Можно найти два натуральных делителя числа 7. Делимость целых чисел и остатки. Прямоугольники с заданной площадью

Как решить задачу, если нет идеи? Нет универсального способа, позволяющего решать любые задачи. Но есть методика, дающая возможность продвинуться и в трудных ситуациях, тем более, в лёгких заданиях, которые предлагаются в тестах ЦТ. Эту методику описывает великий мастер эвристики Д. Пойа. Абутуриенту полезно с ней.
А ниже приводятся эвристические указания к решению задач первой темы курса для абитуриента. Разумеется, ими не следует пользоваться, если не сделано попыток решения более трудных для вас заданий.
Задачи.
№2. Простые числа имеют ровно два делителя. А какие числа имеют ровно 3 делителя?
Начните с числового эксперимента. Подметьте особенность чисел, имеющих три делителя. Обобщите и докажите.
№6. Найдите наименьшее натуральное число, большее десяти, которое при делении на 24, 45 и 56 давало бы в остатке 1.
Если х даёт при делении на n остаток 1, то число х-1 делится на n?
№7. Лист картона со сторонами 54 см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа.
Если сделать рисунок так, чтобы квадраты покрыли прямоугольник соответствующим образом, то идея о длине стороны наибольшего квадрата должна появиться. С каким математическим понятием это связано?
№10. Найдите два натуральных числа, зная, что их сумма равна 85, а наименьшее общее кратное равно 102.
Если НОК искомых чисел равен 102, то они должны быть делителями числа 102. Но их тогда можно все выписать...
№13. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 27 больше первоначального. Найти это число.
Записать искомое число в стандартном виде: 100a 10b c, c=3.
№20. Задумано целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 7 и из полученного числа вычли квадрат задуманного. Разность уменьшили на 75% и ещё вычли задуманное число. В окончательном результате получили 4. Какое число задумано?
Если задуманное число назвать n, то какое число получим, если к его поразрядной записи приписать 7? Можете поэксперементировать?
№30. Решить в натуральных числах уравнение: а) (х-2у)(2х-1+у)=11; в) (х+3у-2) 2 +(у-4) 2 =29; д) 55х 2 -12ху-91у 2 =59; ж) 4x 3 -2y 3 -z 3 =0.
а) Произведение каких натуральных чисел равно 11?.. в) Сумма квадратов каких целых чисел даёт 29?.. д) Идея из пункта а). ж) Здесь интересно, это для олимпиадников. Во-первых, одно решение (одна тройка чисел x, y, z) сразу видна. Будем искать ненулевые решения. Заметим, что z 3 - чётное число (если перенести другие слагаемые вправо). Следовательно, z - чётно. Тогда его можно записать как 2n, где n - целое. Подставим это вместо z в уравнение... . Порассуждайте в таком духе и дальше.
№32. Найти все тройки целых чисел, которые удовлетворяют неравенству

Ясно, что преобразование неравенства ничего хорошего не даст. Тогда надо, как обычно, наблюдать его структуру, искать какие-то особенности и зависимости. Случаен ли подбор коэффициентов в подкоренных выражениях? Попробуем сложить подкоренные выражения... . Результат будет интересен. Тогда, учитывая, что эти выражения - натуральные числа, сделаем вывод о том, что... . Дальше будет дело техники.
№33. При каких целых значениях n дроби: б) (2n+7)/(n+1) принимает целое значение?
.

Можно видеть теперь, при каком условии значение выражения станет целым числом.
№34. У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 104. Найдите это число.
Как устроено число n, у которого 6 делителей? Если разложить его на простые множители, то сколько их? Когда разложение выглядит так n=pq, p ≠ q, то у него 4 делителя. А если n=pqr при различных сомножителях, то делителями являются 1, p, q, pq, pr, qr, pqr. То есть их больше шести... . Найдите самостоятельно нужное разложение. А потом используйте условие и работайте с полученным равенством.

Материал этой статьи про нахождение всех делителей числа . Сначала доказана теорема, которая задает вид всех общих делителей данного числа, после чего рассмотрены примеры нахождения всех делителей. Дальше показано, как вычисляется число делителей числа . В заключение подробно разобраны примеры нахождения всех общих делителей нескольких чисел и их количества.

Навигация по странице.

Все делители числа, их нахождение

Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа . Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей (). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.

положительными делителями простого числа a являются лишь единица и само это число. Следовательно, любое простое число a имеет четыре делителя, среди которых два положительных и два отрицательных: 1 , −1 , a и −a . Например, число 11 – простое, оно имеет всего четыре делителя 1 , −1 , 11 и −11 . Еще пример. Число 367 тоже простое, все его делители – это числа 1 , −1 , 367 и −367 .

Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.

Теорема.

Пусть известно каноническое разложение числа на простые множители , которое имеет вид , тогда все положительные (натуральные) делители числа a – это числа вида d=p 1 t 1 ·p 2 t 2 ·…·p n t n , где t 1 =0, 1, …, s 1 , t 2 =0, 1, …, s 2 , …, t n =0, 1, …, s n .

Доказательство.

С одной стороны, по определению делимости число a делится на любое такое число d , так как существует такое целое число q=p 1 (s 1 −t 1) ·p 2 (s 2 −t 2) ·…·p n (s n −t n) , что a=d·q .

С другой стороны, всякое число d , которое делит a , имеет указанный вид, так как в силу свойств делимости оно не может иметь других простых множителей, кроме p 1 , p 2 , …, p n , а показатели этих множителей не могут превышать s 1 , s 2 , …, s n соответственно.

Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа . Чтобы найти все делители числа a нужно:

• получить его каноническое разложение на простые множители вида a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n ;
• вычислить все значения выражения p 1 t 1 ·p 2 t 2 ·…·p n t n , в которых числа t 1 , t 2 , …, t n принимают независимо друг от друга каждое из значений t 1 =0, 1, …, s 1 , t 2 =0, 1, …, s 2 , …, t n =0, 1, …, s n .

Обычно наибольшую трудность представляет именно процесс перебора всех возможных комбинаций значений чисел t 1 , t 2 , …, t n . Сейчас мы последовательно рассмотрим решения нескольких примеров нахождения всех делителей чисел, откуда будут понятны все тонкости этого процесса.

Пример.

Найдите все делители числа 8 .

Решение.

Получить разложение на простые множители числа 8 не составляет труда: 8=2·2·2 . В канонической форме это разложение выглядит так: 8=2 3 . То есть, в нашем случае a=8 , p 1 =2 , s 1 =3 .

Тогда все делители числа 8 представляют собой значения выражения p 1 t 1 =2 t 1 , в котором t 1 принимает значения 0 , 1 , 2 и 3 (3 – последнее значение, так как s 1 =3 ). Итак, при t 1 =0 имеем 2 t 1 =2 0 =1 , при t 1 =1 имеем 2 t 1 =2 1 =2 , при t 1 =2 имеем 2 t 1 =2 2 =4 , наконец, при t 1 =3 имеем 2 t 1 =2 3 =8 .

Весь процесс нахождения делителей удобно проводить, заполняя таблицу следующего вида:

Таким образом, 1 , 2 , 4 и 8 – это все положительные делители числа 8 . Отрицательными делителями числа 8 являются −1 , −2 , −4 и −8 .

Ответ:

±1 , ±2 , ±4 , ±8 – все делители числа 8 .

Рассмотрим более сложный пример нахождения всех делителей числа a , в нем разложение числа уже будет содержать два простых множителя.

Пример.

Перечислите все натуральные делители числа 567 .

Решение.

Сначала разложим на простые множители число 567 :

Каноническое разложение числа 567 на простые множители имеет вид 567=3 4 ·7 . Теперь для нахождения всех натуральных делителей числа 567 заставим t 1 и t 2 пробегать независимо друг от друга значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 соответственно, при этом будем вычислять значения выражения 3 t 1 ·7 t 2 . Все эти действия удобно поводить, заполняя следующую таблицу:

Ответ:

1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 27 , 63 , 81 , 189 и 567 – все натуральные делители числа 567 .

Еще немного усложним пример.

Пример.

Найдите все положительные делители числа 3 900 .

Решение.

Разложив число 3 900 на простые множители, получим его каноническое разложение 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 . Все положительные делители найдем, вычисляя значения выражения 2 t 1 ·3 t 2 ·5 t 3 ·13 t 4 при t 1 =0, 1, 2 , t 2 =0, 1 , t 3 =0, 1, 2 , t 4 =0, 1 .

Ответ:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 1 300 , 1 950 , 3 900 - все положительные делители числа 117 000 .

Число делителей числа

Число положительных делителей данного числа a , каноническое разложение которого имеет вид a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n , равно значению выражения (s 1 +1)·(s 2 +1)·…·(s n +1) . Величина записанного выражения дает количество всех возможных наборов переменных t 1 , t 2 , …, t n , где t 1 =0, 1, …, s 1 , t 2 =0, 1, …, s 2 , …, t n =0, 1, …, s n .

Приведем пример. Вычислим число натуральных делителей числа 3 900 из последнего примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы выяснили, что 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 , тогда s 1 =2 , s 2 =1 , s 3 =2 , s 4 =1 . Осталось вычислить значение выражения (s 1 +1)·(s 2 +1)·(s 3 +1)·(s 4 +1) при данных значениях s 1 , s 2 , s 3 и s 4 , которое и даст нам искомое число натуральных делителей. Получаем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36 . Следовательно, число 3 900 имеет 36 натуральных делителей. Если мы пересчитаем все делители числа 3 900 , полученные в предыдущем примере, то убедимся, что их количество действительно равно 36 . Число всех делителей (и положительных и отрицательных) числа 3 900 равно 36·2=72 , так как число 3 900 имеет 36 положительных делителей, и, следовательно, 36 отрицательных, противоположных каждому из положительных делителей.

Пример.

Найдите число делителей числа 84 .

Решение.

Разложим 84 на простые множители:

Таким образом, каноническое разложение имеет вид 84=2 2 ·3·7 . Тогда число положительных делителей равно (2+1)·(1+1)·(1+1)=12 . Следовательно, число всех делителей равно 2·12=24 .

Ответ:

Число 84 имеет 24 делителя.

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число п > 1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, если считать, что это произведение может содержать всего лишь один множитель).
Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении `n = p1*p2*...*pk`, могут быть и одинаковые. Например, `24=2*2*2*3`. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате получается разложение
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, где `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN`
(1)
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. Например, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 2 3 З 2 5 7.
Из канонического разложения числа легко можно вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1), то, то все делители этого числа имеют вид:
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` (`m = 1,2,..., k`)
(2)
В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а. Обратно, пусть d делит а, тогда a=cd, где с - некоторое натуральное число и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превышающими соответствующих показателей числа а.
Рассмотрим две функции, заданные на множестве натуральных чисел:
а) τ(n) - число всех натуральных делителей n;
2) σ(n) сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
Теорема 1. Число натуральных делителей числа n
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
(3)
Доказательство.

Пример. Число 2 520 = 2 3 З 2 5 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4)
Доказательство.

Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 З 2 5. Тогда σ(90)=[(2 2 -1)/(2-1)] [З 3 -1)/(3-1)] [(5 2 -1)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так, например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в следующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З 2)(1+5)=(1+1*3+1*З 2 +1*2+2*3+2*З 2)(1+5) = 1+3+З 2 +2+2*3+2*З 2 + 5+3*5+З 2 *5+2*5+2*3*5+2*З 2 *5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма натуральных делителей натурального числа"
Задание 1. Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей - 28.

Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания
Задание 2. TTZ.С6.2 Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).

Задание 3. TTZ.С6.9 Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число).

Задание 4. SPI.С6.9. У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.
Решение VEk :

Задания для самостоятельной работы
SR1 . Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8 делителей, сумма которых равна 60.
SR2. Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.
SR3. Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4. Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных делителей.
SR5. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR6. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR7. Найти число вида m = 2 x 3 y 5 z , зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть -на 35 и пятая часть - на 42 делителя меньше, чем само число.

В самом общем случае, количество возможных делителей произвольного числа бесконечно. Фактически, это все не равные нулю числа. Но если речь идет о натуральных числах, то под делителем числа N подразумевается такое натуральное число, на которое нацело делится число N. Количество таких делителей всегда ограничено, а найти их можно с помощью специальных алгоритмов. Также существуют простые делители числа, которые представляют собой простые числа.

Вам понадобится

• - таблица простых чисел;
• - признаки делимости чисел;
• - калькулятор.

Инструкция

• Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, никакой закономерности в ряду простых чисел не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».
• Начинайте подбирать простые числа, на которые делится данное число. Частное снова делите на простое число и продолжаете этот процесс до тех пор, пока в качестве частного не останется простое число. Затем просто посчитайте количество простых делителей, прибавьте к нему число 1 (которое учитывает последнее частное). Результатом будет количество простых делителей, которые при умножении дадут искомое число.
• Например, количество простых делителей числа 364 найдите таким образом:364/2=182
  182/2=91
  91/7=13Получите числа 2, 2, 7, 13, которые являются простыми натуральными делителями числа 364. Их количество равно 3 (если считать повторяющиеся делители за один).
• Если же нужно найти общее количество всех возможных натуральных делителей числа, воспользуйтесь его каноническим разложением. Для этого по описанной выше методике разложите число на простые множители. Затем запишите число как произведение таких множителей. Повторяющиеся числа возведите в степени, например, если трижды получали делитель 5, то запишите его как 5³.
• Записывайте произведение от наименьших множителей к наибольшим. Такое произведение и называется каноническим разложением числа. Каждый множитель этого разложения имеет степень, представленную натуральным числом (1, 2, 3, 4 и т.д.). Обозначьте показатели степени при множителях а1, а2, а3, и т.д. Тогда общее количество делителей будет равно произведению (a1 + 1)∙(a2 + 1)∙(a3+1)∙…
• Например, возьмите то же число 364: его каноническое разложение 364=2²∙7∙13. Получите а1=2, а2=1, а3=1, тогда количество натуральных делителей этого числа будет равно (2+1)∙(1+1)∙(1+1)=3∙2∙2=12.

Инструкция

Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, закономерности в ряду не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».

Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как числа делятся на 2 нацело, то все четные числа , кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.

Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители . Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа . Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа . Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа .

Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока -либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа . Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.

Однако не для всех четных чисел эта может дать все делители числа . Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют делимости на числа . Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа .

Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).

Источники:

• Признаки делимости

Из четырех основных математических действий наиболее ресурсоемкой операцией является деление. Его можно осуществлять вручную (столбиком), на калькуляторах различных конструкций, а также при помощи логарифмической линейки.

Инструкция

Чтобы поделить одно число на другое столбиком, запишите вначале делимое, затем делитель. Между ними расположите вертикальную линию. Под делителем проведите горизонтальную линию. Последовательно как бы удаляя у младшие разряды, получите число, которое больше делителя. Последовательно умножая цифры от 0 до 9 на делитель, найдите наибольшее из чисел , меньших полученного на предыдущем этапе. Запишите эту цифру как первый разряд частного. Результат умножения этой цифры на делитель запишите под делимым со сдвигом на один разряд вправо. Произведите вычитание, а с его результатом осуществите те же действия, пока не найдете все разряды частного. Расположение запятой определите, вычтя порядок делителя из порядка делимого.

Если числа не делятся друг на друга, возможны две ситуации. В первой из них одна цифра или сочетание из нескольких цифр будет повторяться бесконечно. Тогда продолжать вычисление бессмысленно - достаточно взять эту цифру или цепочку из цифр в период. Во второй ситуации какой-либо закономерности в частного не удастся. Тогда прекратите деление, добившись желаемой точности результата, а последний округлите.

Для деления одного числа на другое с использованием калькулятора с арифметической (как простейшего, так и инженерного) нажмите кнопку сброса, введите делимое, нажмите кнопку деления, введите делитель, а затем нажмите кнопку со знаком равенства. На калькуляторе с формульной записью производите деление аналогичным образом, с учетом того, что клавиша со знаком равенства может носить , например, Enter или Exe. Современные приборы этого типа являются двухстрочными: набирается в верхней строке, а результат отображается в нижней более крупными цифрами. Используя клавишу Ans, этот результат можно использовать в следующем вычислении. Во всех случаях результат автоматически округляется в пределах разрядной сетки калькулятора.

На калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите кнопку сброса, затем введите делимое и нажмите клавишу Enter (вместо этой надписи на ней может быть стрелка, направленная вверх). Число окажется в ячейке стека. Теперь введите делитель и нажмите клавишу со знаком деления. Произойдет деление числа из стека на число, которое отображалось до этого на индикаторе.

Логарифмическую линейку используйте в тех случаях, когда точность требуется небольшая. Уберите из обоих чисел , а затем от каждого из них возьмите по два старших разряда. На шкале A найдите делитель, а затем совместите его с делимым на шкале B. Затем найдите на последней единицу - прямо над ней на шкале A будет расположено частное . Местоположение запятой в нем определите тем же способом, что и столбиком.

Источники:

• Порядок деления столбиком
• частные числа это

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Наибольший общий делитель - это максимальное число, на которое может делиться каждое из предлагаемых чисел. Часто этот термин используется для сокращения сложных дробей, где и числитель и знаменатель надо разделить на одинаковое число. Иногда можно определить наибольший общий делитель на глаз, однако в большинстве случаев, что того, чтобы его найти потребуется провести ряд математических операций.

Вам понадобится

• Для этого вам понадобится листок бумаги или калькулятор.

Инструкция

Разложите каждое сложное число на произведение простых или множителей. Например, 60 и 80, где 60 - равно 2*2*3*5, а 80 - 2*2*2*2*5, проще это можно записать с помощью . В данном случае будет выглядеть как два во второй , умноженное на пять и три, а второй - произведение двух в четвертой и пяти.

Теперь выпишите общие для обоих чисел . В нашем варианте - это два и пять. Однако в других случаях это число может быть одно, два или три цифры и даже . Далее нужно поработать . Выберите наименьшую у каждого из множителей. В примере это два во второй степени и пять в первой.

В завершении просто нужно перемножить получившиеся цифры. В нашем случае все предельно просто: два в , умноженное на пять, равно 20. Таким образом, число 20 можно назвать наибольшим общим делителем для 60 и 80.

Видео по теме

Обратите внимание

Помните, что простым множителем является число, которое имеет только 2 делителя: единица и само это число.

Полезный совет

Кроме данного метода можно также пользоваться алгоритмом Евклида. Полное его описание, представленное в геометрической форме, можно найти в книге Евклида "Начала".

Связанная статья

Нередко можно встретить такие уравнения, в которых неизвестен . Например 350: Х = 50, где 350 - делимое, Х - делитель, а 50 - частное. Для решения этих примеров необходимо произвести определенный набор действий с теми числами, которые известны.

Вам понадобится

• - карандаш или ручка;
• - лист бумаги или тетрадь.

Инструкция

Составьте простое уравнение, где неизвестное, т.е. Х - это количество детей, 5 - это число конфет, полученных каждым ребенком, а 30 - это количество сладостей, которое было куплено. Таким образом вы должны получить : 30: Х = 5. В этом математическом выражении 30 называется делимым, Х - делителем, а получившееся частное равно 5.

Теперь приступайте к решению. Известно: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Получается:Х = 30: 5;30: 5 = 6;Х = 6.

Сделайте проверку, подставив в уравнение получившееся число. Итак, 30: Х = 5, вы нашли неизвестный делитель, т.е. Х = 6, таким образом: 30: 6 = 5. Выражение верно, а из этого следует, что уравнение решено . Разумеется, при решении примеров, в которых фигурируют простые числа, проверку выполнять необязательно. Но когда уравнения из , трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел, обязательно проверяйте себя. Ведь это не отнимает много времени, но дает абсолютную уверенность в полученном результате.

Обратите внимание