سوال این است که چند عدد سه رقمی مختلف ممکن است. جایگشتی از n عنصر به هر آرایش این عناصر به ترتیب معینی گفته می شود. ترکیبات با تکرار

وظایف برای حل ادغام مواد جدید

وظیفه شماره 1. 5 شرکت کننده در فینال از چند طریق می توانند

دویدن روی 5 تردمیل؟

راه حل: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 راه.

کار شماره 2.اگر هر کدام از ارقام 1،2،3 چند عدد سه رقمی می توان تشکیل داد

آیا رقم فقط یک بار در تصویر عدد ظاهر می شود؟

راه حل: تعداد همه جایگشت های سه عنصر P 3 = 3!، که در آن 3! = 1 * 2 * 3 = 6 است.

این بدان معناست که شش عدد سه رقمی از اعداد 1،2،3 تشکیل شده است.

کار شماره 3.چهار پسر به چند روش می توانند از شش نفر چهار نفر را دعوت کنند

دخترا برای رقصیدن؟

راه حل: دو پسر نمی توانند همزمان یک دختر را دعوت کنند. و

گزینه هایی که در آن دختران مشابه با پسران مختلف می رقصند،

متفاوت در نظر گرفته شود، بنابراین:

وظیفه شماره 4. چند عدد سه رقمی مختلف را می توان از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 تشکیل داد،

6، 7، 8، 9، مشروط بر اینکه از هر رقم فقط در ورودی اعداد استفاده شود

یک بار؟

راه حل: در شرایط مشکل، پیشنهاد می‌شود تعداد ترکیب‌های ممکن را از آن شمارش کنید

سه رقم از نه رقم پیشنهادی با ترتیب گرفته شده است

ترتیب اعداد در ترکیب مهم است (مثلاً اعداد 132)

و 231 مختلف). به عبارت دیگر، شما باید تعداد قرارگیری از 9 مورد را پیدا کنید

سه عنصر

با توجه به فرمول تعداد مکان‌ها، می‌بینیم:

جواب: 504 عدد سه رقمی.

وظیفه شماره 5به چند روش می توان یک کمیته 3 نفره از بین 7 نفر انتخاب کرد؟

راه حل:برای در نظر گرفتن همه کمیسیون های ممکن، باید همه را در نظر بگیرید

زیر مجموعه 3 عنصری ممکن از مجموعه شامل 7

انسان. تعداد راه های مورد نظر است

کار شماره 6. 12 تیم در این مسابقات شرکت می کنند. چند گزینه وجود دارد

توزیع جایزه (1، 2، 3) مکان؟

راه حل: 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 گزینه برای توزیع جوایز.

جواب: 1320 گزینه.

کار شماره 7.در مسابقات دو و میدانی، مدرسه ما با تیمی از

10 ورزشکار مربی از چند طریق می تواند تعیین کند کدام یک از آنها

آیا در رله 4×100 متر در مراحل اول، دوم، سوم و چهارم اجرا می شود؟

راه حل:انتخاب از 10 تا 4 با در نظر گرفتن ترتیب:
راه ها.

پاسخ: 5040 راه.

کار شماره 8.از چند جهت می توان قرمز، سیاه، آبی و

توپ های سبز؟

راه حل:در وهله اول، می توانید هر یک از چهار توپ (4 روش) را روی آن قرار دهید

دوم - هر یک از سه راه باقی مانده (3 راه)، مقام سوم - هر یک از

دو مورد باقی مانده (2 راه)، در جایگاه چهارم - آخرین توپ باقی مانده.

مجموع 4 3 2 1 = 24 راه.

P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. پاسخ: 24 راه.

کار شماره 9. به دانش‌آموزان فهرستی از 10 کتاب داده شد تا در طول این مدت بخوانند

زمان تعطیلات. دانش آموز از چند طریق می تواند 6 کتاب را از بین آنها انتخاب کند؟

راه حل:انتخاب 6 از 10 بدون توجه به سفارش:
راه ها.

جواب: 210 راه.

کار شماره 10. در پایه نهم 7 دانش آموز، در پایه دهم 9 دانش آموز و در پایه یازدهم 8 دانش آموز هستند. برای

کار در سایت مدرسه، لازم است دو دانش آموز از کلاس 9 را جدا کنید،

سه از 10 و یکی از 11. چند راه برای انتخاب وجود دارد

دانش آموزان در محوطه مدرسه کار کنند؟

راه حل:انتخاب از سه مجموعه بدون توجه به سفارش، هر انتخاب از

از مجموعه اول (C 7 2) را می توان با هر انتخاب ترکیب کرد

دوم (C 9 3)) و با هر انتخاب از سوم (C 8 1) طبق قانون

ضرب به دست می آوریم:

جواب: 14112 راه.

کار شماره 11.دانش آموزان کلاس نهم ژنیا، سریوژا، کولیا، ناتاشا و اولیا به سمت آنها دویدند

تغییر به میز تنیس، که در آن بازی قبلا در حال انجام بود. چند تا

پنج دانش آموز کلاس نهم که تا میز دویدند می توانند شرکت کنند

صف برای تنیس روی میز؟

راه حل: هر دانش آموز کلاس نهم می تواند اولین ردیف باشد، هر کدام از آنها می تواند دوم شود.

سه باقی مانده، سومی - هر کدام از دو باقی مانده و چهارمی -

یک دانش آموز کلاس نهم که تا ماقبل آخر دوید و نفر پنجم آخرین نفر بود. توسط

قانون ضرب، پنج دانش آموز 5 راه دارند 4321=120

«11_alg_sr_combinatorics گزینه 1 از اعداد 2، 5، 7، 8، 9 چند عدد سه رقمی مختلف با ارقام مختلف می توان ساخت؟ چند عدد سه رقمی مختلف..."

11_alg_cf_combinatorics

انتخاب 1

از اعداد 2، 5، 7، 8، 9 چند عدد سه رقمی مختلف با ارقام مختلف می توان ساخت؟

از اعداد 0، 2، 5، 7، 8، 9 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

در کلاس 15 دختر و 17 پسر وجود دارد. چند راه برای انتخاب یک رهبر برای تعطیلات مدرسه وجود دارد؟

علیا 3 عروسک و 4 خرس عروسکی دارد. علیا برای انتخاب یک اسباب بازی چند راه دارد؟

در اتاق غذاخوری 3 نوع دوره اول، 5 نوع دوره دوم و 3 نوع کمپوت وجود دارد. اگر دانش آموز معمولا اول، دوم و کمپوت بخرد چند گزینه ناهار برایش وجود دارد؟

5 نفر از چند طریق می توانند در صندوق خانه صف بکشند؟

15 گل سرخ، 10 گل رز سفید، 12 گل رز صورتی در تخت گل شکوفه داده اند. چند راه برای تهیه یک دسته گل از سه گل رز با رنگ های مختلف وجود دارد؟

20 دانش آموز در کلاس هستند. در این کلاس از چند طریق می توان سرپرست و معاون دختر را انتخاب کرد؟

از 25 عضو گروه تور، 10 نفر انگلیسی، 8 نفر آلمانی و بقیه فرانسوی صحبت می کنند. چند راه برای انتخاب یک هیئت سه نفره گردشگر وجود دارد تا آنها به سه زبان صحبت کنند؟

چند عدد سه رقمی فرد وجود دارد که از اعداد 5، 6، 7، 9 تشکیل شده است؟

11_alg_cf_combinatorics

گزینه 2

از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 چند عدد سه رقمی مختلف با ارقام مختلف می توان ساخت؟

از اعداد 0، 1، 3، 5، 7، 9 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

در کلاس 12 دختر و 5 پسر وجود دارد. چند راه برای انتخاب یک جفت میزبان (از جنس های مختلف) برای تعطیلات مدرسه وجود دارد؟

جولیا 7 عروسک بچه و 5 خرس عروسکی دارد. جولیا برای انتخاب یک اسباب بازی چند راه دارد؟

در اتاق غذاخوری 4 نوع دوره اول، 6 نوع دوره دوم و 2 نوع کمپوت وجود دارد. اگر دانش آموز معمولا اول، دوم و کمپوت بخرد چند گزینه ناهار برایش وجود دارد؟

6 نفر از چند طریق می توانند در صندوق خانه صف بکشند؟

8 رز قرمز، 10 رز سفید، 14 گل رز صورتی در تخت گل شکوفه دادند. چند راه برای تهیه یک دسته گل از سه گل رز با رنگ های مختلف وجود دارد؟

25 دانش آموز در کلاس هستند. از چند طریق می توانید در این کلاس یک سردار و یک فیزورگ انتخاب کنید؟

از 20 عضو گروه تور، 15 نفر انگلیسی، 3 نفر آلمانی و بقیه فرانسوی صحبت می کنند. چند راه برای انتخاب یک هیئت سه نفره گردشگر وجود دارد تا آنها به سه زبان صحبت کنند؟

چند عدد زوج سه رقمی وجود دارد که از ارقام 4، 6، 7، 9، 0 تشکیل شده است؟

11_alg_cf_combinatorics

گزینه 3

از اعداد 2، 5، 7، 8، 9 چند عدد دو رقمی مختلف با ارقام متفاوت می توان ساخت؟

از اعداد 0، 1، 2، 5، 7، 8، 9 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

در کلاس 11 دختر و 17 پسر وجود دارد. چند راه برای انتخاب یک رهبر برای تعطیلات مدرسه وجود دارد؟

علیا 22 عروسک و 4 خرس عروسکی دارد. علیا برای انتخاب یک اسباب بازی چند راه دارد؟

در اتاق غذاخوری 5 نوع دوره اول، 5 نوع دوره دوم و 2 نوع کمپوت وجود دارد. اگر دانش آموز معمولا اول، دوم و کمپوت بخرد چند گزینه ناهار برایش وجود دارد؟

4 نفر از چند طریق می توانند در صندوق خانه صف بکشند؟

11 گل سرخ، 8 رز سفید، 15 گل رز صورتی در تخت گل شکوفه دادند. چند راه برای تهیه یک دسته گل از سه گل رز با رنگ های مختلف وجود دارد؟

18 دانش آموز در کلاس هستند. در این کلاس از چند طریق می توان سرپرست و معاون دختر را انتخاب کرد؟

از 30 عضو گروه تور، 10 نفر انگلیسی، 12 نفر آلمانی و بقیه فرانسوی صحبت می کنند. چند راه برای انتخاب یک هیئت سه نفره گردشگر وجود دارد تا آنها به سه زبان صحبت کنند؟

چند عدد سه رقمی فرد وجود دارد که از ارقام 2، 5، 6، 8، 9 تشکیل شده است؟ 11_alg_cf_combinatorics

گزینه 4

از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 چند عدد دو رقمی مختلف با ارقام متفاوت می توان ساخت؟

از اعداد 0، 1، 2، 3، 5، 7، 9 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

در کلاس 15 دختر و 5 پسر وجود دارد. چند راه برای انتخاب یک جفت میزبان (از جنس های مختلف) برای تعطیلات مدرسه وجود دارد؟

جولیا 9 عروسک بچه و 8 خرس عروسکی دارد. جولیا برای انتخاب یک اسباب بازی چند راه دارد؟

در اتاق غذاخوری 2 نوع دوره اول، 7 نوع دوره دوم و 3 نوع کمپوت وجود دارد. اگر دانش آموز معمولا اول، دوم و کمپوت بخرد چند گزینه ناهار برایش وجود دارد؟

7 نفر از چند طریق می توانند در صندوق خانه صف بکشند؟

18 رز قرمز، 6 رز سفید، 8 رز صورتی در تخت گل شکوفه داده اند. چند راه برای تهیه یک دسته گل از سه گل رز با رنگ های مختلف وجود دارد؟

24 دانش آموز در کلاس هستند. از چند طریق می توانید در این کلاس یک سردار و یک فیزورگ انتخاب کنید؟

از 20 عضو گروه تور، 5 نفر انگلیسی، 3 نفر آلمانی و بقیه فرانسوی صحبت می کنند. چند راه برای انتخاب یک هیئت سه نفره گردشگر وجود دارد تا آنها به سه زبان صحبت کنند؟

چند عدد زوج سه رقمی وجود دارد که از ارقام 4، 6، 8، 9، 0 تشکیل شده است؟

پاسخ ها:

شماره گزینه 1 گزینه 2 گزینه 3 گزینه 4

1800 1120 1320 864

کارهای مشابه:

«موضوع: کلماتی با حرف دوتایی که از زبان های دیگر به ما رسیده است. اهداف: 1. نه تنها نحوه نوشتن کلمات با صامت دوتایی را آموزش دهید، بلکه سعی کنید به کودکان توضیح دهید که چرا این کلمات دارای صامت دوتایی هستند.2. پرورش علاقه به..."

کار نهایی روی زبان روسی کلاس 6A نسخه نمایشی 1. قضاوت اشتباه را نشان دهید. 1) در کلمه ONLY ترکیب صامت های CHN به صورت [shn] تلفظ می شود. 2) در کلمه TWO حرف E مخفف ... است.

"دولت فدراسیون روسیه موسسه آموزش عالی بودجه ایالتی فدرال "دانشگاه ایالتی سن پترزبورگ" (SPbGU) پایان نامه فارغ التحصیلی یک دانشجوی فوق لیسانس با موضوع: انتخاب و سازماندهی...»

"دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ گروه زبان روسی به عنوان یک زبان خارجی و روش های آموزش آن لی یانگ پیاده سازی نگرش های عمل گرایانه در نامه های تجاری به زبان روسی (در مقابل پس زمینه زبان چینی) کار مقدماتی نهایی کارشناسی ارشد زبان شناسی ... "

"دولت فدراسیون روسیه، بودجه دولتی فدرال، موسسه آموزشی آموزش عالی "دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ" (SPbSU) کار فارغ التحصیلی یک دانشجوی کارشناسی ارشد با موضوع..."

« لغت شناس، پزشک، ملوان ولادیمیر ایوانوویچ دال مردی است که سرنوشتی واقعاً خارق العاده دارد. او قبل از اینکه در سراسر روسیه به عنوان گردآورنده فرهنگ لغت توضیحی زبان بزرگ روسی زنده مشهور شود، زندگی خود را چندین بار تغییر داد. سالهای آخر دال که با نگارش اثر اصلی او مشخص شد، در P ... "

ترکیب شناسی شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی سوالاتی در مورد اینکه چند ترکیب مختلف، مشروط به شرایط خاص، می توانند از اشیاء داده شده ساخته شوند، می پردازد. اصول ترکیبیات برای تخمین احتمالات رویدادهای تصادفی بسیار مهم است، زیرا آنها هستند که امکان محاسبه تعداد اساسا ممکن سناریوهای مختلف را برای توسعه رویدادها فراهم می کنند.

فرمول ترکیبیات پایه

بگذارید k گروه از عناصر وجود داشته باشد و گروه i از n عنصر i تشکیل شده است. بیایید از هر گروه یک عنصر را انتخاب کنیم. سپس تعداد کل N راههایی که از طریق آنها می توان چنین انتخابی را انجام داد با رابطه N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k تعیین می شود.

مثال 1اجازه دهید این قانون را با یک مثال ساده توضیح دهیم. اجازه دهید دو گروه از عناصر وجود داشته باشد، گروه اول شامل n 1 عنصر، و دوم - از n 2 عنصر. از این دو گروه چند جفت عنصر مختلف می توان ساخت تا جفت شامل یک عنصر از هر گروه باشد؟ فرض کنید عنصر اول را از گروه اول گرفتیم و بدون تغییر آن، تمام جفت های ممکن را طی کردیم و فقط عناصر گروه دوم را تغییر دادیم. n 2 جفت از این قبیل برای این عنصر وجود دارد. سپس عنصر دوم را از گروه اول می گیریم و تمام جفت های ممکن را نیز برای آن می سازیم. همچنین n 2 جفت از این قبیل وجود خواهد داشت. از آنجایی که تنها n 1 عنصر در گروه اول وجود دارد، n 1 *n 2 گزینه ممکن وجود خواهد داشت.

مثال 2از ارقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 چند عدد زوج سه رقمی می توان ساخت اگر ارقام تکرار شوند؟
راه حل: n 1 \u003d 6 (از آنجایی که می توانید هر رقمی را از 1، 2، 3، 4، 5، 6 به عنوان رقم اول بگیرید)، n 2 \u003d 7 (از آنجایی که می توانید هر رقمی از 0 را به عنوان رقم دوم بگیرید 1 ، 2، 3، 4، 5، 6)، n 3 \u003d 4 (زیرا می توانید هر رقمی از 0، 2، 4، 6 را به عنوان رقم سوم بگیرید).
بنابراین، N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

در صورتی که همه گروه ها از تعداد یکسانی از عناصر تشکیل شده باشند، به عنوان مثال. n 1 =n 2 =...n k =n می توانیم فرض کنیم که هر انتخاب از همان گروه ساخته شده است و عنصر پس از انتخاب به گروه برمی گردد. سپس تعداد تمام راه های انتخاب برابر با n k است. به این روش انتخاب در ترکیب شناسی می گویند نمونه ها را برگردانید

مثال 3از اعداد 1، 5، 6، 7، 8 چند عدد چهار رقمی می توان ساخت؟
راه حل.پنج احتمال برای هر رقم از یک عدد چهار رقمی وجود دارد، بنابراین N=5*5*5*5=5 4 =625.

مجموعه ای متشکل از n عنصر را در نظر بگیرید. این مجموعه در ترکیب شناسی نامیده می شود جمعیت عمومی.

تعداد قرارگیری از n عنصر توسط m

تعریف 1.اسکان از nعناصر توسط متردر ترکیبیات هر نامیده می شود مجموعه سفارش داده شدهاز جانب مترعناصر مختلف انتخاب شده از جمعیت عمومی در nعناصر.

مثال 4آرایش های مختلف از سه عنصر (1، 2، 3) دو به دو مجموعه (1، 2)، (2، 1)، (1، 3)، (3، 1)، (2، 3)، (3) خواهد بود. ، 2). قرارگیری ها می توانند هم در عناصر و هم در ترتیب آنها با یکدیگر متفاوت باشند.

تعداد قرارگیری ها در ترکیبات با A n m نشان داده می شود و با فرمول محاسبه می شود:

اظهار نظر: n!=1*2*3*...*n (بخوانید: "en factorial")، علاوه بر این، 0!=1 فرض می شود.

مثال 5. چند عدد دو رقمی وجود دارد که رقم ده ها و رقم واحدها متفاوت و فرد باشد؟
راه حل:زیرا پنج رقم فرد وجود دارد، یعنی 1، 3، 5، 7، 9، سپس این مشکل به انتخاب و قرار دادن دو عدد از پنج رقم مختلف در دو موقعیت مختلف خلاصه می شود، یعنی. اعداد داده شده خواهد بود:

تعریف 2. ترکیباز جانب nعناصر توسط متردر ترکیبیات هر نامیده می شود مجموعه نامرتباز جانب مترعناصر مختلف انتخاب شده از جمعیت عمومی در nعناصر.

مثال 6. برای مجموعه (1، 2، 3)، ترکیبات (1، 2)، (1، 3)، (2، 3) هستند.

تعداد ترکیبات n عنصر توسط m

تعداد ترکیب ها با C n m نشان داده می شود و با فرمول محاسبه می شود:

مثال 7خواننده به چند روش می تواند از بین شش کتاب موجود، دو کتاب را انتخاب کند؟

راه حل:تعداد راه ها برابر است با تعداد ترکیب های شش کتاب در دو، یعنی. برابر است با:

جایگشت های n عنصر

تعریف 3. جایگشتاز جانب nعناصر هر نامیده می شود مجموعه سفارش داده شدهاین عناصر

مثال 7a.همه جایگشت های ممکن مجموعه ای متشکل از سه عنصر (1، 2، 3) عبارتند از: (1، 2، 3)، (1، 3، 2)، (2، 3، 1)، (2، 1، 3). ، ( 3، 2، 1)، (3، 1، 2).

تعداد جایگشت های مختلف n عنصر با P n نشان داده می شود و با فرمول P n =n محاسبه می شود.

مثال 8به چند صورت می توان هفت کتاب از نویسندگان مختلف را پشت سر هم در یک قفسه چید؟

راه حل:این مشکل در مورد تعداد جایگشت های هفت کتاب مختلف است. P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 راه برای چیدمان کتابها وجود دارد.

بحث.می بینیم که تعداد ترکیب های ممکن را می توان با توجه به قوانین مختلف (جایگشت، ترکیب، قرارگیری) محاسبه کرد و نتیجه متفاوت خواهد بود، زیرا اصل شمارش و خود فرمول ها متفاوت است. با نگاهی دقیق به تعاریف، می بینید که نتیجه به چندین عامل به طور همزمان بستگی دارد.

اولاً، از تعداد عناصری که می توانیم مجموعه آنها را ترکیب کنیم (جمعیت کلی عناصر چقدر است).

ثانیا، نتیجه بستگی به این دارد که به چه اندازه مجموعه ای از عناصر نیاز داریم.

در نهایت، مهم است که بدانیم ترتیب عناصر در مجموعه برای ما مهم است یا خیر. اجازه دهید آخرین عامل را با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 9 20 نفر در جلسه اولیا حضور دارند. چند گزینه مختلف برای ترکیب کمیته مادر وجود دارد اگر باید شامل 5 نفر باشد؟
راه حل:در این مثال، ما علاقه ای به ترتیب اسامی در لیست کمیته نداریم. اگر در نتیجه، همان افراد در ترکیب آن ظاهر شوند، از نظر معنی برای ما این همان گزینه است. بنابراین می توانیم از فرمول برای محاسبه عدد استفاده کنیم ترکیباتاز 20 عنصر، 5.

اگر هر یک از اعضای کمیته در ابتدا مسئول یک حوزه کاری خاص باشد، اوضاع متفاوت خواهد بود. بعد با همون حقوق و دستمزد کمیته 5 تا میشه داخلش! گزینه ها جایگشت هاکه مهم است. تعداد گزینه های مختلف (هم از نظر ترکیب و هم از نظر حوزه مسئولیت) در این مورد با تعداد تعیین می شود. قرار دادناز 20 عنصر، 5.

وظایف برای خودآزمایی
1. از اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 چند عدد زوج سه رقمی می توان ساخت اگر اعداد قابل تکرار باشند؟

2. چند عدد پنج رقمی وجود دارد که از چپ به راست و از راست به چپ یکسان خوانده می شود؟

3. ده موضوع در کلاس و پنج درس در روز وجود دارد. از چند طریق می توانید برای یک روز برنامه ریزی کنید؟

4. در صورت حضور 20 نفر در گروه، از چند طریق می توان 4 نماینده را برای کنفرانس انتخاب کرد؟

5. اگر در هر پاکت فقط یک حرف قرار داده شود، به چند روش می توان هشت حرف مختلف را در هشت پاکت مختلف قرار داد؟

6. از سه ریاضیدان و ده اقتصاددان باید کمیسیونی متشکل از دو ریاضی دان و شش اقتصاددان تشکیل شود. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

ترکیب شناسی شاخه ای از ریاضیات است که به حل مسائل مربوط به انتخاب و ترتیب عناصر یک مجموعه خاص مطابق با قوانین داده شده اختصاص دارد. ترکیبات به مطالعه ترکیبات و جایگشت اجسام، چیدمان عناصری می‌پردازد که ویژگی‌هایی داده‌اند. یک سوال رایج در مسائل ترکیبی این است: از چند طریق ....

مسائل ترکیبی نیز شامل مسایل ساخت مربع های جادویی، مسائل رمزگشایی و کدگذاری است.

تولد ترکیبیات به عنوان شاخه ای از ریاضیات با آثار ریاضیدانان بزرگ فرانسوی قرن هفدهم بلز پاسکال (1623-1662) و پیر دو فرما (1601-1665) در مورد نظریه قمار مرتبط است. این آثار حاوی اصولی برای تعیین تعداد ترکیب عناصر یک مجموعه محدود بودند. از دهه 50 قرن بیستم، به دلیل توسعه سریع سایبرنتیک، علاقه به ترکیبیات احیا شده است.

قوانین اساسی ترکیبیات عبارتند از قانون جمعو قانون آثار.

• قانون جمع

اگر بتوان عنصر A را انتخاب کرد nراه ها، و عنصر B را می توان انتخاب کرد مترروش ها، سپس انتخاب "یا A یا B" را می توان انجام داد n+ مترراه ها.

به عنوان مثال، اگر در یک بشقاب 5 سیب و 6 گلابی وجود داشته باشد، می توان یک میوه را به 5 + 6 = 11 روش انتخاب کرد.

• قانون محصول

اگر بتوان عنصر A را انتخاب کرد nراه ها، و عنصر B را می توان انتخاب کرد مترروش ها، سپس جفت A و B را می توان انتخاب کرد n مترراه ها.

به عنوان مثال، اگر 2 پاکت مختلف و 3 تمبر مختلف وجود داشته باشد، 6 روش برای انتخاب یک پاکت و یک تمبر وجود دارد (2 3 = 6).

قانون محصول هنگام در نظر گرفتن عناصر چند مجموعه نیز صادق است.

به عنوان مثال، اگر 2 پاکت مختلف، 3 تمبر و 4 کارت پستال مختلف وجود داشته باشد، 24 روش برای انتخاب یک پاکت نامه، یک تمبر و یک کارت پستال وجود دارد (2 3 4 = 24).

حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n شامل n - فاکتوریل نامیده می شود و با نماد n نشان داده می شود!

n! = 1 2 3 4 … n.

مثلا 5 تا! = 1 2 3 4 5 = 120.

به عنوان مثال، اگر 3 توپ وجود دارد - قرمز، آبی و سبز، می توانید آنها را به 6 روش در یک ردیف قرار دهید (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6).

گاهی اوقات یک مسئله ترکیبی با ساختن حل می شود درخت گزینه ها.

به عنوان مثال، با ساختن یک درخت، مشکل 3 توپ قبلی را حل کنیم.

کارگاه حل مسائل ترکیبی.

چالش ها و راه حل ها

1. در یک گلدان 6 عدد سیب، 5 عدد گلابی و 4 عدد آلو وجود دارد. چند انتخاب برای یک میوه؟

پاسخ: 15 گزینه.

2. اگر 3 گل سرخ، 2 رز قرمز و 4 رز زرد بفروشند، چند گزینه برای خرید یک گل رز وجود دارد؟

پاسخ: 9 گزینه.

3. پنج راه از شهر A به شهر B و سه راه از شهر B به شهر C منتهی می شود. چند مسیر از طریق B از A به C منتهی می شود؟

جواب: 15 راه.

4. به چند روش می توان از حروف کلمه روسری یک جفت یک مصوت و یک صامت ساخت؟

حروف صدادار: a، o - 2 عدد.
صامت ها: p، l، t، k - 4 عدد.

پاسخ: 8 راه.

5. از 8 پسر و 6 دختر چند زوج رقص تشکیل می شود؟

جواب: 48 جفت.

6. 4 دوره اول و 7 دوره دوم در اتاق غذاخوری وجود دارد. چند گزینه مختلف برای ناهار دو وعده می توان سفارش داد؟

پاسخ: 28 گزینه.

7. اگر اعداد قابل تکرار باشند، با استفاده از اعداد 1، 4 و 7 چند عدد دو رقمی مختلف می توان ساخت؟

1 رقمی - 3 راه
2 رقمی - 3 راه
رقم 3 - 3 راه

پاسخ: 9 عدد دو رقمی مختلف.

8. اگر اعداد قابل تکرار باشند با استفاده از اعداد 3 و 5 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

1 رقمی - 2 راه
2 رقمی - 2 راه
رقم 3 - 2 راه

پاسخ: 8 عدد مختلف.

9. از اعداد 0، 1، 2، 3 چند عدد دو رقمی مختلف می توان ساخت اگر اعداد قابل تکرار باشند؟

1 رقمی - 3 راه
2 رقمی - 4 راه

پاسخ: 12 عدد مختلف.

10- چند عدد سه رقمی وجود دارد که همه ارقام آنها زوج هستند؟

اعداد زوج 0، 2، 4، 6، 8 هستند.

1 رقمی - 4 راه
2 رقمی - 5 راه
3 رقمی - 5 راه

پاسخ: 100 عدد وجود دارد.

11. چند عدد زوج سه رقمی وجود دارد؟

1 رقم - 9 راه (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9)
رقم دوم - 10 راه (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9)
رقم سوم - 5 راه (0، 2، 4، 6، 8)

9 10 5 = 450

پاسخ: 450 عدد وجود دارد.

12. از سه عدد مختلف 4، 5، 6 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت؟

1 رقمی - 3 راه
2 رقمی - 2 راه
3 رقمی - 1 طرفه

پاسخ: 6 عدد مختلف.

13. از چند طریق می توان رئوس مثلث را با حروف A، B، C، D برچسب گذاری کرد؟

1 قله - 4 راه
2 قله - 3 راه
3 بالا - 2 راه

جواب: 24 راه.

14. از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 چند عدد سه رقمی مختلف می توان ساخت، مشروط بر اینکه هیچ عددی تکرار نشود؟

1 رقمی - 5 راه
2 رقمی - 4 راه
رقم 3 - 3 راه

پاسخ: 60 عدد مختلف.

15. از اعداد 1، 3، 5، 7، 9 چند عدد سه رقمی کوچکتر از 400 می توان ساخت اگر هر یک از این اعداد را فقط یک بار بتوان استفاده کرد؟

1 رقمی - 2 راه
2 رقمی - 4 راه
رقم 3 - 3 راه

پاسخ: 24 عدد مختلف.

16. اگر یک ماده شش رنگ وجود داشته باشد، از چند طریق می توان یک پرچم را از سه نوار افقی با رنگ های مختلف تشکیل داد؟

1 خط - 6 راه
2 خط - 5 راه
3 خط - 4 راه

جواب: 120 راه.

17. از کلاس 8 نفر با بهترین نتیجه در دویدن انتخاب می شوند. از چند طریق می توانند یک تیم سه نفره برای شرکت در مسابقه امدادی تشکیل دهند؟

1 نفر - 8 راه
2 نفر - 7 راه
3 نفر - 6 راه

جواب: 336 راه.

18. روز پنجشنبه در کلاس اول چهار درس باشد: نوشتن، خواندن، ریاضی و تربیت بدنی. چند برنامه مختلف برای آن روز می توانید تهیه کنید؟

1 درس - 4 راه
درس 2 - 3 راه
درس 3 - 2 راه
درس 4 - راه 1

4 3 2 1 = 24

پاسخ: 24 گزینه.

19. در کلاس پنجم 8 درس خوانده می شود. اگر 5 درس در آن روز وجود داشته باشد و همه درس ها متفاوت باشد، چند برنامه مختلف برای دوشنبه می توان ایجاد کرد؟

1 درس - 8 گزینه
گزینه های درس 2 - 7
گزینه های درس 3 - 6
گزینه های درس 4 - 5
گزینه های درس 5 - 4

8 7 6 5 4 = 6720

پاسخ: 6720 گزینه.

20. رمز گاوصندوق از پنج عدد مختلف تشکیل شده است. چند رمز مختلف وجود دارد؟

1 رقمی - 5 راه
2 رقمی - 4 راه
رقم 3 - 3 راه
4 رقمی - 2 راه
5 رقمی - 1 طرفه

5 4 3 2 1 = 120

پاسخ: 120 گزینه.

21. 6 نفر را با 6 کارد و چنگال به چند صورت می توان پشت یک میز نشست؟

6 5 4 3 2 1 = 720

جواب: 720 راه.

22. اگر اعدادی که با صفر و 9 شروع می شوند از شماره تلفن های هفت رقمی خارج شوند، چند نوع می توان ساخت؟

1 رقمی - 8 راه
2 رقمی - 10 راه
3 رقمی - 10 راه
4 رقمی - 10 راه
شکل 5 - 10 راه
6 رقمی - 10 راه
شکل 7 - 10 راه

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

پاسخ: 8.000.000 گزینه.

23. مرکز تلفن به مشترکینی خدمات می دهد که شماره تلفن آنها 7 رقم و با 394 شروع می شود. این ایستگاه برای چند مشترک طراحی شده است؟

شماره تلفن 394

10 10 10 10 = 10.000

پاسخ: 10000 مشترک.

24. 6 جفت دستکش در سایزهای مختلف وجود دارد. به چند روش می توان از بین آنها یک دستکش برای دست چپ و یک دستکش برای دست راست انتخاب کرد تا این دستکش ها در اندازه های مختلف باشند؟

دستکش چپ - 6 راه
دستکش سمت راست - 5 راه (6 دستکش به اندازه دستکش سمت چپ است)

پاسخ: 30 راه.

25 . از اعداد 1، 2، 3، 4، 5، اعداد پنج رقمی ساخته می شود که در آنها همه اعداد متفاوت است. چنین اعداد زوجی چند است؟

5 رقمی - 2 راه (دو رقم زوج)
4 رقمی - 4 راه
رقم 3 - 3 راه
2 رقمی - 2 راه
1 رقمی - 1 راه

2 4 3 2 1 = 48

جواب: 48 عدد زوج.

26. چند عدد چهار رقمی وجود دارد که از ارقام فرد تشکیل شده و بر 5 بخش پذیر است؟

اعداد فرد - 1، 3، 5، 7، 9.
از این تعداد، آنها به 5 - 5 تقسیم می شوند.

4 رقمی - 1 طرفه (شماره 5)
3 رقمی - 4 راه
2 رقمی - 3 راه
1 رقمی - 2 راه

1 4 3 2 = 24

پاسخ: بیست و چهارم

27. چند عدد پنج رقمی وجود دارد که رقم سوم آن 7 و رقم آخر زوج است؟

1 رقم - 9 راه (همه به جز 0)
2 رقمی - 10 راه
3 رقمی - 1 طرفه (شماره 7)
4 رقمی - 10 راه
رقم پنجم - 5 راه (0، 2، 4، 6، 8)

9 10 1 10 5 = 4500

پاسخ: 4500 عدد.

28. چند عدد شش رقمی وجود دارد که رقم دوم آن 2، چهارمین آن 4، ششم آن 6 و بقیه آن ها فرد باشد؟

1 رقمی - 5 گزینه (از 1، 3، 5، 7، 9)
2 رقمی - 1 گزینه (شماره 2)
رقم 3 - 5 گزینه
4 رقمی - 1 گزینه (شماره 4)
5 رقمی - 5 گزینه
6 رقمی - 1 گزینه (شماره 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

پاسخ: 125 عدد.

29. با استفاده از اعداد 8 و 9 چند عدد مختلف کمتر از یک میلیون می توان نوشت؟

تک رقمی - 2
دو رقمی - 2 2 \u003d 4
سه رقمی - 2 2 2 \u003d 8
چهار رقمی - 2 2 2 2 \u003d 16
پنج رقمی - 2 2 2 2 2 = 32
شش رقمی - 2 2 2 2 2 2 = 64

مجموع: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

جواب: 126 عدد.

30. در تیم فوتبال 11 نفر حضور دارند. شما باید یک کاپیتان و معاون او را انتخاب کنید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

کاپیتان - 11 راه
معاون - 10 راه

جواب: ۱۱۰ راه.

31. 30 نفر در کلاس هستند. به چند روش می توان از بین آنها رئیس و مدیر بلیط انتخاب کرد؟

رئیس - 30 راه
پاسخ. برای بلیط - 29 راه

جواب: 870 راه.

32. 12 پسر، 10 دختر و 2 معلم در کمپین شرکت می کنند. برای گروه های وظیفه سه نفره (1 پسر، 1 دختر، 1 معلم) چند گزینه می توان ایجاد کرد؟

12 10 2 = 240

جواب: 240 راه.

33. چند ترکیب از چهار حرف الفبای روسی (فقط 33 حرف در الفبای روسی وجود دارد) را می توان ساخت، مشروط بر اینکه 2 حرف مجاور با هم متفاوت باشند؟

لازم به ذکر است که ترکیبیات بخش مستقلی از ریاضیات عالی است (و نه بخشی از ترور) و کتاب های درسی سنگینی در این رشته تألیف شده است که محتوای آن گاه آسان تر از جبر انتزاعی نیست. با این حال، سهم کمی از دانش نظری برای ما کافی خواهد بود و در این مقاله سعی خواهم کرد مبانی موضوع را با مسائل ترکیبی معمولی به شکلی در دسترس تحلیل کنم. و بسیاری از شما به من کمک خواهید کرد ;-)

چه کاری میخواهیم انجام دهیم؟ در معنای محدود، ترکیبات محاسبه ترکیبات مختلفی است که می توان از یک مجموعه خاص ایجاد کرد. گسستهاشیاء. اشیاء به عنوان هر شیء جدا شده یا موجود زنده - مردم، حیوانات، قارچ ها، گیاهان، حشرات و غیره شناخته می شوند. در عین حال ، ترکیبیات اصلاً اهمیتی نمی دهد که این مجموعه از یک صفحه سمولینا ، یک آهن لحیم کاری و یک قورباغه مرداب تشکیل شده باشد. اساساً مهم است که این اشیاء قابل شمارش باشند - سه مورد از آنها وجود دارد. (گسستگی)و ضروری است که هیچ یک از آنها شبیه هم نباشند.

با بسیاری از مرتب شده اند، در حال حاضر در مورد ترکیب. رایج ترین انواع ترکیب ها جایگشت اشیا، انتخاب آنها از یک مجموعه (ترکیب) و توزیع (قرار دادن) است. بیایید ببینیم که چگونه این اتفاق می افتد:

جایگشت ها، ترکیب ها و جایگیری ها بدون تکرار

از اصطلاحات مبهم نترسید، به خصوص که برخی از آنها واقعاً موفق نیستند. بیایید با دنباله عنوان شروع کنیم - چه کار می کند بدون تکرار"؟ این بدان معناست که در این بخش مجموعه هایی را در نظر خواهیم گرفت که از مختلفاشیاء. به عنوان مثال، ... نه، من فرنی با آهن لحیم و قورباغه ارائه نمی دهم، چیز خوشمزه تر بهتر است =) تصور کنید که یک سیب، یک گلابی و یک موز روی میز جلوی شما مادی شود (اگر وجود دارد) در هر صورت، وضعیت را می توان به صورت واقعی شبیه سازی کرد). میوه ها را از چپ به راست به ترتیب زیر می چینیم:

سیب / گلابی / موز

سوال یک: از چند طریق می توان آنها را بازآرایی کرد؟

یک ترکیب قبلاً در بالا نوشته شده است و با بقیه مشکلی وجود ندارد:

سیب / موز / گلابی
گلابی / سیب / موز
گلابی / موز / سیب
موز / سیب / گلابی
موز / گلابی / سیب

جمع: 6 ترکیب یا 6 جایگشت ها.

خب، فهرست کردن همه موارد ممکن در اینجا دشوار نبود، اما اگر اشیاء بیشتری وجود داشته باشد چه؟ در حال حاضر با چهار میوه مختلف، تعداد ترکیبات به طور قابل توجهی افزایش می یابد!

لطفا مطالب مرجع را باز کنید (چاپ دستی آسان است)و در بند شماره 2 فرمول تعداد جایگشت ها را بیابید.

بدون عذاب - 3 شی را می توان به روش های مختلف مرتب کرد.

سوال دو: از چند طریق می توانید الف) یک میوه، ب) دو میوه، ج) سه میوه، د) حداقل یک میوه را انتخاب کنید؟

چرا انتخاب کنیم؟ بنابراین آنها در پاراگراف قبل اشتها را افزایش دادند - برای اینکه غذا بخورند! =)

الف) بدیهی است که یک میوه را می توان به سه روش انتخاب کرد - یک سیب یا گلابی یا یک موز. شمارش رسمی بر اساس فرمول تعداد ترکیبات:

ورودی در این مورد باید به صورت زیر درک شود: "به چند روش می توانید 1 میوه از سه را انتخاب کنید؟"

ب) ما تمام ترکیبات ممکن از دو میوه را فهرست می کنیم:

سیب و گلابی؛
سیب و موز؛
گلابی و موز.

با استفاده از همین فرمول می توان تعداد ترکیب ها را بررسی کرد:

ورودی به طور مشابه درک می شود: "به چند روش می توانید از بین سه میوه 2 میوه را انتخاب کنید؟".

ج) و در نهایت، سه میوه را می توان به روشی منحصر به فرد انتخاب کرد:

به هر حال، فرمول تعداد ترکیب ها برای یک نمونه خالی نیز منطقی است:
به این ترتیب، شما نمی توانید یک میوه را انتخاب کنید - در واقع، چیزی نگیرید و تمام.

د) از چند راه می توانید استفاده کنید حداقل یکیمیوه؟ شرط "حداقل یک" به این معنی است که ما با 1 میوه (هر کدام) یا هر 2 میوه یا هر 3 میوه راضی هستیم:
راه هایی برای انتخاب حداقل یک میوه

خوانندگانی که درس مقدماتی را به دقت مطالعه کرده اند نظریه احتمالقبلاً چیزی را فهمیده است اما در مورد معنی علامت مثبت بعدا.

برای پاسخ به سوال بعدی، من به دو داوطلب نیاز دارم... خوب، چون کسی نمی خواهد، پس من به هیئت مدیره زنگ می زنم =)

سوال سه: از چند طریق می توان یک میوه را بین داشا و ناتاشا توزیع کرد؟

برای توزیع دو میوه، ابتدا باید آنها را انتخاب کنید. با توجه به بند "بی" سوال قبل، این کار را می توان به روش هایی انجام داد، دوباره آنها را بازنویسی می کنم:

سیب و گلابی؛
سیب و موز؛
گلابی و موز.

اما اکنون دو برابر تعداد ترکیب ها وجود خواهد داشت. به عنوان مثال، اولین جفت میوه را در نظر بگیرید:
می توانید داشا را با سیب و ناتاشا را با گلابی درمان کنید.
یا برعکس - داشا گلابی را دریافت می کند و ناتاشا سیب را دریافت می کند.

و چنین تغییری برای هر جفت میوه امکان پذیر است.

همان گروه دانشجویی را در نظر بگیرید که به رقص رفتند. از چند طریق می توان دختر و پسر را جفت کرد؟

راه هایی که می توانید 1 مرد جوان را انتخاب کنید.
راه هایی که می توانید 1 دختر را انتخاب کنید.

پس یک مرد جوان ویک دختر را می توان انتخاب کرد: راه ها.

هنگامی که 1 شی از هر مجموعه انتخاب می شود، آنگاه اصل زیر برای شمارش ترکیبات معتبر است: هر یکیک شی از یک مجموعه می تواند یک جفت تشکیل دهد با هرشیء مجموعه ای دیگر

یعنی اولگ می تواند هر یک از 13 دختر را به رقص دعوت کند، اوگنی - همچنین هر یک از سیزده نفر، و سایر جوانان نیز انتخاب مشابهی دارند. مجموع: جفت های ممکن

لازم به ذکر است که در این مثال، «تاریخ» تشکیل جفت اهمیتی ندارد; با این حال، اگر ابتکار عمل در نظر گرفته شود، تعداد ترکیب ها باید دو برابر شود، زیرا هر یک از 13 دختر می توانند هر پسری را به رقص دعوت کنند. همه چیز به شرایط یک کار خاص بستگی دارد!

یک اصل مشابه برای ترکیب های پیچیده تر معتبر است، به عنوان مثال: از چند طریق می توان دو مرد جوان را انتخاب کرد ودو دختر برای شرکت در یک کیت KVN؟

اتحاد. اتصال وبه طور واضح اشاره می کند که ترکیب ها باید ضرب شوند:

گروه های احتمالی هنرمندان

به عبارت دیگر، هر یکیک جفت پسر (45 جفت منحصر به فرد) می تواند با آنها رقابت کند هرچند دختر (78 زوج منحصر به فرد). و اگر توزیع نقش ها را بین شرکت کنندگان در نظر بگیریم، ترکیب های بیشتری نیز وجود خواهد داشت. ... خیلی دلم می خواهد ولی باز هم از ادامه دادن خودداری می کنم تا بیزاری از زندگی دانشجویی را به شما تلقین نکنم =).

قانون ضرب برای ضریب های بیشتری اعمال می شود:

وظیفه 8

چند عدد سه رقمی وجود دارد که بر 5 بخش پذیرند؟

راه حل: برای وضوح این عدد را با سه ستاره نشان می دهیم: ***

AT صدها مکانمی توانید هر یک از اعداد (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 یا 9) را بنویسید. صفر خوب نیست، زیرا در این صورت عدد سه رقمی نمی شود.

ولی در ده ها مکان("در وسط") می توانید هر یک از 10 رقم را انتخاب کنید: .

با شرط، عدد باید بر 5 بخش پذیر باشد. عددی که به 5 یا 0 ختم شود بر 5 بخش پذیر است. بنابراین، در کمترین رقم، به 2 رقم بسنده می کنیم.

مجموع، وجود دارد: اعداد سه رقمی که بر 5 بخش پذیرند.

در عین حال، کار به این صورت رمزگشایی می شود: «9 روشی که می توانید یک عدد را انتخاب کنید صدها مکان و 10 روش برای انتخاب عدد در ده ها مکان و 2 راه در رقم واحد»

یا حتی ساده تر: هر یکاز 9 رقم تا صدها مکانترکیب شده با هریکاز 10 رقم ده ها مکان و با هر کدامدو رقمی رقم واحد».

پاسخ: 180

و حالا…

بله، تقریباً تفسیر وعده داده شده برای مشکل شماره 5 را فراموش کردم که در آن می توان به بوریا، دیما و ولودیا هر کدام یک کارت به روش های مختلف داد. ضرب در اینجا به همین معنی است: به روش هایی که می توانید 3 کارت را از عرشه استخراج کنید و در هرکدامنمونه ای برای تنظیم مجدد راه های آنها.

و اکنون مشکل یک راه حل مستقل است ... حالا من چیز جالب تری ارائه خواهم کرد، ... بگذارید در مورد همان نسخه روسی بلک جک باشد:

وظیفه 9

چند ترکیب برنده از 2 کارت در یک بازی "امتی" وجود دارد؟

برای کسانی که نمی دانند: ترکیب برنده 10 + ACE (11 امتیاز) = 21 امتیاز و بیایید ترکیب برنده دو آس را در نظر بگیریم.

(ترتیب کارت ها در هر جفت مهم نیست)

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

ضمناً لازم نیست مثالی بدوی در نظر بگیریم. بلک جک تقریبا تنها بازی است که برای آن یک الگوریتم توجیه شده ریاضی وجود دارد که به شما امکان می دهد کازینو را شکست دهید. کسانی که مایل هستند به راحتی می توانند اطلاعات زیادی در مورد استراتژی و تاکتیک های بهینه پیدا کنند. درست است ، چنین استادانی به سرعت در لیست سیاه همه موسسات قرار می گیرند =)

زمان آن رسیده است که مطالب پوشش داده شده را با چند کار محکم ادغام کنیم:

وظیفه 10

واسیا 4 گربه در خانه دارد.

الف) از چند طریق می توان گربه ها را در گوشه و کنار اتاق نشست؟
ب) از چند طریق می توان به گربه ها اجازه پرسه زدن داد؟
ج) واسیا از چند طریق می تواند دو گربه (یکی در سمت چپ و دیگری در سمت راست) را بلند کند؟

ما تصمیم گرفتیم: ابتدا مجدداً باید توجه داشت که مشکل از این قرار است ناهمساناشیاء (حتی اگر گربه ها دوقلوهای همسان باشند). این یک شرط بسیار مهم است!

الف) سکوت گربه ها. این اعدام منوط به همه گربه ها به یکباره
+ مکان آنها مهم است، بنابراین جایگشت هایی در اینجا وجود دارد:
راه هایی برای نشستن گربه ها در گوشه و کنار اتاق

تکرار می کنم که هنگام جابجایی، فقط تعداد اشیاء مختلف و موقعیت نسبی آنها اهمیت دارد. بسته به روحیه خود، واسیا می تواند حیوانات را به صورت نیم دایره روی مبل، در یک ردیف روی طاقچه و غیره بنشیند. - در همه موارد 24 جایگشت وجود دارد. برای راحتی، کسانی که مایلند می توانند تصور کنند که گربه ها چند رنگ هستند (به عنوان مثال، سفید، سیاه، قرمز و راه راه) و همه ترکیب های ممکن را لیست کنند.

ب) از چند طریق می توان به گربه ها اجازه پرسه زدن داد؟

فرض بر این است که گربه ها فقط از در به پیاده روی می روند، در حالی که این سوال حاکی از بی تفاوتی در مورد تعداد حیوانات است - 1، 2، 3 یا هر 4 گربه می توانند به پیاده روی بروند.

ما تمام ترکیبات ممکن را در نظر می گیریم:

راه هایی که می توانید یک گربه را رها کنید برای پیاده روی (هر یک از چهار گربه)؛
راه هایی که می توانید به دو گربه اجازه دهید به پیاده روی بروند (گزینه ها را خودتان فهرست کنید).
راه هایی که می توانید اجازه دهید سه گربه برای پیاده روی بروند (یکی از چهار گربه که در خانه می نشیند).
روشی که می توانید تمام گربه ها را رها کنید.

احتمالاً حدس زده اید که مقادیر به دست آمده باید خلاصه شوند:
راه هایی برای راه رفتن گربه ها

برای علاقه مندان، من یک نسخه پیچیده از مشکل را ارائه می کنم - زمانی که هر گربه در هر نمونه می تواند به طور تصادفی از در و از طریق پنجره طبقه 10 به بیرون برود. ترکیب های بیشتری وجود خواهد داشت!

ج) واسیا از چند طریق می تواند دو گربه را بلند کند؟

این وضعیت نه تنها شامل انتخاب 2 حیوان، بلکه قرار دادن آنها روی دست ها نیز می شود:
راه هایی که می توانید 2 گربه را بردارید.

راه حل دوم: به روش هایی می توانید دو گربه را انتخاب کنید وراه های کاشت هریک زوج در دست:

پاسخ: الف) 24، ب) 15، ج) 12

خوب، برای اینکه وجدانم راحت شود، یک چیز خاص تر در مورد ضرب ترکیب ها .... بگذارید واسیا 5 گربه اضافی داشته باشد =) به چند روش می توانید اجازه دهید 2 گربه قدم بزنند و 1 گربه؟

یعنی با هر یکمی توان چند گربه را آزاد کرد هرگربه

آکاردئون دکمه ای دیگر برای تصمیم گیری مستقل:

وظیفه 11

3 مسافر وارد آسانسور یک ساختمان 12 طبقه شدند. همه، مستقل از دیگران، می توانند در هر طبقه (از طبقه دوم) با همان احتمال خارج شوند. از چند طریق:

1) مسافران می توانند در همان طبقه پیاده شوند (ترتیب خروج مهم نیست);
2) دو نفر می توانند در یک طبقه و نفر سوم در طبقه دیگر پیاده شوند.
3) افراد می توانند در طبقات مختلف پیاده شوند.
4) آیا مسافران می توانند از آسانسور خارج شوند؟

و اینجا اغلب دوباره می پرسند، من روشن می کنم: اگر 2 یا 3 نفر در یک طبقه بیرون بروند، ترتیب خروج مهم نیست. فکر کنید، از فرمول ها و قوانین برای ترکیب های جمع/ضرب استفاده کنید. در صورت مشکل، ذکر نام و دلیل برای مسافران مفید است که با چه ترکیباتی می توانند از آسانسور خارج شوند. اگر چیزی درست نشد، نیازی به ناراحتی نیست، مثلاً نقطه شماره 2 کاملاً موذیانه است.

راه حل کامل با نظرات دقیق در انتهای آموزش.

پاراگراف پایانی به ترکیباتی اختصاص دارد که اغلب نیز رخ می دهند - طبق ارزیابی ذهنی من، در حدود 20-30٪ از مشکلات ترکیبی:

جایگشت ها، ترکیب ها و قرارگیری ها با تکرار

انواع ترکیبات ذکر شده در بند شماره 5 از مواد مرجع مشخص شده است فرمول های اساسی ترکیبیاتبا این حال، برخی از آنها ممکن است در خواندن اول خیلی واضح نباشند. در این مورد، توصیه می شود ابتدا با مثال های عملی آشنا شوید و تنها پس از آن فرمول کلی را درک کنید. برو:

جایگشت با تکرار

در جایگشت های با تکرار، مانند جایگشت های "معمولی"، کل مجموعه اشیاء به طور همزمان، اما یک چیز وجود دارد: در این مجموعه یک یا چند عنصر (ابجکت) تکرار می شود. استاندارد بعدی را رعایت کنید:

وظیفه 12

چند ترکیب حروف مختلف را می توان با مرتب کردن مجدد کارت ها با حروف زیر بدست آورد: K، O، L، O، K، O، L، L، H، I، K؟

راه حل: در صورتی که همه حروف متفاوت باشند، باید یک فرمول بی اهمیت اعمال شود، با این حال، کاملاً واضح است که برای مجموعه کارت های پیشنهادی، برخی از دستکاری ها "بیکار" عمل می کنند، به عنوان مثال، اگر هر دو را تعویض کنید کارت هایی با حروف "K در هر کلمه ای، همان کلمه خواهد بود. علاوه بر این، از نظر فیزیکی کارت‌ها می‌توانند بسیار متفاوت باشند: یکی می‌تواند گرد با حرف «K» چاپ شده باشد، دیگری مربعی با حرف «K» کشیده شده است. اما با توجه به مفهوم مشکل حتی چنین کارت هایی یکسان در نظر گرفته است، از آنجایی که شرط در مورد ترکیب حروف می پرسد.

همه چیز بسیار ساده است - در مجموع: 11 کارت، از جمله نامه:

K - 3 بار تکرار می شود.
O - تکرار 3 بار؛
L - 2 بار تکرار می شود.
ب - تکرار 1 بار؛
H - تکرار 1 بار؛
و - 1 بار تکرار می شود.

بررسی: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11، که ما می خواستیم بررسی کنیم.

طبق فرمول تعداد جایگشت با تکرار:
ترکیب حروف مختلف را می توان به دست آورد. بیش از نیم میلیون!

برای محاسبه سریع یک مقدار فاکتوریل بزرگ، استفاده از تابع استاندارد اکسل راحت است: ما در هر سلول نمره می دهیم =واقعیت(11)و کلیک کنید وارد.

در عمل، کاملاً قابل قبول است که فرمول کلی را یادداشت نکنید و علاوه بر این، فاکتوریل های واحد را حذف کنید:

اما نظرات اولیه در مورد نامه های مکرر الزامی است!

پاسخ: 554400

نمونه معمول دیگری از جایگشت با تکرار در مسئله چیدمان مهره های شطرنج است که در انبار یافت می شود. راه حل های آمادهدر pdf مربوطه و برای یک راه حل مستقل، من به یک کار قالب کمتر رسیدم:

وظیفه 13

الکسی به ورزش می رود، و 4 روز در هفته - دو و میدانی، 2 روز - تمرینات قدرتی و 1 روز استراحت. از چند طریق می تواند کلاس های هفتگی خود را برنامه ریزی کند؟

این فرمول در اینجا کار نمی کند زیرا جایگشت های همپوشانی را در نظر می گیرد (به عنوان مثال، زمانی که تمرینات قدرتی در روز چهارشنبه با تمرینات قدرتی در روز پنجشنبه جایگزین می شود). و باز هم - در واقع، همان 2 جلسه تمرین قدرتی می توانند بسیار متفاوت از یکدیگر باشند، اما در چارچوب کار (از نظر برنامه) عناصر یکسانی در نظر گرفته می شوند.

راه حل دو خطی و پاسخ در پایان درس.

ترکیبات با تکرار

ویژگی بارز این نوع ترکیب این است که نمونه از چندین گروه که هر کدام از اشیاء مشابهی تشکیل شده اند، گرفته می شود.

همه امروز سخت کار کردند، پس وقت آن است که خود را تازه کنید:

وظیفه 14

کافه تریا دانشجویی سوسیس های خمیری، چیزکیک و دونات می فروشد. از چند طریق می توان پنج کیک را خریداری کرد؟

راه حل: فوراً به معیار معمولی برای ترکیبات با تکرار توجه کنید - طبق شرایط، نه مجموعه ای از اشیاء به این صورت، بلکه انواع مختلفاشیاء؛ فرض بر این است که حداقل پنج هات داگ، 5 چیزکیک و 5 دونات در فروش وجود دارد. البته کیک ها در هر گروه متفاوت هستند - زیرا دونات های کاملاً یکسان را فقط می توان در رایانه شبیه سازی کرد =) با این حال، ویژگی های فیزیکی پای ها به معنای مشکل ضروری نیست و هات داگ / چیزکیک / دونات در گروه های خود یکسان محسوب می شوند.

چه چیزی می تواند در نمونه باشد؟ اول از همه، لازم به ذکر است که قطعا پای های یکسان در نمونه وجود خواهد داشت (چون ما 5 قطعه را انتخاب می کنیم و 3 نوع برای انتخاب پیشنهاد می شود). گزینه های اینجا برای هر سلیقه: 5 هات داگ، 5 چیزکیک، 5 دونات، 3 هات داگ + 2 چیزکیک، 1 هات داگ + 2 + چیزکیک + 2 دونات و غیره.

مانند ترکیب های "معمول"، ترتیب انتخاب و قرار دادن پای ها در نمونه مهم نیست - آنها فقط 5 قطعه را انتخاب کردند و تمام.

ما از فرمول استفاده می کنیم تعداد ترکیبات با تکرار:
روشی که می توانید 5 پای بخرید.

نوش جان!

پاسخ: 21

از بسیاری از مسائل ترکیبی چه نتیجه ای می توان گرفت؟

گاهی اوقات، سخت ترین چیز درک شرایط است.

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

وظیفه 15

این کیف دارای تعداد نسبتاً زیادی سکه های 1، 2، 5 و 10 روبلی است. به چند روش می توان سه سکه را از کیف پول خارج کرد؟

برای اهداف خودکنترلی، به چند سوال ساده پاسخ دهید:

1) آیا همه سکه های نمونه می توانند متفاوت باشند؟
2) "ارزان ترین" و "گران ترین" ترکیب سکه ها را نام ببرید.

راه حل و پاسخ در پایان درس.

با توجه به تجربه شخصی من می توانم بگویم که ترکیبات با تکرار نادرترین مهمان در عمل هستند که در مورد انواع ترکیبات زیر نمی توان گفت:

قرارگیری با تکرار

از مجموعه ای متشکل از عناصر، عناصر انتخاب می شوند و ترتیب عناصر در هر نمونه مهم است. و همه چیز خوب خواهد بود، اما یک شوخی غیرمنتظره این است که ما می توانیم هر شیء از مجموعه اصلی را هر چند بار که دوست داریم انتخاب کنیم. به بیان تصویری، از "انبوه کاهش نخواهد یافت."

چه زمانی اتفاق می افتد؟ یک مثال معمولی قفل ترکیبی با چندین دیسک است، اما با توجه به توسعه فناوری، توجه به نسل دیجیتال آن مهم تر است:

وظیفه 16

چند کد پین 4 رقمی وجود دارد؟

راه حل: در واقع برای حل مشکل کافی است قوانین ترکیبی را بدانید: می توانید اولین رقم پین کد را به روش هایی انتخاب کنید. وراه - رقم دوم کد پین واز بسیاری جهات - یک سوم وبه تعداد - چهارم. بنابراین، با توجه به قاعده ضرب ترکیبات، یک کد پین چهار رقمی می تواند تشکیل شود: به روش.

و حالا با فرمول. با شرط، مجموعه ای از اعداد به ما پیشنهاد می شود که اعداد از بین آنها انتخاب و قرار می گیرند به ترتیب خاصی، در حالی که اعداد موجود در نمونه را می توان تکرار کرد (یعنی هر رقمی از مجموعه اصلی را می توان به تعداد دلخواه بارها استفاده کرد). طبق فرمول تعداد قرارگیری با تکرار:

پاسخ: 10000

آنچه در اینجا به ذهن خطور می کند ... ... اگر دستگاه خودپرداز کارت را پس از سومین تلاش ناموفق برای وارد کردن کد پین "می خورد"، پس شانس برداشتن آن به صورت تصادفی بسیار واهی است.

و چه کسی گفته که در ترکیبات معنای عملی وجود ندارد؟ یک کار شناختی برای همه خوانندگان سایت:

مسئله 17

طبق استاندارد دولتی، پلاک خودرو از 3 عدد و 3 حرف تشکیل شده است. در این حالت عدد با سه صفر مجاز نیست و حروف از مجموعه A، B، E، K، M، H، O، R، C، T، U، X انتخاب می شوند. (فقط آن حروف سیریلیک استفاده می شود که املای آنها با حروف لاتین مطابقت دارد).

برای یک منطقه چند پلاک مختلف می توان ساخت؟

اتفاقاً اینطور نیست و بسیار زیاد است. در مناطق بزرگ، این تعداد کافی نیست، و بنابراین برای آنها چندین کد برای کتیبه RUS وجود دارد.

راه حل و پاسخ در پایان درس. فراموش نکنید که از قوانین ترکیبیات استفاده کنید ;-) ... می خواستم به انحصار بودن خود ببالم، اما معلوم شد که انحصاری نیست =) من به ویکی پدیا نگاه کردم - محاسباتی وجود دارد، با این حال، بدون نظر. اگرچه برای اهداف آموزشی، احتمالاً افراد کمی آن را حل کردند.

درس مهیج ما به پایان رسیده است و در پایان می خواهم بگویم که شما وقت خود را تلف نکردید - به این دلیل که فرمول های ترکیبی کاربرد عملی حیاتی دیگری پیدا می کنند: آنها در کارهای مختلف یافت می شوند. نظریه احتمال,
و در وظایف در تعریف کلاسیک احتمال- به خصوص اغلب

با تشکر از همه شما برای مشارکت فعال شما و به زودی شما را می بینم!

راه حل ها و پاسخ ها:

وظیفه 2: راه حل: تعداد همه جایگشت های ممکن 4 کارت را بیابید:

وقتی کارتی با صفر در جایگاه اول قرار می گیرد، عدد سه رقمی می شود، بنابراین این ترکیب ها باید حذف شوند. بگذارید صفر در جایگاه اول باشد، سپس 3 رقم باقیمانده در کمترین ارقام را می توان به روش هایی بازآرایی کرد.

توجه داشته باشید : زیرا کارت های کمی وجود دارد، فهرست کردن همه این گزینه ها در اینجا آسان است:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

بنابراین، از مجموعه پیشنهادی، می توانید:
24 - 6 = 18 عدد چهار رقمی
پاسخ : 18

وظیفه 4: راه حل: 3 کارت را می توان از 36 روش انتخاب کرد.
پاسخ : 7140

وظیفه 6: راه حل: راه ها.
راه حل دیگر : راه هایی که می توانید دو نفر را از گروه انتخاب کنید و و
2) مجموعه "ارزانترین" شامل 3 سکه روبلی و "گرانترین" مجموعه شامل 3 سکه ده روبلی است.

وظیفه 17: راه حل: روش هایی که می توانید یک ترکیب دیجیتالی از یک پلاک بسازید، در حالی که یکی از آنها (000) باید حذف شود:.
روش هایی برای ایجاد ترکیب حروف از شماره ماشین
طبق قانون ضرب ترکیب ها، همه چیز را می توان ترکیب کرد:
شماره ماشین
(هر یکترکیب دیجیتال ترکیبی با هریکترکیب حروف).
پاسخ : 1726272