Теория хаоса в управлении движением динамических систем. Ограничения Теории хаоса. Недостатки
Теория «управляемого хаоса» – это современный феномен, геополитическая доктрина, уходящая своими корнями в древнейшие науки, такие как философия, математика, физика. Понятие «хаос» возникло от названия в древнегреческой мифологии изначального состояния мира, некой «разверзшейся бездны», из которой возникли первые божества.
Попытки научного осмысления понятий «порядок» и «хаос» сформировали теории направленного беспорядка, обширные классификации и типологии хаоса. В древнейшей историко-философской традиции хаос понимался как все собой обнимающее и порождающее начало. В античном мировосприятии безвидный и непостижимый хаос наделен формообразующей силой и означал первичное бесформенное состояние материи и первопотенцию мира.
Современный уровень научных исследований обосновал теорию хаоса на утверждении того, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий, и небольшие изменения в окружающей среде могут привести к непредсказуемым последствиям.
Стивен Манн – ключевая фигура в развитии геополитической доктрины «управление хаосом», в том числе и в рамках национальных интересов США. Стивен Манн (год рождения 1951) в 1973 г. закончил Оберлинский колледж (степень бакалавра по немецкому языку), в 1974 г. получил степень магистра по немецкой литературе в Корнуэльском университете (Нью-Йорк), с 1976 г. находился на дипломатической службе. Начинал карьеру в качестве сотрудника посольства США на Ямайке. Затем работал в Москве и в отделе по вопросам Советского Союза при Госдепартаменте в Вашингтоне, работал в Операционном Центре Госдепартамента (круглосуточно функционирующем кризисном центре), а также с 1991 по 1992 гг. – в офисе секретаря по обороне, охватывавшем вопросы России и Восточной Европы. В 1985-1986 гг. был стипендиатом Института Гарримана по исследованиям Советского Союза (Harriman Institute for Advanced Soviet Studies) при Колумбийском университете (здесь получил степень магистра по политологии). Был первым временным поверенным в делах США в Микронезии (1986-1988 гг.), Монголии (1988 г.) и Армении (1992 г.). В 1991 г. с отличием закончил Национальный военный колледж (National War College) в Вашингтоне. В 1992-1994 гг. был заместителем посла на Шри-Ланке. В 1995-1998 гг. работал директором отдела Индии, Непала и Шри-Ланки при Госдепартаменте США. С 1998 по май 2001 г. был послом США в Туркменистане. С мая 2001 г. Стивен Манн является специальным представителем президента США в странах Каспийского бассейна. Он – главный представитель американских энергетических интересов в этом регионе, лоббист проекта АБТД (нефтяной трубопровод Актау-Баку-Тбилиси-Джейхан).
По результатам обучения в Национальном военном колледже Стивен Манн в 1992 году подготовил статью, получившую большой резонанс в военно-политическом сообществе: «Теория хаоса и стратегическая мысль». Она была напечатана в главном профессиональном журнале армии США (Mann, Steven R. Chaos Theory and Strategic Thought // Parameters (US Army War College Quarterly), Vol. XXII, Autumn 1992, pp. 54-68).
В этой статье С. Манн излагает следующие тезисы: «Мы можем многому научиться, если рассматривать хаос и перегруппировку как возможности, а не рваться к стабильности как иллюзорной цели…». «Международная среда является превосходным примером хаотической системы... «самоорганизованная критичность» ... соответствует ей в качестве средства анализа... Мир обречен быть хаотичным, потому что многообразные акторы человеческой политики в динамической системе... имеют разные цели и ценности». «Каждый актор в политически критических системах производит энергию конфликта, ...которая провоцирует смену статус-кво, участвуя, таким образом, в создании критического состояния... и любой курс приводит состояние дел к неизбежному катаклизменному переустройству».
Основная мысль, вытекающая из представленных тезисов Манна, – перевести систему в состояние «политической критичности». А далее она – при определенных условиях – сама неизбежно ввергнет себя в катаклизмы хаоса и «переустройства». В контексте его статьи важно отметить, что рассматриваемый подход может использоваться как для социального созидания, так и для асоциального разрушения и геополитических манипуляций.
Совершенно ясно из доклада С. Манна прослеживается не только научно-идеологическая мысль, но и преследование национальной безопасности США. В указанной статье Манн пишет: «С американскими преимуществами в коммуникациях и увеличивающимися возможностями глобального перемещения, вирус (речь идет об «идеологическом заражении») будет самовоспроизводящимся и будет распространяться хаотическим путем. Поэтому наша национальная безопасность будет иметь наилучшие гарантии...». И далее: «Это единственный путь для построения долговременного мирового порядка. Если мы не сможем достичь такого идеологического изменения во всем мире, у нас останутся спорадические периоды спокойствия между катастрофическими переустройствами». Слова Манна о «мировом порядке» здесь – дань «политкорректности». Потому что в его докладе речь идет исключительно о хаосе, в котором, судя по словам Манна о «наилучших гарантиях национальной безопасности США», только у Америки будет возможность сохраниться в качестве «острова порядка» в океане «управляемой критичности» или глобального хаоса.
Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.
ХАОС НЕ СЛУЧАЕН
Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью - ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.
И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.
Непредсказуемость хаоса
Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям.
Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.
"Эффект бабочки"
Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.
Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).
Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям - шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.
Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой.
В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.
Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.
То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.
Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия
- Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса - эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
- Второй вывод теории хаоса - достоверность прогнозов со временем быстро падает.
Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов
Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка - с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.
Еще один пример хаотичности в природе - лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).
Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется "если…, то…". В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.
Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.
Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).
Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.
До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.
Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем" . Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".
Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.
Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".
В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.
Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.
Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.
Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство - это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением.
Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.
Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства
По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.
- Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
- Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.
- Третий тип аттрактора - тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.
Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.
Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его.
И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.
Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.
Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца
Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.
Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.
Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.
Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.
В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.
Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.
Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются
Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия , фрактал - это противоположность хаоса.
Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.
ФРАКТАЛ
Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.
Рисунок 6. Фрактал "ковер Серпинского"
Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции.
Рисунок 7. Построение ковра Серпинского
Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.
В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.
Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал - геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд "Фрактальная геометрия природы" (The Fractal Geometry of Nature) . Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.
Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.
Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения.
Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.
Детерминистские фракталы
Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой.Классическим примером сложного фрактала является множество
Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.Рисунок 8. Множество Мандельброта
К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.
Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.
Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.
Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.
Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).
Результатом расчетов являются следующие выводы:
- при С < 1 популяция с ростом n вымирает;
- в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка былапритягивающая фиксированная ;
- в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
- при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.
Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.
Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2
Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).
Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).
Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. "дерево Фейгенбаума".
Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)
Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу.
Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми.
Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.
С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения.
Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.
На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.
Одной из наиболее интересных и до конца не исследованных теорий классической механики является теория хаоса.
Теория хаоса представляет собой математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.
Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество и другие социальные системы.
Теория хаоса - это область исследований, связывающая математику, физику и философию.
Она гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Первооткрывателями теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, Мозер, построившие теорию хаоса. Теория вводит понятие аттракторов, устойчивых орбит системы.
Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре–Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трех измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.
Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно маленькое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям.
Чувствительность к начальным условиям более известна как “Эффект бабочки”. Термин возник в связи со статьёй “Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас”, которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской “Ассоциации для продвижения науки” в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой.
Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда некоторым ученым стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты. Чтобы заранее исключить неточности при изучении - простые “помехи” в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина.
Одним из первых исследователей теории хаоса был также Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашел повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа - значит, ошибки неизбежны и должны быть запланированы. В 1967 он издал работу, где доказывал, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения. В 1975 году Мандельброт опубликовал работу “Природа фрактальной геометрии”, которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.
В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).
Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.
Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности .
Vocabulary notes:
детерминированная модель - deterministic model;
турбулентные потоки - turbulent flows;
Анри Пуанкаре - Henri Poincare;
теоремa Пуанкаре–Бендиксона - Poincaré-Bendixson theorem;
аттрактор – attractor;
неевклидова геометрия - non-Euclidean geometry;
Эдвард Лоренц – Edward Lorentz;
Бенуа Мандельброт - Benoit Mandelbrot.
Чем больше читаю, тем больше удивляюсь! Кажется, что О"Коннор и Макдермотт собрали в своей книге все что только можно про самые разные области знаний, постичь которые мне казалось уже практически делом невозможным. О каждой области они не много и не мало, а ровно столько, сколько необходимо для понимания сути концепции без углубления в лишние детали. Вот теперь добрался до теории хаоса, о которой они пишут внятно и популярно, и вместе с тем глубоко...
Правда, некоторые вещи приходится на ходу додумывать, но ведь это нормально, правда? Вот и здесь, говоря о хаосе, я бы для начала привел цитату из Википедии, где есть статья о теории хаоса:
Теория хаоса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется сильной чувствительностью поведения системы к начальным условиям. Результатом такой чувствительности является то, что поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.
Что означает вышесказанное? То что любая мелочь может кардинально изменить очень сложную систему и вызвать даже настоящую катастрофу. Помните "Ледниковый период"? Там белочка пытается запрятать еще один орешек, начинает на нем прыгать и тем самым вызывает глобальное потепление (или похолодание - я уже не помню). Вот что-то вроде этого. И в нашей жизни бывает что-то похожее. Про это О"Коннор и Макдермотт пишут так:
Аналогичные силы проявляются в мелких, вроде бы случайных событиях, направляющих нашу жизнь. Существует немало научнофантастических
книг и фильмов (например, «Назад в будущее») о том, как жизнь могла бы развиваться иначе, если бы не произошло определенных незначительных событий. Малозаметные случаи могут иметь крайне серьезные последствия. В случайном телефонном разговоре мы вдруг получаем приглашение на встречу, которая совершенно изменит направление нашей карьеры. Несколько шутливых слов могут перевернуть чью-то жизнь. И нет, как в магнитофоне, кнопки, которая позволила бы вернуться назад, чтобы проверить, как все могло бы быть. Мы творим собственное будущее мелкими, незначительными ежедневными поступками, и только позднее узнаем, что какие-то решения определили всю последующую жизнь.
То же самое справедливо и в отношении таких систем, как предприятие или группа предприятий. Какая-то мелочь может привести к тому, что бизнес начинает вести себя по-другому, не так как раньше. И эта хаотичность, изменчивость бизнеса иногда служит реальным препятствием на пути к автоматизации бизнес-процессов.
Но с другой стороны, не все так плохо. Сложным динамическим системам кроме чистого хаоса присущи еще и черты самоорганизации. Авторы книги пишут об этом так:
У теории хаоса есть и обратная, «светлая» сторона. Нужно знать, на что обращать внимание, и тогда за внешне случайными событиями можно увидеть некий скрытый порядок. Если взять простую систему и раз за разом подвергать ее одному и тому же простому воздействию, она может стать очень сложной. Хаос не случаен. Сколь бы глубоко мы ни заглянули в него, там можно найти сходную структуру связи событий, элементов, т.е. один и тот же паттерн. Например, очертания побережья, различаемые с высоты, очень похожи на береговую линию, видимую с земли, и тот же рисунок вы обнаружите при более близком рассмотрении. Структура береговой линии никогда не становится гладкой, - ее характер остается неизменным, один и тот же паттерн возникает на всех этих азномасштабных изображениях. Структуры - паттерны, воспроизводящиеся на всех уровнях, называют фракталами.
...
Можно различать два типа сложности: подлинная, неустранимая, и внешняя, видимая. Подлинная сложность
есть свойство реальности - это проявление «темной» стороны хаоса. Небольшие различия на начальном этапе становятся со временем огромными, а петли обратной связи создают такую путаницу, что система превращается в гордиев узел, и даже самый мощный компьютер не в состоянии сыграть роль дамоклова меча, чтобы разрубить его. Внешняя, видимая сложность
- есть «светлая» сторона хаоса. Он выглядит сложным, но в нем есть порядок, иногда очень простой. Для тех, кто интересуется системным мышлением, важно находить структуры, паттерны в видимом проявлении сложности. Собственная, неустранимая сложность - область исследования теоретиков хаоса и применения суперкомпьютеров. Это поразительно интересная область пространства, но в этой книге мы не будем ее рассматривать.
Там, где сложность систем невысока и к тому же относится к внешнему типу, серьезных проблем не возникает. Нас же интересуют системы промежуточного уровня, в которых присутствует значительная сложность внешнего типа, но подлинная, неустранимая сложность невысока.
Кстати, в мне пришлось высказать мнение о наличии некоего "фундамента" ИТ-системы , которая и является основой автоматизации бизнес-процессов. dreary_life тогда попросила меня немного пояснить понятие "фундамент". Я как-то попытался это сделать, но мне кажется получилось очень приблизительно и потому не очень удачно. Сейчас это можно уточнить.
В бизнесе действительно существуют т.н. паттерны , то есть некие устойчивые связи между элементами, которые выражаются часто в привычных стереотипах поведения каких-то определенных людей, сотрудников компании. Хотя это и не очень приятно, но если посмотреть на этих сотрудников как на элементы системы, а на их поведение как на структуру системы, которая связывает людей в единое целое, то можно обнаружить некие скрытые закономерности и привнести порядок даже туда, где его, казалось бы, нет и быть не может.
Вот один пример. На счете "Материалы" в бухгалтерии компании содержится огромное количество наименований материалов, классифицировать которые кажется нет никакой возможности. Однако такая классификация может быть существенно облегчена, если обнаружить, что значитеьная доля наименований материалов привязана только к одному конкретному поставщику. Дело в том, что бухгалтер обычно привыкает вносить материалы от определенного поставщика в одни и те же позиции. Просто в силу привычки, потому что в накладных регулярно проскакивает повторяющиеся наименования. С другой строны, аналогичные материалы прочих поставзиков он привыкает вносить в другие позиции. Эта психологическая особенность позволяет (после некоторой обработки данных) сгруппировать материалы по поставщикам.
С другой стороны, в бухгалтерии списание материалов и запчастей производится с привязкой к определенным единицам техники, на которую они были потрачены. Опять-таки, после некоторой обработки, это позволяет сгруппировать материалы по тому, на какие группы техники они используются, и тем самым упростить классификацию.
То и другое (группировка по поставщикам и по группам техники) можно назвать паттерном, повторяющимся событием. Обнаружение таких паттернов значительно ускоряет работу и даже позволяет анализировать ситуацию на складе в динамике. Например, интересно выявить, на какие группы техники уходят запчасти от того или иного поставщика. Или почему растет остаток запчастей, получаемых от определенного поставщика или списываемых на определенную технику и т.д.
Такие паттерны можно выявить и на других участках бизнес-процессов. Обнаружие скрытых закономерностей делает хаос не таким уж хаотичным, как это могло показаться поначалу...
Изучение комплексных и динамических систем для выявления закономерностей порядка (нехаоса) из очевидных хаотичных явлений. Объяснение Chaos Theory (Теория хаоса) Lorenz ("60) и Poincaré. (ca 1900)
Что такое Chaos Theory (Теория хаоса) ? Описание
Методом Chaos Theory (Теория хаоса) от Lorenz и Poincaré будет методика можно использовать для систем изучать сложных и динамических для того чтобы показать закономерности порядка (нехаоса) из по-видимому хаотичных поведений.
«Chaos Theory (Теория хаоса) - Качественное изучение неустойчивого апериодического поведения в детерминистических нелинейных динамичных системах» (Kellert, 1993, P. 2). Апериодическое поведение наблюдается, когда нет ни одной переменной, описывающей состояние системы, которое испытывает регулярное повторение значений. Неустойчивое апериодическое поведение очень сложно: оно никогда не повторяется и проявляет эффект любого небольшого возмущения.
Согласно сегодняшней математической теории хаотичная система характеризуется «чувствительностью к начальным условиям». Другими словами, для того чтобы предсказать будущее состояние системы с определенностью, вам необходимо знать начальные условия с огромной точностью, в виду того что ошибки увеличиваются быстро из-за даже самой небольшой неточности.
Поэтому погоду настолько трудно прогнозировать. Теория также применялась к экономическим циклам, динамике животных популяций, в движении текучей среды, области планетарных орбит, электрического тока в полупроводниках, медицинских состояний (например, эпилептический припадок) и моделировании гонки вооружений.
Во 1960-х Edward Lorenz, метеоролог из MIT, работал над проектом по имитации закономерностей погоды на компьютере. Он случайно столкнулся с Эффектом бабочки (butterfly effect) после того, как отклонения в вычислениях на тысячные доли в значительной степени меняли процесс имитации. Эффект бабочки показывает, как изменения небольшого маштаба могут оказывать влияние на вещи большого масштаба. Это классический пример хаоса, где небольшие изменения могут повлечь большие изменения. Бабочка, хлопая своими крыльями в Гон Конге, может изменить закономерности торнадо в Техасе.
Chaos Theory (Теория хаоса) рассматривает организации/бизнес группы как сложные, динамические, нелинейные, созидательные и далекие от состояния равновесия системы. Их будущие результаты нельзя предсказать на основе прошлых и текущих событий и действий. В состоянии хаоса, организации одновременно ведут себя непредсказуемо (хаотично) и систематично (упорядоченно).
Происхождение Теории хаоса. История
Ilya Prigogine, лауреат Нобелевской премии, показал, что сложные структуры могут происходить от более простых. Это как порядок исходящий из хаоса. Henry Adams ранее описал данное явление цитатой «Chaos often breeds life, when order breeds habit». Однако Henri Poincaré был настоящим «отцом-основателем теории хаоса» . Планета Нептун была открыта в 1846 и была предсказана на основе наблюдений отклонений в орбите Урана. Король Норвегии Oscar II был готов дать награду любому, кто бы смог доказать или опровергнуть то, что солнечная система устойчива. Poincaré предложил свое решение, но когда его друг нашел ошибку в его вычислениях, награду отобрали до тех пор, пока он не смог придумать новое решение. Poincaré пришел к выводу, что решения не было. Даже законы Isaac Newton не помогали в решении этой огромной проблемы. Poincaré пытался найти порядок в системе, где его не было. Теория хаоса была сформулирована в 1960-х. Значительная и более практическая работа была проделана Edward Lorenz в 1960-х. Название хаос было придуманно Jim Yorke, ученым в области прикладной математики в университете Maryland (Ruelle, 1991).
Вычисление Chaos Theory (Теория хаоса)? Формула
В применении Теории хаоса, одиночная переменная x (n) = x (t0 + nt) с начальным временем, t0, и временем задержки, t, обеспечивает n-мерное пространство, или фазовое пространство, которое представляет собой все многомерное пространство состояния системы; может потребоваться до 4 измерений для того, чтобы представить фазовое пространство хаотичной системы. Таким образом, в течение длительного периода времени, анализируемая система выработает закономерности в рамках нелинейного временного ряда, что можно использовать для предсказания будущих состояний (Solomatine et al, 2001).
Применение Теории хаоса. Формы применения
Принципы Теории хаоса были успешно использованы для описания и объяснения разнообразных естественных и искусственных явлений. Such as:
- Предсказание эпилептических припадков. Предсказание финансовых рынков. Моделирование систем производства. Прогнозы погоды. Создание фракталов. Сгенерированные компьютером изображения с использованием принципов Chaos Theory (Теория хаоса) . (См. на этой странице.)
В условиях, когда Бизнес работает в неустойчивой, сложной и непредсказуемой среде, принципы Теории хаоса могут быть весьма ценны. Области применения могут включать:
- Бизнес стратегия/Корпоративная стратегия. Сложный процесс принятия решений. Социальные науки. Организационное поведение и организационное изменение. Сравните: Causal Model of Organizational Performance and Change (Причинно-следственная модель организационной деятельности и изменения) Поведение на фондовой биржи, инвестирование.
Стадии в Теории хаоса. Процесс
Для того, чтобы контролировать хаос, необходимо контролировать систему или процесс хаоса. Для контролирования системы, необходимы:
Цель, задача, которые система должна достигнуть и выполнить. Для системы с предсказуемым поведением (детерминистическим) это может быть определенное состояние системы. Система способная достигать цель или выполнять поставленные задачи. Некоторое способы оказания влияния на поведение системы. Включают Параметры контроля/control inputs (решения, правила принятия решений или начальные состояния).
Преимущества Теории хаоса. Преимущества
Теория хаоса имеет широкое применение в современном науке и технике. Коммуникация и менеджмент могут стать свидетелями смещения парадигмы, как и некоторые другие области бизнеса. Исследования и изучение этой области в академической среде могут быть весьма полезны для бизнеса и финансового мира.
Ограничения Теории хаоса. Недостатки
Ограничения применения Теории хаоса связаны, главным образом, с выбором вводных параметров. Методы, выбранные для вычисления этих параметров зависят от динамики, лежащей в основе данных и вида анализа, которая в большинстве случаев очень сложна и не всегда точна.
Непросто найти непосредственное и прямое применение теории хаоса в деловой среде, однако определенно стоит применять анализ деловой среды с использованием знаний о хаосе.
Предположения Теории хаоса). Условия
- Небольшие действия приводят к достаточно большим последствиям, создавая хаотичную атмосферу.
