Главная » Декор » Познакомился с учителем математики александром васильевичем спиваком

Познакомился с учителем математики александром васильевичем спиваком

Первое своё занятие математического кружка я провёл в 1982 году, будучи студентом первого курса мехмата МГУ. Многие мои бывшие кружковцы поступили в МГУ и другие вузы, некоторые успели закончить учёбу, у кого-то даже кончилась аспирантура. Время быстротечно: страна, в которой работает Малый мехмат, успела изменить площадь, название и другие атрибуты (некоторые - более одного раза). На Малом мехмате нет уже никого из тех, с кем я когда-то начинал.

Хотя уровень приносимых из школы знаний на глазах падает, всё ещё есть главное - жадные до знаний школьники, некоторые из которых ездят на занятия не на автобусе и даже не на метро, а на электричке. Не истреблён искренний интерес к науке. И хотя в нескольких математических школах Москвы удаётся изучать математику на более высоком уровне, чем на кружках МММФ (впрочем, к сожалению, таких школ очень мало), энтузиазм Малого мехмата дорогого стоит.

Здесь представлен конспект занятий моего кружка. Тут важно слово «моего»: свобода выбора тем и методики занятий на Малом мехмате довольно велика, другие кружки занимались совсем по-другому. Одно из главных отличий - б ó льшая часть времени на моём кружке уходит не на попытки школьников решать задачи, а на обсуждение решений и рассказ о связанных с темой занятия теоремах и понятиях. Как только кто-то решил какую-то из предложенных задач, он выходит к доске. Иногда решение оказывается ошибочным, тогда идёт к доске другой участник кружка, и так далее. (А если в течение долгого времени ничего не получается, то я, отчаявшись дождаться, рассказываю решение сам.)

Два часа в неделю - это очень мало, особенно если учесть, что во время студенческой сессии Малый мехмат не работает. Поэтому основная задача кружка - не научить, а заинтересовать. Рассказ об интересных книгах, журнале «Квант», олимпиадах - важная часть работы МММФ.

Не менее важна домашняя работа - без неё занятия мало чем отличались бы от походов в цирк или зоопарк. И хотя посмотреть на живого математика, оказаться среди умных сверстников и подышать университетским воздухом само по себе полезно, лучше самому научиться решать задачи. Чтобы помочь в этом своему ребенку, некоторые родители даже сидят на задних рядах аудитории 1408 и затем дома обсуждают содержание занятия, пытаются дорешать те задачи, которые мы не успели разобрать.

В течение всего учебного года проходила домашняя олимпиада: школьники на очередном занятии сдавали письменные работы и получали очередную порцию задач. Можно было сдавать задачи не только предыдущего занятия, но и любого более раннего - это давало возможность участникам кружка исправлять свои ошибки.

Занятия проходили по субботам с 16 до 18 часов в аудитории 1408. На каждом занятии присутствовали около 60 школьников.

Вы можете получить и zip-архив (1200 Кб) этой части сайта (сохранив файл на своём компьютере, Вы сможете отключить связь и затем, распаковав файл spivak67.zip и загрузив файл spivak67.htm в Internet Explorer, читать материалы этого кружка, даже когда компьютер отключён от интернета).
Вы можете получить и zip-архив сокращённой версии (340 Кб) . В этой версии условия задач те же самые, но нет ни ответов, ни указаний, ни решений.

Замечательная личность!

Оказывается, в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова с 1982 существует так называемый Малый мехмат МГУ.
Получается, когда я там учился, он уже существовал.
Правда, я учился в другом корпусе. И мне было совершенно не до этого.

Не пугайтесь названия.
Занятия доступны абсолютно всем школьникам.
Они бесплатные и свободные.
То есть любой родитель может привести своего ребенка, если сможет уговорить его позаниматься.
Фактически это такая воскресная школа, только по математике.
Вот в прошедшую субботу я неожиданно для себя и попал во 2-й гуманитарный корпус МГУ на занятия этого самого Мехмата, которые ведет Александр Васильевич Спивак.

Впечатление сильное.

Представьте себе поточную аудиторию, довольно плотно заполненную детьми разных возрастов, но преимущественно, как мне показалось, 3-5 школьных классов.
В задних рядах - несколько родителей.
Перед аудиторией - один учитель, Александр Васильевич Спивак.
И ему удается удерживать внимание этих детей несколько часов.

Популярные лекции по математике
2011-2012 учебный год

Лекция 1 (270) 17.09.2011

Александр Васильевич СПИВАК,

Игра Конвея с единицами. Треугольник Паскаля и числа Стирлинга

Удалось полностью разобраться в задаче Дж. Конвея о единицах. Она оказалась связана с треугольником Паскаля. Подбирая правила игры, можно получить как великолепную иллюстрацию бинома Ньютона, так и числа Стирлинга для перестановок.

Лекция 2 (271) 24.09.2011

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика-2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Числа Стирлинга и формула включений-исключений

Эта лекция - продолжение предыдущей. Было рассказано о связи чисел Стирлинга с алгеброй и формулой включений-исключений. Было дано определение функции Мёбиуса и доказана одна из формул обращения Мёбиуса.

Лекция 3 (272) 1.10.2011

Лев Дмитриевич БЕКЛЕМИШЕВ,

член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ.

Доказуемость и недоказуемость в математике

Было рассказано о том, как в математике были обнаружены первые истинные, но не доказуемые утверждения. Как и при каких условиях можно в принципе установить (и даже строго доказать) недоказуемость чего-либо. Были приведены примеры простых комбинаторных недоказуемых утверждений, в том числе найденные сравнительно недавно.

Лекция 4 (273) 8.10.2011

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор, исполняющий обязанности декана механико-математического факультета МГУ.

Математика в Московском университете

В рамках «Фестиваля науки» В.Н. Чубариков выступил перед школьниками и их родителями.

Лекция 5 (274) 8.10.2011

Владимир Юрьевич ПРОТАСОВ,

доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ.

Геометрия звёздного неба

Лекция 6 (275) 15.10.2011

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ГАИШ МГУ.

Движение небесных тел: гравитация и приливы

Лекция 7 (276) 22.10.2011

Антон Александрович КЛЯЧКО,

доцент кафедры алгебры МГУ.

Муравьи на мячике

Если сфера разделена на конечное число областей и по границе каждой области ползёт муравей, обходя свою область против часовой стрелки за конечное время без остановок и разворотов, то рано или поздно какие-то два муравья обязательно встретятся.

Было рассказано об обобщениях и усилениях этой леммы, доказанной когда-то докладчиком. Были упомянуты её применения к абстрактной алгебре, а именно, к решениям уравнений над группами.

Лекция 8 (277) 29.10.2011

Юрий Александрович АЛХИМЕНКОВ,

студент III курса геофизического отделения геологического факультета МГУ.

Брахистохрона Иоганна Бернулли

В вертикальной плоскости даны точки A и B . Необходимо определить кривую, спускаясь по которой под действием силы тяжести и начав двигаться из точки А, тело достигнет точки В за кратчайшее время. Такую кривую скорейшего спуска называют брахистохроной. Ещё в XVII веке Иоганн Бернулли поставил эту задачу, которая привлекла внимание многих выдающихся ученых. Всего предложено пять решений: И. Бернулли, Лейбница, Я. Бернулли, Лопиталя и Ньютона. Все они очень содержательны. Наибольшую популярность получило решение самого автора, о котором и пойдёт речь на лекции.

Лекция 9 (278) 5.11.2011

Длины биссектрис треугольника

Легко построить треугольник по длинам трёх его медиан. Необходимым и достаточным условием существования треугольника с заданными длинами медиан m a , m b и m c являются неравенства треугольника m a < m b + m c , m b < m a + m c и m c < m a + m b .

Чуть сложнее построить треугольник по длинам его высот. Необходимым и достаточным условием существования такого треугольника являются неравенства треугольника на числа 1/ h a , 1/ h b и 1/ h c .

Задача о восстановлении треугольника по длинам его биссектрис намного труднее и интереснее. Оказывается, никаких ограничений на длины биссектрис нет! Более того, для любых трёх отрезков существует и единственен треугольник именно с такими длинами биссектрис. А вот циркулем и линейкой построить треугольник по длинам его биссектрис нельзя.

Лекция 10 (279) 12.11.2011

Раскраски графов и системы линейных уравнений

Количество способов окрасить часть вершин графа так, чтобы для любой окрашенной вершины количество окрашенных соседок (вершины называем соседними, если они соединены ребром) было чётно, а для любой неокрашенной количество соседок было нечётно, может равняться только одному из чисел 1, 2, 4, 8, ... В частности, оно не может равняться нулю. Чтобы доказать этот факт, были рассмотрены системы линейных уравнений над полем из двух элементов.

Лекция 11 (280) 19.11.2011

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Лингвистические задачи

Стало традицией незадолго до Традиционной лингвистической олимпиады знакомить школьников - слушателей лектория Малого мехмата - с тем, что такое лингвистика, демонстрировать примеры лингвистических задач. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны - это значит, что для их решения не нужны специальные знания, достаточно лишь уметь логически рассуждать. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется доказывать каждое предположение. Будет рассказано о том, что такое язык и как его описывают.

Если вам понравится разбираться в устройстве языка - добро пожаловать на Традиционную лингвистическую олимпиаду.

Лекция 12 (281) 26.11.2010

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, автор многих брошюр и книг для школьников и студентов.

Пространственные решения планиметрических задач

Было рассказано, как стереометрия помогает решать планиметрические задачи. Советую прочитать статью «Мыльные пузыри и хорды» второго номера журнала «Квант» 2010 года.

Лекция 13 (282) 3.12.2011

Александр Васильевич СПИВАК,

Избранные задачи «Заочных математических олимпиад»

Было рассказано о нескольких интересных задачах недавно переизданной книги «Заочные математические олимпиады» Н.Б. Васильева, В.Л. Гутенмахера, Ж.М. Раббота и А.Л. Тоома.

Лекция 14 (283) 17.12.2011

Анатолий Александрович ЧАСОВСКИХ,

мехмат МГУ.

Нейросети

Было рассказано о нейросетях.

Лекция 15 (284) 11.02.2012

Бесповторные последовательности

n -я буква слова Туэ - А или Б в зависимости от того, чётно или нечётно количество единиц двоичной записи числа n . Оказывается, в этом слове никакое подслово не появляется три раза подряд. При помощи слова Туэ легко построить слово в трёхбуквенном алфавите, которое не содержит не только трёх, но даже двух одинаковых подряд идущих подслов. Есть и другие - не использующие конструкцию Акселя Туэ - способы построения бесквадратных слов (для алфавитов, состоящих более чем из двух букв).

Лекция 16 (285) 18.02.2012

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательского отдела в Яндексе, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике», «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума», «Хроматические числа», «Проблема Борсука», «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике», «Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии», «Модели случайных графов» и «Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике».

Системы представителей

Представим себе такую ситуацию. В некоторую организацию одновременно приехали с визитом несколько иностранцев - скажем, англичанин, француз, японец и венгр. Каждый из них умеет говорить только на своем родном языке. Желая должным образом принять гостя, организация стремится послать на встречу с ним одного из своих сотрудников, который бы владел соответствующим языком и, тем самым, помог визитёру сориентироваться в незнакомом городе (на наёмных переводчиков денег жалко). Допустим, нашлись как сотрудники, знающие английский, так и сотрудники, говорящие по-венгерски, и так далее. Однако организация не хочет отрывать слишком много людей от работы и пытается минимизировать количество сотрудников, командируемых на общение с иностранцами. Ведь могут же найтись и такие полиглоты в её рядах, которые одновременно владеют английским и японским или, и того больше, французским, японским и венгерским? Глядишь, приставит организация одного человека сразу к троим посетителям, и проблем станет меньше?

В общем случае поставленная задача весьма нетривиальна. Иногда её называют задачей о системах представителей , что вполне естественно. Она нашла многочисленные применения в математике. (Умение решать её позволяет даже повысить вероятность выигрыша в некоторых лотереях!)

Лекция 17 (286) 25.02.2012

Формула крюков

Явная формула для чисел Каталана является частным случаем открытой в 1954 году формулы крюков. При помощи антисимметрических многочленов можно доказать формулу крюков весьма естественным и простым способом. Ознакомиться с этим доказательством можно в третьем номере «Кванта» 2009 года.

Лекция 18 (287) 3.03.2012

Вероятности. Среднее значение и дисперсия. Бросания несимметричной монеты

Среднее значение случайной величины (математическое ожидание) и дисперсия весьма важны не только для математиков. Что же такое теория вероятностей? На примере нескольких вполне доступных задач рассказано об этой очень важной математической науке.

Лекция 19 (288) 10.03.2012

Закон больших чисел

Это вторая лекция о теории вероятностей. Было рассказано доказательство закона больших чисел Чебышёва.

Лекция 20 (289) 17.03.2012

Вписанные многоугольники

Рассмотрим окружность и точку внутри неё. При каких натуральных n может так быть, что некоторые лучи, выходящие из этой точки под равными углами, дают отрезки, длины которых были все целыми и разными числами? В статье «Вписанные многоугольники» первого номера «Кванта» 1999 года дано полное решение этой задачи. Теорема Птелемея о том, что произведение длин диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон и многие другие теоремы геометрии естественным образом возникают при решении этой задачи.

Лекция 21 (290) 24.03.2012

Марковские цепи и пари для простаков

Это третья лекция о теории вероятностей. В пятом номере «Кванта» 1987 года в статье П.А. Певзнера «Лучшее пари для простаков» рассказано о формуле Конвея, которая для любых двух разных слов A и B одинаковой длины, состоящих из букв О (орёл) и Р (решка), даёт вероятность выигрыша в придуманной в 1969 году Вальтером Пеннеем игре. Игра вот какая: бросают монетку и записывают результаты. Как только оказывается выписано слово A , победителем объявляют первого игрока, а если до этого успевает появиться слово B , то победителем объявляют второго игрока.

Удивительным образом, для каждого более чем двухбуквенного слова можно указать более выгодное слово такой же длины.

Кроме задачи Пеннея, были разобраны знаменитая задача о разорении и другие примеры.

Лекция 22 (291) 7.04.2012

Фёдор Константинович НИЛОВ,

студент мехмата МГУ и лаборатории геометрических методов математической физики имени Н.Н. Боголюбова

Обобщённая конструкция Данделена

Хорошо известны фокальное и директориальное определения коник. Оказывается, в этих определениях фокусы можно заменить на окружности, а расстояние от точки до фокуса - на длину касательной к фокальной окружности. Классическая конструкция шаров Данделена наглядным образом характеризует сечения кругового конуса (коники). Основная цель лекции - доказательство аналогичной теоремы для других поверхностей вращения второго порядка (поверхностей, образованных вращением коники относительно одной из её осей симметрии).

Ключевым моментом в доказательстве теоремы Данделена является то, что на конусе есть семейство прямолинейных образующих. Для произвольной поверхности второго порядка это не так. Для доказательства обобщённой теоремы мы будем использовать обобщённые определения коник. Эти определения отличаются от классических тем, что фокусы в них заменяются на окружности, а расстояние от точки до фокуса - на длину касательной к «фокальной» окружности. Были рассказаны и некоторые другие применения этих определений.

Лекция 23 (292) 14.04.2012

Критерий Куратовского планарности графа

Невозможно расположить на плоскости 5 точек и соединить каждую из них с каждой другой ломаными так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных пяти точек. Невозможно расположить на плоскости 6 точек и соединить каждую из первых трёх из них с каждой из трёх остальных так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных шести точек.

Теорема Куратовского утверждает, что этими двумя примерами по сути исчерпывается список препятствий к планарности графа: любой непланарный граф содержит подграф, гомеоморфный одному из этих двух графов. Многие годы доказательство этой теоремы считалось очень трудным. Однако А.Б. Скопенков сумел изложить доказательство настолько просто, что теперь оно стало доступно заинтересованному школьнику.

Книга по элементарной теории чисел состоит из статей, многие из которых были опубликованы в журнале «Квант».

Алгоритм Евклида, основная теорема арифметики, ряды Фарея, периодические дроби, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, цепные дроби, квадратичный закон взаимности изучены весьма подробно, с большим количеством примеров и упражнений. Может служить учебным пособием для математических классов и кружков.

Адресована школьникам 7-11 классов, учителям, а также всем любителям математики.

Математические турниры имени А.П.Савина

В книге собраны задачи, предлагавшиеся в заочном конкурсе «Математика 6-8», проводимом журналом «Квант» с 1990 года, и на летних очных турнирах, представляющих собой заключительные этапы этого конкурса (начиная с 1995). Задачи нестандартные, олимпиадного характера. Большинство задач доступны заинтересованному восьмикласснику, но безусловно интересны и старшеклассникам.

Для учащихся и преподавателей средних школ, лицеев и гимназий, для участников и руководителей математических кружков, а также для всех любителей математики.

Математический кружок. 6-7 классы

В книге широко представлены задачи по математике, предлагавшиеся школьникам 6-7 классов на занятиях математических кружков и олимпиадах. Основное ее содержание — классические арифметические задачи. Кроме них, есть геометрические задачи, требующие фантазии и изобретательности, и просто шутки.

Книга предназначена для учащихся 6-7 классов, но будет интересна и полезна как более старшим, так и более младшим школьникам, а также учителям и родителям.

Математический праздник

В книге широко представлены задачи по математике, предлагавшиеся на занятиях математических кружков и олимпиадах. Основное ее содержание — классические, проверенные временем арифметические задачи, которые учат правильно рассуждать и считать. Кроме них, есть геометрические задачи, требующие фантазии и изобретательности, и просто забавные задачи-шутки.

Книга предназначена для учащихся 5-8 классов, но будет интересна и полезна как более старшим, так и более младшим школьникам, а также учителям и родителям.

Новая школьная энциклопедия. Числа и фигуры

Полутом входящий в книгу «Новая школьная энциклопедия. Небесные тела. Числа и фигуры» — Энциклопедии по математике для школьников старшего или среднего школьного возраста. Ее особенностью является то, что построена она как сборник отдельных статей, посвященных различным математическим проблемам или методам; каждая из статей представляет собой весьма глубоко ведущий и в своем роде законченный очерк, а все вместе они образуют калейдоскопичную панораму науки и ее истории. Каждая статья содержит сведения, которые понятны и интересны даже людям, очень далеким от математических проблем.

Предлагаемый материал организован в шесть разделов: «Арифметика», «Геометрия», «Алгебра», «Математическийанализ», «Комбинаторика» и «История математики». Каждому разделу предшествует вводная статья.

Коротко о себе: Александр Васильевич - выпускник мехмата 1987 года; учитель математики школы №1543; автор энциклопедии „Числа и фигуры” и ряда статей журнала «Квант». С 1982 года ведет математические кружки на Малом мехмате МГУ.

Подробно о себе

Александр Васильевич Спивак о своих математических кружках

Здесь представлен конспект занятий моего кружка. Тут важно слово «моего»: свобода выбора тем и методики занятий на Малом мехмате довольно велика, другие кружки занимались совсем по-другому. Одно из главных отличий - бóльшая часть времени на моём кружке уходит не на попытки школьников решать задачи, а на обсуждение решений и рассказ о связанных с темой занятия теоремах и понятиях. Как только кто-то решил какую-то из предложенных задач, он выходит к доске. Иногда решение оказывается ошибочным, тогда идёт к доске другой участник кружка, и так далее. (А если в течение долгого времени ничего не получается, то я, отчаявшись дождаться, рассказываю решение сам.)