Глава № 9 Фибоначчи, золотое сечение и пентакль Последовательность Фибоначчи - не просто случайная числовая схема, придуманная этим итальянским математиком. Она является плодом осмысления пространственных отношений, имеющих место в природе и впоследствии получившими

Спираль. Виток материи жизни Спиральность – одна из характерных признаков всех организмов, как проявление самой сущности жизни. И. Гёте Амбивалентный, неоднозначный сакральный символ. Спираль одновременно воплощает в себе символику жизни и смерти, развития на

Спираль Архимеда и закон октав Искусство – и я имею в виду подлинное, доброе искусство – зиждется, помимо всего прочего, на принципах баланса, динамики, местоположения и композиции. Эти элементы должны находиться в гармонии, взаимодействовать друг с другом, чтобы

Построение спирали Архимеда Заданный шаг t спирали Архимеда делят на несколько, например на восемь, равных частей. Из конца О отрезка проводят окружность R = t и делят ее на столько же равных частей, на сколько был разделен шаг t.На первом луче путем проведения дуги радиусом

Последовательность Фибоначчи С историей золотого сечения связано имя математика Леонардо из Пизы, известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он был самым знаменитым математиком Средневековья. В 1202 году вышел в свет его труд «Книга об абаке» (счетной доске), где были

Медитация на спираль Медитация со спиралью потребует времени, проводить ее надо в течение часа. Лучше для медитации выбрать утренние или дневные часы выходного дня. Создайте в комнате для медитирования полумрак, зажгите свечу. Сядьте прямо и постарайтесь отбросить все

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка.

Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части. Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON 1 , длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON 1 (снова циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = (л ON)/30

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную

(л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.

Инструкция

Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда . Обозначьте центр буквой O.

Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.

Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – . Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической » дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.

Источники:

• Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
• Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.

Жизнь современной представительницы прекрасного пола не ограничивается лишь семьей и детьми. Большую часть времени занимает работа. Чтобы успеть справиться со всеми своими многочисленными обязанностями, женщине нужно строго планировать свое время, свои нагрузки и, в том числе, количество детей и время их появления. Решить эти задачи помогают современные средства контрацепции.

Вы сможете спокойно кормить грудью, не думая о составе таблеток, которые с молоком могут попасть в его организм. В сравнении со презервативом, который относится к так называемому «барьерному методу», спираль неожиданно не порвется, сделав вас обладательницей еще одного малыша.

Когда же можно после родов? Чаще - через шесть-восемь недель после рождения ребенка, когда врач убедится, что ваш организм в необходимой степени восстановился и каких-либо противопоказаний нет. После сечения спираль ставится только через 6 месяцев.

Как действует спираль

Действие внутриматочной спирали основано на том, что она не позволяет яйцеклетке закрепиться в . Спирали бывают разные по форме - кольцевидные, т-образные и т.д. Их форма должна препятствовать выпадению этого устройства из полости матки. Необходимый противозачаточный эффект спирали достигается за счет ионов меди или другого вещества, которое находится на ее стержне.

На некоторых спиралях вместо меди используется серебро, прополис или золото. Это более дорогие средства защиты, но у них есть дополнительный противовоспалительный эффект. Существуют и гормоносодержащие спирали. Они предотвращают обильные болезненные менструации, которые могут быть после установки этого устройства.

Гормоносодержащие спирали придется менять через 1 год, когда в них истощается запас прогестерона, а спирали с медью - через 2-3 года.

Через несколько лет спираль заменяют на новую. Устанавливается она в последние дни менструации. В первый месяц после установки желательно ограничивать физические нагрузки.

Решать, ставить спираль после родов или нет, может только врач-гинеколог, причем очень опытный. Доверяться непрофессиональному врачу нельзя.

Продолжительность действия спирали указана на упаковке, она зависит от используемого активного вещества на стержне и иногда достигает 8 лет.

При отсутствии должного опыта у врача в лучшем случае вы столкнетесь с болями после , выделениями, в худшем - с выпадением этого устройства, развитием воспалительных явлений или даже опухолями.

В каждом конкретном случае вопрос об установке спирали после родов решается индивидуально с учетом пожеланий женщины и заключения врача о целесообразности использования этого средства контрацепции. В любой момент устройство можно извлечь, чтобы сделать возможным рождение еще одного желанного ребенка.

«Кривой жизни» называл спираль Гёте. В природе форму спирали Архимеда имеют большинство раковин. Семена подсолнечника расположены по спирали. Спираль можно увидеть в кактусах, ананасах. Ураган закручивается спиралью. По спирали разбегается стадо оленей. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Даже галактики сформированы по принципу спирали.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Спираль, названная именем Архимеда, была открыта им в III веке до нашей эры.

Построение спирали Архимеда

По определению самого Архимеда: «Спираль – это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу».

Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, возьмём окружность и разделим её на одинаковое количество частей (в нашем примере на 8). На такое же количество частей (8) разделим и радиус окружности. Из центра окружности проведём лучи через точки деления окружности и обозначим их, как 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.

На первом луче отложим одно деление радиуса и обозначим точку I. На втором луче отложим два деления радиуса и обозначим точку II. На третьем луче отложим три деления радиуса и обозначим точку III. Таким же образом получим точки IV, V, VI, VII, VIII. Соединив обозначенные точки кривой линией, получим спираль Архимеда. Если продолжать построение дальше, то в точке IX будет отложено 8+1 частей радиуса. И т.д.

Оказывается, спираль Архимеда тесно связана с последовательностью чисел Фибоначчи. Что же общего между этими, на первый взгляд, абсолютно разными понятиями?

Последовательность Фибоначчи

Ряд Фибоначчи – это последовательность чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Выглядит последовательность Фибоначчи так: 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... А отношение каждого последующего числа к предыдущему в этом ряду чисел равно 1,618... Это число называют числом Ф.

Однако, без понятия «золотого сечения» мы не сможем проследить связь числового ряда Фибоначчи со спиралью Архимеда.

Золотая пропорция

Представьте себе, что вы разделили отрезок прямой на две неравные части так, что весь отрезок относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. Это и есть пропорция "золотого сечения" или «золотая пропорция» . Отношение большей стороны к меньшей в золотом сечении равно 1,618. Как видим, такому же числу равняется и отношение последующего числа к предыдущему в ряду Фибоначчи.

Построим прямоугольник, стороны которого будут соотноситься в золотой пропорции. То есть отношение большей стороны прямоугольника к меньшей равно 1,618. Прямоугольник с такими сторонами называется «золотой прямоугольник». Отсечём от этого прямоугольник квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника. Оказывается, оставшийся прямоугольник тоже будет «золотым». Если и от него отсечь квадрат со стороной, равной меньшей стороне уже этого прямоугольника, то и оставшийся прямоугольник будет «золотым». И так далее. Если добавлять квадрат по более длинной стороне прямоугольника, то этот процесс можно продолжать до бесконечности. Оказалось, что длины сторон этих квадратов равны соседним числам в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … И, соответственно, отношение стороны последующего квадрата к стороне предыдущего также равно 1,618.

Соединив кривой угловые точки этих квадратов, получим спираль Архимеда.

Средневековый математик Лука Пачиоли назвал «золотую пропорцию» Божественной пропорцией. Человеческий глаз воспринимает пропорцию золотого сечения в качестве гармоничной и красивой. И человек очень давно начал использовать «золотую пропорцию» в своей деятельности. Так, в пирамидах Гизе отношение длины основания к высоте равно 1,618. Такие же пропорции и у мексиканских пирамид. Золотую пропорцию использовал и Леонардо да Винчи в своих творениях. Может, потому они так привлекательны и совершенны?

Спираль Архимеда в природе

В природе спираль Архимеда встречается на каждом шагу.

Паук плетёт паутину по спирали.

Головка подсолнуха состоит из спиралей Архимеда, одни из которых закручены по часовой стрелке, другие - против. Так, в головке среднего размера 34 спирали одного направления и 55 другого. Узнаёте? Это же числа ряда Фибоначчи.

Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные по часовой, или против часовой стрелки. Причём число этих спиралей всегда будут равно соседним числам ряда Фибоначчи. Например, у сосновой шишки спиралей 5 и 8, у ананаса 8 и 13.

Применение спирали Архимеда

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность – винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции. В технике нашли применение антенны в виде спирали Архимеда. Самоцентрирующийся патрон выполнен по спирали Архимеда. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда нашла практическое применение в математике, технике, архитектуре, машиностроении.