استخراج فرمول حجم یک منشور مایل. منشوری که مستقیم و پایه های آن چند ضلعی منتظم باشد منظم نامیده می شود. اگر لبه های جانبی منشور بر پایه ها عمود باشند، منشور را مستقیم می نامند، در غیر این صورت - مایل.

توضیح متن درس:

امروز فرمول حجم یک منشور شیبدار را با استفاده از انتگرال بدست می آوریم.

به یاد بیاورید که منشور چیست و چه نوع منشوری را مایل می نامند؟

منشور چند وجهی است که دو وجه (پایه) آن چند ضلعی های مساوی هستند که در صفحات موازی قرار دارند و وجه های دیگر (اضلاع) متوازی الاضلاع هستند.

اگر لبه های جانبی منشور بر صفحه قاعده عمود باشد، منشور مستقیم است و در غیر این صورت منشور را مایل می نامند.

حجم یک منشور مایل برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

1) یک منشور مایل مثلثی VSEB2C2E2 را در نظر بگیرید. حجم این منشور V، مساحت پایه S و ارتفاع h است.

بیایید از فرمول استفاده کنیم: حجم برابر است با انتگرال از 0 تا h S از x de x.

V= که مساحت مقطع عمود بر محور Ox است. محور Ox را انتخاب می کنیم و نقطه O مبدا مختصات است و در صفحه ALL (پایه پایین منشور مایل) قرار دارد. جهت محور Ox عمود بر صفحه ALL است. سپس محور Ox صفحه را در نقطه h قطع می کند و صفحه E1 را موازی با پایه های منشور مایل و عمود بر محور Ox می کشیم. از آنجایی که صفحات موازی و وجوه جانبی متوازی الاضلاع هستند، BE=، CE=C1E1=C2E2. BC=B1C1=B2C2

از این رو نتیجه می شود که مثلث های ALL = E2 در سه ضلع برابر هستند. اگر مثلث ها متجانس باشند، مساحت آنها برابر است. مساحت یک بخش دلخواه S (x) برابر است با مساحت Son پایه.

AT این موردمساحت پایه ثابت است 0 و h را به عنوان حدود یکپارچه سازی در نظر می گیریم. ما فرمول را دریافت می کنیم: حجم برابر است با انتگرال از 0 تا h S از x de x یا انتگرال از 0 تا h مساحت پایه از x de x، مساحت پایه یک ثابت است (مقدار ثابت)، ما می توانیم آن را از علامت انتگرال خارج کنید و معلوم می شود که انتگرال از 0 تا h de x برابر با خاکستر منهای 0 است:

معلوم می شود که حجم یک منشور شیبدار برابر است با حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع.

2) اجازه دهید این فرمول را برای یک منشور تمایلی دلخواه n ضلعی اثبات کنیم. برای اثبات این موضوع، یک منشور مایل پنج ضلعی را در نظر می گیریم. اجازه دهید منشور مایل را به چندین منشور مثلثی تقسیم کنیم، در این مورد، به سه منشور (همانطور که در اثبات قضیه در مورد حجم یک منشور مستقیم). حجم منشور مایل را V نشان می‌دهیم. سپس حجم منشور مایل از مجموع حجم‌های سه منشور مثلثی (با توجه به خاصیت حجم‌ها) تشکیل می‌شود.

V \u003d V1 + V2 + V3، و ما به دنبال حجم یک منشور مثلثی با فرمول هستیم: حجم یک منشور شیبدار برابر است با حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع.

به این معنی که حجم یک منشور مایل برابر است با مجموع حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع، ارتفاع h را از براکت ها قرار می دهیم (چون برای سه منشور یکسان است) و به دست می آید:

قضیه ثابت شده است.

لبه جانبی منشور مایل 4 سانتی متر است که با صفحه پایه زاویه 30 درجه ایجاد می کند اضلاع مثلث که در قاعده قرار دارند 12 و 12 و 14 سانتی متر است حجم منشور مایل را پیدا کنید.

داده شده: - منشور مایل،

AB = 12 سانتی متر، BC = 12 سانتی متر، AC = 14 سانتی متر، B = 4 سانتی متر، BK = 30 درجه.

یافتن: V - ?

ساخت اضافی: در منشور مایل ارتفاع H را رسم می کنیم.

می دانیم که حجم یک منشور مایل برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

یک مثلث دلخواه در پایه منشور شیبدار قرار دارد که در آن همه اضلاع مشخص است، به این معنی که ما فرمول هرون را اعمال می کنیم: مساحت مثلث برابر با ریشه دوم حاصلضرب pe است. تفاوت بین pe و a، با تفاوت بین pe و be، با تفاوت بین pe و ce، که در آن pe مثلث نیمه محیطی است، که ما با فرمول به دنبال آن هستیم: نصف مجموع همه اضلاع a، b و c:

نیم محیط را در نظر بگیرید:

مقدار نیم محیط را در فرمول برای مساحت پایه جایگزین کنید، ساده کنید و جواب بگیرید: هفت ریشه 95.

ΔB H را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است، زیرا H ارتفاع منشور مایل است. از تعریف سینوس، ساق برابر حاصلضرب هیپوتنوز و سینوس زاویه مخالف است.

مقدار سینوس 30 درجه برابر با یک ثانیه است، یعنی

ما یاد گرفتیم که

و ارتفاع H - ارتفاع منشور مایل - برابر با 2 است.

بنابراین، حجم است

"منشور جسم هندسی" - متوازی الاضلاع مستطیلی. مستطیل. مقاطع مورب. قضیه فیثاغورس. مقدار مناطق. رگه ها. پایه منشور نام منشور نشان داده شده در شکل چیست؟ دعوای ریاضی راه حل. منشور. منشور مستقیم چیست. دانش دریافت کرد. مورب یک منشور مثلثی منظم.

"منشور شکل" - تعریف منشور. منشور مایل و مستقیم. اجازه دهید ابتدا قضیه یک منشور مثلثی را اثبات کنیم. انواع منشور حجم یک منشور مایل. منشور. مساحت سطح جانبی منشور. سطح کل منشور. حال اجازه دهید قضیه یک منشور دلخواه را اثبات کنیم. منشور درست

"حجم منشور" - ناحیه S پایه منشور اصلی. راه حل مشکل. اهداف درس حجم منشور اصلی برابر با حاصلضرب S · h است. حجم یک منشور مستقیم. منشور را می توان به منشورهای مثلثی مستقیم با ارتفاع h تقسیم کرد. مفهوم منشور. ارتفاع مثلث ABC را رسم کنید. سوالات. بررسی قضیه حجم منشور. مراحل اساسی در اثبات قضیه منشور مستقیم؟

"مفهوم یک منشور" - مساحت کل سطح یک منشور. منشور مستقیم مساحت سطح جانبی منشور. چند ضلعی. بخش های منشوری منشور درست منشورهایی که در زندگی با آن مواجه می شوند. منشورهای مثلثی اثبات حجم یک منشور مایل. تعریف منشور منشور مایل و مستقیم. انواع منشور منشور.

"خواص یک منشور" - آیا منشورهای مایل وجود دارند که بتوان یک کره را در آنها حک کرد؟ خواص منشور شرایطی که برای یک منشور مستقیم فرموله شده است. سیلندر. منشور. مقطع یک استوانه. فرمول سه کسینوس پایه. منشور مثلثی. قضیه سینوس برای یک زاویه سه وجهی. لبه یک منشور مثلثی. در اطراف کدام یک از انواع منشورها می توانید همیشه یک کره را توصیف کنید.

"مفهوم چند وجهی منشور" - متوازی الاضلاع در بخش تشکیل می شود. نتیجه. خواص منشور اصطلاح "منشور" منشأ یونانی دارد و در لغت به معنای "بریده شده" (بدن) است. مساحت سطح منشور و سطح جانبی منشور. به چنین مقطعی، بخش مورب منشور می گویند. با توجه به: ضلع پایه یک منشور مثلثی منظم 8 سانتی متر، لبه کناری 6 سانتی متر است.

حجم منشور مایل

همه منشورها به دو دسته تقسیم می شوند سر راست و مایل .

منشور مستقیم، پایه

که در خدمت حق است

چند ضلعی نامیده می شود

درست منشور

خواص منشور صحیح:

1. پایه های یک منشور منتظم چند ضلعی های منظم هستند. 2. وجوه جانبی یک منشور منظم مستطیل های مساوی هستند. 3. لبه های جانبی یک منشور منظم برابر است .

بخش یک PRISM.

مقطع متعامد منشور، مقطعی است که توسط صفحه ای عمود بر لبه کناری تشکیل شده است.

سطح جانبی منشور برابر است با حاصل ضرب محیط مقطع متعامد و طول دنده جانبی.

S b \u003d P ortho.sec C

1. فواصل بین دنده های مایل

منشور مثلثی عبارتند از: 2 سانتی متر، 3 سانتی متر و 4 سانتی متر

سطح جانبی منشور - 45 سانتی متر 2 لبه کناری آن را پیدا کنید.

راه حل:

در یک برش عمود بر یک منشور، مثلثی که محیط آن 2+3+4=9 است.

بنابراین لبه کناری 45:9 = 5 (سانتی متر) است.

عناصر ناشناخته را پیدا کنید

مثلثی منظم

منشورها

توسط عناصر مشخص شده در جدول

پاسخ ها.

ممنون از درس.

مشق شب.

حجم مشخصه هر شکلی است که در هر سه بعد فضا دارای ابعاد غیرصفر باشد. در این مقاله از دیدگاه استریومتری (هندسه شکل های فضایی) یک منشور را در نظر می گیریم و نحوه یافتن حجم منشورهای مختلف را نشان می دهیم.

استریومتری پاسخ دقیقی برای این سوال دارد. منشور در آن به عنوان شکلی درک می شود که توسط دو وجه چند ضلعی یکسان و چندین متوازی الاضلاع تشکیل شده است. شکل زیر چهار منشور مختلف را نشان می دهد.

هر یک از آنها را می توان به صورت زیر بدست آورد: شما باید یک چند ضلعی (مثلث، چهار ضلعی و غیره) و یک قطعه با طول معین بگیرید. سپس هر رأس چند ضلعی باید با استفاده از قطعات موازی به صفحه دیگری منتقل شود. در صفحه جدید، که موازی با صفحه اصلی خواهد بود، یک چند ضلعی جدید مشابه همان چیزی که در ابتدا انتخاب شده بود، به دست می آید.

منشورها می توانند انواع مختلفی داشته باشند. بنابراین، آنها می توانند مستقیم، مایل و صحیح باشند. اگر لبه جانبی منشور (قطعه ای که بالای پایه ها را به هم متصل می کند) بر پایه های شکل عمود باشد، دومی یک خط مستقیم است. بر این اساس، اگر این شرط برآورده نشد، در این صورت صحبت از منشور مایل است. شکل منظم منشوری راست با قاعده متساوی الاضلاع و متساوی الاضلاع است.

حجم منشورهای منظم

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. فرمول حجم یک منشور منظم با پایه n ضلعی را می دهیم. فرمول حجمی V برای هر شکل از کلاس مورد نظر به شکل زیر است:

یعنی برای تعیین حجم کافی است مساحت یکی از پایه های S o را محاسبه کرده و در ارتفاع h شکل ضرب کنیم.

در مورد منشور منظم، طول ضلع قاعده آن را با حرف a و ارتفاع را که برابر با طول لبه کناری است با حرف h نشان می دهیم. اگر پایه n-gon صحیح باشد، ساده ترین راه برای محاسبه مساحت آن استفاده از فرمول جهانی زیر است:

S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).

با جایگزینی برابری تعداد اضلاع n و طول یک ضلع a، می توانید مساحت پایه زغال سنگ n را محاسبه کنید. توجه داشته باشید که تابع کتانژانت در اینجا برای زاویه pi/n محاسبه می شود که بر حسب رادیان بیان می شود.

با در نظر گرفتن تساوی نوشته شده برای S n، فرمول نهایی حجم یک منشور منظم را به دست می آوریم:

Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

برای هر مورد خاص، می توان فرمول های مربوط به V را یادداشت کرد، اما همه آنها به طور واضح از عبارت کلی نوشته شده پیروی می کنند. به عنوان مثال، برای یک منشور چهار گوش منتظم، که در حالت کلی یک متوازی الاضلاع مستطیلی است، به دست می آوریم:

V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.

اگر در این عبارت h=a را بگیریم، فرمولی برای حجم یک مکعب بدست می آوریم.

حجم منشورهای مستقیم

فوراً متذکر می شویم که برای ارقام مستقیم هیچ فرمول کلی برای محاسبه حجم وجود ندارد که در بالا برای منشورهای منظم ارائه شد. هنگام یافتن مقدار مورد نظر، باید از عبارت اصلی استفاده شود:

در اینجا h طول لبه کناری است، مانند مورد قبلی. در مورد مساحت پایه S o، می تواند مقادیر مختلفی به خود بگیرد. وظیفه محاسبه منشور مستقیم حجم به یافتن مساحت پایه آن کاهش می یابد.

محاسبه مقدار S o باید بر اساس ویژگی های خود پایه انجام شود. به عنوان مثال، اگر یک مثلث باشد، مساحت را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

در اینجا h a اوتم مثلث است، یعنی ارتفاع آن به قاعده a کاهش یافته است.

اگر قاعده چهار ضلعی باشد، می تواند ذوزنقه، متوازی الاضلاع، مستطیل یا یک نوع کاملا دلخواه باشد. برای همه این موارد باید از فرمول پلان سنجی مناسب برای تعیین مساحت استفاده کنید. به عنوان مثال، برای یک ذوزنقه، این فرمول به نظر می رسد:

S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .

در جایی که h a ارتفاع ذوزنقه است، a 1 و a 2 طول اضلاع موازی آن است.

برای تعیین مساحت چند ضلعی های مرتبه بالاتر، باید آنها را به شکل های ساده (مثلث، چهارگوش) تقسیم کرد و مجموع مساحت های دومی را محاسبه کرد.

حجم منشورهای مایل

این سخت ترین مورد برای محاسبه حجم یک منشور است. فرمول کلی برای چنین ارقامی نیز اعمال می شود:

با این حال، به پیچیدگی یافتن مساحت پایه، که نشان دهنده یک نوع دلخواه از چند ضلعی است، مشکل تعیین ارتفاع شکل اضافه شده است. در یک منشور مایل، همیشه از طول لبه جانبی کمتر است.

ساده ترین راه برای یافتن این ارتفاع این است که زاویه ای از شکل (مسطح یا دو وجهی) را بشناسید. اگر چنین زاویه ای داده شود، باید از آن برای ساختن مثلث قائم الزاویه در داخل منشور استفاده کرد که دارای ارتفاع h به عنوان یکی از اضلاع باشد و با استفاده از توابع مثلثاتی و قضیه فیثاغورث، مقدار h را پیدا کرد.

مشکل حجم هندسی

یک منشور منظم با قاعده مثلثی با ارتفاع 14 سانتی متر و طول ضلع آن 5 سانتی متر در نظر گرفته شده است. حجم یک منشور مثلثی چقدر است؟

از آنجایی که ما در مورد رقم صحیح صحبت می کنیم، حق داریم از فرمول شناخته شده استفاده کنیم. ما داریم:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 سانتی متر مکعب.

منشور مثلثی شکل نسبتاً متقارنی است که اغلب سازه های معماری مختلف در قالب آن انجام می شود. این منشور شیشه ای در اپتیک استفاده می شود.

مفهوم منشور. فرمول های حجمی برای منشورهای مختلف: منظم، مستقیم و مایل. حل مشکل - همه چیز در مورد سفر به سایت

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.