اشکال هندسی: انرژی اشکال هندسی. اشکال منظم در هندسه

شما نیاز خواهید داشت

• - شکل هندسی نامنظم؛
• - ابزار اندازه گیری؛
• - پلاستیک شفاف؛
• - خط كش؛
• - مربع؛
• - قلم توپ.

دستورالعمل

یک شکل هندسی را در نظر بگیرید و تعیین کنید که آیا پارامترهای آن را می دانید یا خیر. این می تواند طول ضلع یا زاویه باشد. بسته به پارامترهای مشخص شده و روش تعیین مساحت را انتخاب کنید. به عنوان مثال، آن را به چندین شکل تقسیم کنید، فرمول های محاسبه مساحتی که شما دارید. یکی از متداول ترین روش ها کشیدن مورب از یک گوشه به تمام رئوس دیگر است. در این مورد، شما باید فرمول محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه را بدانید. اما هیچ کس تقسیم یک شکل معین را به چند ضلعی های دیگر ممنوع نمی کند. به عنوان مثال، هنگام محاسبه مساحت کف در یک اتاق با طاقچه، راحت تر است که شکل اشتباه را به دو مستطیل یا مربع تقسیم کنید.

برای تعیین مساحت یک قسمت نه چندان بزرگ، می توانید از پالت استفاده کنید. او می تواند. یک تکه مستطیل شکل از هر پلاستیک شفاف را جدا کنید. آن را به مربع تقسیم کنید مربعکه می دانید - مثلاً 1x1 یا 0.5x0.5 سانتی متر خط کش و مربع باید دقیق باشد. پالت را روی مورد قرار دهید. کل را بشمار، سپس - . تعداد مربع های ناقص را بر 2 تقسیم کنید و نتیجه را به تعداد اعداد صحیح اضافه کنید. هرچه تقسیمات روی پالت کوچکتر باشد، نتیجه دقیق تر خواهد بود. به همین ترتیب، می توان محاسبه کرد مربعسایت. نقش پالت توسط شبکه ای از مربع ها با ضلع 1x1 متر انجام می شود که روی آنها کشیده شده یا با گیره هایی با طناب های کشیده شده بین آنها مشخص شده است. شما همچنین می توانید قلمرو را علامت گذاری کنید. .

با مناطق بزرگ، می توانید آن را متفاوت انجام دهید. دقیق ترین طرح سایت یا منطقه محلی را بگیرید. مقیاس را تعیین کنید. از یکی از روش ها استفاده کنید. سپس مقدار حاصل را به مقیاس مورد نظر ترجمه کنید.

توصیه مفید

در ساخت قطعات فلزی تخت می توان مساحت آنها را با استفاده از استاندارد با توزین محاسبه کرد. خود قسمت و استاندارد را برش دهید - یک مربع، مساحتی که برای محاسبه آن راحت است. آنها باید از همان مواد ساخته شوند و ضخامت ورق باید یکسان و در عین حال ناچیز باشد. محاسبه نسبت جرم، و از آن - منطقه ناشناخته. با این حال، این روش چندان دقیقی نیست و فقط باید در موارد شدید استفاده شود.

هر شکل نامنظمی را می توان به عنوان یک نمودار نشان داد. هر نقطه مختصات خود را دارد. هر بخش را به عنوان نمودار یک تابع تصور کنید. مساحت قطعه از آبسیسا تا آن یک انتگرال مشخص است. همه انتگرال ها را محاسبه کنید. مساحت شکل را با استفاده از اختلاف انتگرال ها با مقدار بزرگتر و کوچکتر تعیین کنید. این یک روش نسبتاً پر زحمت است، اما بیشترین دقت را می دهد.

منابع:

• http://matemonline.com/rubrika/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB/

قبل از شروع تعمیرات جنسیتدر خانه، شما باید ژنرال را پیدا کنید مربعبرای محاسبه دقیق مقدار مواد یک کار به ظاهر ساده در واقع می تواند مشکلات زیادی ایجاد کند. برای پیدا کردن حق مربع جنسیت، باید برخی از نکات ظریف علم اندازه گیری را بدانید.

شما نیاز خواهید داشت

• - رولت؛
• - مسافت یاب الکترونیکی؛
• - یک ورق کاغذ و یک مداد؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل

اگر به ژنرال نیاز دارید مربعآپارتمان یا اتاق جداگانه، فقط پاسپورت فنی یا خانه را بخوانید، فیلم هر اتاق و کل فیلم آپارتمان را نشان می دهد.

برای اندازه گیری مساحت یک اتاق مستطیلی یا مربعی، یک متر نوار یا مسافت یاب الکترونیکی بگیرید و طول دیوارها را اندازه بگیرید. هنگام اندازه گیری فواصل با فاصله یاب، حتماً جهت پرتو را عمود نگه دارید، در غیر این صورت ممکن است نتایج اندازه گیری مخدوش شود.

سپس طول حاصل (بر حسب متر) اتاق را در عرض (به متر) ضرب کنید. مقدار حاصل خواهد شد مربعیو جنسیت، بر حسب متر مربع اندازه گیری می شود.

اگر نیاز به محاسبه دارید مربع جنسیتطراحی پیچیده تر، مانند یک اتاق پنج ضلعی یا اتاقی با طاق گرد، یک طرح شماتیک را روی یک تکه کاغذ بکشید. سپس شکل پیچیده را به چند شکل ساده مانند مربع و مثلث یا مستطیل و نیم دایره تقسیم کنید. از یک متر یا فاصله یاب برای اندازه گیری اندازه تمام اضلاع شکل های به دست آمده استفاده کنید (برای یک دایره، باید قطر را بدانید) و نتایج را در نقاشی خود وارد کنید.

حالا بشمار مربعهر رقم جداگانه مساحت مستطیل ها و مربع ها با ضرب اضلاع محاسبه می شود. برای محاسبه مساحت یک دایره، قطر را بر تقسیم کنید جنسیت m و مربع (آن را در خودش ضرب کنید)، سپس مقدار حاصل را در 3.14 ضرب کنید. اگر فقط نیمی از دایره را می خواهید، به دست آمده را تقسیم کنید مربعبر جنسیتمتر برای محاسبه

1 اسلاید

2 اسلاید

چند ضلعی های منتظم یک چند ضلعی محدب منظم نامیده می شود که همه اضلاع آن مساوی و همه زوایا مساوی باشند. مرکز یک چند ضلعی منتظم نقطه ای است که از تمام رئوس و همه اضلاع آن فاصله دارد. زاویه مرکزی یک چند ضلعی منتظم، زاویه ای است که ضلع آن از مرکز آن قابل مشاهده است.

3 اسلاید

ویژگی های یک چند ضلعی منتظم: یک چند ضلعی منتظم در یک دایره محاط می شود و دور دایره محصور می شود. مرکز یک چند ضلعی منتظم منطبق بر مرکز دایره های محاطی و محاط است. محیط های n-گونهای منظم به عنوان شعاع دایره های محدود شده مرتبط هستند.

4 اسلاید

5 اسلاید

ال. کارول یک بار نوشت: «چند وجهی منظم به طرز سرکشی کمی وجود دارد، اما این گروه بسیار متواضع توانست به اعماق علوم مختلف راه پیدا کند.»

6 اسلاید

چند وجهی جسمی است که سطح آن از تعداد محدودی چند ضلعی مسطح تشکیل شده است. یک چندوجهی محدب نامیده می شود که در یک طرف صفحه هر چندضلعی مسطح روی سطح خود قرار گیرد. قسمت مشترک چنین صفحه ای و سطح یک چندوجهی محدب، صورت نامیده می شود. وجه های یک چند وجهی محدب چند ضلعی های محدب مسطح هستند. اضلاع وجه ها را لبه های چند وجهی و رئوس را رئوس چند وجهی می گویند.

7 اسلاید

5 نوع چند وجهی منتظم وجود دارد: 1) چهار وجهی 2) شش وجهی 3) دوازده وجهی 4) هشت وجهی 5) ایکو وجهی

8 اسلاید

ویژگی های چهار وجهی: صفحات موازی که از جفت لبه های متقاطع یک چهار وجهی عبور می کنند، یک موازی شکل را مشخص می کنند که در نزدیکی چهار وجهی قرار گرفته است. قطعه ای که راس چهار ضلعی را با نقطه تقاطع وسط های طرف مقابل وصل می کند، میانه آن نامیده می شود که از این راس رها شده است. قطعه ای که نقاط میانی لبه های متقاطع یک چهار وجهی را به هم متصل می کند، دو میانی آن نامیده می شود که این یال ها را به هم متصل می کند. پاره خطی که یک راس را به نقطه ای در طرف مقابل و عمود بر این وجه متصل می کند، ارتفاع آن از راس داده شده نامیده می شود. قضیه. همه میانه ها و دومیدین های یک چهار وجهی در یک نقطه قطع می شوند. این نقطه میانه ها را به نسبت 3:1 تقسیم می کند و از بالا شمارش می شود. این نقطه دوسطح ها را به دو نیم می کند.

9 اسلاید

ویژگی های شش وجهی: چهار بخش از یک مکعب شش ضلعی منظم هستند - این بخش ها از مرکز مکعب عمود بر چهار قطر اصلی آن عبور می کنند. چهار وجهی را می توان به دو صورت در مکعب حک کرد. در هر دو حالت، چهار رأس چهار وجهی با چهار رأس مکعب تراز خواهند شد و هر شش یال چهار وجهی متعلق به وجوه مکعب خواهند بود. در حالت اول، تمام رئوس چهار وجهی متعلق به وجوه زاویه سه وجهی است که راس آن با یکی از رئوس مکعب منطبق است. در حالت دوم، لبه های متقاطع دوتایی چهار وجهی به وجوه متقابل دوتایی مکعب تعلق دارند. چنین چهار وجهی درست است. یک هشت ضلعی را می توان در یک مکعب حک کرد، علاوه بر این، تمام شش رأس هشت وجهی با مرکز شش وجه مکعب هم تراز خواهند شد. یک مکعب را می توان در یک هشت ضلعی حک کرد، علاوه بر این، تمام هشت رأس مکعب در مراکز هشت وجهی هشت وجهی قرار خواهند گرفت. یک ایکوسادرون را می توان در یک مکعب حک کرد، در حالی که شش لبه متقابل موازی ایکوز وجهی به ترتیب در شش وجه مکعب قرار می گیرند، 24 لبه باقی مانده در داخل مکعب خواهند بود. تمام دوازده راس ایکوسادرون روی شش وجه مکعب قرار خواهند گرفت.

10 اسلاید

دوازده وجهی (از یونانی dodeka - دوازده و هدرا - صورت) چند وجهی منتظم، متشکل از 12 پنج ضلعی متساوی الاضلاع. دوازده وجهی 20 رأس و 30 لبه دارد. راس دوازده وجهی راس سه پنج ضلعی است، بنابراین مجموع زوایای صفحه در هر راس 324 درجه است.

11 اسلاید

هشت وجهی (از یونانی octo - eight و hedra - صورت) چند وجهی منظم، متشکل از 8 مثلث متساوی الاضلاع. یک هشت وجهی دارای 6 رأس و 12 یال است. در مثالی از یک هشت وجهی، می‌توان فرمول اویلر 6v + 8r-12p = 2 را بررسی کرد. در هر رأس 4 مثلث همگرا می شوند، بنابراین مجموع زوایای صفحه در راس هشت ضلعی 240 درجه است. از تعریف یک چند وجهی منتظم چنین بر می آید که طول تمام یال های یک هشت وجهی برابر است و وجوه آن برابر است. مساحت مساوی

12 اسلاید

ویژگی‌های ایکوز وجهی: می‌توان یک ایکوز وجهی را در یک مکعب حک کرد، در حالی که شش یال عمود بر یکدیگر به ترتیب روی شش وجه مکعب قرار می‌گیرند، 24 یال باقی‌مانده در داخل مکعب، هر دوازده راس ایکوسادر روی شش وجه قرار می‌گیرند. یک چهار وجهی را می توان در ایکو وجهی حک کرد، علاوه بر این، چهار رأس چهار وجهی با چهار راس ایکو وجهی همسو خواهند شد. یک ایکو وجهی را می توان در یک دوازده وجهی حک کرد، که رئوس آن با مرکز وجه های دوازده وجهی همسو باشد. یک دوازده وجهی را می توان در یک ایکو وجهی با رئوس دوازده وجهی و مرکز وجه های ایکو وجهی تراز کرد. با بریدن 12 رأس برای تشکیل وجه های پنج ضلعی منظم می توان یک ایکوساهدر کوتاه را به دست آورد. در همان زمان، تعداد رئوس چند وجهی جدید 5 برابر می شود (60×5×12)، 20 وجه مثلثی به شش ضلعی منتظم تبدیل می شوند (تعداد کل وجه ها 20+12=32 می شود) و تعداد یال ها. به 30+12×5=90 افزایش می یابد.

تحقیقات دهه‌های اخیر خاصیت همه اجسام مادی را برای تابش امواج الکترومغناطیسی مشخصه ماده ای که در آن قرار دارد، به اثبات رسانده است. این امواج یک میدان الکترومغناطیسی تشکیل می دهند که کاملاً با شکل و ظاهر خاص آنها مشخص می شود.

به عنوان مثال، چشم انسان می تواند شکل مطلقاً هر جسمی را از تابش ساطع شده به فضا و بازتابش از ظاهر آن در محدوده مرئی تعیین کند. بنابراین، بر اساس همان اصل است که همه دستگاه‌های دید در شب کار می‌کنند، که تشعشع ساطع شده از یک جسم در محدوده مادون قرمز، و همچنین اکثر دستگاه‌های مکان‌یابی که در محدوده‌های موج دیگر کار می‌کنند را می‌گیرند.

علاوه بر میدان هایی که شامل طیفی از امواج است که توسط آن منعکس و جذب می شود، میدانی نیز وجود دارد که یک جسم مادی از آن تابش می کند. و همین میدان‌ها هستند که هم در داخل و هم در خارج از این جسم یک فضای الکترومغناطیسی مشترک را تشکیل می‌دهند که بدون استثنا تمام خصوصیات و خصوصیات فیزیکی و شیمیایی آن را به صورت اطلاعاتی تعیین می‌کند.

توانایی های خارق العاده هرم مثلثی

پدیده اشکال صحیح

حتی در آن زمان، همه اجداد باستانی ما به اندازه کافی خوش شانس بودند که در مورد خواص خارق العاده اجسامی که اشکال هندسی منظمی دارند بدانند و به طرز شگفت انگیزی بر فضای اطراف آنها تأثیر بگذارند.

سایر مواد زنده و غیر زنده نیز که در مجاورت این اجسام یا در وسط آنها قرار دارند نیز تحت تأثیر چنین تأثیری قرار می گیرند. با کمک این پدیده که امروزه برای همه ما شگفت انگیز و مرموز است، گذشتگان زندگی اطراف خود را تجهیز کردند و وضعیت روانی جسمی روح و بدن خود را تنظیم کردند.

راز دیگری از اهرام فاش شد. آنها می دانستند که چگونه از انرژی اهرام استفاده کنند

چه نوع اشکال هندسی صحیح در نظر گرفته می شود؟

یک چند ضلعی منتظم به صورت یک شکل مسطح محصور شده توسط خطوط مستقیمی که دارای اضلاع برابر و زوایای داخلی برابر هستند نشان داده می شود. طبیعتاً تعداد نامتناهی رقم وجود دارد که تحت چنین معیارهای انتخاب قرار می گیرند. شباهت یک چند ضلعی منتظم محصور در فضای سه بعدی می تواند یک چندوجهی منتظم باشد که یک شکل فضایی است که دقیقاً وجوه یکسان و زوایای چند وجهی یکسانی در رئوس چند ضلعی دارد.

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که می تواند تعداد پایان ناپذیری از چنین چند وجهی وجود داشته باشد، اما در واقع، تعداد آنها به واحد کاهش می یابد. امروزه دنیا فقط پنج چندوجهی منظم (محدب) را می شناسد که با قاعده منتظم نشان داده می شوند چهار وجهی, مکعب, هشت وجهی, دوازده وجهیو ایکو وجهی.

تمام معماری های دیگر چند ضلعی ها به عنوان شکل های مشتق شده از این نیم دوجین بدنه منظم در نظر گرفته می شوند. برخی از این اشکال منحصراً در کره قرار می گیرند، در حالی که آن را کاملاً با تمام رئوس خود لمس می کنند.

جایگاه ویژه ای بین چند ضلعی های مشتق شده توسط صحیح اشغال شده بود نیم هشت وجهیو همچنین تغییرات هرمی مختلف آن. در واقع، اهرام، که دارای ابعاد سیکلوپی هستند، معمولاً توسط ساکنان باستانی جهان ما ساخته شده اند. نمونه بارز این اهرام جیزه است که در قلمرو مصر ساخته شده است، که چشمگیرترین و شگفت انگیزترین آنها را می توان با خیال راحت هرم خئوپس نامید.

بسیاری از سازه‌های هرمی که توسط قوم مایا ساخته شده‌اند، مبدل‌های انرژی عظیم فضای اطراف بوده و هستند، در حالی که یک میدان الکترومغناطیسی هماهنگ در داخل و اطراف خود تولید می‌کنند، که به طرز ماهرانه‌ای از آن استفاده می‌کنند، کاهنان محترم و همچنین فراعنه، به راحتی تأثیر قدرتمندی داشتند. در مورد تمام اتفاقات آن زمان. .

هرم خانگی برای درمان مینی هرم ها نحوه استفاده ساده و موثر از جعبه رایش

پژوهش پدیده

اولین معاصر ما، که تعدادی پدیده غیرعادی و مرموز را که به طور جدایی ناپذیری با اهرام مرتبط هستند، ایجاد کرد، یک کاشف و دانشمند فرانسوی است. بووی آنتونی. در اوایل دهه 30 قرن بیستم، در طول مطالعه هرم خئوپس، او کشف کرد که بقایای حیوانات کوچکی که به طور تصادفی به اتاق سلطنتی ختم شده بودند، به طور عرفانی مومیایی شده بودند. او برای آزمایش فرضیه خود، در سرزمین مادری خود مدلی از یک هرم به شکل صحیح ساخت که طول ضلع قاعده آن برابر با یک متر بود. حدود یک سوم فاصله از بالای هرم تا پایه آن، بووی جسد یک گربه مرده را قرار داد. چه تعجبی داشت وقتی چند روز بعد جسد مومیایی شده یک حیوان را دید.

او موفق شد اثر مشابهی را با سایر مواد و مواد آلی که از طریق مومیایی کردن، از بین رفتند و در معرض فرآیند پوسیدگی قرار نگرفتند، به دست آورد.

در اواسط همین قرن، یک مهندس چک کارل دربالدر طول بازتولید آزمایش‌های بووی، ارتباط خاصی بین شکل صحیح هرم، انرژی «بیرون زده» و فرآیندهای فیزیکوشیمیایی و همچنین بیولوژیکی که در فضای هرم انجام می‌شد، پیدا شد. دربال به این نتیجه رسید که با تغییر اندازه هرم، به نظر می رسد که می توان مستقیماً بر سرعت تمام فرآیندهای رخ داده در آن تأثیر گذاشت.

او همچنین این اختراع را به نام " تیغ تراش". اصل عملکرد آن به این صورت بود: یک تیغ در این دستگاه معجزه گر به وضوح با زاویه 90 درجه نسبت به نصف النهار مغناطیسی در ارتفاع معینی از قاعده هرم قرار داده شد که از طرفین آن به سمت قطب های مغناطیسی هرم جهت گیری شده بود. سیاره. بنابراین می‌توان نحوه تیز شدن تیغه را مشاهده کرد که در برخی مواقع عمر مفید این تیغ ​​را افزایش می‌داد.

پس از این کشف، با گذشت زمان، تعداد انواع اختراعات که بر اساس اصل یک هرم کار می کردند، هر روز به طور پیوسته افزایش یافت. مشخص شد که هرم توانایی زیادی دارد: با کمک انرژی ناشی از آن، می توان یک قهوه فوری ساده را که برای مدت معینی بر روی هرم قرار داده بود، داد تا طعم طبیعی بدیع را بدهد.

به طور مشابه، شراب های ارزان به طور چشمگیری طعم و عطر خود را بهبود بخشیدند. آب خواص غیرمعمولی به دست آورد که به التیام، تقویت بدن کمک می کند، پاسخ التهابی بدن را به گزش، سوختگی کاهش می دهد، به عنوان یک کمک طبیعی عمل می کند که هضم را بهبود می بخشد. امکان مومیایی کردن گوشت، ماهی، تخم مرغ، میوه ها و سبزیجات بدون از دست دادن کیفیت آنها وجود داشت. شیر برای مدت طولانی ترش نشد، پنیر کپک زد.

اگر پای اهرام بنشینید، روند مراقبه بهینه می شود، سردرد و دندان درد کاهش می یابد و روند بهبود زخم ها و زخم های مختلف تسریع می یابد. اهرام تاثیر تهاجمی اطراف خود را از بین می برند و فضای داخلی هر اتاق را هماهنگ می کنند.

در اواخر دهه 60 قرن بیستم، تحقیقات کامپیوتری به رهبری ال. آلوارزکه در هرم قرار گرفت خفرهبسیاری از حسگرها و شمارنده های تشعشعات کیهانی، به طنین عظیمی در دنیای علمی منجر شد. بنابراین، هندسه هرم به طور غیرقابل توضیحی منجر به اختلال در همه دستگاه ها شد و دانشمندان را مجبور کرد که به این مطالعات پایان دهند. این تلاش برای توضیح غیرقابل توضیح، مانند بسیاری دیگر، با ویژگی دیگری از اهرام مواجه شد - هر مطالعه جدید تعداد فزاینده ای از سؤالات جدید را ایجاد می کرد و آنها را بدون پاسخ مستدل باقی می گذاشت.

بنابراین، در زمان ما، بسیاری از ذهن های علمی در تلاش برای کشف راز پدیده فرم های منظم هستند، اما هیچ یک از این رویدادها تاکنون موفق نبوده است، انرژی حاصل از این چهره ها به هیچ وجه قابل توضیح نیست.

انرژی اهرام در خانه

تمرین استفاده از انرژی اهرام

به عنوان مثال از اشکال هرمی (نیم هشت وجهی)، که اولین مشتقات نمایندگان اجسام منظم مانند هشت وجهی و مکعب هستند، می توانیم نتیجه قطعی بگیریم: کاملاً همه چیز بدن های چناربه عنوان قدرتمندترین مبدل های فضایی ارائه می شوند که در تصویر خود میدان های الکترومغناطیسی داخل و خارج را تشکیل می دهند. چنین اجسامی را می توان به عنوان وسایل ذخیره انرژی تعریف کرد که توسط تشعشعات الکترومغناطیسی پس زمینه با هر یک از ویژگی ها فعال می شوند: طبیعی یا ساخت بشر.

امروز یک فرصت با ایجاد وجود دارد ساختار سازهای حجمی پراش میدان های الکترومغناطیسیبا استعمار آنها و نمایش چارچوب آنها بر روی یک هواپیما، می توانیم انواع مختلفی از دستگاه ها را به دست آوریم که از نظر کارایی منحصر به فرد هستند که تا حدودی می تواند زندگی یک فرد عادی را آسان کند.

چرا به معابد مصر و ابوالهول نیاز بود؟

MKOU Ternovskaya OOSh

منطقه شهرداری روسوشانسکی

منطقه ورونژ

کار تحقیقاتی در مورد موضوع

« روش های اندازه گیری مساحت

اشکال آزاد »

مشاور علمی: میناکوا والنتینا الکساندرونا،

معلم ریاضی و فیزیک

2014

حاشیه نویسی

این کار به مقایسه روش های مختلف اندازه گیری تقریبی مناطق شکل های پیچیده اختصاص دارد: روش توزین و اندازه گیری با پالت. دقت روش ها بر روی ارقام مورد مطالعه قرار گرفت که مساحت آنها با فرمول قابل محاسبه است. در نتیجه، مناسب بودن عملی هر دو روش تایید شد.

مقدمه………………………………………………………………………………4

فصل 1. مبانی نظری برای اندازه گیری مساحت…………………………………..6

1.1 مفاهیم اندازه گیری………………………………………………………………………………

1.2 اندازه گیری مساحت…………………………………………………………………………………………

1.3 نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………… .........9

فصل 2. مقایسه روش‌های اندازه‌گیری مساحت……………………………………………….

2.1 اندازه گیری نواحی با پالت………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………..10

2.2 اندازه گیری مساحت ها با توزین……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….

2.3 نتیجه گیری…………………………………………………………………………..14

نتیجه…………………………………………………………........................... ........15

فهرست منابع مورد استفاده……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………

پیوست…………………………………………………………………………………….

مقدمه

این کار به مطالعه و مقایسه روش‌های اندازه‌گیری مناطق شکل‌های دلخواه اختصاص دارد.

ارتباط و اهمیت عملی مطالعه.

در درس ریاضی مدرسه عمدتاً با چندضلعی ها سروکار داریم. در همین حال، در عمل، اغلب لازم است که ناحیه یک شکل نامنظم را پیدا کنید. به عنوان مثال، در یک درس فیزیک، معلم پیشنهاد کرد که فشار دانش آموز روی زمین تعیین شود، و ما با مشکل نحوه تعیین مساحت تکیه گاه (مساحت کف پا) مواجه شدیم. کفش) یا ممکن است لازم باشد مساحت قلمرو را طبق نقشه یا نقشه تعیین کنید. اما برای مناطق اشکال پیچیده، هیچ فرمول کلی مشابه فرمول های چندضلعی وجود ندارد.

هدف پژوهش مقایسه اثربخشی روش های مختلف اندازه گیری عملی مساحت ها، هم برای اشیاء فیزیکی واقعی و هم برای ارقامی که مساحت آنها را می توان با استفاده از فرمول های دقیق پیدا کرد.

موضوع مطالعه هستند روش های اندازه گیری مساحت شکل های دلخواه:

روش توزین؛

با استفاده از پالت؛

استفاده از فرمول های دقیق

موضوع تحقیق ناحیه اشکال دلخواه است.

فرضیه پژوهش در این واقعیت نهفته است که مساحت یک شکل پیچیده را می توان با روش های تقریبی با دقت کافی برای اهداف عملی اندازه گیری کرد.

برای اثبات فرضیه به شرح زیر استوظایف :

آشنایی با مفاهیم اندازه گیری و خطای اندازه گیری

مطالعه روش های یافتن منطقه با استفاده از وزن و استفاده از پالت.

اندازه گیری با استفاده از روش های توزین و پالت مناطق ارقام کنترل: مستطیل، مربع، تشخیص خطاهای اندازه گیری.

اندازه گیری مساحت ارقام دلخواه با استفاده از روش های مورد مطالعه.

برای حل وظایف مجموعه موارد زیر را انجام دهیدمواد و روش ها جستجو، انتخاب و تحلیل محتوای منابع اطلاعاتی. مقایسه و طبقه بندی؛ آزمایش

ساختار کار . این کار شامل یک مقدمه، دو فصل، یک نتیجه گیری، یک فهرست منابع است.

فصل 1. مبانی نظری برای اندازه گیری مساحت

1. مفهوم اندازه گیری

اندازه گیری مقایسه با برخی از نمونه ها (استاندارد) است. هدف از اندازه گیری تعیین این است که چه تعداد از این نمونه ها را می توان در جسم مورد اندازه گیری قرار داد. این مشخصه کمی نتیجه اندازه گیری است و استاندارد تبدیل به واحد اندازه گیری می شود.

هر چه مشتقات استاندارد اصلی مورد استفاده در اندازه گیری ها کوچکتر باشد، دقت اندازه گیری بالاتر است. در عمل، دقت هر اندازه گیری با قابلیت های تجهیزات اندازه گیری محدود می شود. بنابراین، اندازه گیری طول قطعهل خط کش معمولی، به عنوان یک قاعده، فقط می توانیم بگوییم که طول در محدوده های زیر قرار دارد:، جایی که آ - کوچکترین بخش مرجع 1 میلی متری که در مقیاس خط کش مشخص شده است.

مشخصه کمی دقت، خطای اندازه گیری است. اگر مقدار دقیق آن مشخص باشد مقداری و مقدار تقریبی آنایکس ، سپس خطای مطلق محدود کننده مقدار تقریبی مقدار است و خطای نسبی محدود کننده مقدار است . با این حال، در عمل، مقادیر دقیق کمیت اندازه گیری شده ناشناخته است و مقدار تقریبی در محدوده های خاصی قرار دارد: . در این مورد، آن را در نظر بگیرید . (1) اگر مقادیرو با تقسیمات مجاور مقیاس ابزار اندازه گیری (مثلاً خط کش مقیاس) مطابقت دارد، سپس می گویند که خطا نصف قیمت تقسیم ترازو است.

1.2. اندازه گیری مساحت

تعداد نامتناهی شکل تخت با اشکال مختلف، منظم و نامنظم وجود دارد. ویژگی مشترک همه ارقام این است که هر یک از آنها یک مساحت دارد. مساحت شکل ها ابعاد قسمتی از صفحه است که توسط این شکل ها اشغال شده است که در واحدهای خاصی بیان می شود. این مقدار همیشه به صورت یک عدد مثبت بیان می شود. واحد اندازه گیری مساحت مربعی است که ضلع آن برابر با یک واحد طول است (مثلاً یک متر یا یک سانتی متر). مقدار تقریبی مساحت هر رقم را می توان با ضرب تعداد مربع های واحدی که به آنها تقسیم می شود در مساحت یک مربع محاسبه کرد.

نواحی شکل های مسطح شکل هندسی منظم، به عنوان مثال، مستطیل، مثلث، دایره، معمولاً با استفاده از اندازه گیری های غیر مستقیم تعیین می شود. ابتدا ابعاد خطی شکل (طول، ارتفاع، عرض، شعاع) اندازه گیری می شود و سپس با استفاده از فرمول های ریاضی مناسب مساحت محاسبه می شود.

مساحت ارقام نامنظم (شکل های دلخواه) تعریفی ندارند، فقط روش های محاسبه آنها تعیین می شود.

اگر شکل شکل هندسی نامنظمی داشته باشد، می توان مساحت آن را با کشیدن طرح کلی این شکل روی کاغذ در یک جعبه یا با استفاده از یک پالت تعیین کرد.- ورقی از مواد شفاف که روی آن شبکه ای از خطوط اعمال می شود و در هنگام عبور مربع هایی با اندازه مرجع تشکیل می دهد.در این مورد، مساحت رقم با فرمول محاسبه می شود. (2)

که در آن n تعداد مربع های کامل است. k تعداد مربع های غیر صحیح است، C مساحت یک مربع است.

برای کنترل محاسبات، مساحت دوباره با چرخاندن پالت 45 درجه در هر جهت اندازه گیری می شود. مقدار متوسط ​​محاسبات قبل و بعد از چرخش به عنوان مساحت منطقه مورد نظر در نظر گرفته می شود.

عکس. 1

مربعاس شکل اندازه گیری شده (شکل 1) درون آن قرار دارد ,

جایی که مساحت یک شکل متشکل از مربع هایی است که کاملاً در داخل کانتور شکل اندازه گیری شده قرار دارند و مساحت شکل متشکل از مربع های مشخص شده و همچنین مربع هایی است که با کانتور قطع شده اند. با توجه به فرمول (1) به دست می آوریم: . تعداد مربع هایی که با کانتور قطع شده اند تعیین کننده چند برابر خطا است بیش از نیمی از واحد اندازه گیری - مساحت مربع مرجع. بنابراین روش اندازه گیری با پالت چندان دقیق نیست. برای اندازه‌گیری ناحیه با خطای کوچک‌تر، باید مقدار کمکی را اندازه‌گیری کنید، که از آن می‌توانید به راحتی مقدار منطقه را بازیابی کنید، و برای آن ابزار اندازه‌گیری با مقیاس وجود دارد که به شما امکان می‌دهد مقدار کمکی را با کوچک‌ترین مقدار اندازه‌گیری کنید. خطای احتمالی - نصف مقدار تقسیم مقیاس.

روش اندازه گیری کمیت کمکی در دوران باستان اختراع شد و شامل اندازه گیری جرم یک نسخه مسطح از شکل اندازه گیری شده است. اگر ضخامت ورقی که شکل وزن شده از آن ساخته شده ثابت باشد، جرم شکل مستقیماً است.متناسب با مساحت آنلازم است مربعی را روی کاغذ ضخیم بکشید که مساحت آن S0 دقیقا مشخص است، آن را برش دهید و جرم آن را m0 روی ترازو تعیین کنید. روی همان کاغذ، شکل را با ناحیه مورد نظر S منتقل کنید. شکل را برش بزنید و جرم آن را m تعیین کنید. سپس با استفاده از قانون نسبت - S / S0 = m / m0، مساحت مورد نظر را محاسبه کنید.

سپس (3)

1.3. نتیجه گیری

مطالعه اصول اندازه گیری نواحی به شما امکان می دهد سؤال مقایسه روش های اندازه گیری با استفاده از پالت و استفاده از وزن را مطرح کنید.

فصل 2. مقایسه روش های اندازه گیری مساحت

ارقامی به شکل کف دست و کف پا به عنوان ارقام اندازه گیری شده گرفته شد. یک مربع با ضلع 10 سانتی متر (مرجع 1) و یک مستطیل با اضلاع 15 سانتی متر و 6 سانتی متر (مرجع 2) از مقوا به عنوان شکل های مرجع در نظر گرفته شد. مساحت ارقام مرجع را می توان با استفاده از فرمول های شناخته شده پیدا کرد:

2.1. اندازه گیری مناطق با پالت

برای اجرای این قسمت از کار پالت هایی ساخته شدمنوIIبا مش 1 سانتی مترسانتی متر و 0.5 سانتی متر0.5 سانتی متر

روی یک پالتمناستاندارد 1: 1 واحد مربع = 1 سانتی متر2

n=77

k=38

اس1 =77 مربع. واحدها.

اس2 =115 مربع. واحدها.

S= (77+115)/2=96سانتی متر2

= (115-77)/2=19

روی یک پالتIIاستاندارد 1: 1 واحد مربع = 0.25 سانتی متر2

n=364

k=68

اس1 =364 مربع. واحدها.

اس2 =432 مربع. واحدها.

اس\u003d ((364 + 432) / 2) 0.25 \u003d 94.5 سانتی متر2

=((432-364)/2)0,25=8,5

روی یک پالت من استاندارد 2: 1 واحد مربع = 1 سانتی متر2

n=72

k=40

اس1 =72 مربع. واحدها.

اس2 =112 مربع. واحدها.

اس\u003d (72 + 112) / 2 \u003d 92 سانتی متر2

= (112-72)/2=20

روی یک پالتIIاستاندارد 2: 1 واحد مربع = 0.25 سانتی متر2

n=330

k=68

اس1 =330 مربع. واحدها.

اس2 =398 مربع. واحدها.

اس\u003d ((330 + 398) / 2) 0.25 \u003d 91 سانتی متر2

=((398-330)/2)0,25=8,5

روی یک پالتمنشکل 1 (کف): 1 واحد مربع = 1 سانتی متر2

n=75

k=90

اس1 =75 مربع. واحدها.

اس2 =165 مربع. واحدها.

اس\u003d (75 + 165) / 2 \u003d 120 سانتی متر2

= (165-75)/2=45

روی یک پالتIIشکل 1 (کف): 1 واحد مربع = 0.25 سانتی متر2

n=453

k=126

اس1 =330 مربع. واحدها.

اس 2 =398 مربع. واحدها.

اس\u003d ((453 + 579) / 2) 0.25 \u003d 129 سانتی متر 2

=((579-453)/2)0,25=15,75

روی یک پالتمنشکل 2 (کفی): 1 واحد مربع = 1 سانتی متر 2

n=142

k=50

اس 1 =142 مربع. واحدها.

اس 2 =192 مربع. واحدها.

اس\u003d (142 + 192) / 2 \u003d 167 سانتی متر 2

= (192-142)/2=25

روی یک پالتIIشکل 2 (کفی): 1 واحد مربع = 0.25 سانتی متر 2

n=640

k=86

اس 1 =640 مربع. واحدها.

اس 2 =726 مربع. واحدها.

اس 2.3. نتیجه گیری

نتایج تمام اندازه گیری ها در جدول 1 نشان داده شده است. در روش اندازه گیری توزین، مساحت با فرمول (3) محاسبه شده است که در آن از مقادیر مساحت و جرم استاندارد 1 استفاده شده است. از مقایسه مساحت سطح مقادیر به دست آمده با روش های مختلف، نتیجه می شود که هر دو روش مقادیر نسبتاً نزدیکی را ارائه می دهند، اگرچه خطاهای اندازه گیری در هر مورد به دلایل مختلف است.

نتیجه

در طول کار، نتایج اصلی زیر به دست آمد:

ایده ای در مورد اندازه گیری ها و خطاهای اندازه گیری دریافت کرد.

روشهای یافتن تقریبی منطقه با توزین و با کمک پالت مورد مطالعه قرار گرفت.

با کمک روش های توزین و پالت، مناطق ارقام کنترل اندازه گیری شد: مستطیل، مربع - خطاهای اندازه گیری پیدا شد.

با استفاده از روش های مشابه، مساحت ارقام دلخواه اندازه گیری شد.

نتیجه گیری

همانطور که مطالعات نشان داده است، هم روش توزین و هم اندازه گیری مساحت با استفاده از پالت برای یافتن مناطق تقریبی شکل های پیچیده مناسب است.

فرضیه تحقیق تایید شد.

دقت اندازه‌گیری‌ها را می‌توان با استفاده از یک موازنه یا پالت دقیق‌تر، که به مربع‌های کوچک‌تر تقسیم کرد، بهبود بخشید.مساحت دوباره با چرخاندن پالت 45 درجه در هر جهت اندازه گیری می شود. مقدار متوسط ​​محاسبات قبل و بعد از چرخش به عنوان مساحت منطقه مورد نظر در نظر گرفته می شود.

فهرست منابع مورد استفاده

R.I. مالافیف. کارهای خلاقانه در فیزیکVI- VII.

ضمیمه

شکل 2-3 نحوه انجام اندازه گیری ها را نشان می دهد.

شکل 2. اندازه گیری مناطق با پالت

شکل 3. اندازه گیری مساحت با توزین

اندازه گیری مناطق با پالت

دستورالعمل

سعی کنید مرکز را پیدا کنید جاذبه زمینتخت ارقامبا تجربه یک مداد جدید تراشیده نشده بردارید، آن را صاف قرار دهید. یک شکل صاف در بالای آن قرار دهید. نقطه ای را روی شکل که روی مداد محکم نگه داشته شده است علامت بزنید. این مرکز خواهد بود جاذبه زمینشما ارقام. به جای مداد، به سادگی از انگشت اشاره به سمت بالا استفاده کنید. اما این، پس از همه، لازم است اطمینان حاصل شود که انگشت صاف می ایستد، تکان نمی خورد یا نمی لرزد.

برای نشان دادن اینکه نقطه به دست آمده مرکز جرم است، با یک سوزن در آن سوراخ ایجاد کنید. نخ را از سوراخ رد کنید، یک انتها گره بزنید - طوری که نخ بیرون نزند. سر دیگر نخ را نگه دارید، بدن را به آن آویزان کنید. اگر مرکز جاذبه زمینسمت راست، شکل دقیقاً به موازات کف قرار خواهد گرفت. پهلوهایش تکان نمی خورد.

یک مرکز پیدا کنید جاذبه زمین ارقامبه صورت هندسی اگر مثلثی دارید در آن بسازید. این پاره ها رئوس مثلث را با نقطه وسط ضلع مقابل متصل می کنند. نقطه تبدیل خواهد شد مرکزجرم مثلث حتی می توانید شکل را از وسط تا کنید تا نقطه میانی یک ضلع را پیدا کنید، اما به خاطر داشته باشید که این یکنواختی را از بین می برد. ارقام.

نتایج به دست آمده را از نظر هندسی و تجربی مقایسه کنید. در مورد پیشرفت آزمایش صحبت کنید. خطاهای کوچک طبیعی تلقی می شوند. آنها با نقص توضیح داده می شوند ارقام، عدم دقت ابزار، عامل انسانی (ایرادهای جزئی در کار، نقص چشم انسان و ...).

منابع:

• محاسبه مختصات مرکز ثقل یک شکل صفحه

مرکز شکل را می توان به روش های مختلفی پیدا کرد، بسته به اینکه چه داده هایی در مورد آن قبلاً شناخته شده است. شایان ذکر است که مرکز دایره را که مجموعه ای از نقاط واقع در فاصله مساوی از مرکز است، در نظر بگیرید، زیرا این شکل یکی از رایج ترین ها است.

شما نیاز خواهید داشت

• - مربع؛
• - خط كش.

دستورالعمل

ساده ترین راه برای یافتن مرکز دایره این است که کاغذی را که روی آن کشیده شده است خم کنید و با نگاه کردن به نور مطمئن شوید که دقیقاً از وسط تا شده است. سپس ورق را عمود بر چین اول تا بزنید. بنابراین قطرهایی را بدست می آورید که نقطه تقاطع آنها مرکز شکل است.

P1= m1*g، P2= m2*g;

مرکز ثقل بین دو جرم است. و اگر تمام بدن در t.O معلق باشد، مقدار تعادل می آید، یعنی اینها از همدیگر سبقت نمی گیرند.

انواع اشکال هندسی دارای محاسبات فیزیکی و در مورد مرکز ثقل هستند. هر کدام رویکرد و روش خاص خود را دارند.

با توجه به دیسک، روشن می کنیم که مرکز ثقل داخل آن است، به طور دقیق تر، قطرها (همانطور که در شکل در نقطه C نشان داده شده است - نقطه تقاطع قطرها). به همین ترتیب، مراکز یک موازی یا یک توپ همگن پیدا می شود.

دیسک ارائه شده و دو بدنه با جرم های m1 و m2 دارای جرم یکنواخت و شکل منظم هستند. در اینجا می توان به این نکته اشاره کرد که مرکز ثقل مورد نظر ما در داخل این اجرام قرار دارد. با این حال، در اجسامی با جرم ناهمگن و شکل نامنظم، مرکز را می توان فراتر از آن قرار داد. شما خودتان احساس می کنید که کار در حال حاضر دشوارتر شده است.

مد برای "زنانی که شبیه پسران هستند" مدت هاست که گذشته است، اما بسیاری از جنس های منصف تر هنوز هم می خواهند یک غنیمت صاف داشته باشند. اگرچه امروز "در مد" نشان دادن تمام تمایلات جنسی شکوفا، یک بدن هماهنگ، زیبا و آموزش دیده است. در واقع، در این مورد، یک الاغ زیبا جزء ضروری نه تنها زیبایی زنانه، بلکه مردانه است.

دستورالعمل

به الاغصاف، باید موارد زیر را انجام دهید. 1 تمرین "بالا بردن پاها" این تمرین می تواند در چندین نسخه باشد. روی چهار دست و پا قرار بگیرید - به حالت شروع و سپس به طور متناوب هر پا را بلند کنید تا ران موازی با زمین باشد. پا را در حالت فشرده قفل کنید و حرکات فنری به سمت بالا انجام دهید. در عین حال به ثابت شدن پای خود در مچ پا و مفصل زانو توجه کنید، سعی کنید این وضعیت را تغییر ندهید.

تمرین 2 "بالا بردن لگن" دراز بکشید، بازوهای خود را به موازات بدن قرار دهید و زانوهای خود را خم کنید. پس از آن، لگن را از روی زمین بلند کنید و باسن را به شدت فشار دهید. در عین حال قسمت بالا و دست ها نباید از زمین جدا شوند در همان حالت حرکات فنری به سمت بالا انجام دهید.

تمرین 3 "بلند کردن" بایستید، پاهای خود را به اندازه عرض شانه باز کنید. به طور متناوب یک زانو را تا حد امکان بالا و پایین بیاورید. هنگام بالا آوردن زانو سعی کنید تا جایی که ممکن است بدون حرکت روی یک پا بمانید این تمرین روی ناحیه ای که درست بالای باسن قرار دارد بسیار خوب عمل می کند.

تمرین 4 "اسکوات با ابداکشن لگن" طوری بایستید که پاهایتان از شانه ها بازتر باشد و پاهایتان موازی با آنها باشد. در این حالت، پای چپ باید کمی عقب تر از پای راست باشد. سپس بنشینید، به پای چپ خود تکیه دهید و لگن خود را به عقب ببرید. در همان زمان، بازوهای خود را جلوی پای چپ خود بکشید، پشت خود را صاف نگه دارید. پس از آن بایستید، تمام وزن را به پای راست منتقل کنید، پشت چپ را بگیرید و دستان خود را بالای سر خود ببرید.این تمرین را 10 بار تکرار کنید، سپس پا را عوض کنید.

تمرین 5 "Lungs with a wheel" به جلو حرکت کنید، از پای چپ شروع کنید، کمی پا را در جهت عقربه های ساعت بچرخانید. سپس از لگن به جلو خم شوید. در همان زمان، بازوهای خود را کاملا باز کنید، انگار می خواهید چرخ بسازید. چند ثانیه در این حالت بمانید، سپس بایستید و وضعیت پای راست را حفظ کنید. با سمت چپ، یک قدم به سمت چپ بردارید و انگشت پا را به سمت بیرون بچرخانید. چمباتمه بزنید و به سمت چپ خم شوید.

ویدیو های مرتبط

منابع:

• ته صاف در سال 2019

در مفهوم معمولی، مرکز ثقل به عنوان نقطه‌ای در نظر گرفته می‌شود که برآیند تمام نیروهای وارد بر جسم را می‌توان به آن اعمال کرد. ساده ترین مثال یک تاب کودکانه به شکل تخته معمولی است. بدون هیچ محاسباتی، هر کودکی تکیه‌گاه تخته را به‌گونه‌ای برمی‌دارد که تعادل (یا شاید بیشتر از وزن) یک مرد سنگین وزن در تاب را داشته باشد. در مورد بدنه ها و مقاطع پیچیده، محاسبات دقیق و فرمول های مربوطه ضروری است. حتی اگر عبارات دست و پا گیر به دست می آید، نکته اصلی این است که از آنها نترسید، بلکه به یاد داشته باشید که در ابتدا ما در مورد یک کار تقریبا ابتدایی صحبت می کنیم.

دستورالعمل

ساده ترین اهرم را در حالت تعادل در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). با آبسیسا روی محور افقی x12 قرار دهید و نقاط مادی با جرم m1 و m2 را روی لبه ها قرار دهید. مختصات آنها را در امتداد محور 0x شناخته شده و برابر با x1 و x2 در نظر بگیرید. اهرم در حالت تعادل است اگر گشتاور نیروهای وزن Р1=m1g و P2=m2g برابر باشند. ممان برابر است با حاصل ضرب نیرو و شانه آن، که می توان آن را به عنوان طول عمود کاهش یافته از نقطه اعمال نیرو به عمود x=x12 یافت. بنابراین، مطابق شکل 1، m1g11= m2g12، ℓ1=x12-x1، ℓ2=x2-x12. سپس m1(х12-х1)=m2(х2-х12). این معادله را حل کنید و x12=(m1x1+m2x2)/(m1+m2) را بدست آورید.

برای یافتن مختصات y12، استدلال و محاسبات مشابه در مرحله 1 را اعمال کنید. به دنبال کردن تصویر در شکل 1 ادامه دهید، جایی که m1gh1= m2gh2، h1=y12-y1، h2=y1. سپس m1(y12-y1)=m2(y2-y12). نتیجه y12=(m1y1+m2y2)/(m1+m2) است. علاوه بر این، در نظر بگیرید که به جای یک سیستم دو نقطه ای، یک نقطه M12 (x12، y12) از جرم کل (m1+m2) وجود دارد.

به سیستم دو نقطه، جرم دیگری (m3) با مختصات (x3، y3) اضافه کنید. هنگام محاسبه، باز هم باید در نظر داشته باشید که با دو نقطه سروکار دارید که دومین نقطه دارای جرم (m1 + m2) و مختصات (x12, y12) است. با تکرار تمام مراحل 1 و 2 برای این دو نقطه، به مرکز سه نقطه x123=(m1x1+m2x2+m3x3)/(m1+m2+m3)، +m3 خواهید رسید. بعد، نقاط چهارم، پنجم و غیره را اضافه کنید. پس از چندین بار تکرار همان روش، مطمئن شوید که برای سیستمی از n نقطه، مختصات مرکز ثقل با فرمول محاسبه می شود (شکل 2 را ببینید). خودتان به این واقعیت توجه کنید که در فرآیند کار، شتاب گرانش g کاهش یافت. بنابراین مختصات مرکز جرم و گرانش بر هم منطبق است.

تصور کنید که در قسمت مورد نظر مقداری ناحیه D وجود دارد که چگالی سطح آن ρ=1 است. از بالا و پایین شکل توسط نمودارهای منحنی y=φ(x) و y=ψ(x)، x є [a, b] محدود شده است. ناحیه D را با عمودهای x=x₍i-1₎، x=x₍i₎ (i=1،2،…،n) به نوارهای نازک تقسیم کنید، به طوری که تقریباً بتوان آنها را مستطیل با پایه ∆хi در نظر گرفت (نگاه کنید به شکل .3). در این حالت وسط قطعه ∆χi را با آبسیسا مرکز جرم ξi=(1/2) منطبق در نظر بگیرید. ارتفاع مستطیل را تقریباً برابر [φ(ξi)-ψ(ξi)] در نظر بگیرید. سپس ترتیب مرکز جرم ناحیه ابتدایی ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)] است.

با توجه به توزیع چگالی یکنواخت، در نظر بگیرید که مرکز جرم نوار با مرکز هندسی آن منطبق است. جرم ابتدایی متناظر ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆χi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆χi در نقطه (ξi,ηi) متمرکز شده است. لحظه انتقال معکوس از جرم، که به شکل مجزا نشان داده شده است، به یک پیوسته فرا رسیده است. مطابق با فرمول های محاسبه مختصات (نگاه کنید به شکل 2) مرکز ثقل، مجموع انتگرالی تشکیل می شود که در شکل 4a نشان داده شده است. با عبور از حد Δxi→0 (ξi→xi) از مجموع به انتگرال های معین، پاسخ نهایی را دریافت خواهید کرد (شکل 4b). توده ای در پاسخ وجود ندارد. برابری S=M باید فقط به صورت کمی درک شود. ابعاد اینجا متفاوت است.