипотезе о возможности классического статистического описания квантовых систем, удовлетворяющих так называемому физическому требованию локальности. Количественная теория сцепленности представляет собой своеобразную комбинаторную геометрию тензорных произведений гильбертовых пространств.
Двойственным образом в составных квантовых системах существуют сцепленные и несцепленные наблюдаемые (измерения). Если квантовые системы А и В находятся в несцепленном состоянии, то максимальные шенноновские количества информации Ι Α , Ι В, Ι АВ о состояниях систем А, В и составной системы AB удовлетворяют в общем случае соотношению I АВ > I A + I В. Этот неклассический феномен строгой супераддитивности информации играет важную роль в теории пропускной способности квантового канала связи.
Понятие канала связи и его пропускной способности, дающей предельную скорость безошибочной передачи, играет центральную роль в информации теории. Математический подход придаёт этим понятиям универсальную значимость: например, память компьютера (классического или квантового) может рассматриваться как канал из прошлого в будущее, тогда пропускная способность даёт количественное выражение для предельной ёмкости памяти при исправлении ошибок. Важность рассмотрения квантовых каналов связи обусловливается тем, что всякий физический канал, в конечном счете, является квантовым и такой подход позволяет учесть фундаментальные квантово-механические закономерности. Существенно, что в квантовом случае понятие пропускной способности разветвляется, порождая целый спектр информационных характеристик канала, зависящих от вида передаваемой информации (квантовой или классической), а также от дополнительных ресурсов, используемых при передаче.
В квантовой теории информации квантовый канал связи задаётся отображением Ф, переводящим состояния на входе в состояния на выходе, ρ → Ф[ρ], которое даёт сжатое статистическое описание результата взаимодействия системы на входе с её окружением (шумом). Классическая пропускная способность С(Ф) определяется как максимальная скорость передачи классических сообщений через канал Ф ⊗ n с n блоками с асимптотически (при n →∞) исчезающей ошибкой и равна максимальному количеству информации Шеннона, которое может быть получено применением произвольных кодирований классических сообщений в состояния на входе и квантовых измерений - декодирований на выходе канала. Для величины С(Ф) получено явное выражение через энтропийные характеристики канала, составляющее содержание теоремы кодирования Холево - Шумахера - Вестморленда.
Классическая пропускная способность канала Ф может быть увеличена путём использования сцепленности между входом и выходом канала, при этом одна только сцепленность не позволяет передавать информацию, сцепленность играет роль «катализатора», выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы. Если Ф - идеальный канал, т. е. канал без шума, то выигрыш в пропускной способности, доставляемый так называемым сверхплотным кодированием, двукратен. Чем более канал отличается от идеального, тем выигрыш больше и асимптотически (для каналов с очень большими шумами) может быть сколь угодно большим. Соответствующая максимальная скорость передачи С еа (Ф) носит название классической пропускной способности с использованием сцепленного состояния; для неё также имеется явная формула, полученная американскими учёными Ч. Беннеттом, П. Шором, Дж. Смолином и А. Таплиялом.
Само преобразование квантового состояния ρ → Ф[ρ] можно рассматривать как передачу квантовой информации. Теория предсказывает возможность нетривиального способа передачи, при котором состояния физически не пересылаются, а передаётся лишь некоторая классическая информация (так называемая квантовая телепортация). При этом необходимым дополнительным ресурсом вновь является сцепленность между входом и выходом канала связи. Свести передачу произвольного квантового состояния только к передаче классической информации, не используя дополнительного квантового ресурса, невозможно: поскольку классическая информация копируема, это означало бы возможность копирования и квантовой информации.
В связи с разработкой квантовых кодов, исправляющих ошибки, возник вопрос об асимптотически (при n→∞) безошибочной передаче квантовой информации каналом Ф ⊗ n . При этом квантовая пропускная способность Q(Ф) определяется как максимальная скорость передачи квантовой информации. Изучение квантовой пропускной способности основано на аналогии между квантовым каналом и классическим каналом с перехватом, причём в квантовом случае роль перехватчика информации играет окружение рассматриваемой системы. Оказалось, что величина Q(Ф) связана с криптографическими характеристиками канала, такими как пропускная способность для секретной передачи классической информации С р (Ф) и скорость распределения случайного ключа. Пропускные способности канала Ф связаны соотношениями Q(Φ) ≤ С р (Ф) ≤ С(Ф) ≤ С еа (Ф).
Большой раздел квантовой теории информации связан с исследованиями систем с непрерывными переменными, основанных на принципах квантовой оптики. Для них получен ряд результатов, касающихся пропускных способностей, сцепленности состояний и других информационных характеристик. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализованы именно в таких системах. Смотри также Квантовая связь.
Лит.: Bennett С. Н., Shor Р. W. Quantum information theory // Transactions on Information Theory. 1998. Vol. 44. № 6; Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. М., 2001; Физика квантовой информации / Под редакцией Д. Боумейстера и др. М., 2002; Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М., 2002; он же. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд. М., 2003; Нильсен М. А., Чуанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М., 2006; Hayashi М. Quantum information: an introduction. В.; N. Y., 2006.
Один из основоположников квантовой теории информации член-корреспондент РАН Александр Холево считает, что мы, возможно, приблизились к границам познания
К вантовый компьютер - одна из самых обсуждаемых тем науки. К сожалению, пока дальше отдельных экспериментов, которые ведутся во многих странах мира, включая Россию, дело не пошло, хотя результаты их многообещающие.
Параллельно, но с существенно большим успехом, идет создание систем квантовой криптографии. Такие системы уже находятся на стадии опытной реализации.
В основе самой идеи о возможности создания квантового компьютера и систем квантовой криптографии лежит квантовая теория информации. Один из ее основоположников - Александр Холево , российский математик, член-корреспондент РАН, заведующий отделом теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В 2016 году он получил Премию Шеннона, самую престижную в области теории информации, которую присуждает Институт инженеров электротехники и электроники - IEEE. Еще в 1973 году Холево сформулировал и доказал теорему, получившую его имя и легшую в основу квантовой криптографии: она устанавливает верхний предел количества информации, которое может быть извлечено из квантовых состояний.
Вы сформулировали свою наиболее известную теорему в 1973 году. Насколько я помню, в общественном пространстве не звучало тогда таких слов, как квантовая теория информации. Почему вы ею заинтересовались?
Действительно, тогда, да и потом еще некоторое время, в общественном пространстве она не звучала, но в научной литературе именно тогда, в 1960-х - начале 1970-х годов, стали появляться публикации, посвященные вопросу, какие фундаментальные ограничения налагает квантовая природа носителя информации (например, поля излучения лазера) на ее передачу. Вопрос о фундаментальных ограничениях возник неслучайно, почти сразу после создания Клодом Шенноном основ теории информации. Кстати, в 2016 году исполнилось сто лет со дня его рождения, а его знаменитая работа по теории информации появилась в 1948 году. И уже в 1950-е годы специалисты начали задумываться о квантовых ограничениях. Одной из первых была статья Дениса Габора (который получил Нобелевскую премию за изобретение голографии). Он поставил такой вопрос: какие принципиальные ограничения квантовая природа электромагнитного поля накладывает на передачу и воспроизведение информации? Ведь электромагнитное поле - это основной носитель информации: в виде света, радиоволн или на других частотах.
Если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной
После этого стали появляться физические работы на эту тему. Тогда это называлось не квантовой теорией информации, а Quantum Communication, то есть квантовой теорией передачи сообщений. Из отечественных ученых, уже тогда заинтересовавшихся этой проблематикой, я бы назвал Руслана Леонтьевича Стратоновича. Это был крупный специалист по статистической термодинамике, который писал и на эти темы.
В конце 1960-х я защитил кандидатскую диссертацию по математической статистике случайных процессов, стал думать, что делать дальше, и наткнулся на работы по этой проблематике. Я увидел, что это огромное поле деятельности, если, с одной стороны, подойти к этим задачам с точки зрения математических основ квантовой теории, а с другой - использовать то, что я знаю о математической статистике. Этот синтез оказался весьма плодотворным.
Суть теоремы, доказанной мною в 1973 году, состоит в следующем: если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной - ее потом стали называть χ-количество (хи-количество). По существу, все каналы связи являются квантовыми, только в большинстве случаев их «квантовостью» можно пренебречь. Но если температура шума в канале очень низкая или сигнал очень слабый (например, сигнал от удаленной звезды или гравитационная волна), то появляется необходимость учитывать квантово-механические погрешности, возникающие из-за наличия квантового шума.
- Ограничено сверху, то есть речь идет о максимальном объеме передаваемой информации?
Да, о максимальном количестве информации. Я занялся этим вопросом потому, что это была, по существу, математическая задача. О существовании такого неравенства физики догадывались, оно было сформулировано в качестве предположения и фигурировало в таком качестве не меньше десятка лет, а может, и больше. Противоречащих примеров найти не удавалось, а доказательство не получалось, я и решил этим заняться. Первым делом предположение надо было сформулировать математически, чтобы действительно доказать его как теорему. После этого прошла еще пара лет, пока как-то в метро мне не пришло озарение. В результате получилось это неравенство. А в 1996 году мне удалось показать, что эта верхняя граница достижима в пределе очень длинных сообщений, то есть она дает пропускную способность канала.
Важно, что эта верхняя граница для информации не зависит от того, каким способом меряется выход. Эта граница, в частности, нашла важные применения в квантовой криптографии. Если есть секретный канал связи и некий злоумышленник пытается его подслушать (такого злоумышленника обычно называют Евой от англ. eavesdropper - подслушивающий), то неизвестно, каким способом Ева подслушивает. Но то количество информации, которое она все-таки ухитряется украсть, ограничено сверху этой абсолютной величиной, не зависящей от способа измерения. Знание этой величины используется для усиления секретности передачи.
- Информация может пониматься как с математической, так и с физической точки зрения. Чем они отличаются?
В математической теории информации речь идет не о ее содержании, а о количестве. И с этой точки зрения способ физической реализации информации безразличен. Идет ли речь об изображении, музыке, тексте. Существенно лишь то, сколько памяти занимает эта информация в цифровом виде. И как ее можно закодировать наилучшим образом, обычно в двоичной форме, потому что для классической информации это наиболее удобный способ цифрового представления. Количество такой информации измеряется в двоичных единицах - битах. Если информация унифицирована таким образом, то это открывает возможности для единого подхода, не зависящего от природы носителя информации, пока мы рассматриваем только «классические» носители.
Отличительное свойство квантовой информации - невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных
Однако переход к квантовым носителям - фотонам, электронам, атомам - открывает принципиально новые возможности, и в этом состоит один из главных посылов квантовой теории информации. Возникает новый вид информации - квантовая информация, единицей измерения которой является квантовый бит - кубит. В этом смысле «информация физична», как говорил один из отцов-основателей квантовой теории информации Рольф Ландауэр. Отличительное свойство квантовой информации -невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных.
Надо сказать, что наш соотечественник Владимир Александрович Котельников сказал свое слово в теории информации раньше Шеннона. Он еще в 1933 году в «Материалах к первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи» опубликовал знаменитую «теорему отсчетов». Значение этой теоремы в том, что она позволяет непрерывную информацию, аналоговый сигнал перевести в дискретную форму (отсчеты). У нас работы в этой области были обставлены большой секретностью, поэтому такого резонанса, как работы Шеннона, работы Котельникова не получили, а на Западе вообще до некоторого момента были неизвестны. Но в конце 1990-х Институт инженеров электротехники и электроники, IEEE, присудил Котельникову высшую награду - медаль имени А. Г. Белла, а немецкий Фонд Эдуарда Рейна - премию за фундаментальные исследования, а именно за теорему отсчетов.
- А почему-то о Котельникове так мало вспоминали даже у нас…
Его работы были засекречены. В частности, Котельников очень много сделал в области правительственной связи, дальней космической связи. Между прочим, Владимир Александрович интересовался и вопросами интерпретации квантовой механики, у него есть работы на эту тему.
Шеннон прославился своей статьей 1948 года по теории информации. Но первая его знаменитая работа, посвященная использованию алгебры логики и булевых функций, то есть функций двоичных переменных для анализа и синтеза электрических схем (релейных, переключательных схем), была написана еще в 1937 году, когда он был студентом Массачусетского технологического института. Иногда ее называют самой выдающейся дипломной работой двадцатого столетия.
Это была революционная идея, которая, однако, в то время витала в воздухе. И в этом у Шеннона был предшественник, советский физик Виктор Шестаков. Он работал на физфаке МГУ и предложил применение двоичной и более общей многозначной логики для анализа и синтеза электрических схем еще в 1934 году. Он тогда защитился, но не сразу опубликовал свои исследования, так как считалось, что важно получить результат, а публикация может подождать. В общем, он опубликовал свои работы только в 1941 году, уже после Шеннона.
Интересно, что в то время, в 1940–1950-е годы, так удачно получилось: все, что позволило развивать теорию информации и обеспечить ее техническую реализацию, появилось почти одновременно.
Действительно, в конце войны появились электронно-вычислительные машины. Потом почти одновременно с публикацией статьи Шеннона изобрели транзистор. Если бы не это открытие и если бы технологический прогресс затормозился в этом отношении, то идеи теории информации еще долго не находили бы применения, потому что реализовать их на огромных шкафах с радиолампами, которые нагревались и требовали Ниагару для своего охлаждения, было затруднительно. Все совпало. Можно сказать, что эти идеи возникли очень своевременно.
Фотография: Дмитрий Лыков
Шеннон получил диплом математика и одновременно диплом инженера-электрика. Он знал математику настолько, насколько нужно инженеру, и при этом у него была потрясающая инженерно-математическая интуиция. Значение работ Шеннона для математики было осознано в Советском Союзе Андреем Колмогоровым и его школой, в то время как некоторые западные математики относились к работам Шеннона достаточно высокомерно. Критиковали за то, что он нестрого пишет, что у него какие-то математические огрехи, хотя по большому счету у него серьезных огрехов не было, зато интуиция была совершенно безошибочной. Если он что-то утверждал, то обычно не выписывал общие условия, при которых это верно, но профессиональный математик, потрудившись, мог всегда найти точные формулировки и доказательства, при которых соответствующий результат будет строгим. Как правило, это были очень новые и глубокие идеи, имевшие глобальные последствия. В этом отношении его даже сравнивают с Ньютоном и Эйнштейном. Так были заложены теоретические основы для информационной эры, которая началась в середине двадцатого века.
В своих работах вы пишете о связи таких свойств квантового мира, как «дополнительность» и «сцепленность» с информацией. Поясните это, пожалуйста.
Это два основных, принципиальных свойства, которые отличают квантовый мир от классического. Дополнительность в квантовой механике состоит в том, что имеются некоторые аспекты квантово-механического явления или объекта, которые оба относятся к этому объекту, но не могут быть одновременно точно зафиксированы. Например, если фокусируется положение квантовой частицы, то импульс размывается, и наоборот. И это не только координаты и импульс. Как указал Нильс Бор, дополнительность - это свойство не только квантово-механических систем, оно проявляется и в биологических, и в социальных системах. В 1961 году в переводе на русский язык вышел замечательный сборник статей Бора «Атомная физика и человеческое познание». Там говорится, например, о дополнительности между размышлением и действием, при этом размышление является аналогом положения, а действие - аналогом импульса. Мы прекрасно знаем, что есть люди действия, есть люди размышления, и это трудно совместить в одной персоне. Существуют какие-то фундаментальные пределы, которые не позволяют совместить эти свойства. Математически дополнительность выражается в том, что для описания квантовых величин используются неперестановочные объекты, матрицы или операторы. Результат их умножения зависит от порядка сомножителей. Если мы измерим сначала одну величину, затем другую, а потом сделаем это в противоположном порядке, то получим разные результаты. Это есть следствие дополнительности, и ничего подобного в классическом описании мира не существует, если понимать под этим, скажем, теорию вероятностей Колмогорова. В ней, в каком порядке ни измерялись бы случайные величины, у них будет одно и то же совместное распределение. Математически это является следствием того, что случайные величины представляются не матрицами, а функциями, которые перестановочны в смысле умножения.
Шеннон получил диплом математика и одновременно диплом инженера-электрика. Он знал математику настолько, насколько нужно инженеру, и при этом у него была потрясающая инженерно-математическая интуиция
- Как это сказывается на теории информации?
Важнейшее следствие дополнительности состоит в том, что если вы измеряете одну величину, то возмущаете дополнительную к ней. Это работает, например, в квантовой криптографии. Если в канале связи было несанкционированное вмешательство, оно обязательно должно себя проявить. На этом принципе…
- Построена защищенность информации?
Да, один из «квантовых» способов защиты информации опирается именно на свойство дополнительности.
Второй способ использует «сцепленность» (запутанность). Сцепленность - это другое фундаментальное свойство квантовых систем, которое не имеет классических аналогов. Оно относится к составным системам. Если дополнительность проявляется и для одиночной системы, то свойство сцепленности говорит о связи между частями составной системы. Эти части могут быть пространственно разнесены, но если они находятся в сцепленном квантовом состоянии, то между их внутренними свойствами возникает некая таинственная связь, так называемая квантовая псевдотелепатия. Измеряя одну подсистему, можно как-то повлиять на другую, причем моментально, но повлиять очень тонким образом. Мера такой сцепленности определяется корреляцией Эйнштейна-Подольского-Розена. Она сильнее, чем любая классическая корреляция, но не противоречит теории относительности, которая запрещает передачу информации со скоростью, большей скорости света. Информацию передавать нельзя, а уловить эту корреляцию можно, и ее можно использовать. Второй класс криптографических протоколов как раз основан на создании и использовании сцепленности между участниками этого протокола.
- Если кто-то вмешивается, то из-за сцепленности можно узнать об этом?
Если вмешиваемся в одно, другое неизбежно это чувствует.
Сцепленность - это, наверное, передача чего-то. Любая передача происходит через что-то. Каков механизм сцепленности?
Я бы не стал говорить про механизм сцепленности. Это свойство квантово-механического описания. Если вы принимаете это описание, то сцепленность вытекает из него. Как обычно передается взаимодействие? С помощью каких-то частиц. В данном случае нет таких частиц.
Но существуют эксперименты, которые подтверждают существование этого свойства. В 1960-х ирландский физик Джон Белл вывел важное неравенство, которое позволяет экспериментально определить, существует ли квантовая сцепленность на больших расстояниях. Такие опыты были проведены, и наличие сцепленности было подтверждено экспериментально.
Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы
Явление сцепленности действительно очень контринтуитивно. Его квантово-механическое объяснение не принималось некоторыми выдающимися физиками, например Эйнштейном, Де Бройлем, Шредингером… Они не принимали вероятностную интерпретацию квантовой механики, с которой связано и явление сцепленности, и считали, что должна существовать некая «более глубокая» теория, которая позволит описать результаты квантово-механических экспериментов, в частности наличие сцепленности «реалистически», как, скажем, классическая теория поля описывает электромагнитные явления.
Тогда можно было бы гармонично сочетать это свойство с теорией относительности и даже с общей теорией относительности. В настоящее время это, пожалуй, наиболее глубокая проблема теоретической физики: как квантовую механику согласовать с требованиями общей теории относительности. Квантовая теория поля согласуется со специальной теорией относительности ценой того, что делаются поправки (перенормировки) типа вычитания «бесконечной константы». Полностью математически непротиворечивой единой теории до сих пор не существует, попытки ее построить пока что упираются в тупик. Две фундаментальные теории, которые возникли в начале двадцатого века: квантовая теория и теория относительности, - до сих пор полностью не сведены воедино.
- Мышление тоже форма обработка информации. Какова связь мышления и теории информации?
В 2015 году отмечали двухсотлетие Джорджа Буля. Это ирландский математик, который открыл исчисление функций двоичных переменных, а также алгебру логики. Он предложил придавать значение «0» ложному высказыванию, значение «1» истинному высказыванию и показал, что законы логики прекрасно описываются соответствующей алгеброй логики. Надо сказать, что импульсом для этого открытия послужило именно его желание разобраться в законах человеческого мышления. Как пишут в его биографиях, когда он был молодым человеком, его посетило мистическое откровение и он почувствовал, что должен заняться раскрытием законов человеческого мышления. Он написал две важные книги, которые в то время не были по-настоящему востребованы. Его открытия нашли широкие применения только в двадцатом веке.
- В известном смысле алгебра логики, собственно, и демонстрирует связь мышления и математики?
Можно сказать и так. Но, если говорить о связи мышления и математики, то в двадцатом веке наиболее впечатляющим достижением, говорящем о каких-то глубоких внутренних противоречиях или парадоксах, которые заложены в законах человеческого мышления, были работы Курта Гёделя, которые поставили крест на утопической и чересчур оптимистической идее Давида Гильберта аксиоматизировать всю математику. Из результатов Гёделя, в частности, следует, что такая цель в принципе недостижима. Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для какой-то достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы. В этом усматривается некоторая отдаленная параллель с принципом дополнительности в квантовой теории, которая также говорит о несовместимости некоторых свойств. Полнота и непротиворечивость оказываются взаимно дополнительными свойствами. Если эту параллель провести дальше, то можно прийти к мысли, которая, может быть, для современной науки покажется крамольной: познание имеет границы. «Смирись, гордый человек», - как сказал Федор Михайлович Достоевский. Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам. Возможно, поэтому столь сложной оказывается и проблема создания масштабируемого квантового компьютера.
Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам
Может быть, дело в том, что не просто не хватает возможностей человеческого мышления, а что мир как таковой устроен настолько внутренне противоречиво, что его нельзя познать?
Это может показать только будущее. В каком-то смысле так, и это хорошо видно на примере общественной жизни: сколько было попыток построить гармоничное общество, и, хотя они приводили к новому развитию - к сожалению, с огромными усилиями и жертвами, - гармоничное общество так и не было создано. Это внутреннее противоречие, конечно, присутствует в нашем мире. Впрочем, как учит диалектика, противоречия, отрицание отрицания - это источник развития. Между прочим, определенная диалектичность присутствует и в квантовой теории.
Конечно, то, что я сейчас говорю, противоречит существующему историческому оптимизму, грубо говоря, что можно построить «теорию всего» и все объяснить.
Людвиг Фаддеев, как он говорил в интервью мне, сторонник той точки зрения, что рано или поздно такая теория возникнет.
Такая точка зрения, вероятно, основана на экстраполяции идей Века Просвещения, кульминацией которых стал небывалый научно-технический рывок двадцатого века. Но действительность все время ставит нас перед лицом того факта, что наука может очень многое, но все же не всемогуща. Ситуация, когда разные фрагменты реальности успешно описываются различными математическими моделями, лишь в принципе согласующимися в пограничных режимах, может быть заложена в самой природе вещей.
- Вы упомянули о квантовом компьютере. А ведь его идея родилась на основе квантовой теории информации…
Идея об эффективных квантовых вычислениях высказывалась Юрием Ивановичем Маниным в 1980 году. Ричард Фейнман написал в 1984 году статью, в которой задался вопросом: поскольку моделирование сложных квантовых систем, например достаточно больших молекул, занимает все больше места и времени на обычных компьютерах, нельзя ли использовать квантовые системы для моделирования квантовых же систем?
- Исходя из того, что сложность квантовой системы адекватна сложности задачи?
Приблизительно так. Затем появились идеи квантовой криптографии, а идея квантового компьютера наиболее громко прозвучала после того, как Питер Шор предложил алгоритм разложения на множители большого составного натурального числа, основанный на идее квантового параллелизма. Почему это вызывало такой резонанс? Предположение о сложности решения подобной задачи лежит в основе современных систем шифрования с открытым ключом , которые широко используются, в частности, в интернете. Такая сложность не позволяет, даже имея суперкомпьютер, взломать шифр за сколько-нибудь обозримое время. В то же время алгоритм Шора позволяет решить эту задачу за приемлемое время (порядка нескольких суток). Этим как бы создавалась потенциальная угроза для всей системы интернета и всего, что использует такие системы шифрования. С другой стороны, было показано, что методы квантовой криптографии не поддаются взлому даже с помощью квантового компьютера, то есть они являются физически защищенными.
Еще одно важное открытие состояло в том, что можно предложить квантовые коды, исправляющие ошибки, как в классической теории информации. Почему так высококачественно хранится цифровая информация? Потому что есть коды, которые исправляют ошибки. Вы можете поцарапать компакт-диск, и все равно он будет воспроизводить запись правильно, без искажений, благодаря таким корректирующим кодам.
Аналогичная, но значительно более изощренная конструкция была предложена и для квантовых устройств. Более того, теоретически доказано, что если вероятность сбоев не превосходит некоторого порога, то можно практически любую схему, которая выполняет квантовые вычисления, сделать устойчивой к ошибкам путем добавления специальных блоков, занимающихся не только исправлением, но и внутренней безопасностью.
Не исключено, что наиболее перспективный путь - создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором несколько кубитов взаимодействуют с классическим компьютером
Когда экспериментаторы начали работать над воплощением идей квантовой информатики, стали ясны трудности на пути их осуществления. Квантовый компьютер должен состоять из большого числа кубитов - квантовых ячеек памяти и квантовых логических процессоров, которые осуществляют операции над ними. Наш физик Алексей Устинов в 2015 году реализовал сверхпроводящий квантовый кубит. Сейчас есть схемы из десятков кубитов. Google обещает в 2017 году построить вычислительное устройство из 50 кубитов. На данном этапе важно, что физики успешно осваивают новаторские экспериментальные методы, которые позволяют «измерять и целенаправленно манипулировать индивидуальными квантовыми системами» (Нобелевская премия по физике 2012 года). В этом же направлении движутся и химики, создающие молекулярные машины (Нобелевская премия по химии 2016 года).
Практическое осуществления квантовых вычислений и других идей квантовой информатики - перспективная задача. Идет постоянная упорная работа физиков, экспериментаторов. Но пока не произошло технологического прорыва, подобного изобретению транзистора, нет квантовых технологий, которые воспроизводились бы массово и относительно дешево, подобно производству интегральных схем. Если для изготовления классического персонального компьютера можно было покупать детали в магазине и паять электронные схемы в гараже, то с квантовым так не получится.
Не исключено, что наиболее перспективный путь - создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором нескольких кубитов взаимодействуют с классическим компьютером.
Возможно, человеческий мозг представляет собой подобный гибридный компьютер. В популярной книге английского физика Роджера Пенроуза «Новый ум короля» автор высказывает мнение, что в мозгу есть некие биофизические механизмы, способные выполнять квантовые вычисления, хотя такое мнение разделяют далеко не все. Известный швейцарский теоретик Клаус Хепп говорит, что не может представить себе, чтобы влажный и теплый мозг осуществлял квантовые операции. С другой стороны, Юрий Манин, о котором уже упоминалось, допускает, что мозг - это большой классический компьютер, в котором присутствует квантовый чип, ответственный за интуицию и другие творческие задачи. А также, вероятно, и за «свободу воли», поскольку в квантовой механике случайность заложена принципиально, в самой природе вещей.
В отличие от обычных систем (с секретным ключом), системы, допускающие открытую передачу (открытой) части ключа по незащищенному каналу связи, называют системами с открытым ключом. В таких системах открытый ключ (ключ шифрования), отличается от личного ключа (ключа расшифровывания), поэтому их иногда называют асимметричными системами или двуключевыми системами.
31 октября 2015 в 22:52«Кванты» здесь и сейчас (часть 3)
- Научно-популярное ,
В предыдущих статьях я кратко рассказал о предпосылках в развитии и , которые привели к появлению квантовой информации и квантовым вычислениям как таковым. Сегодня же хотел рассмотреть подобным образом ещё одно направление, внесшее существенный вклад: теорию информации
.
Теория информации.
В 40-х гг. одновременно с развитием информатики происходили кардинальные изменения в понимании понятия связи. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал несколько выдающихся работ, которые и заложили основы современной теории информации и связи. Скорее всего, самым важным шагом, сделанным Шенноном, заключался в том, что он ввел математическое определение понятия информации. Вот попробуйте подумать, исходя из самых простых, обывательских соображений, над следующим вопросом: как бы вы подошли к математическому определению понятия «источник информации?» В мире на тот момент появилось несколько решений данного вопроса, однако ответ Шеннона был наиболее плодотворным в плане улучшения понимая. Его использование привело к получению ряда определенных серьезных результатов, и созданию теории, которая достаточно адекватно отображает многие реальные проблемы связи.Шеннона интересовали два ключевых вопроса, которые имеют непосредственное отношение к обмену информацией по каналу связи. Во-первых, какие ресурсы требуются для передачи информации по каналу? Во-вторых, может ли информация передаваться таким образом, чтобы быть защищенной от шумов в канале связи? И он ответил на оба этих вопроса, доказав две фундаментальные теоремы. Первая - теорема о кодировании для канала без шума - определяющая количество физических ресурсов, требующееся для хранения выходных данных источника информации. Вторая - теорема о кодировании канала с шумом - показывает количество информации, которое можно надежно передать по каналу в присутствии шума. Шеннон показал, чтобы достигнуть надежной передачи в присутствии шума возможно использование кодов, исправляющих ошибки. Теорема Шеннона для канала с шумом устанавливает верхний предел защиты информации, обеспечивающийся подобными кодами. К сожалению, теорема не даёт явного вида кодов, помогающих достичь этого предела на практике. Однако, существует сложная теория, позволяющая разработать хороший код, исправляющий ошибки. Подобные коды широко применяются, например, в компьютерных модемах и спутниковых системах связи.
Квантовая теория информации.
Квантовая теория информации развивалась примерно схожим образом. В 1995 году Бен Шумахер доказал аналог теоремы Шеннона о кодировании в отсутствии шума, по ходу дела определив квантовый бит (кубит) как реальный физический ресурс. Но, стоит отметить, что до сих пор нет аналога теоремы Шеннона о кодировании для канала с шумом применительно к квантовой информатике. Несмотря на это, была разработана теория исправления квантовых ошибок, позволяющая квантовых компьютерам эффективно проводить вычисления при наличии шума, а так же надежно передавать информацию.Классические идеи исправления ошибок оказались очень важными и полезными при разработке и понимании кодов, позволяющих исправить квантовые. В 1996 году работавшие назависимо Роберт Калдербанк с Питером Шором и Эндрю Стин открыли важный класс квантовых кодов, называемых сейчас CSS-кодами по первым буквам их фамилий. Позднее данные коды были отнесены к категории симлпектических, или стабилизирующих, кодов. Данные открытия опирались в значительной степени на идеи классической теории линейного кодирования, что значительно способствовало быстрому пониманию кодов исправления квантовых ошибок и их дальнейшему использованию в области квантовых вычислений и квантовой информации.
Данная теория была разработана с целью защиты квантовых состояний от шума, но что насчёт передачи классической информации по квантовому каналу? Эффективно ли это вообще, а если да, то насколько? И вот тут-то и ждало несколько сюрпризов. В 1992 году Чарльз Беннет и Стив Уиснер объяснили миру, как передать два классических бита информации путем передачи только одного кубита. Это было названо сверхплотным кодированием.
Ещё больше вопросов и, соответственно, больший интерес вызывают результаты в области распределенных квантовых вычислений . Представьте, что у вас есть два компьютера, соединенных в сеть, на которых решается некоторая задача. Сколько передач по сети потребуется для её решения? Ответ на этот вопрос не столь важен, важно другое. Не так давно было показано, что для подобной квантовой системы может потребоваться экспоненциально меньшее количество времени для решения задачи, чем для классических сетевых компьютеров. Это определенно является очень значимым результатом, но тут есть один минус - к сожалению, эти задачи не представляют особого интереса в реальных условиях.
Сетевая квантовая теория информации.
Классическая теория информации начинается с изучения свойств одиночного канала связи, в то время как на практике мы часто имеем дело с сетью множества каналов, а не с одним. Свойства как раз таких сетей и изучает сетевая теория информации, которая развилась в обширную и сложную науку.Сетевая квантовая теория информации же, напротив, во многом только зарождается. Мы крайне мало знаем до сих пор только о возможностях передачи в квантовых сетях, не говоря уже обо всем остальном. В последние годы получено большое количество результатов и наработок, даже созданы кое-какие квантовые сети, но единой сетевой теории для квантовых каналов пока так и не существует. И тут все опять упирается в противоречащие интуиции свойства, иллюстрирующие странную природу квантовой информации.
