Чему равна диагональ в прямоугольнике. Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности. Окружность описанная вокруг прямоугольника

Инструкция

диагонали/em/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Прямоугольные ( , квадрат) диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно теоремы Пифагора. a²=b²+c², где a - гипотенуза, b и с - катеты. Пример 1: AC , если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см.Решение: вычислите AC в ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см.Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.

Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь. Т.к. все стороны , то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь - произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равен его удвоенной площади (a²=2S).Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину диагонали . Решение: вычислите длину диагонали а через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см.Ответ: длина диагонали квадрата – 5,7 см.

В некоторых случаях для вычисления диагонали необходимо делать дополнительные построения.Пример 3: равносторонний многоугольник со , равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длину диагонали AB.Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом ABD. А диагональ AB - гипотенуза в нем. Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см.Ответ: длина диагонали AB=10,4 см.

Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба.Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длину диагонали куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см.Ответ: длина диагонали куба – 8,7 см.

Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ.Пример 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Найдите диагональ с.Решение: подставьте значения в формулу. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). с² = 4+9-12*(-0,5)=13-(-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с = √19 = 4,35 см.Ответ: длина диагонали с = 4,35 см.

Куб представляет собой частный случай параллелепипеда, в котором каждая из граней образована правильным многоугольником - квадратом. Всего куб обладает шестью гранями. Вычислить площадь не представляет затруднений.

Инструкция

Теперь, зная площадь одной из грани квадрата, можно узнать площадь всей поверхности куба. Это можно осуществить, если модифицировать формулу, указанную выше:
S = 6*a²
Иначе говоря, зная, что таких квадратов (граней) у куба аж шесть штук, то площадь поверхности куба составляет одной из граней куба.

Для наглядности и удобства можно привести :
Допустим, дан куб, у которого длина ребра 6 см, требуется площадь поверхности данного куба. Первоначально потребуется найти площадь грани:
S = 6*6 = 36 см²
Таким образом, площадь грани, можно найти и всю поверхности куба:
S = 36*6 = 216 см²
Ответ: площадь поверхности куба с ребром, равным 6 см, составляет 216 см²

Обратите внимание

Куб является частным случаем не только параллелепипеда, но и призмы.
Параллелепипедом называется призма, у которого основанием является параллелограмм. Особенностью параллелепипеда является то, что 4 из 6 его граней - прямоугольники.

Призмой считается многогранник, в основании которого находятся равные многоугольники. Одной из главных особенностей призмы можно назвать то, что боковые грани ее является параллелограммами.

Помимо куба, существуют и иные виды многогранников: пирамиды, призмы, параллелепипеды и т.д., каждому из них соответствуют различные способы нахождения площадей их поверхностей.

Полезный совет

Если дан не куб, а иной правильный многогранник, то в любом случае, площадь его поверхности будет находиться аналогично. Это означает, что площадь поверхности правильного многогранника находится путем суммирования всех площадей его граней - правильных многоугольников.

Длина характеризует расстояние между начальной и конечной точками отрезка. Различают длину прямой, ломаной и замкнутой линий. Ее находят экспериментальным либо аналитическим способом.

Инструкция

Окружность представляет собой замкнутый отрезок, который является образующей круга. Если точно следовать определению, то окружностью называется геометрическое место плоскости, равноудаленных от ее центра. Все окружности имеют некоторый радиус, обозначаемый как r, а также диаметр, равный D=2r. Длина этой линии равна значению выражения:C=2πr=πD, где r - радиус окружности, D - диаметр окружности.

Если речь идет о прямой линии, то имеется в виду либо обычный отрезок, либо замкнутая фигура, такая как треугольник или прямоугольник. Для последнего длина является основной характеристикой. Простой отрезок можно экспериментально, а длину стороны у фигуры удобнее всего вычислить. Наиболее осуществить эту операцию в отношении прямоугольника.

Частным случаем прямоугольника является равносторонний, называемый квадратом. В некоторых задач приведено только площади, а найти необходимо сторону. Поскольку стороны квадрата равны, то она вычисляется по следующей формуле:a = √S.Если прямоугольник не равносторонний, то, зная его площадь и одну из сторон, найдите длину перпендикулярной стороны следующим образом:a=S/b, где S - площадь прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Длина стороны треугольника находится несколько иным способом. Для определения этой величины необходимо знать не только длины остальных сторон, но и значения углов. Если дан прямоугольный треугольник с углом 60° и стороной с, которая является его гипотенузой, длину катета найдите по следующей формуле:a=c*cosα.Кроме того, если в задаче дана площадь треугольника и высота, длину основания можно найти по другой формуле:a=2√S/√√3.

Длину сторон любой фигуры проще всего найти, если она равносторонняя. Например, если вокруг описана окружность, длину стороны этого треугольника вычислите следующим образом:a3=R√3.Для произвольного правильного n- сторону найдите следующим образом:an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Видео по теме

Прямоугольник - одна из простейших геометрических фигур, которая, имея все углы одинаковыми и равными 90°, является частным случаем параллелограмма. Отрезок, соединяющий две вершины прямоугольника, не имеющие общей стороны, называется диагональю этого многоугольника. Вычислить длину можно несколькими способами в зависимости от известных исходных данных.

Инструкция

Если известны длины обеих сторон (A и B) прямоугольника, то длину диагонали (C) можно определить как корень из суммы квадратов . Это вытекает из теоремы Пифагора, так как диагональ в этой геометрической фигуре образует прямоугольный треугольник, двумя другими сторонами которого являются стороны прямоугольника. Диагональ в этом треугольнике является гипотенузой, а стороны прямоугольника - катетами. То есть: C=√(A²+B²).

Если длина одной из сторон неизвестна, но известна длина другой (A) и площадь (S) прямоугольника, то длину диагонали тоже можно вычислить. Так как площадь прямоугольника находится умножением длин его сторон, то неизвестную сторону можно выразить как частное от деления площади на длину другой стороны. Подставьте это в полученную на первом шаге формулу: C=√(A²+S²/A²)=√(A⁴+S²)/A.

Если известна длина одной из (A), а также длина его периметра (P), то длину второй стороны тоже можно определить. Так как в - это удвоенная сумма двух сторон, то каждую сторону можно определить как разность между полупериметром и длиной другой стороны. Подставьте это выражение во все ту же формулу из первого шага: C=√(A²+(P/2-A)²=√(A²+P²/4-P×A+A²)=√(2×A²+P²/4-P×A).

Если известен радиус окружности (R), в которую вписан прямоугольник, то диагональ его будет равна удвоенному радиусу, так как центр прямоугольника и круга в этом случае совпадают. Прямая, соединяющая две точки круга и проходящая через его центр равна его диаметру, то есть двум радиусам. А так как вершины этого прямоугольника лежат , а соединяющая их диагональ проходит через центр, то она тоже определению диаметра круга: C=2×R.

Если известен радиус вписанной окружности (r), то длины его сторон одинаковы. Этот частный случай прямоугольника квадратом. Определить длину сторон в этом случае можно как удвоенную длину радиуса окружности, а подставив это выражение в формулу из первого шага, вы получите: C=√(4×r²+4×r²)=r×√8.

Источники:

• площадь прямоугольника через диагональ

Параллелограмм - это выпуклая четырехугольная геометрическая фигура, в которой пары противоположных сторон имеют одинаковую длину. Также и пары углов в противоположных вершинах имеют одинаковые величины. Каждый отрезок, соединяющий две противоположные стороны и перпендикулярный каждой из них, можно назвать высотой этого четырехугольника. Знание длин сторон, величин углов и высот в разных сочетаниях этих параметров позволяет рассчитать площадь параллелограмма.

Инструкция

Наиболее часто для того, чтобы вычислить длину гипотенузы , задачу сводят к теоремы Пифагора, которая звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, ее длина находится вычислением квадратного корня из этой .

Если известен только один катет и величина одного из двух углов, не являющихся прямыми, то можно воспользоваться тригонометрическими формулами. Предположим, дан ABC, в котором AC=c – гипотенуза, AB=a и BC=b – катеты, α – угол между a и c, β – угол между b и c. Тогда:c = a/cosα = a/sinβ = b/cosβ = b/sinα.

Решите задачу: найти длину гипотенузы , если известно, что AB=3 и угол BAC при этой стороне равен 30°.РешениеИспользуйте тригонометрическую формулу:AC = AB/cos30° = 3 2/√3 = 2 √3.

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Инструкция

Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.

Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали 5 см.

Видео по теме

Обратите внимание

Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.

Источники:

• как найти длину диагонали в прямоугольнике

Квадрат – красивая и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же найти диагональ квадрата , если известна длина его стороны?

Инструкция

длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на из двух.

Видео по теме

Полезный совет

Если точность математического результата не очень важна, то вместо корня из двух можно использовать его приблизительное значение 1,41.

Совет 6: Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма - квадрат и прямоугольник.

Инструкция

Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны на корень из двойки - результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.

Если о параллелограмме известно, что он прямоугольником с указанными в длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами - две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из возведенных в квадрат и прямоугольника: L=√(a²+b²).

Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей - сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы . Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов - сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага - удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Источники:

• как найти длину диагонали параллелограмма

Можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а единственная общая точка делит каждую из них на два равных отрезка. Эти свойства позволяют легко рассчитать длину одной из диагоналей, если известна длина другой и еще какой-нибудь параметр фигуры - размер стороны, угол в одной из вершин, площадь и т.д.

Инструкция

Если кроме длины одной из (l) о рассматриваемом четырехугольнике известно, что он частным случаем ромба - квадратом, никаких расчетов производить не придется. В этом случае длины обеих диагоналей - просто приравняйте искомую величину (L) к известной: L=l.

Знание длины стороны ромба (a) в дополнение к длине одной из диагоналей (l) позволит длину другой (L) по теореме Пифагора. Это потому, что две половины пересекающихся диагоналей образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник. Половины диагоналей в нем являются катетами, а сторона - гипотенузой, поэтому равенство, вытекающее из теоремы Пифагора записать так: a² = (l/2)² + (L/2)². Для использования в расчетах преобразуйте его к такому виду: L = √(4*a²-l²).

При известной величине одного из углов (α) ромба и длине одной из диагоналей (l) для нахождения величины другой (L) рассмотрите тот же прямоугольный треугольник. Тангенс половины известного угла в нем отношению длины противолежащего катета - половины диагонали l - к прилежащему - половине диагонали L: tg(α/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Поэтому для искомой величины используйте формулу L = l/tg(α/2).

Если в условиях задачи приведена длина периметра (P) ромба и размер его диагонали (l), формулу вычисления длины второй (L) можно свести к равенству, использованному во втором шаге. Для этого разделите периметр на четверку и замените этим выражением длину стороны в : L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

В исходных условиях кроме длины одной из диагоналей (l) может быть приведена и площадь (S) фигуры. Тогда для вычисления длины второй диагонали ромба (L) используйте очень простой алгоритм - удвойте площадь и разделите полученное значение на длину известной диагонали: L = 2*S/l.

Содержимое:

Диагональ – это отрезок, который соединяет две противолежащие вершины прямоугольника. В прямоугольнике две равные диагонали. Если известны стороны прямоугольника, диагональ можно найти по теореме Пифагора, потому что диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Если стороны не даны, но известны другие величины, например, площадь и периметр или отношение сторон, можно найти стороны прямоугольника, а затем по теореме Пифагора вычислить диагональ.

Шаги

1 По сторонам

1. 1 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 В формулу подставьте значения сторон. Они даны в задаче или их нужно измерить. Значения сторон подставляются вместо a 3
   • В нашем примере:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 По площади и периметру

     1. 1 Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение А.)
     2. 2 Это значение подставляется вместо S 3 Перепишите формулу так, чтобы обособить w 4 Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника. Формула: P = 2 (w + l)
     3. 5 В формулу подставьте значение периметра прямоугольника. Это значение подставляется вместо P 6 Разделите обе стороны уравнения на 2. Вы получите сумму сторон прямоугольника, а именно w + l 7 В формулу подставьте выражение для вычисления w 8 Избавьтесь от дроби. Для этого обе части уравнения умножьте на l 9 Приравняйте уравнение к 0. Для этого из обеих сторон уравнения вычтите член с переменной первого порядка.
        • В нашем примере:
          12 l = 35 + l 2 10 Упорядочьте члены уравнения. Первым членом будет член с переменной второго порядка, затем член с переменной первого порядка, а затем свободный член. При этом не забудьте про знаки («плюс» и «минус»), которые стоят перед членами. Обратите внимание, что уравнение запишется в виде квадратного уравнения.
          • В нашем примере 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • В нашем примере уравнение 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Найдите l 13 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
              • Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
            • 14 Эти значения подставляются вместо a 15 Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
              • В нашем примере:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c

                3 По площади и отношению сторон

                1. 1 Запишите уравнение, характеризующее отношение сторон. Обособьте l 2 Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника. Формула: S = l w (На рисунке вместо S использовано обозначение A.)
                   • Этот метод применим и в том случае, когда известно значение периметра прямоугольника, но тогда нужно пользоваться формулой для вычисления периметра, а не площади. Формула для вычисления периметра прямоугольника: P = 2 (w + l)
                2. 3 В формулу подставьте значение площади прямоугольника. Это значение подставляется вместо S 4 В формулу подставьте выражение, характеризующее отношение сторон. В случае прямоугольника можно подставить выражение для вычисления l 5 Запишите квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки и приравняйте уравнение к нулю.
                   • В нашем примере:
                     35 = w (w + 2) 6 Разложите квадратное уравнение на множители. Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте.
                     • В нашем примере уравнение 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Найдите w 8 Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон. Так можно найти другую сторону прямоугольника.
                       • Например, если вы вычислили, что ширина прямоугольника равна 5 см, а отношение сторон задается уравнением l = w + 2 9 Запишите теорему Пифагора. Формула: a 2 + b 2 = c 2
                         • Воспользуйтесь теоремой Пифагора, потому что каждая диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Причем стороны прямоугольника – это катеты треугольника, а диагональ прямоугольника – гипотенуза треугольника.
                       • 10 В формулу подставьте значения длины и ширины. Эти значения подставляются вместо a 11 Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
                         • В нашем примере:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вы найдете c {displaystyle c} , то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.
                           • В нашем примере:
                             74 = c 2 {displaystyle 74=c^{2}}
                             74 = c 2 {displaystyle {sqrt {74}}={sqrt {c^{2}}}}
                             8 , 6024 = c {displaystyle 8,6024=c}
                             Таким образом, диагональ прямоугольника, у которого длина на 2 см больше ширины и площадь которого равна 35 см 2 , приблизительно равна 8,6 см.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.