Площадь функции через интеграл. Нахождение площади криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85). Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у - 1 -х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86). у Рис. 87. Рис. 86. 1 Здесь f(x)= 1 - л?, пределы интегрирования а = - и £=1, поэтому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем Л 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я 5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88). Предварительные рас-рис суждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я Г,*я S - \ sin х dx = [ - cos х]0 = = -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Этот результат требует разъяснений. Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2. я Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим 2л я 2л J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной. В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4. Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох, параболой у = - хг и прямой у - =-х+\. Площадь криволинейной трапеции Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений 3 2 У = тх. (нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), где \(\Delta x_k \) - длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х 0 , b = x n ; \(\Delta x_0 \) - длина отрезка , \(\Delta x_1 \) - длина отрезка , и т.д; при этом, как мы условились выше, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_{n-1} \)

Итак, \(S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n):
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t k . Итак, мы считаем, что v = v(t k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени , это приближенное значение обозначим s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\(s \approx S_n \) где
\(S_n = s_0 + \dots + s_{n-1} = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1} \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S n):
$$ s = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ \lim_{n \to \infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:

Формула Ньютона - Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости - обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) - первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона - Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646- 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона - Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\(S = S_{ABCD} = S_{aDCb} - S_{aABb} = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями

Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор

Тип урока : урок-лекция

Цели урока :

• воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
• развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
• образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Ход урока

В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.

Криволинейная трапеция (слайд 1 )

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс

Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)

Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая

Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)

Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f

И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:

Задание 1:

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

Решение: (по алгоритму слайд 3 )

Начертим график функции и прямые

Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :

Самопроверка по слайду

Интеграл

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.

Запишем эти рассуждения в виде формул.

Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму

Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)

Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)

Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,

Определение:

Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм

= (щ.м.)

Формула Ньютона- Лейбница.

Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:

Sк.т. =(щ.м.)

С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S к. т.(щ.м.)

Сравнивая эти формулы, получим:

= (щ.м.)

Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.

Для удобства вычислений формулу записывают в виде:

= = (щ.м.)

Задания: (щ.м.)

1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )

2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )

Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )

Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?

Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)

Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:

1. Построить графики функций
2. Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
3. Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
4. Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
5. Вычислить площадь каждой из них
6. Найти разность или сумму площадей

Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)

Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
5. Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.