Тригонометрия функции числового аргумента. Четность тригонометрических функций

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;

3) найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t.

Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.

Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не

числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.

Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14

вершину угла совместим с центром

окружности (с началом системы координат),

а одну сторону угла совместим с

положительным лучом оси абсцисс. Точку

пересечения второй стороны угла с

окружностью обозначим буквой М. Ордина-

рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .

Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.

Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

Таким образом,

Например,

Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:

В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.

Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

В настоящей главе мы введем тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.). До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, введя их как функции числового аргумента.

Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам.

Поясним это определение на конкретных примерах.

Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, .

Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II).

Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II).

Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.

Тригонометрические функции числового аргумента. Свойства и графики тригонометрических функций.

Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.

Данная кривая имеет название – синусоида.

Свойства функции y=sin x

2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]

3. Четность функции:

y=sin x – нечетная,.

4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.

Для функции y=sin x период составляет 2π.

Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.

Наименьший положительный период Т=2π.

Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.

Свойства функции y=cos x

1. Область определения функции: D(y)=R

2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]

3. Четность функции:

y=cos x –четная.

4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.

Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.

Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.

Свойства функции y=tg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.

2. Область значения функции: E(y)=R.

3. Четность функции:

y=tg x – нечетная.

4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.

Функция y=tg x – периодическая с периодом π.

Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.

Свойства функции y=ctg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Пояснения .

1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk + πk , k – целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

√3 1
--; --
2 2

А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.

Решение :

π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».

На этом уроке мы познакомимся с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вначале вспомним определение функции в общем и на числовой окружности. Далее вспомним, что такое линия синусов, линия косинусов, линия тангенсов и линия котангенсов. Выведем формулу основного тригонометрического тождества и другие основные формулы, связывающие между собой тригонометрические функции. Далее рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций: знаки функций в четвертях и свойство четности и нечетности тригонометрических функций.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Тригонометрические функции числового аргумента

1. Тема урока, введение

Мы рассматриваем тригонометрические функции

2. Напоминание: определение тригонометрических функций

Любая функция - это закон, по которому каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной - функции.

Мы задаем число ему соответствует точка на окружности c двумя координатами - точка (рис. 1).

Отрезок на оси x от -1 до 1 называется линией косинусов.

Отрезок на оси y от -1 до 1 называется линией синусов.

Отсюда следуют свойства синуса и косинуса:

Линия тангенсов параллельна оси y и проходит через точку

Линия котангенсов параллельна оси x и проходит через точку

3. Основные тригонометрические формулы

Рассмотрим основные тригонометрические тождества.

Уравнение единичной окружности.

основное тригонометрическое тождество.

связь между тангенсом и котангенсом.

Выведем формулу, связывающую тангенс и косинус.

Аналогичная формула есть для котангенса и синуса.

4. Четность тригонометрических функций

Исследуем тригонометрические функции на четность.

функция нечетна.

функция четна.

Проиллюстрируем эти свойства на числовой окружности:

Пример 1. Найти

Решение (рис. 2).

Докажем аналогичные свойства для тангенса и котангенса:

Тангенс - нечетная функция.

доказать самостоятельно.

5. Знаки тригонометрических функций в четвертях

Рассмотрим знаки тригонометрических функций в четвертях:

Знаки синуса и косинуса (рис. 3).

Однако определять знаки синуса и косинуса можно и без этих рисунков.

Например, нужно определить знак Определяем, в какой четверти находится угол во второй. Синус - это проекция на ось y, во второй четверти , значит

Аналогично косинусы. Определим знак Угол находится в третьей четверти, косинус - это проекция на ось x, в третьей четверти , значит

Знаки тангенса и котангенса (рис. 4).

Проверить знаки функций в различных четвертях можно по линиям тангенсов и котангенсов. Например, возьмем угол, лежащий в третьей четверти. Через точку на окружности, соответствующую этому углу, и начало координат проведем прямую до пересечения с осью тангенсов. Значение тангенса для такого угла, также как для угла первой четверти, будет положительным. Аналогично для углов второй и четвертой четверти тангенс будет отрицательным (рис. 5).

6. Вывод, заключение

Мы рассмотрели тригонометрические функции, вспомнили их определения, вспомнили, что они удовлетворяют требованиям однозначности, получили основные тождества и свойства. На следующем уроке мы решим ряд задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика.

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.