Расположение корней квадратного уравнения. Проект по алгебре (9 класс) на тему: Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
При каком значении параметра a один корень уравнения
больше 1, а другой меньше 1?
Рассмотрим функцию -
Цель работы:
- Исследование всевозможных особенностей расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки и относительно заданного отрезка на основе свойств квадратичной функции и графических интерпретаций.
- Применение изученных свойств при решении нестандартных задач с параметром.
Задачи:
- Изучить различные приемы решения задач на основе исследования расположения корней квадратного трехчлена графическим методом.
- Обосновать всевозможные особенности расположения корней квадратного трехчлена, разработать теоретические рекомендации для решения нестандартных задач с параметром.
- Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений, научится их использовать при решении задач.
Гипотеза:
Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения.
тогда и только тогда:
1. Оба корня меньше числа А,
2. Корни лежат по разные стороны от числа А,
тогда и только тогда:
- тогда и только тогда:
тогда и только тогда:
3. Оба корня больше числа А, то есть
Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения
больше 1, а другой меньше 1.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных корня одного знака?
-6
-2
3
a
1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть
тогда и только тогда:
2. Корни лежат по разные стороны от отрезка
тогда и только тогда:
3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть
тогда и только тогда:
Исследуйте уравнение
на количество корней в зависимости от параметра.
уравнение не имеет решений.
имеет одно решение.
Исследуйте уравнение
на количество корней в
зависимости от параметра.
Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него.
Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него.
первоначальное уравнение будет иметь два различных корня.
при которых
уравнение имеет три различных корня.
Ответ: при
при которых
первоначальное уравнение будет иметь два
различных корня.
уравнение имеет четыре различных корня.
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №15»
г. Мичуринска Тамбовской области
Урок по алгебре в 9классе
«Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от значений параметра»
Разработала
учитель математики 1 категории
Бортникова М.Б.
Мичуринск - наукоград 201 6 год
Урок рассчитан на 2 часа.
Дорогие ребята! Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Цели урока: 1. Расширить представление о квадратных уравнениях 2.Научить находить все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям. 3. Развивать интерес к предмету.
Ход урока:
1. Что такое параметр
Выражение вида
aх
2
+ bх + c
в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно
х,
где
a, b,
c – заданные действительные числа, причем,
a
=/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение
aх
2
+ bх + c =
0.
Вспомним основные уравнения:
aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения переменных
a, b, c,
входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1 , (a – 2) х = a 2 – 4.
Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например.
a уравнение 4 х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a –
2)
х
2
–
2
aх + a +
3
=
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2 aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2
–
2
aх + a
2
–
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4
a
2
– 2(а
2
– 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения:
х
1
=
а
+ 1,
х
2
=
а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 <
а
< 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)
Ответ: 2 <
а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств потребует от вас новых знаний.
Графический
– это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: у =
х
2
– 2
ах
+
а
2
– 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
1 < х о < 5.Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции
у
=
х
2
– 2
ах
+
а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?
Примеры решения задач
3. Исследование расположения корней квадратного трехчлена в зависимости от искомых значений параметра а.
Задача № 2.
При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
х 2 – 4х – (а – 1)(а – 5) = 0 больше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = х 2 – 4х – (а – 1)(а – 5)
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх.
Схематично изобразим параболу (геометрическую модель задачи).
Теперь от построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем эту геометрическую модель адекватной ей системой условий.
Имеются точки пересечения (или точка касания) параболы с осью х, следовательно, Д≥0, т.е. 16+4(а-1)(а-5)≥0.
Замечаем, что вершина параболы расположена в правой полуплоскости относительно прямой х=1, т.е. ее абсцисса больше 1, т.е. 2>1 (выполняется при всех значениях параметра а).
Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1 – 4 – (а – 1)(а – 5)>0
В результате приходим к системе неравенств.
;
Ответ: 2<а<4.
Задача № 3.
Х 2 + ах – 2 = 0 больше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = -х 2 + ах – 2
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вниз. Изобразим геометрическую модель рассматриваемой задачи.
У(1)
Составим систему неравенств.
, решений нет
Ответ. Таких значений параметра а нет.
Условия задачи № 2 и № 3, в которых корни квадратного трехчлена больше некоторого числа при искомых значениях параметра а, сформулируем следующим образом.
Общий случай № 1.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена
f (х) = ах 2 + вх + с больше некоторого числа к, т.е. к<х 1 ≤х 2 .
Изобразим геометрическую модель данной задачи и запишем соответствующую систему неравенств.
Таблица 1. Модель – схема.
Задача № 4.
При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
Х 2 +(а+1)х–2а(а–1) = 0 меньше единицы?
Решение.
Рассмотрим функцию: у = х 2 +(а+1)х–2а(а–1)
Графиком функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх. По условию задачи корни меньше 1, следовательно, парабола пересекает ось х (или касается оси х левее прямой х=1).
Схематично изобразим параболу (геометрическая модель задачи).
у(1)
От геометрической модели перейдем к аналитической.
Так как имеются точки пересечения параболы с осью ох, то Д≥0.
Вершина параболы находится левее прямой х=1, т.е. ее абсцисса х 0 <1.
Замечаем, что у(1)>0, т.е. 1+(а+1)-2а(а-1)>0.
Приходим к системе неравенств.
;
Ответ: -0,5<а<2.
Общий случай № 2.
При каких значениях параметра а оба корня трехчлена f (х) = ах 2 + вх + с будут меньше некоторого числа к: х 1 ≤х 2 <к.
Геометрическая модель и соответствующая система неравенств представлена в таблице. Необходимо учитывать тот факт, что существуют задачи, где первый коэффициент квадратного трехчлена зависит от параметра а. И тогда ветви параболы могут быть направлены как вверх, так и вниз, в зависимости от значений параметра а. Этот факт будем учитывать при создании общей схемы.
Таблица № 2.
f(k)
Аналитическая модель
(система условий).
Аналитическая модель
(система условий).
Задача № 5.
При каких значениях параметра а 2 -2ах+а=0 принадлежат интервалу (0;3)?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х) = х 2 -2ах+а.
Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх.
На рисунке представлена геометрическая модель рассматриваемой задачи.
У
У(0)
У(3)
0 х 1 х 0 х 1 3 х
От построенной геометрической модели перейдем к аналитической, т.е. опишем ее системой неравенств.
Имеются точки пересечения параболы с осью х (или точка касания), следовательно, Д≥0.
Вершина параболы находится между прямыми х=0 и х=3, т.е. абсцисса параболы х 0 принадлежит промежутку (0;3).
Замечаем, что у(0)>0, а также у(3)>0.
Приходим к системе.
;
Ответ: а
Общий случай № 3.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена принадлежат интервалу (k ; m ), т.е. k <х 1 ≤х 2 < m
Таблица № 3. Модель – схема.
f (x )f (k )
f (m )
k х 1 х 0 х 2 m x
f(x)
0 k x 1 x 0 x 2 m
f(k)
f(m)
Аналитическая модель задачи
Аналитическая модель задачи
ЗАДАЧА № 6.
При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х 2 +2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).
Решение.
2 -2ах+а
Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х 1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х 1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.
Y (x )
Y (0)
0 x 1 3 x 0 x 2 x
Y (3)
Перейдем к системе неравенств.
1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.
Итак, получаем следующую систему неравенств:
Ответ: а >1,8.
Общий случай № 4.
При каких значениях параметра а меньший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k ; m ), т.е. k <х 1 < m <х 2 .
Таблица № 4 . Модель – схема.
f(k)k x 1 0 m x 2
f(m)
F(x)
f(m)
k x 1 m x 2 x
f(k)
Аналитическая модель
Аналитическая модель
ЗАДАЧА № 7.
При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0 принадлежит промежутку [-1;0).
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 +4х-(а+1)(а+5).
Графиком является парабола. Ветви направлены вверх.
Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х 2 – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.
y (х)
y (0)
x 1 -1 х 2 0 х
y (-1)
Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.
Составим систему неравенств и решим ее.
Ответ:
Общий случай № 5.
При каких значениях параметра а больший корень квадратного трехчлена принадлежит заданному интервалу (k ; m ), т.е. х 1 < k <х 2 < m .
Таблица № 5. Модель – схема.
f(x)
f(m)
0 x 1 k x 2 m x
f(k)
f(x)
f(k)
x 1 0 k x 2 m
f(m)
Аналитическая модель
Аналитическая модель
З АДАЧА № 8.
При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+а-11
Графиком является парабола.
Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.
Y (x )
X 1 -1 0 3 x 2 x
Y (-1)
Y (3)
При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.
Ответ: а
Общий случай № 6.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена находятся вне заданного интервала (k ; m ), т.е. х 1 < k < m <х 2 .
х 2 -(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+4-а.
Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.
X 1 3 x 2 x
Y (3)
Перейдем от геометрической модели к аналитической.
Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически. +вх+с меньше некоторого числа к: х 1 ≤ х 2 <к
3. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежат интервалу (к,т) к<х 1 ≤х 2 <т
4. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т),т.е.к<х 1 <т<х 2
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Корни квадратного уравнения х 2 -4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1.
Ответ: 2<а<4
Корни квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1.
Ответ:
-0,5<а<2
Корни квадратного уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
Только меньший корень уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Только больший корень уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку [-1;0).
Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)
Отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0.
Ответ:-1 <а<3
Корни квадратного уравнения х 2 -2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от числа 3.
Ответ( 10 / 7 ;∞)
Спасибо за урок ребята!
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное казённое учреждение
Ермоловская СОШ
Расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметрами
Выполнил Галкин Сергей Андреевич,
Ученик 9-го класса
Руководитель: Малей Н.И.,
Учитель математики
2013
Введение…………………………………………………….. 3
Основная часть. Расположение корней квадратного уравнения и примеры………………………………………..4-15
Проверка качества применимости изложенного материала..16
Заключение…………………………………………………….17
Литература …………………………………………………….18
Приложение ……………………………………………….......19
Цель:
Сформулировать и обосновать утверждения о расположении корней квадратного уравнения и показать применение полученных утверждений для решения задач с параметрами.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Сформулировать утверждения и дать геометрическую интерпретацию
Введение
В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ в задачах повышенной сложности предлагаются задания по теме «Уравнения с параметрами»
Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.
Рассмотрим два наиболее распространённых типа таких задач
1-ый тип задачи в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.
2-ой тип задачи в которых исследуется расположение корней относительно числового промежутка
Утверждения о расположении корней квадратного уравнения
Пусть f(x)=ax 2 +bx+c имеет действительные корни x 1 и x 2 , а M – какое-нибудь действительное число, D=b 2 – 4ac.
Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или |
Пример 1:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 меньше -1.
Решение:
Рассмотрим функцию y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)
Ответ: (1; +∞).
Утверждение 2 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
Пример 2:
Найти все значения параметра m , при каждом из которых один корень уравнения 2mx²-2x-3m-2=0 больше 1,а другой меньше 1.
Решение:
2mf(1)
2m(2m-2-3m-2)
2m²-8
2m(m+4)
m(m+4)>0
Ответ: (-∞; -4)U(0; + ∞).
Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение условий:
или |
Пример 3:
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 больше 3
Решение: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)
Ответ: а>11/9
Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M ) , т.е. лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно:
или |
Пример 4:
При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?
Решение:
Ответ:(- ; ).
Утверждение 5 . Для того чтобы только больший корень квадратного уравнения лежал в интервале [ M , N ](M N ) , необходимо и достаточно:
(при этом меньший корень лежит вне отрезка ).
5.Найти все значения а, для которых при каждом x из промежутка (-3; -1] значение выражения
(задача С3 из ЕГЭ).
Решение:
1.Значения указанных выражений не равны друг другу тогда и только тогда,когда выполнено условие:
Обозначим t=x², тогда t²-8t-2 at.
t²-8t-at-2=t²-(a+8)t-2 0
f(t)=t²-(a+8)t-2 0
Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке , необходимо и достаточно:
(при этом больший корень лежит вне отрезка [ M , N ]) .
Утверждение 7 . Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M [ M , N ] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
Пример 6:
Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)
Решение:
Ответ: (-∞; -5)
Пример 7:
При каких значениях параметра а один корень уравнения x²-(3a+2)x+2a-1=0 меньше -1, а другой больше 2.
Решение:
Ответ: решений нет.
Проверка качества применимости изложенного материала
Проверочную работу выполняли четыре человека: три ученика 11 класса и один ученик 10 класс (задания см. в Приложении)
В результате анализа проверочной работы была выявлена необходимость совершенствования навыков решения задач на расположение корней квадратного уравнения
Заключение:
В процессе исследования были рассмотрены основные случаи расположения корней квадратного уравнения, приведены утверждения, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти утверждения. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.
Литература:
1. Задачи с параметрами П.И. Горнштейн, .Б. Полонский, М.С. Якир
3. Рабочая тетрадь для подготовки к итоговой аттестации по математике в новой форме (Негосударственное образовательное учреждение «Интернациональные коммуникации»)
4. Школа решения задач с параметрами, авторы Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н.
Приложение
Задания:
- Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 4x²+2(а-1)х-а²+а=0 меньше -1.
- Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения x²+(a-4)x-2a=0 больше 1
- При каких значениях параметра a оба корня уравнения x²-ax+2=0 больше 1, но меньше 3
Уравнения содержащие параметр.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба
меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0f(A)<0.
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.
Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 <
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?
2 группа:
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
Изучение многих физических и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с
параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В
школе же этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса алгебры рассматривается только
на немногочисленных факультативных или
предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод
является удобным и быстрым способом решения
уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с
параметрами встречаются две постановки задачи.
- Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
- Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
В данной работе рассматривается и
исследуется задача второго типа применительно к
корням квадратного трехчлена, нахождение
которых сводится к решению квадратного
уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет
учителям при разработке уроков и при
подготовке учащихся к ЕГЭ.
1. Что такое параметр
Выражение вида aх
2 + bх + c
в
школьном курсе алгебры называют квадратным
трехчленом относительно х,
где a, b,
c –
заданные действительные числа, причем, a
=/= 0.
Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного
трехчлена. Для нахождения корней квадратного
трехчлена, необходимо решить квадратное
уравнение aх
2 + bх + c =
0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные
уравнения aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения
переменных a, b, c,
входящих в уравнение
считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром. Поскольку, в
школьных учебниках нет определения параметра, я
предлагаю взять за основу следующий его
простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
- Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
- Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
- Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых
корни уравнения (a –
2)х
2
–
2aх
+ a +
3 =
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром:
аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2 –
2aх + a
2 –
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два
различных корня, а это возможно лишь при условии:
Д > 0.
Имеем: Д = 4a
2 – 2(а
2 – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а,
следовательно, уравнение имеет два различных
корня при любых значениях параметра а. Найдем
корни уравнения: х
1 = а
+ 1, х
2
= а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку
(1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а
< 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Ответ: 2 < а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого
типа возможен и рационален в тех случаях, когда
дискриминант квадратного уравнения «хороший»,
т.е. является точным квадратом какого либо числа
или выражения или корни уравнения можно найти по
теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не
представляют собой иррациональных выражений. В
противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с
технической точки зрения. Да и решение
иррациональных неравенств требует от ученика
новых знаний.
Графический
– это способ, при котором
используют графики в координатной плоскости (х;у)
или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения
задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного
уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: У = х
2
– 2ах
+ а
2 – 1. Графиком функции
является парабола, ветви направлены вверх
(первый коэффициент равен 1). Геометрическая
модель, отвечающая всем требованиям задачи,
выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
- Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
- Вершина параболы находится между вертикальными
прямыми х
= 1 и х
= 5, следовательно
абсцисса вершины параболы х о принадлежит
промежутку (1; 5), т.е.
1 <х о < 5. - Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ
решения задач рассматриваемого типа возможен в
случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат
параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным
квадратом).
Во втором способе решения мы работали с
коэффициентами уравнения и областью значения
функции у
= х
2 – 2ах
+ а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только
графическим, т.к. здесь приходится решать систему
неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов
последний является не только изящным, но и
наиболее важным, так как в нем просматриваются
взаимосвязь между всеми типами математической
модели: словесное описание задачи,
геометрическая модель – график квадратного
трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни
квадратного трехчлена удовлетворяют заданным
условиям в области определения при искомых
значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?